3.1,3.2 基本概念 声学量 波动方程 速度势函数(3学时)
基本概念声学量波动方程速度势函数学时
U xU xx d 2 x dyd dtz
所以，在dt时间段，介质质点沿OX方向流速引起的在
dxdydz框中介质质量增加为： (Ux)dxdyddtz
x
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
（2）在dt时间段，介质质点Y方向和Z方向流速 引起的在dxdydz框中介质质量的变化：
重点总结！
1、声音的实质－声音是介质中的机械波 2、声波产生的两个基本条件
（1）声源 （2）传声介质
3.1.1 基本声学量 主要内容
❖1、声压－压强的变化量 ❖2、质点振速－介质运动速度的变化量 ❖3、压缩量－介质密度相对变化量
连续介质中，任意一点附近的运动状态可用 压强、密度和介质的运动速度表示。
声波作用下介质产生压缩伸张变化，介质的密 度和压强都发生变化。
假设声波作用的热力学过程是等熵绝热过程， 意味着声波能量在质团形变过程中没有损失。
2、状态方程
理想流体中三个基本方程
据热力学定律，质量一定的理想流体中，独立的热
力学参数只有三个。
s 例如，取热力学参数：压强 、P密度 及熵值 ，则
有关系： P P (,s)f(,s)
正是因为介质质团同时具有弹性和质量， 才能形成波---振动的传播。
声波为小振幅声波－线性波动方程
3.2.1 理想流体中三个基本方程
3.1,3.2 基本概念 声学量 波动方程 速度势函数(3学时)
声音的产生
声音的产生
声波在介质中传播的速度，称为声波的 传播速度。
重点总结！
1、声音的实质－声音是介质中的机械波 2、声波产生的两个基本条件 （1）声源 （2）传声介质
3.1.1 基本声学量
主要内容
1、声压－压强的变化量 2、质点振速－介质运动速度的变化量 3、压缩量－介质密度相对变化量
基本思路
三个基本物理定律 质量守恒定律 热力学关系（能量守恒定律） 连续性方程 状态方程 运动方程
牛顿第二定律（动量守恒定律)
三个基本方程
波动方程
假设条件
理想流体介质
（1）理想，介质中机械运动无机械能损耗;
（2）流体，介质中任一面元受力方向总是
垂直于面元； （3）连续性，介质中质团连续分布无间隙； （4）介质质团同时具有质量和弹性性质。 正是因为介质质团同时具有弹性和质量，
声音的产生
声波（sound wave ）是一种机械波； 产生声波的两个必要条件： 声源（ sound source）－机械振动的物体 介质（medium ）－机械振动赖以传播的介质
声音的产生
声音的产生
声波传播时，介质质点只在平衡位置附近 振动，并没有随声波传播。
声音的产生
声音可以在一切弹性介质中传播。
振动与声基础
第三章 理想流体介质中小振幅波的基本规律
3.1 基本声学量和理想流体中的基本方程
速度势函数
速度势函数
速度势函数是力学分析中必不可少的一部分，它是力学研究的基础。它用来描述力学系统中物体运动的速度及能量分布。速度势函数可用来计算物体运动的加速度、力、位移、能量等，为解决力学问题提供重要的参考依据。
速度势函数的概念可以追溯到德国物理学家和维纳特人费里德
尔施密特（Friedrich Schmiedel）于1781年提出的。他把速度势函数看作是给定位置的函数，称为“位置函数”。他的思想影响了后来
的物理学家，如爱因斯坦和弗里德曼，并被应用到现代物理学中。
在经典力学中，速度势函数是通过给定物体所受位置和力来描述物体运动的函数。物体运动的方程就是速度势函数求导出的位置函数，可简洁表示物体在某一时刻的运动状态。这个方程是物理学的基本方程，为物理学的研究提供了条件和解决方案。
在量子力学中，速度势函数也起着重要作用。速度势函数可以表示量子系统中物理量的空间分布，反映物质在原子尺度上的能量分布，从而帮助我们解释物质的性质和结构。它可以用来计算量子多体系统中参与粒子、势能和动能的总能量，并可以应用于研究原子和分子中的相互作用。
此外，速度势函数也可以用来研究复杂的流体系统，尤其是高温高压流体的流动特性，这对控制火箭发动机的行为和射流传播有重要意义。
因此，速度势函数可以简单表示物理系统中物体运动的速度和能
量分布，为研究物理系统提供重要参考。在物理学中，速度势函数的应用很广泛，可以用来计算经典力学和量子力学系统中物体的运动和能量分布，以及控制复杂的流体系统。它是物理学的基础，也是研究物理系统的重要工具。
3.1,3.2 基本概念 声学量 波动方程 速度势函数(3学时)
状态方程 运动方程
对上三式消元，可以得到一个基本声学量的方程。
方oy向,o流z 量在
y
U
y
dx
dydz
dt
z
U
z
dx
dydz
dt
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
所以，在dt时间段，介质质点流速U (x, y, z,引t) 起 的在dxdydz框中介质质量的增加为：
m
x
U
x
y
U
y
z
U
z
dx
dydz
dt
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
dt
3、运动方程
理想流体中三个基本方程
dU P
dt
（2）均匀、静止理想流体小振幅波的运动方程
静压强 P0 ＝常数
静态流速U0 常 数
P p
dU du dt dt
所以：
du p
dt
3、运动方程
理想流体中三个基本方程
du 是质点 M x, y的, z加 速度。
dt
根据，多元函数微分公式，有：
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
z
C
G
M点的密度为： D x, y, z,t
设某一瞬时t，介质质点流过
M点的速度向量
A
o
波动理论波动方程知识点总结
波动理论波动方程知识点总结波动方程是波动理论中的重要内容，研究波的传播和特性具有重要意义。本文对波动方程的相关知识点进行总结，以帮助读者更好地理解和应用波动理论。
一、波动方程的基本概念
波动方程是描述波的传播过程中波动量随时间和空间的变化关系的数学表达式。一般形式为：
∂²u/∂t² = v²∇²u
其中，u表示波动量，t表示时间，v表示波速，∇²表示拉普拉斯算子。
二、波动方程的解法
1. 分离变量法：将波动量u表示为时间和空间两个变量的乘积，将波动方程转化为两个偏微分方程，分别对时间和空间变量求解。
2. 化简为常微分方程：将波动方程应用于特定情境，通过适当的变换，将波动方程化简为常微分方程，再进行求解。
3. 利用傅里叶变换：将波动方程通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化为频域或复频域的代数方程，再进行求解。
三、波动方程的应用
1. 声波传播：声波是由介质中的分子振动引起的机械波，通过波动
方程可以描述声波在空气、水等介质中传播的特性，如声速、声强等。
2. 光波传播：光波是电磁波的一种，通过波动方程可以研究光的干涉、衍射、反射等现象，解释光的传播规律和光学器件的性质。
3. 地震波传播：地震波是地震过程中的弹性波，通过波动方程可以
描述地震波在地球内部传播的规律，有助于地震监测和震害预测。
4. 电磁波传播：电磁波是由电场和磁场耦合产生的波动现象，在电
磁学中应用波动方程可以研究电磁波在空间中传播的特性和应用于通信、雷达等领域。
5. 水波传播：水波是液体表面的波动现象，通过波动方程可以研究
水波的传播和液面形态的变化，解释液体中的波浪、涌浪、潮汐等现象。
[工程科技]声学基础
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六、声压(*)
2.用声压表示的波动函数
p＝P0
s
in
(t
x c
)
P0
sin2f
(t
x c
)
3.有效声压pe
人耳不能感觉声压的瞬时起伏，只能感受声压的有效值， 即声压对时间的均方值。
pe
1 T p2dt P0
T0
2
说明：声学所谈声压一般是指有效声压。
)
其中：x —— 某质点距振源的距离
c—— 声速
二、波动
波动图：
t t0
t t0 t
x
传播方向
x
来自百度文库
三、声波种类 1. 按振动方向分类
（1）纵波：介质的振动方向与波的传播方向一致。
振动方向
传播方向
力学原理：靠介质的拉或压应力传播振动 存在介质：固体、液体、气体均可传播纵波
三、声波种类
八、声强(*) 2.声强与声能密度及声压关系
I D c pe2
c
声强与有效声压的平方成正比
人耳所能感受到的最小声强为：10-12 W/m2.
九、声功率
单位时间穿过某一平面或曲面总声能量。
波动方程的定义和基本概念
波动方程的定义和基本概念
波动方程是一种以时间和空间为自变量的偏微分方程，描述了
一种波动现象的演化过程。在物理学、数学和工程学等领域都有
着广泛的应用。
波动方程的定义
波动方程是以某个波动物理量的时间和空间分布情况为自变量
的偏微分方程。它描述了这个物理量在时空中的变化规律。比如，当我们谈论光波时，这个物理量就是光的电场或磁场；而在声波中，这个物理量就是气体的压力变化。
波动方程的一般形式为：
$$ \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} - v^2 \frac{\partial^2
\Psi}{\partial x^2} = 0 $$
其中，$\Psi$ 为波动物理量，$t$ 为时间，$x$ 为空间位置，
$v$ 为波速。
不同类型的波动方程有不同的形式，但基本上都可以写成上述形式的变形。比如，电磁波可以使用麦克斯韦方程组推导得到一个波动方程；而热传导过程中的温度分布也可以被描述为一个波动方程。
波动方程的基本概念
基本上，波动方程描述了一个波动物理量在时间和空间中的变化规律。为了更好地理解这个变化规律，我们需要了解一些与波动相关的基本概念。下面分别介绍这些概念及其物理意义：
波速
波速是指波动物理量在介质中传播的速度。在波动方程中，$v$ 表示波速。对于不同的波动物理量，其在介质中的传播速度也不同。比如，电磁波在真空中传播的速度是光速，而声波则会受到介质密度和压强等因素的影响。
波长
波长是指波动物理量一次周期内传播的距离。在波动方程中，波长可以用波速$v$ 与频率$f$ 的乘积表示：$\lambda = v/f$。同样地，不同类型的波长也有不同的定义方式。比如，在电磁波中，波长就是电场和磁场一次周期内传播的距离。
3.1声学基础
是气体常数； Ta 是热力学温度。
2.声压
当地气压与大气压的差值就是声压。声压是一个与时间和位置相关的物理
量，用p(x,t)来表示。
2.怎么来描述声音？
3.声阻抗
介质的特性决定着声音的传播，介质的特性用声阻抗来表示，是一个十分 重要的物理参数，它可由声压与体积速度的复数比值得到：
以推得斯奈耳反射和折射定理：
全反射产生的条件:
3.声音具有什么性质？—声波的叠加 声波的叠加
声压叠加 2个独立声源S1和S2，各自在声场中产生的声压为p1和p2，则总声压为
总声压p的时间均方根值为：
其中：
3.声音具有什么性质？—球面声波 球面声波的波动方程
2 p 2 p 1 2 p 2 2 2 r r r c t 变量转换 Y pr 得到
声强透射系数
2 I t Pt / 2 2 c2 4 1c1 2 c2 1c 2 I 2 ＝ p I i Pi / 2 1c1 2 c2 1c1 2 c2
显然:
3.声音具有什么性质？—平面波的性质 平面波斜入射的反射和折射
界面上声压连续质点法向速度连续，可
（I ），单位为
W m2
。只有规定了方向声强才有意义，因为它是一个矢量，其
声学中波动方程的建立
田佳星海洋技术
今天我介绍一下声学中波动方程的建立。我们首先介绍一下声学的基本概念。
声波是机械振动状态在介质中的传播。存在声波的空间称为声场。理论上描述声场需要引入一些物理量：声压、位移、振速、密度压缩量和相位等。通常采用上述各物理量的时空分布函数描述声场。下面对这些物理量作简要介绍。
1.基本概念
1)声压（标量）
其中，P 压e p 。
e p =2)两者均u d dt ξ=(2-3)
对简谐振动，位移和振速都满足如下关系：
0exp[]j t ξξω=，(2-4a)
0exp[]u u j t ω=，(2-4b)
其中，0ξ和0u 分别为位移幅值和振速幅值。
需要注意的是区分质点振速和声传播速度。声传播速度是指振动状态在介质中传播的速度，而质点振速是指在给定时间和给定空间位置的某一质点的振动速度。
3)密度和压缩量
密度的变化也是描述声波的一个物理量。这里引入压缩量的概念：
()0100ρρρρρ=-=s (2-5)
其中，ρ密度，0ρ为静态密度，01ρρρ-=为密度改变量。
压缩量s 的含义为介质密度的相对变化量。
4)相位
为描写简谐振动而引入的物理量。它描述质点简谐振动的状态。质点振动的一个周期对应着相位0-2π。相位和质点振动状态有一一对应的关系。
声波是振动状态在介质中的传播，而相位描述的是质点简谐振动的状态。由此可见相位在声场描述中的重要性。
以上物理量并不是独立的，如根据位移由(2-3)式可以求出振速。实际应用时可根据需要选择使用哪些物理量来描述，如对简谐声波，只需要位移幅值和相位就可导出振速、加速度等基本物理量；更进一步，如果已知介质条件，只要知道位移幅值和相位的初值，就可计算声场的时空分布函数了。
声学基础1_声波的基本性质
dP dP dP 1 d 2P d d d 2 d 2 ' s s ,0 s ,0 s ,0
dP c 近似为常数 d s ,0
d
T
t
•
4
第1章 声波的基本性质
1.1 声的基本概念
可听声波、超声波、次声波
20 Hz 20,000 Hz
1
10
100
1,000
10,000
f / Hz
可听声的频率范围
5
第1章 声波的基本性质
1.1 声的基本概念
• 声波波动方程(简称声波方程)
– 描述波动的数学形式，是声学计算的基本关系式。 – 形式: 偏微分方程，是位置与时间的函数。 – 解声波波动方程的目的: 求得声场中某一场量, 如声压 随时间、空间自变量的变化规律，用以描述声场的特征。
• 举例说明振速大小：
– 空气中， 1pa 声压对应的振速约为 2.3e-3m/s ，相应于频率 1000Hz 声 音的质点位移约为3.7e 3.7e-5cm 5cm，令耳朵觉得疼痛的声音位移幅值0.2cm.
• 举例说明声速大小：
– 与媒质的性质有关。空气、水、钢材等媒质中声速有很大差异。
• 举例说明扰动小量假设的合理性
线性化（小振幅波，理由及可行性）： du u u 0 , u dt t x
大学物理-波动方程
三维波动方程通常采用偏微分方程的形式，包含了波动传播的空间 和时间信息。
三维波动方程的解法
分离变量法
一种常用的求解三维波动方程的方法，通过将波动方程中的空间和 时间变量分离，将原方程简化为一系列容易求解的常微分方程。
傅里叶变换法
利用傅里叶变换的性质，将三维波动方程从时域变换到频域，从而 简化求解过程。
02
有限元法的优点是适用于不规则区域和复杂边界条件的问题求解，精度较高， 且能够处理非线性问题。
03
有限元法的缺点是计算量大，需要较高的编程技巧和计算资源，且对初值条件 和边界条件的处理较为复杂。
谱方法
1
谱方法是一种基于傅里叶变换的方法，通过将波 动方程转化为频域中的谱方程，然后求解该谱方 程得到波动问题的数值解。
一维波动方程的应用实例
01
02
03
弦振动
一维波动方程可以用来描 述弦的振动，如吉他弦、 小提琴弦等。
波的传播
一维波动方程可以用来描 述声波、光波、水波等的 传播规律。
电磁波
在特定条件下，电磁波可 以近似为一维波动，一维 波动方程可以用来描述电 磁波的传播。
03 二维波动方程
二维波动方程的建立
波动现象的描述
2
谱方法的优点是精度高，适用于大规模问题求解， 且能够处理复杂的边界条件和初值条件。
声学基础知识(高教课堂)
sin 2 i n2 m cosi
发生全内反射现象时，声波反射时发生 角的相
位跳跃。
教学运用
22
6 平面波在两种不同均匀介质界面上反射和折射
•非均匀平面波
波阵面（等相位面）上振 幅随离分界面的距离增大作指 数衰减。
低频声波深入海底的深度较大，高频声波只能在 海底表面传播。
教学运用
23
6 平面波在两种不同均匀介质界面上反射和折射
9
3 声场中能量
能流密度
单位时间内通过垂直声传播方向的单位面积的声能 pu
声波强度或平均声能流密度
通过垂直声传播方向的单位面积的平均声能流
I 1
T
pudt
T0
教学运用
10
4 介质声阻抗和声阻抗率
介质特性阻抗 0c 声阻抗率
声场中某点声压与振速之比 ，它为一个复数（声压 与振速存在相位差）
•分界面上声波反射时的能量关系
垂直入射情况： Ii I r It 斜入射情况： Ii I r It
两种介质的特性阻抗相差不大，功率透射系数接 近1，例如换能器振子与透声外壳中，往往充以 蓖麻油或有机硅油。
教学运用
24
7 等间距均匀点源离散直线阵的声辐射
辐射声压
rx , y , 0
在远场，总声压为：
1 n
n1
e jkdisin
波动方程在声学系统中的应用
波动方程在声学系统中的应用
声学是一门研究声波及其传播、发射、接收以及与物体的相互作用的学科。在
声学系统中，波动方程是一种重要的数学工具，广泛应用于声学信号处理、声学场景模拟、声波传播理论等方面。本文将探讨波动方程在声学系统中的应用。
一、波动方程的概念和基本原理
波动方程描述了波的传播过程，具有广泛的适用性和重要性。波动现象广泛存
在于自然界中，如声波、光波、水波等，这些波传播过程与波动方程密切相关。
波动方程的一般形式可以表示为：∂²u/∂t²=c²∇²u，其中u是波的位移，t是时间，c是波的传播速度，∇²是拉普拉斯算符。这个二阶偏微分方程揭示了波的运动规律，对于研究波动现象具有重要意义。
二、声学信号处理中的应用
波动方程在声学信号处理中有着广泛的应用。例如，在声纳信号处理中，波动
方程可以用于模拟声波在海水中的传播过程。通过数值求解波动方程，可以预测声纳信号的传播路径、传播时间和损耗等信息，为声纳系统的设计和优化提供重要依据。
此外，在声波成像技术中，波动方程也起到了关键作用。波动方程可以用于模
拟声波在不同介质中的传播特性，并进一步生成声像，实现目标识别和成像重构。借助波动方程的求解，可以提高声波成像技术的精度和可靠性，促进医学超声成像、物体检测等领域的发展。
三、声学场景模拟中的应用
声学场景模拟是通过数值方法模拟声波在特定环境下的传播过程，用于评估声
学系统的性能或预测声学现象。在声学环境建模中，波动方程可以用于数值求解声
场分布。通过求解波动方程，可以模拟声波在复杂环境中的传播路径、散射特性、衍射效应等，从而为声学系统的设计和预测提供准确的模拟结果。
波动方程_精品文档
波动方程
波动方程是描述波动现象的数学模型。它是最基本的物理方程之一，广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学、地球科学等。波动方
程描述了波动传播的机制和特性，是许多领域中研究和分析波动现
象的重要工具。
波动方程的一般形式可以表示为：
∇²u = (1/c²) * ∂²u/∂t²
其中，u是波动的物理量，∇²代表拉普拉斯算子，c是波速，
∂²u/∂t²是波动量的二阶时间导数。
波动方程的解决了初值问题：给定初始条件下，求解在给定时间和
空间范围内波动的传播和变化情况。对于简单的一维情况，波动方
程可以简化为：
∂²u/∂x² = (1/c²) * ∂²u/∂t²
这是常用的一维波动方程，描述了波沿着x轴的传播行为。根据边
界条件和初值条件，可以求解出特定系统下的波动解。
波动方程描述了各种类型的波动现象，包括机械波、电磁波、声波等。在物理学中，波动方程常被用于研究弹性体的传播行为，如声
波在空气中的传播、地震波在地壳中的传播等。在工程学中，波动
方程可以用于分析结构中的振动问题，如桥梁、建筑物等的振动特性。在地球科学中，波动方程被广泛应用于地震勘探和地震波传播
等研究。
波动方程的研究可以帮助我们理解和预测波动现象的行为。通过求
解波动方程，我们可以得到波的传播速度、波的形状、波的幅度等
信息。这些信息对于研究和应用波动现象都非常重要。
除了一维波动方程外，波动方程还可以推广到二维和三维情况。在
二维情况下，波动方程可以表示为：
∇²u = (1/c²) * ∂²u/∂t²
这是二维波动方程，描述了波沿着平面的传播行为。在三维情况下，波动方程可以表示为：
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2、质点振速的基本概念
在声波的作用下，介质质点围绕其平衡位置作往复 运动，其瞬时位置及振动位移和瞬时速度随时间变 化，可用质点位移或速度描述声场。
设没有声波扰动时，介质的静态流速为
U0
x,
y,
z,
t
在声波的作用下流速变为 Ux, y, z,t
流速的改变量
ux, y, z,
t
Ux,
略去二阶小量：
l
t
0 u
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
！得到的均匀、静止理想流体中小振幅波的连续性
方程为：
l
t
0 u
0
连续性方程
记住！
2、状态方程
理想流体中三个基本方程
依据热力学定律，建立 p ~ 关l 系。
声波作用下介质产生压缩伸张变化，介质的密 度和压强都发生变化。
（1）在dt时间段，介质质点X方向流速引起的在dxdydz 框中介质质量的变化：
dt时间段从ABCD面流入dxdydz框中的质量：
U
x
U x
x
dx 2
dydz
dt
dt时间段从EFGH面流入dxdydz框中的质量：
U
x
U
x
x
m
x
U
x
y
U
y
z
U
z
dx
dydz
dt
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
（3）推导连续性方程 因为，dxdydz框没有变，所以质量的变化改变 了dxdydz框内介质的密度：
m [(x, y, z,(t dt)) (x, y, z,t)]dxdydz
（4）均匀、静止理想流体中小振幅波的连续性方
据程，声学量定义，有： 0 l
U
U0
u
小振幅波的含义是指：小振幅波的声学量和声学量的 各阶时间或空间导数为一阶小量。
均匀的含义是指： 静止的含义是指：
由连续性方程： 得：
ρ0 常 数
U0 0
[U ]
❖ 压强： ❖ 介质运动速度 ❖ 密度
Px, y, z,t
Ux, y, z,t
x, y, z,t
1、声压的基本概念
声波作用引起各点介质压缩和伸张，各点的 压强比静压可大可小，声压有正有负。
1、声压的基本概念
声学中，也可用声压级（SPL）表示声压的大小。 SPL=20log10（p/pref）（dB） （分贝）
P x
x
dydz
2
Pxdydz
x
x, y,z
2
dydz
沿 ox方向的合力为
Fx
P
x
x 2
Px x 2
dydz
P x
dxdydz
x,y,z
3、运动方程
理想流体中三个基本方程
同理得 oy,方oz向的合力为
Fy
P y
dxdydz
x,y,z
Fz
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
所以：
(x, y, z,t dt) (x, y, z,t) ((Ux ) (U y ) (Uz ))
dt
x
y
z
得：
(x, y, z,t) ((U x ) (U y ) (U z ))
t
x
声音的产生
纵波传播过程
声音的产生
纵波传播过程
声音的产生
横波传播过程
声音的产生
空气中和水中的声波的传播方向与质点振 动方向是一致的，属于纵波。
固体中由于有切应力，除有纵波外，还同 时存在横波。
仅讨论声波的宏观性质，不涉及介质的微观特性
声音的产生
声音的产生
声波在介质中传播的速度，称为声波的 传播速度。
振动与声基础
第三章 理想流体介质中小振幅波的基本规律
3.1 基本声学量和理想流体中的基本方程
主要内容
3.1.1 基本声学量 3.1.2 理想流体中三个基本方程
声音的产生
声音的产生
声音的产生
什么是声音？
苏东坡在赤壁赋中说: “耳得之而为声”
声音的产生
声音是由声源的机械振动产生的，声源的振 动状态，通过周围介质向四周传播形成声波。 从物理学来说，声波就是介质中的机械波。
假设声波作用的热力学过程是等熵绝热过程， 意味着声波能量在质团形变过程中没有损失。
2、状态方程
理想流体中三个基本方程
据热力学定律，质量一定的理想流体中，独立的热
力学参数只有三个。
例如，取热力学参数：压强 、P 密度 及熵值 ，s则
有关系：
P P(, s) f (, s)
如果，在声波作用下，P经“等熵过程”，从
定义：
sx,
y,
z,t
x,
y, z,t 0 x, 0x, y, z
y,
z
为介质压缩量,也称介质密度的相对变化量s（无量纲）
注意：
声场中的质点振速和声波的传播速度 是两个概念。
重点总结！
声学量——描述声波作用的量。 ❖1、声压－压强的变化量 ❖2、质点振速－介质流速的变化量 ❖3、密度逾量－介质密度的变化量
波动方程的推导
声波的波动方程：描述声场空间、时间变化 规律和相互联系的方程。
基本思路
三个基本物理定律 三个基本方程
质量守恒定律 热力学关系（能量守恒定律）
牛顿第二定律（动量守恒定律)
连续性方程 状态方程 运动方程
波动方程
假设条件
理想流体介质
（1）理想，介质中机械运动无机械能损耗; （2）流体，介质中任一面元受力方向总是
dx 2
dydz
dt
所以，在dt时间段，介质质点沿OX方向流速引起的在
dxdydz框中介质质量增加为： (Ux ) dxdydz dt
x
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
（2）在dt时间段，介质质点Y方向和Z方向流速 引起的在dxdydz框中介质质量的变化：
同理, d时t 间内沿
中的dx净dy余dz量分别为
方oy向,o流z 量在
y
U
y
dx
dydz
dt
z
U
z
dx
dydz
dt
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
所以，在dt时间段，介质质点流速U (x, y, z,引t) 起 的在dxdydz框中介质质量的增加为：
理想流体中三个基本方程
依据质量守恒，建立 l ~关u系。
质量守恒定律，在连续介质中，如果流进 与流出某一空间体积的流体质量不等，则 必将引起该体积中介质密度的变化。
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
z
C
G
M点的密度为： D x, y, z,t
设某一瞬时t，介质质点流过
M点的速度向量
A
o
......
P(, s) P0 (0 , s0 )
f
|0 ,s0
l
...... 1 (n) f
n! (n)
|0 ,s0
l n
.......
p(, s)
f
|0 ,s0
l
1 (n) f
...... n! (n)
|0 ,s0
l n
P0 (0, s0 ) P(, s0 )
则在 (0, 点s0 )作
P幂(级, s数0 )展开，有：
2、状态方程
理想流体中三个基本方程
P(, s)
P0 (0 , s0 )
f
|0 ,s0
(
0
)
......
1 n!
(n) f
(n)
|0 ,s0
(
0)n
A
Ax
Ay
Az
x y z
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
连续性方程表示为
U
t
称U为流通密度:单位时间内流过与速度方
向垂直的单位面积的质量。
连续性方程：表示流通密度在某一点散度的 负值等于该点介质密度的时间变化率。
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
P z
dxdydz
x,y,z
利用哈密顿算子，
(i
j
表示k 质 )量
微团受到的合力：
x y z
水中质点位移比空气中质点位移更小
3、密度逾量
设没有扰动时，介质的静态密度为 0 x, y, z
在声波的作用下变为 x, y, z,t
定义： l x, y, z,t x, y, z,t 0x, y, z
为介质中声场的密度逾量。 MKS制中，基本单位：kg/m
.......
如果是小振幅波，则声学量和声学量的各阶时间或空
间导数为一阶小量。 略去高阶小量，有：
p
(
f
)0s0
l
2、状态方程
理想流体中三个基本方程
定义, c0 ( p为) 介0 ,s质0 的等熵波速。
它是介质的固有性质。 （后续课可知它与介质中波传播的速度有关）
f
( ( )0,s0 0)
声音的产生
声波（sound wave ）是一种机械波； 产生声波的两个必要条件：
声源（ sound source）－机械振动的物体 介质（medium ）－机械振动赖以传播的介
质
声音的产生
声音的产生
声波传播时，介质质点只在平衡位置附近 振动，并没有随声波传播。
声音的产生
声音可以在一切弹性介质中传播。 纵波：声波的传播方向与质点振动方向一致。 横波：声波的传播方向与质点振动方向垂直。
y
z
-连续性方程
理想流体中三个基本方程
数学知识
哈密顿算符：
i
x
j
y
k
z
梯度：标量函数 p的梯度
p p p
grad p p i j k
散度：矢量场
A
x
i Ax
j的Ay散y度kAzz
div
A
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
依据质量守恒定律： 流体的流动使得元体积内的质量增加
等于
密度变化使得元体积内质量的增加
[(x, y, z,(t dt)) (x, y, z,t)]dxdydz
Hale Waihona Puke Baidu
((Ux ) (U y ) (Uz ))dxdydzdt
x
y
z
是速度量纲; M.K.S制中,单位: m/s (米/秒)
！！得到的均匀、静止理想流体中小振幅波的状态方程为：
p c02l
状态方程 记住！
3、运动方程
依据牛顿第二定律, 建立
理想流体中三个基本方程
p ~关u系 。
（1）运动方程推导
z
介质中取质量微团
ABCDEFGH 六 面 体 , 边
D
长分别为：dx，dy，dz
垂直于面元； （3）连续性，介质中质团连续分布无间隙； （4）介质质团同时具有质量和弹性性质。
正是因为介质质团同时具有弹性和质量， 才能形成波---振动的传播。
声波为小振幅声波－线性波动方程
3.2.1 理想流体中三个基本方程
主要内容
❖ 1、连续性方程 ❖ 2、状态方程 ❖ 3、运动方程
1、连续性方程
Px dx
2
C
H M(x,y,z) B
G
Px dx 2
F
分析其受力：
A
周围流体对该六面体的压力：o
首先分析x方向受力：
y
E
x
3、运动方程
理想流体中三个基本方程
作用在ABCD面上和EFGH面上的总压力分别为
P x
x
dydz
2
Pxdydz
P x
x, y,z
dx 2
dydz
P dx
重点总结！
1、声音的实质－声音是介质中的机械波 2、声波产生的两个基本条件
（1）声源 （2）传声介质
3.1.1 基本声学量 主要内容
❖1、声压－压强的变化量 ❖2、质点振速－介质运动速度的变化量 ❖3、压缩量－介质密度相对变化量
连续介质中，任意一点附近的运动状态可用 压强、密度和介质的运动速度表示。
y,
z,
t
U0
x,
y,
z,
t
即为介质质点的振动速度
2、质点振速的基本概念
振动速度的单位是
米 秒
在空气中，1帕的声压对应的振速约为
2.310 3
米 秒
相应于频率1000Hz声音的质点位移约为3.7107 米
声场中介质质点位移振幅是很小的
水中1帕的声音，相应的振速约为 7107 米秒 相应于1000Hz声音的位移仅为1010 米
t
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
(0 t
l )
(0
l )(U0
u)
U0 0
00uu0lu u
u
l
l
u
ρ0 常 数
l
t
0 u u l
l u
H
dz
M(x,y,z)
B
F
dy
E
dx x
Ux, y, z,t Ux x, y, z,tiyUy x, y, z,tj Uz x, y, z,tk
单位时间内通过M点单位面 积的介质质量为
U Uxi Uy j Uzk
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程