第六章简单超静定问题习题选解

图
习题⋅-16
图
⋅
N l 图
习题⋅-56习 题
[6-1] 试作图示等直杆的轴力图。

解：把A 支座去掉，代之以约束反力A R （↑）。

A AC R N = F R N A CD 2-=
F R N A BD 3-=
变形协调条件为：
0=∆l
02=⋅+⋅+⋅EA a
N EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N
03)2(2=-+-+F R F R R A A A
4
7F
R A =
故：4
7F R N A AC =
= 42472F
F F F R N A CD -=-=-= 4
53473F
F F F R N A BD
-
=-=-= 轴力图如图所示。

[6-5] 图示刚性梁受均布荷载作用，梁在A 端铰支，在B 点和C 点由两根钢杆BD 和CE 支承。

已知钢杆BD 和CE 的横截面面积22200mm A =和21400mm A =，钢杆的许用应力MPa 170][=σ，试校核该钢杆的强度。

解：以AB 杆为研究对象，则：
0=∑A
M
1
02
3
)330(3121=⨯
⨯-⨯+⨯N N 135321=+N N (1)
变形协调条件：
3
1
21=∆∆l l 123l l ∆=∆
1
12238.1EA l
N EA l N ⨯=⋅ 400
32008.11
2N N =⋅ 212.1N N = (2)
(2)代入（1）得：
13532.122=+N N
)(143.322
.4135
2kN N ≈=
（拉力） )(571.38143.322.12.121kN N N ≈⨯== （压力）
按轴力正负号的规定，记作：
kN N 571.381-=；kN N 143.322=
强度校核：
MPa MPa mm N A N 170][4275.9640038571||
||2
111=<===σσ，符合强度条件。

图
习题⋅-15
6 MPa MPa mm N
A N 170][715.160200321432
122=<===
σσ，符合强度条件。

因此，钢杆符合强度条件，即安全。

[6-15(a)] 试求图示超静定梁的支反力。

解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R ，则变形协调方程为：
0=B w 0=+B e R BM w w
查附录IV ，得：
EI
a M EI a M w e e BM e
2222)2(-=-=
EI
a R a a EI a R w B B R B
38)223(6)2(3
2-=-⨯-=
故， 03823
2=--=+EI
a R EI a M w w B e R BM B e
03
4=+
a
R M B e a
M R e
B 43-
= （负号表示方向向下，即↓） 由0=∑Y 得：a
M R e
A 43=
（↑）
B
图
习题⋅-176
B
由0=∑A M 得：e e A M a a M M +⋅-243，a
M
M e A 2=（逆时针方向转动）
[习题6-17] 梁AB 因强度和刚度不足，用同一材料和同样截面的短梁AC 加固，如图所示。

试求：
（1）二梁接触处的压力C F ；
（2）加固后梁AB 的最大弯矩和B 点的挠度减小的百分数。

解：（1）求二梁接触处的压力C F
以AB 为研究对象，把C 处的圆柱垫去掉，代之以约束反力C F （↑）；以AC 为研究对象，作用在C 处的力为'C F （↓）。

C F 与'C F 是一对作用与反作用力，
'C C F F =。

受力如图所示。

AB 梁在C 处的挠度：
C CF CF AB C w w w +=,。

查附录IV 得：
EI
Fl l l EI l F w CF
48523(6)2(32
=
-=
B
B
FL
图
M EI
l F l l EI l F w C C CF C
24)223(6)2(32
-
=-⋅-= 故，EI
l F EI Fl w w w C CF CF AB C C 244853
3,-=+= AC 梁在C 处的挠度：
EI
l F EI l F w C C AC
C 243)2(33
',=
= 变形协调方程：
AC C AB C w w ,,=
EI
l F EI l F EI Fl C C 242448533
3=- 2424485C
C F F F =- C C F F F 225=-
4
5F
F C =
（↑） （2）求加固后梁AB 的最大弯矩和B 点的挠度减小的百分数 ① 弯矩的变化情况
加固前：2
2Fl l F M C -=⋅
-= max M Fl M A =-=
B
A
图
M Fl 3Fl 加固后：
max '
2
2M Fl l F M C
=-=⋅-=
8
3245'
Fl
l F Fl M A -
=⋅+
-= 显然，AB 梁的最大弯矩
减小：%5021=-Fl Fl
Fl （负弯矩只表示AB 梁上侧受拉） ② B 点挠度的变化情况
加固前：
EI
Fl w B 33
=
加固后：2
'
l w w w C C CF CF CF B ⋅++=θ
EI
Fl w CF
33= EI Fl EI l F EI l F l l EI l F w C C CF C
965244524)223(6)2(333
2-
=⋅-=-=-⋅-= EI
Fl EI l F EI l F EI l F EI l l F C C C CF C
3258458]2)2(22[222
2-
=⋅-=-=-⋅⋅-=θ 故，2
'
l w w w C C CF CF CF B ⋅++=θ
23259653233l
EI Fl EI Fl EI Fl ⋅--=
EI
Fl 192393
=
B 点挠度减小的百分数为：
%3964251926419225319239333
333===-EI
Fl EI Fl EI Fl EI Fl EI Fl。