C6-空间力系(修改A)
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空间力系习题答案
空间力系习题答案空间力系习题答案在学习物理学的过程中，空间力系是一个重要的概念。
它描述了物体在空间中受到的各种力的作用情况。
学生们经常会遇到一些关于空间力系的习题，这些习题旨在帮助他们理解和应用这个概念。
在本文中，我将给出一些常见的空间力系习题，并提供详细的解答过程。
1. 一个质量为2kg的物体悬挂在一根长度为1m的细线上，细线的一端固定在天花板上。
求物体受到的重力和细线拉力的大小。
解答：根据题目中给出的信息，可以得知物体受到的重力大小为2kg *9.8m/s^2 = 19.6N。
由于物体处于静止状态，所以细线拉力的大小必须与重力大小相等，即为19.6N。
2. 一个质量为3kg的物体放置在一个倾斜角度为30°的斜面上，斜面的摩擦系数为0.2。
求物体受到的重力分解到斜面上的分力和垂直于斜面的分力的大小。
解答：首先，将重力分解成斜面上的分力和垂直于斜面的分力。
斜面上的分力可以通过将重力乘以斜面的正弦值得到，即3kg * 9.8m/s^2 * sin(30°) ≈ 14.7N。
垂直于斜面的分力可以通过将重力乘以斜面的余弦值得到，即3kg * 9.8m/s^2 * cos(30°) ≈ 25.5N。
接下来，我们需要考虑斜面的摩擦力。
根据题目中给出的摩擦系数和斜面上的分力，可以计算出摩擦力的大小。
摩擦力的大小等于斜面上的分力乘以摩擦系数，即14.7N * 0.2 = 2.94N。
综上所述，物体受到的重力分解到斜面上的分力大小约为14.7N，垂直于斜面的分力大小约为25.5N，斜面对物体的摩擦力大小约为2.94N。
3. 一个质量为4kg的物体放置在一个光滑的水平面上，受到一个水平方向的力为10N和一个竖直向上的力为20N。
求物体受到的合力的大小和方向。
解答：根据题目中给出的信息，可以将水平方向的力和竖直方向的力相互分离。
水平方向的力为10N，竖直方向的力为20N。
首先，我们需要计算水平方向的合力。
第六章 空间力系
二、力对点之矩
上式为力对点的矩的解析表达式。 上式为力对点的矩的解析表达式。
三、力对点之矩与力对过该点的轴的矩的关系
6.2 力 r r r r r r r r r r r mO ( F ) = [mO ( F )]x i + [mO ( F )]y j + [mO ( F )]z k 对 r r 比较前两式， 轴 比较前两式，得： [mO ( F )]x = ( yZ − zY ) r r 之 [mO ( F )]y = ( zX − xZ ) 矩 r r 和 [mO ( F )]z = ( xY − yX ) 力 r r r 比较上式和例2的结果 的结果， 对 比较上式和例 的结果，得： mO ( F ) x = mx ( F ) r r r 点 mO ( F ) y = m y ( F ) 之 r r r 矩 mO ( F ) = mz ( F )
R = (∑ X ) 2 + (∑ Y ) 2 + (∑ Z ) 2 ∑X ∑Y ∑Z cos α = , cos β = , cos γ = R R R
R =∑F =0
∑ X = 0, ∑ Y = 0, ∑ Z = 0
即为空间力系的平衡方程。 即为空间力系的平衡方程。 平衡方程
例1
重为P的物体用杆AB和位于同 6.1 空 一水平面的绳索AC与AD支承，如 C 图。已知P=1000N，CE=ED=12cm， 间 o
mz ( R ) = ∑ mz ( F )
例2 6.2 r 力 F Br 对 Fy A( x , y , z ) r 轴 Fx z 之 r y x 矩 Fy y a r 和 r Fx x 力 Fxy b = zX − xZ r r r r 对 mz ( F ) = mz ( Fx ) + mz ( Fy ) + mz ( Fz ) 点 = xY − yX 之 矩 以上三式是力对轴的矩的解析表达式。
空间力系(工程力学课件)
空间力系平衡方程的应用
二、空间力系平衡方程 空间汇交力系和空间平行力系是空间任意力系的特殊情况，由式（5-10） 可推出空间汇交力系的平衡方程为
空间力系平衡方程的应用
例1 如图5.8（a）所示，用起重杆吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在地 面上，而B端则用绳子CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的点C和D，连线CD平行于 x轴。已知：CE=EB=DE，α=30°，CDB平面与水平面间的夹角∠EBF=30°(参见 图5.8（b）)，物重P=l0kN。如起重杆的重量不计，试求起重杆所受的压力和绳
Fxy在与z轴垂直的xy面内
Mz (F ) MO (Fxy ) Fxyh 为代数量
即：力对轴之矩，等于力在垂直于该轴的平面
上的投影对轴与平面交点之矩。
x
特殊情况：
Oh Bh A
1、力与轴平行，矩为零。
y
2、力与轴相交，矩为零。
即： 力与轴位于同一平面内时，矩为零。
力对轴之矩及合力矩定理
1. 力对轴之矩
解：
2.由合力矩定理求F轴之矩FzFx Fra bibliotekxyFy
2F M x (F ) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz ) 0 0 2 6 10606.6N m
M y (F ) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz ) 0 0
2F 5 8838.8N m 2
例2 图5.4（a）所示为一圆柱斜齿轮，，, 其上受啮合力F作用。已知斜齿轮 的螺旋角β和压力角α。试求啮合力F在坐标轴x、y、z的投影。
解 先将啮合力F向坐标轴z和 坐标平面Oxy投影，如图5.4（b） 所示，得
Fz F sin Fxy F cos
空间力系(理论力学电子教程)
力矩关系定理:力对于任一点之矩矢在通过该点的任一轴上 的投影等于力对于该轴之矩。
M o ( F ) cos M z ( F ) [M o ( F )]Z
应用上述定理可以求出力对于坐标轴之矩的解析表达式。
M0 ( F ) r F (yz zy) i (yz xz) j (zy yz) k
该力系的多边形2选择题1空间力偶矩是a代数量b滑动矢量c定位矢量d自由矢量讨论与分析理论力学电子教程第四章空间力系2一空间力系中各力的作用线均平行于某一固定平面而且该力系又为平衡力系则可列独立平衡方程的个数是3如果一空间力系中各力的作用线分别汇交于两个固定点则当力系平衡时可列独立平衡方程的个数是4如图所示矩形板重p用球铰链c以及柔绳bd支承在水平面上则力理论力学电子教程第四章空间力系理论力学电子教程第四章空间力系3如图所示曲杆abcdabbcbcdc
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第四章 空间力系
由于 z1 轴垂直于y 轴，所以根据合力投影定理可得
Fz F xcos 2 Fz cos 1
1
a a c c F 2 2 F 2 2 2 2 2 2 2 a b c a c a b c a c2
a2 c2 F 2 64 N 2 2 2 2 a b c a c
F1
A2
x
FR F' F F' R
x
Mo M M0 ( F ) M0
空间任意力系向任一点简化的结果。一般可得到一力和一力偶， 该力作用于简化中心，其力矢等于力系的主矢，该 力偶 的力偶矩矢等于力系对于简化中心的主矩。
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第四章 空间力系
与平面力系一样，空间力系的主矢与简化中心的位置无关， 而矩的一般将随着简化中心的位置不同而改变。
空间力系
o •d xy
B A
§5.3 力对轴之矩 一 力对轴之矩的概念 xy平面 m (F) = ±Fd 0
z A
F
o•d 过o点作xy平面的垂线z轴. xy F对o点之矩,可以看作是F对z轴之矩.
若力为任意将力分解为Fxy和Fz.
m (F) = m (F ) z 0 xy
z
F z
F
F xy
= ±F d xy
m 2
yz平面
∑m
Z
A
=0 −50Q +200F B +300F =0 z Z Z
F B = 2040N Z
x z y
∑F =0 Q +F
z
ZA
+F B +F =0 Z Z
FA Z
FA Y
FB Z
F A =385N Z
F y
∑F =0
Y
F A −F = 0 Y y
F A =352N Y
Q z
F z
解:作受力简图图示.
FB m Z 2
Q= 746N
F x
m 3
F y
Q z
m 1
F z
m 2
x
解:作受力简图图示.
∑m =0
Y
m −m =0 1 2
100Qcos20 −50F = 0 z
0
z y x
m 1
Q x
z y
FA Z FA X FA Y FB X
FB m Z 2
Q= 746N
F x
m 3
F y
Q z
m 1
F z
§5.3 力对轴之矩 一 力对轴之矩的概念 xy平面 m (F) = ±Fd 0
第6章 空间力系
1. 力对点之矩以矢量表示——力矩矢 对平面力系，各力与矩心位于同一平面内，
用代数量表示力对点的矩就可以包含它的全部要
素。但对空间力系，各力与矩心所构成的平面 （力矩作用面）的方位不同，用代数量不足以概 括其全部要素。为此引入力矩矢M O ( F )来描述空 间力对点的矩。
理论力学
（1）力 F 对点O的矩可以定义为 MO ( F ) r F M O ( F ) r F F h 2 AΔ OAB
理论力学
静力学
空间力系
8
3. 空间汇交力系的平衡条件和平衡方程 由于一般空间汇交力系 的最终简化结果为一合 力，因此,空间汇交力系平衡的必要与充分条件为： n 该合力等于零，即 FR F1 F2 Fn Fi 0 i 1 由 FR的大小 FR Fx2 F y2 Fz2
理论力学
静力学
空间力系
第6章 空间力系
§6-1 §6-2 §6-3 §6-4 §6-5 §6-6 空间汇交力系 力对点之矩和力对轴之矩 空间力偶理论 空间任意力系的简化 空间任意力系的平衡问题 重心平行力系的中心
理论力学
静力学
空间力系
2
实际工程中，绝大多数结构所受力系的作用
线往往是不在同一平面内的，即空间力系，空间
Fz F cos
理论力学
静力学
空间力系
(2) 间接投影法 当力与轴Ox，Oy正向夹角不易确定时，可先将 F 投影到坐标平面xy上，然后再投影到轴x、y 上，即 Fx Fxy cos
4
F sin cos Fy Fxy sin F sin sin
F
Fxy
MO ( F ) Fbi
用代数量表示力对点的矩就可以包含它的全部要
素。但对空间力系，各力与矩心所构成的平面 （力矩作用面）的方位不同，用代数量不足以概 括其全部要素。为此引入力矩矢M O ( F )来描述空 间力对点的矩。
理论力学
（1）力 F 对点O的矩可以定义为 MO ( F ) r F M O ( F ) r F F h 2 AΔ OAB
理论力学
静力学
空间力系
8
3. 空间汇交力系的平衡条件和平衡方程 由于一般空间汇交力系 的最终简化结果为一合 力，因此,空间汇交力系平衡的必要与充分条件为： n 该合力等于零，即 FR F1 F2 Fn Fi 0 i 1 由 FR的大小 FR Fx2 F y2 Fz2
理论力学
静力学
空间力系
第6章 空间力系
§6-1 §6-2 §6-3 §6-4 §6-5 §6-6 空间汇交力系 力对点之矩和力对轴之矩 空间力偶理论 空间任意力系的简化 空间任意力系的平衡问题 重心平行力系的中心
理论力学
静力学
空间力系
2
实际工程中，绝大多数结构所受力系的作用
线往往是不在同一平面内的，即空间力系，空间
Fz F cos
理论力学
静力学
空间力系
(2) 间接投影法 当力与轴Ox，Oy正向夹角不易确定时，可先将 F 投影到坐标平面xy上，然后再投影到轴x、y 上，即 Fx Fxy cos
4
F sin cos Fy Fxy sin F sin sin
F
Fxy
MO ( F ) Fbi
空间力系
力的投影 力对轴之矩 合力矩定理 平衡方程 重心坐标 求重心法 小 结 总 结
第3-6节 重心坐标公式
• 1 重心坐标的一般公式：
Xc = Yc = Zc =
∑ PX
i
i
∑
P Pi Y i
P ∑ Pi Z i P
2 均质物体的重心坐标公式： 均质物体的重心坐标公式：
Xc = Yc = Zc =
3 薄板的重心： 薄板的重心：
空间平行力系的平衡方程： 空间平行力系的平衡方程：
∑X =0 ∑Y = 0 ∑Z = 0
}
重心坐标
∑ m x (F ) ≡ 0 ∑ m y (F ) ≡ 0 ∑ m z (F ) ≡ 0
自然满足
力的投影 力对轴之矩 合力矩定理 平衡方程
∑Z = 0 ∑ mx (F ) = 0 ∑ my (F ) = 0
X A + 473 − 466 − 746 cos 20° = 0 X A = 729N
∑ m x ( F ) = 0,
200 Z B + 300 × 1400 − 50 × 746 sin 20 ° = 0 Z B = − 2040 N
200 Z B + 300 PZ − 50Q sin 20 ° = 0
物体重心的求法
2 分割法 它是将形状比较复杂的物体
分成几个部分，这些部分形状简单， 分成几个部分，这些部分形状简单， 其重心位置容易确定， 其重心位置容易确定，再根据重心坐 标公式求出组合形体的重心。 标公式求出组合形体的重心。
力的投影 力对轴之矩 合力矩定理 平衡方程
重心坐标
求重心法
小 结
总 结
例: 已知：Z 形截面，尺寸如图。 求：该截面的重心位置。 解：(1)组合法: 将该截面分割为三部分， 取Oxy直角坐标系，如图。
第3-6节 重心坐标公式
• 1 重心坐标的一般公式：
Xc = Yc = Zc =
∑ PX
i
i
∑
P Pi Y i
P ∑ Pi Z i P
2 均质物体的重心坐标公式： 均质物体的重心坐标公式：
Xc = Yc = Zc =
3 薄板的重心： 薄板的重心：
空间平行力系的平衡方程： 空间平行力系的平衡方程：
∑X =0 ∑Y = 0 ∑Z = 0
}
重心坐标
∑ m x (F ) ≡ 0 ∑ m y (F ) ≡ 0 ∑ m z (F ) ≡ 0
自然满足
力的投影 力对轴之矩 合力矩定理 平衡方程
∑Z = 0 ∑ mx (F ) = 0 ∑ my (F ) = 0
X A + 473 − 466 − 746 cos 20° = 0 X A = 729N
∑ m x ( F ) = 0,
200 Z B + 300 × 1400 − 50 × 746 sin 20 ° = 0 Z B = − 2040 N
200 Z B + 300 PZ − 50Q sin 20 ° = 0
物体重心的求法
2 分割法 它是将形状比较复杂的物体
分成几个部分，这些部分形状简单， 分成几个部分，这些部分形状简单， 其重心位置容易确定， 其重心位置容易确定，再根据重心坐 标公式求出组合形体的重心。 标公式求出组合形体的重心。
力的投影 力对轴之矩 合力矩定理 平衡方程
重心坐标
求重心法
小 结
总 结
例: 已知：Z 形截面，尺寸如图。 求：该截面的重心位置。 解：(1)组合法: 将该截面分割为三部分， 取Oxy直角坐标系，如图。
工程力学上—空间力系
1）悬挂法
2）称重法
TG
60
5m G
TH
C
D
YA 20kN ZA 69kN
60
45
ZA
A
45 YA
5m y
P
H XA
例4 用六根杆 支撑正方形板ABCD如图所 图示计解，，板: 以建水的板立平自为如力 重研图，P究坐求沿对标各水象。杆平，的方受内向力力作如。用在PA点S，A6 不S5B5B1
6
C
4
S4 S1
4.6 重心
4.6.1平行力系中心
平行力系中心是平行力系合力通过的 一个点。平行力系合力作用点的位置仅与 各平行力的大小和作用点的位置有关, 而与 各平行力的方向无关。称该点为此平行力 系的中心。
4.6.2 重心
重力是地球对物体的吸引力, 如果 将物体由无数的质点组成, 则重力便构 成空间汇交力系。由于物体的尺寸比地 球小得多, 因此可近似地认为重力是个 平行力系, 这力系的合力就是物体的重 量。不论物体如何放置, 其重力的合力 的作用线相对于物体总是通过一个确定
求两绳的拉力和支座A的约
束反力。
2m
z
B
60
G
C
D
3m 2m
45 A
P
60
45
y
Hx
解: 以立柱和臂杆组成的系统为研究对象，受力如图，建立如 图所示的坐标系。
列平衡方程:
X 0 : X A TH cos 60 sin 45 TG cos 60 sin 45 0
Y 0 : YA TH cos 60 cos 45 TG cos 60 cos 45 0
对于均质物体、均质板或均质杆，其重心坐标分别为:
xdV
2）称重法
TG
60
5m G
TH
C
D
YA 20kN ZA 69kN
60
45
ZA
A
45 YA
5m y
P
H XA
例4 用六根杆 支撑正方形板ABCD如图所 图示计解，，板: 以建水的板立平自为如力 重研图，P究坐求沿对标各水象。杆平，的方受内向力力作如。用在PA点S，A6 不S5B5B1
6
C
4
S4 S1
4.6 重心
4.6.1平行力系中心
平行力系中心是平行力系合力通过的 一个点。平行力系合力作用点的位置仅与 各平行力的大小和作用点的位置有关, 而与 各平行力的方向无关。称该点为此平行力 系的中心。
4.6.2 重心
重力是地球对物体的吸引力, 如果 将物体由无数的质点组成, 则重力便构 成空间汇交力系。由于物体的尺寸比地 球小得多, 因此可近似地认为重力是个 平行力系, 这力系的合力就是物体的重 量。不论物体如何放置, 其重力的合力 的作用线相对于物体总是通过一个确定
求两绳的拉力和支座A的约
束反力。
2m
z
B
60
G
C
D
3m 2m
45 A
P
60
45
y
Hx
解: 以立柱和臂杆组成的系统为研究对象，受力如图，建立如 图所示的坐标系。
列平衡方程:
X 0 : X A TH cos 60 sin 45 TG cos 60 sin 45 0
Y 0 : YA TH cos 60 cos 45 TG cos 60 cos 45 0
对于均质物体、均质板或均质杆，其重心坐标分别为:
xdV
第六章空间力系
B
30
D
G E
5m
60
45
45
A
桅杆式起重机可简化为如 图 所 示 结 构 。 AC 为 立 柱 ， BC ， CD和CE均为钢索，AB为起重 杆。A端可简化为球铰链约束。 设B点滑轮上起吊重物的重量 G=20 kN，AD=AE=6 m，其余 尺寸如图。起重杆所在平面 ABC与对称面ACG重合。不计 立柱和起重杆的自重，求起重 杆AB、立柱AC和钢索CD，CE 所受的力。
力对轴的矩
空间力对轴的矩是个代 数量,它等于这个力在 垂直于该轴的平面内的 投影对于这平面与该轴 交点的矩。
z
B F
A
o
y
d
B
x
A Fxy
Fxy F cos
Mz (F) Mo(Fxy ) Fxy h
例题6-5
已知：F,l, a, 求：M x F , M y F , M z F
解：把力 F分解如图
F3 2 2P
力对点的矩的矢量表示
❖ 对于平面力系，力对该平面内一点的矩有大小和 转向两个要素，所以可用代数量表示；
❖ 对于空间力系，不仅要考虑力矩的大小、转向， 还要注意力与矩心所组成的平面的方位。方位不 同，即使力矩大小一样，作用效果将完全不同。
力矩的大小 力矩的转向该 力矩作用面的方位
力对点的 矩三要素
这三个要素可以用一个矢量来表示:
Fz Fn sin Fxy Fn cos Fx Fxy sin Fn cos sin Fy Fxy cos Fn cos cos
例题6-2
已知：物重P=10kN，CE=EB=DE； 300
求：杆受力及绳拉力
解：画受力图如图， 列平衡方程
Fx 0
第6章 空间力系+静力学总结
殊力系。
z
y x
二、空间力偶系合成和平衡
1、空间力偶系的合成
M
空间力偶系的合成结 果仍然是一个力偶，其
力偶矩矢量等于原力偶
系中所有力偶矩矢量之
和。即
n
M Mi i 1
上式的解析表达式为
M M xi M y j M zk
n
M x M ix i1
n
M y M iy i1
n
M z M iz i1
例题6-4 传动轴上圆柱斜齿轮所受的总啮合力为Fn，齿 轮压力角为α，螺旋角为β，节圆半径为r。
求该力对于各坐标轴之矩。
Ft
Fr
Fa
Ft Fa
Ft Fncoscos Fa Fncossin
Fr Fnsin
MMMxxxx(((FFFnnn)))MMMMxxx(x((F(FFFt)ttt)))MMMMx (xxFx(((aFF)Faaa)))MMMxM(Fxxxr((()FFFrrr)))
FFxx22
FFF222sssiinnin66600000 o110010000000 2233
38866668NN66 N 2
FFFyyy222 FFF222cccooosss66600000 o55005000NN0 N
FFFzz22 z2
000
对F3 应采用二次投影法
Fx F sin cos
第六章 空间力系
空间力系：力的作用线不位于同一平面内。
空间力系包括： 空间汇交力系 空间力偶系 空间任意力系
§6-1 空间汇交力系
一、空间力沿直角坐标轴的投影和分解
1、直接投影法
已知力 F 与三个坐标 轴的夹角，则该力在 三个轴上的投影为
z
y x
二、空间力偶系合成和平衡
1、空间力偶系的合成
M
空间力偶系的合成结 果仍然是一个力偶，其
力偶矩矢量等于原力偶
系中所有力偶矩矢量之
和。即
n
M Mi i 1
上式的解析表达式为
M M xi M y j M zk
n
M x M ix i1
n
M y M iy i1
n
M z M iz i1
例题6-4 传动轴上圆柱斜齿轮所受的总啮合力为Fn，齿 轮压力角为α，螺旋角为β，节圆半径为r。
求该力对于各坐标轴之矩。
Ft
Fr
Fa
Ft Fa
Ft Fncoscos Fa Fncossin
Fr Fnsin
MMMxxxx(((FFFnnn)))MMMMxxx(x((F(FFFt)ttt)))MMMMx (xxFx(((aFF)Faaa)))MMMxM(Fxxxr((()FFFrrr)))
FFxx22
FFF222sssiinnin66600000 o110010000000 2233
38866668NN66 N 2
FFFyyy222 FFF222cccooosss66600000 o55005000NN0 N
FFFzz22 z2
000
对F3 应采用二次投影法
Fx F sin cos
第六章 空间力系
空间力系：力的作用线不位于同一平面内。
空间力系包括： 空间汇交力系 空间力偶系 空间任意力系
§6-1 空间汇交力系
一、空间力沿直角坐标轴的投影和分解
1、直接投影法
已知力 F 与三个坐标 轴的夹角，则该力在 三个轴上的投影为
空间力系和重心
空间力系和重心空间力系和重心各力的作用线不在同一平面内的力系，称为空间力系。
与平面力系类似，空间力系可分为空间汇交力系、空间力偶系和空间任意力系来研究。
空间力系和重心6.1空间力沿坐标轴的分解与投影直接投影法zF= Fx+ Fy+ Fz= Xi+ Yj+ Zk其中，FzαγZkFxFβ Y FyX= F cosα Y= F cosβ Z= F cosγXjixy空间力系和重心二次投影法zX= Fxy cos = F sinγ cos Y= Fxy sin = F sinγ sin Z= F cosγZγkFYj i X Fxyy注意，力在轴上的投影是代数量，而力在平面上的投影是矢量。
x空间力系和重心力的大小和方向余弦：zF= X 2+Y 2+ Z2X cos( F, i )= F Y cos( F, j )= F Z cos( F, k )= FZγkFYj i X Fxyyx空间力系和重心6.2力对点之矩和力对轴的矩6.2.1力对点之矩力对点的力矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积，表示为，M O (F )FOrMO ( F )= r× F空间力系和重心若矢径rz和力F分别为M O (F )B Fr= xi+ yj+ zk F= Xi+ Yj+ Zki则，M O ( F )= r× F= x X j y Y k z Z kOrA( x, y, z )ijyx= ( yZ zY )i+ ( zX xZ ) j+ ( xY yX )k空间力系和重心由此可知力矩矢M O (F )在三个坐标轴上的投影分别为：M Ox ( F )= yZ zY M Oy ( F )= zX xZ M Oz ( F )= xY yX(6 1)力矩矢的始端必须在矩心，不可任意移动，为一定位矢量。
空间力系和重心6.2.2力对轴之矩为度量力对绕定轴转动刚体的作用效应，引入力对轴的矩的概念。
空间力系和重心力对轴的矩的概念作用于刚体的力F对z轴的定义为：M Z ( F )= M O ( Fxy )=± Fxy hM z (F )F这样，空间力对轴之矩归结为平面上的力对点之矩，即力F对任一轴z之矩，等于这力在垂直于z轴的平面内的分量Fxy对该平面和z轴交点O之矩。
空间力系—力对点的矩和力对轴的矩(理论力学)
力矩矢和力对轴的矩
一、力对点的矩以矢量表示 力矩矢
z
B MO(F)
力矩大小: F×h
力矩矢MO(F)三要素
力矩转向 由矢径r绕向F 力矩作用面方位
A(x,y,z)
O
r
y
h
x
方位与力矩作用面的法线相同，按右手螺旋法则确定。
二、力矩矢计算
力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。
z
MO(F)= r×F
例2 构件在A点受到作用力F =1000N作用，方向如图所示。图中A点在Oxy平面内。试求： 力F对坐标轴的矩。
解：将力F分解为Fx、Fy、Fz
Fx F cos45 sin 60 612N Fy F cos45 cos60 353N Fz F sin 45 707N
M x (F ) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz ) 0 0 707 0.06 42.42N m
单位矢量i、j、k前面的三个系数，分别表示力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投影，即
[MO(F)]x= yFz-zFy [MO(F)]y= zFx-xFz [MO(F)]z= xFy-yFy
由于力矩矢量MO(F)的大小和方向都与矩心O的位置有关，故力矩矢的始端必须在矩心， 不可挪动，这种矢量称为定位矢量。
M x (F ) yFz zFy
M
y
(F )
zFx
xFz
M z (F ) xFy yFx
其中，（x , y , z ）为力 F 作用点的坐标，Fx、Fy、Fz 为力 F 在
x 、y、z 轴上的投影。
四、力对点之矩与力对通过该点的轴的矩的关系
例2 构件在A点受到作用力F =1000N作用，方向如图所示。图中A点在Oxy平面内。试求： 力F对坐标轴的矩。
一、力对点的矩以矢量表示 力矩矢
z
B MO(F)
力矩大小: F×h
力矩矢MO(F)三要素
力矩转向 由矢径r绕向F 力矩作用面方位
A(x,y,z)
O
r
y
h
x
方位与力矩作用面的法线相同，按右手螺旋法则确定。
二、力矩矢计算
力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。
z
MO(F)= r×F
例2 构件在A点受到作用力F =1000N作用，方向如图所示。图中A点在Oxy平面内。试求： 力F对坐标轴的矩。
解：将力F分解为Fx、Fy、Fz
Fx F cos45 sin 60 612N Fy F cos45 cos60 353N Fz F sin 45 707N
M x (F ) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz ) 0 0 707 0.06 42.42N m
单位矢量i、j、k前面的三个系数，分别表示力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投影，即
[MO(F)]x= yFz-zFy [MO(F)]y= zFx-xFz [MO(F)]z= xFy-yFy
由于力矩矢量MO(F)的大小和方向都与矩心O的位置有关，故力矩矢的始端必须在矩心， 不可挪动，这种矢量称为定位矢量。
M x (F ) yFz zFy
M
y
(F )
zFx
xFz
M z (F ) xFy yFx
其中，（x , y , z ）为力 F 作用点的坐标，Fx、Fy、Fz 为力 F 在
x 、y、z 轴上的投影。
四、力对点之矩与力对通过该点的轴的矩的关系
例2 构件在A点受到作用力F =1000N作用，方向如图所示。图中A点在Oxy平面内。试求： 力F对坐标轴的矩。
理论力学----第六章 空间力系
由图可知os , Z F cos g
3、二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向夹角不易
确定时，可先将 F 投影到xy 面上，然后再投影到x、y轴上， 即 X F sing cos Fxy cos F cos cos
对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。 又由于 mO ( F )r F [mO ( F )]x i [mO ( F )]y j [mO ( F )]z k
mx ( F )i my ( F ) j mz ( F )k
所以力对点O的矩为：
mO ( F ) ( m x ( F )) 2 ( m y ( F )) 2 ( m z ( F )) 2
∴解析法平衡充要条件为：
X 0 Y 0 Z 0
称为平衡方程 空间汇交力系的平衡方程
9
§6-2
一、力偶矩用矢量表示：
空间力偶系
由于空间力偶除大小、转向外，还必须确定力偶的作用面，
所以空间力偶矩必须用矢量表示。 力偶的转向为右手螺旋定则。 从力偶矢末端看去，逆时针转动
为正。
空间力偶是一个自由矢量！
由于空间力偶系是自由矢量，只要方向不变，可移至任意 一点，故可使其滑至汇交于某点，由于是矢量，它的合成符合 矢量运算法则。 合力偶矩 = 分力偶矩的矢量和
12
m m1 m2 m3 mn mi
i 1
n
m
2 m 2 m 2 ;cos mx y z
my mx mz ,cos ,cosg m m m
my (F ) mx ( F ) m (F ) cos ,cos ,cosg z mO ( F ) mO ( F ) mO ( F )
19
3、二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向夹角不易
确定时，可先将 F 投影到xy 面上，然后再投影到x、y轴上， 即 X F sing cos Fxy cos F cos cos
对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。 又由于 mO ( F )r F [mO ( F )]x i [mO ( F )]y j [mO ( F )]z k
mx ( F )i my ( F ) j mz ( F )k
所以力对点O的矩为：
mO ( F ) ( m x ( F )) 2 ( m y ( F )) 2 ( m z ( F )) 2
∴解析法平衡充要条件为：
X 0 Y 0 Z 0
称为平衡方程 空间汇交力系的平衡方程
9
§6-2
一、力偶矩用矢量表示：
空间力偶系
由于空间力偶除大小、转向外，还必须确定力偶的作用面，
所以空间力偶矩必须用矢量表示。 力偶的转向为右手螺旋定则。 从力偶矢末端看去，逆时针转动
为正。
空间力偶是一个自由矢量！
由于空间力偶系是自由矢量，只要方向不变，可移至任意 一点，故可使其滑至汇交于某点，由于是矢量，它的合成符合 矢量运算法则。 合力偶矩 = 分力偶矩的矢量和
12
m m1 m2 m3 mn mi
i 1
n
m
2 m 2 m 2 ;cos mx y z
my mx mz ,cos ,cosg m m m
my (F ) mx ( F ) m (F ) cos ,cos ,cosg z mO ( F ) mO ( F ) mO ( F )
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B F A(x,y,z) y
z 以r表示力作用点A的矢径，则 M O (F ) r F MO(F) 以矩心O为原点建立坐标系，则 r xi y j z k k r O j F Fx i Fy j Fz k i h x i j k M O (F ) r F y z = x Fx Fy Fz ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
可进一步简化成一合力
合力的大小和方向与主矢相等，
FR FR
作用线距简化中心O的距离
d
MO
MO FR
O O
O
（a)
FR'
FR
O'
d
FR
O'
d
FR
FR
(b)
(c)
合力矩定理：合力对某点（或轴）之矩等于各分力 对同一点（或轴）之矩的矢量（代数）和。
// MO (b) FR
原力系简化成力螺旋，即力与力偶作用面垂直。例如
My M
,
Mz cos( M , k ) M
显然空间力偶系平衡的必要与充分条件是合力矩偶矢 为零，即
2 2 M Mx My M z2
( M xi ) 2 ( M yi ) 2 ( M zi ) 2 0
平衡方程是
M
xi
0,
M
yi
0,
M
zi
0
§6-3 力对点的矩与力对轴的矩
并有关系
Fi Fi , Mi MO (Fi ) (i 1,2,, n)
然后，再分别将汇交力系和力偶系合成，得到一力FR’和 一力偶MO 。该力的大小和方向称为原力系的主矢，作用 线过简化中心O；该力偶称为原力系对简化中心O的主矩。 主矢和主矩的计算与空间汇交力系的合力和空间力偶系 的合力偶相同。
Fx F sin g cos j Fy F sin g sin j Fz F cos g
x Fx
z
Fz
g j
F Fy
y
Fxy
2. 空间汇交力系的合力 与平面汇交力系类似，空间汇交力系的合力等于各分力 的矢量和，合力的作用线通过汇交点。即
FR F1 F2 Fn Fi FR Fi ( Fxi i Fyi j Fzi k )
§6-4 空间任意力系向一点的简化•主矢和主矩
1.空间任意力系向一点的简化
与平面任意力系向一点的简化相同，空间任意力 系向一点的简化的理论根据也是力线平移定理。
刚体上作用空间任意力系F1，F2，…，Fn.。用力线平移定 理，将所有力向任意选定的简化中心O平移，同时附加一 个力偶 。这样，原空间任意力系就被空间汇交力系和空间 力偶系等效代替。
MO 0
力系可合成一个合力偶，其矩等于原力系对于简化中心 的主矩MO 。此时主矩与简化中心O的位置无关。
0, (2) FR 0, (3) FR
MO 0 MO 0
力系可合成为一个合力，合力的作用线过简化中心O，大小 和方向与主矢相同。 此时分三种情况讨论。
MO (a) FR
B
F
A(x,y,z) y
2. 力对轴的矩 工程中，经常遇到刚体绕定轴转动的情形，为了度量力 使刚体绕定轴转动的效果，有必要了解力对轴的矩的概念。
z 力F对z 轴的矩定义为：
M z (F ) M O (Fxy ) Fxy h 2 AOab
力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果 的度量，是一个代数量，其绝对值等于 力在垂直于该轴平面上的投影对于轴与 平面交点的矩。 O x h
3. 空间汇交力系的平衡条件和平衡方程 由于一般空间汇交力系 的最终简化结果为一合力， 因此，空间汇交力系平衡的必要与充分条件为：该合力 等于零，即
FR F1 F2 Fn Fi 0
i 1
n
由FR的大小
FR Fx2 Fy2 Fz2 ( Fxi ) 2 ( Fyi ) 2 ( Fzi ) 2
F A
B
a
Fxy
b
y
符号规定：从 z 轴正向看，若力使刚体逆时针转则取 正号，反之取负。也可按右手螺旋法则确定其正负号。 由定义可知： (1) 当力的作用线与轴平行或相交 (共面)时，力对轴的矩等于零。(2)当力沿作用线移动 时，它对于轴的矩不变。
z
设力 F沿三个坐标轴的分量分别为 Fx， Fy，Fz，力作用点A的坐标为(x,y,z)，则
0, FR
0,
n
MO 0
F
i 1
n
xi
F
i 1
yi
0,
F
i 1
n
zi
0
M
x
(Fi ) 0,
由力偶的性质可知：力偶的作用效果取决于力偶矩 的大小、力偶转向和作用面方位。因此可用一矢量M表 示：选定比例尺，用M的模表示力偶矩的大小；M的指 向按右手螺旋法则表示力偶的转向； M的作用线与力偶 作用面的法线方位相同。如图所示。 M称为力偶矩矢。
力偶矩矢为一自由矢量。 空间力偶的等效定理是： 凡矩矢相等的力偶为等效力偶。
B F
A(x,y,z) y
z 力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投 影为 MO(F) [ M O ( F )]x yFz zFy [ M O ( F )] y zFx xFz k r O [ M O ( F )]z xFy yFx j x i h
C
z
A y
S
S 1414 N
TC TD 559N
B
P
§6-2 空间力偶理论
1、空间力偶的等效定理 力偶由一个平面平行移至刚体另一个平行平面不 影响它对刚体的作用效果。
R F'
A B F O R' F1
F2
B1
A1 F'1 F'2
空间力偶的等效条件 作用面平行的两个力偶，若其力偶矩大小相等，转向相 同，则两力偶等效。
可得平衡方程
F
i 1
n
xi
0,
F
i 1
n
yi
0,
F
i 1
n
zi
0
例1 重为P的物体用杆AB和位于同一水平面的绳索AC与AD支承，如图。已知 P＝1000N，CE＝ED＝12cm，EA＝24cm， ＝ 45°，不计杆重；求绳索的 拉力和杆所受的力。 解：以铰A为研究对象，受力如图。
力螺旋不能进一步的合成为一个力或力偶。
MO (c) FR
这是最一般的情况，可进一步简化成力螺旋。因此，在 一般的情况下空间任意力系可合成为力螺旋。
0, (4) FR
MO 0
这就是下节要讨论的空间任意力系的平衡
§6–5 空间任意力系的平衡方程
1 . 空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的必要与充分条件是：该力系的主矢 和对任意点的主矩都为零。即 平衡方程是
n
合力矢FR的大小和方向余弦为
大小
FR Fx2 Fy2 Fz2 ( Fxi ) ( Fyi ) ( Fzi )
2 2 2
方向余弦
Fx Fxi cos( FR , i ) FR FR Fy Fyi cos( FR , j ) FR FR Fz Fzi cos( FR , k ) FR FR
i 1 i 1 n n i 1
n
合力在x、y、z轴的投影为
Fx Fx1 Fx 2 Fxn Fxi i 1 n Fy Fy1 Fy 2 Fyn Fyi i 1 n Fz Fz1 Fz 2 Fzn Fzi i 1
第六章
空间力系和重心
§6-1 空间汇交力系
1、力在直角坐标轴的投影
若已知力与正交坐标系Oxyz三轴间夹角，则用直 接投影法
z
Fx F cos( F , i ) Fy F cos( F , j ) Fz F cos( F , k )
x
Fx i k
Fz F j
Fy
y
当力与坐标轴Ox 、Oy间的夹角不易确定时，可把 力F先投影到坐标平面Oxy上，得到力Fxy，然后再把这 个力投影到x 、y轴上，这叫间接（二次）投影法。
即：力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力 对该轴的矩。
利用这个关系来计算力对点的矩和力对轴的矩往往较为方便。
z F
g
B
A y
O x a Fxy b A A’ O P
F
g
B
g
B’
b
y
a
Fxy
例题
手柄 ABCE 在平面 Axy 内 , 在 D 处作用一个力 F ，如图所 示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为q。如 果 CD=b， 杆BC平行于 x轴, 杆 CE平行于 y轴， AB和 BC的长 度都等于l。试求力F 对x，y和z三轴的矩。
n
其合力偶矢的大小和方向的计算与空间汇交力系的 合力的大小和方向的计算完全相同。 合力偶矢的大小
2 2 M Mx My M z2
( M xi ) 2 ( M yi ) 2 ( M zi ) 2
方向余弦为
Mx cos( M , i ) , M
cos( M , j )
z
Fz F B Fy
M z ( F ) M O ( Fxy ) M O ( Fx ) M O ( Fy ) xFy yFx
A(x,y,z)
Fx
O y a x Fxy b Fx y Fy
z 以r表示力作用点A的矢径，则 M O (F ) r F MO(F) 以矩心O为原点建立坐标系，则 r xi y j z k k r O j F Fx i Fy j Fz k i h x i j k M O (F ) r F y z = x Fx Fy Fz ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
可进一步简化成一合力
合力的大小和方向与主矢相等，
FR FR
作用线距简化中心O的距离
d
MO
MO FR
O O
O
（a)
FR'
FR
O'
d
FR
O'
d
FR
FR
(b)
(c)
合力矩定理：合力对某点（或轴）之矩等于各分力 对同一点（或轴）之矩的矢量（代数）和。
// MO (b) FR
原力系简化成力螺旋，即力与力偶作用面垂直。例如
My M
,
Mz cos( M , k ) M
显然空间力偶系平衡的必要与充分条件是合力矩偶矢 为零，即
2 2 M Mx My M z2
( M xi ) 2 ( M yi ) 2 ( M zi ) 2 0
平衡方程是
M
xi
0,
M
yi
0,
M
zi
0
§6-3 力对点的矩与力对轴的矩
并有关系
Fi Fi , Mi MO (Fi ) (i 1,2,, n)
然后，再分别将汇交力系和力偶系合成，得到一力FR’和 一力偶MO 。该力的大小和方向称为原力系的主矢，作用 线过简化中心O；该力偶称为原力系对简化中心O的主矩。 主矢和主矩的计算与空间汇交力系的合力和空间力偶系 的合力偶相同。
Fx F sin g cos j Fy F sin g sin j Fz F cos g
x Fx
z
Fz
g j
F Fy
y
Fxy
2. 空间汇交力系的合力 与平面汇交力系类似，空间汇交力系的合力等于各分力 的矢量和，合力的作用线通过汇交点。即
FR F1 F2 Fn Fi FR Fi ( Fxi i Fyi j Fzi k )
§6-4 空间任意力系向一点的简化•主矢和主矩
1.空间任意力系向一点的简化
与平面任意力系向一点的简化相同，空间任意力 系向一点的简化的理论根据也是力线平移定理。
刚体上作用空间任意力系F1，F2，…，Fn.。用力线平移定 理，将所有力向任意选定的简化中心O平移，同时附加一 个力偶 。这样，原空间任意力系就被空间汇交力系和空间 力偶系等效代替。
MO 0
力系可合成一个合力偶，其矩等于原力系对于简化中心 的主矩MO 。此时主矩与简化中心O的位置无关。
0, (2) FR 0, (3) FR
MO 0 MO 0
力系可合成为一个合力，合力的作用线过简化中心O，大小 和方向与主矢相同。 此时分三种情况讨论。
MO (a) FR
B
F
A(x,y,z) y
2. 力对轴的矩 工程中，经常遇到刚体绕定轴转动的情形，为了度量力 使刚体绕定轴转动的效果，有必要了解力对轴的矩的概念。
z 力F对z 轴的矩定义为：
M z (F ) M O (Fxy ) Fxy h 2 AOab
力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果 的度量，是一个代数量，其绝对值等于 力在垂直于该轴平面上的投影对于轴与 平面交点的矩。 O x h
3. 空间汇交力系的平衡条件和平衡方程 由于一般空间汇交力系 的最终简化结果为一合力， 因此，空间汇交力系平衡的必要与充分条件为：该合力 等于零，即
FR F1 F2 Fn Fi 0
i 1
n
由FR的大小
FR Fx2 Fy2 Fz2 ( Fxi ) 2 ( Fyi ) 2 ( Fzi ) 2
F A
B
a
Fxy
b
y
符号规定：从 z 轴正向看，若力使刚体逆时针转则取 正号，反之取负。也可按右手螺旋法则确定其正负号。 由定义可知： (1) 当力的作用线与轴平行或相交 (共面)时，力对轴的矩等于零。(2)当力沿作用线移动 时，它对于轴的矩不变。
z
设力 F沿三个坐标轴的分量分别为 Fx， Fy，Fz，力作用点A的坐标为(x,y,z)，则
0, FR
0,
n
MO 0
F
i 1
n
xi
F
i 1
yi
0,
F
i 1
n
zi
0
M
x
(Fi ) 0,
由力偶的性质可知：力偶的作用效果取决于力偶矩 的大小、力偶转向和作用面方位。因此可用一矢量M表 示：选定比例尺，用M的模表示力偶矩的大小；M的指 向按右手螺旋法则表示力偶的转向； M的作用线与力偶 作用面的法线方位相同。如图所示。 M称为力偶矩矢。
力偶矩矢为一自由矢量。 空间力偶的等效定理是： 凡矩矢相等的力偶为等效力偶。
B F
A(x,y,z) y
z 力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投 影为 MO(F) [ M O ( F )]x yFz zFy [ M O ( F )] y zFx xFz k r O [ M O ( F )]z xFy yFx j x i h
C
z
A y
S
S 1414 N
TC TD 559N
B
P
§6-2 空间力偶理论
1、空间力偶的等效定理 力偶由一个平面平行移至刚体另一个平行平面不 影响它对刚体的作用效果。
R F'
A B F O R' F1
F2
B1
A1 F'1 F'2
空间力偶的等效条件 作用面平行的两个力偶，若其力偶矩大小相等，转向相 同，则两力偶等效。
可得平衡方程
F
i 1
n
xi
0,
F
i 1
n
yi
0,
F
i 1
n
zi
0
例1 重为P的物体用杆AB和位于同一水平面的绳索AC与AD支承，如图。已知 P＝1000N，CE＝ED＝12cm，EA＝24cm， ＝ 45°，不计杆重；求绳索的 拉力和杆所受的力。 解：以铰A为研究对象，受力如图。
力螺旋不能进一步的合成为一个力或力偶。
MO (c) FR
这是最一般的情况，可进一步简化成力螺旋。因此，在 一般的情况下空间任意力系可合成为力螺旋。
0, (4) FR
MO 0
这就是下节要讨论的空间任意力系的平衡
§6–5 空间任意力系的平衡方程
1 . 空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的必要与充分条件是：该力系的主矢 和对任意点的主矩都为零。即 平衡方程是
n
合力矢FR的大小和方向余弦为
大小
FR Fx2 Fy2 Fz2 ( Fxi ) ( Fyi ) ( Fzi )
2 2 2
方向余弦
Fx Fxi cos( FR , i ) FR FR Fy Fyi cos( FR , j ) FR FR Fz Fzi cos( FR , k ) FR FR
i 1 i 1 n n i 1
n
合力在x、y、z轴的投影为
Fx Fx1 Fx 2 Fxn Fxi i 1 n Fy Fy1 Fy 2 Fyn Fyi i 1 n Fz Fz1 Fz 2 Fzn Fzi i 1
第六章
空间力系和重心
§6-1 空间汇交力系
1、力在直角坐标轴的投影
若已知力与正交坐标系Oxyz三轴间夹角，则用直 接投影法
z
Fx F cos( F , i ) Fy F cos( F , j ) Fz F cos( F , k )
x
Fx i k
Fz F j
Fy
y
当力与坐标轴Ox 、Oy间的夹角不易确定时，可把 力F先投影到坐标平面Oxy上，得到力Fxy，然后再把这 个力投影到x 、y轴上，这叫间接（二次）投影法。
即：力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力 对该轴的矩。
利用这个关系来计算力对点的矩和力对轴的矩往往较为方便。
z F
g
B
A y
O x a Fxy b A A’ O P
F
g
B
g
B’
b
y
a
Fxy
例题
手柄 ABCE 在平面 Axy 内 , 在 D 处作用一个力 F ，如图所 示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为q。如 果 CD=b， 杆BC平行于 x轴, 杆 CE平行于 y轴， AB和 BC的长 度都等于l。试求力F 对x，y和z三轴的矩。
n
其合力偶矢的大小和方向的计算与空间汇交力系的 合力的大小和方向的计算完全相同。 合力偶矢的大小
2 2 M Mx My M z2
( M xi ) 2 ( M yi ) 2 ( M zi ) 2
方向余弦为
Mx cos( M , i ) , M
cos( M , j )
z
Fz F B Fy
M z ( F ) M O ( Fxy ) M O ( Fx ) M O ( Fy ) xFy yFx
A(x,y,z)
Fx
O y a x Fxy b Fx y Fy