勾股定理及其逆定理讲义附答案

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勾股定理及其逆定理(人教版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：勾股定理的内容是什么？问题2：勾股定理逆定理的内容是什么？问题3：通过回忆勾股定理和勾股定理逆定理的内容，考虑勾股定理和勾股定理逆定理的使用前提分别是什么？问题4：0.3，0.4，0.5是不是一组勾股数？勾股数的定义是什么？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：勾股定理的内容是什么？答：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b，c分别来表示直角三角形的两直角边和斜边，那么．问题2：勾股定理逆定理的内容是什么？答：如果三角形三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形．问题3：通过回忆勾股定理和勾股定理逆定理的内容，考虑勾股定理和勾股定理逆定理的使用前提分别是什么？答：使用勾股定理的前提是已知三角形是直角三角形；勾股定理逆定理使用前提是在知道三角形三边关系后，证明三角形是直角三角形．问题4：0.3，0.4，0.5是不是一组勾股数？勾股数的定义是什么？答：0.3，0.4，0.5不是一组勾股数．勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数．0.3，0.4，0.5满足，但不是正整数，所以不是一组勾股数．勾股定理及其逆定理（人教版）一、单选题(共9道，每道10分)1.三角形的三边，，满足，则三角形的形状是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理的逆定理2.将一个直角三角形的各边都扩大或缩小相同的倍数后，得到的三角形为( )A.可能为锐角三角形B.不可能是直角三角形C.仍然是直角三角形D.可能是钝角三角形答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理的逆定理3.下列长度的三条线段：①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④；⑤（为正整数，且），其中可以构成直角三角形的有( )A.①②③④⑤B.①②④⑤C.①②④D.①②答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股数4.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB 的长度为( )A.5B.6C.7D.25答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理5.等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为( )A.6B.C. D.5答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三线合一6.如图，直线上有三个正方形A，B，C，若A，C的边长分别为3和4，则正方形B的面积为( )A.5B.25C.24D.无法确定答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图7.如图，以第①个等腰直角三角形的斜边长作为第②个等腰直角三角形的腰，以第②个等腰直角三角形的斜边长作为第③个等腰直角三角形的腰，依此类推，若第⑨个等腰直角三角形的斜边长为厘米，则第①个等腰直角三角形的斜边长为( )厘米．A.1B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理8.一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( )A.5B.C. D.5或答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理9.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=3，以斜边AC为边作正方形ACDE，连接BE，则BE的长是( )A.5B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图二、填空题(共1道，每道10分)10.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，且∠B=90°．则四边形ABCD的面积为____．答案：36解题思路：试题难度：知识点：勾股定理的应用。

《勾股定理》勾股定理的逆定理(含答案)精讲

第3章《勾股定理》3.2勾股定理的逆定理填空题1.你听说过亡羊补牢的故事吗如图，为了防止羊的再次丢次，小明爸爸要在高0.9m ，宽1.2m 的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板，这条木板需 _m（第3题）2. 如图，将一根长24cm 的筷子，底面直径为5cm 高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为 h cm ,则h 的最小值是3. 如图所示的一只玻璃杯，最高为 8cm 将一根筷子插入其中，杯外最长 4厘米，最短2厘米，那么这只玻璃杯的内径是 _____________ 厘米.4 .如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达 8米高的路灯.当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了 B'处，下滑后，两次梯脚间的距离为 2 米，则梯顶离路灯 _________________ 米.（第 5 题）5 .如图所示的圆柱体中底面圆的半径是错误！，高为2,若沿着圆柱体的侧面爬行到 C 点，则小虫爬行的最短路程是号）6. 如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为 6m 的正三角形ABC 粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达 P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m .（结果不取近似值）7. 如图，这是一个供滑板爱好者使用的 U 型池，该U 型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为 4m 的半圆，其边缘AB=CD=20,点E 在CD 上, CE=2m 一滑板爱好者从A 点滑到E 点，则他滑行的最短距离约为—d .（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）（第 2 题）cm （第 6 题）只小虫从A 点出发______ .（结果保留根CACJ（第 8 题）（第 9 题）8. 如图，有一圆柱，其高为12cm 底面半径为3cm 在圆柱下底面A 点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B 处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为 cm .（ n 取3） 9. 一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长 10. 如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是 2米、0.3米、0.2 米, A, B 是这个台阶上两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是米. c（第10题） 11.在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块, 它的棱长和场地宽AD 平行且＞ AD 木块的正视图是边长为0.2米的正方形，只蚂蚁从点A 处，到达C 处需要走的最短路程是 __________ 12 .如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为和B 是这个台阶的两个相对端点，A 点上有一只蚂蚁想到则它所走的最短路线长度是 ______________________________ 寸. 13 .观察下列一组数： 3、4、5,猜想：32=4+5; 13,猜想： 25,猜想：（第 12 题）米.（精确到0.01米） 7寸、5寸和3寸，A B 点去吃可口的食物，列举列举列举 5、12、 7、24、 52=12+13; 72=24+25; 列举：请你分析上述数据的规律，解答题 14.如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连接PA,PB,PC,以BP 为边作/ PBQ=60 , 且BQ=BP 连接CQ （1）观察并猜想AP 与CC 之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若PA PB: PC=3 4: 5,连接PQ 试判断△ PQC 勺形状，并说明理由.13b 、 c ,猜想: 132=b+c ；结合相关知识求得 b= ,c=15.如图，点0是等边△ ABC内一点.将△ BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ ADC 连接0D 已知/ AOB=110 .(1)求证：△ COD是等边三角形；(2)当a =150°时，试判断^ AOD勺形状，并说明理由；(3)探究：C16 .先请阅读下列题目和解答过程：“已知a、b、c为^ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断^ ABC的形状. 解：•••a2c2-b2c2=a4-b4①•••C2 (a2-b2) = (a'+b2) (a2-b2)②•••cF+b2③•••△ ABC是直角三角形.”④请解答下列问题：(1)上列解答过程，从第几步到第几步出现错误？(2)简要分析出现错误的原因；(3)写出正确的解答过程.17.如图，四边形ABCD中，AD=3 AB=4 BC=12 CD=13 / BAD=90 ,(1)试说明：BDIBC(2)计算四边形ABCD勺面积.a为多少度时，△ AOD是等腰三角形.当18.如图，△ ACWAECD都是等腰直角三角形，A , C, D 三点在同一直线上，连接BDAE 并延长AE 交BD 于 F . (1) 求证：△ ACE^A BCD(2) 直线AE 与BD 互相垂直吗？请证明你的结论.19 .请阅读下列解题过程：已知a 、b 、c 为^ ABC 的三边，且满足a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4，试判断△ ABC 的形状. 解：°.°a 2C 2-b 2C'=a 4-b 4， A•••c 2 (a 2-b ^) = (a 2+b 2) (a 2-b 2)，B•••c F +b ］，C•••△ ABC 为直角三角形.D 问： (1)(2) (3) 20.如图所示，四边形 ABCD 中，AB=3cmAD=4cmBC=13cmCD=12cm /A=90，求四边形ABCD 勺面积.a= __________ ，b= __________ ，c= _________ ；(2)猜想：以a ，b ，c 为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想.在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误:错误的原因是___________; 本题正确的结论是：___________ .21.张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表:922.如图，在△ ABC中, CDIAB 于 D, AC=4 BC=3 DB=.5(1) 求CD AD 的值；(2) 判断△ ABC 的形状，并说明理由.23.有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m 8m 现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以 8m 为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.24 .如图，小明用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高,的距离为3米，DE 为1.68米，那么这棵树大约有多高？(精确到〜1.732).E(图2,图3备用)已知小明离树0.1 米，V 3B图1图2图3CD25.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？Rni26 •如图，在两面墙之间有一个底端在 A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在 D 点•已知/ BAC=60， / DAE=45，点D 到地面的垂直距离DE=t 误!m 求点B 到地面的垂直距离BC27•如图（1）所示，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5 米,梯子滑动后停在DE 位置上，如图所示，测得BD=0.5 米，求梯子顶端A 下落了多少米？图（1 J28 •如图，铁路上于B ,已知DA=15kmCB=10km 现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E, 使得C 、D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在距A 站多少千米处？29•如图，A 城气象台测得台风中心在 A 城正西方向320km 的B 处，以每小时40km 的速度向北偏东60°的BF 方向移动，距离台风中心200km 的范围内是受台风影响的区域.（1） A 城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A 城受到这次台风影响，那么 A 城遭受这次台风影响有多长时间？KJhiA 、B 两点相距25kmCD 为两村庄，DAI AB 于A, CBI AB30.如下图，在四边形ABCD中,/ B=90 , AB=8 BC=6 CD=24 AD=26 求四边形ABCD 勺面积.答案：填空题1.故答案为：1.5 m考点：勾股定理的应用.专题：应用题.分析：用勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方进行解答.解答：解：由图可知这条木板的长为错误!=错误！=1.5m.点评：本题较简单，只要熟知勾股定理即可.2.故答案为：11cm考点：勾股定理的应用.专题：应用题.分析：筷子如图中所放的方式时，露在杯子外面的长度最小，在杯中的筷子与圆柱形水杯的底面直径和高构成了直角三角形，由勾股定理可求出筷子在水杯中的长度，筷子总长度减去杯子里面的长度即露在外面的长度.解答：解：设杯子底面直径为a，高为b，筷子在杯中的长度为c，根据勾股定理, 得: C2=a2+b2，故：c=错误！=错误！=13cm h=24-13=11cm点评：［本题考查正确运用勾股定理.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.3 .故答案为：6厘米.考点：勾股定理的应用.分析：根据最长4cm，可得筷子长为12cm.那么可得AC长，那么利用勾股定理可得内径.解：根据条件可得筷子长为12厘米.如图AC=10厘米，BC=t误匸错误！= 6厘米.点评：主要考查学生对解直角三角形的应用的掌握情况.4.故答案为：2cm.考点：勾股定理的应用.专题：应用题.分析：根据题意，将梯子下滑的问题转化为直角三角形的问题解答. 解答：解：在直角三角形A0沖，根据勾股定理，得：0B=6m根据题意，得：0B =6+2=8m又•••梯子的长度不变，在Rt△ A OB中，根据勾股定理，得：0A =6m 则AA =8-6=2m.点评：熟练运用勾股定理，注意梯子的长度不变.5.故答案为：2边.考点：平面展开-最短路径问题. 专题：压轴题.分析：先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知.解答：解：圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长.••• AB=n ?错误！=2, CB=2••• AC彳AB2+BC2 =谑=2 边，故答案为：2寸2 .点评：圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长.本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决.6.故答案为：3^/5 m考点：平面展开-最短路径问题.专题：压轴题；转化思想.分析：求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题.根据圆锥的轴截面是边长为6cm的等边三角形可知，展开图是半径是6的半圆.点B是半圆的一个端点，而点P是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点B和P在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离.解：圆锥的底面周长是6n,则6n丿眾：6•••n=180°,即圆锥侧面展开图的圆心角是180度. 则在圆锥侧面展开图中AP=3 AB=6 / BAP=90度.•在圆锥侧面展开图中BP=/32+62 =745 = 3^5 m.故小猫经过的最短距离是3^/5 m.故答案是：3寸5 m.点I仁正确判断小猫经过的路线，把曲面的问题转化为平面的问题是解题的关键. 7.故答案为：22m考点：平面展开-最短路径问题.专题：压轴题.分析：要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果.解答：解：其侧面展开图如图：AD=n R=4冗,AB=CD=20mDE=CD-CE=20-2=18m在Rt△ ADE中, AE吋AD2+DE2 =错误g21.9 〜22m故他滑行的最短距离约为22m点评：U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径为4m的半圆的周长，矩形的长等于AB=CD=20m本题就是把U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决.8.故答案为：15cm考点：平面展开-最短路径问题.专题：压轴题.分析：本题应先把圆柱展开即得其平面展开图，则A，B所在的长方形的长为圆柱的高12cm宽为底面圆周长的一半为n r，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B 的线段长，由勾股定理求得AB的长.解答：解：圆柱展开图为长方形，则A，B所在的长方形的长为圆柱的高12cm宽为底面圆周长的一半为n rem, 蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，由勾股定理得AB=/122+(3 n)2=错误!=错误! = 15cm故蚂蚁经过的最短距离为15cm ( n取3)点评：解答本题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形长和宽的值，然后用勾股定理计算即可.9 .故答案为：10 .考点：平面展开-最短路径问题.分析：根据”两点之间线段最短”，将点A和点B所在的两个面进行展开，展开为矩形，则AB为矩形的对角线，即蚂蚁所行的最短路线为AB.解答：解：将点A和点B所在的两个面展开，A *------ ------则矩形的长和宽分别为6和8，故矩形对角线长AB=/62+82=10，即蚂蚁所行的最短路线长是10.点评：本题的关键是将点A和点B所在的面展开，运用勾股定理求出矩形的对角线.10.故答案为：2.5 .考点：平面展开-最短路径问题;勾股定理.分析：先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答.解：三级台阶平面展开图为长方形，长为2,宽为(0.2+0.3 )X 3,则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：X2=2+[ (0.2+0.3 )X 3]2=2.52，解得X=2.5 .点评：本题用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答.11.故答案为：2.60 .考点：平面展开-最短路径问题.分析：解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答.C解答：解：由题意可知，将木块展开，相当于是AB+2个正方形的宽，•••长为2+0.2 X 2=2.4米；宽为1米. 于是最短路径为：a2.42+12=2.60米. 故答案为：2.60 .点评：本题主要考查两点之间线段最短，有一定的难度，是中档题.12.故答案为：25寸.考点：平面展开-最短路径问题〔分析：根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答.解答：解：将台阶展开矩形，线段 AB 恰好是直角三角形的斜边，两直角边长分别为24寸，7寸，由勾股定理得AB=/72+242 =25寸.点评：本题结合实际，运用两点之间线段最短等知识来解答问题.13.故答案为：b=84, c=85;考点：勾股数.专题：规律型.分析：认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从3开始连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数（2n + 1）2-1的平方是第二、三个数的和；最后得出第 n 组数为（2n+1）, （（―2^ （（2n J +1 ）,由此规律解决问题. 弓解答：在 32 =4+5 中，4=3-21 , 5=3-2+1 52 1 52+I在 52=12+13 中，12^^ , 13^2-则在 13、b 、c 中，=84 , =85 ;点评：认真观察各式的特点，总结规律是解题的关键.解答题14 .考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理.专题：探究型.分析：根据等边三角形的性质利用 SAS 判定△ ABP^ACBQ 从而得到AP=CQ 设 PA=3a PB=4a Pc=5a 由已知可判定△ PBQ 为正三角形从而可得到 pQ=4a 再根据勾股定理判定^ PQC 是直角三角形.解答：解：（1）猜想：AP=CQ证明：•••/ ABP^^PBC=60 , / QBC ：+ PBC=60 ,•••/ ABP2 QBC又 AB=BC BP=BQ•••△ ABP^A CBQ••• AP=CQ(2)由 PA PB: PC=3 4: 5, 可设 PA=3a P B=4a PC=5a 连接PQ), 32-1在△PBC中由于PB=BQ=4a且/ PBQ=60 ,•••△ PBC为正三角形.PQ=4a于是在△ PQC中••• P ^+Q（C=16a2+9a2=25a2=PC•••△ PQC是直角三角形.点评：此题考查学生对等边三角形的性质，直角三角形的判定及全等三角形的判定方法的综合运用.15.考点：等边三角形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理.专题：证明题；压轴题；探究型分析：此题有一定的开放性，要找到变化中的不变量才能有效解决问题.解答：（1）证明：••• CO=CP / OCD=6D ,•••△ COD是等边三角形；（3分）(2)解：当a=150°,即/ BOC=150时，△ AOD是直角三角形.(5分)•••△ BOC^A ADC•••/ ADCh BOC=150 ,又•••△ COD是等边三角形，•••/ ODC=6t),•••/ ADO=90 ,即^ AOD是直角三角形；(7分)(3)解：①要使AO=AD 需/ AODhADOV/ AOD=360 - / AOB/ COD a =360° -110° -60° - a =190° - a / ADOa-60°,--190 - a = a - 60• •• a =125°;②要使OA=OP 需/ OAD/ADOV/ AOD=190 - a，/ ADOa -60°,V/ OAD=180 - (/AOD/ADO =50°,• a -60° =50°• a =110°;③要使OD=AD需/ OADMAOD••• 190° - a =50°• a =140°.综上所述：当a的度数为125°，或110°,或140°时，△ AOD是等腰三角形.（12 分）说明：第（3）小题考生答对1种得（2 分）,答对2种得（4 分）.点评：本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进.试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力.16.考点：勾股定理；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理.专题：阅读型分析：从公式入手，式子的左边提取公因式，式子的右边符合平方差公式，并分解，两边同一个不为零的数，从而得到勾股定理.解答：解：（1）从第②步到第③步出错（写成第“ 2”或“二”等数字都不扣分；另外直接写“第③步”或“到第③步”都算正确），（2分）（2）等号两边不能同除a2-b2，因为它有可能为零.（4分）（3）（从头或直接从第③步写解答过程都行），va2c2-b^c2=a4-b4,•••C2（a〔b；） = （a2+b2）（a2-b2）,移项得：c2（h-b*）- （a2+b2）（a2-b2）=0,得（a上b2）（c2-a2-b2）=0, （5 分）•••a2莎或c2=a2+b l （6 分）•••△ ABC 是直角三角形或等腰三角形.（7分）点评：正确理解勾股定理来验证直角三角形，从公式的角度入手，得出结论从而验证.17 .考点：勾股定理；勾股定理的逆定理.分析：| （1）先根据勾股定理求出BD的长度，然后根据勾股定理的逆定理，即可证明BDIBC （2）根据两个直角三角形的面积即可求解.解答：解：（1）v AD=3 AB=4 / BAD=90，• BD=5又BC=12 CD=13••• BD+BC=CD.•BDIBC（2）四边形ABCD勺面积=△ ABD的面积+△ BCD的面积=6+30=36. 点评：综合运用了勾股定理及其逆定理，是基础知识比较简单.18 .考点：勾股定理的逆定理；直角三角形全等的判定.专题：证明题分析：（1）根据SAS判定△ ACE^A BCD从而得到/ EACM DBC根据角之间的关系可证得AF丄BD（2）互相垂直，只要证明/ AFD=90，从而转化为证明/ EAC# CDB=90即可解答：(1)证明：•••△ ACB^n^ ECD都是等腰直角三角形, ••• AC=BC CE=CD/ ACEMBCD=90 , 在dACEm BCD j / AC = BC 律ACE =/ BCDI CE= CD•••△ ACE^ABCD( SAS；（2；解：直线AE与BD互相垂直，理由为：证明：•••△ ACE^A BCD•••/ EACM DBC又•••/ DBC# CDB=90 ,•••/ EAC# CDB=90 ,•••/ AFD=90 ,••• AF丄BD即直线AE与BD互相垂直.点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定及直角三角形的判定的掌握情况.19.故答案为：（1）第C步（2）等式两边同时除以a2-b2（3）直角三角形或等腰三角形考点：勾股定理的逆定理.专题：阅读型.分析：通过给出的条件化简变形，找出三角形三边的关系，然后再判断三角形的形状. 解答：解：（1）C;（2）方程两边同除以（a2-b2）,因为（a2-b2）的值有可能是0;（3）vc2_（ a找2） = （a2+b2）（a2-b2）.^c2=a2+b2或a2-b2=0va2-b2=0••• a+b=O或a-b=Oa+bM0•••c2=a2+b2或a-b=O•.c2=a2+b2或a=b•该三角形是直角三角形或等腰三角形.点评：本题考查了因式分解和公式变形等内容，变形的目的就是找出三角形三边的关系再判定三角形的形状.20 .考点：勾股定理；勾股定理的逆定理.分析：如图，连接BD由勾股定理求得BD的长度；然后根据勾股定理的逆定理判定△ BDC是直角三角形，则四边形ABCD勺面积二直角△ ABD的面积+直角△ BDC 的面积.解答：解：•••在△ ABD中，AB丄AD AB=3 AD=4BD彳AB2+AD2 =732+42 =5 .在^ BDC中, CD=12 BC=13 BD=5••• 122+52=132，即CD+BD=BC,•••△ BDC是直角三角形，且/ BDC=90，•••S 四边形ABCD=S ABD+S BDC=2AB?A D+BD?C D X 3X 4+1 X 5X 12=36,即四边形ABCD勺面积是36.点评：本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理.注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.21.故答案填：n2-1，2n, n2_考点：勾股定理的逆定理；列代数式.专题：应用题；压轴题.分析：(1)结合表中的数据，观察a, b, c与n之间的关系，可直接写出答案； (2)分别求出a2+b2, c2，比较即可.解答：解：(1)由题意有：n2-1 , 2n, n2+1；(2)猜想为：以a, b, c为边的三角形是直角三角形.证明：••• a=n2-1 , b=2n； c=n2+1• aa+b2= (n* ) 2+ (2n) 2=n4-2n2+1+4n2=n4+2rf+仁(n2+1) 2而c2= (n2+1) 2•••根据勾股定理的逆定理可知以a, b, c为边的三角形是直角三角形.点评：本题需仔细观察表中的数据，找出规律，利用勾股定理的逆定理即可解决问题.22 .考点：勾股定理的逆定理.分析：利用勾股定理求出CD和AD则可，再运用勾股定理的逆定理判定△ ABC是直角三角形.解答：解：(1)v CDIAB且CB=3 BD| ，故△ CDB为直角三角形,•••在 Rt △ CDB 中, CD 勺CB 2-BD 2 =、^32-（2）A ABC 为直角三角形.••• AC+BC=42+32 =25=5 =AB , •••根据勾股定理的逆定理，△ ABC 为直角三角形.点评：本题考查了勾股定理和它的逆定理，题目比较典型，是一个好题目.8023.故答案为：32口或（2Q+4、/5 ） m 或一m .考点：勾股定理的应用；等腰三角形的性质.专题：分类讨论.分析：根据题意画出图形，构造出等腰三角形，根据等腰三角形及直角三角形的性质利用勾股定理解答.解答：解：在 Rt △ ABC 中，/ ACB=90，AC=8 BC=6由勾股定理有：AB=1Q 应分以下三种情况：①如图1,当AB=AD=1Q 寸，••• ACIBDCD=CB=6m•••△ ABD 的周长=1Q+1Q+2X 6=32m②如图2,当AB=BD=1Q 寸,-BC=6m--CD=1Q6=4m,••• AD=4/5 m ， •••△ ABD 的周长=10+10+4/5 = (2Q+祐)m ③如图3,当AB 为底时，设AD=BD=x 贝U CD=x-6,由勾股定理得：AD^82+（x-6）2=x 解得，x=25, 8Q•••△ ABD 的周长为：AD+BD+A 零 m .312~5，在 Rt △ CAD 中, AD 彳A 汽E42-( ¥ 16 ~5 -理由：••• AD =56，BD =5， 5 5 16 _ 9•• AB=AD+BD F +- =5 ,5 5图3点评：本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，在解答此题时要注意分三种情况讨论，不要漏解.24.考点：勾股定理的应用.分析：因为/ CAD=30，贝U AC=2CD再利用勾股定理求得CD的长，再加上DE 的长就求出了树的高度.解答：解：在Rt△ ACD中,/ CAD=30，AD=3设CD=x 贝U AC=2x 由AD+CD=AC，得，32+x2=4x2，x=W =1.732，所以大树高1.732+1.68 ~ 3.4 （米）.点评：此题主要考查了学生利用勾股定理解实际问题的能力.25.考点：勾股定理的应用.分析：根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出.解答：解：如图，E——设大树高为AB=10m 小树高为CD=4rm 过C点作CEIAB于E,贝U EBD（是矩形，连接AC,••• EB=4rm EC=8rm AE=AB-EB=10-4=6，在Rt△ AEC中, AC^AE2+EC2 =错误！=10m故小鸟至少飞行10m点评：本题考查正确运用勾股定理.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.26.考’点：勾股定理的应用.分析：在Rt△ ADE中，运用勾股定理可求出梯子的总长度，在Rt△ ABC中，根据已知条件再次运用勾股定理可求出BC的长.解答：解：在Rt△ DAE中，V/ DAE=45，•••/ ADEM DAE=45 , AE=DE=8 , ••• AD=AE+DE=36me ) 2+(^/8 ) 2=16, ••• AD=4，即梯子的总长为4米.••• AB=AD4.在Rt△ ABC中, V/ BAC=60 ,•••/ ABC=30 ,••• AC=1AB=2,••• B C=A B-AC2=42-2=12,••• BC^12 =2羽m ;•••点B到地面的垂直距离BC=^3 m.点评：本题考查了勾股定理的应用，如何从实际问题中整理出直角三角形并正确运用勾股定理是解决此类题目的关键.27.考点：勾股定理的应用.分析：要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC 和CE的长即可.解答：解：在Rt△ ACB中, A(2=A^-BC2=2.52-1.5 2=4,•AC=2V BD=O.5,•CD=2在Rt△ ECD中, EC=ED-CD=2.52-22=2.25 ,•EC=1.5,•AE=ACEC=2-1.5=O.5 .答：梯子顶端下滑了0.5米.点评：注意此题中梯子的长度是不变的.熟练运用勾股定理.28.考点：勾股定理的应用.分析：根据使得C, D两村到E站的距离相等，需要证明DE=CE再根据△ DAE^A EBC 得出AE=BC=10km解答：解：V使得C, D两村到E站的距离相等.•DE=CEV DAI AB于A, CB! AB于B,•/ A=/ B=9O° ,•AE+AD=DE, BE+BC=EC,•AE+AD=BE+B C| ,设AE=x 贝U BE=AB-AE(25-X ),V DA=15km CB=10km•x2+152= (25-X ) 2+102 ,解得：X=10 ,•AE=10km•••收购站E应建在离A点10km处.点评：本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可.29.考点：勾股定理的应用.专题：应用题.分析：（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BF作垂线，垂足为C, 若AO200则A城不受影响，否则受影响；（2）点A到直线BF的长为200千米的点有两点，分别设为D 6则^ ADG是等腰三角形，由于ACIBF,贝U C 是DG 的中点，在Rt △ ADC 中,解出CD 的长，贝U 可求DG 长，在DG 长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间.解答：解：（1）由A 点向BF 作垂线，垂足为C,在 Rt △ ABC 中,/ ABC=30，AB=320km 贝U AC=160km因为160V 200,所以A 城要受台风影响；AG=200千米.因为DA=AG 所以△ ADG 是等腰三角形，因为ACIBF,所以AC 是 BF 的垂直平分线，CD=Gp在 Rt △ ADC 中, DA=200千米，AC=160千米，由勾股定理得，CD=DA-AC = ^2002-1602=120 千米，贝U DG=2DC=24千米,遭受台风影响的时间是：t=240 -40=6 （小时）.点评：此题主要考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时间的关系等，较为复杂.30 .考点：勾股定理的应用.分析：连接AC ,根据已知条件运用勾股定理逆定理可证△ ABM^^ACD ^直角三角形，然后代入三角形面积公式将两直角三角形的面积求出来，两者面积相加即为四边形ABCD 勺面积.V/ B=90° ,:.△ ABC 为直角三角形，V A^=A^+B(2=82+62=102,V AO 0,••• AC=10，则还有一点G 有在^ ACD中,V AC+CD=100+576=676 AD=2&=676,••• AC+CD=AD,•••△ ACD为直角三角形，且/ ACD=90 ,1 1+S ACD X 6 X 8+3 X 10 X 24=144.• -S 四边形ABCD = S ABc点评：通过作辅助线可将一般的四边形转化为两个直角三角形，使面积的求解过程变得简单.。

第二节勾股定理的逆定理(含答案)...八年级数学学而思

第二节勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长c b a ,,满足,222c b a =+那么这个三角形是直角三角形．勾股定理的逆定理通常用来判断直角三角形或证明线段的垂直关系．对于勾股定理逆定理的证明，我们采用构造全等三角形的证明方法，请大家完成下面的证明过程．如图7-2-1所示，已知△ABC 的三边c b a ,,满足,222c b a =+ 求证：△ABC 是直角三角形，证明：如图7-2-2所示，分别以b a ,为直角边，C ∠为直角构造,ABC Rt ∆则由勾股定理得.222b a AB +=由已知可知,c AB =.90, =∠=∠∴∆≅∆∴C C ABC ABC∴ △ABC 是直角三角形．(1)勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数，勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：;5,4,3 ;13,12,5 ;25,24,7 .17.15.8(2)勾股数组的求法：若c b a ,,为一组勾股数，那么kc kb ka ,,也是一组勾股数（其中k 为正整数）．1.勾股定理逆定理判定三角形形状的方法 (1)先确定最长边，算出最长边的平方． (2)计算另两边的平方和．(3)比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形． 2.利用勾股定理的逆定理求不规则图形的面积的方法(1)作出适当的辅助线将不规则图形分割成面积可求部分及一个三边已知的三角形． (2)利用勾股定理的逆定理证明该三角形为直角三角形． (3)求出该直角三角形的面积进而求出原图形面积． 3.证明线段平方和关系(1)利用平移、旋转、对称等全等变换将需证明的三条线段转移到同一个三角形中． (2)利用角度关系证明该三角形为直角三角形． (3)利用勾股定理得出线段的平方和关系． 4.数形结合解决无理不等式或无理式最值问题(1)将所需表示的无理式表示成勾股数的平方和形式． (2)将表示无理数的线段在平面上适当组合．(3)利用三角形三边关系证明无理数不等式或者两点之间线段最短求出无理式最值．例1．（北京朝阳区校级模拟）如图7-2-3所示，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1．则△ABC 的形状为( ) A.直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．以上答案都不对327-- 427--检测1.如图7-2-4所示，在由单位正方形组成的网格图中标有GH EF CD AB ,,,四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )GH EF CD A ,,. GH EF AB B ,,. GH CD AB C ,,. EF CD AB D ,,.例2．（湖南邵阳县模拟）某片绿地形状如图7-2-5所示，其中=∠⊥⊥A AD CD BC AB ,,,200,60m AB =,100m CD =则AD 的长为 .cm527-- 627--检测2．如图7-2-6所示，在四边形ABCD 中，,1,3,2====AD CD BC AB 且ABC ∠,90=则A ∠的度数为例3．（江苏南京一模）如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A.1倍 B ．2倍 C ．3倍 D.4倍检测3.下列各组式子所表示的线段中，一定能构成直角三角形的有);1(1,4,1>+-k k k k ①3,2,1+++m m m ②（m是正整数）；;)2(,3,222k k k ③).1(1,2,122>+-m m m m ④例4．（陕西咸阳一模）若,02510)13(1222=+-+-+-x z y x 以z y x ,,为三边长的三角形是( )A.等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形检测4.已知△ABC 的三边为,,,c b a 且,1,4==+ab b a ,14=c 则△ABC 是( )A.等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形例5．在△ABC 中，,,,c AB b AC a BC ===设c 为最长边，当222c b a =+时，△ABC 是直角三角形；当222c b a =/+时，利用代数式22b a +和2c 的大小关系，探究△ABC 的形状（按角分类）．猜想，当22b a +2c 时，△ABC 为锐角三角形；当22b a +2c 时，△ABC 为钝角三角形（选填”“<>,)．检测5.判断当c b a ,4,2==为最长边时，△ABC 的形状，并求出对应的c 的取值范围，第二节勾股定理的逆定理(建议用时30分钟)实战演练1．下面四组线段中，能组成直角三角形的是( )51,41,31.A 5,1,3.B 9,8,7.C 25,24,7.D c b a ,,.2是△ABC 的三边，在;81,80,9===c b a ①;17,15,8===c b a ②3::=c b a ③⋅54：： .61,60,13===c b a ④上述四个说法中，能判断△ABC 是直角三角形的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形如选项所示，其中正确的是( )4．（江苏南京中考）下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是( )4,4,3.A 5,4,3.B 6,4,3.C 7,4,3.D5．在锐角三角形中，已知某两边,3,1==b a 那么第三边的变化范围是( )．42.<<c A 32.≤<c B 102.<<c C 108.<<c D6．（福建集美模拟）△ABC 中，C B A ∠∠∠,,的对边分别记为,,,c b a 由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是( )C B A A ∠=∠+∠. 3:2:1::.=∠∠∠C B A B 222.b c a C -= 6:4:3::.=c b a D7．如图7-2-1所示，若Rt△ABC 两直角边上的中线分别为AE'和BD ．则22BD AE +与2AB 的比值为( )43.A 1.B 45.C 23.D127--8．若三角形的三条边的长分别为,,,c b a 且,03222=-+-b c b c a b a 则这个三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 9．△ABC 的内角A 和B 都是锐角，CD 是高，若,)(2BCAC DB AD =则△ABC 是( ) A.直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形10.在△ABC 中，C B A ∠∠∠,,的对边分别是,,,c b a 若,7,252222=-=+b a b a 已知,5=c 则最大边上的高为 11.四根小木棒的长度分别为,13,12,8,5cm cm cm cm 任选三根可组成个三角形，其中有个直角三角形．12.（山东乐陵市期末）如图7-2-2所示，四边形ABCD 中，===BC cm AD cm AB ,4,3,12,13cm CD cm =,90=∠A求四边形ABCD 的面积．227--13．如图7-2-3所示，△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且.2BD AD CD ⋅=求证：△ABC 是直角三角形．327--14．如图7-2-4所示，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且41=FC .BC 求证：.EF AF ⊥15.如图7-2-5所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，===AC AD AB ,6,2.26求证：.30o ADB =∠527--16．如图7-2-6所示，在△ABC 中，P BC AC ACB ,,90==∠是△ABC 内的一点，且,3,2,1===PA PC PB 求BPC ∠的度数．627--拓展创新17.图7-2-7、图7-2-8是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．每个小格的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．(1)在图7-2-7中画出钝角△ABC．使它的面积为6（画一个即可）； (2)在图7-2-8中画出△DEF，使它的三边长分别为5,52,5（画一个即可）．并且直接写出此时三角形DEF 的面积，727-- 827-- 927-- 1027--拓展1．（天津南开一模）问题背景:在△ABC 中，AB ，BC ，AC 三边的长分别为,13,10,5求这个三角形的面积，小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC(即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图7-2-9，这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积．(1)请你将△ABC 的面积直接填写在横线上____；(2)若△ABC 三边的长分别为,49,162222n m n m ++且),n m =/运用构图法在图7 -2 -10中画图可求出这个三角形的面积为拓展2．若0,0>>y x 且,12=+y x 求94+++y x 的最小值．极限挑战18.如图7-2 - 11所示，已知P 为正三角形内一点，,8,6==BP AP .10=CP 证明：.150=∠APB1127--答案。

初中数学勾股定理(讲义及答案)及答案

一、选择题1．如图，ABC 是等边三角形，点D ．E 分别为边BC ．AC 上的点，且CD AE =，点F 是BE 和AD 的交点，BG AD ⊥，垂足为点G ，已知75∠=︒BEC ，1FG =，则2AB 为（）A ．4B ．5C ．6D ．72．如图，等边ABC ∆的边长为1cm ，D ，E 分别是AB ，AC 上的两点，将ADE ∆沿直线DE 折叠，点A 落在点'A 处，且点'A 在ABC ∆外部，则阴影部分图形的周长为（）A ．1cmB ．1.5cmC ．2cmD ．3cm3．如图，在ABC 中，90A ∠=︒，6AB =，8AC =，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ，过点O 作⊥OD AB 于点D ，若则AD 的长为( )A ．2B ．2C ．3D ．44．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上的一动点，则DN+MN 的最小值是（）A ．8B ．9C ．10D ．125．在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的点A （0，﹣2）、点B （3m ，4m +1）（m ≠﹣1），点C （6，2），则对角线BD 的最小值是（）A ．2B ．13C ．5D ．66．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈=10尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是（）A ．5.3尺B ．6.8尺C ．4.7尺D ．3.2尺 7．在△ABC 中，AB =10，BC =12，BC 边上的中线AD =8，则△ABC 边AB 上的高为（）A ．8B ．9.6C ．10D ．12 8．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（）A ．B ．C ．D ．9．下列以线段a 、b 、c 的长为边的三角形中，不能构成直角三角形的是（） A ．9,41,40a b c ===B ．5,5,52a b c ===C ．::3:4:5a b c =D ．11,12,13a b c === 10．如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D 、E ，AD ＝3，BE ＝1，则BC 的长是（）A ．32B ．2C ．22D ．10二、填空题11．如图，∠MON ＝90°，△ABC 的顶点A 、B 分别在OM 、ON 上，当A 点从O 点出发沿着OM 向右运动时，同时点B 在ON 上运动，连接OC ．若AC ＝4，BC ＝3，AB ＝5，则OC 的长度的最大值是________．12．如图，在△ABC 中，OA ＝4，OB ＝3，C 点与A 点关于直线OB 对称，动点P 、Q 分别在线段AC 、AB 上(点P 不与点A 、C 重合)，满足∠BPQ ＝∠BAO.当△PQB 为等腰三角形时，OP 的长度是_____．13．等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边的长为________14．在Rt ABC 中，90,30,2C A BC ∠=∠==，以ABC 的边AC 为一边的等腰三角形，它的第三个顶点在ABC 的斜边AB 上，则这个等腰三角形的腰长为_________.15．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°,以AC 为斜边向外作等腰直角三角形COA ，已知BC=8,OB=102,则另一直角边AB 的长为__________.16．已知Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，∠ACB ＝90°，以AC 为一边在Rt △ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为_____．17．如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=4,AB=3,则CD=_________18．如图，E 为等腰直角△ABC 的边AB 上的一点，要使AE ＝3，BE ＝1，P 为AC 上的动点，则PB ＋PE 的最小值为____________．19．如图所示，四边形ABCD 是长方形，把△ACD 沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC 交于点E ，若AD ＝4，DC ＝3，求BE 的长．20．已知：如图，等腰Rt OAB ∆的直角边OA 的长为1，以AB 边上的高1OA 为直角边，按逆时针方向作等腰11Rt OA B ∆，11A B 与OB 相交于点2A ，若再以2OA 为直角边按逆时针方向作等腰22Rt OA B ∆，22A B 与1OB 相交于点3A ，按此作法进行下去，得到33OA B ∆，44OA B ∆，…，则66OA B ∆的周长是______.三、解答题21．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为CD 边上一点，将△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．（1）求BF 的长；（2）求CE 的长．22．定义：如图1，平面上两条直线AB 、CD 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线AB 、CD 的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）的点有1个，即点O ．（1）“距离坐标”为(1，0)的点有个；（2）如图2，若点M 在过点O 且与直线AB 垂直的直线l 上时，点M 的“距离坐标”为(p ，q )，且∠BOD = 150︒，请写出p 、q 的关系式并证明；（3）如图3，点M 的“距离坐标”为(1,3)，且∠DOB = 30︒，求OM 的长．23．在等腰△ABC 与等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，且点D 、E 、C 三点在同一条直线上，连接BD ．（1）如图1，求证：△ADB ≌△AEC（2）如图2，当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，试猜想线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当∠BAC ＝∠DAE ＝120°时，请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系式为：（不写证明过程）24．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 点在边BC 上运动（不与B ，C 重合），点E 在边AB 的延长线上，点F 在边AC 的延长线上，AD DE DF ==．（1）若30AED ∠=︒，则ADB =∠______．（2）求证：BED CDF △≌△．（3）试说明点D 在BC 边上从点B 至点C 的运动过程中，BED 的周长l 是否发生变化？若不变，请求出l 的值，若变，请求出l 的取值范围．25．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，若点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿折线A ﹣C ﹣B ﹣A 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）若点P 在AC 上，且满足PA ＝PB 时，求出此时t 的值；（2）若点P 恰好在∠BAC 的角平分线上，求t 的值；（3）在运动过程中，直接写出当t 为何值时，△BCP 为等腰三角形．26．如图，△ABC 中AC =BC ，点D ，E 在AB 边上，连接CD ，CE ．(1)如图1，如果∠ACB =90°，把线段CD 逆时针旋转90°，得到线段CF ，连接BF ， ①求证：△ACD ≌△BCF ；②若∠DCE =45°，求证：DE 2=AD 2+BE 2；(2)如图2，如果∠ACB =60°，∠DCE =30°，用等式表示AD ，DE ，BE 三条线段的数量关系，说明理由．27．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“广益值”就等于22AO BO -的值，可记为22AB AC OA BO ∇=-（1）在ABC ∆中，若90ACB ∠=︒，81AB AC ∇=，求AC 的值．（2）如图2，在ABC ∆中，12AB AC ==，120BAC ∠=︒，求AB AC ∇，BA BC ∇的值．（3）如图3，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，24ABC S ∆=，8AC =，64AB AC ∇=-，求BC 和AB 的长．28．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2BC AC =.(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =ABD ∆的面积.(2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+.29．如图，△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB=AC ，P 是线段BC 上一点,且045BAP ︒<∠<︒.作点B 关于直线AP 的对称点D, 连结BD ，CD ，AD ．（1）补全图形.（2）设∠BAP 的大小为α.求∠ADC 的大小(用含α的代数式表示).（3）延长CD与AP交于点E,直接用等式表示线段BD与DE之间的数量关系.30．问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC，其顶点A，B，C都在格点上，同时构造长方形CDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边EF经过点A，ED经过点B．同学们借助此图求出了△ABC的面积．（1）在图（1）中，△ABC的三边长分别是AB＝，BC＝，AC＝．△ABC 的面积是．（2）已知△PMN中，PM＝17，MN＝25，NP＝13．请你根据启航小组的思路，在图（2）中画出△PMN，并直接写出△RMN的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】结合等边三角形得性质易证△ABE≌△CAD，可得∠FBG＝30°，BF＝2FG＝2，再求解∠ABE ＝15°，进而两次利用勾股定理可求解．【详解】∵△ABC为等边三角形∴∠BAE＝∠C＝60°，AB＝AC，CD＝AE∴△ABE≌△CAD（SAS）∴∠ABE=∠CAD∴∠BFD＝∠ABE+∠BAD＝∠CAD+∠BAF＝∠BAC＝60°，∵BG⊥AD，∴∠BGF＝90°，∴∠FBG＝30°，∵FG＝1，∴BF＝2FG＝2，∵∠BEC＝75°，∠BAE＝60°，∴∠ABE＝∠BEC﹣∠BAE＝15°，∴∠ABG＝45°，∵BG⊥AD，∴∠AGB＝90°，∴=AB2=AG2+BG22)2=6．故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，证明△ABG为等腰直角三角形是解题关键．2．D解析：D【分析】根据折叠的性质可得AD=A'D，AE=A'E，易得阴影部分图形的周长为=AB+BC+AC，则可求得答案．【详解】解：因为等边三角形ABC的边长为1cm，所以AB=BC=AC=1cm，因为△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，所以AD=A'D，AE=A'E，所以阴影部分图形的周长=BD+A'D+BC+A'E+EC=BD+AD+BC+AE+EC=AB+BC+AC=1+1+1=3（cm）．故选：D．【点睛】此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用以及折叠前后图形的对应关系．3．B解析：B【分析】过点O作OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，由角平分线的性质得到OD=OE=OF，根据勾股定理求出BC的长，易得四边形ADFO为正方形，根据线段间的转化即可得出结果.【详解】解：过点O作OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，∵BO,CO分别为∠ABC，∠ACB的平分线，所以OD=OE=OF，又BO=BO,∴△BDO≌△BEO,∴BE=BD.同理可得，CE=CF.又四边形ADOE为矩形，∴四边形ADOE为正方形.∴AD=AF.∵在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，∴BC=10.∴AD+BD=6①,AF+FC=8②，BE+CE=BD+CF=10③，①+②得，AD+BD+AF+FC=14，即2AD+10=14，∴AD=2.故选：B.【点睛】此题考查了角平分线的定义与性质，以及全等三角形的判定与性质，属于中考常考题型．4．C解析：C【解析】【分析】要求DN＋MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，∴连接BN，BD，则直线AC即为BD的垂直平分线，∴BN＝ND∴DN＋MN＝BN＋MN连接BM交AC于点P，∵点 N为AC上的动点，由三角形两边和大于第三边，知当点N运动到点P时，BN＋MN＝BP＋PM＝BM，BN＋MN的最小值为BM的长度，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD＝8，CM＝8−2＝6，BCM＝90°，∴BM＝＝10，∴DN＋MN的最小值是10．故选：C．【点睛】此题考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题的难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理．5．D解析：D【分析】先根据B（3m，4m+1），可知B在直线y=43x+1上，所以当BD⊥直线y=43x+1时，BD最小，找一等量关系列关于m的方程，作辅助线：过B作BH⊥x轴于H，则BH=4m+1，利用三角形相似得BH2=EH•FH，列等式求m的值，得BD的长即可．【详解】解：如图,∵点B(3m，4m+1)，∴令341m xm y=⎧⎨+=⎩，∴y=43x+1，∴B在直线y=43x+1上，∴当BD⊥直线y=43x+1时，BD最小，过B作BH⊥x轴于H，则BH=4m+1，∵BE在直线y=43x+1上，且点E在x轴上，∴E(−34，0)，G(0，1)∵F是AC的中点∵A(0，−2)，点C(6，2)，∴F(3，0)在Rt△BEF中，∵BH2=EH⋅FH，∴(4m+1)2=(3m+34)(3−3m)解得：m1=−14(舍)，m2=15，∴B(35，95)，∴BD=2BF=2×2239(3)55⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=6，则对角线BD的最小值是6；故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似的判定，圆形与坐标特点，勾股定理等知识点.本题利用点B的坐标确定其所在的直线的解析式是关键．6．D解析：D【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．【详解】解：设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得：x2+62=（10-x）2，解得：x=3.2，答：折断处离地面的高度OA是3.2尺．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．7．B解析：B【分析】如图，作CE AB ⊥与E,利用勾股定理的逆定理证明AD BC ⊥,再利用面积法求出EC 即可.【详解】如图，作CE AB ⊥与E.AD 是ABC ∆的中线,BC =12,∴BD=6,10,8,6,AB AD BD ===∴ 222AB AD BD =+,90,ADB ∴∠=,AD BC ∴⊥ 11,22ABC S BC AD AB CE ∆== 1289.6.10CE ⨯∴== 故选B.【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理,三角形的面积等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,学会面积法求三角形的高.8．B解析：B【分析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．【详解】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．9．D解析：D【分析】根据直角三角形的判定，符合a 2+b 2＝c 2即可；反之不符合的不能构成直角三角形．【详解】解：A 、因为92+402＝412，故能构成直角三角形；B 、因为52+52=(2，故能构成直角三角形； C 、因为()()()222345x x x +=，故能构成直角三角形；D 、因为112+122≠152，故不能构成直角三角形；故选：D ．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，当三角形中三边满足222a b c +=关系时，则三角形为直角三角形．10．D解析：D【分析】根据条件可以得出∠E ＝∠ADC ＝90°，进而得出△CEB ≌△ADC ，就可以得出AD ＝CE ，再利用勾股定理就可以求出BC 的值．【详解】解：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E ＝∠ADC ＝90°，∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°．∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°，∴∠EBC ＝∠DCA ．在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CEB ≌△ADC （AAS ），∴CE ＝AD ＝3，在Rt △BEC中，，故选D ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．二、填空题11．5【解析】试题分析：取AB 中点E ，连接OE 、CE ，在直角三角形AOB 中，OE=AB ，利用勾股定理的逆定理可得△ACB 是直角三角形，所以CE=AB ，利用OE+CE≥OC ，所以OC 的最大值为OE+CE ，即OC 的最大值=AB=5．考点：勾股定理的逆定理，12．1或78【分析】分为三种情况：①PQ BP =，②BQ QP =，③BQ BP =，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．【详解】解：分为3种情况：①当PB PQ =时，4=OA ，3OB =， ∴22435BC AB ==+=， C 点与A 点关于直线OB 对称，BAO BCO ∴∠=∠，BPQ BAO ∠=∠，BPQ BCO ∴∠=∠，APB APQ BPQ BCO CBP ∠=∠+∠=∠+∠，APQ CBP ∴∠=∠，在APQ 和CBP 中，BAO BCP APQ B PQ B P C P ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨=⎪⎩， ()APQ CBP AAS ∴△≌△，∴5AP BC ==，1OP AP OA ∴=-=；②当BQ BP =时，BPQ BQP ∠=∠，BPQ BAO ∠=∠，BAO BQP ∴∠=∠，根据三角形外角性质得：BQP BAO ∠>∠，∴这种情况不存在；③当QB QP =时，QBP BPQ BAO ∠=∠=∠，PB PA ∴=，设OP x =，则4PB PA x ==-在Rt OBP △中，222PB OP OB =+，222(4)3x x ∴-=+，解得：78x =； ∴当PQB △为等腰三角形时，1OP =或78；【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题，注意分类讨论．13．310或10【详解】分两种情况：（1）顶角是钝角时，如图1所示：在Rt △ACO 中，由勾股定理，得AO 2=AC 2-OC 2=52-32=16，∴AO=4，OB=AB+AO=5+4=9，在Rt △BCO 中，由勾股定理，得BC 2=OB 2+OC 2=92+32=90，∴10；（2）顶角是锐角时，如图2所示：在Rt △ACD 中，由勾股定理，得AD 2=AC 2-DC 2=52-32=16，∴AD=4，DB=AB-AD=5-4=1．在Rt △BCD 中，由勾股定理，得BC 2=DB 2+DC 2=12+32=10，∴BC=10 ；综上可知，这个等腰三角形的底的长度为310或10．【点睛】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，难度适中，分情况讨论是解题的关键．14．23或2【分析】先求出AC 的长，再分两种情况：当AC 为腰时及AC 为底时，分别求出腰长即可.【详解】在Rt ABC 中，90,30,2C A BC ∠=∠==，∴AB=2BC=4，∴22224223AC AB BC =-=-=,当AC 为腰时，则该三角形的腰长为23；当AC 为底时，作AC 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如图，此时△ACD 是等腰三角形，则AE=3,设DE=x ，则AD=2x ，∵222AE DE AD +=,∴222(3)(2)x x +=∴x=1（负值舍去），∴腰长AD=2x=2，故答案为：32【点睛】此题考查勾股定理的运用，结合线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题时注意：“AC 为一边的等腰三角形”没有明确AC 是等腰三角形的腰或底，故应分为两种情况解题，这是此题的易错之处.15．12【分析】延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.证∆BCO ≅∠EAO ，再证三角形BOE 是等腰直角三角形，利用勾股定理可得BE=()()222210210220BO EO +=+=，可得AB=BE-AE.【详解】如图，延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.因为三角形COA 是等腰直角三角形所以CO=AO,∠AOC=∠BOC+∠AOB=90°因为∠ABC=90°，∠AOC=90°，所以∠BAO+∠BCO=180°,又∠BAO+∠OAE=180° 所以∠BCO=∠OAE所以∆BCO ≅∠EAO所以BO=EO, ∠BOC=∠EOA所以，∠BOE=∠EOA+∠AOB=90°所以三角形BOE 是等腰直角三角形所以()()222210210220BO EO +=+=所以AB=BE-AE=20-8=12故答案为：12【点睛】考核知识点：全等三角形，勾股定理.构造全等三角形是关键.16．72965【分析】分三种情形讨论：（1）如图1中，以点C 所在顶点为直角时；（2）如图2中，以点D 所在顶点为直角时；（3）如图3中，以点A 所在顶点为直角时．【详解】（1）如图1中，以点C 所在顶点为直角时．∵AC =CD =4，BC =3，∴BD =CD +BC =7；（2）如图2中，以点D 所在顶点为直角时，作DE ⊥BC 与E ，连接BD ．在Rt△BDE中DE=2，BE=5，∴BD2229=+=；DE BE（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时，作DE⊥BC于E，在Rt△BDE中，DE=4．BE=7，∴BD2265=+=．DE BE故答案为：7或29或65．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．17．【解析】【分析】延长BC，AD交于E点，在直角三角形ABE和直角三角形CDE中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理即可解答.【详解】如图，延长AD、BC相交于E，∵∠A=60°,∠B=∠ADC=90°,∴∠E=30°∴AE=2AB，CE=2CD∵AB=3，AD=4,∴AE=6, DE=2设CD=x,则CE=2x，DE=x即x=2x=即CD=故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理的运用，含30°角所对的直角边是斜边的一半的性质，本题中构建直角△ABE 和直角△CDE ，是解题的关键．18．5【解析】试题分析：作点B 关于AC 的对称点F ，构建直角三角形，根据最短路径可知：此时PB +PE 的值最小，接下来要求出这个最小值，即求EF 的长即可，因此要先求AF 的长，证明△ADF ≌△CDB ，可以解决这个问题，从而得出EF =5，则PB +PE 的最小值为5．解：如图，过B 作BD ⊥AC ，垂足为D ，并截取DF =BD ，连接EF 交AC 于P ，连接PB 、AF ，则此时PB +PE 的值最小，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB =CB ,∠ABC =90°，AD =DC ，∴∠BAC =∠C =45°，∵∠ADF =∠CDB ，∴△ADF ≌△CDB ，∴AF =BC ,∠FAD =∠C =45°，∵AE =3，BE =1，∴AB =BC =4，∴AF =4，∵∠BAF =∠BAC +∠FAD =45°+45°=90°,∴由勾股定理得：EF 22AF AE +2243+，∵AC 是BF 的垂直平分线，∴BP =PF ，∴PB +PE =PF +PE =EF =5，故答案为5.点睛：本题主要考查最短路径问题.解题的关键在于要利用轴对称知识，结合两点之间线段最短来求解.19．78【解析】试题分析：根据矩形性质得AB=DC=6，BC=AD=8，AD ∥BC ，∠B=90°，再根据折叠性质得∠DAC=∠D′AC ，而∠DAC=∠ACB ，则∠D′AC=∠ACB ，所以AE=EC ，设BE=x ，则EC=4-x ，AE=4-x ，然后在Rt △ABE 中利用勾股定理可计算出BE 的长即可．试题解析：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB=DC=3，BC=AD=4，AD∥BC，∠B=90°，∵△ACD 沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC 交于点E ，∴∠DAC=∠D′AC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠D′AC=∠ACB，∴AE=EC，设BE=x ，则EC=4﹣x ，AE=4﹣x ，在Rt△ABE 中，∵AB 2+BE 2=AE 2，∴32+x 2=（4﹣x ）2，解得x=78，即BE 的长为78．20．28+ 【分析】依次求出在Rt △OAB 中，OA 1Rt △OA 1B 1中，OA 2OA 1）2；依此类推：在Rt △OA 5B 5中，OA 6＝（2）6，由此可求出△OA 6B 6的周长．【详解】∵等腰Rt OAB ∆的直角边OA 的长为1，∴在Rt △OA 1B 1中OA 1＝2OA ＝2，在22Rt OA B ∆中OA 2＝2OA 1＝（2）2， …故在Rt △OA 6B 6中OA 6＝2OA 5＝（2）6= OB 666A B OB 6故△OA 6B 6+2×（2）6+2×18=28+．【点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．三、解答题21．（1）BF 长为6；（2）CE 长为3，详细过程见解析．【分析】（1）由矩形的性质及翻折可知，∠B=90°，AF=AD=10，且AB=8，在Rt △ABF 中，可由勾股定理求出BF 的长；（2）设CE=x ，根据翻折可知，EF=DE=8-x ，由（1）可知BF=6，则CF=4，在Rt △CEF 中，可由勾股定理求出CE 的长．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴∠B=90°，且AD=BC=10，又∵AFE 是由ADE 沿AE 翻折得到的，∴AF=AD=10，又∵AB=8，在Rt △ABF 中，由勾股定理得：，故BF 的长为6．（2）设CE=x ，∵四边形ABCD 为矩形，∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x ，又∵△AFE 是由△ADE 沿AE 翻折得到的，∴FE=DE=8-x ，由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，在Rt △CEF 中，由勾股定理得：222CF +CE =EF ，∴2224+x =(8-x)，解得：x=3，故CE 的长为3．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，利用勾股定理求解是本题的关键．22．(1)2；(2)q p =；(3)OM =【分析】（1）根据“距离坐标”的定义结合图形判断即可；（2）过M 作MN ⊥CD 于N ，根据已知得出MN q =，OM p =，求出∠MON ＝60°，根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出2232MN MO NO p =-=即可解决问题；（3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点，首先证明OM OE OF EF ===，求出2MF =，23ME =，然后过F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，根据含30度直角三角形的性质求出1FG =，3MG =，再利用勾股定理求出EF 即可．【详解】解：（1）由题意可知，在直线CD 上，且在点O 的两侧各有一个，共2个，故答案为：2；（2）过M 作MN CD ⊥于N ，∵直线l AB ⊥于O ，150BOD ∠=︒，∴60MON ∠=︒，∵MN q =，OM p =，∴1122NO MO p ==， ∴2232MN MO NO p =-=， ∴3q p =；（3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点．∴OFP OMP △≌△，OEQ OMQ △≌△，∴FOP MOP ∠=∠，EOQ MOQ ∠=∠，OM OE OF ==，∴260EOF BOD ∠=∠=︒，∴△OEF 是等边三角形，∴OM OE OF EF ===，∵1MP =，3MQ =， ∴2MF =，23ME =，∵30BOD ∠=︒，∴150PMQ ∠=︒，过F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，∴30FMG ∠=︒，在Rt FMG △中，112FG MF ==，则3MG =，在Rt EGF 中，1FG =，33EG ME MG =+=， ∴22(33)127EF =+=，∴27OM =．【点睛】本题考查了轴对称的应用，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质等，正确理解题目中的新定义是解答本题的关键．23．（1）见解析；（2）CD 2AD +BD ，理由见解析；（3）CD 3+BD【分析】（1）由“SAS ”可证△ADB ≌△AEC ；（2）由“SAS ”可证△ADB ≌△AEC ，可得BD ＝CE ，由直角三角形的性质可得DE 2AD ，可得结论；（3）由△DAB ≌△EAC ，可知BD ＝CE ，由勾股定理可求DH ＝32AD ，由AD ＝AE ，AH ⊥DE ，推出DH ＝HE ，由CD ＝DE +EC ＝2DH +BD 3AD +BD ，即可解决问题；【详解】证明：（1）∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ADB ≌△AEC （SAS ）；（2）CD 2AD +BD ，理由如下：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ADB ≌△AEC （SAS ）；∴BD ＝CE ，∵∠BAC ＝90°，AD ＝AE ，∴DE ＝2AD ，∵CD ＝DE +CE ，∴CD ＝2AD +BD ；（3）作AH ⊥CD 于H ．∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ADB ≌△AEC （SAS ）；∴BD ＝CE ，∵∠DAE ＝120°，AD ＝AE ，∴∠ADH ＝30°，∴AH ＝12AD ， ∴DH 22AD AH -3， ∵AD ＝AE ，AH ⊥DE ，∴DH ＝HE ，∴CD ＝DE +EC ＝2DH +BD 3+BD ，故答案为：CD 3+BD ．【点睛】本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.24．（1）90°；（2）证明见解析；（3）变化，234l +≤<．【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，由等腰三角形的性质可求DAE=∠DEA=30°，由三角形内角和定理可求解；（2）根据等腰三角形的性质，可证得∠CDF=∠DEA 和∠EDB=∠DFA ，由此可利用“ASA”证明全等；（3）根据全等三角形的性质可得l =2+AD ，根据AD 的取值范围即可得出l 的取值范围．解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠ABC=∠ACB=60°，∵AD=DE∴∠DAE=∠DEA=30°，∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=90°，故答案为：90°；（2）∵AD=DE=DF ，∴∠DAE=∠DEA ，∠DAF=∠DFA ，∵∠DAE+∠DAF=∠BAC=60°，∴∠DEA+∠DFA=60°，∵∠ABC=∠DEA+∠EDB=60°，∴∠EDB=∠DFA ，∵∠ACB=∠DFA+∠CDF=60°，∴∠CDF=∠DEA ，在△BDE 和△CFD 中∵CDF DEA DE DF EDB DFA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BDE ≌△CFD （ASA ）（3）∵△BDE ≌△CFD ，∴BE=CD ，∴l =BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD=2+AD ，当D 点在C 或B 点时，AD=AC=AB=2,此时B 、D 、E 三点在同一条直线上不构成三角形，2+AD=4；当D 点在BC 的中点时，∵AB=AC ，∴BD=112BC =，AD ==此时22l AD =+=综上可知24l +≤<．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．（1）掌握等腰三角形等边对等角是解决此问的关键；（2）中注意角之间的转换；（3）中注意临界点是否可取．25．(1) 2516；（2）83t =或6；（3）当153,5,210t =或194时，△BCP 为等腰三角形．（1）设存在点P ，使得PA PB =，此时2PA PB t ==，42PC t =-，根据勾股定理列方程即可得到结论；（2）当点P 在CAB ∠的平分线上时，如图1，过点P 作PE AB ⊥于点E ，此时72BP t =-，24PE PC t ==-，541BE =-=，根据勾股定理列方程即可得到结论；（3）在Rt ABC 中，根据勾股定理得到4AC cm =，根据题意得：2AP t =，当P 在AC上时，BCP 为等腰三角形，得到PC BC =，即423t -=，求得12t =，当P 在AB 上时，BCP 为等腰三角形，若CP PB =，点P 在BC 的垂直平分线上，如图2，过P 作PE BC ⊥于E ，求得194t =，若PB BC =，即2343t --=，解得5t =，PC BC =③，如图3，过C 作CF AB ⊥于F ，由射影定理得；2BC BF AB =⋅，列方程2234352t --=⨯，即可得到结论．【详解】解：在Rt ABC 中，5AB cm =，3BC cm =，4AC cm ∴=，（1）设存在点P ，使得PA PB =，此时2PA PB t ==，42PC t =-，在Rt PCB 中，222PC CB PB +=，即：222(42)3(2)t t -+=，解得：2516t =， ∴当2516t =时，PA PB =；（2）当点P 在BAC ∠的平分线上时，如图1，过点P 作PE AB ⊥于点E ，此时72BP t =-，24PE PC t ==-，541BE =-=，在Rt BEP 中，222PE BE BP +=，即：222(24)1(72)t t -+=-，解得：83t =，当6t =时，点P 与A 重合，也符合条件，∴当83t =或6时，P 在ABC ∆的角平分线上；（3）根据题意得：2AP t =，当P 在AC 上时，BCP 为等腰三角形，PC BC ∴=，即423t -=，12t ∴=，当P 在AB 上时，BCP 为等腰三角形，CP PB =①，点P 在BC 的垂直平分线上，如图2，过P 作PE BC ⊥于E ，1322BE BC ∴==， 12PB AB ∴=，即52342t --=，解得：194t =， PB BC =②，即2343t --=，解得：5t =，PC BC =③，如图3，过C 作CF AB ⊥于F ，12BF BP ∴=， 90ACB ∠=︒，由射影定理得；2BC BF AB =⋅，即2234352t --=⨯，解得：5310t=，∴当15319,5,2104t=或时，BCP为等腰三角形．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．26．（1）①详见解析；②详见解析；（2）DE2=EB2+AD2+EB·AD，证明详见解析【分析】（1）①根据旋转的性质可得CF=CD，∠DCF=90°，再根据已知条件即可证明△ACD≌△BCF；②连接EF，根据①中全等三角形的性质可得∠EBF=90°，再证明△DCE≌△FCE得到EF=DE 即可证明；（2）根据（1）中的思路作出辅助线，通过全等三角形的判定及性质得出相等的边，再由勾股定理得出AD，DE，BE之间的关系．【详解】解：（1）①证明：由旋转可得CF=CD，∠DCF=90°∵∠ACD=90°∴∠ACD=∠BCF又∵AC=BC∴△ACD≌△BCF②证明：连接EF，由①知△ACD≌△BCF∴∠CBF=∠CAD=∠CBA=45°，∠BCF=∠ACD，BF=AD∴∠EBF=90°∴EF2=BE2+BF2，∴EF2=BE2+AD2又∵∠ACB=∠DCF=90°，∠CDE=45°∴∠FCE=∠DCE=45°又∵CD=CF，CE=CE∴△DCE≌△FCE∴EF=DE∴DE2= AD2+BE2⑵DE2=EB2+AD2+EB·AD理由：如图2，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△CBF，过点F作FG⊥AB，交AB 的延长线于点G，连接EF，∴∠CBE=∠CAD，∠BCF=∠ACD， BF=AD∵AC=BC，∠ACB=60°∴∠CAB=∠CBA =60°∴∠ABE=120°，∠EBF=60°，∠BFG=30°∴BG=12BF，FG=32BF∵∠ACB=60°，∠DCE=30°，∴∠ACD+∠BCE=30°，∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=30°∵CD=CF，CE=CE∴△ECF≌△ECD∴EF=ED在Rt△EFG中，EF2=FG2+EG2又∵EG=EB+BG∴EG=EB+12 BF，∴EF2=（EB+12BF）2+（3BF）2∴DE2=（EB+12AD）2+（32AD）2∴DE2=EB2+AD2+EB·AD【点睛】本题考查了全等三角形的性质与旋转模型，解题的关键是找出全等三角形，转换线段，并通过勾股定理的计算得出线段之间的关系．27．(1)AC=9;(2)AB∇AC=-72,BA∇BC=73【分析】(1)在Rt AOC∆中,根据勾股定理和新定义可得AO2-OC2=81=AC2;(2)①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO=2,OB=23再用新定义即可得出结论;②先构造直角三角形求出BE ,AE ,再用勾股定理求出BD ,最后用新定义即可得出结论;(3)作BD ⊥CD,构造直角三角形BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形AOD 是直角三角形,根据中线性质得出OA 的长度,根据勾股定理求出OC,从而得出BC,再根据勾股定理求出CD,再求出AD,再运用勾股定理求出AB.【详解】(1)已知如图:AO 为BC 上的中线,在Rt AOC ∆中,AO 2-OC 2=AC 2因为81AB AC ∇=所以AO 2-OC 2=81所以AC 2=81所以AC=9.(2)①如图2,取BC 的中点D ,连接AO ,∵AB =AC ,∴AO ⊥BC ,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,∴∠ABC =30°,在Rt △AOB 中,AB =12,∠ABC =30°,∴AO =6,OB 2222126AB AO -=-3∴AB ∇AC =AO 2﹣BO 2=36﹣108=﹣72, ②取AC 的中点D ,连接BD ,∴AD =CD =12AC =6,过点B 作BE ⊥AC 交CA 的延长线于E ,在Rt △ABE 中,∠BAE =180°﹣∠BAC =60°,∴∠ABE =30°, ∵AB =12,∴AE =6,BE 222212663AB AE -=-=, ∴DE =AD +AE =12,在Rt △BED 中,根据勾股定理得,BD ()2222631267BE DE +=+= ∴BA ∇BC =BD 2﹣CD 2=216;(3)作BD ⊥CD,因为24ABC S ∆=,8AC =,所以BD=26ABC S AC ∆÷=,因为64AB AC ∇=-,AO 是BC 边上的中线,所以AO 2-OC 2=-64,所以OC 2-AO 2=64,由因为AC 2=82=64,所以OC 2-AO 2= AC 2所以∠OAC=90°所以OA=24228322ABC S AC ∆⨯÷=⨯÷= 所以OC=22228373AC OA +=+=所以BC=2OC=273,在Rt △BCD 中,CD=()2222276163BC BD -=-=所以AD=CD-AC=16-8=8所以AB=22228610AD BD +=+=【点睛】考核知识点:勾股定理逆定理,含30°直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等直角三角形性质解决问题是关键.28．（1）3；（2）见解析．【分析】（1）根据勾股定理可得AC ，进而可得BC 与BD ，然后根据三角形的面积公式计算即可；（2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则根据余角的性质可得∠CBG =∠EBH ，由已知易得BE ∥AC ，于是∠E =∠EFC ，由于CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，则根据余角的性质得∠EFC =∠BCG ，于是可得∠E =∠BCG ，然后根据ASA 可证△BCG ≌△BEH ，可得BG =BH ，CG =EH ，从而△BGH 是等腰直角三角形，进一步即可证得结论．【详解】解：（1）在△ACD 中，∵90ACB ∠=︒，1CD =，5AD =，∴222AC AD CD =-=，∵2BC AC =，∴BC=4，BD =3，∴1132322ABD S BD AC ∆=⋅=⨯⨯=；（2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则∠CBG +∠CBH =90°， ∵BE BC ⊥，∴∠EBH +∠CBH =90°，∴∠CBG =∠EBH ，∵BE BC ⊥，90ACB ∠=︒，∴BE ∥AC ，∴∠E =∠EFC ，∵CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，∴∠EFC +∠FCG =90°，∠BCG +∠FCG =90°，∴∠EFC =∠BCG ，∴∠E =∠BCG ，在△BCG 和△BEH 中，∵∠CBG =∠EBH ，BC=BE ，∠BCG =∠E ，∴△BCG ≌△BEH （ASA ）， ∴BG =BH ，CG =EH ，∴222GH BG BH BG =+=，∴2EG GH EH BG CG =+=+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、余角的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．29．（1）见解析；（2）∠ADC=45α︒+；（3）2BD DE =【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）根据对称的性质，等腰三角形的性质及角与角之间的和差关系进行计算即可；（3）画出图形，结合（2）的结论证明△BED 为等腰直角三角形，从而得出结论.【详解】解：（1）如图所示；。

勾股定理逆定理讲义(经典例题+详解+习题)

22a b +=ABC 是直角三角形且22b c +=三边长为a 解：此三角形是直角三角形理由：22a b +=22b c += △ABC 的三边长分别为△ABC 是直角三角形吗？AD 为中线，ABD 中，2AD BD +90ADB =︒，2AC ∴=1〕如图，在△面积．〔△ABC的周长．分析：〔1〕根据AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形，再利用勾股定理求出CD的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．〔2〕此题应分两种情况进展讨论：①当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；②当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．解：〔1〕∵BD2+AD2=62+82=102=AB2，∴△ABD是直角三角形，∴AD⊥BC，在Rt△ACD中，CD=15，（2）分两种情况：①当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD=9，在Rt△ACD中，CD=5，∴BC=5+9=14∴△ABC的周长为：15+13+14=42；②当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD=9，在Rt△ACD中，CD=4，∴BC=9-5=4．∴△ABC的周长为：15+13+4=32∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32例6：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=14BC，求证：AF⊥EF．思路点拨：要证AF⊥EF，需证△AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定性，只要证出AF2+EF2=AF2就可以了．根底练习：假设△ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定△ABC的形状．〔提示：根据所给条件，只有从关于a，b，c的等式入手，找出a，b，c三边之间的关系，应用分解因式可得〔a-5〕2+〔b-12〕2+〔c-13〕2=0，求出a=5，b=12，c=13，∵a2+b2=c2，。

专题12 勾股定理逆定理及其应用（含答案）

专题12勾股定理逆定理及其应用知识解读1.利用勾股定理逆定理判断判定一个三角形是直角三角形的步骤 ①首先确定最大的边（设为c ）；②验证（2c 与22b a +是否具有相等关系，若222b a c +=”，那么△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若222b a c +≠，那么△ABC 不是直角三角形.2.勾股定理与勾股定理逆定理的比较勾股定理勾股定理的逆定理3.勾股数：勾股数又称勾股弦数，是指能够成为直角三角形三条边长的三个整数.常见的勾股数有3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，12，15；9，40，41等，勾股数组有无数个，比如3、4、5三个整数的正整数倍都是勾股数.熟悉常见的勾股数，有助于判断一个几何图形中有无直角三角形，为解题带来方便.培优学案典例示范一、用三边关系判定直角三角形例1若△ABC 的三边a ，b ，c ，满足a:b:c=1：1：2，试判断△ABC 的形状.【提示】虽然△ABC 三边的长度未知，但可根据△ABC 三边之比设出△ABC 的三边长，通过计算比较是否满足勾股定理逆定理成立的条件.【解答】【技巧点评】①首先确定最大的边（设为c ）；②验证2c 与22b a +是否具有相等关系，若222b a c +=，那么△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若222b a c +≠，那么△ABC 不是直角三角形.勾股定理勾股定理的逆定理条件在Rt△ABC 中，︒=∠90C 在△ABC 中，222c b a =+结论222c b a =+︒=∠90C区别勾般定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到“数量关系222c b a =+，”即由“形”到“数” 勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足222c b a =+”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到”形” 联系两者都与三角形的三边有关系跟踪训练1.已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且满足442222b a c b c a -=-，试判断△ABC 的形状.二、三边长为整式，判定是否是直角三角形例2若三角形的三边长为44n m +，44n m -，222n m （0>>n m ）. 【提示】先将三角形的三边分别平方，然后观察其中两边的平方和是否等于第三边的平方，如果相等，则这个三角形就是直角三角形，反之，如果不相等，则这个三角形就不是直角三角形.【解答】【技巧点评】当三角形三边长为整式时，尽管看不出哪条边是最长的边，但可以先分别求出三边的平方，然后直接观察其中两边的平方和是否等于第三边的平方，如果相等，则这个三角形就是直角三角形，反之，如果不相等，则这个三角形就不是直角三角形.跟踪训练2.已知三角形的三边分别为a 、b 、c ，且1-=m a ，m b 2=，1+=m c （1>m ）.（1）这个三角形一定是直角三角形吗？为什么？（2）试给出一组直角三角形的三边的长，使它的最小边不小于20，另两边的差为2，三边均为正整数.三、先求三边长，再判定直角三角形例3一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状.【提示】本题三角形的三边长都是未知数，有三个相等关系，①三边之和为30米；②一条边的长度比较短边长7米；③比较长边短1米，根据这些信息足够求出三角形的三边长.【解答】【技巧点评】当三边长未知的时候，可根据题中提供的相等关系，计算出三角形的三边长，然后再根据勾股定理的逆定理判断出是否为直角三角形。

勾股定理与勾股定理逆定理(解析版)

【期末复习】浙教版八年级上册提分专题：勾股定理与勾股定理逆定理考点一勾股定理【知识点睛】❖ 直角三角形勾股定理在Rt △ABC 中，两直角边的平方和=斜边的平方，即222c b a =+常见变形：222b a c +=；22b a c +=；22b c a -=❖ 注意事项：当直角三角形的给出的两边没有说明是什么边长时，利用勾股定理求长度时通常需要分类讨论❖ 直角三角形求长度其他常用相关性质有：直角三角形斜边上的中线=½斜边长等腰三角形的两腰长相等；等腰三角形的“三线合一” 中垂线的性质定理； ❖ 勾股定理常见面积模型图形结论 321S S S =+总结当分别以直角三角形的三边为边（或底边、半径）做规则的正方形、等边三角形、等腰直角三角形、半圆时，均满足两直角边所做图形的面积和等于斜边所做图形的面积1．直角三角形的两条边长a ，b 满足，则其斜边长为（）A ．5B ．C ．4或5D ．或5【分析】由非负数的性质求出a 和b 的值即可求解．【解答】解：∵a ，b 满足，∴3﹣a ＝0，b ﹣4＝0， ∴a ＝3，b ＝4，①当4是直角边时，其斜边长＝＝5， ②当4是斜边时，其斜边长为4，故选：C ．2．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90，AC ＝3，BC ＝4，CD 是△ABC 的中线，则AD 的长为（）A．2B．2.5C．4D．5【分析】根据勾股定理即可得到AB的长，进而可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4，∴AB＝，∵AD是BC边上中线，∴AD＝AB＝2.5，故选：B．3．如图，在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（）A．2B．2C．D．【分析】根据勾股定理即可得到答案．【解答】解：∵在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，∴任意两个格点间的距离有：1，2，3，，＝2，＝，＝3，＝，＝，∴任意两个格点间的距离不可能是，故选：D．4．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．【分析】由正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、大正方形的面积为：c2，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理；B、大正方形的面积为：（a+b）2，也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴B选项不能证明勾股定理．C、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+c2＝2ab+c2，∴（a+b）2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理；D、梯形的面积为：（a+b）（a+b）＝（a2+b2）+ab，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：ab×2+c2＝ab+c2，∴（a2+b2）+ab＝ab+c2，∴a2+b2＝c2，故D选项能证明勾股定理；故选：B．5．如图，有一个水池，水面是一边长为8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池的一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（）尺．A．7.5B．8C．D．9【分析】设芦苇的长度为x尺，则AB的长为（x﹣1）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理列方程即可．【解答】解：设芦苇的长度为x尺，则AB的长为（x﹣1）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC2＝AB2+AC2，即：，解得：x＝，即芦苇的长度为：尺，故选：C．6．为预防新冠疫情，学校大门入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.3米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.7米的学生CD正对门缓慢走到离门0.8米处时（即BC＝0.8米），测温仪自动显示体温，此时人头顶到测温仪的距离AD等于（）A．1.0米B．1.25米C．1.2米D．1.5米【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AB＝2.3米，BE＝CD＝1.7米，ED＝BC＝0.8米，∴AE＝AB﹣BE＝2.3﹣1.7＝0.6（米）．在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝＝＝1（米），故选：A．7．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．若S1＝48，S2+S3＝135，则S4＝（）A．183B．87C．119D．81【分析】利用勾股定理的几何意义解答．【解答】解：由题意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2，如图，连接BD，在直角△ABD和△BCD中，BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，即S1+S4＝S3+S2，因此S4＝135﹣48＝87，故选：B．8．如图Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝10，点F是BA延长线上一点，过点F作FD∥BC，交CA延长线于点D，点E是CD的中点，若BF＝12，DF＝5，则EF的长是（）A．3B．5C．6.5D．6【分析】延长FE交BC于G，利用ASA证明△DFE≌△CGE，得BG＝DF＝5，EF＝EG，在Rt△BGF中，利用勾股定理求得FG的长，即可得出答案．【解答】解：延长FE交BC于G，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，∵FD∥BC，∴∠D＝∠C，在△DFE和△CGE中，，∴△DFE≌△CGE（ASA），∴CG＝DF＝5，EF＝EG，∴BG＝5，在Rt△BGF中，由勾股定理得，FG＝＝13，∴EF＝FG＝6.5，故选：C．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AC+BC＝3.5，AB＝2.5，则CD的长为（）A．1B．1.2C．1.25D．1.5【分析】利用勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，然后结合AC+BC＝3.5，AB＝2.5求得AC•BC的值；最后利用等面积法求得CD的长度即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，则AC2+BC2＝AB2．∵AC+BC＝3.5，AB＝2.5，∴AC•BC＝[（AC+BC）2﹣（AC2+BC2）]＝[（AC+BC）2﹣AB2]＝（3.52﹣2.52）＝3．又∵CD⊥AB，∴AC•BC＝AB•CD，∴CD＝＝＝1.2．故选：B．10．代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若∠ADE＝∠AED，AD＝4，则△ADE的面积为（）A．24B．6C．2D．2【分析】由已知得出AD＝AE＝AB，进而利用图形面积的割补关系解得即可．【解答】解：如图：∵∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE＝AB，∵AF⊥BE，∴EF＝BF＝BE，∴GE＝AH，∵∠GEM＝∠HAM，∠MGE＝∠MHA，∴△GEM≌△HAM（ASA），∴S△HAM＝S△GEM，∴S△ADE＝S△ADH+S△DGE，∵AD＝4，DH＝2AH，AD2＝DH2+AH2，∴AH＝4，DH＝8，∴DG＝GE＝4，∴，故选：A．11．勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成，可以用其面积关系验证勾股定理，将图1按图2所示“嵌入”长方形LMJK，则该长方形的面积为（）A．60B．100C．110D．121【分析】延长AB交KL于点O，延长AC交LM于点P，证△OBF≌△ACB（AAS），得AC＝OB，同理△ACB≌△PGC（AAS），得PC＝AB，再证矩形AOLP是正方形，边长AO＝7，则KL＝10，LM＝11，即可解决问题．【解答】解：延长AB交KL于点O，延长AC交LM于点P，如图所示：则四边形AOLP是矩形，∴∠BOF＝∠BAC＝90°，∵四边形BCGF是正方形，∴BC＝BF，∠CBF＝90°，∴∠ABC+∠OBF＝90°，又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°，在△OBF和△ACB中，，∴△OBF≌△ACB（AAS），∴AC＝OB，同理：△ACB≌△PGC（AAS），∴PC＝AB，∴AB+OB＝PC+AC，即OA＝AP，∴矩形AOLP是正方形，边长AO＝AB+OB＝AB+AC＝3+4＝7，∴KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，∴长方形LMJK的面积为：10×11＝110，故选：C．12．如图，将一副三角尺叠放在一起，若AB＝2cm，则AF的长为cm．【分析】先利用30°的直角三角形的性质可得AC长，再利用BC∥DE可得∠AFC＝45°，进而可得△ACF为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求出AF长．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝2cm，∠B＝30°，∴AC＝＝1，∵BC∥DE，∴∠AFC＝∠D＝45°，∴△ACF为等腰直角三角形，∴AF＝＝．故答案为：．13．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，若AD＝3，BC＝5，则AB2+CD2＝．【分析】根据“垂美”四边形的定义得到BD⊥AC，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD为“垂美”四边形，∴BD⊥AC，∴∠AEB＝∠AED＝∠BEC＝∠DEC＝90°，在Rt△AED中，AE2+DE2＝AD2＝9，在Rt△BEC中，BE2+CE2＝BC2＝25，∴AE2+DE2+BE2+CE2＝9+25＝34，在Rt△AEB中，AE2+BE2＝AB2，在Rt△CED中，CE2+DE2＝CD2，∴AB2+CD2＝AE2+DE2+BE2+CE2＝9+25＝34，故答案为：34．14．如图，一架梯子AB斜靠在某个胡同竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处，保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点E处．已知顶端A距离地面的高度AC为2米，BC为1.5米．（1）梯子的长为米；（2）若顶端E距离地面的高度EF比AC多0.4米，则胡同的宽CF为米．【分析】（1）根据勾股定理可求出梯子的长；（2）根据勾股定理可得出BD的长，进而可求解．【解答】解：（1）在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，AC＝2米，CB＝1.5米，BC2+AC2＝AB2，∴AB2＝22+1.52＝6.25，∴AB＝±2.5，∵AB＞0，∴AB＝2.5米，即梯子的长为2.5米，故答案为：2.5；（2）由题意得CD＝AC+0.4＝2.4米，BE＝AB＝2.5米，∴BF2＝2.52﹣2.42＝0.49，∴BF＝0.7米，∴CD＝CB+BF＝1.5+0.7＝2.2米，故答案为：2.2．15．如图，已知，∠MON＝∠BAC＝90°，且点A在OM上运动，点B在ON上运动，若AB＝8，AC＝6，则OC 的最大值为．【分析】取AB的中点E，连接OE，CE，利用勾股定理求出CE，再利用直角三角形斜边上中线的性质得OE的长，最后利用三角形三边关系可得答案．【解答】解：取AB的中点E，连接OE，CE，∴AE＝4，在Rt△ACE中，由勾股定理得，CE＝＝＝2，∵∠AOB＝90°，点E为AB的中点，∴OE＝AB＝4，∵OC≤OE+CE，∴当点O、E、C共线时，OC最大值为4+2，故答案为：4+2．16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，，，分别以Rt△ABC的三条边AC、AB、BC为直径画半圆，则两个月牙形图案的面积之和（阴影部分）为．【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，设以AB，BC，AC为直径的半径分别为①，②，③，由勾股定理得S+S②＝S③，从而得出两个月牙形图案的面积之和为△ABC的面积，进而得出答案．①【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，由勾股定理得：AB＝＝3，设以AB，BC，AC为直径的半径分别为①，②，③，∴S①＝，同理S，S，∴S①+S②＝S③，∴S阴影＝S①+S②+S△ABC﹣S③＝S×＝，故答案为：．17．在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原由，C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3km，CH＝2.4km，BH＝1.8km．求原来的路线AC的长．【分析】先利用勾股定理的逆定理证明∠CHB＝90°，得出∠CHA＝90°，再利用勾股定理列出方程AC2＝（AC ﹣1.8）2+2.42，解方程即可求出AC的长度．【解答】解：∵CH2+BH2＝2.42+1.82＝9，BC2＝32＝9，∴CH2+BH2＝BC2，∴△CHB是直角三角形，且∠CHB＝90°，∴∠CHA＝90°，∴AC2＝AH2+CH2，∵AB＝AC，∴AH＝AB﹣HB＝AC﹣1.8，∴AC2＝（AC﹣1.8）2+2.42，解得：AC＝2.5，答：原来的路线AC的长为2.5km．18．如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，E为BC边上一点，且CE＝2，AE＝2．（1）求AB的长；（2）点F为AB边上的动点，当△BEF为等腰三角形时，求AF的长．【分析】（1）由勾股定理的逆定理证出∠ACE＝90°，由勾股定理可求出答案；（2）分三种情况，由勾股定理可求出答案．【解答】解：（1）∵AC＝6，CE＝2，AE＝2，∴AC2+CE2＝40，AE2＝40，∴AC2+CE2＝AE2，∴∠ACE＝90°，∴AB＝＝＝6；（2）①∵BC＝6，CE＝2，∴BE＝4，当BF＝BE＝4时，∴AF＝AB﹣BF＝6﹣4；②如图，当BF＝EF时，有∠FEB＝∠B＝45°，∴∠BFE＝90°，BF＝EF，设BF＝EF＝x，∵BF2+EF2＝BE2，∴x2+x2＝42，∴x＝2（负值舍去），∴AF＝AB﹣BF＝6﹣2＝4；③如图，当BE＝EF时，有∠EFB＝∠B＝45°，∴∠BEF＝90°，EF＝BE＝4，∴BF＝＝4，∴AF＝AB﹣BF＝6﹣4＝2．综上所述，AF的长为6﹣4或4或2．19．如图，在△DEF中，∠D＝90°，DE＝16cm，EF＝20cm，P，Q是△DEF的边上的两个动点，其中点P从点E开始沿E→D方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点D开始沿D→F→E方向运动，且速度为每秒2m，它们同时出发，设出发的时间为ts．（1）DF＝cm．（2）当点P在边EF的垂直平分线上时，t＝s．（3）当点Q在边EF上时，求使△DFQ成为等腰三角形的运动时间．【分析】（1）根据勾股定理求得DF便可；（2）设EF的垂直平分线MN分别与DE、EF交于点M、点N，由勾股定理列出t的方程，进行解答便可；（3）分FD＝FQ，DF＝DQ，QD＝DF三种情形分别进行计算即可．【解答】解：（1）∵∠D＝90°，∴DF＝（cm），故答案为：12；（2）设EF的垂直平分线MN分别与DE、EF交于点M、点N，如下图，∴EM＝MF＝t，∴DM＝DE﹣EM＝16﹣t，∵MF2﹣DM2＝DF2，即t2﹣（16﹣t）2＝122，角得t＝12.5，故答案为：12.5；（3）根据题意得，FQ＝2t﹣12，当FD＝FQ时，2t﹣12＝12，解得t＝12，当QF＝QD时，过点Q作QH⊥FD于点H，则FH＝DH，∴HQ为△EDF的中位线，∴2t﹣12＝10，解得t＝11，当DF＝DQ时，作DG⊥EF于G，则DG＝＝＝，在Rt△DGF中，由勾股定理得，FG＝＝＝，∴FQ ＝2FG ＝，∴2t ﹣12＝，解得t ＝13.2，综上：t ＝12或11或13.2．考点二勾股定理的逆定理【知识点睛】 ❖ 勾股定理的逆定理在△ABC 中，若两边的平方和=第三边的平方，则该△为直角三角形即在△ABC 中，若222c b a =+，则△ABC 为直角三角形，且∠C 为直角【类题训练】1．以下列各组线段为边作三角形，不能作出直角三角形的是（） A ．3，7，8 B ．6，8，10C ．1，2，D ．0.3，0.4，0.5【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．【解答】解：A 、32+72≠82，故A 选项不能构成直角三角形； B 、62+82＝102，故B 选项能构成直角三角形； C 、12+22＝（）2，故C 选项能构成直角三角形；D 、0.32+0.42＝0.52，故D 选项能构成直角三角形．故选：A ．2．如图，小正方形的边长均为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ACB 的度数是（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【分析】利用勾股定理求解AB ，BC ，AC 的长可判断△ABC 为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质可求解．【解答】解：由图可知：AB ＝，BC ＝， AC ＝，∴AB 2+BC 2＝AC 2，AB ＝BC ，∴△ABC 为等腰直角三角形，∠ABC ＝90°， ∴∠ACB ＝45°．故选：B．3．如图，某海域有相距10海里的两个小岛A和C，甲船先由A岛沿北偏东70°方向走了8海里到达B岛，然后再从B岛走了6海里到达C岛，此时甲船位于B岛的（）A．北偏东20°方向上B．北偏西20°方向上C．北偏西30°方向上D．北偏西40°方向上【分析】根据题意可得：∠DAB＝70°，AB＝8海里，BC＝6海里，AC＝10海里，然后利用勾股定理的逆定理先证明△ABC是直角三角形，从而∠ABC＝90°，最后利用平行线的性质求出∠ABE＝110°，从而利用角的和差关系即可解答．【解答】解：如图：由题意得：∠DAB＝70°，AB＝8海里，BC＝6海里，AC＝10海里，∵AB2+BC2＝82+62＝100，AC2＝102＝100，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°，∵AD∥BE，∴∠ABE＝180°﹣∠DAB＝110°，∴∠CBE＝∠ABE﹣∠ABC＝20°，∴此时甲船位于B岛的北偏西20°方向上，故选：B．4．如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点A，B，C为格点，点D为AC与网格线的交点，则∠ADB﹣∠ABD＝．【分析】连接AE，BE，设AE与BD交于点F，根据勾股定理的逆定理先证明△ABE是等腰直角三角形，从而可得∠BAE＝45°，再根据题意可得∠AFD＝∠ADF，然后利用三角形的外角，进行计算即可解答．【解答】解：如图：连接AE，BE，设AE与BD交于点F，由题意得：AB2＝12+32＝10，AE2＝12+22＝5，EB2＝12+22＝5，∴AE＝EB，BE2+AE2＝AB2，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAE＝45°，∵BD∥EC，∴∠ADB＝∠ACE，∠AFD＝∠AEC，∵AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE，∴∠AFD＝∠ADF，∵∠AFD是△ABF的一个外角，∴∠AFD﹣∠ABD＝∠BAE＝45°，∴∠ADB﹣∠ABD＝45°，故答案为：45°．5．如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，AD＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积是．【分析】先连接AC，由勾股定理求得AC的长度，然后根据勾股定理的逆定理判定△ACD是直角三角形，最后根据四边形ABCD的面积＝直角△ABC的面积+直角△ADC的面积，列式计算即可．【解答】解：如图，连接AC，在△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝＝5．在△ADC中，AD＝12，CD＝13，AC＝5．∵122+52＝132，即AD2+AC2＝CD2，∴△ADC是直角三角形，且∠DAC＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝AB•BC+AC•AD＝×4×3+×5×12＝6+30＝36．故答案为：36．6．如图，点A、B、C在正方形网格点上，则∠ABC+∠ACB＝．【分析】延长BA到点D，连接CD，根据勾股定理的逆定理证明△ACD是等腰直角三角形，从而可得∠DAC＝45°，然后再利用三角形的外角进行计算即可解答．【解答】解：如图：延长BA到点D，连接CD，由题意得：AD2＝22+12＝5，CD2＝22+12＝5，AC2＝12+32＝10，∴AD2+CD2＝AC2，∴△ACD是直角三角形，∴∠ADC＝90°，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∵∠DAC是△ABC的一个外角，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝45°，故答案为：45°．7．如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”（格线的交点），以这5个格点中的3点为顶点画三角形，共可以画个直角三角形．【分析】根据题意画出图形，再找到其中的直角三角形即可得到结论．【解答】解：如图，一共可以画9个三角形，其中△ABE，△BCE，△CDE是直角三角形，共可以画3个直角三角形．故答案为：3．8．如图，点B为x轴上的一个动点，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（4，1），CE⊥x轴于E点，当点B的坐标为时，△ABC为直角三角形．【分析】可设点B的坐标为（x，0），分三种情况：①AB为斜边；②AC为斜边；③BC为斜边；根据勾股定理及逆定理列出方程计算即可求解．【解答】解：设点B的坐标为（x，0），分三种情况：①AB为斜边，（4﹣1）2+42+（x﹣4）2+12＝x2+42，解得x＝；②AC为斜边，（x﹣4）2+12+x2+42＝（4﹣1）2+42，解得x＝2；③BC为斜边，（x﹣4）2+12＝x2+42+（4﹣1）2+42，解得x＝﹣3．故当点B的坐标为（，0）或（2，0）或（﹣3，0）时，△ABC为直角三角形．故答案为：（，0）或（2，0）或（﹣3，0）．9．如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C有个．【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．【解答】解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的格点C有0个；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的格点C有3个．故满足条件的格点C有3个．故答案为：3．10．如图所示，四边形ABCD，∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m．（1）求四边形ABCD的面积；（2）如图2，以A为坐标原点，以AB、AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系，点P在y轴上，若S△PBD ＝S四边形ABCD，求P的坐标．【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理可求出BD＝5m，然后再证明△BDC是直角三角形，从而可得∠DBC＝90°，最后根据四边形ABCD的面积＝△ABD的面积+△DBC的面积，进行计算即可解答；（2）设P（0，a），可得PD＝|a﹣4|，然后根据已知可得•|a﹣4|•3＝9，进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵∠A＝90°，AB＝3m，DA＝4m，∴BD＝＝＝5（m），∵BC＝12m，CD＝13m，∴DB2+BC2＝52+122＝169，CD2＝132＝169，∴BD2+BC2＝CD2，∴△BDC是直角三角形，∴∠DBC＝90°，∴四边形ABCD的面积＝△ABD的面积+△DBC的面积＝AD•AB+DB•BC＝×4×3+×5×12＝36（m2），∴四边形ABCD的面积为36m2；（2）设P（0，a），∵DA＝4m，∴D（0，4），∴PD＝|a﹣4|，∵S△PBD＝S四边形ABCD，PD•AB＝×36，•|a﹣4|•3＝9，|a﹣4|＝6，a﹣4＝±6，a＝10或a＝﹣2，∴P（0，10）或（0，﹣2）．11．在一次“探究性学习”中，老师设计了如下数表：n23456…a22﹣132﹣142﹣152﹣162﹣1…b4681012…C22+132+142+152+162+1…（1）观察上表，用含n（n＞1，且n为整数）的代数式表示a，b，c，则a＝，b＝，c＝．（2）在（1）的条件下判断：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论．【分析】（1）根据表格中数据，即可解答；（2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．【解答】解：（1）观察上表，用含n（n＞1，且n为整数）的代数式表示a，b，c，则a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，故答案为：n2﹣1，2n，n2+1；（2）以a，b，c为边的三角形是直角三角形，证明：∵a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，∴a2＝（n2﹣1）2＝n4﹣2n2+1，b2＝（2n）2＝4n2，c2＝（n2+1）2＝n4+2n2+1，∴a2+b2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1，∴a2+b2＝c2，∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度；（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得BD＝5，由勾股定理计算可得AD的长，由等腰直角三角形性质得DF＝5，最后由线段的差可得结论；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△CHB≌△AEF（SAS），得AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，由等腰三角形三线合一的性质得EF＝FH，最后由勾股定理和等量代换可得结论．【解答】（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BC＝10，∴BD＝5，Rt△ABD中，∵AB＝13，∴AD＝＝＝12，Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴DF＝BD＝5，∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；（2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH在△CHB和△AEF中，∵，∴△CHB≌△AEF（SAS），∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，∴∠CEF＝∠CHE，∴CE＝CH，∵BD＝CD，FD⊥BC，∴CF＝BF，∴∠CFD＝∠BFD＝45°，∴∠CFB＝90°，∴EF＝FH，Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，∴BF2+EF2＝AE2．。

人教版八年级数学讲义勾股定理逆定理(含解析)(2020年最新)

两者面积相
∴ S =S +S = 四边形 ABCD △ABC △ACD ×6×8+ × 10×24=144．
讲解用时： 3 分钟解题思路：此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，通过作辅助线可将一般
的四边形转化为两个直角三角形，使面积的求解过程变得简单．教学建议：熟练运用勾股定理及其逆定理 . 难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份： 2018
【答案】是【解析】根据勾股定理的逆定理，可得答案．
解：由分别以△ ABC的三边为直径向外作 3 个半圆，它们的面积分别为 4、5、9，得 BC2+AC2=AB2，则△ ABC是直角三角形，故答案为：是．讲解用时： 3 分钟解题思路：本题考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理是解题关键．教学建议：掌握勾股定理的逆定理并熟练运用 . 难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份： 2018
【例题 3】
如图，正方形网格中的△ ABC，若小方格边长都为 1，则△ ABC是：
三角形．
【答案】直角
【解析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平
方和等于最长边的平方即可．解：∵ AC2=22+32=13，AB2=62+42=52， BC2=82+12=65， ∴ AC2+AB2=BC2，∴△ ABC是直角三角形．讲解用时： 3 分钟解题思路：本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，
【答案】（ 1）是；（ 2） 12，16，20；（ 3） a、 b、 c 为勾股数
【解析】（ 1）直接利用勾股数的定义去验证即可；
（ 2）根据勾股数的定义：满足 a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数，即可写出

人教版八年级数学勾股定理逆定理讲义 (含解析)

第17讲勾股定理逆定理知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习勾股定理的逆定理。

它是初中几何中及其重要的一个定理，是今后判断某三角形是直角三角形的证明方法之一，有着广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想，因此本节内容至关重要。

知识梳理讲解用时：20分钟勾股定理逆定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2.2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.勾股定理与勾股定理逆定理是互逆的关系3.定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理.4.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.（例：勾股定理与勾股定理逆定理）5.勾股数：勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数.熟记几组常见的勾股数：（3，4，5）、（6，8，10）、（5，12，13）（7，24，25）、（9、40、41）等等.注意：一组勾股数同时扩大或缩小相应的倍数，仍满足勾股定理的逆定理.课堂精讲精练【例题1】在以下列三个数为边长的三角形中，不能组成直角三角形的是（）A．4、7、9 B．5、12、13 C．6、8、10 D．7、24、25【答案】A【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．解：A、42+72≠92，故不是直角三角形，故此选项符合题意；B、52+122=132，故是直角三角形，故此选项不符合题意；C、82+62=102，故是直角三角形，故此选项不符合题意；D、72+242=252，故是直角三角形，故此选项不符合题意．故选：A．讲解用时：2分钟解题思路：本题考查勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．教学建议：掌握勾股定理的逆定理，只要满足最长的边的平方等于另外两边的平方和即可.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2﹣c2=a2 B．a：b：c=3：4：5C．∠A：∠B：∠C=9：12：15 D．∠C=∠A﹣∠B【答案】C【解析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．解：A、由b2﹣a2=c2得b2=a2+c2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；B、由a：b：c=3：4：5得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；C、由∠A：∠B：∠C=9：12：15，及∠A+∠B+∠C=180°得∠C=75°≠90°，故不是直角三角形．D、由三角形三个角度数和是180°及∠C=∠A﹣∠B解得∠A=90°，故是直角三角形；故选：C．讲解用时：2分钟解题思路：本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键．教学建议：通过勾股定理逆定理或者三角形内角和判断出直角即可.难度： 2 适应场景：当堂练习例题来源：金堂县期末年份：2017【练习1.2】下列各组数中，是勾股数的为（）A．1，1，2 B．1.5，2，2.5 C．7，24，25 D．6，12，13【答案】C【解析】根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可．解：A、∵12+12≠22，∴不是勾股数，此选项错误；B、1.5和2.5不是整数，此选项错误；C、∵72+242=252，∴是勾股数，此选项正确；D、∵62+122≠132，∴不是勾股数，此选项错误．故选：C．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了勾股数，说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…教学建议：熟记基本的勾股数同时扩大或缩小相应的倍数仍然满足勾股定理的逆定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2017【例题2】已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为．【答案】24【解析】根据三角形三边长，利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形，然后即可求得面积．解：∵62+82=102，∴此三角形为直角三角形，∴此三角形的面积为：×6×8=24．故答案为：24．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查学生对勾股定理逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形．教学建议：通过勾股定理逆定理判断出直角三角形，然后求面积.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：牡丹区期末年份：2017【练习2.1】三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形的形状是三角形．【答案】直角【解析】根据题目中的式子和勾股定理的逆定理可以解答本题．解：∵2ab=（a+b）2﹣c2，∴2ab=a2+2ab+b2﹣c2，∴a2+b2=c2，∵三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，∴此三角形是直角三角形，故答案为：直角．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查勾股定理的逆定理、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．教学建议：化简之后通过勾股定理的逆定理证明直角.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…可发现，4=，12=，24=…请写出第5个数组：．【答案】11，60，61【解析】先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．解：∵①3=2×1+1，4=2×12+2×1，5=2×12+2×1+1；②5=2×2+1，12=2×22+2×2，13=2×22+2×2+1；③7=2×3+1，24=2×32+2×3，25=2×32+2×3+1；④9=2×4+1，40=2×42+2×4，41=2×42+2×4+1；⑤11=2×5+1，60=2×52+2×5，61=2×52+2×5+1，故答案为：11，60，61．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键．教学建议：学会探索勾股数的规律.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：永城市期中年份：2017【练习3.1】若8，a，17是一组勾股数，则a= ．【答案】【解析】分a为最长边，17为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．解：①a为最长边，a=，不是正整数，不符合题意；②17为最长边，a==15，三边是整数，能构成勾股数，符合题意．故答案为：15．讲解用时：3分钟解题思路：考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．教学建议：本题要分两种情况考虑，熟记勾股数都是正整数.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：通州区校级期中年份：2017【例题4】如图，△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为单位1．（1）求证：△ABC为直角三角形；（2）求点B到AC的距离．【答案】（1）△ABC为直角三角形；（2）【解析】（1）根据勾股定理以及逆定理解答即可；（2）根据三角形的面积公式解答即可．解：（1）由勾股定理得，AB=，BC=2，AC=AB2+BC2=65=AC2△ABC为直角三角形；（2）作高BD，由得，解得，BD=点B到AC的距离为．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查勾股定理问题，关键是根据勾股定理以及逆定理解答．教学建议：熟练掌握并应用勾股定理的逆定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】计算图中四边形ABCD的面积．【答案】246【解析】首先利用勾股定理求出BD的长，再利用勾股定理的逆定理证明三角形BDC是直角三角形，最后利用三角形的面积公式求出答案．解：∵∠A=90°，∴BD2=AD2+AB2=400，∴BD2+CD2=625=BC2，∴△BCD为直角三角形，∴S四边形ABCD=AD•AB+CD•BD=246．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了勾股定理的逆定理以及勾股定理的知识，解题的关键是证明△BCD为直角三角形，此题难度不大．教学建议：灵活应用勾股定理和勾股定理逆定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：阜宁县期末年份：2017【例题5】如图，已知在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=2cm，AD=cm，CD=5cm，BC=4cm，求四边形ABCD的面积．【答案】+6【解析】连接BD，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形，则四边形ABCD的面积是两个直角三角形的面积和．解：连接BD．∵∠A=90°，AB=2cm，AD=，∴根据勾股定理可得BD=3，又∵CD=5，BC=4，∴CD2=BC2+BD2，∴△BCD是直角三角形，∴∠CBD=90°，∴S四边形ABCD =S△ABD+S△BCD=AB•AD+BC•BD=×2×+×4×3=+6（cm2）．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，辅助线的作法是关键．解题时注意：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．教学建议：灵活应用勾股定理和勾股定理逆定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】如图，四边形ABCD中，AB=AD=2，BC=3，CD=1，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．【答案】2+【解析】首先在Rt△BAD中，利用勾股定理求出BD的长，再根据勾股定理逆定理在△BCD中，证明△BCD是直角三角形，再根据四边形ABCD的面积=三角形BAD的面积+三角形BDC的面积即可求出答案．解：连接BD，在Rt△BAD中，∵AB=AD=2，∴BD==2，在△BCD中，DB2+CD2=（2）2+12=9=CB2，∴△BCD是直角三角形，∴∠BDC=90°，∴四边形ABCD的面积=三角形BAD的面积+三角形BDC的面积=2×2÷2+1×2÷2=2+．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解本题的关键．教学建议：灵活应用勾股定理和勾股定理逆定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图，AD是△ABC的中线，AD=12，AB=13，BC=10，求AC长．【答案】13【解析】首先利用勾股定理逆定理证明∠ADB=90°，再利用勾股定理计算出AC 的长即可．解：∵AD是△ABC的中线，且BC=10，∴BD=BC=5．∵52+122=132，即BD2+AD2=AB2，∴△ABD是直角三角形，则AD⊥BC，又∵CD=BD，∴AC=AB=13．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，根据题意证明∠ADB=90°是解决问题的关键．教学建议：熟练运用并掌握勾股定理及其逆定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：滨海县期末年份：2017【练习6.1】如图，有一块耕地ACBD，已知AD=24m，BD=26m，AC⊥BC，且AC=6m，BC=8m．求这块耕地的面积．【答案】96m2【解析】连接AB，先根据勾股定理求出AB的长，再由勾股定理的逆定理，判断出△ABD的形状，根据S四边形ADBC =S△ABD﹣S△ABC即可得出结论．解：连接AB，∵AC⊥BC，AC=6m，BC=8m，∴Rt△ABC中，AB==10m，∵AD=24m，BD=26m，∴AD2=242=576，BD2=262=676，AB2=102=100，∴AB2+AD2=BD2，∴△ABD是直角三角形，∴S四边形ADBC =S△ABD﹣S△ABC=AB•AD﹣AC•BC=×10×24﹣×8×6=120﹣24=96m2．答：这块土地的面积是96m2．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查的是勾股定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．教学建议：熟练运用并掌握勾股定理及其逆定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习6.2】如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．若一只小鸟从一棵树的树梢A飞到另一棵树的树梢B，小鸟至少需飞行多少米？【答案】10【解析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解：如图，设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，在Rt△AEC中，AC==10m，故小鸟至少飞行10m．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．教学建议：将实际问题转化为具体的几何问题，通过勾股定理进行计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：高安市期中年份：2018【例题7】如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C 处浇水，最后沿第三方向走100m回到家A处．问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由．【答案】沿南偏东60°方向【解析】首先根据勾股定理逆定理得出∠ABC=90°，然后再判断AD∥NM，可得∠NBA=∠BAD=30°，再根据平角定义可得∠MBC=180°﹣90°﹣30°=60°，进而得到答案．解：∵AB=60，BC=80，AC=100，∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，∴AD∥NM，∴∠NBA=∠BAD=30°，∴∠MBC=180°﹣90°﹣30°=60°，∴小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．教学建议：熟练掌握并应用勾股定理的逆定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：灵石县期中年份：2018【练习7.1】某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【答案】沿西北方向航行【解析】根据路程=速度×时间分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而求解．解：根据题意，得PQ=16×1.5=24（海里），PR=12×1.5=18（海里），QR=30（海里），∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，∴∠QPR=90°．由“远洋号”沿东北方向航行可知，∠QPS=45°，则∠SPR=45°，即“海天”号沿西北方向航行．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查路程、速度、时间之间的关系，勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．教学建议：熟练掌握并应用勾股定理的逆定理.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AD=9，BD=16，CD=12．（1）求△ABC的周长；（2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．【答案】（1）60；（2）是【解析】（1）由勾股定理求出BC、AC，即可得出结果；（2）由勾股定理的逆定理即可得出结论．解：（1）∵CD⊥AB，∴∠BDC=∠ADC=90°，∴BC==20，AC==15，∵AB=AD+BD=25，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=25+20+15=60；（2）△ABC是直角三角形；理由如下：∵BC2+AC2=202+152=252=AB2，∴△ABC是直角三角形．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：东海县校级期中年份：2017【作业2】如图，四边形ABCD中，∠ADC=90°，AD=12，CD=9，AB=25，BC=20，求四边形ABCD的面积．【答案】204【解析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出△ACB是直角三角形，分别求出△ABC和△ACD的面积，即可得出答案．解：连结AC，在△ADC中，∵∠D=90°，AD=12，CD=9，∴AC==15，S△ABC=AD•CD=×12×9=54，在△ABC中，∵AC=15，AB=25，BC=20，∴BC2+AC2=AB2，∴△ACB是直角三角形，∴S△ACB=AC•BC=×15×20=150．∴四边形ABCD的面积=S△ABC +S△ACD=150+54=204．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：岱岳区期中年份：2017【作业3】如图，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的位置如图所示，你能判断△ABC是什么三角形吗？请说明理由．【答案】直角三角形【解析】根据勾股定理即可求得△ABC的三边的长，再由勾股定理的逆定理即可作出判断．解：△ABC是直角三角形．在直角△ABF、直角△BCD、直角△ACE中，根据勾股定理即可得到：AB==；BC==；AC==5；则AC2=BC2+AB2∴△ABC是直角三角形．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：成都期中年份：2017【作业4】如图，在四边形ABCD中，AB=BC=3，CD=，AD=，且∠B=90°，∠D=60°，求∠BCD的度数．【答案】75°【解析】连接AC，由于∠B=90°，AB=BC=3，利用勾股定理可求AC，并可求∠BAC=45°，而CD=，AD=，易得AC2+AD2=CD2，可证△ACD是直角三角形，于是有∠CAD=90°，根据直角三角形的性质可求∠DCA，从而易求∠BCD．解：连接AC，∵∠B=90°，AB=BC=3，∴AC===3，∠BAC=∠BCA=45°，又∵CD=，AD=∴AC2+AD2=18+6=24，CD2=24，∴AC2+AD2=CD2，∴△ACD是直角三角形，∴∠CAD=90°，∴∠DCA=90°﹣∠D=30°，∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=75°．讲解用时：4分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】已知△ABC的三边长为a、b、c，满足a+b=10，ab=18，c=8，则此三角形为三角形．【答案】直角【解析】对原式进行变形，发现三边的关系符合勾股定理的逆定理，从而可判定其形状．解：∵a+b=10，ab=18，c=8，∴（a+b）2﹣2ab=100﹣36=64，c2=64，∴a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形．故答案为：直角．讲解用时：3分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。

人教版八年级下册数学第17章《勾股定理》讲义第6讲勾股定理-逆定理(有答案)

第6讲勾股定理－逆定理假如三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 .①勾股定理的逆定理是断定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形〞来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比拟，假设它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；假设222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；假设222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如假设三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描绘时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形①可以构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以进步解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+〔2,n ≥n 为正整数〕；2221,22,221n n n n n ++++〔n 为正整数〕2222,2,m n mn m n -+〔,m n >m ，n 为正整数〕勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或详细的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理断定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决：假如一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

假如把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

专题04 勾股定理的逆定理(知识点串讲)(解析版)

专题04 勾股定理的逆定理知识网络重难突破一. 勾股定理的逆定理1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 2．勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.典例1．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2﹣c2＝a2B．a：b：c＝3：4：5C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝9：12：15【答案】D【解析】解：b2﹣c2＝a2则b2＝a2+c2△ABC是直角三角形；a：b：c＝3：4：5，设a＝3x，b＝4x，c＝5x，a2+b2＝c2，△ABC是直角三角形；∠C＝∠A﹣∠B，则∠B＝∠A+∠C，∠B＝90°，△ABC是直角三角形；∠A：∠B：∠C＝9：12：15，设∠A、∠B、∠C分别为9x、12x、15x，则9x+12x+15x＝180°，解得，x＝5°，则∠A、∠B、∠C分别为45°，60°，75°，△ABC不是直角三角形；故选：D．典例2．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，AD＝1，CD＝3．（1）求∠DAB的度数；（2）求四边形ABCD的面积．【答案】见解析【解析】解：（1）连接AC，∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴，∠BAC＝45°，∵AD＝1，CD＝3，∴，CD2＝9，∴AD2+AC2＝CD2，∴△ADC是直角三角形，∴∠DAC＝90°，∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝135°．（2）在Rt△ABC中，，在Rt△ADC中，．∴．【点睛】（1）由于∠B＝90°，AB＝BC＝2，利用勾股定理可求AC，并可求∠BAC＝45°，而CD＝3，DA＝1，易得AC2+DA2＝CD2，可证△ACD是直角三角形，于是有∠CAD＝90°，从而易求∠BAD；（2）连接AC，则可以计算△ABC的面积，根据AB、BC可以计算AC的长，根据AC，AD，CD可以判定△ACD为直角三角形，根据AD，CD可以计算△ACD的面积，四边形ABCD的面积为△ABC和△ADC面积之和．解题的关键是连接AC，并证明△ACD是直角三角形．典例3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，请按要求完成下列各题．（1）线段AB的长为_____，BC的长为_____，CD的长为______；（2）连接AC，通过计算说明△ACD和△ABC是什么特殊三角形．【答案】见解析【解析】解：（1）由勾股定理得：AB，BC5，CD2；故答案为：，5，2；（2）∵AC2，AD═2，∴AC＝AD，∴△ACD是等腰三角形；∵AB2+AC2＝5+20＝25＝BC2，∴△ABC是直角三角形．【点睛】（1）把线段AB、BC、CD、放在一个直角三角形中利用勾股定理计算即可；（2）根据勾股定理的逆定理求出AC＝AD，即可判断△ACD的形状；由勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形．典例4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5，求BD的长．【答案】见解析【解析】解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，如图所示：则∠M＝90°，∴∠DCM+∠CDM＝90°，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC2＝AB2+BC2＝25，∴AC＝5，∵AD＝5，CD＝5，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCM＝90°，∴∠ACB＝∠CDM，∵∠ABC＝∠M＝90°，在△ABC和△CMD中∴△ABC≌△CMD，∴CM＝AB＝3，DM＝BC＝4，∴BM＝BC+CM＝7，∴BD，【点睛】作DM⊥BC，交BC延长线于M，由勾股定理得出AC2＝AB2+BC2＝25，求出AC2+CD2＝AD2，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，证出∠ACB＝∠CDM，得出△ABC≌△CMD，由全等三角形的性质求出CM＝AB＝3，DM＝BC＝4，得出BM＝BC+CM＝7，再由勾股定理求出BD即可．本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握全等三角形的判定与性质，由勾股定理的逆定理证出△ACD是直角三角形是解决问题的关键．二. 勾股数1．勾股数：满足关系a 2+b 2=c 2的3个正整数a 、b 、c 称为勾股数．注意：勾股数必须是正整数.2．常见的几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……注意：如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.典例1阅读：所谓勾股数就是满足方程x 2+y 2＝z 2的正整数解，即满足勾股定理的三个正整数构成的一组数．我国古代数学专著《九章算术》一书中，在历史上第一次给出该方程的解为x （m 2﹣n 2），y ＝mn ，z （m 2+n 2），其中m ＞n ＞0，m 、n 是互质的奇数．应用：已知某直角三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n ＝5，求该直角三角形另两边的长．【答案】见解析【解析】解：∵n ＝5∴x （m 2﹣52），y ＝5m ，z （m 2+25） ∵直角三角形的一边长为37∴分三种情况讨论，①当x ＝37时，（m 2﹣52）＝37解得m ＝±3（不合题意，舍去）②当y＝37时，5m＝37，解得m（不合题意舍去）；③当z＝37时，37（m2+n2）解得m＝±7，∵m＞n＞0，m、n是互质的奇数∴m＝7把m＝7代入①②得，x＝12，y＝35．综上所述：当n＝5时，一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12，35．【点睛】讨论：①当x＝37时，利用（m2﹣52）＝37计算出m，然后分别计算出y和z；②当y＝37时，利用5m＝37，解得m，不合题意舍去；③当z＝37时，利用37（m2+n2）求出m＝±7，从而得到当n＝5时，一边长为37的直角三角形另两边的长．本题考查了勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．其中三个数必须是正整数．三. 勾股定理的应用1．解勾股定理实际问题的一般步骤：①仔细审题，读懂题意；②找出或构造出与问题有关的直角三角形；③在直角三角形中根据勾股定理列算式或列方程；④求解所列算式或方程，直接或间接得到答案；⑤作答.解有关勾股定理的实际问题的关键是将实际问题转化为数学模型.2．求立体图形表面的最短路径关键点：解决有关立体图形中路线最短的问题，其关键是把立体图形中的路线问题转化为平面上的路线问题．如圆柱侧面展开图为长方形，圆锥侧面展开图为扇形，长方体侧面展开图为长方形等．运用平面上两点之间线段最短的道理，利用勾股定理求解．典例1．如图，已知某学校A与直线公路BD相距3000米，且与该公路上一个车站D相距5000米，现要在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市与车站D的距离是多少米？【答案】见解析【解析】解：根据题意得：AC＝CD，∠ABD＝90°．在直角三角形ABD中，∵AB＝3000，AD＝5000，∴BD4000（m），设CD＝AC＝x米，BC＝4000﹣x（米），在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，即x2＝30002+（4000﹣x）2解得：x＝3125，答：该超市与车站D的距离是3125米．【点睛】根据题意，AC＝CD，∠ABD＝90°，由AB、AD的长易求BD，设CD＝x米，则AC＝x，BC ＝BD﹣x．在直角三角形ABC中运用勾股定理得关系式求解．典例2．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行几米？【答案】见解析【解析】解：如图，设大树高为AB＝10m，小树高为CD＝4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6m，在Rt△AEC中，AC═10（m），答：小鸟至少飞行10米．【点睛】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．典例3．生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定，如图1，AB为一长度为6米的梯子．（1）当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.7米高的墙头吗？（2）如图2，若梯子底端向左滑动（32）米，那么梯子顶端将下滑多少米？【答案】见解析【解析】解：（1）设梯子放平稳时，可以到达x米高的墙头，得x2＝62﹣（6）2．解得：x＝﹣4或x＝4，∵5.72＝32.49＞32，∴它的顶端不能到达5.7米高的墙头．（2）∵梯子底端向左滑动（32）米，∴OD＝OB+BD＝632＝3米，∴OC3米，∴AC＝AO﹣CO＝43m．答：梯子的顶端将下滑动米．【点睛】（1）在三角形ABC中利用勾股定理求解直角三角形即可．（2）根据梯子底端向左滑动（32）米得出OD的长，根据勾股定理求出OC的长，进而可得出结论．典例4．限速安全驾，文明靠大家，根据道路管理条例规定，在某段笔直的公路L上行驶的车辆，限速60千米/时．一观测点M到公路L的距离MN为30米，现测得一辆汽车从A点到B点所用时间为5秒，已知观测点M到A，B两点的距离分别为50米、34米，通过计算判断此车是否超速．【答案】见解析【解析】解：∵在Rt△AMN中，AM＝50，MN＝30，∴AN40米，∵在Rt△MNB中，BM＝34，MN＝30，∴BN16米，∴AB＝AN+NB＝40+16＝56（米），∴汽车从A到B的平均速度为56÷5＝11.2（米/秒），∵11.2米/秒＝40.32千米/时＜60千米/时，∴此车没有超速．【点睛】在Rt△AMN中根据勾股定理求出AN，在Rt△BMN中根据勾股定理求出BN，由AN+NB求出AB的长，根据路程除以时间得到速度，即可做出判断．此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，正确求出AN与BN的长是解本题的关键．典例5．如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度的比为4：3，货船沿东偏南10°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，若此时两船相距50海里．（1）求两船的速度分别是多少？（2）求客船航行的方向．【答案】见解析【解析】解：（1）设两船的速度分别是4x海里/小时和3x海里/小时，依题意得4x﹣3x＝5．解得x＝5，∴4x＝20，3x＝15，∴两船的速度分别是20海里/小时和15海里/小时；（2）由题可得，AB＝15×2＝30，AC＝20×2＝40，BC＝50，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，又∵货船沿东偏南10°方向航行，∴客船航行的方向为北偏东10°方向．【点睛】（1）设两船的速度分别是4x海里/小时和3x海里/小时，依据客船每小时比货船多走5海里，列方程求解即可；（2）依据AB2+AC2＝BC2，可得△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，再根据货船沿东偏南10°方向航行，即可得到客船航行的方向为北偏东10°方向．典例6．某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为5m、12m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以12m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．【答案】见解析【解析】解：如图1，在Rt△ABC中，∵AC＝12m，BC＝5m，∴AB＝13m，（1）如图1，当AB＝AD时，CD＝5m，△ABD的周长为13m+13m+5m+5m＝36m；（2）如图2，当AB＝BD时，CD＝8m，AD4m，△ABD的周长是13m+13m+4m＝（26+4）m；（3）如图3，当DA＝DB时，设AD＝x，则CD＝x﹣5，则x2＝（x﹣5）2+122，∴x，∴△ABD的周长是13m m m＝46.8m，答：扩建后的等腰三角形花圃的周长是36m或（26+4）m或46.8m．【点睛】根据勾股定理求出斜边AB，（1）当AB＝AD时，求出CD即可；（2）当AB＝BD时，求出CD、AD即可；（3）当DA＝DB时，设AD＝x，则CD＝x﹣5，求出即可．本题主要考查对勾股定理的应用，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能通过分类求出等腰三角形的所有情况是解此题的关键．巩固练习1．由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（）A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝12，b＝13，c＝5C．a＝15，b＝8，c＝17 D．a＝13，b＝14，c＝15【答案】D【解析】解：A、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；B、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；C、152+82＝172，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．故选：D．2．若3，4，a和5，b，13是两组勾股数，则a+b的值是____．【答案】17【解析】解：∵3，4，a和5，b，13是两组勾股数，∴a＝5，b＝12，∴a+b＝17，故答案为：17．3．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为_____．【答案】（x﹣3）2+64＝x2【解析】解：设绳索长为x尺，可列方程为（x﹣3）2+64＝x2，故答案为：（x﹣3）2+64＝x2.4．如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝4cm，CD＝3cm，AB＝13cm，BC＝12cm，求这个四边形的面积？【答案】见解析【解析】解：连接AC，∵AD＝4cm，CD＝3cm，∠ADC＝90°，∴AC5（cm）∴S△ACD CD•AD＝6（cm2）．在△ABC中，∵52+122＝132即AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，即∠ACB＝90°，∴S△ABC AC•BC＝30（cm2）．∴S四边形ABCD＝S△ABC﹣S△ACD＝30﹣6＝24（cm2）．答：四边形ABCD的面积为24cm2．5．如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1（1）求四边形ABCD的面积；（2）求∠BCD的度数．【答案】见解析【解析】解：（1）S四边形ABCD＝5×71×71×22×43×6；（2）连BD，∵BC＝2，CD，BD＝5，BC2+CD2＝BD2，∴∠BCD＝90°．6．如图，在△ABC中，E点是AC的中点，其中BD＝2，DC＝6，BC，AD，求DE的长．【答案】见解析【解析】解：∵BD2+CD2＝22+62＝（2）2＝BC2，∴△BDC为直角三角形，∠BDC＝90°，在Rt△ADC中，∵CD＝6，AD＝2，∴AC2＝（2）2+62＝60，∴AC＝2，∵E点为AC的中点，∴DE AC．7．从正面看一个底面直径为10cm的圆柱体饮料杯子如图所示，在它的正中间竖直插入一根吸管（吸管在杯口一端的位置固定不动），吸管露出杯子外1cm，当吸管伸向杯壁底部时，吸管顶端刚好与杯口高度平齐．求杯子的高度．【答案】见解析【解析】解：设杯子的高度为xcm，则吸管的长度为（x+1）cm，根据题意得：（x+1）2＝52+x2，解得：x＝12．答：杯子的高度为12cm．8．如图，一架梯子AB斜靠在一竖直的墙OA上，这时AO＝2m，∠OAB＝30°，梯子顶端A沿墙下滑至点C，使∠OCD＝60°，同时，梯子底端B也外移至点D．求BD的长度，（结果保留根号）【答案】见解析【解析】解：在Rt△ABO中，∵AO＝2，∠OAB＝30°，∴AB，根据勾股定理知BO，由题意知DC＝AB，在Rt△COD中，根据勾股定理知，DO2，所以BD＝DO﹣BO＝2（米）．9．如图，港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一个固定方向航行，“远航”号沿西南方向以每小时12海里的速度航行，“海天”号沿东南方向以每小时16海里的速度航行，它们离开港口5小时后分别位于A、B两处，求此时A、B之间的距离．【答案】见解析【解析】解：如图，由已知得，AP＝12×5＝60海里，PB＝16×5＝80海里，在△APB中，∵∠APB＝90°，由勾股定理得AP2+PB2＝AB2，即602+802＝AB2，AB100海里．答：此时A、B之间的距离相距100海里．10．如图，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽AB为3.3m，在入口的一侧安装了停止杆CD，其中AE为支架．当停止杆仰起并与地面成60°角时，停止杆的端点C 恰好与地面接触．此时CA为0.7m．在此状态下，若一辆货车高3m，宽2.5m，入口两侧不能通车，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗？请你通过计算说明．（参考数据： 1.7）【答案】见解析【解析】解：不能通过．如图，在AB之间找一点F，使BF＝2.5m，过点F作GF⊥AB交CD于点G，∵AB＝3.3m，CA＝0.7m，BF＝2.5m，∴CF＝AB﹣BF+CA＝1.5m，∵∠ECA＝60°，∠CGF＝30°∴CG＝2CF＝3m，∴GF 2.55（m），∵2.55＜3∴这辆货车在不碰杆的情况下，不能从入口内通过．。

勾股定理及其逆定理(讲义)(含答案)

勾股定理及其逆定理（讲义）➢课前预习1.请你回顾直角三角形的性质：边：直角三角形斜边长______任意一条直角边长；角：直角三角形两锐角_________．2.请同学们计算并背诵下列数的平方：112=_______，122=_______，132=_______，142=_______，152=_______，162=_______，172=_______，182=_______，192=_______．3.想一想：如图是由边长为1的正方形组成的网格，直角三角形的顶点在网格的格点上．分别以直角三角形的三边为边，向外作正方形，请你分别求出这三个正方形的面积S A，S B，S C，并思考S A，S B，S C之间的数量关系．CAB➢ 知识点睛1. 勾股定理：如果用a ，b 和c 2. 3. 勾股定理逆定理：如果__________________________________________________．如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 24. 勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．常见勾股数有____________；_____________；_______________；______________；_______________；________________．➢ 精讲精练1. 若一个直角三角形的斜边长为17 cm ，一条直角边长为15 cm ，则另一条直角边的长为_________．2. 若一个直角三角形的三边长为6，8，x ，则以x 为边长的正方形的面积为_________．3.如图，在Rt△ABC和Rt△ACF中，BC长为3 cm，AB长为4 cm，AF长为12 cm，则正方形CDEF的面积为_________．ABC DEF第3题图第4题图第5题图4.如图，分别以Rt△ABC的三边为直径向外作半圆，若S1=92，S2=8π，则S3=_________．5.如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=3，BE=4，则图中阴影部分的面积是___________．6.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AB=13 cm，BD=5 cm，CD=9 cm，求线段AD，AC的长．AB D7.如图，在△ABC中，AC=BC=5 cm，AB=6 cm，求△ABC的面积．BAC8. 等面积法是几何中一种常见的证明方法，可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”．例如，著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较长的直角边长都为a ，较短的直角边长都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为c 2，也可以表示为214()2ab a b ⨯+-．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．（1）图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理；（2）图3是著名的毕达哥拉斯弦图，请你利用图3推导勾股定理．cc bbaa b图3a图1图29. 下列各组数：①0.3，0.4，0.5；②6，8，10；③5，12，13；④32，42，52；⑤15，17，8；⑥54，1，34．其中能作为直角三角形三边长的是___________，是勾股数的是____________．（填序号）10. 如图，在单位正方形组成的网格图中有AB ，CD ，EF ，GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（） A ．CD ，EF ，GHB ．AB ，EF ，GHC ．AB ，CD ，GHD ．AB ，CD ，EF11. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形中正确的是（）ABCDE F GHA ．B ．C ． 24715202425715202425252420157252420157A ．B ．C ．D ．12. 一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师傅量得这个零件各边长如图2所示，这个零件符合要求吗？请说明理由．图1图213. 如图，△ABC 中，D 是BC 上的一点，若AB =10，BD =6，AD =8，AC =17，求△ABC的面积．AB CD【参考答案】➢课前预习1.大于，互余2.121，144，169，196，225，256，289，324，3613.S A=16，S B=9，S C=25S A+S B=S C➢知识点睛1.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．2.略3.三角形两边的平方和等于第三边的平方，直角三角形．4.3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41；11，60，61．➢精讲精练1.8 cm2.100或283.169 cm24.25 25.196.线段AD的长为12 cm，线段AC的长为15 cm7.12 cm28.略9.①②③⑤⑥，②③⑤10.B11.C12.符合要求，理由略13.84。

第2讲勾股定理逆定理(基础课程讲义例题练习含答案)

勾股定理的逆定理（提高）【学习目标】1. 理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；3. 理解勾股数的含义；4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力. 【要点梳理】要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如c ）.（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点三、勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长；【典型例题】类型一、勾股定理的逆定理1、（春•咸丰县月考）如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为多少cm2.【思路点拨】本题先设适当的参数求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出3秒后的BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解．【答案与解析】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），∴S△PBQ=BP•BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．【总结升华】本题是道综合性较强的题，需要学生把勾股定理的逆定理、三角形的面积公式结合求解．由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键．隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．2、如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针方向旋转60°得到△CBE，若AD=4，BD=3，CD=5．（1）判断△DEC的形状，并说明理由；（2）求∠ADB的度数．【思路点拨】把△ABD 绕点B 顺时针方向旋转60°，注意旋转只是三角形的位置变了，三角形的边长和角度并没有变，并且旋转的角度60°，因此出现等边△BDE ，从而才能更有利的判断三角形的形状和求∠ADB 的度数．【答案与解析】解：（1）根据图形的旋转不变性， AD=EC ，BD=BE ，又∵∠DBE=∠ABC=60°，∴△ABC 和△DBE 均为等边三角形，于是DE=BD=3，EC=AD=4，又∵CD=5，∴DE 2+EC 2=32+42=52=CD 2；故△DEC 为直角三角形．（2）∵△DEC 为直角三角形， ∴∠DEC=90°，又∵△BDE 为等边三角形， ∴∠BED=60°，∴∠BEC=90°+60°=150°，即∠ADB=150°．【总结升华】此题考查了旋转后图形的不变性、全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理等知识，综合性较强，是一道好题．解答（2）时要注意运用（1）的结论．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，P 是△ABC 内一点，且PA ＝3，PB ＝1，PC ＝CD ＝2，CD ⊥CP ，求∠BPC 的度数．【答案】解：连接BD ．∵ CD ⊥CP ，且CD ＝CP ＝2，∴ △CPD 为等腰直角三角形，即∠CPD ＝45°． ∵ ∠ACP+∠BCP ＝∠BCP+∠BCD ＝90°， ∴ ∠ACP ＝∠BCD ． ∵ CA ＝CB ，∴ △CAP ≌△CBD(SAS)， ∴ DB ＝PA ＝3．在Rt △CPD 中，22222228DP CP CD =+=+=．又∵ PB ＝1，则21PB =． ∵ 29DB =，∴ 22819DB DP PB =+=+=，∴ △DPB 为直角三角形，且∠DPB ＝90°， ∴ ∠CPB ＝∠CPD+∠DPB ＝45°+90°＝135°．类型二、勾股定理逆定理的应用3、已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足438324a b c +++==，且a +b +c =12，请你探索△ABC 的形状．【答案与解析】解：令438324a b c +++===k ． ∴a +4=3k ，b +3=2k ，c +8=4k ，∴a =3k ﹣4，b =2k ﹣3，c =4k ﹣8．又∵a +b +c =12，∴（3k ﹣4）+（2k ﹣3）+（4k ﹣8）=12， ∴k=3．∴a =5，b =3，c =4． ∴△ABC 是直角三角形．【总结升华】此题借用设比例系数k 的方法，进一步求得三角形的三边长，根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状．举一反三：【变式】（春•渝中区校级月考）△ABC 的三边a 、b 、c 满足|a+b ﹣50|++（c ﹣40）2=0．试判断△ABC 的形状是．【答案】直角三角形．解：∵|a+b ﹣50|++（c ﹣40）2=0，∴，解得，∵92+402=412，∴△ABC 是直角三角形．故答案为直角三角形．4、如图所示，MN 以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A 发现在其正东方向有一走私艇C 并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN 线上巡逻的缉私艇B 密切注意，并告知A 和C 两艇的距离是13海里，缉私艇B 测得C 与其距离为12海里，若走私艇C 的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？【答案与解析】解：∵ 22222251216913AB BC AC +=+===，∴ △ABC 为直角三角形．∴ ∠ABC ＝90°．又BD ⊥AC ，可设CD ＝x ，∴ 22222212,(13)5,x BD x BD ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩①②①－②得2216926119x x x -+-=，解得14413x =．∴ 1441441313169÷=≈0.85(h)＝51(分)．所以走私艇最早在10时41分进入我国领海．【总结升华】（1）本题用勾股定理作相等关系列方程解决问题，（2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形，为勾股定理的运用提供了条件．【巩固练习】一．选择题1．（春•平武县校级月考）下列各组数中，可以构成勾股数的是（） A ．13，16，19B ．，，C ．18，24，36D ．12，35，372．（春•凉山州期末）△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，c ，满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（）A.a ：b ：c=12：1B.∠A ：∠B ：∠C=3：4：5C.（a+b ）（a ﹣b ）=c 2D.∠A ：∠B ：∠C=1：2：33．已知△ABC 三边长分别为2n +1，2n 2+2n ，2n 2+2n +1，（n 为正整数），则△ABC 为（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形4．有下面的判断：①△ABC 中，a 2+b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形．②△ABC 是直角三角形，∠C=90°，则a 2+b 2=c 2．③若△ABC 中，a 2﹣b 2=c 2，则△ABC 是直角三角形．④若△ABC 是直角三角形，则（a +b ）（a ﹣b ）=c 2．以上判断正确的有（） A ． 4个 B ． 3个 C ． 2个 D ． 1个5．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）6． c b a ,,为直角三角形的三边，且c 为斜边，h 为斜边上的高，下列说法：①222,,c b a 能组成一个三角形 ②222111,,a b c能组成直角三角形 ③hb a 1,1,1能组成直角三角形 ④三个内角的度数之比为3：4:5能组成一个三角形其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 二．填空题7．若△ABC 中，()()2b a b ac -+=，则∠B ＝____________．8．（春•罗定市期中）若△ABC 的三边长分别为x +1，x +2，x +3，要使此三角形成为直角三角形，则x= ．9．若一个三角形的三边长分别为1、a 、8(其中a 为正整数)，则以2a -、a 、2a +为边的三角形的面积为______．10．△ABC 的两边a b ，分别为5，12，另一边c 为奇数，且a b c ++是3的倍数，则c 应为______，此三角形为______． 11．（春•寿县期中）在某港口有甲乙两艘渔船，若甲沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，同时，乙船沿南偏东角度以每小时15海里速度前进，2小时后，甲乙两船相距34海里，那么，乙船航行的方向是南偏东___________度． 12．如果线段a b c ，，能组成一个直角三角形，那么2,2,2cb a ________组成直角三角形．(填“能”或“不能”)．三．解答题 13．（秋•广州校级期末）如图，已知某经济开发区有一块四边形空地ABCD ，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=300m ，AD=400m ，CD=1300m ，BC=1200m ．请计算种植草皮的面积．14．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．（1）填表：边a、b、c三角形的面积与周长的比值3 4 55 12 138 15 17（2）若a+b﹣c=m，则猜想sl=（并证明此结论）．15．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；（3）如图2，将△A BC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30度．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．【答案与解析】一．选择题1．【答案】D【解析】判断一组数是不是勾股数时，应先判断他们是否都是正整数，在验证他们平方间的关系，所以只有D项满足．2．【答案】B．3．【答案】A；【解析】由2n2+2n+1＞2n2+2n，且2n2+2n+1＞2n+1，得到2n2+2n+1为最长的边，∵（2n+1）2+（2n 2+2n ）2=1+4n+8n 2+8n 3+4n 4，（2n 2+2n+1）2=1+4n+8n 2+8n 3+4n 4 ∴（2n+1）2+（2n 2+2n ）2=（2n 2+2n+1）2∴△ABC 为直角三角形． 4．【答案】C ；【解析】①c 不一定是斜边，故错误；④若△ABC 是直角三角形，c 不是斜边，则（a+b ）（a ﹣b ）≠c 2，故错误． 5．【答案】C ；【解析】22222272425152025+=+=，． 6．【答案】B ；【解析】因为222a b c +=，两边之和等于第三边，故222,,c b a 不能组成一个三角形，①错误；因为ab ch =，所以ab c h=．又因为222a b c +=．得22222a b a b h +=．两边同除以22a b ，得222111a b h +=②正确；因为2222222222222111a b c c a b a b a b c h h +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以③正确，360°×512=150°，最大角并不是90°，所以④错误．二．填空题 7．【答案】90°；【解析】由题意222b ac =+，所以∠B=90°． 8．【答案】2；【解析】由题意得：（x +1）2+（x +2）2=（x +3）2，解得：x 1=2，x 2=﹣2（不合题意，舍去）. 9．【答案】24；【解析】∵7＜a ＜9，∴a ＝8． 10．【答案】13；直角三角形；【解析】7＜c ＜17． 11．【答案】30；【解析】解：由题意得：甲船的路程：AO=8×2=16，乙船的路程：BO=15×2=30，∵302+162=342， ∴∠AOB=90°，∵AO 是北偏东60°方向， ∴BO 是南偏东30°．故答案为：30．12．【答案】能；【解析】设c 为斜边，则222c b a =+，两边同乘以41，得222414141c b a =+，即222)2()2()2(cb a =+ ．三．解答题 13．【解析】解：连接BD ，在Rt △ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2=3002+4002=5002，在△CBD 中，CD 2=13002， BC 2=12002，而12002+5002=13002，即BC 2+BD 2=CD 2，则∠DBC=90°，S 四边形ABCD =S △BAD +S △DBC AD •BD+BD •BC=360000m 2．答：种植草皮的面积是360000m 2． 14．【解析】（1）解：∵S=×3×4=6， L=3+4+5=12， ∴sl==，∴同理可得其他两空分别为1，；（2）4s m l =；证明：∵a +b ﹣c =m ，∴a +b =m+c ，∴a 2+2ab +b 2=m 2+2mc +c 2，又∵a 2+b 2=c 2， ∴2ab =m 2+2mc ，∴S=2ab=m （m +2c ）， ∴12ab sl a b c =++=1(2)4m m c m c c+++=4m ．15．【解析】（1）解：正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可）（2）解：答案如图所示．（3）证明：连接EC ， ∵△ABC ≌△DBE ， ∴AC=DE ，BC=BE ， ∵∠CBE=60°，∴EC=BC ，∠BCE=60°， ∵∠DCB=30°， ∴∠DCE=90°， ∴DC 2+EC 2=DE 2， ∴DC 2+BC 2=AC 2．即四边形ABCD 是勾股四边形．。

初二数学第6讲：勾股定理及其逆定理(有答案)

初二数学第6讲：勾股定理及其逆定理（有答案）知识与方法：例题与练习：1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ). （A ）30 （B ）28 （C ）56 （D ）不能确定2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长（A ）4 cm（B ）8 cm （C ）10 cm（D ）12 cm3. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）（A ）25（B ）14（C ）7（D ）7或254. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) （A ）13 （B ）8 （C ）25 （D ）645. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）72425207152024257252024257202415(A)(B)(C)(D)C6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )（A ）钝角三角形（B ）锐角三角形（C ）直角三角形（D ）等腰三角形. 7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( ) （A ） 25 （B ） 12.5 （C ） 9 （D ） 8.5 8. 三角形的三边长为,则这个三角形是（A ）等边三角形（B ）钝角三角形（C ）直角三角形（D ）锐角三角形.9.△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮元计算，那么共需要资金（）. （A ）50元（B ）600元（C ）1200元（D ）1500元（第10题）（第11题）（第14题）11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.12. 在直角三角形中，斜边=2，则=______.13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 .14. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积是____________.（第15题）（第16题）（第17题）ab c b a 2)(22+=+a a a a a5米3米ABC AB 222AB AC BC ++ C15. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米. 16. 如图，△ABC 中，∠C =90°，AB 垂直平分线交BC 于D 若BC =8，AD =5，则AC 等于______________.17. 如图，四边形是正方形，垂直于，且=3，=4，阴影部分的面积是______.18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2.19. 如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.20. 如图，一架2.5米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？21. △ABC 中，BC，AC ，AB ，若∠C=90°，如图（1），根据勾股定理，则，若△ABC 不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论.ABCD AE BE AEBEa =b =c =222c b a =+22b a +2c22. 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 中点，F 为AD 上的一点，且AF=41AD ，试判断△EFC 的形状.23. 已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且CD 2=AD·BD.求证：△ABC 是直角三角形.24. 已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状.25. 已知：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形ABCD 的面积.26. 如图，沿矩形ABCD 的对角线BD 折叠，点C 落在点E的位置，已知BC=8cm，AB=6cm ，求折叠后重合部分的面积．BA课后作业：1.图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？2. 如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。

勾股定理及逆定理答案与解析

勾股定理一、重点、难点1．重点：勾股定理的内容及证明。

2．难点：勾股定理的证明。

二、勾股定理内容及证明勾股定理内容：1.文字描述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾股勾2+股2=弦22.符号描述：如果直角三角形的两直角边边长分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2aba2+b2=c2注意：勾股定理的结论有许多变形，如下所示c2=a2+b2，a2=c2−b2，b2=c2−a222,bc a a=勾股定理的证明：[例] 已知正方形ABCD 边长为c 。

过点A 作任意直线，过B 点作该直线的垂线交于点E ，同理过C 点作BE 的垂线。

设直角三角形ABE 两直角边分别为AE=b ，BE=a 。

求证a 2+b 2=c 2证明：易证，四个直角三角形全等。

故：=4+S S S 大正方形三角形小正方形即：221c =4a b+b-a 2（）化简得c 2=a 2+b 2即在直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

三、例题精讲：题型一、勾股定理的应用[例一]（1）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中短直角边a ，较长直角边为b ，那2A ． 13B ． 14C ． 25D ．169考点：勾股定理。

分析：根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方13，也就是两条直角边的平方和是13，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12．根据完全平方公式即可求解。

解答：解：根据题意，结合勾股定理a2+b2=13，四个三角形的面积=4× ab=13﹣1， ∴2ab=12，联立解得：（a+b ）2=13+12=25．故选C ．点评：本题考查了勾股定理和完全平方公式的运用，解题的关键是注意观察图形：发现各个图形的面积和a ，b 的关系。

第02讲勾股定理逆定理(3个知识点+5类热点题型+习题巩固)(解析版)

第02讲勾股定理逆定理课程标准学习目标①勾股定理逆定理②勾股数③勾股定理的应用1.掌握勾股定理的逆定理内容，并能够熟练的运用它来判断直角三角形。

2.掌握勾股数并能够判断勾股数。

3.能够在各类实际问题中熟练应用勾股定理。

知识点01勾股定理逆定理1.勾股定理逆定理内容：在△ABC 中，如果三角形的三边分别是c b a ，，且满足222c b a =+，则该三角形一定是有一个直角三角形且∠C 是直角。

勾股定理的逆定理用于判断一个三角形是不是直角三角形。

2.直角三角形的判定①勾股定理逆定理②三角形中有一个角是90°。

③三角形中有两个角之和为90°。

【即学即练1】1．以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1，2，3B．2，3，4C．1，，D．，3，5【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；C、12+（）2＝（）2，能构成直角三角形，故符合题意；D、（）2+32≠52，不能构成直角三角形，故不符合题意．故选：C．【即学即练2】2．如图，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．（1）试说明△ABC为直角三角形．（2）求CE的长．【分析】（1）先计算AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，再利用勾股定理的逆定理可得结论；（2）设CE长为x cm，则BE＝（8﹣x）cm．由DE垂直平分AB，可得AE＝BE＝8﹣x．再利用勾股定理建立方程即可．【解答】（1）证明：∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形．（2）解：设CE长为x cm，则BE＝（8﹣x）cm．∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE＝8﹣x．在Rt△ACE中，由勾股定理得x2+62＝（8﹣x）2，解得，所以CE的长为．知识点02勾股数1.勾股数的定义：满足勾股定理：即222cba=+的三个正整数称为勾股数。