第四章 整数规划

考虑整数条件求解这两个后续问题。
定界过程。以每个后续问题为一分支标明求 解的结果，在其他问题解的结果中，找出最优
目标函数值最大者作为新的上界 z 。从已符合
整数条件的各分支中，找出目标函数值最大者
作为新的下界 z ，若无可行解，则 z 0 。
步骤2： 比较与剪支。各分支的最优目标函数中若
有小于 z 者，则剪掉这支，以后不再考虑这
个分支。若大于 ，z 且不符合整数条件，
则重复步骤1，直到最后得到 为z *止，z得
到最优整数解：
xj*, j 1,,n。
• 例： 用分枝定界法求解
maxZ 4x1 3x2
1.2x1 0.8x2 10 2x1 2.5x2 25
x1, x2 0,且均取整数
解: 先求对应的松弛问题（记为LP0）
在东区，由A 1，A ，2 A三3 个点中至多选两个； 在西区，由A ，4 A 两5 个点中至少选一个； 在南区，由A ，6 A 两7 个点中至少选一个。
如选用点A ，i 设备投资预计为 b元i ，每年可获利润
c 预计为 元，i 由于公司的投资能力及投资策略限
制，要求投资总额不能超过B元。问应如何选择 可使年利润为最大？
其中，目标函数表示追寻最大的利润，约束条件 分别表示装箱的体积和重量限制，决策变量要求 装箱数必须为整数。
4.2 整数规划的求解算法
能否采用四舍五入或者去尾法求得整数解？
以例4.1的求解为例，先不考虑 x 1为, x整2 数的条件，
采用单纯形法求解该问题，得到：
x14.8,x20,z96
若对 x 1 ,采x用2 四舍五入法求解，则有
上述求解过程称为分支定界算法，求解过程用 图4－1表示：
z 356
x 1 4 x1 4.81,x2 1.82 x 1 5
z 349 x 2 2 x1 4, x2 2.1 x 2 3
z 341 x1 5, x2 1.57
z 340 x1 4, x2 2
z 327
x2 1
x1 1.42, x2 3
，然后z按下z*述步z骤0 进
步骤1：分支定界过程
分支过程。在B 的最优解中任选一个不符合
整数条件的变量 ，x 若j 其值为 ，b以j 表示[ b 小j ]
于 的最大b j整数，构造两个约束条件：
xj [bj]和 xj [bj]1。将这两个约束条件，
分别加入问题B ，得到后续规划问题 B1和。B 2不
9 x1 7 x 2 5 6
9 x1 7 x2 5 6
s .t
7 x1 x1
2 4
0
x
2
70
（A1）
s .t
7 x1 x1
4
2
0
x
2
70
（A2）
x2 2
x2 3
x 1 , x 2 0
x 1 , x 2 0
得 （到A求1解）（的A最1优）值，，得。原到x由1问 于1 题.x （4 1 的2A, x 最22 4 ）优 ,x 3 的值2 ,z 最必 ;2 优求大3 ,2 z值解于7 小（等3于A于40 2），
止。
B 有最优解，并符合问题A的整数条件，B的 最优解即为A的最优解，则停止。
B 有最优解，并不符合问题A的整数条件，记
它的目标函数值为 。z 0
用观察法找问题A的一个整数可行解，一
般可取 xj 0,
数值，并记 。以
j试1,探，,求n得, 其目标函
表示z 问题A的z 最* 优目标
函数值；这时有 行迭代。
x1而去5,尾x2，法此得0解到不x是1 可4行,，x解2目；标0函数 ，该z 解8是0 否
是最优解呢？实际上，当
x1 4,x2 1
时，z 9，0 表明，去尾法得到的解并非最优解。
• 【例】 设整数规划问题如下
max Z x1 x 2
14 x1 9 x 2 51
6 x1
3x2
1
x1
,
大家好
第四章 整数规划 (Integer Programming，IP)
在线性规划问题的求解过程中，最优解可 能是整数，也可能不是整数。在一些情况下， 某些实际问题要求最优解必须是整数，例如， 若所求得的解是安排上班的人数，需要采购 的机器台数等。
用前面介绍的线性规划方法求解时，不一 定能得到整数解。为解决这一类变量为整数 的实际问题，出现了整数规划模型。
1.2 x1 0.8 x 2 10
LP
211
:
2 x
x
1
1 2.5 x 4， x 2
2 25 6，
x
1
4
LP212:X=(5,5)
x1, x2 0
,Z212=35
即 x1 4, 可行域是一条线段
货物 体积（米3/箱） 重量（百公斤/箱） 利润（百元/箱）
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运限制
24米3
13百公斤
解： 设 x 、1 分x 2 别为甲、乙两种货物的托运箱数，
则数学模型可以表示为：
m ax z 2 0 x1 1 0 x2
5 x1 4 x2 2 4
2
x1
5 x2
13
x 1 , x 2 0 , x 1 , x 2 整 数
maxZ 4x1 3x2
st12.2xx1 120.5.8xx2 22150
x1, x2 0
(LP0 )
用图解法得到最优解X＝(3.57,7.14),Z0=35.7,如下图所示。
x2 A
10
1.2x10.8x210
松弛问题LP0的最优解 X=(3.57,7.14),Z0=35.7 B
2x12.5x2 25
划问题的所有整数可行解，而在 4 x1中不5可能存
在整数可行解。
分别求解这两个线性规划问题，得到的解是：
x14,x22.1 和,z349 x15 ,x21.57,z341
有
变量
x2
仍3x 或 ，2不x将满2（足A2整）数增的加条约件束，条对件问，题得（到A），必
m a x z 4 0 x1 9 0 x 2 m ax z 4 0 x1 9 0 x2
z 308 x1 5.44, x2 1
图4—1
x2 2
无可行解
将要求解的整数规划问题称为问题A，将与之 相应的线性规划问题称为问题B（与问题A 相比 较，仅不含有“变量为整数”的约束条件），B 称为原问题A 的松弛问题。解问题B，可能得到
以下情况之一：
B 没有可行解，这时A 也没有可行解，则停
340，尽管（A2）的解仍然不满足整数条件， （A2）已无必要继续分解。
x2对（2或 B），x2，将这x1不2两满个足约整束数条条件件分，别必加有到（B）中，
得到（B1）和（B2），求解得到：（B1）的最
优解为 x15.44,x2，1 （,zB 23 ）08 无可行解。至此，
原问题的最优解为：
x14,x22,z340
分支定界法和割平面法
4.2.1分支定界算法 下面通过例子说明分支定界方法的算法思想
和步骤。 例4.3 对如下整数规划
m ax z 4 0 x1 9 0 x2
9 x1 7 x2 5 6
s
.t
7
x1
20 x2
70
x1, x2 0
x 1 , x 2 整 数
解：先不考虑整数条件，解相应的线性规划，
m ax z 4 0 x1 9 0 x2
9 x1 7 x2 5 6
（A）s
.t
7
x1
20 x2
70
x1 4
x 1 , x 2 0
9 x1 7 x2 5 6
（B）
s
.t
7
x1
20 x2
70
x1 5
x 1 , x 2 0
问题（A）和（B）的可行域中包含了原整数规
对于求整数解的线性规划问题，能否 采用四舍五入或者去尾的方法将求得的非 整数解加以解决呢？如果不能，有无有效 的解决方案呢？
4.1 整数规划的数学建模 4.1.1 装箱问题 例4.1 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，每箱的 体积、重量、可获利润以及托运所受限制如表4－1所 示。问两种货物各托运多少箱，可使获得利润为最大？ 表 4－1
货物 体积（米3/箱） 重量（百公斤/箱） 利润（百元/箱）
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运限制
24米3
13百公斤
解： 设 x 、1 分x 2 别为甲、乙两种货物的托运箱数，
则数学模型可以表示为：
m ax z 2 0 x1 1 0 x2
5 x1 4 x2 2 4
2
x1
5 x2
13
x 1 , x 2 0 , x 1 , x 2 整 数
得最优解：x 1 4 .8 1 ， x 2 = 1 .8 2 。， 该z0 解 不3 5 6 符合整数
条件。
对其中一个非整数变量解，如 x1 ，4.显81然， 若要满足整数条件，必定有 x1 5或x1 4
于是，对原问题增加两个新约束条件，将原
问题分为两个子问题，即有
m aHale Waihona Puke Baidu z 4 0 x1 9 0 x2
x2
⑴
3),(2，3),(1，4),(2，4)。显然，
它们都不可能是整数规划的
3
最优解。
⑵
(3/2,10/3)
其中(2,2),(3,1)点的目标函数值 最大，即为Z=4。
3
x1
假如放弃整数要求后，用单纯形 法求得最优解，恰好满足整数性 要求，则此解也是原整数规划的 最优解。
• 整数规划问题的求解方法：
C
o
10
x1
x2
A 10
增加约 x1 束 3及x1 4得到两个线性规划
LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8
B
max Z 4 x1 3 x 2
1.2 x1 0.8 x 2 10
LP 1
:
2 x1 2.5 x2 x1 3
25
x1 , x 2 0
LP1
o
3
LP2:X=(4,6.5),Z2=35.5
解：设 xi(i1,2,表示,7是)否在位置i 建立门市部，有
则可以建立xi 如下0， 的1， 数当 当 学AAi点 模i点 没 型被 被 ：选 选 用 用i 1,2, ,7
7
m a x z c ix i
i1
其中，目标函数表示
7
b ix i B
i1
s .t
x
1
x
x2 4
x
x3 5
21
:
2 x1 2.5 x2 25 x1 4，x2 6
x1 , x2 0
x1
x2
由于 Z21Z1，选L择P21进行分枝，增加约束
x1 4及x1 5，得线性L规P2划 1及 1 LP21： 2
A 10
6 LP1
o
3
LP211:X=(4,6),
max Z 4 x1 3 x 2
Z211=34
在所建模型中，
决策变量全为整数的问题称为纯整数规划(Pure Integer Programming)或全整数规划(All Integer Programming)；
决策变量中部分为整数、部分为非整数的问题 称为混合整数规划(Mixed Integer Programming)；
变量取值为0或1的问题称为0-1整数规划。
其中，目标函数表示追寻最大的利润，约束条件 分别表示装箱的体积和重量限制，决策变量要求 装箱数必须为整数。
4.1.2 工厂选址问题
例4.2 某公司拟在市东、西、南三区建立门市部， 有7个位置 （ A i i ）1可,2,供选,7择，考虑到各地区 居民消费水平及居民居住密集度，公司制定了如 下规定：
max Z 4 x1 3 x2
1.2 x1 0.8 x2 10
LP 22
:
2 x1 2.5 x2 25 x1 4，x2 7
x1 , x2 0
LP21:X=(4.33,6),Z21=35.33
LP21
C 4
max Z 4 x1 3 x2
1.2 x1 0.8 x2 10
LP
x
2
0且为整数
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问
题）。
max Z x 1 x 2
14 x 1 9 x 2 51
6 x1
3x2
1
x
1
,
x2
0
• 用图解法求出最优解为：x1＝3/2, x2 = 10/3，且 有Z = 29/6
现求整数解(最优解):如用 舍入取整法可得到4个点即(1，
max Z 4 x1 3 x 2
LP2
1.2 x1 0.8 x 2 10
LP
2
:
2 x1 2.5 x2 x1 4
25
x1 , x 2 0
C
4
①
②
选择目标值最大L的 P2进 分行枝分枝，增加约束
x2
x2 6及x2 7，显x然 2 7不可行，得到线性规划
A 10
6 LP1
o
3
x2 7不可行 B
1
x6 x7 1
xi 0或 1
2
寻求获利最大的设点方案， 第一个约束条件表示投资 总额限制，之后的三个约 束条件分别表示在东、西 和南区的设点数限制，决 策变量取值0或1。
4.1 整数规划的数学建模 4.1.1 装箱问题 例4.1 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，每箱的 体积、重量、可获利润以及托运所受限制如表4－1所 示。问两种货物各托运多少箱，可使获得利润为最大？ 表 4－1