《点集拓扑学》第3章§33商空间
点集拓扑教学大纲
重点：拓扑空间
难点：基与子基、邻域基
第一节：度量空间与连续映射
内容1度量空间的俄概念、n维欧氏空间Rn、Hilbert空间H、离散度量空间；
内容2邻域、开集；
内容3度量空间映射的连续性。
第二节：拓扑空间与连续映射
内容1拓扑空间定义
内容2平庸空间、离散空间、有限补空间、可数补空间；
分
配
教学内容：
第一章：集合论初步４（学时数）
掌握内容：集合的基本运算，映射及其性质。
理解内容：关系；可数集、不可数集、基数。
了解内容：选择公理。
重点：集合的基本运算，映射及其性质；
难点：基数；选择公理。
第一节：集合及其运算
内容1集合、集合之间的关系；
内容2集合的运算
第二节：映射
内容1关系、等价关系；
第二节：（有限）积空间
内容1积拓扑、拓扑积空间的概念；
内容2积空间的基、子基
内容3开映射；积空间到分空间投射的性质、积拓扑的性质。
第三节：商空间
内容1商拓扑及其性质；
内容2商映射及其性质；
内容3商空间。
第四章：连通性６（学时数）
掌握内容：连通空间；
理解内容：局部连通、道路连通；
了解内容：连通空间、局部连通、道路连通的关系；
内容3分离性公理的有限可积性。
第六节：可度量化空间
内容1、Urysohn嵌入定理；
内容2、Hilbert空间的可分性；
。
内容3、可分的度量化空间的等价空间第七章：紧致性 Nhomakorabea（学时数）
掌握内容：紧致空间和紧致空间的等价条件；紧致性与分离性的关系；
了解内容：可数紧致、列紧、序列紧，局部紧致空间，仿紧致空间及其之间的关系
点集拓扑学(教学课题大纲)
点集拓扑学（教学大纲）General Topology课程编码：学分： 3 课程类别：专业方向课计划学时：其中讲课：实验或实践：0 上机：0适用专业：数学与应用数学专业推荐教材：熊金城，《点集拓扑讲义》（第三版），高等教育出版社，2003。
参考书目：1. J.R.曼克勒斯，《拓扑学基本教程》，科学出版社，1987。
2. 尤承业，《基础拓扑学讲义》，北京大学出版社，2006。
课程的教学目的与任务拓扑学是研究图形在同胚映射下的不变性质（即拓扑性质）的一门数学分科，其基本思想和处理方法对近代数学产生了深刻的影响，它与近世代数、泛函分析一起被称作数学的“新三基”；它的中心任务是研究拓扑不变性质，对拓扑空间按照同胚分类。
通过本课程的学习，使学生掌握点集拓扑的一些基本概念、基本理论、基本方法，掌握拓扑学研究问题的整体性、抽象性及高度概括性；培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、理论联系实际分析问题解决问题的能力，提高学生的数学素养，为进一步学习、研究现代数学打好基础。
课程的基本要求1、使学生了解公理集合论的初步知识并将度量空间中熟悉的知识推广到一般的拓扑空间中去。
比如连续映射的概念。
2、掌握由已知拓扑空间构造新的拓扑空间的若干方法。
比如子空间的概念，有限乘积空间。
3、掌握几种重要的拓扑性质：可数性、分离性、紧致性、连通性等。
各章节授课内容、教学方法及学时分配建议（含课内实验）第一章：集合与映射建议学时：6[教学目的与要求] 了解朴素集合论和公理集合论的区别，了解选择函数与选择公理的内容；从关系的角度理解映射的概念。
[教学重点与难点] 选择公理及其等价形式。
[授课方法] 以课堂讲授为主，课堂讨论和课下自学为辅。
[授课内容]第一节集合论一、集合的基本运算二、公理集合论的相关内容第二节映射理论一、关系与映射的联系二、选择公理第二章：拓扑空间与连续映射建议学时：8[教学目的与要求]将连续函数的主要特征抽象出来用以定义拓扑空间之间的连续映射；将开区间的主要特征抽象出来用以定义拓扑空间中的开集。
《点集拓扑讲义》第三章-子空间(有限)-积空间-商空间-学习笔记
！！！！！！！！！！！！第3章子空间（有限）,积空间，商空间在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的办法．为了避免过早涉及某些逻辑上的难点，在§3.2中我们只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般情形的研究留待以后去作．§3.1子空间本节重点：掌握度量子空间、拓扑空间子空间的概念，子空间的拓扑与大空间拓扑之间的关系以及子空间的闭集、邻域、基、导集、闭包与大空间相应子集之间的关系及表示法．讨论拓扑空间的子空间目的在于对于拓扑空间中的一个给定的子集，按某种“自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间，以便将它作为一个独立的对象进行考察．所谓“自然的方式”应当是什么样的方式？为回答这个问题，我们还是先从度量空间做起，以便得到必要的启发．考虑一个度量空间和它的一个子集．欲将这个子集看作一个度量空间，必须要为它的每一对点规定距离．由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对点，因而把它们作为子集中的点的距离就规定为它们作为度量空间中的点的距离当然是十分自然的．我们把上述想法归纳成定义：定义3.1.1 设（X，ρ）是一个度量空间，Y是X的一个子集.因此，Y×YX×X．显然：Y×Y→R是Y的一个度量（请自行验证）．我们称Y的度量，是由X的度量ρ诱导出来的度量.度量空间（Y，ρ）称为度量空间（X，ρ）的一个度量子空间．我们常说度量空间Y是度量空间X的一个度量子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的度量是由X的度量诱导出来的．我们还常将一个度量空间的任何一个子集自动地认作一个度量子空间而不另行说明．例如我们经常讨论的：实数空间R中的各种区间（a，b），[a，b]，（a，b]等；n＋1维欧氏空间中的n维单位球面:n维单位开、闭球体:以及n维单位开、闭方体和等等，并且它们也自然被认作是拓扑空间（考虑相应的度量诱导出来的拓扑）．定理3.1.1 设Y是度量空间X的一个度量子空间．则Y的子集U是Y中的一个开集当且仅当存在一个X中的开集V使得U＝V∩Y．证明由于现在涉及两个度量空间，我们时时要小心可能产生的概念混淆．对于x∈X（y∈Y），临时记度量空间X（Y）中以x（y）为中心以ε＞0为半径的球形邻域为，.首先指出：有=∩Y.这是因为z∈X属于当且仅当z∈Y且(z,y)<ε.现在设U∈，由于Y的所有球形邻域构成的族是Y的拓扑的一个基，U可以表示为Y中的一族球形邻域，设为A的并．于是！！！！！！！！！！！！设，∴U=V∩Y另一方面，设U＝V∩Y，其中V∈．如果y∈U，则有y∈Y和y∈V．,有按照定理3.1.1的启示，我们来逐步完成本节开始时所提出的任务．定义3.1.2 设A是一个集族，Y是一个集合．集族{A∩Y|A∈A}称为集族A 在集合Y上的限制，记作引理3.1.2 设Y是拓扑空间（X，T)的一个子集．则集族是Y的一个拓扑．证明我们验证满足拓扑定义中的三个条件：（1）由于X∈T和Y=X∩Y，所以Y∈；由于∈T,=∩Y,所以∈（2）如果A，B∈，即于是（3）如果是集族的一个子集族，即对于每一个A∈，定义3.1.3 设Y是拓扑空间（X，T）的一个子集．Y的拓扑称为（相对于X的拓扑T而言的）相对拓扑；拓扑空间（Y，，）称为拓扑空间的一个（拓扑）子空间．我们常说拓扑空间Y是拓扑空间X的一个子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的拓扑就是对于X的拓扑而言的相对拓扑．此外，我们也常将拓扑空间的子集认为是一个子空间而不另行说明．假设Y是度量空间X的一个子空间．现在有两个途径得到Y的拓扑：一是通过X的度量诱导出Y的度量，然后考虑Y的这个度量诱导出来的拓扑；另一是先将X考虑成一个拓扑空间，然后考虑Y的拓扑为X的拓扑在Y上引出来的相对拓扑．事实上定理3.1.1已经指出经由这两种途径得到的Y的两个拓扑是一样的．下面把这层意思重新叙述一遍．定理3.1.3 设Y是度量空间X的一个度量子空间．则X与Y都考虑作为拓扑空间时Y是X的一个（拓扑）子空间．定理3.1.4 设X，Y，Z都是拓扑空间．如果Y是X的一个子空间，Z是Y 的一个子空间，则Z是X的一个子空间．证明当Y是X的一个子空间，Z是Y的一个子空间时，我们有；并且若设T为X的拓扑时，Z的拓扑是（）={U∩Y|U∈T}={U∩Y∩Z|U∈T}={U∩Z|U∈T}=因此Z是X的一个子空间．定理3.1.5 设Y是拓扑空间X的一个子空间，y∈Y．则（l）分别记T和为X和Y的拓扑，则=；（2）分别记F和为X和Y的全体闭集构成的族，则=；！！！！！！！！！！！！（3）分别记和y为点y在X和Y中的邻域系，则y= ．证明（1）即是子空间和相对拓扑的定义．（2）成立是因为：={(X-U)∩Y|U∈T}={Y-U∩Y|U∈T}=（3）设则，因此存在使得V＝∩Y,令,由于并且＝V∪U＝U所以U∈.以上证明．类似的论证指出定理3.1.6 设Y是拓扑空间X的一个子空间，A是Y的一个子集．则（1）A在y中的导集是A在X中的导集与Y的交；（2）A在Y中的闭包是A在X中的闭包与Y的交．证明为证明这个定理，我们仍分别记A在X中的导集和闭包为d（A）和；而记A在Y中的导集和闭包分别为（A）和（A）．（l）一方面，设y∈（A）．则对于y在X中的任何一个邻域U，根据定理 3.1.5，U∩Y是y在Y中的一个邻域，所以因此y∈d（A）．此外当然有y∈Y．所以y∈d(A)∩y．这证明(A)d（A）∩Y．另一方面，设y∈d(A)∩Y,所以y∈(A)．这证明d（A）d（A）∩Y．（2）成立是因为(A)=A∪(A)=A∪(d(A)∩Y)=(A∪d(A))∩(A∪Y)=∩Y 定理3.1.7 设Y是拓扑空间X的一个子空间，y∈Y．则（1）如果B是拓扑空间X的一个基，则是子空间Y的一个基；（2）如果是点y在拓扑空间X中的一个邻域基，则是点y在子空间Y中的一个邻域基．证明（1）设B是X的一个基．对于Y中的任何一个开集U，存在X中的一个开集V使得U=V∩Y；存在B的一个子族,使得V＝．因此U＝由于上式中的每一个B∩Y是中的一个元素，所以在上式中U 已经表示成了中的某些元素之并了．因此是Y的一个基．（2）证明（略）．“子空间”事实上是从大拓扑空间中“切割”出来的一部分．这里有一个反问题，概言之就是：一个拓扑空间什么时候是另一个拓扑空间的子空间？换言之，一个拓扑空间在什么条件下能够“镶嵌”到另一个拓扑空间中去？当然假如我们拘泥于某些细节，例如涉及的拓扑空间是由什么样的点构成的，那么问题会变得十分乏味,然而我们在§2．2中便提到过，拓扑学的中心任务是研究拓扑不变性质，也就是说我们不去着意区别同胚的两个拓扑空间．在这种意义下，以上问题可以精确地陈述如下：！！！！！！！！！！！！定义3.1.4 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．映射f称为一个嵌入，如果它是一个单射，并且是从X到它的象集f(X)的一个同胚．如果存在一个嵌入f: X→Y，我们说拓扑空间X可嵌入拓扑空间Y．事实上，拓扑空间X可嵌入拓扑空间Y意思就是拓扑空间X与拓扑空间Y的某一个子空间同胚．换言之，在不区别同胚的两个拓扑空间的意义下，X“就是”Y 的一个子空间．不能嵌入的一个简单例子是，一个离散空间，如果它含有多于一个点，就决不可能嵌入到任何一个平庸空间中去；反之，一个平庸空间，如果它含有多于一个点，也决不可能嵌入到任何一个离散空间中去．欧氏平面中的单位圆周是否可以嵌入到实数空间（即直线）中去呢？这个问题我们到第四章中再作处理．本书中我们还会涉及一些比较深刻的嵌入定理．本节关键:掌握拓扑空间中的子集(这里称为子空间)的开集、闭集、闭包、导集”长”得什么模样．作业:P95 1.2.5.7.§3.2（有限）积空间本节重点:掌握乘积空间的度量与拓扑的定义．掌握积拓扑的基与子基的结构．掌握投射的定义与性质．掌握定理3.2.7与定理3.2.9的作用．给定了两个拓扑空间，我们首先可以得到一个集合作为它们的笛卡儿积．如何按某种自然的方式给定这个笛卡儿积一个拓扑使之成为拓扑空间？为此我们先对度量空间中的同类问题进行研究．首先回顾n维欧氏空间中的度量是如何通过实数空间中的度量来定义的：如果x=,y=,则x与y的距离定义为其中是R中的两个点的通常距离．这种定义方式推广到有限个度量空间的笛卡儿积中去不会产生任何困难．！！！！！！！！！！！！定义3.2.1 设是n≥1个度量空间．令X＝．定义ρ：X×X→R使得对于任何x=y=∈X，容易验证ρ是X的一个度量．（请自行验证，注意验证中要用到2．1节附录中的Schwarz引理）我们称ρ为笛卡儿积X＝的积度量；称度量空间（X，ρ）为n个度量空间的度量积空间．根据上述定义明显可见，n维欧氏空间就是n个实数空间R的度量积空间，先来考察积度量所诱导出来的拓扑有什么样的性质，以便使我们得到在拓扑空间中应该如何引出积空间的概念的启示．定理3.2.1 设是n＞0个度量空间，（X，ρ）是它们的积空间．又设和分别是由度量和ρ所诱导出来的和X的拓扑，其中i＝l，2，…，n．则X的子集族:B={| i=1,2,…n}是X的拓扑的一个基．证明：我们仅就n=2的情形加以证明．首先根据积度量的定义容易得到（请自行验证）：对于任意x=∈X 和任意ε＞0，我们有：设∈B,其中分别是中的开集．如果x=∈则其中ε=min{}．这说明．由于x是中的任意一个点，因此．这证明了这就是说，X中的每一个开集是B中的某些元素的并．这完成了B是的一个基的证明．一般情形的证明是完全类似的，请读者自己补证．在定理3.2.1的启示下，我们按以下方式引进有限个拓扑空间的积空间这一概念．定理3.2.2 设是n≥1个拓扑空间．则X＝有惟一的一个拓扑T以X的子集族B={| ,i=1,2,…n} 为它的一个基．证明我们有：（1）由于X＝∈B所以！！！！！！！！！！！！（2）如果,∈B，其中，i＝1，2，…，n，则（,）∩()＝应用第二章中的定理2．6．3可见本定理的结论成立．定义3.2.2 设是n≥1个拓扑空间．则X＝的以子集族B={ | ,i=1,2,…n}为它的一个基的那个惟一的拓扑T称为拓扑的积拓扑，拓扑空间（X，T）称为拓扑空间的（拓扑）积空间．设是n≥1个度量空间．则笛卡儿积X＝可以有两种方式得到它的拓扑：一是先将X作成度量积空间，然后再由积度量诱导出X 的拓扑；另一是先用每一个的度量诱导出的拓扑，然后再将X考虑作为诸拓扑空间的拓扑积空间．定理3.2.1实际上已经指出这两种拓扑是一致的，现将这一点明确陈述如下：定理3.2.3 设X＝是n≥1个度量空间的度量积空间．则将X和都考虑作为拓扑空间时，X是的（拓扑）积空间．特别地，作为拓扑空间，n维欧氏空间便是n个实数空间R的（拓扑）积空间．定理3.2.4 设X＝是n≥1个拓扑空间的积空间，对于每一个i＝1，2，…，n，拓扑空间有一个基．则X的子集族={|,i=1,2,…n}是拓扑空间X的一个基．证明设为的拓扑，i＝1，2，…，n．令B如积拓扑的定义中的积拓扑的那个基．为证明是积空间X的一个基，只需证明B中的每一个元素均可以表示为中的某些元素的并．为证此，设∈B,其中．由于是的一个基，故对于每一个i，存在使得于是其中D={|,i=1,2,…n}这就完成了我们所需的证明．例3.2.1 由于实数空间R有一个基由所有的开区间构成，故应用定理3.2.4立即可见，n维欧氏空间中的所有开方体构成的一个基．特别地，欧氏平面有一个基由所有的开矩形构成．定理3.2.5 设X＝是n≥1个拓扑空间的积空间．令T为X的拓扑，为的拓朴，i=1，2，…，n．则X以它的子集族！！！！！！！！！！！！为它的一个子基．其中，对于每一个i，映射：X→是笛卡儿积X到它的第i个坐标集的投射．证明我们仅证明n＝2的情形．首先注意，对于任何有根据积空间的定义，是它的一个基．令为的每一个有限非空子族之交的全体构成的集族，即由于显然有，综上我们有．明显地，是X的一个基．因此，是X的一个子基．一般情形的证明是完全类似的，留给读者自己补证定理3.2.6 设X＝是n≥1个拓扑空间的积空间，则对于每一个i＝l，2，…，n，笛卡儿积X到它的第i个坐标集的投射：X→是一个满的连续开映射．证明显然是一个满射．对于X中每一个开集，根据定理3.2.5，是X的某一个子基的元素，所以必定是X中的一个开集．这证明的连续性．令B为积拓扑定义中X的那个基．由于一族集合的并的象等于先求这一族集合中每一个集合的象然后再求并（参见定理1．6．3），所以为了证明是一个开映射，只需验证B中每一个元素的象是中的开集即可；然而这是显然的，因为如果分别是中的开集，则是X 中的一个开集．例3.2.2 积空间到它的坐标空间的投射可以不是闭映射．例如考虑欧氏平面到它的第一个坐标空间R的投射．容易验证集合是中的一个闭集，然而（B）＝R-{0}却不是R中的闭集．定理3.2.7 设X＝是n≥1个拓扑空间的积空间．又设Y也是一个拓扑空间．则映射f:Y→X连续当且仅当对于每一个i＝1，2，…，n，复合映射f:Y→连续，其中，：X→Y是积空间X对于第i 个坐标空间的投射．证明根据定理3.2.6，每一个投射连续，所以当f连续时，每一个f连续．另一方面，假设对于每一个i=1，2，…，n，复合映射f:Y→连续．X 的子基（参见定理3.2.5）中的每一个元素的f原象是Y中的一个开集．根据定理2．6．5可见f连续．下面的定理3、2．8说明积拓朴的一个重要特性定理3.2.8 设X＝是n≥1个拓扑空间的积空间，T是X的积拓朴，设是X的某一个拓扑满足条件：对于X的拓扑而言，！！！！！！！！！！！！从X到它的第i个坐标空间的投射：X→是连续映射，i=1，2，…，n．则换言之，积拓扑是使从积空间到每一个坐标空间的投射都连续的最小的拓扑．证明(略)定理3.2.9 设是n＞1个拓扑空间．则积空间同胚于积空间．证明设根据定理3.2.6，所有这些投射都是连续的．定义映射k：使得对于任何∈，k＝容易验证k是一个—一映射．为证明映射k连续，根据定理3.2.7，只要证明映射和连续．映射:是连续的，这是因为对于每一个j ＝l，2，…，n－l，映射连续，此外也连续．通过完全类似的证明也可见连续．因此k是一个同胚．在定理3.2.9中，尽管和作为集合可以是完全不同的，但这个定理告诉我们，假如我们对同胚的空间不予区别，那么这两个拓扑空间却是一样的．这个定理还告诉我们，假如我们对同胚的空间不予区别，有限个拓扑空间的积空间可以通过归纳的方式予以定义．(即要证的某个定理时只须证明n=2的情形即可)作业:P104 1． 5． 6(1)．§3.3商空间本节重点:掌握商空间、商拓扑、商映射的定义．将一条橡皮筋的两个端点“粘合”起来，我们便得到了一个像皮圈；将一块正方形的橡皮块一对对边上的点按同样的方向两两‘粘合”起来，我们便得到了一个橡皮管，再将这个橡皮管两端的两个圆圈上的点按同样的方向两两“粘合”！！！！！！！！！！！！起来，我们又得到了一个橡皮轮胎……这种从一个给定的图形构造出一个新图形的办法可以一般化．我们在第一章中讨论过等价关系和商集的概念．所谓商集乃是在一个集合中给定了一个等价关系之后将相对于这个等价关系而言的等价类所构成的集合，通俗地说便是分别将每一个等价类中的所有的点“粘合”为一个点后得到的集合．在定义1.5.6中我们也曾说起过在一个集合X中给定了一个等价关系R之后，从集合X到商集X/R有一个自然的投射p：X→X/R，它是一个满射．注意到了这一点，下面引出商拓扑和商空间的概念的方式便显得顺理成章了．定义3.3.1 设（X，T）是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X→Y是一个满射．容易验证(请自行验证)Y的子集族．是Y的一个拓扑．我们称为Y的（相对于满射f 而言的）商拓扑．容易直接验证在上述定义的条件下，Y的一个拓扑是Y的商拓扑当且仅当在拓扑空间（Y，）中F Y是一个闭集的充分必要条件是（F）是X中的一个闭集．定理3.3.1 且设（X，T）是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X→Y是一个满射．则（1）如果是Y的商拓扑，则f:X→Y是一个连续映射；（2）如果是Y的一个拓扑，使得对于这个拓扑而言映射f是连续的，则这也就是说商拓扑是使映射f连续的最大的拓扑．证明（1）根据定义自明．（2）如果U∈，由于满射f对于Y的拓扑而言连续，故因此U∈．这证明．定义3.3.2 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．我们称映射f为一个商映射，如果它是一个满射并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑．根据定理3.3.1可见商映射是连续的．下面的这个定理告诉我们如何利用商映射来验证一类映射的连续性．定理3.3.2 设X，Y和Z都是拓扑空间，且f:X→Y是一个商映射．则映射g：Y→Z连续当且仅当映射gof:X→Z连续．证明由于商映射f连续，故当g连续时g f连续．另一方面，设g f连续，若W∈，则．然而所以根据商拓扑的定义．这便证明了g连续．为了应用定理3.3.2，如何知道一个拓扑空间的拓扑是相对于从另一个拓扑空间到它的一个满射而言的商拓扑便成了一个有意思的问题．我们在这里只给出一个简单的必要条件．为此先陈述开映射和闭映射的定义．定义3.3.3 设X和Y是两个拓扑空间．映射f: X→Y称为一个开映射（闭映射），如果对于X中的任何一个开集（闭集）U，象集f(U)是Y中的一个开集（闭集）．定理3.3.3 设X和Y是两个拓扑空间．如果映射f: X→Y是一个连续的满射，并且是一个开映射（闭映射），则Y的拓扑便是相对于满射f而言的商拓扑．！！！！！！！！！！！！证明我们证明当f是开映射的情形．设Y中的使f连续的拓扑为,商拓扑为如果V∈，由于映射f连续，，因此V∈．并且．反之，如果V∈，则，由于f是一个开的满射，所以，因此．从而,．综上所述，我们证明了Y的拓扑便是商拓扑．当f是闭映射的情形时，证明是类似的．定义3.3.4 设（X，T）对是一个拓扑空间，R是X中的一个等价关系．商集X/R的（相对于自然的投射p：X→X/R而言的）商拓扑称为X／R的（相对于等价关系R而言的）商拓扑，拓扑空间（X/R，）称为拓扑空间（X，T）的（相对于等价关系R而言的）商空间．如果X是一个拓扑空间，R是X中的一个等价关系，若无另外的说明，我们总认为商集X/R的拓扑是商拓扑，也就是说将商集X/R认作拓扑空间时，指的就是商空间．因此投射p:X→X／R是一个商映射．通过在一个拓扑空间中给定等价关系的办法来得到商空间是构造新的拓扑空间的一个重要手法．下面给出若干例子．例3.3.1 在实数空间R中给定一个等价关系={（x，y）∈|或者x，y∈Q；或者x，y Q}所得到的商空间R/实际上便是由两个点构成的平庸空间．（请读者自行验证．）然而，明确地写出上面那个等价关系有时是很麻烦的，我们经常采用一种较为通俗的简便说法，将这个商空间R/说成是“在实数空间中将所有有理点和所有无理点分别粘合（或等同）为一点所得到的商空间”．例3.3.2 在单位闭区间I＝[0,1]，中给定一个等价关系～={（x，y）∈|或着x＝y，或者{x，y}={0,1}}，我们便得到了一个商空间［0，1］/～．由于与例3.3.l中同样的理由，习惯上也将这个商空间说成是“在单位闭区间I中粘合两个端点所得到的商空间”．事实上（参见习题6），这个商空间与单位圆周同胚．类似地我们还可以构造出许多为读者熟悉或不熟悉的拓扑空间．例如在单位正方形中将它的一对竖直的对边上的每一对具有相同的第二个坐标的点（0，x）和（1，x）粘合，得到的商空间将同胚于一截“管子”，而将它的一对竖直的对边上的每一对点（0，x）和（1，1-x）粘合得到的商空间通常叫做Mobius带．数学中许多重要的对象如环面，Klein瓶，射影平面和射影空间等也都可以作为商空间而给出，我们在此不做进一步的介绍．作业:P109 1．2．5．本章总结：本章的学习重点是§3.1．难点也是它．也就是说,今后若遇到有关X空间的子集的各种概念时,指的都是子空间的各种概念,概念中涉及到的开集、闭集、导集、闭包等均指的是子空间的开集、闭集、导集、闭包，它们与X 空间的开集、闭集、导集、闭包不相同（见引理3.1.2,定理3.1.5,3.1.6)．一定要记住这一点．本章的§3.2与§3.3是作为应理解的知识,理解就行．！！！！！！！！！！！！########################。
点集拓扑讲义
点集拓扑讲义
点集拓扑学是数学中的一个分支，研究的是点集之间的关系和性质。
在点集拓扑学中，我们关注的是点集中的点之间的距离和位置关系，而不是点集中的点的具体数值。
点集拓扑学的基本概念包括：1.拓扑空间：一个拓扑空间是一个集合，其中的元素被称为点，同时还有一个拓扑结构，它描述了点之间的关系和性质。
2.拓扑结构：一个拓扑结构是一个集合，其中包含了一些子集，这些子集被称为开集，它们满足以下条件：-空集和整个集合都是开集；
-任意多个开集的交集仍然是开集；
- 有限个开集的并集仍然是开集。
3. 连通性：一个拓扑空间是连通的，当且仅当它不能被分成两个非空的开集。
4. 紧性：一个拓扑空间是紧的，当且仅当它的任意开覆盖都有有限子覆盖。
5. Hausdorff性：一个拓扑空间是Hausdorff的，当且仅当对于任意两个不同的点，它们都有不相交的邻域。
6. 同胚：两个拓扑空间是同胚的，当且仅当它们之间存在一个双射函数，同时这个函数和它的逆函数都是连续的。
点集拓扑学的应用非常广泛，它可以用来研究各种数学问题，如微积分、代数拓扑、流形等。
此外，它还可以应用于物理学、计算机科学、生物学等领域。
《点集拓扑学》课件
映射度定理
要点一
总结词
该定理给出了一个映射在两个拓扑空间之间保持某些性质 的条件。
要点二
详细描述
映射度定理是点集拓扑学中的一个重要定理，它提供了一 个映射在两个拓扑空间之间保持某些性质的条件。具体来 说，如果一个映射在两个拓扑空间之间是同胚的，那么这 个映射将一个空间的开集映射到另一个空间的开集，或者 将一个空间的闭集映射到另一个空间的闭集。这个定理在 研究拓扑空间的性质和映射的性质时非常有用。
02
紧致性
如果一个拓扑空间中的任意开覆 盖都有有限子覆盖，则称该空间 是紧致的分离公理可以推导出紧致性，反 之则不成立。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
重要的拓扑结构
欧几里得空间
欧几里得空间是点集拓扑学中最 基础的空间，它由满足距离公理
在物理学中的应用
量子力学
在量子力学中，波函数是一种定义在 点集上的复值函数。点集拓扑学为理 解波函数的性质和行为提供了重要的 理论支持。
流体动力学
流体动力学中的某些问题，如涡旋的 形成和演化，需要用到点集拓扑的知 识来描述和解释。
在计算机科学中的应用
计算几何
计算几何是计算机科学中一门研究几何对象离散表示和计算的学科。点集拓扑学为计算几何提供了基础理论和方 法。
莫尔斯-斯梅尔定理
总结词
该定理表明，对于一个可微分的闭曲面，其上的任何连续映射都可以被提升为同 胚的映射。
详细描述
莫尔斯-斯梅尔定理是点集拓扑学中的一个重要定理，它指出对于一个可微分的 闭曲面，其上的任何连续映射都可以被提升为同胚的映射。这个定理在研究连续 映射和同胚映射的性质时非常有用，特别是在处理一些复杂的几何问题时。
《点集拓扑学》第3章§33商空间
§3.3商空间本节重点:掌握商空间、商拓扑、商映射的定义．将一条橡皮筋的两个端点“粘合”起来，我们便得到了一个像皮圈；将一块正方形的橡皮块一对对边上的点按同样的方向两两‘粘合”起来，我们便得到了一个橡皮管，再将这个橡皮管两端的两个圆圈上的点按同样的方向两两“粘合”起来，我们又得到了一个橡皮轮胎……这种从一个给定的图形构造出一个新图形的办法可以一般化．我们在第一章中讨论过等价关系和商集的概念．所谓商集乃是在一个集合中给定了一个等价关系之后将相对于这个等价关系而言的等价类所构成的集合，通俗地说便是分别将每一个等价类中的所有的点“粘合”为一个点后得到的集合．在定义1.5.6中我们也曾说起过在一个集合X中给定了一个等价关系R之后，从集合X到商集X/R有一个自然的投射p：X→X/R，它是一个满射．注意到了这一点，下面引出商拓扑和商空间的概念的方式便显得顺理成章了．定义3.3.1设（X，T）是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X→Y是一个满射．容易验证(请自行验证)Y的子集族．是Y的一个拓扑．我们称为Y的（相对于满射f而言的）商拓扑．容易直接验证在上述定义的条件下，Y的一个拓扑是Y的商拓扑当且仅当在拓扑空间（Y，）中FY是一个闭集的充分必要条件是（F）是X中的一个闭集．定理3.3.1且设（X，T）是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X→Y是一个满射．则（1）如果是Y的商拓扑，则f:X→Y是一个连续映射；（2）如果是Y的一个拓扑，使得对于这个拓扑而言映射f是连续的，则这也就是说商拓扑是使映射f连续的最大的拓扑．证明（1）根据定义自明．（2）如果U∈，由于满射f对于Y的拓扑而言连续，故因此U∈．这证明．定义3.3.2设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．我们称映射f为一个商映射，如果它是一个满射并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑．根据定理3.3.1可见商映射是连续的．下面的这个定理告诉我们如何利用商映射来验证一类映射的连续性．定理3.3.2设X，Y和Z都是拓扑空间，且f:X→Y是一个商映射．则映射g：Y→Z连续当且仅当映射gof:X→Z连续．证明由于商映射f连续，故当g连续时gf连续．另一方面，设gf连续，若W∈，则．然而所以根据商拓扑的定义．这便证明了g连续．为了应用定理3.3.2，如何知道一个拓扑空间的拓扑是相对于从另一个拓扑空间到它的一个满射而言的商拓扑便成了一个有意思的问题．我们在这里只给出一个简单的必要条件．为此先陈述开映射和闭映射的定义．定义3.3.3设X和Y是两个拓扑空间．映射f: X→Y称为一个开映射（闭映射），如果对于X中的任何一个开集（闭集）U，象集f(U)是Y中的一个开集（闭集）．定理3.3.3设X和Y是两个拓扑空间．如果映射f: X→Y是一个连续的满射，并且是一个开映射（闭映射），则Y的拓扑便是相对于满射f而言的商拓扑．证明我们证明当f是开映射的情形．设Y中的使f连续的拓扑为,商拓扑为如果V∈，由于映射f连续，，因此V∈．并且．反之，如果V∈，则，由于f是一个开的满射，所以，因此．从而,．综上所述，我们证明了Y的拓扑便是商拓扑．当f是闭映射的情形时，证明是类似的．定义3.3.4设（X，T）对是一个拓扑空间，R是X中的一个等价关系．商集X/R的（相对于自然的投射p：X→X/R而言的）商拓扑称为X／R的（相对于等价关系R而言的）商拓扑，拓扑空间（X/R，）称为拓扑空间（X，T）的（相对于等价关系R而言的）商空间．如果X是一个拓扑空间，R是X中的一个等价关系，若无另外的说明，我们总认为商集X/R的拓扑是商拓扑，也就是说将商集X/R认作拓扑空间时，指的就是商空间．因此投射p:X →X／R是一个商映射．通过在一个拓扑空间中给定等价关系的办法来得到商空间是构造新的拓扑空间的一个重要手法．下面给出若干例子．例3.3.1在实数空间R中给定一个等价关系={（x，y）∈|或者x，y∈Q；或者x，yQ}所得到的商空间R/实际上便是由两个点构成的平庸空间．（请读者自行验证．）然而，明确地写出上面那个等价关系有时是很麻烦的，我们经常采用一种较为通俗的简便说法，将这个商空间R/说成是“在实数空间中将所有有理点和所有无理点分别粘合（或等同）为一点所得到的商空间”．例3.3.2在单位闭区间I＝[0,1]，中给定一个等价关系～={（x，y）∈|或着x＝y，或者{x，y}={0,1}}，我们便得到了一个商空间［0，1］/～．由于与例3.3.l中同样的理由，习惯上也将这个商空间说成是“在单位闭区间I中粘合两个端点所得到的商空间”．事实上（参见习题6），这个商空间与单位圆周同胚．类似地我们还可以构造出许多为读者熟悉或不熟悉的拓扑空间．例如在单位正方形中将它的一对竖直的对边上的每一对具有相同的第二个坐标的点（0，x）和（1，x）粘合，得到的商空间将同胚于一截“管子”，而将它的一对竖直的对边上的每一对点（0，x）和（1，1-x）粘合得到的商空间通常叫做Mobius带．数学中许多重要的对象如环面，Klein瓶，射影平面和射影空间等也都可以作为商空间而给出，我们在此不做进一步的介绍．作业:P109 1．2．5．本章总结：本章的学习重点是§3.1．难点也是它．也就是说,今后若遇到有关X空间的子集的各种概念时,指的都是子空间的各种概念,概念中涉及到的开集、闭集、导集、闭包等均指的是子空间的开集、闭集、导集、闭包，它们与X空间的开集、闭集、导集、闭包不相同（见引理3.1.2,定理3.1.5,3.1.6)．一定要记住这一点．本章的§3.2与§3.3是作为应理解的知识,理解就行．。
3.2008拓扑学,第3章
3.2.A 度量积空间
设 ( X1, ρ1), , ( X n , ρn ) 是 n 个度量空间。考虑积集合： X = X1 × × X n = {x = (x1, , xn ) : x1 ∈ X1,
由下式定义的 ρ : X × X → 是 X 中的一个度量：
(1) int X ( A) = intY ( A) ∩ int X (Y ), (2) ∂Y ( A) ⊂ ∂ X ( A) ∩Y ,
其中 int X , intY 分别表示在 X ,Y 中求集合的内部；∂ X , ∂Y 分别表示在 X ,Y 中求集合的边界。 举例说明 (2) 中可能不成立相等关系。
U ∩ ( A −{y}) = (U ∩ Y ) ∩ ( A −{y}) ≠ ∅ 。
即 y ∈ dX ( A) 。又因 y ∈Y ，所以 y ∈ dX ( A) ∩Y 。 再证（右 ⊂ 左）。 ∀ y ∈ dX ( A) ∩Y 。则 y ∈ dX ( A) ，且 y ∈Y 。任取 y 在 Y 中的邻域
(2) 任 取 A, B ∈ T Y 。 则 存 在 A1, B1 ∈ T ， 使 得 A = A1 ∩ Y , B = B1 ∩Y 。 因 此 有 A1 ∩ B1 ∈ T ，及
A ∩ B = ( A1 ∩ Y ) ∩ (B1 ∩Y ) = ( A1 ∩ B1) ∩ Y ∈ T
。
Y
(3) 任取 Aγ ∈ T Y , γ ∈ Γ 。则存在 Aγ ∈ T ，使得 Aγ = Aγ ∩ Y 。因 ∪γ∈Γ Aγ ∈ T
4. 设 拓 扑 空 间 X 只 含 可 数 个 点 ： X = {x1, x2 , } 。 证 明 ： 存 在 一 个 连 续 的 满 射 f : → X ，其中 是全体有理数集组成的实数空间 的子空间。（提示：作无交分解：
《点集拓扑学》第3章 §3.1 子空间
第3章子空间（有限）,积空间，商空间在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的办法．为了避免过早涉及某些逻辑上的难点，在§3.2中我们只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般情形的研究留待以后去作．§3.1子空间本节重点：掌握度量子空间、拓扑空间子空间的概念，子空间的拓扑与大空间拓扑之间的关系以及子空间的闭集、邻域、基、导集、闭包与大空间相应子集之间的关系及表示法．讨论拓扑空间的子空间目的在于对于拓扑空间中的一个给定的子集，按某种“自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间，以便将它作为一个独立的对象进行考察．所谓“自然的方式”应当是什么样的方式？为回答这个问题，我们还是先从度量空间做起，以便得到必要的启发．考虑一个度量空间和它的一个子集．欲将这个子集看作一个度量空间，必须要为它的每一对点规定距离．由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对点，因而把它们作为子集中的点的距离就规定为它们作为度量空间中的点的距离当然是十分自然的．我们把上述想法归纳成定义：定义3.1.1 设（X，ρ）是一个度量空间，Y是X的一个子集.因此，Y×Y X×X．显然：Y×Y→R是Y的一个度量（请自行验证）．我们称Y的度量，是由X的度量ρ诱导出来的度量.度量空间（Y，ρ）称为度量空间（X，ρ）的一个度量子空间．我们常说度量空间Y是度量空间X的一个度量子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的度量是由X的度量诱导出来的．我们还常将一个度量空间的任何一个子集自动地认作一个度量子空间而不另行说明．例如我们经常讨论的：实数空间R中的各种区间（a，b），[a，b]，（a，b]等；n＋1维欧氏空间中的n维单位球面:n维单位开、闭球体:以及n维单位开、闭方体和等等，并且它们也自然被认作是拓扑空间（考虑相应的度量诱导出来的拓扑）．定理3.1.1 设Y是度量空间X的一个度量子空间．则Y的子集U是Y中的一个开集当且仅当存在一个X中的开集V使得U＝V∩Y．证明由于现在涉及两个度量空间，我们时时要小心可能产生的概念混淆．对于x∈X（y∈Y），临时记度量空间X（Y）中以x（y）为中心以ε＞0为半径的球形邻域为，.首先指出：有=∩Y.这是因为z∈X属于当且仅当z∈Y且(z,y)<ε.现在设U∈，由于Y的所有球形邻域构成的族是Y的拓扑的一个基，U可以表示为Y 中的一族球形邻域，设为A的并．于是设，∴U=V∩Y另一方面，设U＝V∩Y，其中V∈．如果y∈U，则有y∈Y和y∈V．,有按照定理3.1.1的启示，我们来逐步完成本节开始时所提出的任务．定义3.1.2 设A是一个集族，Y是一个集合．集族{A∩Y|A∈A}称为集族A在集合Y上的限制，记作引理3.1.2 设Y是拓扑空间（X，T)的一个子集．则集族是Y的一个拓扑．证明我们验证满足拓扑定义中的三个条件：（1）由于X∈T和Y=X∩Y，所以Y∈；由于∈T,=∩Y,所以∈（2）如果A，B∈，即于是（3）如果是集族的一个子集族，即对于每一个A∈，定义3.1.3 设Y是拓扑空间（X，T）的一个子集．Y的拓扑称为（相对于X的拓扑T而言的）相对拓扑；拓扑空间（Y，，）称为拓扑空间的一个（拓扑）子空间．我们常说拓扑空间Y是拓扑空间X的一个子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的拓扑就是对于X的拓扑而言的相对拓扑．此外，我们也常将拓扑空间的子集认为是一个子空间而不另行说明．假设Y是度量空间X的一个子空间．现在有两个途径得到Y的拓扑：一是通过X的度量诱导出Y的度量，然后考虑Y的这个度量诱导出来的拓扑；另一是先将X考虑成一个拓扑空间，然后考虑Y的拓扑为X的拓扑在Y上引出来的相对拓扑．事实上定理3.1.1已经指出经由这两种途径得到的Y的两个拓扑是一样的．下面把这层意思重新叙述一遍．定理3.1.3 设Y是度量空间X的一个度量子空间．则X与Y都考虑作为拓扑空间时Y是X的一个（拓扑）子空间．定理3.1.4 设X，Y，Z都是拓扑空间．如果Y是X的一个子空间，Z是Y的一个子空间，则Z是X的一个子空间．证明当Y是X的一个子空间，Z是Y的一个子空间时，我们有；并且若设T为X的拓扑时，Z的拓扑是（）={U∩Y|U∈T}={U∩Y∩Z|U∈T}={U∩Z|U∈T}=因此Z是X的一个子空间．定理3.1.5 设Y是拓扑空间X的一个子空间，y∈Y．则（l）分别记T和为X和Y的拓扑，则=；（2）分别记F和为X和Y的全体闭集构成的族，则=；（3）分别记和y为点y在X和Y中的邻域系，则y= ．证明（1）即是子空间和相对拓扑的定义．（2）成立是因为：={(X-U)∩Y|U∈T}={Y-U∩Y|U∈T}=（3）设则，因此存在使得V＝∩Y,令,由于并且＝V∪U＝U所以U∈.以上证明．类似的论证指出定理3.1.6 设Y是拓扑空间X的一个子空间，A是Y的一个子集．则（1）A在y中的导集是A在X中的导集与Y的交；（2）A在Y中的闭包是A在X中的闭包与Y的交．证明为证明这个定理，我们仍分别记A在X中的导集和闭包为d（A）和；而记A在Y中的导集和闭包分别为（A）和（A）．（l）一方面，设y∈（A）．则对于y在X中的任何一个邻域U，根据定理3.1.5，U∩Y是y在Y中的一个邻域，所以因此y∈d （A）．此外当然有y∈Y．所以y∈d(A)∩y．这证明(A)d（A）∩Y．另一方面，设y∈d(A)∩Y,所以y∈(A)．这证明d（A）d（A）∩Y．（2）成立是因为(A)=A∪(A)=A∪(d(A)∩Y)=(A∪d(A))∩(A∪Y)=∩Y定理3.1.7 设Y是拓扑空间X的一个子空间，y∈Y．则（1）如果B是拓扑空间X的一个基，则是子空间Y的一个基；（2）如果是点y在拓扑空间X中的一个邻域基，则是点y在子空间Y中的一个邻域基．证明（1）设B是X的一个基．对于Y中的任何一个开集U，存在X中的一个开集V使得U=V∩Y；存在B的一个子族,使得V＝．因此U＝由于上式中的每一个B∩Y是中的一个元素，所以在上式中U已经表示成了中的某些元素之并了．因此是Y的一个基．（2）证明（略）．“子空间”事实上是从大拓扑空间中“切割”出来的一部分．这里有一个反问题，概言之就是：一个拓扑空间什么时候是另一个拓扑空间的子空间？换言之，一个拓扑空间在什么条件下能够“镶嵌”到另一个拓扑空间中去？当然假如我们拘泥于某些细节，例如涉及的拓扑空间是由什么样的点构成的，那么问题会变得十分乏味,然而我们在§2．2中便提到过，拓扑学的中心任务是研究拓扑不变性质，也就是说我们不去着意区别同胚的两个拓扑空间．在这种意义下，以上问题可以精确地陈述如下：定义3.1.4 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．映射f称为一个嵌入，如果它是一个单射，并且是从X到它的象集f(X)的一个同胚．如果存在一个嵌入f: X→Y，我们说拓扑空间X可嵌入拓扑空间Y．事实上，拓扑空间X可嵌入拓扑空间Y意思就是拓扑空间X与拓扑空间Y的某一个子空间同胚．换言之，在不区别同胚的两个拓扑空间的意义下，X“就是”Y的一个子空间．不能嵌入的一个简单例子是，一个离散空间，如果它含有多于一个点，就决不可能嵌入到任何一个平庸空间中去；反之，一个平庸空间，如果它含有多于一个点，也决不可能嵌入到任何一个离散空间中去．欧氏平面中的单位圆周是否可以嵌入到实数空间（即直线）中去呢？这个问题我们到第四章中再作处理．本书中我们还会涉及一些比较深刻的嵌入定理．本节关键:掌握拓扑空间中的子集(这里称为子空间)的开集、闭集、闭包、导集”长”得什么模样．作业:P95 1.2.5.7.。
点集拓扑第三章答案
第三章 子空间，（有限）积空间，商空间3.1子空间1. 证明:(1) 实数空间R 同胚于任何一个开区间;(2) n 维欧氏空间nR 同胚于其中的任何一个开方体, 也同胚于其中的任何一个球形邻域.证明: (1) 设(),αβ是R 的非空开区间. 情形一: ,αβ为有限数. 令()()11:,,.h h x x xαβαβ→=+--R> 用数学分析的方法可验证是从(),αβ到R 的同胚. 情形二:α=-∞, β∈R . 取(),c αβ∈. 令()()(),;:,,,.x x c h h x x c c c x x αβββββ≤⎧⎪→=--⎨-+<<⎪-⎩R> 用数学分析的方法可验证是从(),αβ到R 的同胚.情形三: α∈R , β=+∞. 取(),c αβ∈. 令()(),;:,,,.c x c x c h h x xx x c ααβα-⎧+<≤⎪→=-⎨⎪>⎩R> 用数学分析的方法可验证是从(),αβ到R 的同胚. 情形四: (),αβ=R . 结论显然成立.(2) 设()1,i ii n αβ≤≤∏是nR 中的方体. 取从(),i i αβ到R 的同胚i h , 1i n ≤≤. 则11i n i n h h h h ≤≤=⨯⨯∏ 是从()1,i i i n αβ≤≤∏到n R 的同胚. (定理: :i i i f X Y →连续,1,,i n = ⇒1111:i n i i i n i n i n f f f f X Y ≤≤≤≤≤≤=⨯⨯→∏∏∏ 连续, 其中()()()()1111,,n n n n f f x x f x f x ⨯⨯= .)设()(){}2211,|n n i i i n K x x x c r ≤≤=∈-<∑ R 是n R 中的开球. 则()()()11112211:,,,,n n n n i i i n h K h x x x c x c r x c ≤≤→=--⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑ R是从K 到nR 的同胚.2. 如果Y 是拓扑空间X 的一个开(闭)子集, 则Y 作为X 的子空间时特别称为X 的开(闭)子空间. 证明:(1) 如果Y 是拓扑空间X 的一个开子空间, 则A Y ⊂是Y 中的一个开集当且仅当A 是X 中的一个开集;(2) 如果Y 是拓扑空间X 的一个闭子空间, 则A Y ⊂是Y 中的一个闭集当且仅当A 是X 中的一个闭集.证明: (1) 设Y 是拓扑空间X 的开子空间, 即Y 是X 的开子集. 若A Y ⊂是Y 的开子集, 由定理3.1.5, (1), 存在X 的开子集U 使得A U Y =⋂. 因为Y 也是X 的开子集, 故A 是X 的开子集. 反之, 若A Y ⊂是X 的开子集, 则A A Y =⋂是Y 的开集.(2) 设Y 是拓扑空间X 的闭子空间, 即Y 是X 的闭子集. 若A Y ⊂是Y 的闭子集, 由定理3.1.5, (2), 存在X 的闭子集F 使得A F Y =⋂. 因为Y 也是X 的闭子集, 故A 是X 的闭子集. 反之, 若A Y ⊂是X 的闭子集, 则A A Y =⋂是Y 的闭集.3. 设Y 是拓扑空间X 的一个子空间, A Y ⊂. 证明:(1) int ()int ()int ()X Y X A A Y =⋂;(2) ()()Y X A A Y ∂⊂∂⋂, 并举例说明等式可以不成立.其中int X 和int Y 分别表示在拓扑空间X 和Y 中求集合的内部; X ∂和Y ∂分别表示在拓扑空间X 和Y 中求集合的边界.证明: (1) 设()int X a A ∈. 则存在X 的开集O 使得a O A Y ∈⊂⊂. 由于O O Y =⋂,O 是Y 的开集, 从而()i n t Y a A ∈. 由a O Y ∈⊂得()int X a Y ∈. 故int ()int ()Y X a A Y ∈⋂. 反之, 设int ()int ()Y X a A Y ∈⋂. 由int ()X a Y ∈, 存在X 的开集1O 使得1a O Y ∈⊂. 由int ()Y a A ∈, 存在X 的开集2O 使得2a O Y A∈⋂⊂. 令12O O O =⋂. 则O 为X 的开集且a O A ∈⊂, 即有i n t ()X a A ∈. 综上得int ()int ()int ()X Y X A A Y =⋂.(2) 设()Y b A ∈∂. 则b Y ∈. 假设()X b A ∉∂. 则存在b 在X 的开邻域O 使得O A ⊂或O X A ⊂-. 若O A ⊂, 则O Y ⋂是b 在Y 中的开邻域且O Y A ⋂⊂. 这与()Y b A ∈∂矛盾. 若O X A ⊂-, 则O Y ⋂是b 在Y 中的开邻域且O Y A ⋂⋂=∅. 亦与()Y b A ∈∂矛盾. 于是()X b A Y ∈∂⋂. 故()()Y X A A Y ∂⊂∂⋂.令{}1,2,3X =, 其上拓扑为{}{}{}{},1,2,3,1,2,3∅; {}1,2Y =; {}2A =. 可验证2()X A Y ∈∂⋂, 2()Y A ∉∂. ()()Y X A A Y ∂≠∂⋂.4. 设Y 是拓扑空间X 的一个子空间, y Y ∈.证明: (1) 如果S 是X 的一个子基, 则|Y S是Y 的一个子基;(2) 如果yW 是点y 在X 中的一个邻域子基, 则|y YW 是点y 在Y 中的一个邻域子基.证明: 设S 是X 的一个子基, 则12{|,1,2.}n i S S S S i n =⋂⋂∈= BS 为X的基, 则1212|{|,1,2,.}{|,|,1,2,.}Y n i n i i i Y S S S Y S i n T T T T S Y T i n =⋂⋂⋂⋂∈==⋂⋂=⋂∈= B S S为Y 的基, 所以|Y S 为Y 的子基.(2) 设yW是点y 在X 中的一个邻域子基, 则1212|{||,1,2,.}{||,1,2,.}y n i n i W W W Y W y i n W W W W y i n =⋂⋂⋂∈==⋂⋂∈= V WW为y Y ∈在Y 中的邻域基, 所以|y YW是点y 在Y 中的一个邻域子基.5. 设(,)X T和1(,)Y T 的两个拓扑空间,并且Y X ⊂.证明:(1) 如果1(,)Y T 是(,)X T的一个子空间, 则内射:i Y X →是一个连续映射;(2) 如果内射:i Y X →是一个连续映射, 则1|Y ⊃T T.因此我们说: 相对拓扑是使内射连续的最小的拓扑. 证明: 设U ∈T, 则11()i U U Y -=⋂∈T, 故内射:i Y X →是一个连续映射;(2) 对于任意的|Y V ∈T , 存在U ∈T, 使得V U Y =⋂, 因为:i Y X →是一个连续映射, 对于U ∈T, 11()i U U Y V -=⋂=∈T, 因此1|Y ⊃TT.6. 设X 和Y 是两个拓扑空间. 证明映射:f X Y →是一个连续映射当且仅当:()f X f X →是一个连续映射.(这两个映射为何使用同一个符号, 请参见正文中的有关说明.)证明: 设:f X Y →是一个连续映射, 因为()f X 为Y 的子空间, 设U 是()f X 的开集, 则存在Y 的开集B , 使得()U B f X =⋂.1111()(())()()f U f B f X f B X f B ----=⋂=⋂=是X的开集, 所以:()f X f X →是一个连续映射.反之, 设:()f X f X →是一个连续映射, 因为()f X 为Y 的子空间, 设V 是Y 的开集. ()V f X ⋂为()f X 的开集, 而11(())()f V f X f V --⋂=为X 中的开集, 所以:f X Y →是一个连续映射7. 设X 和Y 是两个拓扑空间, A 是X 中的一个子集. 证明: 如果映射:f X Y →连续, 则映射|:A f A Y →也连续.证明: 因为内设 :i A X →是一个连续映射, 映射:f X Y →连续, 所以|A f f i = 是一个连续映射.8. 设X 和Y 是两个拓扑空间, A 是X 中的一个子集. 证明:(1) 如果映射:f X Y →是一个同胚, 则映射|:()A f A f A →也是一个同胚; (2) 如果X 可嵌入Y , 则X 的任何一个子空间也可嵌入Y .证明: 因为映射:f X Y →是一个同胚, 则映射|:()A f A f A →是在上的一一映射, 由第6题知, 映射|:()A f A f A →连续. 下证1(|):()A f f A A -→连续, 设V 是A 的开集,则存在开集U X ⊂, 使得V U A =⋂, 则()1111((|))()|()()()()()()()A A f V f V f V f U A f U f A fU f A ----===⋂=⋂=⋂由于f 是连续映射, 因此 ()11()f U --是Y 中的开集, 11((|))()A f V --是()f A 的开集.(2) 是 (1)的直接推论.9. 在集合2R 中给定一个子集族{[,)[,)|,,,,,}a b c d a b c d a b c d =⨯∈<<R S .验证2R 有惟一的一个拓扑T 以S为它的一个子基. 令2{(,)|1}A x y x y =∈+=R .问A 作为拓扑空间2(,)R T的一个子空间时有什么特点? (提示:证明拓扑空间(,|)A A T是一个离散空间.)10. 证明: 如果X 是一个只含可数个点的拓扑空间, 则存在一个满的连续映射:f X →Q . 其中Q 是由所有有理数构成的实数空间R 的子空间.11. 回答一下问题并给出必要的证明: (1) 有限补空间何时可嵌入可数补空间? (2) 可数补空间何时可嵌入有限补空间?3.2 (有限）积空间1. 设(,)X ρ是一个度量空间, 证明映射:X X ρ⨯→R 是一个连续映射.证明: 任取R 得开子集V . ()1U V ρ-. 若U =∅, 则为X X ⨯的开子集. 设U ≠∅. 任取()12,x x U ∈. 则()12,r x x V ρ∈ . 取0ε>使得(),r r V εε-+⊂. 对任意()()()1212,,/2,/2y y B x B x εε∈⨯, 利用三角不等式可得()()()()()()()12112212121122,,,,,,,.x x x y x y y y x x x y x y ρρρρρρρ--≤≤++即有()12,r y y r ερε-<<+, ()12,y y V ρ∈. 这样()()12,/2,/2B x B x U εε⨯⊂,()12,x x 是U 的内点. U 是开集. 所以ρ连续.2. 设11(,)X ρ和22(,)X ρ是两个度量空间, 定义121212,:()()d d X X X X ⨯⨯⨯→R ,使得对于任何12(,)x x x =, 12(,)y y y =12X X ∈⨯,11112222111222(,)(,)(,);(,)max{(,),(,)}.d x y x y x y d x y x y x y ρρρρ=+=(1) 验证1d 和2d 都是12X X ⨯的度量;(2) 证明12X X ⨯的度量1d , 2d 和ρ是等价的度量, 其中ρ是积度量.证明: (1) 显然1d 和2d 都满足度量的条件(1), (2). 下面证明它们满足三角不等式. 设()()()12121212,,,,,x x x y y y z z z X X ===∈⨯.()()()()()()()()()()()()()()()111122211111122222211122211122211,,,,,,,,,,,,,.d x y x y x y x z z y x z z y x z x z z y z y d x z d z y ρρρρρρρρρρ=+≤+++=+++=+()()(){}()()()(){}()(){}()(){}()()211122211111122222211122211122222,max ,,,max ,,,,,max ,,,max ,,,,,.d x y x y x y x z z y x z z y x z x z z y z y d x z d z y ρρρρρρρρρρ=≤++≤+=+故, 1d , 2d 是12X X ⨯的度量. 其次证明证明1d , 2d 和ρ等价.()()()22,,2,.d x y x y d x y ρ≤≤(1)设U 为()12,X X ρ⨯中的开集, 即对任意x U ∈, 存在0ε>, 使(),B x U ρε⊂, 其中(),B x ρε表示度量空间()12,X X ρ⨯中x 的ε-邻域.由(1)右边不等式, ()2,/2d B x U ε⊂. 即见U 是()122,X X d ⨯中的开集.反之, 设U 是()122,X X d ⨯中的开集, 即对任意x U ∈, 存在0ε>, 使()2,d B x U ε⊂. 由(1)左边不等式, (),B x U ρε⊂. 即见U 是()12,X X ρ⨯中的开集.因此, ()122,X X d ⨯和()12,X X ρ⨯有相同的开集, 2d 和ρ等价. 又()()()1,,2,x y d x y x y ρρ≤≤(2)利用此不等式, 仿上可证()121,X X d ⨯和()12,X X ρ⨯有相同的开集. 从而1d 和ρ等价.图形略.3. 将习题2中的结论推广到n 个度量空间的积空间中去.设(,)i i X ρ为度量空间, 1,2,,i n = 定义:121212,:()()n n d d X X X X X X ⨯⨯⨯⨯⨯→ 使得对于任意的12(,,)n x x x x = 1212(,,)()n n y y y y X X X =∈⨯⨯ , 定义:11112222111222(,)(,)(,)max{(,),(,),(,)}n n n n n d x y x y x y d x y x y x y ρρρρρρ=++=则12,d d 是12n X X X ⨯⨯ 的度量, 12,,d d ρ是等价的度量.4. 设1X 和2X 是两个拓扑空间, 12X X ⨯是它们的积空间, 证明对于任何1A X ⊂和2B X ⊂有(1) A B A B ⨯=⨯; (2) ()oooA B A B ⨯=⨯;(3) ()(())(())A B A B A B ∂⨯=∂⨯⋃⨯∂.(注意, 尽管这里在三个不同的空间中求集合的闭包, 内部和边界使用的记号分别相同, 但并不至于发生混淆.)证明: 设12(,)x x x A B =∈⨯, 对于任意的开邻域12,,x x x U V U V ∈∈⨯∈U UU , 从而()()()()U V A B U A V B ⨯⋂⨯=⋂⨯⋂≠Φ即,,U A V B ⋂≠Φ⋂≠Φ 则12,,x A x B ∈∈ 故 12(,)x x x A B =∈⨯, A B A B ⨯⊂⨯. 反之, 设 12(,)x x x A B =∈⨯, 则12,x A x B ∈∈对于任意的开邻域xW ∈U, 存在12,x x U V ∈∈U U 使得W U=⨯, 由于,U A V B ⋂≠Φ⋂≠Φ, 则()()U A V B ⋂⨯⋂≠Φ 所以x A B ∈⨯, 故,A B A B ⨯⊂⨯ 因此.A B A B ⨯=⨯5. 设1X 和2X 是两个拓扑空间, 1A 和2A 分别是1X 和2X 的子空间, 证明12A A ⨯作为积空间的拓扑与12A A ⨯作为积空间12X X ⨯的子空间的拓扑两者相同.6. 设1X ,2X 和3X 都是拓扑空间, 证明: (1) 积空间12X X ⨯同胚于积空间21X X ⨯;(2) 积空间123()X X X ⨯⨯同胚于积空间123()X X X ⨯⨯; (3) 存在一个拓扑空间Y 使得积空间1X Y ⨯同胚于1X ;(4) 如果1X ≠∅并且积空间12X X ⨯同胚于积空间13X X ⨯, 则2X 同胚于3X . 7. 证明§3.1习题9中定义的拓扑空间2(,)R T 是两个实数下限拓扑空间l R (参见例2.6.1)的积空间.3.3 商空间1. 证明: 离散空间(平庸空间)的任何一个商空间都是离散空间(平庸空间).证明: 设X 离散, 即X 的任一子集为开集. 设R 是X 的任一等价关系. 任取/A X R ⊂. 则()1p A -为X 的开子集, A 为商空间/X R 中的开集. 由/A X R ⊂的任意性, /X R 为离散空间.设(),X T平庸, 即{},X =∅T. 设R 是X 的任一等价关系. 若A 是/X R 的非空真子集, 则()1pA -为X 的非空真子集, ()1p A -∉T, 从而RA ∉T. 所以{},/RX R =∅T. /X R 为平庸空间.2. 设X , Y 和Z 都是拓扑空间. 证明: 如果:f X Y →和:g Y Z →都是商映射, 则:g f X Z → 也是商映射.证明: 因为:f X Y →和:g Y Z →都是满射, 所以:g f X Z → 也是满射. 若W 是Z 的开子集, 由g f 的连续性, ()()1g f W - 是X 的开子集. 若WZ ⊂不是Z 的开子集,由:g Y Z →是商映射, ()1g W -不是Y 的开子集. 进而, 由:f X Y →是商映射,()()11f g W --不是X 的开子集, 即()()1g f W - 不是X 的开子集. 于是, W 是Z 的开子集当且仅当()()1g fW - 是X 的开子集. 所以,:g f X Z → 是商映射.3. 定义映射1:p S →R , 使得对于任何t ∈R 有1()(cos(2),sin(2))p t t t S ππ=∈. 证明p 是一个商映射. (提示:事实上p 是一个开映射.)证明. 令1S 的度量ρ为2R 上的通常度量诱导而来. 由于()()()()()()()()122212(),(cos 2cos 2sin 2sin 2)21cos 222|sin |2||,p x p y x y x y x y x y x y ρππππππππ=-+-=--=-≤-p 为连续映射. p 显然是满射. 由定理3.3.3, 为证p 是商映射, 只需验证p 是开映射.设U 为R 的开子集. 任取x U ∈. 存在01/2ε<<使得(),x x U εε-+⊂.()(),C p x x εε-+ . 对任意1w S C ∈-, 取y ∈R 满足()p y w =以及||1/x y ε≤-≤.则()()()(),2|sin |2sin p x p y x y ρππε=-≥.从而()()(),2s in B p x p U πε⊂, ()px 为()p U 的内点. 由x U ∈得任意性, ()p U 为1S 的开子集.4. 定义映射21:{(0,0)}p S -→R , 使得对于任何2(,){(0,0)}x y ∈-R 有1(,)p x y S =∈.证明p 是一个商映射.5. 设X 和Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个商映射. 令2{(,)|()()}R x y X f x f y =∈=. 证明:(1) R 是X 中的一个等价关系; (2) Y 同胚于商空间/X R .6. 定义映射1:p I S →, 使得对于任何t I ∈有1()(cos(2),sin(2))p t t t S ππ=∈.其中, [0,1]I =. 证明:(1) p 是满的连续闭映射;(2) 例3.3.2中的商空间/I R 与1S 同胚.7. 举例说明商映射可以既不是开映射也不是闭映射.。
点集拓扑学教学大纲
《点集拓扑学》教学大纲课程名称：《点集拓扑学》Point Set Topology课程性质：数学与应用数学专业必修课学时数：36教材:《点集拓扑讲义》熊金城编著.高等教育出版社, 2011年12月第4版.主要参考书：《点集拓扑学》徐森林编著，高等教育出版社，2007年7月第1版.《基础拓扑学》胡适耕编著，华中科技大学出版社，2007年8月第1版.《基础拓扑学讲义》尤承业编著，北京大学出版社，1997年11月第1版.《拓扑学》 [美] 芒克里斯编著，熊金城等翻译，机械工业出版社，2006年4月第1版. 授课方式：课堂讲授为主所属院系：数学学院数学与应用数学系课程基础：《数学分析》、《实变函数论》一、课程简介拓扑学是近代数学的三大基础之一，是研究抽象空间的理论的一门学科，它具有高度的概括性和抽象性.点集拓扑学产生于19世纪.G.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果.1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始.泛函分析的兴起，希尔伯特空间和巴拿赫空间的建立，促进了把点集当作空间来研究.数学分析研究的中心问题是极限，而收敛与连续又是极限的基本问题.为把收敛与连续的研究推广到一般集合上，需要在一般集合上描述与点或与集合“邻近”的概念.如何描述“邻近”，可以用“距离”，但“距离”与“邻近”并无必然的联系.1914年F.豪斯道夫开始考虑用“开集”来定义拓扑.对一个非空集合X，规定X的每点有一个包含此点的子集作成的子集族，满足一组开集公理（即仿照欧几里得空间邻域所具特性给出的一组性质）.该子集族中的每个集合称为这点的一个邻域，这就给出了X的一个拓扑结构，X连同此拓扑结构称为一个拓扑空间.X的每点有邻域，故可研究一点的邻近，由此可仿照微积分的方法定义两个拓扑空间之间的连续映射的概念.若一个映射连续，且存在逆映射，逆映射也连续，则称此映射为同胚映射.具有同胚映射的两个拓扑空间称为同胚的（直观地说即两个空间相应的图形从一个可连续地形变为另一个）.要证明两个空间同胚，只要找到它们之间的同胚映射即可.在欧几里得直线上，作为子空间，两个任意的闭区间同胚；任意两开区间同胚；半开半闭的区间[c,d)与[a,b)同胚；二维球面挖去一个点S2－p与欧几里得平面K2同胚.要证明两个拓扑空间不同胚，需证明它们之间不存在同胚映射.方法是找同胚不变量或拓扑不变性（即在同胚映射下保持不变的性质）；第一个空间具有某同胚不变量，另一个空间不具有，则此二空间不同胚.一般拓扑学中常见的拓扑不变性有连通性、道路连通性、紧性、列紧性、分离性等.在历史上F.豪斯多夫提出了分离空间；弗雷歇看出了紧性与列紧性有密切关系；帕维尔·萨穆伊洛维奇·乌雷松对紧空间进行了系统研究，且在拓扑空间可否变量化的问题上作出了贡献；1937年H.嘉当引进了“滤子”的概念，能进一步刻画一致收敛，使收敛的更本质的属性揭示了出来；维数的问题是E.嘉当在研究皮亚诺曲线（一种可填满整个正方形的“曲线”）时提出的，1912年H.庞加莱给出定义，由乌雷松等人加以改进.二、教学目的点集拓扑近代数学的三大基础之一，是研究抽象空间的理论的一门学科.该课程从点集拓扑学的发展简史出发，深入浅出地阐述了点集拓扑学的基本理论、基本问题和基本方法.内容包括：点集拓扑基础、拓扑空间与连续映射、子空间、积空间、商空间及有关可数性的公理等.其中各部分主题鲜明，逻辑性强，通过对各部分内容由浅入深的讲解，使学生透彻地理解基本概念，努力将每个知识点与中学数学的知识及已经学过的大学其它数学课程(例如实变函数论)联系起来，便于学生比较理解，增加对知识背景的认识.三、教学要求本课程研究点集拓扑学的基本理论和基本方法。
点集拓扑
《点集拓扑》课程教学大纲课程编号:02200018课程名称：点集拓扑英文名称： General Topology课程类型: 必修课总学时： 36 讲课学时：60 习题课学时：12学分： 2适用对象: 数学与应用数学专业、信息与计算科学专业本科二年级上学期先修课程：数学分析、高等代数、近世代数一、课程简介拓扑学是几何学的一个分支，是研究拓扑空间在拓扑变换下保持不变的性质或不变量。
它的许多概念、理论和方法在数学的其他分支中有着广泛的应用，同时在物理学等方面也有许多应用。
本课程介绍关于拓扑空间、连续映射、连通空间、分离性、紧致性等拓扑学的最基本的，最常用的概念及其性质。
拓扑学是基础数学专业的一门必修专业基础课程，拓扑学虽诞生于二十世纪之初但目前已发展成为一门重要的数学分支，成为现代数学的一门基础学科. 因此对于数学专业本科学生而言必须掌握这门课程的基本理论和基本知识。
四、教学内容第一章朴素集合论（讲课3习题课0）§1. 集合的基本概念§2. 集合的基本运算§3. 关系§4. 等价关系§5. 映射§6. 集族及其运算§7. 可数集，不可数集，基数§8. 选择公理第二章拓扑空间与连续映射（讲课15习题课3）§1. 度量空间与连续映射§2. 拓扑空间与连续映射§3. 邻域与邻域系§4. 导集，闭集，闭包§5. 内部，边界§6. 基与子基§7. 拓扑空间中的序列第三章子空间，（有限）积空间，商空间（讲课7习题课2）§1. 子空间§2.（有限）积空间§3. 商空间第四章连通性（讲课8习题课2）§1. 连通空间§2. 连通性的某些简单应用§3. 连通分支§4. 局部连通空间§5.道路连通空间第五章有关可数性的公理（讲课5习题课1）§1. 第一可数与第二可数公理§2. 可分空间§3. Lindeloff空间第六章分离性公理（讲课6习题课1）§1.0T、1T、Hausdorff空间§2. 正则、正规、3T、4T空间（讲课0习题课0）§3. Urysohn引理和Tietze扩张定理§4. 完全正则空间、Tychonoff 空间§5. 分离性公理与子空间，(有限)积空间和商空间§6. 可度量化空间第七章紧致性（讲课6习题课1）§1. 紧致空间§2. 紧致性与分离性公理§3. n维欧氏空间n R中的紧致子集§4. 几种紧致性及其间的关系§5. 度量空间中的紧致性§6. 局部紧致空间，仿紧致空间第八章完备度量空间（讲课3习题课1）§1. 度量空间的完备化§2. 度量空间的完备性与紧致性，Baire定理第九章基本群及其应用（讲课7习题课1）§1. 基本群的定义§2. 连续映射诱导同态§3. 圆周的基本群§4. 2维Brouwer不动点定理§5. Jordan分割定理十、推荐教材和教学参考书教材：《点集拓扑讲义》，熊金城编著，高等教育出版社，2003年．参考书：1、《拓扑学引论》，江泽涵编著，上海科学技术出版社，1978年．2、《拓扑学》，蒲保明编著，高等教育出版社，1985年．大纲制订人：贾兴琴、白永强大纲审定人：吴可制订日期：2010年7月1日。
点集拓扑讲义
连通性和道路连通性
连通性的定义：如果点集中的任意两点都可以通过点集中的一条路径相连则称该点集是连通的。
道路连通性的定义：如果存在一条路径使得点集中任意两点都可以通过这条路径相连则称该点集是道路连通的。
连通性与道路连通性的关系：如果一个点集是连通的那么它一定是道路连通的；反之则不一定成立。
连通性和道路连通性的应用：在几何学、图论等领域中连通性和道路连通性是重要的概念对于研究点集的拓扑性 质和结构具有重要意义。
定理和性质的应用
定理和性质在数学领域中 的应用
在物理问题中的具体应用
在计算机科学中的实际应 用
在其他领域中的应用和推 广
在几何学中的应用
拓扑不变性：点集拓扑学中的概念指在拓扑变换下保持不变的性质。 几何结构：研究几何对象的拓扑性质如连通性、紧致性等。 流形：在点集拓扑学中流形是一类特殊的拓扑空间可以用来研究几何对象的形状和结构。 组合几何：利用点集拓扑学中的方法研究几何形状的组合和构造。
添加标题
同胚：在点集拓扑中如果存在一个从拓扑空间到拓扑空间B的连续映射并且这个映射可以逆向地由一个 从拓扑空间B到拓扑空间的连续映射构成则称拓扑空间与拓扑空间B同胚。
分离公理和紧致性
分离公理：点集拓扑中的基本性质指对于任意两个 不同的点存在一个开邻域不包含另一个点。
紧致性：点集拓扑中的基本性质指一个点集是紧致 的当且仅当它的闭包等于自身。
基的概念：拓扑空间中一个重要的概念是用来定义空间的拓扑结构的。基由若干个开集组成 满足一定的性质。
基的分类：根据基的性质可以将基分为第一类基和第二类基。第一类基是可数的第二类基是 不可数的。
基的性质：基具有连通性、可数性、分离性等性质这些性质对于研究拓扑空间的性质和结构 非常重要。
点集拓扑作业
第1章朴素集合论1.设f : X →Y , A, B ⊂Y , 则下面不正确的命题是( ).A. A = f(f−1(A))B. f−1(A ∩B) = f−1(A) ∩f−1(B)C. f−1(A\B) = f−1(A)\f−1(B)D. f−1(A ∪B) = f−1(A) ∪f−1(B)2.对任意集合X, Y, Z, 下面命题正确是( ).A. card X ≤card Y ⇒X ⊂YB. X ⊂Y ⇒card X ≤card YC. X ≠ Y ⇒card X ≠ card YD. X Y ⇒card X < card Y3.设R 是从X 到Y 的一个关系, 则R(A ∩B) = R(A) ∩R(B). ( )4.给定函数f : X →Y , 则关系f−1 : Y →X.( )5.给定X = {1, 2, 3}, 则X 上的关系R = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (2, 1)} 是从X 到X 的一个函数. ( )6.考虑整数集Z 上的模5 等价关系, 则商集[9] = [134]. ( )7.有理数集是可数集, 无理数集的基数为ℵ. ( )8.设R ⊂X ×Y , 则称R 是从X 到Y 的一个____________.9.设X 上的一个关系R. 若△(X) ⊂R, 其涵义为____________ , 则称关系R 是________________ 的; 若R = R−1, 其涵义为_______________ , 则称关系R 是_____________ 的;若R ◦R ⊂R, 其涵义为, 则称关系R 是_______________ 的. 满足以上三个条件的关系称为______________ .关系.等价关系,商集,自然映射.可数集,ℵ0.1.设X 上关系R 是自反的. 试证: R 是等价关系当且仅当(a, b) ∈R, (a, c) ∈R ⇒(b, c) ∈R.2.设X, Y 是集合, f : X →Y . 试证:R = {(x1, x2) ∈X ×X; f(x1) = f(x2)}是X 上的等价关系, 而且f˜: X/R →Y[x]→f(x)是良定义的(well-defined), 且是单射.3.设A ⊂ B ⊂C, 且card A = card C. 试证:card A = card B = card C. (提示: 利用Cantor-Bernstein 定理.)4.设f : X →Y , A, B ⊂Y . 试证:f−1(A ∪B) = f−1(A) ∪f−1(B).5.设f : X →Y , A ⊂X, B ⊂Y , 试证:B ∩f(A) = f(f−1(B) ∩A).6.设f : X →Y , 试证: f−1(f(A)) ⊃A;f−1(f(A)) = A ⇔f(A) ∩f(X\A) = ∅.第2 章拓扑空间与连续映射1.设X = {0, 1, 2}, 下面不是X 上的拓扑的集族是( ).A. {∅, {1} , {1, 2} , X}B. {∅, {0} , X}C. {∅, {0, 1} , {0, 2} , {2} , X}D. {∅, {0} , {1, 2} , X}2.设X 是拓扑空间, A ⊂ B ⊂X, 下面不正确的命题是( )A. d(A) ⊂d(B)B. A o⊂B oC. A c⊂B cD. A−⊂B−3.设X 是拓扑空间, 下面不正确的命题是( )A. ∅−= ∅B. X−= XC. (A ∩B)−= A−∩B−D. (A ∪B)−= A−∪B−4.设X = {a, b}, T = {∅, {a} , X}, 则d ({a}) = ( ), {a}−= ( ), {a}o = ( ).A. ∅B. XC. {a}D. {b}5.设X = {a, b, c, d},T = {∅, {a} , {b, c, d} , X}, 则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( ).A. 1B. 2C. 3D. 46.设X = {a, b, c, d}, T = {∅, {a} , {b, c, d} , X},点 b 的开邻域个数为( ).A. 1B. 2C. 3D. 47.设(X, T ) 是拓扑空间, A ⊂X, 则A o是包含于A 的( ) 开集.A. 最小B. 最大C. 既不是最大也不是最小D. 以上都不对8.设(X, T ) 是拓扑空间, A ⊂X, 则A−是包含A 的( ) 闭集.A. 最小B. 最大C. 既不是最大也不是最小D. 以上都不对9.设 X 是一个拓扑空间, A, B ⊂ X, 则下列关系中错误的是 ( )A. d(A ∪ B) = d(A) ∪ d(B)B. B A B A Y Y =C. d(A ∩ B) = d(A) ∩ d(B)D. A A =10.离散空间的任一子集是 ( )A. 开集B. 闭集C. 既开又闭D. 非开非闭11.在实数空间 R 中, 下列集合是开集的是 ( )A. 整数集 ZB. 有理数集 QC. 无理数集D. 整数集的补集 Z c12.设 (X, ρ) 是拓扑空间, x ∈ X, A ⊂ X, 则ρ(x, A) = 0 ⇔ x ∈ ( ), ρ(x, A c ) = 0 ⇔ x ∈ ( ), ρ(x, A) = ρ(x, A c ) = 0 ⇔ x ∈ ( ),ρ(x, A c ) > 0 ⇔ x ∈ ( ).A. A oB. A −C. ∂AD. A oc13.拓扑空间中的开集一定不是闭集.( )14.设 T1, T2 都是 X 上的拓扑, 则 T1 ∪ T2 也是 X 上的拓扑. ( )（花写T ）15.在拓扑空间 (X, T ) 中, 若 A ⊂ X, 则 d(A)是闭集. ( )16.在实数下限拓扑空间 R l 中, [0, ∞) 是开集.( )17.设 B 是拓扑空间 (X, T ) 的一个基,B ⊂ B ˜ ⊂ T , 则 B ˜ 也是该拓扑空间的一个基. ( )18.设 S 是拓扑空间 (X, T ) 的一个子基,S ⊂ S ˜ ⊂ T , 则 S ˜ 也是该拓扑空间的一个子基. ( )19.在拓扑空间 (X, T ) 中, 设 x ∈ X, A ⊂ X,则 x0 ∈ d(A) 蕴含存在 A\ {x 0} 中的序列 {x n }收敛于 x 0. ( )20.在度量空间 (X, T ) 中, 设 x 0 ∈ X, A ⊂ X,则 x 0 ∈ d(A) 等价于存在 A\ {x 0} 中的序列 {x n }收敛于 x 0. ( )21.设 A 是离散空间 X 的子集, 则A o =______________ , A − =_______________ .22.设 X 是拓扑空间, A ⊂ X, x ∈ X, 如果_____________ , 则称 x 是 A 的凝聚点.23.在实数空间R 中, 区间[0, 1) 的内部是______ , Q 的内部是_________ , Q 的导集是______ , Q 的闭包是______, Q 的边界是_____________ .24点集拓扑的中心任务是研究______________ .25.设X 是拓扑空间, 如果_____________________ , 则称U ⊂X 是点x ∈X 的一个邻域.度量空间拓扑空间邻域凝聚点, 导集内点, 内部边界点, 边界基, 子基同胚映射1.设 (X, ρ) 是度量空间, 试证:|ρ(x, y) − ρ(x, z)| ≤ ρ(y, z), ∀ x, y, z ∈ X.2.设 (X, ρ) 是度量空间,),(1y x αρρ=,)10(<<α ,),(1),(2y x y x ρρρ+=试证: (X, ρ1), (X, ρ2) 均是度量空间.3.设 {}∞=1i i p 是 X 上的一列度量, 试证:),(1),(21),(1y x y x y x i i i i ρρρ+=∑∞= , 也是 X 上的度量.4.设 X = {a, b, c},T1 = {∅, {a} , {a, b} , {a, c} , X} ,T2 = {∅, {b} , {a, b} , {b, c} , X} .试证: T1, T2 都是 X 上的拓扑, 但 T1 ∪ T2 却不是 X 上的拓扑.5.设X = {a, b, c} , T = {∅, {a} , {b, c} , X} .试证: (X, T ) 是一个拓扑空间; 再设 A = {b}, 试求 d(A), 并判断它是否为闭集.6.设 X 是度量空间, A ⊂ X, 试证: d(A) 是闭集7.设 X 是有限补拓扑空间, A ⊂ X, 试证: ⎩⎨⎧=为无限集，为有限集，A X A A A8.设 X 是拓扑空间, A ⊂ X, 试证:A o −o − = A o −.证明:A o − ⊃ A o −o ⇒ A o − ⊃ A o −o −,A o ⊂ A o − ⇒ A o = A oo ⊂ A o −o⇒ A o − ⊂ A o −o −9.设 (X, TX), (Y, TY) 是两个拓扑空间,f : X → Y . 试证以下条件等价:1 . f 连续;2 . ∃ Y 的基 BY , B ∈ BY ⇒ f −1(B) ∈ TX;3 . ∃ Y 的子基 SY , S ∈ SY ⇒ f −1(S) ∈ TX;4 . ∀ x ∈ X, U ∈ Uf(x) ⇒ f −1(U) ∈ Ux;5 . ∀ x ∈ X, ∃ f(x) 的邻域基 Vf(x),V ∈ Vf(x) ⇒ f −1(V ) ∈ Ux;6 . ∀ x ∈ X, ∃ f(x) 的邻域子基 Wf(x),∀ W ∈ Wf(x)⇒ f −1(W) ∈ Ux.第3 章子空间, 积空间, 商空间1.设X = {1, 2, 3},T = {∅, X, {1, 2} , {1, 3} , {1} , {2}}, A = {2, 3},则X 的子空间 A 的拓扑是_________________ .2.相对拓扑是使得内射连续的( ) 的拓扑.A. 最小B. 最大C. 既不是最大也不是最小D. 以上都不对3.积拓扑是使积空间到每个坐标空间的自然投射都连续的( ) 的拓扑.A. 最小B. 最大C. 既不是最大也不是最小D. 以上都不对4.设X = X1 ×···×Xn 是拓扑空间X1, ···, Xn 的拓扑积空间, 则下列哪个性质不是投射pi : X →Xi 的性质( )A. pi 是满射B. pi 是连续映射C. pi 是闭映射D. pi 是开映射5.设X1, X2 是两个拓扑空间, X1 ×X2 是它们的积空间, A ⊂X, B ⊂Y . 则下列命题错误的是( )A. BA⨯⨯=BAB. ∂(A ×B) = (∂A ×B ¯) ∪(A ¯×∂B)C. ∂(A ×B) = ∂A ×∂BD. (A ×B)o = A o×B o6.设(X, T ) 为拓扑空间, f : X →Y , 则Y 上的商拓扑是使得f 连续的( ) 的拓扑.A. 最小B. 最大C. 既不是最大也不是最小D. 以上都不对7.离散空间的商空间一定是( ), 平庸空间的商空间一定是( ).A. 离散空间B. 平庸空间C. 既不是离散空间, 也不是平庸空间D. 以上都不对8.设[0, 1] 是实数空间R 的子空间, 则(0, 1/2]是[0, 1] 中的开集. ( )9.设[0, 1) 是实数空间R 的子空间, 则[0, 1/2)是[0, 1) 中的开集. ( )10.设[0, 1) 是实数下限拓扑空间Rl 的子空间,则[1/2, 1) 是[0, 1) 中的开集. ( )11.开映射的复合还是开映射. ( )12.闭映射的复合还是开映射. ( )13.商映射的复合还是商映射. ( )14.设X, Y 是两个拓扑空间, f : X →Y 是商映射, 则f 是满射. ( )15.设X, Y 是两个拓扑空间, f : X →Y 是单射, 且是商映射则 f 是同胚. ( )16.设Y 是拓扑空间X 的一个开(闭) 子集, 则Y 作为X 的子空间时称为X 的开(闭) 子空间.试证:1. 如果Y 是拓扑空间X 的一个开子空间, 则A ⊂Y 是Y 中的开集⇔A 是X 中的开集.2. 如果Y 是拓扑空间X 的一个闭子空间, 则A ⊂Y 是Y 中的闭集⇔A 是X 中的闭集.第4章连通性1.设X 是拓扑空间, 则X 中的单点子集是X的通连子集. ( )2.设X 是连通空间, Y ⊂X, 则Y 是X 的连通子集. ( )3，设X 是不连通空间, Y ⊂X, 则Y 是X 的,不连通子集. ( )4.设Y 是R 的连通子集, 则Y 是区间. ( )5.设I 是R 的区间, 则Y 是R 的连通子集.( )7.设X, Y 是拓扑空间, X 是局部连通空间,f : X →Y 连续, 则f(X) 也是局部连通空间. ( )8.设X 是一拓扑空间, C 为其一连通分支, 若X 的连通子集Y 适合Y ¯∩C ≠∅, 则Y ⊂ C. ( )注记：书上的定理是这么说的: 设X 是一拓扑空间, C 为其一连通分支,若X 的连通子集Y 适合Y ∩ C ≠∅, 则Y ⊂ C. (狗的嘴里叼着肉就能全部吃掉它)现在的情形是: 如果把肉放到狗嘴边, 那么狗能否吃到肉呢注记：这是连通分支的“吸星大法”的增强形式.9.设X 是一拓扑空间, C 为其一道路连通分支, 若X 的道路连通子集Y 适合Y ∩C ≠∅,则Y ⊂ C. ( )注记. 这是道路连通分支的“吸星大法”.10.设O 是R n的开集, 则O 是连通的⇔O 是道路连通的. ( )11.设A ⊂R, 则A 是连通的⇔A 是道路连通的. ( )12.设O 是Rn 的开集, 则O 的道路连通分支是它的一个连通分支. ( )13.拓扑空间的连通分支可以是闭集, 也可以是开集. ( )提示：考虑有理数集Q 的连通分支.14.拓扑空间的道路连通分支是闭集. ( )提示：考虑拓扑学家的正弦曲线.15.拓扑空间的连通分支的闭包是连通的. ( )16.拓扑空间的道路连通分支的闭包也是道路连通的. ( )提示：考虑拓扑学家的曲线.1 . 多于一个点的离散空间是___________ 的.2 . 平庸空间是____________ 的.3 . 设X = {a, b, c}, T1 = {∅, {a} , {b, c} , X},T2 = {∅, {a} , X}, 则拓扑空间(X, T1)是______________ 的, 拓扑空间(X, T2)是_________________ 的.(选填: 连通, 不连通).是______ 的; Q 作为R 的子空间是______ 的; R\Q 作为R 的子空间是_______________的; {代数数} 作为R 的子空间是_____________ 的; {超越数} 作为R 的子空间是______________ 的; Z 作为R 的子空间是___________ 的. (选填: 连通, 不连通).\ {0} 是________ 空间, R2\ {0}是________空间. (选填: 连通, 不连通).6.考虑拓扑学家的正弦曲线(the topologist’ssine curve)S = {(x,sin x /1) ; 0 < x ≤1}则对∀ A ⊂{0} ×[−1, 1],S ∪A 是______________ 的.(选填: 连通, 不连通).证明:这是连通的. 由sin 1/x= y ∈[−1, 1] ⇒1/x= arcsin y + 2kπ⇒x = 1/(arcsin y + 2kπ)知S ∋(1/( arcsin y + 2kπ) , y) →(0, y) (k →∞) .于是S ¯= S ∪{0} ×[−1, 1]. 按照如下结论:X 为拓扑空间, Y 为X 的连通子集, Y ⊂Z ⊂Y , ¯则Z 连通即知结论成立.连通性, 局部连通性和道路连通性的区别和联系:1 . 连通未必局部连通, 比如拓扑学家的曲线.2 . 连通未必道路连通空间, 比如拓扑学家的曲线.3 . 局部连通未必连通, 比如R 的子空间(0,1) ∪(1,2); 多于一个点的离散空间.4 . 局部连通未必道路连通, 比如多于一个点的离散空间.5 . 道路连通一定连通.6 . 道路连通未必局部连通, 比如X = {(x, y) ∈R2; 0 ≤x ≤1, y = n x, n = 1,2, ···或y = 0} .连通性, 局部连通性和道路连通性是否为可遗传的性质(拓扑空间X 具有, 则X 的子空间也具有), 是否为对闭子空间可遗传的性质(拓扑空间X 具有, 则X 的闭子空间也具有), 是否为对开子空间可遗传的性质(拓扑空间X具有, 则X 的开子空间也具有):1 . 连通性不是可遗传的性质. 比如R 连通, 但R 的开子空间(0,1) ∪(1,2)不连通; R 的闭子空间Q 不连通.2 . 局部连通是是对开子空间可遗传的性质, 即若X 为局部连通空间, Y 是X 的开子空间, 则Y 也是局部连通空间.3 . 道路连通空间不是可遗传的性质. 比如R 连通, 但R 的开子空间(0,1) ∪(1,2) 不连通; R 的闭子空间Q 不连通.1.设X 是一拓扑空间, A, B 在X 中隔离,A1 ⊂A, B1 ⊂B, 试证: A1, B1 在X 中隔离.2.设X 是一拓扑空间, x, y ∈X 是连通的, E是X 的一个既开又闭的子集, 试证: x, y ∈ E 或者x, y E.3.设X, Y 是拓扑空间, f : X →Y 连续,f(X) ⊂Z ⊂Y , 试证:f˜: X →Zx →f(x)也连续.注记. 本题在书上第140 页证明定理时引用过.4.考虑实数空间R 的两个子空间X = {0, 1, 2, 3, ···} , Y = {0, 1, 1 /2, 1/ 3, ···}及 f : X →Y 定义为f(0) = 0, f(n) = 1/n(n = 1, 2, 3, ···).试证:1 . X 是离散空间;2 . X 是局部连通空间;3 . f 是连续的一一映射;4 . Y 不是局部连通空间.本题说明局部连通性不是在连续映射下保持不变的性质.5.(书Page 147 第5 题). 设X 是拓扑空间, 若∀x ∈X, ∀U ∈Ux, ∃道路连通V ∈Ux, . x ∈V ⊂U,则称X 是一局部道路连通空间. 再设Y ⊂X, 若Y 在相对拓扑下是局部道路连通的, 则称Y 是X 的局部道路连通子集.1 . 局部道路连通空间是局部连通空间.2 . 局部道路连通性是在开的连续映射下保持不变的性质.3 . 局部道路连通性是有限可积性质.4 . 设O 是局部道路连通空间X 的开集, 则O 是X 的连通子集⇔O 是X 的道路连通子集.第5 章有关可数性的公理1.设(X, ρ) 是度量空间, D 是X 的一个可数稠密子集, 则{B(d, r);d ∈D,0 < r ∈Q} 是X的一个可数基. ( )2.设X 是Lindelöff 空间, Y 是X 的闭子空间, 则Y 也是Lindelöff 的. ( )3.设X 是拓扑空间, A 是X 不可数的Lindelöff 子空间, 则A ∩d(A) ≠∅. ( )1 . Rn 的子空间_____________是A2 空间.2 . A2 空间_____________ 是A1 空间.3 . A2 空间________________ 是可分的.4 . 可分的度量空间__________ 是A2 空间.5 . A2 空间的子空间____________ 可分6 . 可分度量空间的子空间____________ 可分.(以上选填: 一定, 未必)7.设X 是拓扑空间, D ⊂X, 若D−= X, 则称D 是X 的______________ 子集; 若 D 是可数集, 则称X 是__________________ 的.8. 在实数空间R 中, Q 的闭包是__________ .9.. 设(X, T ) 是拓扑空间, ∞∉X, 令X∗= X ∪{∞} , T ∗= {A ∪{∞}; A ∈T } ∪{∅} .则在X∗中, {∞}−= ______________.10.设 A 是一集族, B 是一集. 若∪A∈A A ⊃B,则称 A 是 B 的一个_________ ; 当A 是可数族时, 称A 是B 的_______________ ; 当A 是有限族时, 称 A 是 B 的__________ ; 若∃A1 ⊂ A , . ∪A∈A1 A ⊃B, 则称A1 是A的____________ .在拓扑空间X 中, 若 A 是X 的子集族,B ⊂X, 则称 A 是 B 的__________ .11.设X 是拓扑空间, 它的每个开覆盖都有一个_______ , 则称X 为Lindelöff 空间.空间________ 是Lindelöff 的;Lindelöff 空间______________ 是A2 的, 但Lindelöff 的度量空间_____________ 是A2 的.(选填: 一定, 未必)13.设X 是A1 空间, 给定x ∈X 及x 处的一个可数邻域基{}∞=1n n U.1) . 试构造出 x 处的一个递减可数邻域基{}∞=1n n V .2 ). 任取n n V x ∈, 试证: x x n n =∞→lim .14 . 试给出度量空间 (X, d) 在 x ∈ X 处的一个可数邻域基.15 . 试给出 R 的一个可数基.。
点集拓扑学.pdf
点集拓扑学教案为开设数学专业本科自学考试及宁德师专数学系数学教育专业“点集拓扑”课程,按熊金城《点集拓扑讲义》(第三版,北京:高等教育出版社,2003)第一至七章编写的教案。
自考生授课30学时,专科生授课45学时。
教学内容与进度安排如下。
章节自考生授课主要内容时数1朴素集合论22.1-2.3度量空间、拓扑空间、连续映射、邻域42.4-2.7闭集闭包、内部、边界、基、序列43子空间、积空间、商空间34连通、连通分支、局部连通、道路连通35第一、二可数性、可分性、Lindelöf性36.1-6.4各种分离性公理T0-T436.5-6.6分离公理的运算保持、Urysohn度量化定理27.1-7.3紧致性、分离性及R n中的紧致子集37.4-7.5各种紧致性、度量空间中的紧致性27.6局部紧致空间、仿紧致空间1章节专科生授课主要内容时数备注拓扑学的起源1一朴素集合论5习题课时11.1集合、映射与关系21.2无限集、选择公理2二拓扑空间与连续映射14习题课时22.1度量空间与连续映射3不讲附录2.2拓扑空间与连续映射22.3邻域与邻域系1不讲定理2.3.32.4导集、闭集、闭包3不讲例2.4.4,定理2.4.8 2.5内部、边界12.6基与子基1部分证明定理 2.6.3,邻域基及相关内容在5.1中介绍2.7拓扑空间中的序列1三子空间、有限积空间、商空间5习题课时13.1子空间 1.5嵌入在6.6中介绍3.2积空间 1.53.3商空间1例3.3.3起不讲四连通性6习题课时14.1连通空间24.2连通性的某些简单应用14.3连通分支0.54.4局部连通空间14.5道路连通空间0.5道路连通分支不讲五有关可数性的公理5习题课时15.1第一与第二可数性公理25.2可分空间1定理5.2.1不讲5.3Lindelöf空间1六分离性公理8习题课时26.1T0、T1、Hausdorff空间 1.56.2正则、正规、T3、T4空间1例6.2.2讲部分6.3Urysohn引理和Tietze扩张定理0.5不讲定理6.3.1,6.3.4的证明6.4完全正则空间,Tychonoff空间16.5分离性公理与子空间、积空间和商空间16.6可度量化空间1定理6.6.1讲部分七紧致性10习题课时3(含总复习)7.1紧致性 2.5定理7.1.6讲部分7.2紧致性与分离性公理0.5引理7.3.2用分析中的结论7.3n维欧氏空间R n中的紧致子集0.57.4几种紧致性以及其间的关系 1.57.5度量空间中的紧致性17.6局部紧致空间,仿紧致空间1定理7.6.8不讲第一章朴素集合论点集拓扑学(Point-set Topology)现称一般拓扑学(General Topology),它的起源与出发点都是集合论.作为基本的点集拓扑学知识,所需的只是一些朴素集合论的预备知识.本章介绍本书中要用到的一些集合论内容,主要涉及集合及集族的运算、等价关系、映射、可数集、选择公理等.作为一教材,讲义对各部分内容均有较系统的论述,作为授课,我们只强调一些基本内容,而对已有过了解的知识不提或少提.记号:Z,Z+,R,Q分别表示整数集,正整数集,实数集和有理数集.一.集合的运算幂集P(X),交∩、并∪、差－(补,余CA,A').运算律:De Morgan律:(1)A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)(2)A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)利用集合的包含关系证明(1).类似可定义任意有限个集的交或并,如记A i.A1∪A2∪…∪A n=(A1∪…∪A n-1)∪A n=∪i≤n A i=∪ni=1规定0个集之并是∅,不用0个集之交.二.关系R是集合X的一个关系,即R⊂X×X,(x,y)∈R记为xRy,称x与y是R相关的.R称为自反的,若∀x∈X,xRx;R称为对称的,若xRy,则yRx;R称为传递的,若xRy,yRz,则xRz.等价关系:自反、对称、传递的关系.如, Δ(X)={(x, x)|x∈X},恒同关系,它是等价关系;{(x,y)|x,y∈R,x<y},小于关系,它是传递的,但不是对称的、不是自反的.设R是X上等价关系,∀x∈X,x的R等价类或等价类[x]R或[x]为{y∈X|xRy},[x]R的元称为[x]R的代表元;商集X/R={[x]R|x∈X}.定理1.4.1设R是非空集合X的等价关系,则(1)∀x∈X,x∈[x]R;(2)∀x,y∈X,或者[x]R=[y]R,或者[x]R∩[y]R=∅.证(2).设z∈[x]R∩[y]R,则zRx,zRy,于是[x]R⊂[y]R且[y]R⊂[x]R,于是[x]R=[y]R.三.映射函数f: X→Y. ∀A⊂X,f(A)={f(x)|x∈A}像;∀B⊂Y,f-1(B)={x∈X|f(x)∈B}原像.满射、单射、一一映射(双射)、可逆映射、常值映射、恒同映射i X、限制f|A、扩张、内射i X|A: A→X.X i={(x1,…,x n)|x i∈X i,i≤n}到第i个坐标集集合X i,i≤n,笛卡儿积X1×X2×…×X n= Пi≤n X i=Пni=1X i的投射p i:X→X i定义为p(x)=x i,其中x=(x1,…,x n).对等价关系R,集合X到商集X/R的自然投射p:X→X/R定义为p(x)=[x]R.四.集族数列{x n}={x n}n∈Z+,有标集族{Aγ}γ∈Γ,指标集Γ,与{Aγ|γ∈Γ}不同,可记有标集族A={A}A∈A;类似地,定义其并∪γ∈ΓAγ(或∪A)、交∩γ∈ΓAγ(或∩A),不定义0个集的交.与有限集族有相同的运算律,如De Morgan律A-(∪γ∈ΓAγ)=∩γ∈Γ(A-Aγ),A-(∩γ∈ΓAγ)=∪γ∈Γ(A-Aγ).映射对应的集族性质:f(∪γ∈ΓAγ)=∪γ∈Γf(Aγ),f(∩γ∈ΓAγ)⊂∩γ∈Γf(Aγ),f-1(∪γ∈ΓBγ)=∪γ∈Γf-1(Bγ),f-1(∩γ∈ΓBγ)=∩γ∈Γf-1(Bγ).五.无限集通过一一映射来确定两集合的个数的多少.有限集(∅或与某{1,2,…,n}有一一映射),无限集,可数集(∅或存在X到Z+的单射),不可数集.易验证:有限集是可数集,可数集的子集是可数集,可数集的映像是可数集.定理1.7.3X是可数集⇔X是Z+的映像.由此,Q是可数集,两可数集的笛卡儿积集是可数集,可数个可数集之并集是可数集.定理1.7.8R是不可数集.利用Cantor对角线法证明开区间(0,1)中的实数不可数.直观上,集合A中元素的个数称为该集合的基数,记为card A,或|A|.|Z+|=ℵ0,|R|=ℵ.若存在从集合A到集合B的单射,则定义|A|≤|B|.连续统假设:不存在基数α,使得ℵ0<α<ℵ.选择公理:若A是由非空集构成的集族,则∀A∈A,可取定ε(A)∈A.由选择公理可证明,若α,β是基数,则下述三式中有且仅有一成立:α<β,α=β,α>β.第二章拓扑空间与连续映射本章是点集拓扑学基础中之基础,从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两个概念:拓扑空间、连续映射,分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性.§2.1度量空间与连续映射在R 上,|x-y|表示点x 与y 之间的距离.绝对值是一非负函数,具有三条重要性质.定义2.1.1设X 是一集合,ρ:X ⨯X →R .如果ρ满足正定性、对称性和三角不等式,则称ρ是X 的一个度量.(X,ρ)称为度量空间,ρ(x,y)表示两点x,y 之间的距离.例2.1.1实数空间R .ρ(x,y)=|x-y|,R 的通常度量.例2.1.2n 维欧氏空间R n =R ⨯R ⨯…⨯R .对于x ∈R n,记x=(x i ).定义ρ(x,y)=∑=n1i 2i i )y -(x ,R n 的通常度量,n 维欧氏空间.R 2称为欧氏平面或平面.例2.1.3Hilbert 空间H .H ={x=(x 1,x 2,…)|x i ∈R ,i ∈Z +;∑∞=1i 2ix <∞}.定义ρ(x,y)=∑∞=1i 2i i )y -(x ,则度量空间(H ,ρ)称为Hilbert 空间.例2.1.4离散度量空间.度量空间(X,ρ)称为离散的,若∀x ∈X,∃δx >0,使得不存在X 中的点y ≠x,满足ρ(x,y)<δx .如对集合X,按如下方式定义ρ:X ⨯X →R 是X 上的离散度量:⎩⎨⎧≠==y.x 1,y,x 0,y)(x,ρ定义2.1.2设(X,ρ)是度量空间.B(x,ε)={y ∈X |ρ(x,y)<ε}称为以x 为心,ε为半径的球形邻域,或ε邻域,或球形邻域.对(R ,|.|),B(x,ε)=(x-ε,x+ε).定理2.1.1度量空间(X,ρ)的球形邻域具有性质:(1)∀x ∈X,ε>0,x ∈B(x,ε);(2)∀x ∈X,ε1,ε2>0,∃ε>0,使B(x,ε)⊂B(x,ε1)∩B(x,ε2);(3)若y ∈B(x,ε),∃δ>0使B(y,δ)⊂B(x,ε).证(2)0<ε<min{ε1,ε2};(3)δ=ε-ρ(x,y),则B(y,δ)⊂B(x,ε).定义2.1.3X的子集A称为(X,ρ)的开集,若∀a∈A,∃ε>0,使B(a,ε)⊂A.每一球形邻域是开集.例2.1.5R中的开区间是开集.∀x∈(a,b),让ε=min{x-a,b-x},则B(x,ε)⊂(a,b).同样可证,无限开区也是开集.闭区间[a,b]不是开集.定理2.1.2度量空间的开集具有以下性质:(1)X,∅是开集;(2)两开集的交是开集;(3)任意开集族之并是开集.证(1)由定理2.1.1(1);(2),(3)由定理2.1.1(2).定义2.1.4设X是度量空间,x∈X,U⊂X.U称为x的邻域,若∃开集V,使x∈V⊂U.定理2.1.3U是X中点x的邻域⇔∃ε>0,使B(x,ε)⊂U.定义2.1.5设X,Y是两度量空间.f:X→Y, x0∈X,称f在x0连续,若∀f(x0)的球形邻域B(f(x0),ε)(∀ε>0),∃x0的球形邻域B(x0,δ)(∃δ>0),使f(B(x0,δ))⊂B(f(x0),ε)(当ρX(x,x0)<δ时,ρY(y,f(x0))<ε).称f在X连续,若f在X的每一点连续.定理2.1.4设X,Y是两度量空间.f:X→Y, x0∈X,那么(1)f在x0连续⇔若U是f(x0)的邻域,则f–1(U)是x0的邻域;(2)f在X连续⇔若U是Y的开集,则f–1(U)是X的开集.证(1)利用定义2.1.5,2.1.4.(2)“⇒”f–1(U)是每一点的邻域.“⇐”证每一点连续,利用(1).由此可见,度量空间的连续只与邻域或开集有关.它导入建立比度量空间更一般的拓扑空间的概念及其连续性.§2.2拓扑空间与连续映射定义2.2.1设T是集合X的子集族,若T满足:(1)X,∅∈T;(2)∀A,B∈T⇒A∩B∈T;(3)∀T1⊂T,∪T1∈T;称T是X的一个拓扑.(X,T)是拓扑空间,T的元称为X的开集.空间X的拓扑是X的全体开集的族.定义2.2.2(X,ρ)度量空间.Tρ由X的所有开集构成的族.(X,Tρ)称为由度量ρ诱导出的拓扑空间.简称Tρ为度量拓扑.度量空间⇒拓扑空间.例2.2.1平庸拓扑T={X,∅}.平庸空间.例2.2.2离散拓扑T=P(X).离散空间.X的每一子集是开集.由离散度量空间导出的拓扑是离散拓扑.∪∅}.例2.2.4有限补拓扑T={U⊂X|U'是X的有限子集}{验证T是X上的拓扑.(1)显然.(2)∀A,B⊂X,讨论A∩B时分两种情形,一是A,B中有一是∅,二是A,B都不是∅.(3)设T1⊂T,不妨设∃∅≠A0∈T1,利用De Morgan律.有限补空间.∪∅}.例2.2.5可数补拓扑T={U⊂X|U'是X的可数子集}{定义2.2.3可度量化空间.离散空间是可度量化空间.多于一点的平庸空间不是可度量化空间.度量化问题是点集拓扑学研究的中心问题之一.本书将在§6.6中给出该问题的一个经典的解.定义2.2.4X,Y是两拓扑空间.f:X→Y.称f连续,若Y中每一开集U的原象f-1(U)是X中的开集.定理2.2.1恒同映射连续.连续函数的复合是连续的.定义2.2.5f:X→Y称为同胚或同胚映射,若f是一一映射且f及f-1均连续.定义2.2.6称两空间X与Y同胚,或X同胚于Y,若存在从X到Y的同胚.定理2.2.2(2.2.3)恒同映射同胚(X与X同胚);f同胚⇒f-1同胚(若X与Y同胚,则Y与X同胚);同胚的复合是同胚(若X与Y同胚,且Y与Z同胚,则X与Z同胚).空间的同胚关系是等价关系.拓扑学的中心任务:研究拓扑不变性质.抽象化过程:欧氏空间→度量空间→拓扑空间;点距离→度量→开集.§2.3邻域定义2.3.1设(X,T)是拓扑空间.x∈X,U⊂X称为x的邻域,如果存在V∈T使x∈V⊂U;若U 是开的,U称为x的开邻域.定理2.3.1设U⊂X.U是X的开集⇔U是它的每一点的邻域.证由定义得“⇒”;利用开集之并为开得“⇐”.x在X的所有邻域构成的族称为x的邻域系,记为U x.定理2.3.2U x的性质:(1)X∈U x;∀U∈U x,x∈U;(2)U,V∈U x⇒U∩V∈U x;(3)U∈U x且U⊂V⇒V∈U x;(4)U∈U x⇒∃V∈U x使V⊂U且∀y∈V,V∈U y.证由定义2.3.1得(1);由开集的交是开集得(2);由定义2.3.1得(3);取V为满足x∈V⊂U的开集.由邻域系出发可建立拓扑空间的理论,显得自然,但不流行.利用邻域与开集的关系(定理2.3.1)导出开集,从U x(∀x∈X)具有定理2.3.2的性质的(1)-(4)出发,定义T={U⊂X|∀x∈U,U∈U x},则(X,T)是拓扑空间,且这空间中每一点x的邻域系恰是U x.详见定理2.3.3.定义2.3.2(点连续)映射f:X→Y称为在点x∈X连续,如果U是f(x)在Y中的邻域,则f-1(U)是x在X中的邻域.定理2.1.4保证了在度量空间中点的连续性与由度量导出的拓扑空间中的点的连续性的一致.另一方面,关于点的连续性,易验证(定理 2.3.4),恒等映射在每一点连续,两点连续的函数之复合仍是点连续的.定义2.2.4与定义2.3.2所定义的“整体”连续与每一“点”连续是一致的.定理2.3.5设f:X→Y. 则f连续⇔f在每一x∈X连续.证“⇒”若U是f(x)的邻域,∃开集V使f(x)∈V⊂U,x∈f-1(V)⊂f-1(U).“⇐”若U是Y的开集,∀x∈f-1(U),U是f(x)的邻域,f-1(U)是x的邻域,所以f-1(U)在X中开.§2.4导集、闭集、闭包定义2.4.1设A⊂X.x称为A的聚点(凝聚点,极限点),如果x的每一邻域U中有A中异于x 的点,即U∩(A-{x})≠∅.A的全体聚点之集称为A的导集,记为d(A).x称为A的孤立点,若x不是A的聚点,即存在x的邻域U使U∩(A-{x})=∅,即U∩A⊂{x}.例2.4.1X是离散空间.若A⊂X,则d(A)=∅.∀x∈X,取U={x},则U∩A⊂{x},所以x∉d(A).例 2.4.2X是平庸空间,A⊂X.若A=∅,则d(A)=∅;若|A|=1,则d(A)=X-A;若|A|>1,则d(A)=X.对于x∈X,若U是x的邻域,则U=X,于是U∩(A-{x})≠∅⇔A-{x}≠∅⇔A⊄{x},由此,易计算d(A).定理2.4.1A,B⊂X,则(1)d(∅)=∅;(2)A⊂B⇒d(A)⊂d(B);∪∪;(3)d(A B)=d(A)d(B)(4)d(d(A))⊂A d(A).∪证由定义2.4.1得(1)和(2).∪分别存在x的邻域U,V使得关于(3).由(2)得d(A)∪d(B)⊂d(A B)∪.设x∉d(A)d(B),∪)⊂{x}.U∩A⊂{x},V∩B⊂{x},令D=U∩V,则D∩(A B∪存在x的邻域U,使得U∩A⊂{x},取x的开邻域V⊂U,则V∩A=∅,关于(4).设x∉A d(A),∀y∈V,V∩(A-{y})=∅,y∉d(A),V∩d(A)=∅,x∉d(d(A)).定义2.4.2A⊂X称为X的闭集,如果d(A)⊂A.定理2.4.2A闭⇔A'开.证“⇒”∀x∈A',由于d(A)⊂A,存在x的邻域U使U∩A=∅,于是U⊂A'.“⇐”∀x∈A',A'∩A=∅, x∉d(A),所以d(A)⊂A.例2.4.3R的闭区间是闭集.∪+∞)开集.(a,b)不是闭集,因为a是聚点.[a,b]'=(-∞,a)(b,定理2.4.3记F是空间X的全部闭集族,则(1)X,∅∈F;(2)A,B∈F⇒A B∪∈F;(3)∅≠H⊂F⇒∩H∈H H∈F.证利用De Morgan定律及拓扑的定义.F={U'|U∈T}.直接验证可得(1)、(2).(3)令U={H'∣H∈H}.则∪H∈H H'∈T,从而∩H∈H H=∩H∈H H''=(∪H∈H H')'∈F.Cantor集(例2.4.4)是集合论、点集拓扑或实变函数论中是具有特别意义的例子,它说明R中的闭集可以是很复杂的,在此不介绍.∪称为A的闭包,记为A,A-或c(A).定义2.4.3A d(A)定理2.4.5对A,B⊂X,有(1)∅-=∅;(2)A⊂A-;(3)(A∪B)-=A-∪B-;(4)(A-)-=A-.∪∪∪∪∪∪A-∪B-.证(3)(A∪B)-=A B d(A B)=A d(A)B d(B)=(4)(A-)-=(A∪d(A))-=A-∪d(A)-=A d(A)d(d(∪∪A))=A-.上述4条确定了闭包运算,称为Kuratowski闭包公理,由此可建立拓扑空间的概念.事实上,记此运算为c(A),定义T={U⊂X|c(U')=U'},则(X,T)是拓扑空间,且这空间中每一c(A)=A-,详见定理2.4.8.关于闭包的几个相关结果:(1)x∈A-⇔对x的任一邻域有U∩A≠∅.(定义2.4.3后)(2)d(A)=(A-{x})-.(3)A闭⇔d(A)⊂A⇔A=A-.(定理2.4.4)(4)A-是闭集.(定理2.4.6)(5)A-是包含A的所有闭集之交,是包含A的最小闭集.(定理2.4.7:设F是包含A的所有闭集之交,则A⊂F⊂A-,A-⊂F,所以F=A-.)定义2.4.5(X,ρ)是度量空间.对非空的A⊂X,x∈X,定义ρ(x,A)=inf{ρ(x,y)|y∈A}.定理2.4.9对度量空间(X,ρ)的非空子集A,(1)x∈A-⇔ρ(x,A)=0;(2)x∈d(A)⇔ρ(x,A-{x})=0.证ρ(x,A)=0⇔∀ε>0,∃y∈A,ρ(x,y)<ε⇔B(x,ε)∩A≠∅⇔∀U∈U x, U∩A≠∅⇔x∈A-.定理2.4.10设f:X→Y,则下述等价(1)f连续;(2)若B闭于Y,则f-1(B)闭于X;(3)∀A⊂X,f(A-)⊂f(A)-.证(1)⇒(2)B是Y的闭集,B'是Y的开集,f-1(B')=f-1(B)'是X的开集,f-1(B)是X的闭集.(2)⇒(3)f(A)⊂f(A)-,A⊂f-1(f(A)-),A-⊂f-1(f(A)-),f(A-)⊂f(A)-.(3)⇒(1)设U是Y的开集,U'是Y的闭集且f(f-1(U')-)⊂f(f-1(U'))-⊂U'-=U',f-1(U')-⊂f-1(U'), f-1(U')=f-1(U)'是闭,f-1(U)是开.§2.5内部、边界定义2.5.1若A是x的邻域,则称x是A的内点.A的所有内点的集合称为A的内部,记为A︒.定理2.5.1对A⊂X,A︒=A'-',A-=A'︒'.证x∈A︒,由于A∩A'=∅,于是x∉A'-,从而x∈A'-'.反之,x∈A'-',x∉A'-,∃x的邻域V∩A'=∅, V⊂A,x∈A︒.因此,A︒=A'-'.从而A'︒=A''-'=A-',A︒-=A'︒'.定理2.5.3对A,B⊂X,有(1)X︒=X;(2)A︒⊂A;(3)(A∩B)︒=A︒∩B︒;(4)A︒︒=A︒.证(1)、(2)是显然的.(A∩B)︒=(A'∪B')-'=A'-'∩B'-'=A︒∩B︒.而A︒︒=A'-''-'=A'-'=A︒.关于内部的几个相关结果:(1)A是x的邻域⇔x∈A︒.(2)A︒是开集.(定理2.5.4)(3)A是开集⇔A=A︒.(定理2.5.2)(4)A︒是A所包含的所有开集之并,是含于A内的最大开集.(定理2.5.5)证(2)A︒=A'-'是开集.(3)A开⇔A'闭⇔A'=A'-⇔A=A'-'=A︒.(4)设O是含于A内的所有开集之并,A︒⊂O⊂A,O⊂A︒,所以O=A︒.定义2.5.2x称为A的边界点,若x的每一邻域,既含有A中的点又有A'中的点.A的边界点之集称为边界,记为∂A.定理2.5.6对A⊂X,有(1)∂A=A-∩A'-=∂(A');(2)A-=A︒∪∂A;(3)A︒=A--∂A.∪︒-)=A-.∪'-)=A-∩(A︒A∪-)∩(A︒A∪-∩A'-)=(A︒A证(2)A︒∪∂A=A︒(A(3)A--∂A=A--(A-∩A'-)=A--A'-=A-∩A'-'=A︒.§2.6基与子基度量空间→球形邻域→开集→拓扑.在度量空间中球形邻域的作用就是拓扑空间中基的作用.定义2.6.1设T是空间X的拓扑,B⊂T,如果T中每一元是B中某子集族之并,称B是X的基.所有单点集的族是离散空间的基.定理2.6.2设B⊂T.B为X的基⇔∀x∈X及x的邻域U x,∃V x∈B使x∈V x⊂U x.证“⇒”∃开集W x使得x∈W x⊂U x,∃B1⊂B使得W x=∪B1,∃V x∈B1⊂B使x∈V x⊂U x.“⇐”设U∈T,∀x∈U,∃V x∈B使x∈V x⊂U,从而{V x|x∈U}⊂B且U=∪x∈U V x.在度量空间中,所有球形邻域的族是度量拓扑的基(定理2.6.1).所有开区间的族是R的基.定理2.6.3拓扑空间X的基B满足:(i)∪B=X;(ii)∀B1,B2∈B,x∈B1∩B2,∃B3∈B使x∈B3⊂B1∩B2.反之,若集合X的子集族B满足(1)、(2),定义T={∪B1|B1⊂B},则T是X的以B作为基的唯一拓扑.证验证T是X的拓扑.(1)∅=∪∅.(2)先设B1,B2∈B,∀x∈B1∩B2,∃W x∈B使x∈W x⊂B1∩B2,于是B1∩B2=∪{W x|x∈B1∩B2}∈T.如果A1,A2∈T,设A1=∪B1,A2=∪B2,则A1∩A2=∪{B1∩B2| B1∈B1,B2∈B2}∈T.(3)设T1⊂T,∀A∈T1,∃B A⊂B,使得A=∪B A,那么∪T1=∪(∪{B A|A∈T1}).较强于(ii)且易于验证的条件是(ii')∀B1,B2∈B,B1∩B2∈B.例2.6.1实数下限拓扑空间.令B={[a,b)|a,b∈R,a<b},则B为R上一拓扑的基.这空间称为实数下限拓扑空间,记为R l.开区间是R l中的开集,因为(a,b)=∪i∈Z+[a+1/i,b).定义2.6.2设(X,T)是拓扑空间,S⊂T.若S的元之所有有限交构成的族是T的基,则称S是T的子基.S的元之有限交构成的族{S1∩S2∩…∩S n S∣i∈S,i≤n∈Z+}.显然,空间X的基是子基.∪-∞,b)b∣∈R}是R的子基.∣∈R}{(例2.6.2S={(a,+∞)a对照定理2.6.3,集合X的子集族S要作为子基生成X上的拓扑的充要条件是∪S=X.(定理2.6.4)映射的连续性可用基、子基来刻画或验证.定理2.6.5设X,Y是两拓扑空间,f:X→Y,下述等价:(1)f连续;(2)Y基B,使得B中每一元的原像在X中开;(3)Y有子基S,使得S中每一元的原像在X中开.证(3)⇒(2)设B是S的元之所有有限交构成的族,则B满足(2).(2)⇒(1)设U在Y中开,则U=∪B1,于是f-1(U)=∪{f-1(B)|B∈B1}在X中开.类似地,可定义点的邻域基与邻域子基的概念,同时用它们来验证映射的连续性等.在第五章中定义第一可数性时再介绍这些概念.§2.7拓扑空间中的序列可以与R中一样地定义序列、常值序列、子序列,见定义2.7.1,2.7.3.定义2.7.2X中序列x i→x.极限,收敛序列.平庸空间中任意序列收敛于空间中的任一点.数学分析中的一些收敛性质还是保留的,如常值序列收敛,收敛序列的子序列也收敛.(定理2.7.1)定理2.7.2A-{x}中序列x i→x⇒x∈d(A).证∀x的邻域U,U∩(A-{x})≠∅,所以x∈d(A).定理2.7.3f在x0连续且x i→x0⇒f(x i)→f(x0).证设U是f(x0)的邻域,则f-1(U)是x0的邻域,∃n∈Z+,当i>n时有x i∈f-1(U),从而f(x i)∈U.上述两定理的逆命题均不成立.例2.7.1设X是不可数集赋予可数补拓扑,则(1)在X中x i→x⇔∃n∈Z+,当i>n时有x i=x;(2)若A是X的不可数子集,则d(A)=X.证(1)的必要性.令D={x i|x i≠x,i∈Z+},则D'是x的邻域,∃n∈Z+,当i>n时有x i∈D',即x i=x.证(2)∀x的邻域U,A-{x}⊄U'(可数集),所以U∩(A-{x})≠∅,x∈d(A).定理2.7.2的逆命题不真.如例2.7.1,取定x0∈X,让A=X-{x0},则x0∈d(A),但A中没有序列收敛于x0.定理2.7.3的逆命题不真.取X是实数集赋予可数补拓扑,让i:X→R是恒等映射,若在X中x i→x,则在R中f(x i)→f(x),但i在x不连续,因为x在R的开邻域(x-1,x+1)的原像i-1((x-1, x+1))=(x-1,x+1)在X中不是开的.定理2.7.4设{x i}是度量空间(X,ρ)中的序列,则x i→x⇔ρ(x i,x)→0.证x i→x⇔∀x的邻域U,∃n∈Z+,当i>n时有x i∈U⇔∀ε>0,∃n∈Z+,当i>n时有x i∈B(x,ε)⇔∀ε>0,∃n∈Z+,当i>n时有ρ(x i,x)<ε⇔ρ(x i,x)→0.第三章子空间、积空间、商空间介绍三种从原有的拓扑空间或拓扑空间族构造新空间的经典方法,引入遗传性、可积性、可商性等概念,这些是研究拓扑性质的基本构架.§3.1子空间对于空间X的子集族A及Y⊂X,A在Y上的限制A|Y={A∩Y|A∈A}.(定义3.1.2)引理3.1.2设Y是空间(X,T)的子集,则T|Y是Y上的拓扑.证按拓扑的三个条件逐一验证.如,设T1⊂T|Y,∀A∈T1,∃B A∈T,使得A=B A∩Y,于是∪T1=∪{B A∩Y|A∈T1}=(∪{B A|A∈T1})∩Y∈T|Y.定义3.1.3对Y⊂X,(Y,T|Y)称为(X,T)的子空间,T|Y称为相对拓扑.“子空间”=“子集”+“相对拓扑”.易验证,若Z是Y的子空间,且Y是X的子空间,则Z是X的子空间.(定理3.1.4)定理3.1.5(3.1.7)设Y是X的子空间,y∈Y,则(1)若T,T*分别为X,Y的拓扑,则T*=T|Y;(2)若F,F*分别为X,Y的全体闭集族,则F*=F|Y;(3)若U y,U y*分别为y在X,Y中的邻域系,则U y*=U y|Y;(4)若B是X的基,则B|Y是Y的基.证(2)F*∈F*⇔Y-F*∈T|Y⇔Y-F*=U∩Y,U∈T⇔F*=(X-U)∩Y,U∈T⇔F*∈T|Y.(4)∀U开于Y,∃X的开集V,使得U=V∩Y,∃B1⊂B,满足V=∪B1,则U=∪(B1|Y).在R的子空间(0,+∞)中(0,1]是闭集.定理3.1.6设Y是X的子空间,A⊂Y,则(1)d Y(A)=d X(A)∩Y;(2)c Y(A)=c X(A)∩Y.证(1)y∈d Y(A),∀y在X中的邻域U,U∩(A-{y})⊃(U∩Y)∩(A-{y})≠∅,所以y∈d X(A)∩Y.反之,设y∈d X(A)∩Y,∀y在Y中的邻域V,∃y在X中的邻域U使V=U∩Y,于是V∩(A-{y})=(U∩(A-{y}))∩Y=U∩(A-{y})≠∅,所以y∈d Y(A).∪X(A)∩Y)=(A d∪c X(A)∩Y.∪X(A))∩(A Y)=∪Y(A)=A(d(2)c Y(A)=A d§3.2有限积空间就平面的球形邻域B d(x,ε)而言,我们知道球形邻域内含有方形邻域,方形邻域内含有球形邻域.从基的角度而言,形如B1(x1,ε1)⨯B2(x2,ε2)的集合就是平面拓扑的基了.对于两个拓扑空间X,Y,在笛卡儿积集X⨯Y中可考虑形如U⨯V的集合之全体,其中U,V分别是X,Y的开集.对于有限个空间X1,X2,…,X n,可考虑形如U1⨯U2⨯…⨯U n的集合.定理3.2.2设(X i,T i)(i≤n)是n个拓扑空间,则X=X1⨯X2⨯…⨯X n有唯一的拓扑,以X的子集族B={U1⨯U2⨯…⨯U n|U i∈T i,i≤n}为它的一个基.证验证B满足定理2.6.3的条件(i),(ii').(1)X=X1⨯X2⨯…⨯X n∈B,∪B=X;(2)若U1⨯U2⨯…⨯U n, V1⨯V2⨯…⨯V n∈B,则(U1⨯U2⨯…⨯U n)∩(V1⨯V2⨯…⨯V n)=(U1∩V1)⨯…⨯(U n∩V n)∈B.定义3.2.2以定理3.2.2中B为基生成X1⨯X2⨯…⨯X n上的唯一拓扑,称为拓扑T1,T2,…,T n的积拓扑.(X,T)称为(X1,T1),…,(X n,T n)的(有限)积空间.定理3.2.4设X=X1⨯X2⨯…⨯X n是积空间,B i是X i的基,则B*={B1⨯B2⨯…⨯B n|B i∈B i,i≤n}是积拓扑T的基.证利用定理2.6.2.设x ∈U ∈T ,∃U i ∈T i 使x ∈U 1⨯U 2⨯…⨯U n ⊂U,∃B i ∈B i 使x i ∈B i ⊂U i ,那么x ∈B 1⨯B 2⨯…⨯B n ⊂U 1⨯U 2⨯…⨯U n ⊂U.例3.2.1形如(a 1,b 1)⨯(a 2,b 2)⨯…⨯(a n ,b n )的集合构成 n 的基.设(X 1,ρ1),(X 2,ρ2)是两个度量空间.令ρ(x,y)=22222211)y ,x ()y ,x (ρρ+,则ρ是X 1⨯X 2上的度量,导出X 上的度量拓扑T .对于n 个度量空间之积可类似地定义.(定义3.2.1)定理3.2.1度量空间的有限积:积拓扑与度量拓扑一致.验证n=2的情形.易验证B 1(x 1,ε/2)⨯B 2(x 2,ε/2)⊂B(x,ε)⊂B 1(x 1,ε)⨯B 2(x 2,ε),于是每一B(x,ε)是积拓扑的开集,且每一B 1(x 1,ε)⨯B 2(x 2,ε)是度量拓扑的开集,所以导出相同的拓扑.定理3.2.5有限积空间X=X 1⨯X 2⨯…⨯X n 以S ={p -1i (U i )|U i ∈T i ,i ≤n}为子基,其中T i 是X i 的拓扑,p i :X →X i 是投射.仅证n=2的情形.p -11(U 1)=U 1⨯X 2,p -12(U 2)=X 1⨯U 2,所以p -11(U 1)∩p -12(U 2)=U 1⨯U 2∈B .定义3.2.3f:X →Y 称为开(闭)映射,若U 开(闭)于X,则f(U)开(闭)于Y .定理3.2.6p i :X →X i 是满、连续、开映射,未必是闭映射.由于p -1i (U i )=X 1⨯X 2⨯…⨯U i ⨯…⨯X n ,所以p i 连续.由于p i (U 1⨯U 2⨯…⨯U n )=U i ,所以p i 是开的.但是p 1:R 2→R 不是闭的.定理3.2.7设映射f:Y →X,其中X 是积空间X 1⨯X 2⨯…⨯X n .则f 连续⇔∀i ≤n,p i ◦f:Y →X i 连续.证充分性.对X 的子基S ={p -1i (U i )|i ≤n,U i ∈T i },f -1(p -1i (U i ))=(p i ◦f)-1(U i )开于Y .多元函数连续当且仅当它的每一分量连续.定理3.2.8积拓扑是使每一投射都连续的最小拓扑.即设T 是积空间X=X 1⨯X 2⨯…⨯X n 的积拓扑,若集合X 的拓扑T *满足:每一投射p i :(X,T *)→X i 连续,则T ⊂T *.证由于{p -1i (U i )|U i ∈T i ,i ≤n}⊂T *,所以T ⊂T *.§3.3商空间回忆,商集X/R,及自然投射p:X →X/R 定义为p(x)=[x]R .问题:设X 是拓扑空间,要在X/R 上定义拓扑,使p 连续的最大的拓扑.讨论更一般的情形,设(X,T )是拓扑空间且f:X →Y 是满射.赋予集合Y 什么拓扑,使f 连续的最大的拓扑.若f连续,且U是Y的开集,则f-1(U)是X的开集.让T1={U⊂Y|f-1(U)∈T},易验证T1是Y上的拓扑.定义3.3.1(3.3.2)称T1是Y的相对于满射f而言的商拓扑,f:(X,T)→(Y,T1)称为商映射.这时,U在Y中开⇔f-1(U)在X中开;F在Y中闭⇔f-1(F)在X中闭.定理3.3.1商拓扑是使f连续的最大拓扑.证设f:(X,T)→(Y,T1)是商映射.显然,f是连续的.如果T2是Y的拓扑使f:(X,T)→(Y,T2)连续,则∀U∈T2,f-1(U)∈T,于是U∈T1,即T2⊂T1,所以T1是使f连续的最大拓扑.定理3.3.2设f:X→Y是商映射.对于空间Z,映射g:Y→Z连续⇔映射g◦f:X→Z连续.证设g◦f:X→Z连续,∀W开于Z,(g◦f)-1(W)=f-1(g-1(W))开于X,由于f是商映射,所以g-1(W)开于Y,故g连续.定理3.3.3连续,满开(闭)映射⇒商映射.证设f:(X,T X)→(Y,T Y)是连续的满开(闭)映射,T1是Y的相对于f而言的商拓扑,要证T Y= T1.由定理3.3.1,T Y⊂T1.反之,∀V∈T1,f-1(V)∈T X.对于开映射的情形,V=f(f–1(V))∈T Y;对于闭映射的情形,V=Y-f(X-f–1(V))∈T Y,所以总有T1⊂T Y.定义3.3.3设R是空间(X,T)的等价关系,由自然投射p:X→X/R确定了X/R的商拓扑T R,称(X/R,T R)为商空间,这时p:X→X/R是商映射.例3.3.1在R中定义等价关系~:∀x,y∈R,x~y⇔或者x,y∈Q,或者x,y∉Q.商空间R/~是由两点组成的平庸空间.由于Q在R中既是开集,也不是闭集,所以单点集[Q]在R/~中既不是开集,也不是闭集.习惯上,把R/~说成是在R中将所有有理点和所有无理点分别粘合为一点所得到的商空间.例3.3.2在[0,1]上定义等价关系~:∀x,y∈[0,1],x~y⇔或者x=y,或者{x,y}={0,1}.[0,1]/~是在[0,1]中粘合0,1两点所得到的商空间,这商空间同胚于单位圆周S1.第四章连通性本章起的四章介绍4类重要的拓扑不变性质.本章讨论连通性、道路连通性、局部连通性及其在实分析中的一些简单的应用.§4.1连通空间在拓扑中怎样定义连通,分隔区间(0,1),(1,2)的关系与(0,1),[1,2)的关系不同,虽然他们都不相交,但相连的程度不一样.定义4.1.1设A,B⊂X,若A∩B-=A-∩B=∅,则称A,B是隔离的.区间(0,1)与(1,2)隔离,但区间(0,1)与[1,2)不隔离.几个基本事实:(1)两不交的开集是隔离的;(2)两不交的闭集是隔离的;(3)隔离子集的子集是隔离的.定义4.1.2X称为不连通的,若X中有非空的隔离子集A,B使X=A∪B,即X可表为两非空隔离集之并.否则X称为连通的.包含多于一个点的离散空间不连通,平庸空间是连通的.定理4.1.1对空间X,下述等价:(1)X是不连通的;(2)X可表为两非空不交闭集之并;(3)X可表为两非空不交开集之并;(4)X存在既开又闭的非空真子集.证(1)⇒(2)设隔离集A,B之并是X,B-=B-∩(A∪B)=(B-∩A)∪(B-∩B)=B.同理,A也是闭的.(2)⇒(3)设X是两非空不交闭集A,B之并,则X是两非空不交开集A',B'之并.(3)⇒(4)设X是两非空不交开集A,B之并,则A,B都是X的既开又闭的非空真子集.(4)⇒(1)若A是X的开闭集,则A,X-A隔离.例4.1.1Q不是R的连通子空间,因为Q=(Q∩(-∞,π))∪(Q∩(π,+∞)).定理4.1.2R是连通的.证若R不连通,则R是两非空不交Array闭集A,B之并.取定a∈A,b∈B,不妨设a<b.令A*=[a,b]∩A,B=[a,b]∩B,则A*,B*是R两非空不交闭集且[a,b]=A*∪B*.让c=supA*.因A*是闭的,c∈A*,c<b,(c,b]⊂B*.因B*是闭的,c∈B*,从而A*∩B*≠∅,矛盾.定义4.1.3若X的子空间Y是连通的,则称Y为连通子集,否则,称为不连通子集.定理4.1.3设A,B⊂Y⊂X,则A,B是Y的隔离集⇔A,B是X的隔离集.证c Y(A)∩B=c X(A)∩Y∩B=c X(A)∩B;同理,c Y(B)∩A=c X(B)∩A.定理4.1.4设Y是X的连通子集.如果X有隔离子集A,B,使Y⊂A∪B,则Y⊂A或Y⊂B.证A∩Y,B∩Y是Y的隔离集,所以A∩Y=∅,或B∩Y=∅,于是Y⊂B或Y⊂A.定理4.1.5若Y是X的连通子集且Y⊂Z⊂Y-,则Z是连通的.证若Z不连通,∃X的非空隔离集A,B使Z=A∪B⊃Y,于是Y⊂A或Y⊂B,不妨设Y⊂A,那么Z⊂Y-⊂A-,于是B=Z∩B=∅,矛盾.定理4.1.6设{Yγ}γ∈Γ是空间X的连通子集族.如果∩γ∈ΓYγ≠∅,则∪γ∈ΓYγ连通.证若∪γ∈ΓYγ是X中隔离集A,B之并,取定x∈∩γ∈ΓYγ,不妨设x∈A,则∀γ∈Γ,Yγ⊂A,所以∪γ∈ΓYγ⊂A,于是B=∅.定理4.1.7设Y⊂X.若∀x,y∈Y,∃X的连通子集Y xy使x,y∈Y xy⊂Y,则Y连通.证设Y≠∅.取定a∈Y,则Y=∪y∈Y Y ay且a∈∩y∈Y Y ay,所以Y连通.定理4.1.8(连续映射保持)设f:X→Y连续.若X连通,则f(X)连通.证若f(X)不连通,则f(X)含有非空的开闭真子集A.由于f:X→f(X)连续,于是f-1(A)是X的非空开闭真子集.连续映射保持性⇒可商性⇒拓扑不变性.有限可积性.对于拓扑性质P,要证有限可积性,因为X1⨯X2⨯…⨯X n同胚于(X1⨯…⨯X n-1)⨯X n,所以只须证:若X,Y具性质P,则X⨯Y具有性质P.定理4.1.9(有限可积性)设X1,X2,…,X n连通,则X1⨯X2⨯…⨯X n连通.证仅证若X,Y连通,则X⨯Y连通.取定(a, Array b)∈X⨯Y.∀(x,y)∈X⨯Y,令S xy=(X⨯{y})∪({a}⨯Y),由于X⨯{y}同胚于X,{a}⨯Y同胚于Y,所以X⨯{y},{a}⨯Y都连通且(a,y)∈(X⨯{y})∩({a}⨯Y),由定理4.1.6,S xy连通且(x,y)∈S xy,再由定理 4.1.7,X⨯Y=∪{S xy|(x,y)∈X⨯Y}连通.§4.2连通性的应用利用R连通性的证明(定理4.1.2)知,区间都是连通的.区间有9类：无限区间5类：(-∞,+∞),(a,+∞),[a,+∞),(-∞,a),(-∞,a].有限区间4类：(a,b),[a,b),(a,b],[a,b].定理4.2.1设E⊂R,则E连通⇔E是区间.证若E不是区间,∃a<c<b,使a,b∈E但c∉E.令A=(-∞,c)∩E,B=(c,+∞)∩E,则E是不交的非空开集A,B之并.定理4.2.2设X连通,f:X→R连续,则f(X)是R的一个区间.注∀x,y∈X,如果t介于f(x)与f(y)之间,则∃z∈X,使f(z)=t.事实上,不妨设f(x)≤t≤f(y),则t∈[f(x),f(y)]⊂f(X),所以∃z∈X,使f(z)=t.定理4.2.3(介值定理)设f:[a,b]→R连续,若r介于f(a)与f(b)之间,则∃z∈[a,b]使f(z)=r.定理4.2.4(不动点定理)设f:[0,1]→[0,1]连续,则∃z∈[0,1]使f(z)=z.证不妨设0<f(0),f(1)<1.定义F:[0,1]→R使F(x)=x-f(x),则F连续且F(0)<0<F(1),∃z∈[0,1]使得F(z)=0,即f(z)=z.定义f:R→R2为f(t)=(cos2πt,sin2πt),则f连续且f(R)=S1,于是S1是连通的.对x=(x1,x2)∈S1, -x=(-x1,-x2)∈S1称为x的对径点,映射r:S1→S1定义为r(x)=-x称为对径映射,则r连续.定理4.2.5(Borsuk-Ulam定理)设f:S1→R连续,则∃x∈S1,使得f(x)=f(-x).证定义F:S1→R为F(x)=f(x)-f(-x),则F连续.若∃a∈S1,使得f(a)≠f(-a),则F(a)⋅F(-a)<0,由定理4.2.2,∃z∈S1,使得F(z)=0,即f(z)=f(-z).定理4.2.6R n-{0}连通,其中n>1,0=(0,0,⋯,0)∈R n.证只证n=2的情形.令A=[0,+∞)⨯R-{0},B=(-∞,0]⨯R-{0},则A∪B=R2-{0},A∩B≠∅.由于(0,+∞)⨯R⊂A⊂c((0,+∞)⨯R),所以A连通.同理,B连通,从而A∪B连通.定理4.2.7R2与R不同胚.证若∃同胚f:R2→R,令g=f|R2-{0}:R2-{0}→R,则g连续,从而g(R2-{0})=R-{f(0)}连通,矛盾.§4.3连通分支将不连通集分解为一些“最大”连通子集(“连通分支”)之并.定义4.3.1x,y∈X称为连通的,若∃X的连通子集同时含x,y,记为x~y.点的连通关系~是等价关系：(1)x~x;(2)x~y⇒y~x;(3)x~y,y~z⇒x~z.定义4.3.2空间X关于点的连通关系的每一等价类称为X的一个连通分支.x~y⇔x,y属于X的同一连通分支.X是X的全体连通分支的互不相交并.定理4.3.1设C是空间X的连通分支,则(1)若Y是X的连通子集且Y∩C≠∅,则Y⊂C;(2)C是连通的闭集.证(1)取定x∈Y∩C,∀y∈Y,则x~y,所以y∈C.(2)取定c∈C.∀x∈C,∃X的连通集Y x∍c,x,由于Y x∩C≠∅,Y x⊂C,于是C=∪{Y x|x∈C}且c∈∩{Y x|x∈C},所以C是连通的.从而C-连通且C-∩C≠∅,于是C-⊂C,故C闭.以上说明：连通分支是最大的连通子集.连通分支可以不是开集.Q的连通分支都是单点集,不是Q的开子集.∀x,y∈Q,由定理4.2.1,不存在Q的连通子集同时含有x,y,所以Q的连通分支都是单点集.§4.4局部连通空间例4.4.1(拓扑学家的正弦曲线)令S={(x,sin(1/x))|x∈(0,1]},T={0}⨯[-1,1],S1=S∪T,则S-=S1,于是S,S1连通.在S1中,S中点与T中点的“较小的”邻域表现出不同的连通性.定义4.4.1设x∈X.若x的每一邻域U中都含有x的某一连通的邻域V,称X在x是局部连通的.空间X称为局部连通的,若X在每一点是局部连通的.S1是连通,非局部连通的.多于一点的离散空间是局部连通,非连通的.定理4.4.1对空间X,下述等价:(1)X是局部连通;(2)X的任一开集的任一连通分支是开集;(3)X有一个基,每一元是连通的.证(1)⇒(2)设C是X的开集U的连通分支.∀x∈C,∃x的连通的邻域V⊂U,于是V∩C≠∅, V⊂C,所以C是x的邻域,故C开.(2)⇒(3)令B={C⊂X|C是X的开集U的连通分支},则B是X的基.(3)⇒(1)设U是x的邻域,∃开集V使x∈V⊂U,∃连通开集C使x∈C⊂V⊂U,所以X局部连通.定理4.4.2设f:X→Y是连续开映射.若X局部连通,则f(X)局部连通.证∀y∈f(X),及y在f(X)中的邻域U,取x∈f-1(y),则f-1(U)是x的邻域,∃X的连通开集V使x∈V⊂f-1(U),于是y=f(x)∈f(V)⊂U.定理4.4.3局部连通性是有限可积性,即设X1,X2,…,X n局部连通,则X1⨯X2⨯…⨯X n局部连通.证仅证若X1,X2局部连通,则X1⨯X2局部连通.设B1,B2分别是X1,X2的由连通开集组成的基,则{B1⨯B2|B1∈B1,B2∈B2}是X1⨯X2的由连通开集组成的基(定理3.2.4).。
点集拓扑学
点集拓扑学合肥工业大学数学学院预备知识1.点集拓扑的定义《点集拓扑学》课程是一门现代数学基础课程，属数学与应用数学专业的理论课。
是数学与应用数学专业的主干课。
点集拓扑学（Point Set Topology），有时也被称为一般拓扑学（General Topology），是数学的拓扑学的一个分支。
它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的基本性质。
这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。
它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。
通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。
2.点集拓扑的起源点集拓扑学产生于19世纪。
G.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果。
1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始。
3.一些参考书籍（1）《拓扑空间论》，高国士，科学出版社，2000年7月第一版（2）《基础拓扑讲义》，尤承业，北京大学出版社，1997年11月第一版（3）《一版拓扑学讲义》，彭良雪，科学出版社，2011年2月第一版第一章 集合论初步在这一章中我们介绍有关集合论的一些基本知识．从未经定义的“集合”和“元素”两个概念出发给出集合运算、关系、映射以及集合的基数等方面的知识等。
这里所介绍的集合论通常称为“朴素的集合论”，这对大部分读者已经是足够了．那些对集合的理论有进一步需求的读者，例如打算研究集合论本身或者打算研究数理逻辑的读者，建议他们去研读有关公理集合论的专著。
1.1 集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的，它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体。
例如我们常说“正在这里听课的全体学生的集合”, “所有整数的集合”等等．集合也常称为集。
集合（即通常所谓的“集体”）是由它的元素（即通常所谓的“个体”）构成的．例如正在这里听课的全体学生的集合以正在听课的每一个学生为它的元素；所有整数的集合以每一个整数为它的元素．元素也常称为元，点或成员．集合也可以没有元素．例如平方等于2 的有理数的集合，既大于1 又小于2 的整数的集合都没有任何元素，这种没有元素的集合我们称之为空集，记作φ。
3.3商空间
§3.3 商空间在第一章讨论过等价关系和商集的概念.所谓商集乃是在一个集合中给定了一个等价关系之后相对于这个等价关系而言的等价类所构成的集合，通俗地说便是分别将每一个等价类的所有点“粘合”为一个点后得到的集合。
在定义1.5.6中我们也曾说起过在一个集合X 中给定了一个等价关系R 之后，从集合X 到商集X R 有一个自然的映射p ：X →X R ，使对每个x ，p(x)=[x]R .它是一个满射.有了这一点，我们就可以给出商拓扑和商空间的概念了.一 商拓扑及其性质定义3.3.1 设(X,T )是拓扑空间，Y 是一个集合，f ：X →Y 是一个满射.容易验证Y 的子集族T 1={U ⊂Y | f -1(U)∈T }是Y 的一个拓扑.我们称T 1为Y 的（相对于满射f 而言的）商拓扑.——也叫“粘合”拓扑.推论 Y 的一个拓扑 T 是Y （相对于满射f ：X →Y 而言）的商拓扑⇔在 (X, T )中，F ⊂ Y 是闭集的充要条件是f -1(F)是X 中的闭集.证明 根据上面的定义可直接验证.其实就证：“在(X, T )中，U ⊂ Y 是Y 的开集的充要条件是f -1(U)是X 中的开集.”.据定理1.5.2（ f -1保差运算），这是显然的.定理3.3.1设(X,T )是拓扑空间，Y 是一个集合，f ：X →Y 是一个满射.则 ① 如果T 1是Y 的商拓扑,则f ：X →Y 是一个连续映射；② 如果1 T 是Y 的一个拓扑，使得对于这个拓扑1 T 而言映射f 是连续的，则11⊂ T T .这也就是说商拓扑是使满射f 连续的最大的拓扑.证明 ①有商拓扑的定义立即可知.② 如果U ∈1 T ,由于f 对于1 T 来说连续，所以f -1(U)∈T ，因此U ∈T 1，这证明11⊂ T T .命题： 设T 1是Y 的商拓扑.如果1 T 是Y 的一个拓扑，使得对于这个拓扑1 T 而言满射射f ：X →Y 是开映射，则11⊂ T T .注： 在T 1下，f 不一定是开映射，所以不能说T 1是使f 为开映射的最小拓扑.证明 设U ∈T 1 ，则f -1(U)是X 中的开集，因为f ：X →Y 对于1 T 而言是开映射，所以f(f -1(U)) =U ∈1 T .所以11⊂ T T . 证毕.二 商映射及其应用定义3.3.2 设X,Y 是两个拓扑空间，f ：X →Y 如果是一个满射且Y 的拓扑是相对于f 而言的商拓扑，则称f 为一个商映射.——也叫‘粘合“映射.注 ⑴ 设(X ,T ),(X ,T 1)是两个拓扑空间，f ：X→Y 是满射.则f 是商映射⇔ T 1是商拓扑.⑵ 商映射一定是连续的.⑶ 商映射不一定是开（闭）映射. 这是因为f -1(U)∈T ，则U ∈T 1 ,但推不出：对每个V ∈T ，有f(V)∈T 1 .即f ：X →Y 是满射，Y 的拓扑是其商拓扑T 1 推不出f 是开映射.例如 X={a,b,c}，T ={{a},{b,c},X,Φ}，Y={1,2}， f ：X →Y 使得f(a)=f(b)=1，f(c)=2，则T 1 = {X,Φ}. X 中开基{a}的像f({a})={1}不是Y 中的开集.定理3.3.2 设X,Y ,Z 都是拓扑空间，且f ：X →Y 是一个商映射，则映射g ：Y →Z 连续⇔映射g ◦f ：X →Z 连续.证明 “⇒”因为商映射连续，又g 连续，所以g ◦f 连续.“⇒”设 g ◦f 连续，若W 为Z 中的开集，则（g ◦f ）-1(W)是X 中的开集.然而（g ◦f ）-1(W)=f -1[g -1(W)]，因为f ：X →Y 是一个商映射，所以Y 的拓扑为商拓扑，于是由商拓扑的定义知，g -1(W)是Y 中的开集.这证明了g 连续. 证毕.根据定理3.3.2可知，我们可以利用商映射来验证一类映射的连续性，因此，为了应用该定理，判断Y 的拓扑是商拓扑就成为必要了.下面的定理给出了一个充分条件.定理3.3.3 设X,Y 是两个拓扑空间，如果映射f ：X →Y 是一个连续的满射，并且是一个开映射（闭映射）.则Y 的拓扑便是相对于满射f 而言的商拓扑.（这时f 是商映射）.证明 假设f 是一个开映射.设V 是Y 中的一个开集，因f 连续，所以f -1(V)是X 中的开集，因此V 是Y 中对于商拓扑而言的开集.反之，若V 是Y 中对于商拓扑而言的开集，则f -1(V)是X 中的开集，由于f 是一个开的满射，所以f[f -1(V)]=V 是Y 中的开集.综上证明了Y 的拓扑是商拓扑.当f 为闭映射时，用到f[X- f -1(V)]=f(X)-V=Y -V ，（略）.说明 ⑴ 定理3.3.3即：f 满、连、开⇒f 是商.但反之不成立，见定义3.3.2后的注⑶.⑵ 本定理的证明还可这样：由定理3.3.1的②和其后的命题，Y 的拓扑 T 和Y 的商拓扑1T 有关系11⊃⊃ T T T .所以1= T T .⑶ 由上节最后补充的定理知，同胚映射一定是商映射.三 商空间及举例定义3.3.3 设(X,T )是拓扑空间，R 是X 中的一个等价关系.商集X R 的 （相对于自然投射p ：X →X R 而言的）商拓扑R T 称为X R 的（相对于等价关系R 而言的）商拓扑，拓扑空间（X R ，R T）称为拓扑空间(X,T )的（相对于等价关系R 而言的）商空间.说明 ⑴ 若X 是拓扑空间，R 是X 中的一个等价关系，若无特别说明，总认为商集X R 的拓扑是商拓扑，即商集认作拓扑空间时，指的就是商空间.因此投射p ：X →X R 是一个商映射.因此连续.⑵ 通过在一个拓扑空间中给定等价关系的办法来得到商空间是构造新的拓扑空间的一个重要手法.下面给出例子：例3.3.1 在实数空间R 中给定一个等价关系ˆR = { (x,y)∈R 2 | 或者x,y ∈Q ；或者x,y ∉Q }.商集ˆRR ={{有理点}，{无理点}}={[1]R]R }.对于自然投射P ：R →ˆRR ，P -1([1]R )= Q ，P -1(]R )=R – Q ，P -1(Φ )= Φ开，P -1(ˆR R ) = R 开，所以T R = { Φ，ˆR R }，故商空间(ˆR R ，T R )是平庸空间.我们常通俗地简单陈述为这个商空间是“在实数空间中将所有有理点和所有无理点分别粘合（或等同）为一点所得到的空间”例3.3.2 在单位闭区间I=[0,1]中给定一个等价关系 ~ ={ (x,y)∈I 2 |或x=y ,或{x,y}={0，1}}.即 ~ 是I 中的一个等价关系，它使0 ~ 1；对于任意x ≠0，1，x~y ⇔x=y . 我们得到一个商空间 [0，1]/ ~ . 习惯上将这个商空间说成是“在单位闭区间I 中粘合两个端点所得到的商空间.”这个商空间与单位圆周S 1同胚.证明 设P ：[0,1]→[0,1]/ ~ ，h ：[0，1]→使∀x ∈[0,1] , h (x)= ()cos(2),sin(2)x x ππ,易知h 连续.首先可知，h ◦P -1 是由 [0,1]/ ~ 到S 1 的一个关系.因为∀[x]∈ [0,1]/ ~，若[ x ]≠[ 0 ]，则h ◦P -1（[ x ]）=h(x)= ()cos(2),sin(2)x x ππ；若[ x ]=[ 0 ]，则h ◦P -1（[ 0 ]）=h({0，1})=（1，0），所以h ◦P -1是映射：[0,1]/ ~ →S 1 .易知h ◦P -1：[0,1]/ ~ →S 1 是一一的.因为（h ◦P -1）◦P=h ◦( P -1◦P)=h 连续，所以由定理3.3.2知h ◦P -1连续.因为h -1连续，P 连续，所以（h ◦P -1）-1 =P ◦h -1连续.所以h ◦P -1是[0,1]/ ~ 到S 1的同映射.所以[0，1]/ ~与单位圆周S 1同胚. 0 10 1P利用上述粘合的方法或说利用构造商空间的方法我们可以构造出许多拓扑空间.例如在单位正方形I2=[0,1]2中将它的一对竖直的对边上每一对具有相同的第二坐标的点（0，y）和（1，y）粘合，得到的商空间将同胚于一截“管子”，而将它的一对竖直对边的每一对点（0，y）和（1，1-y）粘合，得到的商空间通常叫做Mobius带.数学中许多重要的对象如环面、Clein瓶、射影平面和射影空间等也都可以作为商空间而给出。
拓扑3.3.
10
例 3.3.1 在实数空间R中给定一个等 价关系:
~ {( x y) R | x y or x y } , , Q , Q
2
R ~ {[0] ,[ 2]}
} T ~ {, R
11
例3.3.2 在单位闭区间I＝[0,1]，中给定一 个等价关系 ～={（x，y）∈I 2| 或者x＝y，或者 {x，y}={0,1}}， 我们便得到了一个商空间[0，1］/～．由于与例 3.3.l中同样的理由，习惯上也将这个商空间说 成是“在单位闭区间I中粘合两个端点所得到的 商空间”．事实上（参见习题6），这个商空间 与单位圆周S1同胚. •x～y
16
§3.3 商空间
本节重点:掌握商空间、商拓扑、商映射的 定义 . 一、商拓扑 定义3.3.1 设（X，T ）是一个拓扑空间，Y 是一个集合，f: X→Y是一个满射．容易验证 (请自行验证)Y的子集族：
T 1 {U Y | f 1 (U ) T } 是Y的一个拓扑． 我们称 T 1 为Y的（相对于满射 f而言的）商拓扑．
x＝y，或 x＝0，y＝1或x＝1，y＝0.
12
例3.3.3 在单位正方形中 I 2 [0,1]2 给定一个 等价关系 ～={（x，y）∈I 2| 或者x＝y，或者 {x1,y1}={0,1},
x2=y2 , x=(x1,x2),y=(y1,y2)}，
即：(x1,x2)～(y1,y2)
或者x1＝y1 , x2=y2 ，或者
（商拓扑只能存在于象空间中）
1
例 例
ff :: X Y 是一个满射, 其中 X 是 X Y 是一个满射, 其中 X 是
一个拓扑空间，X {1, 2,3, 4},, X 的拓 一个拓扑空间，X {1, 2,3, 4} X 的拓 扑T= {{ ,,X ,{1},{2,3, 4}}},集合Y {a,,b,,c} 扑T= X ,{1},{2,3, 4},集合 Y {a b c} 1 a 1 a 2 b 2 b 3 c 3 c 4 4 试写Y的商拓扑. T 11 { ,,Y }} X 试写Y的商拓扑. T1 { X }
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§3.3商空间
本节重点:掌握商空间、商拓扑、商映射的定义．
将一条橡皮筋的两个端点“粘合”起来，我们便得到了一个像皮圈；将一块正方形的橡皮块一对对边上的点按同样的方向两两‘粘合”起来，我们便得到了一个橡皮管，再将这个橡皮管两端的两个圆圈上的点按同样的方向两两“粘合”起来，我们又得到了一个橡皮轮胎……这种从一个给定的图形构造出一个新图形的办法可以一般化．
我们在第一章中讨论过等价关系和商集的概念．所谓商集乃是在一个集合中给定了一个等价关系之后将相对于这个等价关系而言的等价类所构成的集合，通俗地说便是分别将每一个等价类中的所有的点“粘合”为一个点后得到的集合．在定义1.5.6中我们也曾说起过在一个集合X中给定了一个等价关系R之后，从集合X到商集X/R有一个自然的投射p：X→X/R，它是一个满射．注意到了这一点，下面引出商拓扑和商空间的概念的方式便显得顺理成章了．
定义3.3.1设（X，T）是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X→Y是一个满射．容易验证(请自行验证)Y的子集族．
是Y的一个拓扑．我们称为Y的（相对于满射f而言的）商拓扑．
容易直接验证在上述定义的条件下，Y的一个拓扑是Y的商拓扑当且仅当在拓扑空间（Y，）中FY是一个闭集的充分必要条件是（F）是X中的一个闭集．
定理3.3.1且设（X，T）是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X→Y是一个满射．则
（1）如果是Y的商拓扑，则f:X→Y是一个连续映射；
（2）如果是Y的一个拓扑，使得对于这个拓扑而言映射f是连续的，则这也就是说商拓扑是使映射f连续的最大的拓扑．
证明（1）根据定义自明．
（2）如果U∈，由于满射f对于Y的拓扑而言连续，故因此U∈．这证明．
定义3.3.2设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．我们称映射f为一个商映射，如果它是一个满射并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑．
根据定理3.3.1可见商映射是连续的．下面的这个定理告诉我们如何利用商映射来验证一类映射的连续性．
定理3.3.2设X，Y和Z都是拓扑空间，且f:X→Y是一个商映射．则映射g：Y→Z连续当且仅当映射gof:X→Z连续．
证明由于商映射f连续，故当g连续时gf连续．
另一方面，设gf连续，若W∈，则．然而
所以根据商拓扑的定义．这便证明了g连续．
为了应用定理3.3.2，如何知道一个拓扑空间的拓扑是相对于从另一个拓扑空间到它的一个满射而言的商拓扑便成了一个有意思的问题．我们在这里只给出一个简单的必要条件．为此先陈述开映射和闭映射的定义．
定义3.3.3设X和Y是两个拓扑空间．映射f: X→Y称为一个开映射（闭映射），如果对于X中的任何一个开集（闭集）U，象集f(U)是Y中的一个开集（闭集）．定理3.3.3设X和Y是两个拓扑空间．如果映射f: X→Y是一个连续的满射，并且是一个开映射（闭映射），则Y的拓扑便是相对于满射f而言的商拓扑．
证明我们证明当f是开映射的情形．设Y中的使f连续的拓扑为,商拓扑为
如果V∈，由于映射f连续，，因此V∈．并且．
反之，如果V∈，则，由于f是一个开的满射，
所以，因此．
从而,．
综上所述，我们证明了Y的拓扑便是商拓扑．当f是闭映射的情形时，证明是类似的．定义3.3.4设（X，T）对是一个拓扑空间，R是X中的一个等价关系．商集X/R的（相对于自然的投射p：X→X/R而言的）商拓扑称为X／R的（相对于等价关系R而言的）商拓扑，拓扑空间（X/R，）称为拓扑空间（X，T）的（相对于等价关系R而言的）商空间．如果X是一个拓扑空间，R是X中的一个等价关系，若无另外的说明，我们总认为商集X/R的拓扑是商拓扑，也就是说将商集X/R认作拓扑空间时，指的就是商空间．因此投射p:X →X／R是一个商映射．
通过在一个拓扑空间中给定等价关系的办法来得到商空间是构造新的拓扑空间的一个重要手法．下面给出若干例子．
例3.3.1在实数空间R中给定一个等价关系
={（x，y）∈|或者x，y∈Q；或者x，yQ}
所得到的商空间R/实际上便是由两个点构成的平庸空间．（请读者自行验证．）然而，明确地写出上面那个等价关系有时是很麻烦的，我们经常采用一种较为通俗的简便说法，将这个商空间R/说成是“在实数空间中将所有有理点和所有无理点分别粘合（或等同）为一点所得到的商空间”．
例3.3.2在单位闭区间I＝[0,1]，中给定一个等价关系～={（x，y）∈|或着x＝y，或者{x，y}={0,1}}，我们便得到了一个商空间［0，1］/～．由于与例3.3.l中同样的理由，习惯上也将这个商空间说成是“在单位闭区间I中粘合两个端点所得到的商空间”．事实上（参见习题6），这个商空间与单位圆周同胚．
类似地我们还可以构造出许多为读者熟悉或不熟悉的拓扑空间．例如在单位正方形中将它的一对竖直的对边上的每一对具有相同的第二个坐标的点（0，x）和（1，x）粘合，得到的商空间将同胚于一截“管子”，而将它的一对竖直的对边上的每一对点（0，x）和（1，1-x）粘合得到的商空间通常叫做Mobius带．数学中许多重要的对象如环面，Klein瓶，射影平面和射影空间等也都可以作为商空间而给出，我们在此不做进一步的介绍．
作业:
P109 1．2．5．
本章总结：本章的学习重点是§3.1．难点也是它．也就是说,今后若遇到有关X空间的子集的各种概念时,指的都是子空间的各种概念,概念中涉及到的开集、闭集、导集、闭包等均指的是子空间的开集、闭集、导集、闭包，它们与X空间的开集、闭集、导集、闭包不相同（见引理3.1.2,定理3.1.5,3.1.6)．一定要记住这一点．
本章的§3.2与§3.3是作为应理解的知识,理解就行．。