同济第六版《高等数学》教案WORD版-第02章-导数与微分
同济大学高等数学《导数及其应用》word教案
同济大学高等数学《导数及其应用》w o r d教案(总35页)
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第 9 次课 2 学时
第二章 导数与微分
导数和微分是高等数学中的重要内容之一，也是今后讨论一切问题的基础。导数数大体上变化多少，它从根本上反映了函数的变化情况。本章主要学习和讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法，以后将陆续的介绍它们的用途。
§2、1 导数的概念 一、 引例 1、
切线问题：切线的概念在中学已见过。从几何上看，在某点的切线就是一直
线，它在该点和曲线相切。准确地说，曲线在其上某点P 的切线是割线PQ 当Q 沿该曲线无限地接近于P 点的极限位置。
设曲线方程为)(x f y =，设P 点的坐标为),(00y x p ，动点Q 的坐标为),(y x Q ，要求出曲线在P 点的切线，只须求出P 点切线的斜率k 。由上知，k 恰好为割线PQ 的斜率的极限。我们不难求得PQ 的斜率为：
0)
()(x x x f x f --；因此，当Q P →时，其极限
存在的话，其值就是k ，即0
0)
()(lim
x x x f x f k x x --=→。
若设α为切线的倾角，则有αtan =k 。
2、速度问题：设在直线上运动的一质点的位置方程为)(t s s =（t 表示时刻），又设当
t 为0t 时刻时，位置在)(0t s s =处，问：质点在0t t =时刻的瞬时速度是多少？
为此，可取0t 近邻的时刻t ，0t t >，也可取0t t <，在由0t 到t 这一段时间内，质点的平均速度为
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高等数学 第二章 导数与微分
当
u
C （C
为常数）时，有
C v
Cv v2
．
二、反函数的求导法则
定理 2 如果函数 x f ( y) 在区间 I y 内单调、可导且 f ( y) 0 ，那么它的反函数 y f 1(x) 在
区间 Ix {x | x f ( y) ，y I y} 内也可导，且有
[ f 1(x)] 1 或 dy 1 ．
f ( y)
dx dx
dy
三、复合函数的求导法则
定理 3 设 u (x) 在点 x 处可导，函数 y f (u) 在对应点 u 处可导，则复合函数 y f [(x)] 在点 x 处也可导，并且 dy dy du ，
dx du dx 或记为 y(x) f (u) (x) ， yx yu ux ． 定理 3 可推广到有限次复合的情形，例如，设函数 y f (u) ， u (v) ， v (x) ，则复合函 数 y f {[ (x)]} 的导数为 dy dy du dv ．
第二节
导数的运算
一、函数的和、差、积、商的求导法则
定理 1 设 u u(x) 和 v v(x) 在点 x 处可导，则 u v ， uv ， u (v 0) 在点 x 处也可导，且 v
有下列法则．
（1）
[u
v]
u
v
．（2）
[uv]
uv
同济大学(高等数学)-第二章-导数与微分
第二篇 一元函数微积分
第二章 导数与微分
微积分学包含微分学和积分学两部分，而导数和微分是微分学的核心概念．导数反映了函数相对于自变量的变化的快慢程度，微分则指明了当自变量有微小变化时,函数大体上变化了多少,即函数的局部改变量的估值．本章主要讨论导数和微分的概念、性质以及计算方法和简单应用．
第1节 导数的概念
1.1 导数概念的引入
1。1。1 质点做变速直线运动的瞬时速度问题
现有一质点做变速直线运动，质点的运动路程s 与运动时间t 的函数关系式记为
()s s t =，求在0t 时刻时质点的瞬时速度0()v t 为多少？
整体来说速度是变化的，但局部来说速度可以近似看成是不变的．设质点从时刻0t 改变到时刻0t t +∆，在时间增量t ∆内，质点经过的路程为00()()s s t t s t ∆=+∆-，在t ∆时间内的平均速度为
00()()
s t t s t s v t t
+∆-∆=
=
∆∆， 当时间增量t ∆越小时，平均速度v 越接近于时刻0t 的瞬时速度0()v t ,于是当0t ∆→时，v 的极限就是质点在时刻0t 时的瞬时速度0()v t ，即
000
00()()()lim lim
lim t t t s t t s t s
v t v t t
∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆． 1.1.2 平面曲线的切线斜率问题
已知曲线:()C y f x =，求曲线C 上点000(,)M x y 处的切线斜率．
欲求曲线C 上点000(,)M x y 的切线斜率，由切线为割线的极限位置,容易想到切线的斜率应是割线斜率的极限．
《高数数学(上)》-导数与微分
lim sin
1
，
x0
x
x0 x
x0 x
该极限不存在，故函数 f (x) 在 x 0 处不可导.
18
本讲内容
01 函数和、差、积、商的求导法则 02 反函数求导法则 03 复合函数求导法则 04 高阶导数
一、 函数和、差、积、商的求导法则
定理2.3 设函数u(x),v(x)在点x处可导,则函数u(x) v(x), u(x) v(x),u(x) (v(x) 0)在点 x 处也可导,且
.
注 法则（1）（2）可以推广到任意有限个可导函数相加减
和相乘的情形
(u v w) u v w (uvw) uvw vuw wuv
20
一、 函数和、差、积、商的求导法则
例1
设函数u(x),v(x)在点 x 处可导,利用定义证明：
(1)u(x)v(x) u(x)v(x) u(x)v(x);
证 若函数y f (x)在x0 处可导，由导数的定义可得
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
f (x0 )，所以利用函数极限与无穷小之间的
关系可得
f (x) f (x0 ) x x0
f
( x0
)
，lim x x0
0，即
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) (x x0 )
《高等数学》第2章导数与微分2-4隐函数
ln f ( x) v( x) ln u( x)
又 d ln f ( x) 1 d f ( x)
dx
f ( x) dx
f ( x) f ( x) d ln f ( x) dx
f ( x) u( x)v( x)[v( x) ln u( x) v( x)u( x)] u( x)
三、由参数方程所确定的函数的导数
1 gt 2 )
2
)
v0
sin v0 cos
gt
dy dx
t t0
v0 sin gt0 v0 cos
.
(2) 炮弹在 t0时刻沿 x, y轴方向的分速度为
vx
dx dt
t t0
(v0t cos )
t t0 v0 cos
vy
dy dt
t t0
(v0
t
sin
1 2
gt
2
)
t t0
v0 sin
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
上式两边对 x求导得
y y
1 x1
1 3( x 1)
x
2
4
1
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
1[
x
1
1
1 3( x
1)
x
2
(完整版)《高等数学》课程教学大纲
《高等数学》课程教学大纲
授课专业：通信工程专业学时：136学时学分：8学分开课学期：第1、第2学期
适用对象：通信工程专业学生
一、课程性质与任务
本课程是理、工类专业的专业基础课，通过本课程的学习，要使学生掌握微积分学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。
二、课程教学的基本要求
通过本课程的学习，学生基本了解微积分学的基础理论；充分理解微积分学的背景思想及数学思想。掌握微积分学的基本方法、手段、技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。能较熟练地应用微积分学的思想方法解决应用问题。
三、课程教学内容
高等数学（上）
第一章函数、极限与连续（10学时）
第二章导数和微分（12学时）
第三章微分中值定理与导数的应用（12学时）
第四章函数的积分（16学时）
第五章定积分的应用（8学时）
第六章无穷级数（10学时）
高等数学（下）
第七章向量与空间解析几何（6学时）
第八章多元函数微分学（14学时）
第九章多元函数微分学的应用（10学时）
第十章多元函数积分学（I）（16学时）
第十一章多元函数积分学（II）（10学时）
第十二章常微分方程（12学时）
四、教学重点、难点
重点：极限的概念与性质；函数连续性的概念与性质；闭区间上连续函数的性质；微分中值定理与应用；用导数研究函数的性质；不定积分、定积分的计算；微积分学基本定理；正项级数敛散性的判定；幂级数的收敛定理；二元函数全微分的概念及性质；计算多元复合函数的偏导数与微分；隐函数定理及应用；重积分、曲线积分与曲面积分的计算；曲线积分与路径的无关性。
《微积分》(上下册) 教学课件 02.第2章 导数与微分 高等数学第一章第3-5节
，
f
( x)
2x ((1 x2 )2
)
2(3x2 1) (1 x2 )3 .
f
(0)
(1
2x x2 )2
x0
0;
f (0)
2(3x2 1) (1 x2 )3
x0
2.
3
例2 设 y x ( R), 求y(n) .
解 y x1，
y (x1) ( 1)x2，
y (( 1)x2 ) ( 1)( 2)x3，
se c4 t . 3a sint
7
例6
已知 l n
x2 y2 arctanx ,求 y
d d
2y x2
.
解 两边对x求导
1 2
2x 2 y y x2 y2
1
1 (x
)2
y
xy， y2
y
解得 dy y x .
dx y x
d d
2y x2
(
y y
x x
)
( y 1)(
2x y x
称之为边际收入函数.
边际收入的经济意义
y ( x0 x)3 x03
3x02 x 3x0 (x)2 (x)3 .
(1)
(2)
当x 很小时,(2)是x的高阶无穷小o(x),
y 3x02 x.
既容易计算又是较好的近似值
《高等数学》第2章导数与微分
题
1. 求函数 f ( x ) = x n ( n 为正整数 ) 在 x = a 处的导数 .
f ( x) − f (a ) xn − an = lim 解：f ′( a ) = lim x→ a x→ a x−a x−a = lim ( x n −1 + ax n − 2 + ⋯ + a n − 2 x + a n −1 ) = na n −1 . x→ a
2.1.2 可导与连续的关系
定理 如果函数y = f ( x)在点x0处可导, 则函数y = f ( x)在该点 处一定连续.
注 该定理的逆命题不成立.
例 函数y = f ( x) = x 3 在区间(− ∞,+∞ )内连续, 但在 点x = 0处不可导.
想一想
函数f ( x)在点x0处的导数值f ′( x0 )与函数的 导函数f ′( x)有什么区别和联系?
导数都存在且 f −′( x0 ) = f +′( x0 ).
f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ′( x0 )＝ lim ， f+ ∆x → 0 ∆x ∆x 其中, 左导数、右导数统称为 单侧导数 . f ′( x0 )存在即 f ( x )在点 x0处可导的充分必要条件 是左导数和右
2.2 函数的求导法则和基本公式
《高等数学》课程教案
《高等数学》课程教案
一、教学目标
1. 知识与技能：使学生掌握高等数学的基本概念、理论和方法，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对高等数学的兴趣，培养学生的逻辑思维和抽象思维能力，引导学生认识高等数学在自然科学和社会科学中的重要地位。
二、教学内容
1. 第一章：极限与连续
教学重点：极限的定义、性质，函数的连续性，无穷小比较，洛必达法则。2. 第二章：导数与微分
教学重点：导数的定义，求导法则，高阶导数，隐函数求导，微分方程。
3. 第三章：积分与面积
教学重点：不定积分，定积分，积分计算方法，面积计算，弧长与曲线长度。
4. 第四章：级数
教学重点：数项级数的概念，收敛性判断，功率级数，泰勒级数，傅里叶级数。
5. 第五章：常微分方程
教学重点：微分方程的基本概念，一阶线性微分方程，可分离变量的微分方程，齐次方程，线性微分方程组。
三、教学方法
1. 采用讲授法，系统地讲解高等数学的基本概念、理论和方法。
2. 运用示例法，通过典型例题展示解题思路和技巧。
3. 组织练习法，让学生在课堂上和课后进行数学练习，巩固所学知识。
四、教学评价
1. 过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、思维品质和问题解决能力。
2. 终结性评价：通过课后作业、单元测试、期中考试等方式，检验学生掌握高等数学知识的情况。
五、教学资源
1. 教材：《高等数学》及相关辅助教材。
2. 课件：制作精美、清晰的课件，辅助课堂教学。
3. 习题库：提供丰富的习题，供学生课后练习。
4. 网络资源：利用网络平台，提供相关的高等数学学习资料和在线答疑。
《高等数学》(同济六版)教学课件★第2章.导数与微分
线密度 是质量增量与长度增量之比的极限
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限
目录
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二、导数的定义
定义1 . 设函数 若
在点
的某邻域内有定义 ,
y f ( x ) f ( x0 ) x x x0
y f ( x ) f ( x0 ) lim lim x x0 x 0 x x x0
四、函数的可导性与连续性的关系
五、单侧导数
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一、 引例
1. 变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为
f (t ) f (t0 ) v t t0
而在 时刻的瞬时速度为
自由落体运动
s
f (t0 ) O t0
目录 上页
1 gt 2 2
f (t ) f (t0 ) v lim t t0 t t0
第二章 导数与微分
微积分学的创始人:
导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出.
英国数学家 Newton
德国数学家 Leibniz 微分学
导数
微分
描述函数变化快慢
描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
第一节 导数的概念
一、引例 二、导数的定义
高等数学第二章：导数与微分-3高阶导数
四阶导数 y (4) 或 d 4 y ，
dx4
……
n阶导数 y (n)
或 dny dxn
.
Tianjin Polytechnic University
Teaching Plan on Advanced Mathematics
3.f(x)在x处有n阶导数，那么 f (n1) ( x)在x的某一邻域内必 定具有一切低于n阶的导数；二阶及二阶以上的导数统称 高阶导数 4.问题：如何求函数的高阶导数？ 一步一步来，利用已知函数的一阶导数公式及运算法则
例5 求正弦与余弦函数的n阶导数
Tianjin Polytechnic University
Teaching Plan on Advanced Mathematics
解 y sin x,
y cos x sin(x ),
y
cos(x
)
2
sin(x
)
2
22
sin(x 2 ),
2
y cos(x 2 ) sin(x 3 ),
Teaching Plan on Advanced Mathematics
于是
y3 y 1 0
下面介绍几个初等函数的n阶导数
例4 求指数函数y e x的n阶导数 解 y e x , y e x , y e x , y(4) e x
一般地,可得 即
《高等数学》第2章导数与微分2-5函数的微分
dy x2 3 x 2x x2 0.24.
x 0.02
x 0.02
通常把自变量 x的增量 x称为自变量的微分 ,
记作 dx, 即dx x.
dy f ( x)dx.
dy f ( x). dx
即函数的微分 dy与自变量的微分 dx之商等于
该函数的导数 . 导数也叫"微商".
微分 dy叫做函数增量 y的线性主部.(微分的实质)
由定义知:
(1) dy是自变量的改变量 x的线性函数; (2) y dy o(x)是比x高阶无穷小;
(3) 当A 0时, dy与y是等价无穷小;
y dy
1
o(x) A x
1
(x 0).
(4) A是与x无关的常数 , 但与f ( x)和x0有关;
(2)
当 x 很小时, (2)是x的高阶无穷小o(x),
y 3 x02 x.
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
二、微分的定义
定义 设函数 y f ( x)在某区间内有定义 ,
x0及 x0 x在这区间内 , 如果 y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x) 成立(其中A是与x无关的常数 ), 则称函数 y f ( x)在点 x0可微, 并且称A x为函数 y f ( x)在点 x0相应于自变量增量 x的微分, 记作 dy x x0 或 df ( x0 ), 即dy x x0 A x.
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高等数学教案第二章导数与微分
第二章导数与微分
教学目的：
1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和
法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之
间的的关系。
2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数
公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。
4、会求分段函数的导数。
5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
教学重点：
1、导数和微分的概念与微分的关系；
2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；
3、基本初等函数的导数公式；
4、高阶导数；
6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。
教学难点：
1、复合函数的求导法则；
2、分段函数的导数；
3、反函数的导数
4、隐函数和由参数方程确定的导数。
§2. 1导数概念
一、引例
1．直线运动的速度
设一质点在坐标轴上作非匀速运动时刻 t 质点的坐标为s s 是 t 的函数
s f(t)
求动点在时刻 t0的速度
考虑比值
s s0 f (t) f (t0)
t t0t t0
这个比值可认为是动点在时间间隔t t0内的平均速度如果时间间隔选较短这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度但这样做是不精确的更确地应当这样令 t t0 0 取
比值 f (t)
f (t0 )
的极限如果这个极限存在设为 v 即t t0
高等数学电子教案word
高等数学电子教案word
【篇一：同济第六版《高等数学》教案word版-第01
章函数与极限】
第一章函数与极限
教学目的：
1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问
题中的函数关系式。
2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限
存在与左、右极限
之间的关系。
6、掌握极限的性质及四则运算法则。
7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两
个重要极限求极限
的方法。
8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等
价无穷小求极限。
9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间
断点的类型。
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续
函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应
用这些性质。
教学重点：
1、复合函数及分段函数的概念；
2、基本初等函数的性质及其图形；
3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；
4、两个重要极限；
5、无穷小及无穷小的比较；
6、函数连续性及初等函数的连续性；
7、区间上连续函数的性质。
教学难点：
1、分段函数的建立与性质；
2、左极限与右极限概念及应用；
3、极限存在的两个准则的应用；
4、间断点及其分类；
5、闭区间上连续函数性质的应用。
1. 1 映射与函数
一、集合
1. 集合概念
集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用a, b, c….等表示.元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合m的元素表示为a m.
高等数学-导数的概念-教案
在匀速直线运动中, 这个比值是常数, 但是假如质点 引入导数概念 作变速直线运动, 它的运行速度时刻都在发生改变, 为了 计算瞬时速度, 首先在时刻 任给时间一个增量 , 考虑质 点由 到 这段时间的平均速度:
lim sin(x x) sin x
x0
x
2cos x x sin x
lim
2 2
x0
x
会用定义求函 数在一点处的 导数
讲解
5mins 7mins
,Baidu Nhomakorabea
即:
类似可得:
定义 假如 存在, 则称此极限值为 f (x) 在点 x0 处的左导数, 记作 f’((x0)；同样, 假如 存在, 则称此 极限值为 f (x) 在点 x0 处的右导数, 记作 f’ +(x0) .
的作风。
教学 重点 难点
教学 资源
重点: 导数的定义。 难点: 理解导数的几何意义。 难点：理解导数的几何意义。
教材、例子（幻灯片）、课件。
教学后记
对培育方案、大纲修改看法 对授课安排修改看法 对本教案修改看法 需增加资源 其他
教研室主任:
系主任:
教务处:
教学步骤与内容
A.复习内容
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章 导数与微分
教学目的：
1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。
4、 会求分段函数的导数。
5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
教学重点：
1、导数和微分的概念与微分的关系；
2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；
3、基本初等函数的导数公式；
4、高阶导数；
6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。
教学难点：
1、复合函数的求导法则；
2、分段函数的导数；
3、反函数的导数
4、隐函数和由参数方程确定的导数。
§2. 1 导数概念
一、引例
1．直线运动的速度
设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数:
s =f (t ),
求动点在时刻t 0的速度.
考虑比值
000)()(t t t f t f t t s s −−=−−, 这个比值可认为是动点在时间间隔t −t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t −t 0→0, 取
比值0
0)()(t t t f t f −−的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即 0
0)()(lim 0t t t f t f v t t −−=→, 这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度.
2．切线问题
设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线.
设曲线C 就是函数y =f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0=f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为
000)()(tan x x x f x f x x y y −−=−−=ϕ, 其中ϕ为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x →x 0. 如果当x → 0时, 上式的极限存在, 设为k , 即
0)()(lim 0x x x f x f k x x −−=→ 存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k =tan α, 其中α是切线MT 的倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线.
二、导数的定义
1. 函数在一点处的导数与导函数
从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限:
令, x →x 0相当于∆x →0, 于是0
0)()(lim
0x x x f x f x x −−→ . , 当自变量x 在x 0处取得增量∆x (点x 0+∆x ∆y =f (x 0+∆x )−f (x 0); 如果∆y 与∆x 之比当∆x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为0|x x y =', 即
x
x f x x f x y x f x x ∆−∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(00000,
也可记为0|x x y =', 0 x x dx dy =或0
)(x x dx x df =. 函数f (x )在点x 0处可导有时也说成f (x )在点x 0具有导数或导数存在.
导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有
h
x f h x f x f h )()(lim )(0000−+='→,
0)(x f =' 在实际中, 数的变化率问题. 如果极限x ∆ 也往往说函数y = 如果函数y =对于任一x ∈I , 原来函数y =f (x )
y x ='→∆lim f '(x 0)与f '(x )之间的关系:
就是导函数f '(x )在点x =x 0处的函数值, 即
)是f (x )在x 0处的导数或导数f '(x )在x 0处的值.
h
x f h x f )()(00−+; h x f h x f h )()(000
−++→. 如果极限h x f h x f h )()(lim
000−+−→存在, 则称此极限值为函数在x 0的左导数. 如果极限h x f h x f h )()(lim 000
−++→存在, 则称此极限值为函数在x 0的右导数.
导数与左右导数的关系
2．求导数举例
例1．求函数f (x )=C （C 为常数）的导数.
解: h
x f h x f x f h )()(lim
)(0−+='→0lim 0=−=→h C C h . 即 (C ) '=0. 例2. 求x
x f 1)(=的导数.
h =→ 例3．求函数f (x )=sin x 的导数.
h x h x h sin )sin(lim 0−+→ 2
h x cos . 即 (sin x )'=cos x .
用类似的方法, 可求得 (cos x )'=−sin x .
例4．求函数f (x )= a x (a >0, a ≠1) 的导数.
解: f '(x )h x f h x f h )()(lim 0−+=→h
a a x h x h −=+→0lim