平行线重点知识解读
初中数学平行线的重要知识点汇总
初中数学平行线的重要知识点汇总
初中数学平行线的重要知识点汇总
常识知识，在同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线。
平行线
定义
在同一平面内，永不相交的两条直线互为平行线。
虽然平行线在平面____义，但也适用于立体几何。平行线的性质
1.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
2.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
3.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
4. 两条平行线被第三条直线所截，外错角相等。
以上性质可简单说成：
1.两条直线平行，同位角相等。
2.两条直线平行，内错角相等。
3.两条直线平行，同旁内角互补。
4.两条直线平行，外错角相等。平行线的断定
1.平行线的定义(在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。)
2.平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行。
3.在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
4.同位角相等，两直线平行。
5.内错角相等，两直线平行。
6.同旁内角互补，两直线平行。平行公理
在同一平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行公理的推论：(平行传递性) 假如两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
即平行于同一条直线的两条直线平行。
我们常说到的平行线是具有传递性的几何图形，这句话是有根据的。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系
下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系
平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
程度的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的.原点。
平行线与垂直线的性质知识点总结
平行线与垂直线的性质知识点总结平行线与垂直线是几何学中重要的基本概念。它们在空间中的特性及应用广泛存在于各个领域，包括建筑、工程、地理测量等。本文将对平行线与垂直线的性质进行总结，并介绍它们的定义、判定方法以及一些常见的应用。
一、平行线的性质
1. 定义：在平面上，如果两条直线不相交且在同一个平面内，那么这两条直线被称为平行线。符号表示为"//"。
2. 判定方法：
a. 同位角判定法：当一条直线与两条平行线相交时，对应的同位角相等。
b. 内错角判定法：当一条直线与两条平行线相交时，内错角互补（和为180°）。
3. 平行线的性质：
a. 平行线之间没有交点。
b. 平行线与同位角、内错角的关系（根据判定方法）。
c. 平行线与平行线之间的夹角相等。
4. 常见应用：
a. 利用平行线的性质进行几何证明。
b. 在地理测量中用于绘制平行线的基准。
二、垂直线的性质
1. 定义：在平面上，如果两条直线相交且相交的角度为90°，那么这两条直线被称为垂直线。符号表示为"⊥"。
2. 判定方法：
a. 直角判定法：当两条直线的斜率乘积为-1时，这两条直线互相垂直。
b. 垂直角判定法：当一条直线与两条垂直线相交时，所得的垂直角是相等的。
3. 垂直线的性质：
a. 垂直线与同位角、垂直角的关系。
b. 垂直线与平行线之间的夹角为90°。
4. 常见应用：
a. 建筑工程中垂直线用于确定垂直方向。
b. 在图形绘制中用于绘制垂直线的基准。
三、平行线与垂直线的关系
1. 平行线与垂直线之间的关系：
a. 平行线与垂直线是两种互补的关系。
b. 两条直线同时与第三条直线平行，则这两条直线之间也是垂直的。
专题03 平行线四大模型(知识解读)(老师版)
专题03平行线四大模型（知识解读）
【专题说明】
历年中考考试中，有不少题目都考查了平行线的性质及应用，现汲取四大模型，供同学们赏析，希望能到达指导学习之目的。
【方法技巧】
模型一“铅笔”模型
点P在EF右侧，在AB、CD内部
“铅笔”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=360°
结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC=360°，则AB∥CD.
模型二“猪蹄”模型（M模型）
点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；
结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.
模型三“臭脚”模型
点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；
结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD
模型四“骨折”模型
·
点P在EF左侧，在AB、CD外部
“骨折”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；
结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.
【模型1“铅笔”模型】
【典例1】如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（）
A．360°B．300°C．270°D．180°
【答案】A
【解答】解：如图，过点P作PA∥a，则a∥b∥PA，
∴∠3+∠NPA＝180°，∠1+∠MPA＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．故选：A．
【变式1-1】把一块等腰直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若∠1＝32°，则∠2的度数为（）
《相交线与平行线》 基础知识详解
相交线与平行线
目录
一、相交线，垂线
二、同位角、内错角、同旁内角
三、平行线及其判定
四、平行线的性质及平移
五、《相交线与平行线》全章复习与巩固
一、相交线，垂线基础知识讲解
【要点梳理】
知识点一、邻补角与对顶角
1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．
要点诠释：
(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．
(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．
(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．
(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.
2.对顶角及性质：
（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．
（2）性质：对顶角相等．
要点诠释：
(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．
(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.
3.邻补角与对顶角对比：
角的名称特征性质相同点不同点
对顶角①两条直线相交
形成的角；
②有一个公共顶
点；
③没有公共边.对顶角相等.①都是两条直线相
交而成的角；
②都有一个公共顶
点；
③都是成对出现
①有无公共边；
②两直线相交
时，对顶角只有
2对；邻补角有
4对.
的.
邻补角
①两条直线相交而成；
②有一个公共顶
点；
③有一条公共边.
邻补角互补.知识点二、垂线
1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．
初一数学《相交线和平行线》知识点
一、目标与要求
1．理解对顶角和邻补角的概念，能在图形中辨认；
2．掌握对顶角相等的性质和它的推证过程；
3.通过在图形中辨认对顶角和邻补角，培养学生的识图能力。
二、重点
在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角；
两条直线互相垂直的概念、性质和画法；
同位角、内错角、同旁内角的概念与识别。
三、难点
难点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角；
对点到直线的距离的概念的理解；
对平行线本质属性的理解,用几何语言描述图形的性质；
能区分平行线的性质和判定,平行线的性质与判定的混合应用。
四、知识框架
五、知识点、概念总结
1.邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
2.对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。
3.对顶角和邻补角的关系
4.垂直：两条直线、两个平面相交，或一条直线与一个平面相交，如果交角成直角，叫做互相垂直。
5.垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。
6.垂足：如果两直线的夹角为直角,那么就说这两条直线互相垂直,它们的交点叫做垂足。
7.垂线性质
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。
（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
8.同位角、内错角、同旁内角：
同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。 内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。 同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。
相交线与平行线(知识总结,试题和答案)
初中精品数学精选精讲
学科:数学任课教师: 授课时间: 年月日姓名年级课时
教学课题相交线与平行线
教学目标
(知识点、考点、能力、方法)知识点:两条直线相交,两条直线被第三条直线所截,平行线的判断及性质,命题定理证明,平移、考点:平行线的判断,平行线的性质
能力:灵活运用角的关系,应用平行线的判断,平行线的性质解题
方法:掌握角的计算,灵活运用角的关系
难点
重点
平行线的判断,平行线的性质
课堂教学过程
课前
检查
作业完成情况:优□良□中□差□建议＿_＿_______＿__＿_＿___＿_______＿＿__＿＿_＿_____＿＿__＿_
一、知识点大集锦
相交线与平行线
1、相交线
假如两条直线只有一个公共点时,我们称这两条直线相交。相对的,我们称这两条直线为相交线。
2、邻补角,对顶角
ﻩ对顶角与邻补角是依照它们的位置命名的,因此它们各有不同的特点。
对顶角的特点:有公共顶点,角的两边互为反向延长线、图1中的∠1与∠２、∠3与∠4都是对顶角。对顶角是两个角的位置关系,不是数量关系、
图１
邻补角的特点:有公共顶点和一条公共边,另一边互为反向延长线。图1中的∠1与∠3、∠3与∠2、∠２与∠４、∠4与∠１都互为邻补角、邻补角即是两个角的位置关系,也是数量关系、
对顶角与邻补角都是成对出现的,单独一个角不能称为对顶角或邻补角,这一点大伙儿要注意、例如我们不能说图１中的∠1是对顶角(或邻补角),能够说∠1与∠2是对顶角,∠1是∠３或∠的邻补角、
注意:对顶角的性质:对顶角相等。
邻补角的性质:一个角与它的邻补角的和为18０°、
A 。一个角的补角一定是钝角 Ｂ、互补的两个角不估计相等
小学六年级数学重点知识平行线与垂直线的性质及判定方法
小学六年级数学重点知识平行线与垂直线的
性质及判定方法
小学六年级数学重点知识：平行线与垂直线的性质及判定方法
在小学六年级的数学学习中，平行线与垂直线是一个重要的知识点。了解平行线与垂直线的性质及判定方法，对于解决几何问题和数学推
理具有重要意义。本文将介绍平行线与垂直线的性质以及判定方法，
并提供相关例题进行说明。
一、平行线的性质
平行线是指在同一个平面上，永远不会相交的两条直线。平行线具
有以下性质：
1. 直线与平行线的交角关系
当一条直线与两条平行线相交时，相交的两个角分别为内角和外角。性质如下：
- 内角：当直线与两条平行线相交时，内角相等。
- 外角：当直线与两条平行线相交时，外角相等且它们之和为180°。
2. 平行线的性质定理
平行线具有以下性质定理：
- 平行线定理：如果一条直线与另一条直线分别平行，那么这两条
直线之间的所有直线都是平行线。
- 平行线的性质：如果一条直线与平行线的其中一线相交，那么它
与另一条平行线的关系也是相应的。比如，如果线l与平行线m相交，并且线l与另一条平行线n的关系为垂直，那么线m与线n也是垂直的。
二、垂直线的性质
垂直线是指两条直线之间的夹角为900的直线。垂直线具有以下性质：
1. 垂直线的性质定理
垂直线具有以下性质定理：
- 垂直线定理：如果两条直线相互垂直，那么它们之间的所有直线
也与这两条直线垂直。
- 直线与垂直线的交角关系：当一条直线与两条互相垂直的直线相
交时，它与这两条直线的夹角分别为90°。
三、平行线和垂直线的判定方法
判定两条直线是否平行或垂直，有以下几种方法：
平行线及其判定知识点(含例题)
平行线及其判定
1．平行线的定义和画法
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做__________，记作a∥b，读作a平行于b．
（2）平行线没有公共点；在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行，应特别注意“在同一平面内”这一条件，重合的直线视为一条直线．
（3）平行线定义满足三个条件：一是在同一平面内，二是两条直线，三是不相交，三者缺一不可．
（4）平行线的画法
一落：把三角尺一边落在已知直线上；
二靠：用直尺紧靠三角尺的另一边；
三推：沿直尺推动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；
四画：沿三角尺过已知点的边画直线．
【注意】在作图中必须确保直尺定好位置后不再变动位置；三角尺移动时，要始终保持一边紧靠直尺．
2．平行线的基本事实及其推论
（1）平行线的基本事实（平行公理）：经过直线__________一点，有且只有__________条直线与这条直线平行．
（2）推论：如果两条直线都与第三条直线__________，那么这两条直线也互相平行．3．平行线的判定
（1）判定方法1
两条直线被第三条直线所截，如果同位角__________，那么这两条直线平行. 简单说成：__________.
（2）判定方法2
两条直线被第三条直线所截，如果内错角__________，那么这两条直线平行. 简单说成：__________.
（3）判定方法3
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角__________，那么这两条直线平行. 简单说成：__________.
归纳：判定平行线的思路：
（1）定：确定已知条件是位置关系还是数量关系；
第03讲 平行线的性质(知识解读+达标检测)(原卷版)
第03讲平行线的性质
【题型1 利用平行线性质求角度】
【题型2 利用平行线性质解决三角板问题】
【题型3 利用平行线性质解决折叠问题】
【题型4 平行线性质的实际应用】
【题型5 利用平行线的判定与性质的综合】
【题型6 命题的判定】
【题型7 真假命题的判断】
【题型8 命题的改写】
【题型9 命题的证明过程】
考点1：平行线性质
性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
简单说成：两直线平行，同位角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）
性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
简单说成：两直线平行，内错角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）
性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
几何语言：∵a∥b
∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补）
【题型1 利用平行线性质求角度】
【典例1】（2023秋•涟源市期末）如图，直线m∥n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接AB，过点A作AC⊥AB，交直线m于点C．若∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【变式1-1】（2022秋•芮城县期末）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：AB∥CD，∠BAE＝94°，∠E＝28°，则∠DCE的度数为（ ）
平行线的判定和性质知识点详解
平行线的判定和性质（综合篇）
一、重点和难点:
重点：平行线的判定性质。
难点:①平行线的性质与平行线的判定的区分②掌握推理论证的格式。
二、例题：
这部分内容所涉及的题目主要是从已知图形中辨认出对顶角、同位角、内错角或同旁内角.解答这类题目的前提是熟练地掌握这些角的概念,关键是把握住这些角的基本图形特征，有时还需添加必要的辅助线，用以突出基本图形的特征.
上述类型题目大致可分为两大类。
一类题目是判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题。其方法是“由线定角”,即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补。
另一类题目主要是“由角定线"，也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平行，解此类题目必须要掌握好平行线的判定方法.
例1．如图,已知直线a,b，c被直线d所截，若∠1=∠2，∠2+∠3=180°，求证：∠1=∠7
分析：运用综合法,证明此题的思路是由已知角的关系推证出两直线平行，然后再由两直线平行解决其它角的关系。∠1与∠7是直线a和c被d所截得的同位角。须证a//c。
法（一）证明：∵d是直线(已知）
∴∠1+∠4=180°(平角定义）
∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）
∴∠3=∠4(等角的补角相等）
∴a//c(同位角相等，两直线平行）
∴∠1=∠7（两直线平行,同位角相等）
法(二）证明：∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2(已知）
∴∠1+∠3=180°(等量代换）
∵∠5=∠1,∠6=∠3（对顶角相等）
∴∠5+∠6=180°（等量代换）
∴a//c （同旁内角互补，两直线平行）
∴∠1=∠7（两直线平行，同位角相等）。
平行线及其判定-知识讲解
平行线及其判定知识讲解
要点一、平行线的定义及画法
1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．
要点诠释：
(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；
(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．
(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．
2.平行线的画法：
用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条直角边与已知直线重合.
②靠：用直尺紧靠三角板另一条直角边.
③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的直角边通过已知点.
④画：沿着这条直角边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
要点二、平行公理及推论
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
要点诠释：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
要点三、直线平行的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵∠3＝∠2
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵∠1＝∠2
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：
第03讲 平行线的性质(知识解读+达标检测)(解析版)
第03讲平行线的性质
【题型1 利用平行线性质求角度】
【题型2 利用平行线性质解决三角板问题】
【题型3 利用平行线性质解决折叠问题】
【题型4 平行线性质的实际应用】
【题型5 利用平行线的判定与性质的综合】
【题型6 命题的判定】
【题型7 真假命题的判断】
【题型8 命题的改写】
【题型9 命题的证明过程】
考点1：平行线性质
性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
简单说成：两直线平行，同位角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）
性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
简单说成：两直线平行，内错角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）
性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
几何语言：∵a∥b
∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补）
【题型1 利用平行线性质求角度】
【典例1】（2023秋•涟源市期末）如图，直线m∥n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接AB，过点A作AC⊥AB，交直线m于点C．若∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【答案】C
【解答】解：如图所示，
∵m∥n，
∴∠CAD+∠1＝180°，
∴∠1+∠BAC+∠2＝180°
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∵∠1＝50°，
∴50°+90°+∠2＝180°，
∴∠2＝40°，
故选：C．
【变式1-1】（2022秋•芮城县期末）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：AB∥CD，∠BAE＝94°，∠E＝28°，则∠DCE的度数为（ ）
垂线和平行线-知识点整理
垂线和平行线-知识点
整理
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
垂线和平行线
一、本节学习指导
本节我们重点掌握垂线和平行线的概念和性质，知识点不多，注意多动手操作。对于垂线和平行线的画法我们必须掌握。
二、知识要点
1、垂直与平行：
（1）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平
行。
如下图一：“直线A和直线B是平行线；直线A的平行线是直线B”
（2）如果两条直线相交成直角，就说这两条直线
互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
如下图二：“直线A和直线B相互垂直；直线A是直线B的垂线；点C是垂足。”
2、画垂线：
（1）过直线上一点画这条直线的垂线方法？
把三角尺的一条直角边靠近直线，三角尺上的直角顶点靠近直线上的点，然后用笔沿另一条直角边画出直线就可以了。
2
3 （2）过直线外一点画这条直线的垂线方法？
把三角尺的一条直角边靠近直线，三角尺上的另一条边靠近直线外的点，然后用笔沿这条边画直线就可以了。
（3）把直线外一点A 与直线上任意一点连接，所画线段哪个最短？ 小结：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做
这点到直线的距离
。
即“点A 到直线所画的垂直线段最短；点A 到这条直线的距离是10厘米”
3、画平行线：
（1）：怎样画平行线？
可以用直尺和三角尺来画平行线，先把三角尺的一条直角边紧靠直线，再把直尺紧靠三角尺的另一条直角边，这时沿直尺平移三角尺，再画一条直线就可以了。
（2）：在两条平行线之间画几条与平行线垂直的线段，这些线段的长度特点？
“平行线”重点知识解读
A M C
例 7 如图 8，已知 a∥b，c∥d，∠1＝100° ，求∠2、∠3、∠4 的度数. 分析 由于 a∥b，根据两直线平行，内错角相等，可得∠2＝100° ， 由 c∥d，同样可得∠3＝∠2＝100° ，由∠3+∠4＝180° ，知∠4＝80° . （1）在这个解题过程中包含这样一个规律：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两 边，那么这两个角＿＿＿. （2）填空：如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一角大 20° ，那么这两个角分 别是＿＿和＿＿＿. 简析（1）从图中观察及解题过程可得：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边， 那么这两个角相等或互补.（2）不妨设这两个角分别为 x、y（x＞y） ，则根据题意，得 x+y＝180° ，x－y＝20° ；所以，x＝100° ，y＝80° . 五、学习平行线，应注意避免一些常见的错误 平行线的常见错误是对平行线概念的错误理解及有关图形的错误识别； 错误地运用直线 平行的条件及平行线特征等等.在理解平行公理时应注意：一是与垂线的性质“过一点有且 只有一条直线与已知直线垂直”相比，平行公理多了“直线外”三个字，这是因为经过直线 上一点画不出已知直线的平行线；二是“有且只有”表示了一条直线的存在性和唯一性.
“平行线”重点知识解读
众所周知，平行线是我们日常生活中最常见的、也是最简单、最基本但又是十分重要的 平面图形，在实际生活中有着很广泛的应用，所以掌握平行线的有关知识尤为重要.为了帮 助同学们牢固地掌握并运用这些知识，现从以下几方面帮助同学们学习. 一、学习平行线，应明确学习目标，把握其重点，分散难点 通过学习掌握平行线的定义，知道同一平面内两条直线的关系，能熟练掌握平行公理， 会过直线外一点画已知直线的平行线.通过对平行线的学习要熟练掌握两条直线平行的判定 方法和平行线的性质，体会两条直线平行的判定和性质之间的区别. 平行线的重点内容是直线平行的判定及平行线性质； 难点则是利用平行线的判定； 关键 是能熟练运用平行线的有关知识解决实际应用问题. 二、学习平行线应注意掌握的思想方法 学习平行线的知识应领会下列两种思想方法： 1，转化思想 在利用平行线的知识解决问题，当题设不易被运用时，通常要将问题转 化，如作辅助线等等. 2，方程思想 在有关平行线的几何计算时，通常需要引进未知数，构造出方程，运用 方程思想求解. 三、重点知识解读 1，平行线的概念和平行公理 在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.直线 a 与直线 b 互相平行，可以记作“a∥ b”. 经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. 学习平行公理时应注意： 一是与垂线的性质 “过一点有且只有一条直线与已知直线垂直” 相比， 平行公理多了 “直线外” 三个字， 这是因为经过直线上一点画不出已知直线的平行线； 二是“有且只有”表示了一条直线的存在性和唯一性. 2，两条直线平行的判定方法 判定两条直线平行可以有以下几种方法： （1）利用平行线的定义； （2）如果两条直线都 与第三条直线平行，那么这两条直线平行； （3）如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这 两条直线平行； （4）同位角相等，两直线平行； （5）内错角相等，两直线平行； （6）同旁内 角互补，两直线平行. 3，平行线的主要性质 平行线主要有下列三个性质： （1）两直线平行，同位角相等； （2）两直线平行，内错角 相等； （3）两直线平行，同旁内角互补； 4，平行线的判定与平行线的性质之间的关系 平行线的判定与平行线的性质是一种互逆关系.可综合表示如下： 两直线平行 同位角 相等；两直线平行 内错角相等；两直线平行 同旁内角互补. 5，两条平行线的距离 同时垂直于两条平行线， 并且夹在这两条平行线间的线段的长度， 叫做这两条平行线的 距离. 6，命题 判断一件事情的语句叫做命题，命题有两个种，即真命题和假命题，正确的命题叫做真 命题，错误的命题叫做假命题. 一个命题都可以写成“如果„，那么„”的形式，其中“如 果„”是题设， “那么„”是结论. 四、注意有关平行线的典型习题
相交线与平行线重点难点
相交线与平行线重点难
点
Document number：BGCG-0857-BTDO-0089-2022
相交线与平行线重难点
【知识点拨】
一．余角、补角、对顶角
1，余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角.
2，补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角.
3，对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线.
4，互为余角的有关性质：
①∠1＋∠2＝90°，则∠1、∠2互余；反过来，若∠1，∠2互余，则∠1+∠2＝
90°；
②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2＝90°，∠1+∠ 3＝90°，则∠2＝∠3. 5，互为补角的有关性质：
①若∠A+∠B＝180°，则∠A、∠B互补；反过来，若∠A、∠B互补，则∠A+∠B＝
180°.
②同角或等角的补角相等.如果∠A+∠C＝180°，∠A+∠B＝180°，则∠B＝∠C. 6，对顶角的性质：对顶角相等.
二．同位角、内错角、同旁内角的认识及平行线的性质
7，同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行.
8，“三线八角”的识别：
三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角.
正确认识这八个角要抓住：同位角位置相同，即“同旁”和“同位”；内错角要抓住“内部，两旁”；同旁内角要抓住“内部、同旁”.
三．平行线的性质与判定
9，平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行线.
10，平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.
11，两条平行线之间的距离是指在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离.
初中平行知识点总结
初中平行知识点总结
一、数学
1.1 平行线与平行线的基本概念
平行线是指在同一平面上，它们不相交且永远不会相交的直线。在数学中，我们通过线段平移、角度相等、同位角等方法来判断两条线是否平行。
1.2 平行线的性质
在平行线相关的问题中，我们还需要了解一些与平行线有关的性质，如平行线所形成的角相等、平行线之间的距离相等等。
1.3 平行线的证明
在数学中，我们会遇到一些需要证明两条线平行的问题，我们可以利用角度相等、同位角相等等方法来进行证明。
1.4 平行线与平行四边形
平行四边形是指有四个边，且对边平行的四边形。在平行四边形中，我们需要了解它的性质以及相关的计算问题。
1.5 平行线与三角形
在数学中，我们还会遇到一些关于平行线与三角形的问题，如平行线分割三角形、平行线的角对应等。
1.6 平行线和比例
平行线的应用还可以扩展到比例的运用，如在平行线切割的三角形中运用比例方法解题。
1.7 平行线和面积
在平行线的应用中，我们还需要了解平行线的性质与面积的关系，以及利用平行线的方法求解面积问题。
二、物理
2.1 线路的平行连接
在电路中，平行连接是指电路中的两个或多个电器组件的两端之间存在相同电压，也就是说组件之间等效电阻会减小。
2.2 光的平行光线
在光学中，我们需要理解光的传播路径与光的反射、折射等过程，并且其中平行光线的传播规律。
2.3 镜面反射
在物理光学中，我们还需要了解镜面反射，即光线与镜子表面的交互作用，例如镜子能反射光线，使其按照特定的规律传播。
2.4 折射定律
在物理光学中，我们还会学习折射定律，即光线由一种介质进入另一种介质时，会按照特定的规律改变传播方向。
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“平行线”重点知识解读
江苏刘顿
众所周知，平行线是我们日常生活中最常见的、也是最简单、最基本但又是十分重要的平面图形，在实际生活中有着很广泛的应用，所以掌握平行线的有关知识尤为重要.为了帮助同学们牢固地掌握并运用这些知识，现从以下几方面帮助同学们学习.
一、学习平行线，应明确学习目标，把握其重点，分散难点
通过学习掌握平行线的定义，知道同一平面内两条直线的关系，能熟练掌握平行公理，会过直线外一点画已知直线的平行线.通过对平行线的学习要熟练掌握两条直线平行的判定方法和平行线的性质，体会两条直线平行的判定和性质之间的区别.
平行线的重点内容是直线平行的判定及平行线性质；难点则是利用平行线的判定；关键是能熟练运用平行线的有关知识解决实际应用问题.
二、学习平行线应注意掌握的思想方法
学习平行线的知识应领会下列两种思想方法：
1，转化思想在利用平行线的知识解决问题，当题设不易被运用时，通常要将问题转化，如作辅助线等等.
2，方程思想在有关平行线的几何计算时，通常需要引进未知数，构造出方程，运用方程思想求解.
三、重点知识解读
1，平行线的概念和平行公理
在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.直线a与直线b互相平行，可以记作“a∥b”.
经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
学习平行公理时应注意：一是与垂线的性质“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相比，平行公理多了“直线外”三个字，这是因为经过直线上一点画不出已知直线的平行线；二是“有且只有”表示了一条直线的存在性和唯一性.
2，两条直线平行的判定方法
判定两条直线平行可以有以下几种方法：（1）利用平行线的定义；（2）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行；（3）如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线平行；（4）同位角相等，两直线平行；（5）内错角相等，两直线平行；（6）同旁内角互补，两直线平行.
3，平行线的主要性质
平行线主要有下列三个性质：（1）两直线平行，同位角相等；（2）两直线平行，内错角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补；
4，平行线的判定与平行线的性质之间的关系
平行线的判定与平行线的性质是一种互逆关系.可综合表示如下：两直线平行⇔同位角相等；两直线平行⇔内错角相等；两直线平行⇔同旁内角互补.
5，两条平行线的距离
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离.
6，命题
判断一件事情的语句叫做命题，命题有两个种，即真命题和假命题，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 一个命题都可以写成“如果…，那么…”的形式，其中“如果…”是题设，“那么…”是结论.
四、注意有关平行线的典型习题
例1 图1是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多反射），那么该球最后将落入的球袋是（ ）
A.1 号袋
B.2 号袋
C.3 号袋
D.4 号袋
简析 根据题意可画出如图2所示，则经过6次反射后，该球最后终于落入2号袋中.故应选B .
例2 如图3，在△ABC 中，D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 上，且EF ∥AB ，要使DF ∥BC ，只需再有下列条件中的（ ）即可
A.∠1＝∠2
B.∠1＝∠DFE
C.∠1＝∠AFD
D.∠2＝∠AFD
简析 由图形可知，要使DF ∥BC ，只要能找到同位角相等或内错角相等或同旁内角互补即可.因为EF ∥AB ，所以∠1＝∠2，∠2＝∠DFE ，即∠1＝∠DFE ，故应选B .
例3（广东省中考试题）如图4，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，EG 平分∠AEF ，∠1＝40°，求∠2的度数.
简析 要求∠2的大小，观察图形知道，∠2＝180°－∠FEG －∠AEG 即得.因为∠1＝40°，AB ∥CD ，所以∠AEG ＝∠1＝40°，又因为EG 平分∠AEF ，所以∠FEG ＝∠AEG ＝40°，而∠2+∠FEG +∠AEG ＝180°，所以∠2＝180°－∠FEG －∠AEG ＝180°－40°－40°＝100°.
例4 如图5，有一座山，要在此山中开凿一条隧道直通甲、乙两地，在甲地测得隧道方向为北偏东37.6°（∠1＝37.6°），如果甲、乙两地同时开工，那么乙地隧道按怎样的角度施工，才能使隧道在山里准确接通.
简析 如图5，若使隧道在此山中准确接通，则线段MP 和线段NP 在同一直线上，向北方向的射线MM ′与向南方向的射线NN ′互相平行，它们被直线MN 所截，所以∠2＝∠1＝37.6°（两直线平行，内错角相等），即按南偏西37.6°施工，才能使隧道在山里准确接通.
例5 如图6，直线l 与l 1、l 2、相交，形成∠1、∠2，…，∠8共八个角，请填上你认为适当的一个条件：______，使得l 1∥l 2.
简析 当同位角相等时，要使l 1∥l 2，可有∠1＝∠5，∠2＝∠6，∠4＝∠8，∠3＝∠7共四种填法；当内错角相等时，要使l 1∥l 2，可有∠3＝∠5，∠4＝∠6，共两种填法；当同旁内角互补时，要使l 1∥l 2，可有∠3+∠6＝180°，∠4+∠5＝180°共两种填法；以上均为直接条件，以下为间接条件，可转化到上述三种角的关系中的某一种：∠1＝∠7，∠2＝∠8
，4 图1 13
图2 号袋 号袋 1
图5
N
′ A B C D E F 1 2 图3 图4 图6 l 1 l 2 l 1 2 4 3 5 6 7 8
∠2+∠7＝180°，∠1+∠8＝180°，∠1+∠6＝180°，∠2+∠5＝180°，∠3+∠8＝180°，∠4+∠7＝180°.综上所述，共有十六种填法，任选其中一种即可.
例6 如图7，AB ∥CD ，EO 与FO 相交于点O ，试猜想∠BEO 、∠EOF 、∠DFO 之间的关系，并说明理由.
简析 由于∠BEO 、∠EOF 、∠DFO 三个角的位置较散，设法通过辅助线使之相对集中，考虑AB ∥CD ，可以过点O 作MN ∥AB ，这样即可找到三个角之间的关系了.由此猜想∠BEO +∠DFO ＝∠EOF .理由如下：过点O 作MN ∥AB ，因为AB ∥CD ，所以CD ∥MN ，所以∠BEO ＝∠EOM ，∠MOF ＝∠DFO ，从而有∠BEO +∠DFO ＝∠EOF .
例7 如图8，已知a ∥b ，c ∥d ，∠1＝100°，求∠2、∠3、∠4的度数.
分析 由于a ∥b ，根据两直线平行，内错角相等，可得∠2＝100°，
由c ∥d ，同样可得∠3＝∠2＝100°，由∠3+∠4＝180°，知∠4＝80°.
（1）在这个解题过程中包含这样一个规律：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角＿＿＿.
（2）填空：如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一角大20°，那么这两个角分别是＿＿和＿＿＿.
简析（1）从图中观察及解题过程可得：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补.（2）不妨设这两个角分别为x 、y （x ＞y ），则根据题意，得 x +y ＝180°，x －y ＝20°；所以，x ＝100°，y ＝80°.
五、学习平行线，应注意避免一些常见的错误
平行线的常见错误是对平行线概念的错误理解及有关图形的错误识别；错误地运用直线平行的条件及平行线特征等等.在理解平行公理时应注意：一是与垂线的性质“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相比，平行公理多了“直线外”三个字，这是因为经过直线上一点画不出已知直线的平行线；二是“有且只有”表示了一条直线的存在性和唯一性.
图7 N
M F E O D C B A 图8 4 3 1 b a 2 d c