七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十讲 质数与合数

第二十讲 质数与合数

趣题引路】

由超级计算机运算得到的结果2859433－1是一个质数，则2859433＋1是（ ） A ．质数 B ．合数 C ．奇合数 D ．偶合数

解析 ∵2859433－1，2859433，2859433＋1．是三个连续正整数，∵2859433－1的末位数字是1．∴2859433

是偶合数，∵上述三个数中一定有一个能被3整除，而2859433－1是质数，∴2859433＋1的末位数字是奇数且能被3整除，故2859433＋1是奇合数．故选C ．

同学们，你们知道什么是“哥德巴赫猜想”吗？二百多年前，德国数学家哥德巴赫发现：任一个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数之和．如6＝3＋3，12＝5＋7等．对许多偶数进行检验，都说明这个猜想是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没有找到一个反例．到目前最好的结论是我国数学家陈景润证明的“1＋2”，即任一充分大的偶数，都可表示成一个质数加上一个质数或两个质数的积，这一结论被命名为“陈氏定理”．

知识延伸】

1．正整数依据不同的标准可以有各种分类，这里依据它们的正约数的个数可以分为三类： （1）只有一个正约数的数，它只能是1；

（2）只有两个正约数的数，如2，3，11这样的数叫质数； （3）有两个以上正约数的数，如4，10，12这样的数叫合数． 2．（1）2是最小的质数，也是唯一的偶质数；除2以外，其余的质数都是奇数。 （2）质数有无穷多；合数也有无穷多． 证明 假设只有有限多个质数，设为P 1，P 2，P 3，…，P n 考虑P 1P 2P 3…P n ＋1，由假设可知，P 1P 2P 3…P n ＋1是合数，它一定有一个质因数P ，显然，P 不同于P 1，P 2，P 3，…，P n ，这与假设P 1，P 2，P 3，…，P n 为全部质数矛盾．

3．质数可以采用埃拉托色尼筛选法进行判定．如判断2003为质数，可以这样操作：分别用质数2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，41，43来除2003，它们都不能整除2003，而下一个质数47，它的平方472＝2209大于2003，由此就可判定2003为质数。

4．算术基本定理

对于一合数，如果将它分解为若干质数的连乘积的形式，并不考虑质因数的排列顺序，那么这种分解

式将是唯一的，即正整数N （N ＞1）可以唯一表示为12

12m a a a m

N P P P =⋅⋅⋅ 其中，P 1，P 2，…，P m 为质数，且P 1＜P 2＜…＜P m ，a 1，a 2，…，a m 为正整数.

5．对于正整数N 的质因数标准分解式12

12m a a a m

N P P P =⋅⋅⋅ 根据乘法原理，它的正约数个数为（1＋a 1）（1＋a 2）…（1＋a m ）．它的所有约数之和为

()()()()

12

11221+++1+++1+++m a a a m m

S N P P P P P P =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 121

11

1212111=111

m m m p p p p p p ααα+++---⋅⋅⋅---. 而且仅当N 为平方数时，它的正约数个数为奇数.

例1 用正反向的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为x （cm ）规格的地砖，恰用n 块；若选用边长为y （cm ）规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块.已知x 、y 、n 都是正整数，且(),1x y =.试问：这块地有多少平方米？

解析 设这块地的面积为S ，则()22=124S nx n y =+，得()222124n x y y -=.

()()222,1,1x y x y x y y >=∴-=，，得()22124x y -. 31,1;x y x y +=⎧⎨

-=⎩或231,

2.x y x y +=⨯⎧⎨-=⎩

解之得16,15x y ==，此时2

2

2

124900y n x y ==-. 故这块地的面积为()()222290016230400cm =23.04m S nx ==⨯=.

点评 虽然同一块地有不同的铺法，但是这块地的面积不变，利用面积不变建立x 、y 、n 的等式，寻找解题的突破口.

例2 p 是质数，43p +仍是质数，求53p +的值.

解析 ∵p 是质数，∴433p +>

又3p +为质数，∴43p +必为奇数，∴4p 必为偶数，∴p 必为偶数. 又∵p 是质数， ∴=2p . ∴553=23=35p ++. 点评 本题利用了2是唯一的偶质数这一性质.

例3 已知正整数p 和q 都是质数，且7p q +与11pq +也都是质数，试求q p p q +的值.

解析 1111pq +>且11pq +是质数，∴11pq +必为正奇质数，pq 为偶数，而p 、q 均为质数，故2p =或2q =.

当2p =时，有14q +与211q +均为质数.当()312q k k =+≥时，则()1435q k +=+不是质数； 当()32N q k k =+∈时，()211=325q k ++不是质数，因此，3q k =，且q 为质数，故3q =.

当2q =时，有7p q +与211p +均为质数.当()312p k k =+≥时，()72=373p k ++不是质数；当

()32N p k k =+∈时，()211325p k +=+不是质数，因此，3p k =，当p 为质数，故=3p .

故322317q p p q +=+=.

点评 在所有质数中2时唯一的偶质数，可知11pq +是奇质数，pq 是偶数，进而可求p 或q ，最终达到求

例4 已知p 和281p +都是质数，求证：282p p -+也是质数.

解析 先研究p 和281p +都是质数时，p 应满足的条件可先从最小的质数开始考察. 证明：若2p =，则28133p +=是合数； 若3p =，则28173p +=是质数； 若5p =，则281201p +=是合数； 若7p =，则281393p +=是合数；

由此猜测：当p 为大于3的质数时，281p +为合数.下面对这一猜测给出证明.

若3p >，把p 按3除的余数可分为()31,3,31N k k k k -+∈三类.由于p 时质数，所以，p 只能为形如31k ±的数，则()()2

22818311324163p k k k +=±+=±+.

显然，281p +是合数. 因此，满足条件的3p =.

故当3p =时，282=71p p -+是质数.

点评 本例的证明是由具体数字着手讨论的，这种“归纳——猜想——证明”的方法在以后的学习中要经常用到.

例5 若n 为自然数，3n +与7n +都是质数，求n 除以3所得的余数. 解析 我们知道n 除以3的余数只能为0、1、2三种.

若余数为0，即3n k =（k 是一个非负整数，下同），则()33331n k k +=+=+，所以33n +，又33n ≠+，故3n +不是质数，与题设矛盾.

若余数为2，即32n k =+，则()732733n k k +=++=+，故37,7n n ++不是质数，与题设矛盾.所以n 除以3所得的余数只能为1.

点评 一个整数除以m 以后，余数可能为0，1，…，1m -，共m 个，将整数按除以m 所得的余数分类，可以分成m 类.如2m =时，余数只能为0与1，因此可以分为两类，一类是除以2余数为0的整数，即偶数；另一类是除以2余数为1的整数，即奇数.同样，3m =时，就可以将整数分为三类，即除以3余数分别为0、1、2这样的三类.通过余数是否相同来分类是一种重要的思想方法，有着广泛的应用.

例6 把一个两位质数接写在另一个与它不同的两位质数的右边，得到一个四位数.已知这个四位数恰能被这两个质数之和的一半整除，试求出所有这样的四位数.

解析 设,x ab y cd ==均为两位质数，且x y ≠，依题意，四位数100,100abcd ab cd x y =+=+，能被2

x y +整除，则1002

x y

x y m ++=⋅

（m 为正整数），即()()1982x m x y =-+.