勾股定理及其逆定理讲义附答案

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勾股定理及其逆定理,经典过关题及练习题(含答案)

B A

勾股定理及其逆定理（讲义）

一、知识点睛

1. 11-19的平方：

_______________________________________________________________________________________________________．

2. 勾股定理：

_______________________________________________________________________________________________________． 3. 勾股定理的验证：

4. 勾股定理逆定理：

_______________________________________________________________________________________________________．

5. 勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．常见勾股数有

______________；______________；_______________；________________；________________；_________________．

二、精讲精练

1. 一个直角三角形两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）

A ．斜边长为25

B ．三角形的周长为25

C ．斜边长为5

D ．三角形的面积为20

2. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，若BC =8，AB =17，则AC 的长

是________．

勾股定理及其逆定理(人教版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题

问题1：勾股定理的内容是什么？

问题2：勾股定理逆定理的内容是什么？

问题3：通过回忆勾股定理和勾股定理逆定理的内容，考虑勾股定理和勾股定理逆定理的使用前提分别是什么？

问题4：0.3，0.4，0.5是不是一组勾股数？勾股数的定义是什么？

以下是问题及答案，请对比参考:

问题1：勾股定理的内容是什么？

答：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b，c分别来表示直角三角形的两直角边和斜边，那么．

问题2：勾股定理逆定理的内容是什么？

答：如果三角形三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形．

问题3：通过回忆勾股定理和勾股定理逆定理的内容，考虑勾股定理和勾股定理逆定理的使用前提分别是什么？

答：使用勾股定理的前提是已知三角形是直角三角形；勾股定理逆定理使用前提是在知道三角形三边关系后，证明三角形是直角三角形．

问题4：0.3，0.4，0.5是不是一组勾股数？勾股数的定义是什么？

答：0.3，0.4，0.5不是一组勾股数．

勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数．

0.3，0.4，0.5满足，但不是正整数，所以不是一组勾股数．

勾股定理及其逆定理（人教版）

一、单选题(共9道，每道10分)

1.三角形的三边，，满足，则三角形的形状是( )

A.等腰三角形

B.等边三角形

C.直角三角形

D.等腰直角三角形

答案：C

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：勾股定理的逆定理

2.将一个直角三角形的各边都扩大或缩小相同的倍数后，得到的三角形为( )

A.可能为锐角三角形

B.不可能是直角三角形

C.仍然是直角三角形

完整版勾股定理典型例题详解及练习附答案

典型例题

知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理

例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有 AB CD EF GH 四条线段, 其中能构成

一个直角三角形三边的线段是（ B. AB 、EF 、 D. AB 、

1） sa 倾 2）解題患跖解答过程=屮

在gJ^EAF 中.Arm, AE=3,根据勾股定理，得

EF = Q 苗十上尸'* =品+F =

同理 AE = 2忑、CrjV= ^/13| ID = 2爲©

计算发现（心r （2罷¥ =（届厂即血U E 严=閒士，根据勾股定理的逆左理得到l^ADs ET, GH 为辺的三角形是直®三垢形•故选 B.屮

解題后ffi 思专.*

L 勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角形°

因此5解题时一定更认真分析题目所给条皆，看是否可用匈股定理来解口： 2. 在运用勾股定理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为 “匚"就是斜迫而“固执”地运用公式二/十迁其冥，同样是厶, 丄C 不—定就等于g （K 疋不一定就是斜过，AA3C 不一定就是直®三® 孰*

)

CD EF

A. CD 、EF 、GH C. AB 、CD GH +J

本题考查幻股定理及勾股宦理的逆定理.4 可利用勾般定理直接求出各边长，再e 行判斷.4

3. 直角三角形的判定条件与勾股定理是S 逆的・区别在于勾股定理的运用是一个从'「形''（一个三角形是直角三角形）到嘟（十沪）的过程，而直甬三«形的利定是一个从懺段【一个三角影的三辺S 足匚2 =亍+色询条件）到“形-1这个三甬形是直角三角形）的过程.4

初中数学勾股定理经典例题(含答案)复习讲义

经典例题透析

类型一：勾股定理的直接用法

1、在Rt△ABC中，∠C=90°

(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.

【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?

类型二：勾股定理的构造应用

2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.

举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：

【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。

类型三：勾股定理的实际应用

（一）用勾股定理求两点之间的距离问题

3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了

到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。

（1）求A、C两点之间的距离。

（2）确定目的地C在营地A的什么方向。

【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某

工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

（二）用勾股定理求最短问题

4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、

B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．

【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂

蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

《勾股定理》勾股定理的逆定理(含答案)

第3章《勾股定理》： 3.2 勾股定理的逆定理

填空题

1．你听说过亡羊补牢的故事吗如图，为了防止羊的再次丢次，小明爸爸要在高0.9m，宽 1.2m的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板，这条木板需 m 长．

（第1题）（第2题）（第3题）2．如图，将一根长24cm的筷子，底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的最小值是 cm．

3．如图所示的一只玻璃杯，最高为8cm，将一根筷子插入其中，杯外最长4厘米，最短2厘米，那么这只玻璃杯的内径是厘米．

4．如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯米．

（第4题）（第5题）（第6题）

5．如图所示的圆柱体中底面圆的半径是错误!，高为2，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是．（结果保留根号）

6．如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC 的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是 m．（结果不取近似值）7．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=2m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）

勾股定理典型例题详解及练习(附答案)

典型例题

知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理

例1：如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）

A. CD、EF、GH

B. AB、EF、GH

C. AB、CD、GH

D. AB、CD、EF

勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。

方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解

决问题等。

例3：一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。

清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。”

“是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！”

“但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。

张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？”

占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角

形。”

“勾股定理一定是要用的，而且不动笔墨恐怕是不行的。”绣亚补充说。几位男孩子走进教室，画图、计算，不一会就得出了答案。同学们，你算

出来了吗？

思路分析：

1）题意分析：本题考查勾股定理的应用

2）解题思路：本题关键是认真审题抓住问题的本质进行分析才能得出正确

初中数学勾股定理(讲义及答案)及答案

一、选择题

1．如图，ABC 是等边三角形，点D ．E 分别为边BC ．AC 上的点，且CD AE =，点F 是BE 和AD 的交点，BG AD ⊥，垂足为点G ，已知75∠=︒BEC ，1FG =，则2AB 为（）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

2．如图，等边ABC ∆的边长为1cm ，D ，E 分别是AB ，AC 上的两点，将ADE ∆沿直线DE 折叠，点A 落在点'A 处，且点'A 在ABC ∆外部，则阴影部分图形的周长为（）

A ．1cm

B ．1.5cm

C ．2cm

D ．3cm

3．如图，在ABC 中，90A ∠=︒，6AB =，8AC =，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ，过点O 作⊥OD AB 于点D ，若则AD 的长为( )

A ．2

B ．2

C ．3

D ．4

4．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上的一动点，则DN+MN 的最小值是（）

A ．8

B ．9

C ．10

D ．12

5．在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的点A （0，﹣2）、点B （3m ，4m +1）（m ≠﹣1），点C （6，2），则对角线BD 的最小值是（）

A ．2

B ．13

C ．5

D ．6

6．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈=10尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是（）

A ．5.3尺

B ．6.8尺

C ．4.7尺

D ．3.2尺 7．在△ABC 中，AB =10，BC =12，BC 边上的中线AD =8，则△ABC 边AB 上的高为（）

数学勾股定理(讲义及答案)附解析

一、选择题

1．图中不能证明勾股定理的是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

2．如图：在△ABC 中，∠B=45°，D 是AB 边上一点，连接CD ，过A 作AF ⊥CD 交CD 于G ，交BC 于点F ．已知AC=CD ，CG=3，DG=1，则下列结论正确的是（）

①∠ACD=2∠FAB ②27ACD S ∆=③272CF =- ④ AC=AF

A ．①②③

B ．①②③④

C ．②③④

D ．①③④

3．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为( )

A ．121

B ．110

C ．100

D ．90 4．在ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，12AB =，则AC =（）

A ．6

B ．12

C ．62

D ．63

5．ABC 三边长为a 、b 、c ，则下列条件能判断ABC 是直角三角形的是（） A ．a ＝7，b ＝8，c ＝10 B ．a ＝41，b ＝4，c ＝5 C ．a ＝3，b ＝2，c ＝5

D ．a ＝3，b ＝4，c ＝6

6．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)( )

第3章《勾股定理》： 3.2 勾股定理的逆定理(含答案)

第3章《勾股定理》：3.2 勾股定理的逆定理

解答题

1．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？

1．

2．如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．

3．一架梯子AB长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7米．

（1）这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？

4．为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25km，CA=15km，DB=10km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？

5．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．

6．小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先将旗杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米，你能帮它计算一下旗杆的高度．

7．如图，公路AB和公路CD在点P处交会，且∠APC=45°，点Q处有一所小学，PQ=120 2 m，

8．有一根竹竿，不知道它有多长．把竹竿横放在一扇门前，竹竿长比门宽多4尺；把竹竿竖放在这扇门前，竹竿长比门的高度多2尺；把竹竿斜放，竹竿长正好和门的对角线等长．问竹竿长几尺？

人教版八年级数学讲义勾股定理逆定理(含解析)(2020年最新)

年份： 2016
【练习 5.1 】
判断由下列各组线段 a、b、c 的长，能组成什么三角形，试说明理由． a=3K，b=3K，c=3 K．
【答案】直角三角形
【解析】根据如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形就
是直角三角形进行分析即可．解：直角三角形， ∵ a2+b2=（3K）2+（3K） 2=18K2， c2=（3 K） 2=18K2， ∴ a2+b2=c2， ∴三角形是直角三角形．讲解用时： 3 分钟解题思路：此题主要考查了勾股定理逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．教学建议：熟练应用勾股定理的逆定理判断直角三角形 . 难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份： 2018
∴ a、 b、 c 为勾股数．讲解用时： 4 分钟解题思路：本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是
正整数，同时还需验证两小边的平方和等于最长边的平方．注意本题答案不唯一．
教学建议：掌握基本的勾股数组并学会探究勾股数是规律 . 难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：溧阳市期中
ห้องสมุดไป่ตู้
【答案】 D
【解析】根据已知先判定其形状，再根据三角形的面积公式求得其高．

中考总复习：勾股定理及其逆定理--知识讲解(基础)

中考总复习：勾股定理及其逆定理（基础）

【考纲要求】

1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；

2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；

3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题；

4.加强知识间的内在联系，用方程思想解决几何问题．以体现代数与几何之间的内在联系．【知识网络】

【考点梳理】

考点一、勾股定理 1.勾股定理：

直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：2

a b c +=）

【要点诠释】勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方. 2.勾股定理的证明：

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法. 用拼图的方法验证勾股定理的思路是：

①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变； ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理. 3.勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边,在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b +，22b c a -，22a c b =-；

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系； ③可运用勾股定理解决一些实际问题. 考点二、勾股定理的逆定理

1.原命题与逆命题

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.

勾股定理(讲义及答案)含答案

一、选择题

1．如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC =∠DAE =90°，AB =AC ，AD =AE ，点C ，D ，E 在同一条直线上，连接B ，D 和B ，E ．下列四个结论：

①BD =CE ，

②BD ⊥CE ，

③∠ACE +∠DBC=30°，

④()2222BE AD AB =+．

其中，正确的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3

D ．4 2．△ABC 的三边的长a 、b 、c 满足：2(1)250a b c -+-+-=，则△ABC 的形状为

（）．

A ．等腰三角形

B ．等边三角形

C ．钝角三角形

D ．直角三角形

3．如图，等边ABC ∆的边长为1cm ，D ，E 分别是AB ，AC 上的两点，将ADE ∆沿直线DE 折叠，点A 落在点'A 处，且点'A 在ABC ∆外部，则阴影部分图形的周长为（）

A ．1cm

B ．1.5cm

C ．2cm

D ．3cm 4．已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是（）

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．等腰直角三角形 5．下列四组数中不能构成直角三角形的一组是（）

A ．1，26

B ．3，5，4

C ．5，12，13

D ．3，2136．在ABC 中，,,A B C ∠∠∠的对边分别是a b c 、、，下列条件中，不能说明ABC 是直角三角形的是（）

A ．222b a c =-

B ．;

C A B ∠=∠-∠ C ．::3:4:5A B C ∠∠∠=

D ．::5:12:13a b c =

勾股定理及其逆定理 (习题及答案)

勾股定理及其逆定理（习题）

例题示范

例1：如图，强大的台风使得一棵树在离地面 3m 处折断倒下，树的顶部落在离树的底部 4m 处，这棵树折断之前有多高？

解：如图，由题意，得

AC=3，BC=4，∠ACB=90°

在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，

由勾股定理，得

AC2+BC2=AB2

∴32+42=AB2

∴AB=5 C B

∴AB+AC=5+3=8

答：这棵树折断之前高 8m．

例 2：如图，在△ABC 中，AB=13cm，AC=5cm，BC=12cm．求证：∠C=90°．

C B

证明：如图

在△ABC 中，AB=13，AC=5，BC=12

∵52+122=132

∴AC2+BC2=AB2

∴△ABC 为直角三角形，且∠C=90°．

巩固练习

1.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若BC=8，AB=17，则AC

的长为．

C A

2.已知甲、乙两人从同一地点出发，甲往东走了 12km，乙往南

走了5km，这时甲、乙两人之间的距离为．

3.如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，三个半圆的

面积从小到大依次记为S1，S2，S3，则S1，S2，S3 之间的关系是（）

A．S l+S2>S3 B．S l+S2<S3

C．S1+S2=S3 D．S12+S2 =S3

4.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角

形，若其中最大正方形的边长为 7cm，则正方形A，B，C，

D 的面积之和为cm2．

5.如图 1 是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的

长分别为a 和b，斜边长为c．图 2 是以c 为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．

勾股定理逆定理讲义(经典例题+详解+习题)

b c

三边长为a

90 ADB=︒，

分析：（1）根据AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形，再利用勾股定理求出CD的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．（2）本题应分两种情况进行讨论：①当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；

②当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定

理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的

周长求出．

解：（1）∵BD2+AD2=62+82=102=AB2，

∴△ABD是直角三角形，

∴AD⊥BC，在Rt△ACD中，CD=15，

（2）分两种情况：

①当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD=9，在Rt△ACD中，CD=5，

∴BC=5+9=14

∴△ABC的周长为：15+13+14=42；

②当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD=9，在Rt△ACD中，CD=4，∴BC=9-5=4．∴△ABC的周长为：15+13+4=32∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32

例6：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=1

BC，求证：AF

⊥EF．

思路点拨：要证AF⊥EF，需证△AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定性，只要证出AF2+EF2=AF2就可以了．

基础练习：

若△ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定△ABC的形状．

人教版八年级数学勾股定理逆定理讲义 (含解析)

第17讲勾股定理逆定理

知识定位

讲解用时：3分钟

A、适用范围：人教版初二，基础一般；

B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习勾股定理的逆定理。它是初中几何中及其重要的一个定理，是今后判断某三角形是直角三角形的证明方法之一，有着广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想，因此本节内容至关重要。

知识梳理

讲解用时：20分钟

勾股定理逆定理

1.勾股定理：

如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2.

2.勾股定理逆定理：

如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，

且边c所对的角为直角.

勾股定理与勾股定理逆定理是互逆的关系

3.定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理.

4.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫

做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.（例：勾股定理与勾股定理逆定理）

5.勾股数：勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数.

熟记几组常见的勾股数：（3，4，5）、（6，8，10）、（5，12，13）

（7，24，25）、（9、40、41）等等.

注意：一组勾股数同时扩大或缩小相应的倍数，仍满足勾股定理的逆定理.

课堂精讲精练

【例题1】

在以下列三个数为边长的三角形中，不能组成直角三角形的是（）

A．4、7、9 B．5、12、13 C．6、8、10 D．7、24、25

【答案】A

【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．

解：A、42+72≠92，故不是直角三角形，故此选项符合题意；

数学勾股定理(讲义及答案)附解析

一、选择题

1．如图，在Rt ABC 中，90BAC ︒∠=，以Rt ABC 的三边为边分别向外作等边三角形'A BC ，'AB C △，'ABC △，若'A BC ，'AB C △的面积分别是10和4，则'ABC △的面积是( )

A ．4

B ．6

C ．8

D ．9

2．如图，等腰直角三角形纸片ABC 中，∠C=90°，把纸片沿EF 对折后，点A 恰好落在BC 上的点D 处，若CE=1，AB=42，则下列结论一定正确的个数是（）

①BC=2CD ；②BD>CE ；③∠CED+∠DFB=2∠EDF ；④△DCE 与△BDF 的周长相等； A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 3．以线段a 、b 、c 的长为边长能构成直角三角形的是（） A ．a =3，b=4，c=6

B ．a =1，b=2，c=3

C ．a =5，b=6，c=8

D ．a =3，b=2，c=5

4．ABC 三边长为a 、b 、c ，则下列条件能判断ABC 是直角三角形的是（） A ．a ＝7，b ＝8，c ＝10

B ．a ＝41，b ＝4，c ＝5

C ．a ＝3，b ＝2，c ＝5

D ．a ＝3，b ＝4，c ＝6

5．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角

形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若

)21a b +=（，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6 6．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）

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