《电路原理》第5章 电容元件与电感元件

i (5m s) 103 ( 103 ) 1 A
电感元件的特点：
*电流有变化，才有电压。
d i (t ) u (t ) L dt
i(t) + L
u(t) -
*在直流稳态电路中，电感可视作短路。
8Ω 2Ω 10V 6Ω L
8Ω 2Ω 10V
6Ω
*电感电流具有记忆性和连续性。
1 i ( t ) i ( t0 ) L
1 u (t ) u (t0 ) C

t
t0
i ( )d
其中 t0 为初始时刻，u(t0) 为初始电压。
*若 u 与 i 取非关联参考方向， 则
dq ( t ) du ( t ) i (t ) C dt dt
5.3 电容电压的连续性质和记忆性质
*电压有变化，才有电流。
i (t)
dt
串联的等效电感
Leq
L
k 1
n
k
i + +
L1 u1 -
L2 + u 2
Ln + un -
i
+
u -
u -
Leq
*并联 n个电感相并联的电路，各电感的端电压是同一 电压u。根据电感的伏安关系，第k个（k=1,2, 1 t 3,…,n)电感的电流 ik ud 和KCL，可求 Lk 得n个电感相并联时的等效电感Leq
第二篇 动态电路的时域分析
元件的伏安关系涉及对电流、电压的微分 或积分，则称这种元件为动态元件（dynamic element）如电容、电感。 包含动态元件的电路称为动态电路。 江苏技术师范学院电气信息工程学院
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第五章 电容元件与电感元件
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 电容元件 电容的VCR 电容电压的连续性质和记忆性质 电容的储能 电感元件 电感的VCR 电容与电感的对偶性 状态变量
1 2 wC ( t ) C u ( t ) 2
5. 4 电容元件的储能
关联参考方向下，
i (t)
+
C
u(t) -
电容吸收的电功率为：
du ( t ) p ( t ) u ( t )i ( t ) u ( t )C dt
请点击查看关于电容元件的储能分析
从 t0 时刻到目前时刻 t，电容吸收的电能（即 电场能量的增量）为：
i (t ) i (0) 10
3
3

t
0
1d 103 t A
3
0 t 1m s 1m s t 3m s 3m s t 5m s 5m s t 7m s 7m s t 8m s
i (t ) i (10 ) 10
3

t
10 3 3
0d 1 A

t
t0
u ( ) d
*电感可储能，不耗能，是无源元件。其储能公式为
1 2 wL (t ) L i (t ) 2
电感元件的串、并联：
*串联 n个电感相串联的电路，流过各电感的电流为同 一电流 i。
根据电感的伏安关系，第k个（k=1,2,3,…,n)电感
的端电压 u k Lk di 和KVL，可求得n个电感相
+
du ( t ) i (t ) C dt
可视作开路。
8Ω 2Ω 10V
C
u(t) -
*具有隔直流作用，在直流稳态电路中，电容
C
8Ω 2Ω 10V
*电容电压具有连续性和记忆性。
1 u ( t ) u ( t0 ) C

t
t0
i ( ) d
*电容可储能，不耗能，是无源元件。其储能公式为
3

710 3
方法2：求面积法 。 求出特殊时间点上的电流值，再绘制其波形图。
由于
1 t 1 t i (t ) i (0) u ( )d u ( )d L 0 L 0
用求面积法，易于求得：
i (1m s) 103 103 1A i (8m s) 103 0 0 , , , i (3m s) 1A i (7m s) 1 A
t=0时，电容的电荷
q(0)=0
0≤t≤1ms期间得到的电荷
式中 Ceq C1 C 2 ... C n Ceq为n个电容并联的等效电容。
C
k 1
n
k
例: 如图所示电路，各个电容器的初始电压均为零， 给定 C1 1F , C2 2F , C3 3F , C4 4F试求ab间的等 值电容C C4 C1 a
解：C C1C2 1 2 2 F 12
Leq的倒数表示式为
1 Leq
i
+ i1 L2 i2

k 1
n
1 Lk
i
+
u L1 -
Ln
u -
Leq
i1 A
L1 例：如图所示电路，给定 L1 1H , L2 2H , L3 3H , i2 0 2 A, i3 0 3 A 试确定其最简单的等值电路。 L 解：在t=0 ，应用KCL于A点，得L
i2
L2 L3
i3
中的初始电流为
-
1
L23
i1 0 i2 0 i3 0 2 3 5 A
L2 L3 2 3 图中 L23 1.2 H L2 L3 2 3 L L1 L23 1 1.2 2.2 H
电感线圈的参数和电路模型：
wC [t0 , t ] p( )d
t0
t

u(t )
1 C u 2 ( t ) u 2 ( t0 ) 2

u ( t0 )
C u du

若取尚未充电时刻为初始时刻，可得 t 时刻电 容的储能为：
1 2 wC ( t ) C u ( t ) 2
例：已知电容两端电压波形 如图所示，求 电容的 电流、功率及储能 。
L
C
C
G
C
G
5.5 电感元件
电感元件的定义：一个二端元件，如果在任一时刻t， 它的电流 i(t) 同它的磁链 ψ(t) 之间的关系可以用i- ψ 平面上的一条曲线来确定，则此二端元件称为电感 元件。
电感元件的符号
i(t) + (t ) -
（取 i(t) 与 ψ(t) 的参考方向符合右手螺旋法则。）
电感元件的定义式：
f (i (t ), (t )) 0
（线性时不变）电
感元件的定义式：
(t ) L i (t )
其中： －磁通链，单位：韦伯（Wb） i－电流，单位：安培（A）
L－电感（正常数），单位：亨利（H）
5.5 电感的VCR
*若 u 与 i 取关联参考方向，
根据电磁感应定律，有
C1 C2
1 2
3
C3
C2
b
2 11 C3 C12 C3 3 F 3 3
ab间等值电容为
11 4 C4C3 3 1.913F Cab C4 C3 4 11 3
电容器的参数和电路模型：
电容器的两个主要参数：电容，额定电压。
电容器的电路模型：
例题
例1：如图所示为一电容的电压和电流波形。 （1）求C； （2）计算电容在 0<t<1ms 期间所得到的电荷； （3）计算在 t=2ms 时吸收的功率； （4）计算在 t=2ms 时储藏的能量。
U(V) i(mA)
2
4
0
1
t(ms)
t(ms)
0
1
解： （1）0≤t≤1ms期间，由电容的电压、电流 波形可得
t 310 3 t
i (t ) i (3 10 ) 10 i (t ) i (5 10 ) 10
3 3

1d 4 103 t A 0d 1 A 1d 8 103 t A
3
510 3 t
i (t ) i (7 10 ) 10

i (t )
1 L i 2 ( t ) i 2 ( t0 ) 2

i ( t0 )
L i di

若取尚未建立磁场时刻为初始时刻，可得 t 时 刻电感的储能为：
1 wL (t ) L i 2 (t ) 2
例：已知电感两端电压波形
如图所示，i(0)=0，求 电感的电流及功率 。
i(t) + 1mH
*串联 n个电容相串联的电路，各电容的端电流为同 一电流 i。
i + +
C1
u1 -
C2
+ u 2
Cn
+ un -
i
+
u -
u
-
Ceq
根据电容的伏安关系，有
1 u1 C1 1 id , u 2 C2
t
1 id ,......,u n Cn
t

t

id
由KVL，端口电压
电感元件的储能：
关联参考方向下，电 感吸收的电功率为：
i(t) +
L
u(t) -
d i (t ) p (t ) i (t ) u (t ) i (t ) L dt
从 t0 时刻到目前时刻 t，电感吸收的电能（即 磁场能量的增量）为：
wL [t0 , t ] p( )d
t0 t
u u1 u2 un
1 1 1 t 1 id C C Cn Ceq 2 1
n 1 1 1 1 1 式中 ... Ceq C1 C2 Cn k 1 Ck

t

id
Ceq可称为n个电容串联的等效电容。
qt Cut
其中：q—电荷，单位：库仑（C） u—电压，单位：伏特（V） C—电容（正常数），单位：法拉（F）
5.2 电容的VCR
i (t) +
*若 u 与 i 取关联参考方向， 有
+ C
u(t) -
dq (t ) d (Cu ) du (t ) i (t ) C dt dt dt
电感器

i
（磁通链）
电感器的两个主要参数：电感，额定电流。
电感器的电路模型：
R
L
R L C
L
5.7 电容与电感的对偶性 状态变量
电容与电感的对偶性： 电容电压不能跃变；电感电流不能跃变。
储能元件；无源元件。 电容电压具有连续性和记忆性；电感电流具有 连续性和记忆性。 状态变量：
电容电压uC (t)和电感电流iL (t)是电路的状态 (state)变量。
*并联 n个电容相并联的电路，各电容的端电压是同 一电压 u。
i
+
i
i1 i2
C2 Cn
in +
u
-
C1
u
-
Ceq
根据电容的伏安关系，有
du du du i1 C1 , i2 C 2 ,...,in C n dt dt dt
由KVL，端口电流
du du i i1 i2 ... in (C1 C 2 ... C n ) C eq dt dt
5.1 电容元件
电容元件的定义：一个二端元件，如果在任
一时刻 t，它的电荷 q(t) 同它的端电压 u(t)
之间的关系可以用 u-q 平面上的一条曲线来
确定，则此二端元件称为电容元件。
电容元件的符号：
i
+q +
-q u -
电容元件的定义式：
f ut , qt 0
线性时不变电容元件的定义式：
u t 2 10 3 t V i t 4 10 3 t A
du 由电容元件的VAR i t C dt
可得 C 2F
（2）由电压波形得到 u(1)=2V,u(0)=0
t=1ms时，电容的电荷
2 106 2 4 106 C q1 Cu1
i (t)
+
1 F
u(t) -
0.5
wC ( J )
1 3 5 7 9
t (ms)
解：
d u(t ) i (t ) C dt
p (t ) i (t ) u (t )
wC (t ) p( ) d wC (0)
0
t
或
1 2 wC (t ) C u (t ) 2
电容元件的串、并联：
i(t) +
L
wk.baidu.com
u(t) -
d ( t ) d ( L i) d i (t ) u (t ) L dt dt dt
1 i ( t ) i ( t0 ) L

t
t0
u ( )d
其中 t0 为初始时刻，i(t0) 为初始电流。
*若 u 与 i 取非关联参考方向，则
d ( t ) d i (t ) u(t ) L dt dt
u(t) -
解：
1 t i (t ) i (0) u ( )d L 0
p (t ) i (t ) u (t )
其中 t0 为初始时刻，i(t0) 为初始电流。
方法1：分段积分求表达式 。
1 0 t 1m s 0 1m s t 3m s u (t ) 1 3m s t 5m s 0 5m s t 7m s 1 7m s t 8m s