【经典例题】二次函数根的分布
微专题11 二次函数根的分布问题(解析版)
微专题11二次函数根的分布问题
【方法技巧与总结】
1、实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x ⇔21212400
0b ac b x x a c x x a ⎧
⎪∆=->⎪
⎪
+=->⎨⎪
⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔21212400
0b ac b x x a c x x a ⎧
⎪∆=->⎪
⎪
+=-<⎨⎪
⎪=>⎪⎩
（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120c
x x a
=<2、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2b
x a
=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负．
设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表所示．
根的分布
图像
限定条件12
m x x <<02()0
b m a f m ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪⎪>⎩12
x m x <<()0
f m <12x x m
<<0
2()0
b m a f m ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪⎪>⎩
在区间(,)m n 内没有实根
∆<12120x x m x x m
∆==≤=≥或02()0
b m a f m ∆>⎧⎪⎪
二次函数根的分布专题(上课用)
一元二次方程根的分布专题
一．一元二次方程根的基本分布——零分布
设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个不等实根为1x ，2x
①方程有两个不等正根 ⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪
⎪⎨⎧
>=>-=+>-=∆>>00040,02121221a c x x a b x x ac b x x
②方程两根一正一负 ：0021<<
c
x x ，则
③方程有两个不等负根：⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
>=<-=+>-=∆<<00040,0212
1221a c x x a b x x ac b x x 即时应用：
(1)若一元二次方程
0)1(2)1(2
=-++-m x m x m 有两个不等正根，求m 的取值范围。 (2)k 在何范围内取值，一元二次方程0332
=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？
二、一元二次方程的非零分布——k 分布
设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两不等实根为1x ，2x ， k 为常数。则一元二次方程根的k 分1x 2x k
k k
k
即时应用：
(1) 若方程42x +(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则求m 的取值范围.
(2) 方程x 2+2px+1=0有一个根大于1，一个根小于1，求p 的取值范围.
二、典型例题
例1 若一元二次方程03)12(2
=-+-+k x k kx 有一根为零，则另一根是正根还是负根？
例2若方程2(2)40x k x -++=有两负根，求k 的取值范围.
例3..若关于x 的方程2(2)210x k x k +-+-=的两实根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围
中考数学专题讲练 二次函数与根的分布(解析版)
二次函数与根的分布
一．二次函数与x轴交点
1．抛物线与x轴的交点：二次函数2
y ax bx c
=++的图像与x轴的两个交点的横坐标
1
x、
2
x，是对应一元二次方程20
ax bx c
++=的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点⇔0
∆>⇔抛物线与x轴相交；
②有一个交点（顶点在x轴上）⇔0
∆=⇔抛物线与x轴相切；
③没有交点⇔0
∆<⇔抛物线与x轴相离.
2．平行于x轴的直线与抛物线的交点：可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是2
ax bx c k
++=的两个实数根.
3．抛物线与x轴两交点之间的距离．若抛物线2
y ax bx c
=++与x轴两交点为()
1
A x，，
()
2
B x，，由于
1
x、
2
x是方程20
ax bx c
++=的两个根，故
1212
b c
x x x x
a a
+=-⋅=
，：12
AB x x
=-==.
二．二次函数与一元二次方程根的分布问题如下表（以0
a>为例）：
知识精讲
一．考点：二次函数与x 轴交点问题，利用二次函数解决一元二次方程根的分布问题． 二．重难点：
1．二次函数与x 轴交点问题即当0y =时，转化为一元二次方程20ax bx c ++=； 2．在利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时要结合函数图像的性质来分析． 三．易错点：利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时首先确定开口方向，然后再结合函数的增减性，对称轴的位置，函数值等因素最终确定一元二次方程根的分布情况．
二次函数根的分布专题
一元二次方程根的分布专题
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。
一．一元二次方程根的基本分布——零分布
所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。
设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个不等实根为1x ，2x
①方程有两个不等正根 ⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
>=>-=+>-=∆>>00040,0212
1221a c x x a b x x ac b x x ②方程两根一正一负 ：0021<<
c
x x ，则
③方程有两个不等负根：⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
>=<-=+>-=∆<<00040,02121221a c x x a b x x ac b x x
即时应用：
(1)若一元二次方程
0)1(2)1(2
=-++-m x m x m 有两个不等正根，求m 的取值范围。
(2)k 在何范围内取值，一元二次方程0332
=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？
二、一元二次方程的非零分布——k分布
设一元二次方程20(0)
ax bx c a
++=>的两不等实根为1x，2x，k为常数。则一元二次方
k1x2x k
根
的
分
布
①
12
x x k②
12
k x x③
二次函数根的分布专题
二次函数根的分布专题
知识结构图
一．二次函数与轴交点
1．抛物线与轴的交点：二次函数
的图像与轴的两个交点的横坐标
、
，是对应一元二次
方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点抛物线与轴相交； ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； ③没有交点抛物线与轴相离.
2．平行于轴的直线与抛物线的交点：可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.
3．抛物线与轴两交点之间的距离．若抛物线与轴两交点为，，由于、
是方程
的两个根，故
：
.
二．二次函数与一元二次方程根的分布问题如下表（以
为例）：
题模一 根的分布问题 例1.1、求实数的取值范围，使关于
的方程
．
（1）有两个实根，且满足
； （2）至少有一个正根； （3）方程一个根大于而小于
，另一个根大于
而小于
．
判别式
二次函数
的图象
一元二次方程:
的根
有两相异实根
有两相等实根
例1.2、抛物线y=-x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
从上表可知，下列说法正确的个数是（）
①抛物线与x轴的一个交点为（-2，0）；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是x=1；④在对称轴左侧y随x增大而增大．
A、 1
B、 2
C、 3
D、4
例1.3、二次函数y=x2+px+q中，由于二次项系数为1＞0，所以在对称轴左侧，y随x增大而减小，从而得到y越大则x越小，在对称轴右侧，y随x增大而减大，从而得到y越大则x也越大，请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若关于x的方程x2+px+q+1=0的两个实数根是m、n（m＜n），关于x的方程x2+px+q﹣5=0的两个实数根是d、e（d＜e），则m、n、d、e的大小关系是（）
二次函数根的分布
根的分布练习题
例1、已知二次方程()()2
21210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
解：由 ()()2100m f +< 即 ()()2110
m m +-<，从而得112
m -<<即为所求的范围。
例2、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。 解：由
()()0102200m f ∆>⎧⎪-+⎪->⎨⎪>⎪⎩
⇒ ()218010m m m m ⎧+->⎪>-⎨⎪>⎩ ⇒ 3223220m m m ⎧<->+⎪⎨>⎪⎩或 ⇒ 0322m <<-或322m >+即为所求的范围。
例3、已知二次函数()()()2
22433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。
解：由 ()()210m f +< 即 ()()2210m m ++< ⇒ 122
m -<<
即为所求的范围。
例4、已知二次方程()22340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。
解：由题意有方程在区间()0,1上只有一个正根，则()()010f f < ⇒ ()4310m +<
⇒ 13
m <-即为所求范围。 （注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在()0,1内，由0∆=计算检验，均不复合题意，计算量稍大）
二次函数在闭区间上的最值练习
二次函数根的分布
k 0
k9
(k 3) 0
例题：已知方程x2 (k 3)x k 0 求满足下列条件的k的范围？
3、一个正根，一个负根
设f x x2 (k 3)x k，则
0
f
(0)
0
f (0) 0
k 0
0
x1
x2
例题：已知方程x2 (k 3)x k 0 求满足下列条件的k的范围？
7、两根介于0，2之间
设 f x x2 (k 3)x k,则
0
0 b 2 2a f (0) 0
2 3
k
1
f (2) 0
0
x1
2
x2
例题：已知方程x2 (k 3)x k 0
求满足下列条件的k的范围？
7、0，2之间只有一个根
设 f x x2 (k 3)x k,则
f
(0)
f
(1)
0
或0
wenku.baidu.com
-
k2
3
2
0
0 k 1
0
x1
2
x2
练习： 1、若方程x2 (k 3)x k 0 的两根都小于1，求k的取 x1 x2 0
【经典例题】二次函数根的分布
二次函数根的分布
一、知识点
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
一元二次方程
02=++c bx ax 根的分布情况 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
分
布情
况
两个负根即两根都小于0
()120,0x x << 两个正根即两根都大于0
()120,0x x >>
一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<
大致图
象（0
>a ）
得出的结论
()00200b a f ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪>⎪⎩ ()0
0200
b a f ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪>⎪⎩ ()00
大
致图
象（
得出的结论
()00200b a f ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪<⎪⎩ ()0
0200
b a f ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f
综
合结论（不
讨论a
）
()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨
⎪⋅>⎪⎩ ()0
0200
b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨
⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a
表二：（两根与k 的大小比较）
分布情况
两根都小于k 即
k x k x <<21, 两根都大于k 即
k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即
21x k x <<
大致图
象（
>a ）
得出的结论
()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪>⎪⎩ ()0
20
b k a f k ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪>⎪⎩ ()0
大
致图
象（
得出的结论
()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪<⎪⎩ ()0
20
b k a f k ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f
综合结论（不
讨论a ）
()0
20b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨
二次函数根的分布
二次函数根的分布
本文介绍了一元二次方程根的分布情况以及与二次函数在闭区间上的最值归纳。设方程 $ax^2+bx+c$ 的不等两根为
$x_1,x_2$，且 $x_1<x_2$，相应的二次函数为
$f(x)=ax^2+bx+c$，方程的根即为二次函数图象与 $x$ 轴的交点。根的分布情况可归纳为三种情况，每种情况对应的均是充要条件。
第一种情况是两个负根即两根都小于 $0$，或两个正根即
两根都大于 $0$，或一个正根一负根即一个根小于 $0$，一个
大于 $0$。此时，当 $a>0$ 时，$f(x)$ 最小值为
$\frac{\Delta}{4a}$，当 $a<0$ 时，$f(x)$ 最大值为
$\frac{\Delta}{4a}$。
第二种情况是两根与 $k$ 的大小比较，即两根都小于 $k$，或两根都大于$k$，或一个根小于$k$，一个大于$k$。此时，当 $a>0$ 时，$f(k)$ 最小值为 $a(k-x_1)(k-x_2)$，当 $a<0$ 时，$f(k)$ 最大值为 $a(k-x_1)(k-x_2)$。
第三种情况是根在区间上的分布，包括两根都在$(m,n)$ 内，一根在 $(m,n)$ 内，另一根在 $(p,q)$，或两根有且仅有一根在 $(m,n)$ 内。此时，当 $a>0$ 时，$f(x)$ 最小值为 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$，当 $a<0$ 时，$f(x)$ 最大值为 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$。
经典例题二次函数根的分布
二次函数根的分布
一、知识点
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
一元二次方程
02=++c bx ax 根的分布情况 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
分
布情
况
两个负根即两根都小于0
()120,0x x << 两个正根即两根都大于0
()120,0x x >>
一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<
大致图
象（0
>a ）
得出的结论
()00200b a f ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪>⎪⎩ ()0
0200
b a f ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪>⎪⎩ ()00
大
致图
象（
得出的结论
()00200b a f ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪<⎪⎩ ()0
0200b a f ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f
综
合结论（不
讨论a
）
()00200
b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨
⎪⋅>⎪⎩ ()00200
b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨
⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a
表二：（两根与k 的大小比较）
分布情况
两根都小于k 即
k x k x <<21, 两根都大于k 即
k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即
21x k x <<
大致图
象（
>a ）
得出的结论
()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪>⎪⎩ ()0
20
b k a f k ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪>⎪⎩ ()0
大
致图
象（
得出的结论
()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪<⎪⎩ ()0
20
b k a f k ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f
综合结论（不
讨论a ）
()0
20b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨
二次函数根分布问题
练习3、已知关于x的方程 x2 2mx 2m 1 0; 若方程有且仅有一个正 实根， 求实数m的取值范围
题型三：两根在某个区间中
例题4、已知关于 x的方程 x2 2mx 2m 1 0; 若方程有两个实根， 且都在区间 [0,4)内，求m的取值范围
练习4、已知关于 x的方程2 x2 （ 2 2a 1 ）x a 2 0; 若方程有两个实根， 且都在区间 3与3之间，求实数 a的取值范围
题型四：在某个区间中考虑根的情况
练习5、已知关于x的方程 x2 2ax 2 0; 在区间 [0,4]上至少有一个零点， 求实数a的取值范围
一元二次函数根分布问题
Βιβλιοθήκη Baidu
题型一：两根在两个区间内
例题1、关于x的方程3x2 5x a 0的一个根大于 2且小于0，另一个根 大于1且小于3，求实数a的取值范围
练习 1、已知关于x的方程 x2 2m x 2m 1 0; 若方程有两个根， 其中一个根在区间（ 1,0）内，； 另一根在区间（ 1,2）内，求m的取值范围
例题2、已知关于x的方程 x2 2m x 2m 1 0; 若方程有两个实根， 且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围
经典例题二次函数根的分布(供参考)
二次函数根的分布
一、知识点
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
一元二次方程
02=++c bx ax 根的分布情况 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
表二：（两根与k 的大小比较）
论论
论论
表三：（根在区间上的分布）
二、经典例题
例1：（实根与分布条件）已知βα,
是方程024)12(2
=-+-+m x m x 的两个根，且βα<<2 ，求实数m 的取值范围。
变式：关于x 的方程012)1(2
2
=-+-mx x m 的两个根，一个小于0，一个大于1，求m 的取值范围。
例2：（动轴定区间）函数32)(2
--=ax x x f 在区间[]2,1上是单调函数，则a 的取值范围
是？
变式2：函数32)(2
+-=kx x x f 在[]+∞-,1上是增函数，求实数k 的取值范围。
列3：（定轴动区间）求函数12)(2
--=ax x x f 在[]2,0上的值域。
变式3：已知函数2244)(2
2
+-+-=a a ax x x f 在区间[]2,0上有最小值3，求实数a 的取
值范围。
例4：（定轴动区间）已知二次函数32)(2
--=x x x f ，若)(x f 在[]1,+t t 上的最小值为
)(t g ，求)(t g 的表达式。
变式4：已知二次函数)(x f 满足)1()1(x f x f -=+，且1)1(,0)0(==f f ，若)(x f 在区间[]n m ,上的值域是[]n m ,，求n m ,的值。
例5：（恒成立问题）已知函数1)(2
-+=mx x x f ，若对于任意[]1,+∈m m x ，都有0
二次函数根的分布总结练习
二次函数根的分布总结练习(共3页)
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二次函数根的分布
一、简单的三种类型
利用Δ与韦达定理研究)0(02≠=++a c bx ax 的根的分布
（1）方程有两个正根⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪
⎪⎨⎧
>=>-=+≥-=∆⇔000421212a c x x a b x x ac b
（2）方程有两个负根⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪
⎪⎨⎧
>=<-=+≥-=∆⇔000421212a c x x a b x x ac b
（3）方程有一正一负根0<⇔
a
c
例1.若一元二次方程0)1(2)1(2
=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。
例2.k 在何范围内取值，一元二次方程0332
=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？
二、其它几种类型
借助函数图像研究)0(02≠=++a c bx ax 的根的分布
设一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两实根为1x ，2x ，且12x x ≤。k 为常数。则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干类型：
（1）⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
>->≥-=∆⇔≤<k a
b k af a
c b x x k 20)(04221【图例】
解析：发现无论开口向上或向下，)(k f 与a 的值都是同号的.
例3.若方程42x +(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则求m 的取值范围.
（2）⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
<->≥-=∆⇔<≤k a
专题二次函数根的分布问题、含参数一元二次不等式(解析版)
专题09 二次函数根的分布问题、含参数一元二次不等式
【考点预测】
1、实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系 （1）方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧
⎪∆=->⎪
⎪
+=->⎨⎪
⎪=>⎪⎩
（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧
⎪∆=->⎪
⎪
+=-<⎨⎪
⎪=>⎪⎩
（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120c
x x a
=< 2、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑： （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2b
x a
=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负．
设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表所示． 根的分布
图像
限定条件
12m x x <<
2()0
b m a f m ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪⎪>⎩ 12x m x <<
()0f m <
12x x m <<
02()0
b m a f m ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪⎪>⎩ 在区间(,)m n 内 没有实根
0∆<
12120x x m x x m
∆==≤=≥或
02()0
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【经典例题】二次函数根的分布
二次函数根的分布
一、知识点
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
一元二次方程
02=++c bx ax 根的分布情况 分
布情况
两个负根即两根都小于0 ()1
2
0,0x x <<
两个正根即两根都大于0 ()1
2
0,0x x >>
一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()1
2
0x x <<
大致图
象（0
>a ）
得出的
结论 ()00200
b a f ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪>⎪⎩
()0
0200
b a f ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪>⎪⎩ ()0