总体与样本

一、总体与样本

1.总体、个体

在数理统计学中，我们把所研究的全部元素组成的集合称为总体；而把组成总体的每个元素称为个体。

例如：在研究某批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体就组成了总体，而其中每个灯泡就是个体；在研究我校男大学生的身高和体重的分布情况时，该校的全体男大学生组成了总体，而每个男大学生就是个体。

但对于具体问题，由于我们关心的不是每个个体的种种具体特性，而仅仅是它的某一项或几项数量指标X(可以是向量)和该数量指标X在总体的分布情况。在上述例子中X是表示灯泡的寿命或男大学生的身高和体重。在试验中，抽取了若干个个体就观察到了X的这样或那样的数值，因而这个数量指标X是一个随机变量（或向量），而X的分布就完全描写了总体中我们所关心的那个数量指标的分布状况。由于我们关心的正是这个数量指标，因此我们以后就把总体和数量指标X可能取值的全体组成的集合等同起来。

定义1：把研究对象的全体（通常为数量指标X可能取值的全体组成的集合）称为总体；总体中的每个元素称为个体。

我们对总体的研究，就是对相应的随机变量X的分布的研究，所谓总体的分布也就是数量指标X的分布，因此，X的分布函数和数字特征分别称为总体的分布函数和数字特征。今后将不区分总体与相应的随机变量，笼统称为总体X。根据总体中所包括个体的总数，将总体分为：有限总体和无限总体。

例1：考察一块试验田中小麦穗的重量：

X=所有小麦穗重量的全体（无限总体）；个体——每个麦穗重x

对应的分布：

+∞

<<σμσ

π=

≤=≤ξ=⎰∞

-σ

μ--x N dt e x 重量x P x F x

t 0)

,(~21

}{)(2

2)(22

总麦穗数

的麦穗数

例2：考察一位射手的射击情况：

X

=此射手反复地无限次射下去所有射击结果全体；

每次射击结果都是一个个体（对应于靶上的一点）

个体数量化⎩⎨⎧=未中

射中0

1

x

1在总体中的比例p 为命中率 0在总体中的比例p

-

1为非命中率

总体X 由无数个0，1构成，其分布为两点分布),

1(p B

p

X P p X P -====1}0{,}1{

2.样本与样本空间

为了对总体的分布进行各种研究，就必需对总体进行抽样观察。 抽样——从总体中按照一定的规则抽出一部分个体的行动。

一般地，我们都是从总体中抽取一部分个体进行观察，然后根据观察所得数据来推断总体的性质。按照一定规则从总体X 中抽取的一组个体),,,(21n X X X 称为总体的一个样本，显然，样本为一随机向量。

为了能更多更好的得到总体的信息，需要进行多次重复、独立的抽样观察（一般进行n 次），若对抽样要求①代表性：每个个体被抽到的机会一样，保证了

n

X

X X ,,,21 的分布相同，与总体一样。②独立性：n X X X ,,,21 相互独立。那

么，符合“代表性”和“独立性”要求的样本),,,(21n X X X 称为简单随机样本。易知，对有限总体而言，有放回的随机样本为简单随机样本，无放回的抽样不能保证n X X X ,,,21 的独立性；但对无限总体而言，无放回随机抽样也得到简单随机样本，我们本书则主要研究简单随机样本。