重庆巴蜀中学2020-2021学年下期高一第一次月考数学试题和参考答案
重庆市巴蜀中学2021-2022学年高一下学期3月月考数学试题含解析
重庆巴蜀中学2021-2022高一下学期月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知()()2,3,,4a b m == ，若a b ⊥，则m =（）A.-6B.6C.83D.-22.在△ABC 中，sin 455A ACB ==∠= ，则BC =（）A. B.C. D.3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ；若()sin sin sin a A b B A c C +=，则C =（）A.30°B.60︒C.120︒D.150︒4.已知()4,1,0a b ==- ，且()2a b b +⊥ ，则a 与b的夹角为（）A.30°B.60︒C.120︒D.150︒5.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()2cos cos cos +=B a C c A b ，1lg sin lg 3lg 22C =-，则△ABC 的形状为()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形6.已知1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2sin 22cos 1αα+-=()A.1B.15C.15-D.57.已知πsin α123⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 2α3⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.3 B.3-C.13 D.13-8.在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅=（）A.-6B.-8C.-9D.-12二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法错误的是（）A.若//,//a b b c，则//a cB.若a b = ，则23a b<C.对任意非零向量a，a a是和它共线的一个单位向量D.零向量没有方向10.在△ABC 中，下列说法正确的是（）A.若2sin a b A =，则6B π=B.若A B >，则sin sin A B>C.45AB B ∠︒==，若AC =，则这样的三角形有两个D.若222b c a +>，则△ABG 为锐角三角形11.下列说法正确的是（）A.在△ABC 中，12BD DC = ，E 为AC 的中点，则1263DE AC AB=-B.已知非零向量AB 与AC满足()0AB AC BC AB AC+⋅=，则△ABC 是等腰三角形C.已知(1,2),(,1)a b λ=-= ，若a 与b的夹角是钝角，则2λ<D.在边长为4的正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，且3BE EC =，点F 是CD 中点，则8AE BF ⋅=12.已知函数()()2cos ωcosωω0f x x x x =+>，，则下列说法正确的有（）A.若1ω2=，则f （x ）的对称中心为ππ,06k k Z⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭B.若f （x ）向左平移6π个单位后，关于y 轴对称则ω的最小值为1C.若f （x ）在（0，π）上恰有3个零点，则ω的取值范围是（32，116]D.已知f （x ）在[3π，2π]上单调递增，且ω为整数，若f （x ）在[m ，n ]上的值域为[12-，1]，则n m -的取值范围是[6π，3π]三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()()3,40,1a b ==-，，则a 在b 上的投影向量是___________.14.2sin 35cos5sin 5-=________.15.李子坝站的“单轨穿楼”是重庆轨道交通的一大特色，吸引众多A 游客打卡拍照.阿伟为了测量李子坝站站台距离地面的高度AB ，采取了以下方法：在观最台的D 点处测得站台A 点处的仰角为45 ；后退15米后，在F 点处测很站台A 点处的仰角为30 ，已知阿伟的眼睛距离地面高度为 1.5CD EF ==米，则季子坝站站台F 的高度AB 为___________米.16.在 ABC 中，AB a AC b ==，，点D 在边AC 上，且满足2CD DA =，E 为AB 中点，CE 和BD 交于点F ，G 是 ABC 的重心，则GF =___________（用a b，表示）四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量()()()2,1,3,4,1,2a b c =-=-=（1）若c a b λμ=+，求实数λ，u 的值；（2）若()//ma b c + ，求mb c + 与a夹角的余弦值.18.在①sin sin sin B C b a A b c +-=-；②cos cos 2C cB a b=-；这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足.（1）求角C ；（2）若8a =，5b =，D 在线段AB 上，且满足37AD AB =，求线段CD 的长度19.已知()32cosαsin αβ52=-=，，,(0,)2παβ∈（1）求πcos 2α4⎛⎫-⎪⎝⎭的值：（2）求()sin βa +的值.20.为了庆祝重庆市直辖25周年，重庆市政府计划在部分主干道两旁的路灯杆上悬挂宣传板.该宣传板由两个三角形AB C 和PBC 拼接而成（如图），其中901ACB CPB AB CH AB ∠∠===⊥ ，，，设πα0,3CBA ∠⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，（1）若要达到最好的宣传效果，则需要满足PBC CBA ∠∠=，且CA PB +达到最大值，求α为多少时，CA PB +达到最大值，最大值为多少？（2）若要让宣传板达到最佳稳定性，则需要满足120PCH ∠= ，且CH CP +达到最大值，求a 为多少时，CH CP +达到最大值，最大值为多少？21.已知向量()ππcos ω,sin 2ω,4sin ω,262a x x b x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，其中0>ω，记()f x a b =⋅ ，且()f x 的最小正周期为π（1）求()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足222223a c b ba cb ⎧+=-⎨-=--⎩，求()f C 的值.22.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，AD 为∠BAC 的角平分线，已知2c =且222223a c b cosA bc AD ⎛⎫+-=-= ⎪⎝⎭，（1）求△ABC 的面积；（2）设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，求AG EF ⋅的最小值.高2024届高一（下）月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()()2,3,,4a b m == ，若a b ⊥，则m =（）A.-6B.6C.83D.-2【1题答案】【答案】A 【解析】【分析】由ab ⊥，得0a b ⋅= ，列方程可求出m 的值【详解】因为(2,3),(,4),ab m a b ==⊥，所以2120a b m ⋅=+=，解得6m =-，故选：A2.在△ABC中，sin455A ACB ==∠= ，则BC =（）A.B.C.D.【2题答案】【答案】D 【解析】【分析】根据正弦定理直接计算即可.【详解】由正弦定理知，sin sin BC ACA B=,sin sin 2AC ABC B∴==，故选：D 3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c；若()sin sin sin a A b B A c C +=，则C =（）A.30°B.60︒ C.120︒D.150︒【3题答案】【答案】D 【解析】【分析】利用正弦定理将已知式转化为边的形式，然后再利用余弦定理可求得结果【详解】因为sin (sin )sin a A b B A c C +=，所以由正弦定理得22()a b b c++=，化简得222a b c +-=，所以由余弦定理得222cos 222a b c C ab ab +-===-，因为(0,)C π∈，所以56Cπ=，即150C =︒故选：D4.已知()4,1,0a b ==- ，且()2a b b +⊥ ，则a 与b的夹角为（）A.30°B.60︒C.120︒D.150︒【4题答案】【答案】C 【解析】【分析】由()2a b b +⊥，得()20a b b +⋅= ，化简可得两向量的夹角【详解】由(1,0)b =-，得1b = ，因为()2a b b +⊥，所以()20a b b +⋅= ，所以220a b b ⋅+= ，所以2cos ,20a b a b b+= ，因为4a =，所以4cos ,20a b += ，所以1cos ,2a b =- ，因为,[0,]a b π∈ ，所以2,3a b π= ，即,120a b =︒ 故选：C5.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()2cos cos cos +=B a C c A b ，1lg sin lg 3lg 22C =-，则△ABC的形状为()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【5题答案】【答案】C 【解析】【分析】结合()2cos cos cos +=B a C c A b ，根据正弦定理边化角和三角恒等变换可求角B ；根据1lg sin lg 3lg 22C =-即可求出C ，由此可判断三角形的形状.【详解】∵()2cos acos ccos BC A b +=，∴根据正弦定理得，()2cos sin cos cos sin sin BA C A CB +=，()2cos sin sin +=B A C B ，()2cos sin sin B B B π-=，2cos sin sin B B B ⋅=，()0,,sin 0B B π∈∴≠ ，1cos 2B ∴=，3B π∴=；∵1lg sin lg 3lg 22C =-，∴lg sin lg 2C =，∴sin 2C =，()0,C π∈ ，3C π∴=或23π，2,,333B C C πππ=∴≠∴= ，3A B C π∴===，∴△ABC 为等边三角形.故选：C.6.已知1tan 43πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则2sin 22cos 1αα+-=()A.1B.15C.15-D.5【6题答案】【答案】B 【解析】【分析】根据1tan 43πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，结合正切的差角公式求出tan α，22222222sin cos cos 2tan 1tan s 2sin s t i in 1n 2cos a 1s n co ααααααααααα++-+-++=-=，代值计算即可.【详解】tan 11tan 3tan 31tan tan 241tan 3παααααα-⎛⎫-==⇒-=+⇒=⎪+⎝⎭，22222222sin cos cos 2tan 1tan s 2sin s t i in 1n 2cos a 1s n co ααααααααααα++-+-++=-=＝2222121125⨯+-=+.故选：B.7.已知πsinα123⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 2α3⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.3B.3-C.13D.13-【7题答案】【答案】C 【解析】【分析】根据二倍角的余弦公式可得1cos(2)63πα-=，利用诱导公式二、五可得sin(2cos(236ππαα+=-，进而得出结果.【详解】因为sin(123πα-=，所以21cos(2cos[2()]12sin ()612123πππααα-=-=--=，所以1sin(2)cos[(2)]cos(2)]cos(2323663πππππαααα+=-+=-=-=.故选：C8.在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅= （）A.-6B.-8C.-9D.-12【8题答案】【答案】A 【解析】【分析】设△ABC 的外接圆半径为r ，,CFACFB βα∠=∠=.由余弦定理得到22cos 2r r α=-，和22cos 8r r β=-.把CF AB ⋅ 整理为CF AB ⋅ 22cos cos r r βα=-，整体代入即可.【详解】设△ABC 的外接圆半径为r ，,CFACFB βα∠=∠=.由余弦定理得：2222cos BC BF CF BF CF α=+- ，即222cos r r α=-,所以22cos 2r r α=-2222cos AC AF CF AF CF β=+- ，即228cos r r β=-.所以22cos 8rr β=-.所以()CF AB CF AF FB+⋅=⋅CF AF CF FB=+⋅⋅ 22cos cos cos cos r FC FA FC FB FC FA FC F r B βαβα=⋅⋅⋅⋅-=-=-因为22cos 2r r α=-，22cos 8r r β=-，所以()2222cos cos 826CF AB r r r r βα⋅=-=---=- .故选：A【点睛】向量的基本运算处理的常用方法：(1)向量几何化：画出合适的图形，利用向量的运算法则处理；(2)向量坐标化：建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算处理．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法错误的是（）A.若//,//a b b c，则// a cB.若ab=，则23ab<C.对任意非零向量a，a a是和它共线的一个单位向量 D.零向量没有方向【9题答案】【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，举例判断即可，对于B ，向量不能比较大小，对于C ，由单位向量的定义判断，对于D ，由向量的定义判断【详解】对于A ，当0b=时，满足//,//a b b c，而a 与c 不一定共线，所以A 错误，对于B ，因为向量是有方向和大小的量，所以向量不能比较大小，所以B 错误，对于C ，因为a是非零向量，所以a a是和它共线的一个单位向量，所以C 正确，对于D ，因为向量是有方向和大小的量，所以零向量是有方向的，它的方向是任意的，所以D 错误，故选：ABD10.在△ABC 中，下列说法正确的是（）A.若2sin a b A =，则6B π=B.若A B >，则sin sin A B >C.45AB B ∠︒==，若AC =，则这样的三角形有两个D.若222b c a +>，则△ABG 为锐角三角形【10题答案】【答案】BC 【解析】【分析】由正弦定理对选项ABC 进行变形求解，由余弦定理判断D ．【详解】选项A ，2sin a b A =由正弦定理得sin 2sin sin A B A =，三角形中sin 0A ≠，所以1sin 2B =，而(0,)B π∈，所以6B π=或56B π=，A 错；选项B ，△ABC 中，sin sin a bA B=，所以sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，B 正确；选项C ，由于sin sin AB ACC B=，sin 3C π=，又AC AB <，所以C B >，C 角可能为锐角也可能为钝角，三角形有两解，C 正确；选项D ，222b c a +>，由余弦定理得cos 0A >，A 为锐角，但,B C 两个角大小不确定，不能得出其为锐角三角形，D 错．故选：BC ．11.下列说法正确的是（）A.在△ABC 中，12BD DC = ，E 为AC 的中点，则1263DE AC AB=-B.已知非零向量AB 与AC满足()0AB AC BC AB AC+⋅=，则△ABC 是等腰三角形C.已知(1,2),(,1)a b λ=-= ，若a 与b的夹角是钝角，则2λ<D.在边长为4的正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，且3BE EC=，点F 是CD 中点，则8AE BF ⋅=【11题答案】【答案】AB 【解析】【分析】对于A ，利用平面向量基本定理根据题意将DE用AB ，AC表示出来再判断，对于B ，由向量的加法法则判断，对于C ，由题意可知，a b ⋅<，且两向量不共线，从而可求出λ的范围，对于D ，如图，以A 为原点建立直角坐标，表示,AE BF ，然后利用数量积的万物复苏示运算求解【详解】对于A ，因为△ABC 中，12BD DC =，E 为AC 的中点，所以2132DE DC CE BC CA=+=+ 21()32AC AB AC =--1263AC AB =-,所以A 正确，对于B ，因为AB 与AC是非零向量，所以AB AC AB AC+所在的直线平分BAC ∠，因为()0AB AC BC AB AC+⋅=，所以)ACBC AC +⊥，所以△ABC 是等腰三角形，所以B 正确，对于C ，因为a 与b的夹角是钝角，所以0a b ⋅< ，且两向量不共线，由0a b ⋅< ，得20λ-<，得2λ<，当a 与b 共线时，112λ=-，得12λ=-，所以当a 与b 的夹角是钝角时，2λ<且12λ≠-，所以C 错误，对于D ，如图，以A 为原点建立直角坐标，则由题意可得(0,0),(4,0),(4,3),(2,4)A B E F ，所以(4,3),(2,4)AE BF ==- ，所以8124AE BF ⋅=-+=，所以D 错误，故选：AB12.已知函数()()2cos ωcosωω0f x x x x =+>，，则下列说法正确的有（）A.若1ω2=，则f （x ）的对称中心为ππ,06k k Z⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭B.若f （x ）向左平移6π个单位后，关于y 轴对称则ω的最小值为1C.若f （x ）在（0，π）上恰有3个零点，则ω的取值范围是（32，116]D.已知f （x ）在[3π，2π]上单调递增，且ω为整数，若f （x ）在[m ，n ]上的值域为[12-，1]，则n m -的取值范围是[6π，3π]【12题答案】【答案】BCD 【解析】【分析】把()f x 为化为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数的性质判断各选项．【详解】1cos 21()sin 2sin(2)2262x f x x x ωπωω+=+=++,选项A ，12ω=，1()sin(62f x x π=++，6x k ππ+=，6x k ππ=-，对称中心是1(,),62k k Z ππ-∈，A 错；选项B ，若f （x ）图象向左平移6π个单位后得解析式为()sin[2()66g x x ππω=++sin(236x ωππω=++，它的图象关于y 轴对称，则362k ωππππ+=+，k Z ∈，1ω=时，362ωπππ+=，满足题意，B 正确；选项C ，f （x ）在（0，π）上恰有3个零点，即在(0,)π上1sin(262x πω+=-有三个解，0x =时，266x ππω+=，且0>ω，因此19232666πππωπ<+≤，解得31126ω<≤，C 正确；选项D ，,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 是增函数，0>ω，22[,[,636622x k k k Z πωπππππωωπππ+∈++-+∈，23ωπωππ-≤，3ω≤，正整数ω只能取1，2，3，1ω=，257[,[,]36666ωπππππωπ++=，不合题意，2ω=，231335[,][,[,3662622ωπππππππωπ++=⊆，满足题意，3ω=，21119[,][,]36666ωπππππωπ++=，不合题意，所以2ω=，1462f (x )sin(x )π=++，11sin(4)1262x π-≤++≤，则11sin(4)62x π-≤+≤，74666k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，由周期性，不妨取0k =，03x π-≤≤，其中()16f π-=-，因此为了满足题意，必须有：3m π=-时，06n π-≤≤或36m ππ-≤≤-，0n =，因此63n m ππ≤-≤，D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()()3,40,1ab ==-，，则a 在b上的投影向量是___________.【13题答案】【答案】()0,4【解析】【分析】根据平面向量投影向量的运算公式进行计算.【详解】a 在b上的投影向量为()()()()3,40,10,10,411a b b bb⋅--⋅⋅=⨯=故答案为：()0,414.2sin 35cos5sin 5-=________.【14题答案】【分析】利用两角和的正弦公式求解.【详解】解：2sin 35cos5sin 5-，()2sin 305cos5sin 5+-=，12cos55cos522sin 5⎛⎫⨯+- ⎪⎝⎭==，15.李子坝站的“单轨穿楼”是重庆轨道交通的一大特色，吸引众多A 游客打卡拍照.阿伟为了测量李子坝站站台距离地面的高度AB ，采取了以下方法：在观最台的D 点处测得站台A 点处的仰角为45 ；后退15米后，在F 点处测很站台A 点处的仰角为30 ，已知阿伟的眼睛距离地面高度为1.5CD EF ==米，则季子坝站站台F的高度AB 为___________米.【15题答案】【答案】182【解析】【分析】假设AG长度，AGC使用勾股定理，AEC△使用正弦定理，解出AG高度，进而求出AB 高度.【详解】假设AG 高度为x 米，则AC米，对AEC△使用正弦定理得：sin sin AC CEAEC CAE=行，所以sin 30sin(4530)AC CE=-o o，所以15sin 30sin 45cos30cos 45sin 30=-o o o o o ，所以124=解得151)2x =+，所以151318222）==AB +，故答案为：182.16.在ABC 中，AB a AC b == ，，点D 在边AC 上，且满足2CD DA =，E 为AB 中点，CE 和BD 交于点F ，G 是ABC 的重心，则GF=___________（用a b，表示）【16题答案】【答案】121515a b -【解析】【分析】根据C ，F ，E 共线，设CFCE =λ，用,AB AC 表示AF ，同理由B ，F ，D 共线，设BF BD μ= ，用,AB AC 表示AF，利用向量相等，求得AF，再根据G 为重心，得到AG，由GF AF AG =- 求解.【详解】解：如图所示：因为C ，F ，E 共线，设CFCE =λ，则()12AF AC AE AC AB AC λλ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，所以()112AF AB AC λλ=+- ，因为B ，F ，D 共线，设BF BD μ=，则()13AF AB AD AB AC AB μμ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，所以()113AF AB AC μμ=-+ ，所以()()111123AB AC AB AC λλμμ+-=-+，则112113λμμλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得4535λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2155AF AB AC =+ ，又因为G 为重心，所以2113233AB AC AG AB AC +=⨯=+，所以21111255331515GF AF AG AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-=+-+=- ⎪⎝⎭，即121515GF a b =- ，故答案为；121515a b -.四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量()()()2,1,3,4,1,2a b c =-=-=（1）若ca b λμ=+，求实数λ，u 的值；（2）若()//ma b c + ，求mb c + 与a夹角的余弦值.【17~18题答案】【答案】（1）2,1λμ==（2）45-．【解析】【分析】（1）由平面向量线性运算的坐标表示求解；（2）由平面向量共线的坐标表示求出参数m 的值，然后由向量夹角的坐标表示计算．【小问1详解】(23,4)a b λμλμλμ+=--+ ，所以23142λμλμ-=⎧⎨-+=⎩，解得21λμ=⎧⎨=⎩；【小问2详解】(23,4)ma b m m +=--+，()//ma b c + ，则2(23)(4)0m m ---+=，解得2m =，(5,10)mb c +=-，()4cos ,5mb c a mb c a mb c a+⋅<+>==-+．18.在①sin sin sin B C b aA b c+-=-；②cos cos 2C cB a b=-；这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足.（1）求角C ；（2）若8a =，5b =，D 在线段AB 上，且满足37AD AB =，求线段CD 的长度【18~19题答案】【答案】（1）3Cπ=；（2）7CD=【解析】【分析】（1）选择条件①：利用正弦定理和余弦定理得到1cos 2C=，即可求出角C ；选择条件②：把cos cos 2C c B a b =-整理为2cos cos cos a C c B b C =+，利用正弦定理和诱导公式得到1cos 2C =，即可求出角C.（2）用向量表示3477CD CB CA =+，利用数量积求模长.【小问1详解】选择条件①：sin sin sin B C b aA b c +-=-.由正弦定理得：b c b aa b c+-=-，即222b c ab a -=-，所以222b a c ab +-=.由余弦定理得：2221cos 222a b c ab C ab ab +-===.因为()0,C π∈,所以3C π=.选择条件②：cos cos 2C cB a b=-.所以2cos cos cos a C b C c B -=，即2cos cos cos a C c B b C=+由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos A C C B B C =+，即()2sin cos sin +A C C B =.因为A B C π++=，所以B C A +=π-,所以()()sin sin sin B C A A π+=-=.因为()0,A π∈，所以sin 0A ≠，所以1cos 2C =.因为()0,C π∈,所以3C π=.【小问2详解】因为D 在线段AB 上，且满足37AD AB = ，所以()33347777CD CA AD CA AB CA CB CA CBCA ==+==.所以22227234934169.774974CD CB CA CB CB CA CA⎛⎫== ⎪++⨯⎝⎭+ 22934116858549772249=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯145649=.所以7CD=.19.已知()3cosαsin αβ52=-=，,(0,)2παβ∈（1）求πcos 2α4⎛⎫-⎪⎝⎭的值：（2）求()sin βa +的值.【19~20题答案】【答案】（1）50（2）50【解析】【分析】（1）先由cos α，求出sin α，再利用二倍角公式可求出cos 2,sin 2αα，然后利用两角差的余弦公式化简计算，（2）由sin()αβ-，可求出cos()αβ-，而2()αβααβ+=--，利用两面三刀角和的正弦公式化简计算【小问1详解】因为3cos,0,52παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以4sin 5α===，所以4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，2167cos 212sin 122525αα=-=-⨯=-，所以cos 2cos 2cos 2sin444πππααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭72425225250=-⨯+⨯=，【小问2详解】因为,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭因为sin()2αβ-=，所以()cos2αβ-==，所以sin()sin[2()]αβααβ+=--sin 2cos()cos 2sin()ααβααβ=---24725225250⎛⎫=⨯--⨯= ⎪⎝⎭20.为了庆祝重庆市直辖25周年，重庆市政府计划在部分主干道两旁的路灯杆上悬挂宣传板.该宣传板由两个三角形AB C 和PBC 拼接而成（如图），其中901ACB CPB AB CH AB∠∠===⊥，，，设πα0,3CBA ∠⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，（1）若要达到最好的宣传效果，则需要满足PBC CBA ∠∠=，且CA PB +达到最大值，求α为多少时，CA PB +达到最大值，最大值为多少？（2）若要让宣传板达到最佳稳定性，则需要满足120PCH ∠= ，且CH CP +达到最大值，求a 为多少时，CH CP +达到最大值，最大值为多少？【20~21题答案】【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）分别在Rt ABC 和Rt PBC △中，利用三角函数的定义得到22cos sin sin sin 1CA PB αααα+=+=-++求解；（2）由2211ABCSAC B BC A CH =⋅⋅= ，得到sin cos CHαα=⋅，由()cos 12090PC BC α⎡⎤=⋅--⎣⎦，得到CH CP +13sin 2234πα⎛⎫=++⎪⎝⎭求解.【小问1详解】解：如图所示：在Rt ABC 中，sin sin ,cos cos CA AB CB AB αααα=⋅=⋅=，在Rt PBC △中，2cos cos PB CB αα=⋅=，所以22cos sin sin sin 1CA PB αααα+=+=-++，令3sin 0,2tα⎛=∈ ⎝⎭，则21y t t =-++，21524t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当12t=，即6πα=时，CA PB +达到最大值，最大值为54；【小问2详解】因为2211ABCSAC B BC A CH =⋅⋅= ，又sin ,cos AC BC αα==，所以sin cos CH αα=⋅，()cos 12090PC BC α⎡⎤=⋅--⎣⎦，()cos 30BC α=⋅+ ，()cos cos 30αα=⋅+，21sin cos 22ααα=-⋅，所以21cos sin cos 22CH CP ααα=+⋅+，12sin 2444αα=++，1sin 2234πα⎛⎫=++⎪⎝⎭.因为0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,33ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以sin 23πα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以当232ππα+=，即12πα=时，CH CP +达到最大值，最大值为24+.21.已知向量()ππcos ω,sin 2ω,4sin ω,262a x x b x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，其中0>ω，记()f x a b =⋅ ，且()f x 的最小正周期为π（1）求()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足222223a cb ba cb ⎧+=-⎨-=--⎩，求()f C 的值.【21~22题答案】【答案】（1）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）1-【解析】【分析】（1）由向量的数量积运算和三角函数恒等变换公式化简变形可得()2sin 216f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由周期为π，可求出1ω=，从而可求得函数解析式，再由222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，可求出其增区间，（2）先解已知的方程组可得221134241344a b b c b ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，然后利用余弦定理可求出角C，从而可求出()f C 的值【小问1详解】因为()cos ,sin 2,4sin ,262a x x b x ππωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()4sin cos 2sin 262f x a b x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=⋅=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4sin cos cos sin sin 2cos 266x x x xππωωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭14sin sin 2cos 222x x x x ωωωω⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭2cos 2sin 2cos 2x x x xωωωω=++2cos 21x x ωω=++2sin 216x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为()f x 的最小正周期为π，所以22ππω=，所以1ω=，所以()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以()f x 的增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，【小问2详解】由222223a c b b a c b ⎧+=-⎨-=--⎩，解得221134241344a b b c b ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以2222()()cos 22ab c a c a c b C abab+-+-+==222111322221132424b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭3232113142413222b b b b b b -++==---因为()0,C π∈，所以23C π=，所以223()2sin 212sin 113362f C f ππππ⎛⎫⎛⎫==⨯++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，AD 为∠BAC 的角平分线，已知2c =且222223a c b cosA bc AD ⎛⎫+-=-= ⎪⎝⎭，（1）求△ABC 的面积；（2）设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，求AG EF ⋅ 的最小值.【22~23题答案】【答案】（1）245（2）4825【解析】【分析】（1）由余弦定理和正弦定理求得b =6.设ADB θ∠=,则ADC πθ∠=-，利用余弦定理可得：表示出()cos ,cos πθθ-，列方程解得边长5a=.求出4sin 5A =,即可求得△ABC 的面积；（2）设AE m = ，AF n = 由△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，得到6mn =.利用平面向量的运算表示出()()26mn mn AG AB AC m n m n =+++ ，62n m EF AC AB =-,得到24812156AG EF m ⎛⎫⋅=-+ ⎪+⎝⎭，利用函数求最值.【小问1详解】由余弦定理得：2222cos a c b ac B =+-，所以222223a c b cosA bc ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭可化为：22cos 23ac B cosA bc ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即1cos .3a B bcosA b +=由正弦定理得：1 sin cos sin sin 3A BBcosA A +=，所以1sin sin 3A B B +=（）因为C A B π++=，所以C A B π+=-，所以sin sin C sinC A B π+=-=，即1sinCsin 3B =.由正弦定理得：c 13b =.因为2c =，所以b =6.在△ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，所以62CD AC BD AB ==,不妨设,3BD t CD t ==.设ADB θ∠=,则ADC πθ∠=-.由余弦定理可得：22222225cos 25t AD BD AB AD BD θ⎛⎫+- ⎪+-==⋅，()()222222365cos 25t AD CD AC AD CD πθ⎛⎫+- ⎪+--==⋅因为()cos cos πθθ-=-()22222223655055t t ⎛⎫⎛+-+- ⎪ ⎪，解得：5t =.所以边长45a t ==.由余弦定理可得：2222222653cos 2265AB AC BC A ⎛+- +-⎝⎭===⨯⨯,且()0,A π∈，所以4sin 5A ===,所以△ABC 的面积为11424sin 622255bc A =⨯⨯⨯=.【小问2详解】设AE m = ，AF n = .因为△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，所以11412sin 2255mn A mn =⨯=，所以6mn =.因为AD 为∠BAC 的角平分线，所以31CD BD =，所以3144AD AB AC =+ 设3134444AG AD AB AC AB AC λλλλ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭.因为E 、F 、G 三点共线，所以()()1126m n AG AE AF AB AC μμμμ=+-=+-.所以()342146m n λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去λ，得到n m n μ=+.所以()()26mn mn AG AB AC m n m n =+++.而62n m EF AC AB =- ,所以()()2662mn mn n m AG EF AB AC AC AB m n m n ⎡⎤⎛⎫=+⋅-⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()12362mn n m AB AC AC AB m n ⎛⎫⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()2222186mn m n n m AB AC AC AB m n -⎛⎫=-++⋅ ⎪+⎝⎭.而336cos 2655AC AB AC AB A ⋅=⨯⨯=⨯⨯= .所以()()()836222655mn n m mn n m AG EF n m m n m n --⎛⎫⋅=-+⨯= ⎪++⎝⎭因为6mn =，02,06m n <≤<≤，所以606m<≤，解得：12m ≤≤，所以()()22264848648121656565m m m AG EF m m m m ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭⋅===-+ ⎪+⎛⎫+⎝⎭+ ⎪⎝⎭ .因为12m ≤≤，所以214m ≤≤，所以27610m ≤+≤，所以21111067m ≤≤+，所以21212121067m ≤≤+，所以2212511067m ≤-+≤+，所以248481248125567m ⎛⎫≤-+≤ ⎪+⎝⎭，所以AG EF ⋅ 的最小值为4825.【点睛】（1）在几何图形中进行向量运算:①构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；②树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.（2）在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：①从题目给出的条件，边角关系来选择；②从式子结构来选择．。
重庆市巴蜀中学月考(一)2024届高三数学答案
数学参考答案·第1页（共8页） 巴蜀中学2024届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号 12345678答案 C A D A B C B D【解析】1．{|13}A x x =-≤≤， {|2}B x x =≥，所以[23]A B = ，，故选C ．数学参考答案·第2页（共8页）图1ln ()x f x ，则1()()ln ()0g x f x x f x x''=+< ，0，所以当01x <<时，()0g x >，当1x >时，g 时，ln 0x >，所以当)1(0x ∈，时，()0f x <. 0时，()0f x <；又()f x 为奇函数，所以当x 0>可化为09850x x <⎧⎨->⎩，或09850x x >⎧⎨-<⎩，，解得0，故选D ．（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号 9 10 11 12 答案 BC AC ACD ABC【解析】A 选项错误；11()()()24P A P B P AB P ====，图2（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13 14 15128 30数学参考答案·第3页（共8页）数学参考答案·第4页（共8页） 【解析】17．（本小题满分10分）（1）证明：1211(1)140b a a =+=++=≠，……………………………………………（1分）1222121221(1)12222(1)2n n n n n n n b a a a a a b ++++=+=++=+=+=+=，…………………（3分） ∴12n nb b +=，∴{}n b 为以4为首项，2为公比的等比数列．……………………………（5分） （2）解：由（1）知：11122142221n n n n n n b a a -++=+===- ，，∴……………………（6分） 又112212112122n n n n n a a a ++--=+=-=-，，∴……………………………………………（7分） 所以2135212462()()n n n S a a a a a a a a -=+++++++++34(12)4(12)2238.1212n n n n n n +⎡⎤⎡⎤--=-+-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦……………………………………（10分）数学参考答案·第5页（共8页） 18．（本小题满分12分）……………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分） （1）证明：222111AC A C AA A C AC +=⊥，，∵∴又1111111ACC A ABC ACC A ABC AC A C ACC A ⊥=⊂ 平面平面，平面平面，平面，1.A C ABC ⊥平面∴又AB ABC ⊂平面，1.A C AB ⊥∴ ………………………………………………………（4分）（2）解：由111111121222332B ACC A B ACA A ABC ABC V V V S A C AC BC A C ---====⨯⨯⨯ △133BC == BC =∴………………………………………………………………………………（5分）以C 为坐标原点，1CA CB CA，，分别为x y z ，，的正向建立空间直角坐标系，则各点坐标如下：数学参考答案·第6页（共8页）1(000)00)(00)(00C A B A ，，，，，，，， ………………………………（7分）取平面1CA B 的法向量为(100)m = ，，，设平面11A BB 的法向量为000()n x y z =，，，取111(0(0BB AA A B ===，，则01100x n BB n A B ⎧=⎪=⎨=⎪⎩，………………………………………………（10分） 设二面角11C A B B --的大小为θ，则|cos ||cos |m n θ=〈〉==，所以二面角11C A B B --的正弦值为sin θ== …………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）患病者被误诊即被判定为阴性的概率为： 197.5950.002(10095)0.5%.10095P -=⨯⨯-=- ………………………………………………（3分）（2）当[95100)c ∈，时， 95()5%0.002(10095)(15%)10095c f c -=⨯⨯⨯-+-⨯-41000.010(10095)0.002(105100)(949500)1010095c c --⎡⎤⨯⨯-+⨯-=-+⨯⎢⎥-⎣⎦，…………（6分）当[100105]c ∈，时，100105()5%0.002(10095)0.012(105100)(15%)105100105100c c f c --⎡⎤=⨯⨯-+⨯⨯-+-⨯⎢⎥--⎣⎦40.002(105100)(131400)10c -⨯⨯-=-+⨯，……………………………………………（9分）∴44(949500)10[95100)()(131400)10[100105]c c f c c c --⎧-+⨯∈⎪=⎨-+⨯∈⎪⎩，，，，，，………………………………………（10分） ()f c ∵在[95105]c ∈，单调递减，所以105c =时()f c ，最小．……………………（12分）21．（本小题满分12分）数学参考答案·第7页（共8页）数学参考答案·第8页（共8页）。
2020年重庆市巴蜀中学高一(下)期中数学试卷
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知非零实数a＞b，则下列说法一定正确的是（）A. a2＞b2B. |a|＞|b|C.D. a•c2≥b•c22.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，3.如图：在平行四边形ABCD中，已知，，则=（）A. B. C. D.4.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若向量，，且，则角C=（）A. B. C. D.5.在数列{a n}中：已知a1=1，a n-a n-1=n（n≥2），则数列{a n}的通项公式为（）A. B.C. D.6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚疼减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚疼每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人最后一天走了（）A. 6里B. 12里C. 24里D. 36里7.下列式子的最小值等于4的是（）A. B. 其中C. e x+4e-x（x∈R）D.8.已知向量，，若，则向量在向量方向上的投影等于（）A. B. C. D.9.等差数列{a n}的公差为d，关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0，9]，则使数列{a n}的前n项和S n最大的正整数n的值是（）A. 4B. 5C. 6D. 710.在R上定义运算a※b=（a+1）b，若存在x∈[1，2]使不等式（m-x）※（m+x）＜4，成立，则实数m的取值范围为（）A. （-3，2）B. （-1，2）C. （-2，2）D. （1，2）11.在△ABC中，已知AB=2，AC=4，若点G、W分别为△ABC的重心和外心，则=（）A. 4B. 6C. 10D. 1412.在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c（a＞b＞c），已知不等式恒成立，则当实数t取得最大值T时，T cos B的取值范围是（）A. B. C. D. （2，4）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，已知a=，b=，A=，则B=______；S△ABC=______．14.已知向量、满足：，，，则与的夹角的余弦值为______．15.如图：为了测量河对岸的塔高AB，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得CD=200米，且在点C和D测得塔顶A的仰角分别为45°和30°，又∠CBD=30°，则塔高AB=______米．16.在数列{a n}中：已知a1=1，n2a n-S n=n2a n-1-S n-1（n≥2，n∈N*），记b n=，T n为数列{b n}的前n项和，则T2021=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f（x）=x2-4x+5（x∈R）．（1）求关于x的不等式f（x）＜2的解集；（2）若不等式f（x）＞|m-3|对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．18.已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且a2=4，S4=20．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若{b n}为等比数列，且b1=a1，b4=a8，求数列{b n}的前n项和T n．19.如图：在平面四边形ABCD中，已知∠B+∠D=π，且AD=CD=7，AB=5，BC=3．（1）求角D的大小；（2）求四边形ABCD的面积．20.已知{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，满足，且b1=4，2a2=a1+4．（1）分别求数列{a n}和{b n}的通项公式．（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和S n．21.已知向量，（其中ω＞0），设函数，且函数f（x）的最小正周期为π．（1）将函数f（x）的表达式化成f（x）=k sin（mx+φ）+n（其中k、m、n为常数）的形式；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若，且，又，，成等差数列，求△ABC的内切圆的面积．22.设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且对任意n∈N+恒有成立；数列{b n}满足：b1=1，且．（1）求a1、a2的值及数列{a n}的通项公式；（2）①记c n=b2n-1+2，证明数列{c n}为等比数列；②若数列{b n}的前n项和为T n，求T2019的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由非零实数a＞b，取a=1，b=-1，则可排除ABC．故选：D．取a=1，b=-1，则可排除ABC，从而得到正确选项．本题考查了不等式的基本性质，利用特殊值法可排除错误选项，属基础题．2.【答案】B【解析】解：A：由于为零向量，不能作为平面内的所有向量的基底；B：-1×5-2×7≠0，即与不共线，可以作为平面内的所有向量的基底；C：因为3×10-6×5=0，则，不能作为平面内的所有向量的基底；D：因为=0，则，不能作为平面内的所有向量的基底；故选：B．由于向量基底的条件：不共线的非零向量，然后结合向量平行的坐标表示检验各选项．本题主要考查了向量基地的条件的判断，属于基础试题．3.【答案】D【解析】解：==．故选：D．由向量加法的三角形法则可得，=，代入可求．本题主要考查了向量加法的三角形法则的简单应用，属于基础试题．4.【答案】C【解析】解：由向量，，且，所以（a+c）（a-c）-b（a-b）=0，即a2+b2-c2=ab，所以cos C===，又C∈（0，π），所以C=．故选：C．根据平面向量的共线定理和余弦定理求出cos C和角C的值．本题考查了平面向量的共线定理和余弦定理的应用问题，是基础题．5.【答案】C【解析】解：在数列{a n}中：由a1=1，a n-a n-1=n（n≥2），得a n=（a n-a n-1）+（a n-1-a n-2）+（a n-2-a n-3）+…+（a2-a1）+a1=n+（n-1）+（n-2）+…+1=．∴数列{a n}的通项公式为．故选：C．由已知直接利用累加法求数列{a n}的通项公式．本题考查数列递推式，训练了利用累加法求数列的通项公式，是基础题．6.【答案】A【解析】解：记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=的等比数列，由S6=378，得S6==378，解得：a1=192，∴a6=192×=6，故选：A．由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程．本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．7.【答案】C【解析】解：A：当a＜0时，a+没有最小值，不符合题意；B：由x可得sin x∈（0，1），故sin x+＞4，没有最小值，不符合题意；因为e x＞0，则e x+4e-x=4，当且仅当e x=4e-x即x=ln2时取等号，此时取得最小值4，符合题意；D：因为，所以==＞，没有最小值，不符合．故选：C．由已知结合基本不等式，检验不等式的应用条件：一正，二定，三相等是否满足，即可求解．本题考查了基本不等式的性质，使用时注意“一正二定三相等”的法则，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：因为，，∴=-2+λ⇒λ=-3；∴=（1，-3）；∴向量在向量方向上的投影为：||cos＜，＞===-；故选：A．先根据数量积求出λ，再根据投影定义求解即可．本题主要考查向量的数量积以及投影，本题解题的关键是看清是哪一个向量在哪一个向量上的投影，不要弄错公式．9.【答案】B【解析】解：∵关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0，9]，∴0，9分别是一元二次方程dx2+2a1x≥0的两个实数根，且d＜0．∴-=9，可得：2a1+9d=0，∴．∴a n=a1+（n-1）d=d，可得：a5=-＞0，＜0．．∴使数列{a n}的前n项和S n最大的正整数n的值是5．故选：B．关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0，9]，可得：0，9分别是一元二次方程dx2+2a1x≥0的两个实数根，且d＜0．可得-=9，．于是a n=d，即可判断出结论．本题考查了等差数列的通项公式、一元二次方程及其一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查了新定义与不等式和函数的应用问题，是中档题．由题意把不等式化为（m-x+1）（m+x）＜4，分离出m和x，利用函数的最值求关于m 的不等式的解集即可．【解答】解：由题意知，不等式（m-x）※（m+x）＜4，可化为（m-x+1）（m+x）＜4，即m2+m-4＜x2-x；设f（x）=x2-x，x∈[1，2]，则f（x）的最大值是f（2）=4-2=2；令m2+m-4＜2，即m2+m-6＜0，解得-3＜m＜2，∴实数m的取值范围是（-3，2）．故选A．11.【答案】C【解析】解：如图：因为G为△ABC的重心，连接AG，延长交BC于D，D为BC的中点．则==（+）；∵W分别为△ABC的外心；∴•=0；∴=（+）•=•=×（+）•（-）=×（-）=×（42-22）=10．故选：C．运用三角形的重心和外心的性质和向量的三角形法则及向量的中点表示，以及向量的数量积的几何意义和向量的平方即为模的平方，即可化简求得．本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形的重心和外心的性质及向量中点的向量表示，考查运算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：由不等式得，又a＞b＞c，即，∴，当且仅当“，即a+c=2b”时取等号，∴t≤2+2=4，故T=4，∴=，又在锐角三角形中a＞b＞c，故b2+c2＞a2，又a+c=2b，∴，∴，令，则，又在上单调递减，∴，即．故选：B．由不得，再运用基本不等式可求得T=4，然后再用余弦定理表示出T cos B，在锐角三角形中，求出的范围，再利用函数的性质求得所求取值范围．本题考查余弦定理在解三角形中的运用，同时也考查了不等式的恒成立问题，双勾函数的性质，基本不等式的运用等知识点，考查转化思想及函数思想，考查计算能力，属于较难题目．13.【答案】；【解析】解：在△ABC中，由正弦定理得：⇒sin B=∵a＞b，∴A＞B，∴，sin C=sin（B+A）=sin B cos A+cos B sin A=S△ABC==故答案为：，在△ABC中，由正弦定理得sin B=，可得A，再求出sin C，即S△ABC=．本题考查了三角恒等变形，正弦定理，属于中档题．14.【答案】【解析】解：设与的夹角为θ，因为向量、满足：，，，可得||==5；所以：1×5×cosθ=12⇒cosθ=；即与的夹角的余弦值为：；故答案为：．直接根据已知代入数量积即可求解．本题主要考查数量积的应用，属于基础题目．15.【答案】200【解析】解：设AB=h，则BC=h，BD=h，△BCD中，∠CBD=30°，CD=200m，由余弦定理，可得40000=h2+3h2-2h•h•，∴h=200，即AB=200米．故答案为：200．设AB=h，则BC=h，BD=h，△BCD中，由余弦定理，可得方程，即可求塔高AB．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．16.【答案】【解析】解：由题意，可知∵当n≥2时，n2a n-S n=n2a n-1-S n-1，∴n2a n-S n+S n-1=n2a n-1，即n2a n-a n=n2a n-1，∴（n2-1）a n=n2a n-1．∴当n≥2时，==．∴=，=，=，…，=，=．各项相乘，可得••…•=••…•=．∵a1=1，∴a n=，n∈N*．∴b n====2（-）．∴T2021=b1+b2+…+b n=2（1-）+2（-）+…+2（-）=2（1-+-+…+-）=2（1-）=．故答案为：．本题先将题干中表达式进行转化得到=，根据递推公式的特点运用累乘法计算出数列{a n}的通项公式，然后再计算出数列{b n}的通项公式，再运用裂项相消法计算出前2021项和T2021．本题主要考查求数列递推公式求通项公式，以及运用裂项相消法求前n项和问题．考查了转化与化归思想，整体思想，累乘法，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．17.【答案】解：（1）由f（x）＜2可得x2-4x+5＜2，即（x-1）（x-3）＜0，解得1＜x ＜3，故不等式的解集为（1，3）；（2）f（x）=x2-4x+5=（x-2）2+1≥1，当且仅当x=2时取等号，∵不等式f（x）＞|m-3|对任意x∈R恒成立，∴|m-3|＜1，即-1＜m-3＜1，∴2＜m＜4，故m的取值范围为（-2，4）．【解析】（1）由题意可得（x-1）（x-3）＜0，解得即可，（2）先求出f（x）的最小值，则可得|m-3|＜1，解得即可．本题主要考查绝对值不等式的解法，考查了转化思想、数形结合思想，体现了转化的数学思想，属于中档题．18.【答案】解：（1）由题意，可设等差数列{a n}的公差为d，则，即，解得．∴a n=2+2（n-1）=2n，n∈N*．（2）由（1）得，b1=a1=2，b4=a8=16．设等比数列{b n}的公比为q，则q3===8，即q=2．∴T n===2n+1-2．【解析】本题第（1）题先设等差数列{a n}的公差为d，然后根据已知条件可列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可得到数列{a n}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题数列{a n}的通项公式计算出b1，b4的值，再设等比数列{b n}的公比为q，根据等比数列的定义可计算出q的值，再根据等比数列的求和公式即可得到前n项和T n．本题主要考查等差数列和等比数列的基础知识．考查了方程思想，定义法，逻辑思维能力和数学运算能力，本题属基础题．19.【答案】解：（1）在△ACD中，由余弦定理有，AC2=AD2+CD2-2AD•CD•cos D，在△ABC中，由余弦定理有，AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos B，∴49+49-2×7×7×cos D=25+9-2×5×3×cos（π-D），∴128cos D=64，∴，又0＜D＜π，∴；（2）由（1）知，，∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC==．【解析】（1）在△ACD及△ABC中分别运用余弦定理，进而建立方程，求得cos D，由此得解；（2）直接根据三角形面积公式求解即可．本题考查余弦定理以及三角形面积公式在解三角形中的运用，考查计算能力，属于基础题．20.【答案】解：（1）由题意，可知当n=1时，b1===4，解得a1=2．∴2a2=a1+4=2+4=6，即a2=3．设等差数列{a n}的公差为d，则d=a2-a1=3-2=1．∴a n=2+1•（n-1）=n+1，n∈N*．∴=2n（n+1）．当n≥2时，b1•b2…b n-1=2（n-1）n．两式相比，可得：b n==22n=4n．当n=1时，b1=4也满足上式．∴b n=4n，n∈N*．（2）由（1）知，c n=a n•b n=（n+1）•4n．S n=c1+c2+…+c n=2•41+3•42+4•43+…+（n+1）•4n，4S n=2•42+3•43+…+n•4n+（n+1）•4n+1，两式相减，可得：-3S n=2•41+42+43+…+4n-（n+1）•4n+1=8+-（n+1）•4n+1=-•4n+1+．∴S n=（3n+2）•4n+1-8．【解析】本题第（1）题将n=1代入题干表达式可计算出a1=2，然后计算出a2的值，可计算出公差，即可得到数列{a n}的通项公式．根据数列{a n}的通项公式可=2n（n+1），类比可得b1•b2…b n-1=2（n-1）n．两式相比，进一步计算可得数列{b n}的通项公式．第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{c n}的通项公式，然后运用错位相减法计算出前n项和S n．本题主要考查等差数列和等比数列求通项公式，以及运用错位相减法求前n项和；考查了转化与化归思想，方程思想，逻辑推理能力和数学运算能力，本题属中档题．21.【答案】解：（1）=+•-2=sin2ωx+1+sinωx cosωx+-2=+sin2ωx-=sin 2ωx-cos2ωx=sin（2ωx-），∵函数f（x）的最小正周期为π，∴T==π，∴ω=1，∴f（x）=sin（2x-）（2）∵，∴sin B=，∴cos B=±，∵，∴ac cos B=32，∴cos B=，ac=40，∵又，，成等差数列，∴=+，即5ac=8b（c cos A+a cos C），∴5sin A sin C=8sin B（sin C cos A+sin A cos C）=8sin B sin（A+C）=8sin2B，即5ac=8b2，∴b=5，由余弦定理可得b2=a2+c2-2ac cos B=（a+c）2-2ac-2ac cos B，即25=（a+c）2-80-80×，∴a+c=13，∴S△ABC=ac sin B=×40×=12，设内切圆的半径为r，则S△ABC=（a+b+c）r=9r，∴9r=12，∴r=∴S=πr2=π．【解析】（1）根据平面向量的数量积以及三角函数的化简可得f（x）=sin（2ωx-），再根据周期求出ω，（2）先求出sin B，根据同角的三角函数的关系，以及等差数列，正弦定理边角互化，三角形的面积公式，即可求出内切圆的半径，面积可得．本题考查了三角函数的性质，正余弦定理解三角形，属于中档题．22.【答案】解：（1）各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且对任意n∈N+恒有成立；当n=1时，，解得a1=1或a1=0（舍去）．当n=2时，，解得a2=2．猜想a n=n，则．证明如下：①当n=1时，a1=1显然成立．②假设n=k时，成立．当n=k+1时，成立，故==，=，=，==，所以a n=n．（2）①数列{b n}满足：b1=1，且．所以b2=（1+0）b1+1=2，b3=（1+0）b2+0=4，b4=（1+0）b3+1=5，所以b2n+1=2b2n，b2n=b2n-1+1，故b2n+1=2b2n-1+2．整理得b2n+1+2=2（b2n-1+2），所以（常数），所以数列{b2n-1+2}是以2为公比的等比数列．由于c n=b2n-1+2，即数列{c n}为等比数列．则：，整理得，故：．②T2019=（-2+3•20）+（-2+3•21）+（-2+3•22）+…+（-2+3•21009）+（-1+3•20）+（-1+3•21）+（-1+3•22）+…+（-1+3•21008）=（-2）×1010+（-1）×1009+2×（3•20+3•21+3•22+…+3•21008）=（-2）×=-3035+9×21009．【解析】（1）首先猜想数列的通项公式，进一步利用数学归纳法的应用求出结果．（2）①直接利用（1）的结论，进一步利用定义求出数列为等比数列，进一步求出数列的通项公式．②利用①的结论，进一步利用分组法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数学归纳法的应用，分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．。
2020年重庆巴蜀中学高三适应性月考卷1理科数学试题及答案
∵AB⊥BC，AB＝1，
∴由勾股定理可得AC=2，
∴AC是△ABC外接圆的直径，
∴△ABC外接圆的半径为r=1，
∵SA⊥平面ABC，且SA＝2，
设球心到平面ABC的距离为d,
则由勾股定理可得 ，
∴ ，
∴三棱锥S−ABC的外接球的表面积为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查几何体外接球的表面积，此类问题常常先求底面的外接圆半径，再与球心到底面距离、球的半径运用勾股定理求解，属于中等难度题型.
取x= ,则cosx= ,sin2x=-1,∴f( )=-1；
∴f( )=1和-1，不符合函数的定义，故不满足题意；
对于B选项，取x=0,则sin2x=0,∴f(0)=0；
取x= ,则sin2x=0,∴f(0)=1；
∴f(0)=0和1，不符合函数的定义，故不满足题意；
对于C选项，取x= ,则sinx= ,sin2x=1,∴f( )=1；
【详解】
∵ ，
∴ ，
建立如图直角坐标系，
设 ，
又|BC|＝4，
∴
∵| |＝1，∴设 ，
,
∵ ,
,
故最小值为 ，
故选：B.
【点睛】
本题考查向量积的最值问题，通常建立直角坐标系，设未知数，得到各个向量的坐标，运用坐标运算计算出含有未知量的解析式，再进一步运用函数思想找出取值范围，属于中等题.
11．已知f（x）＝sin（ωx ）（ω∈Z）x∈（0， ]时f（x） 有唯一解，则满足条件的ω的个数是（）
9．在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，且SA＝2，AB＝1，BC ，则三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为（）
A．4πB．6πC．8πD．10π
2020-2021重庆巴蜀中学高一数学下期中模拟试卷(带答案)
2020-2021重庆巴蜀中学高一数学下期中模拟试卷(带答案)一、选择题1．已知a ，b 是两条异面直线，且a b ⊥，直线c 与直线a 成30角，则c 与b 所成的角的大小范围是( )A ．[]60,90︒︒B ．[]30,90︒︒C ．[]30,60︒︒D ．[]45,90︒︒2．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．202π+B ．203π+C ．242π+D ．243π+3．已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．()1,1-B ．()(),11,∞∞--⋃+C ．[]1,1-D ．][(),11,∞∞--⋃+ 4．圆心在x +y =0上，且与x 轴交于点A （-3，0）和B （1，0）的圆的方程为（ ） A ．22(1)(1)5x y ++-=B ．22(1)(1)5x y -++=C ．22(1)(1)5x y -++=D ．22(1)(1)5x y ++-=5．已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。
其中正确的是（ ）A ．（1）（2）（3）B ．（1）（4）C ．（1）（2）（4）D ．（2）（4）6．设α表示平面，a ，b 表示直线，给出下列四个命题：①a α//，a b b α⊥⇒//； ②a b //，a b αα⊥⇒⊥；③a α⊥，a b b α⊥⇒⊂；④a α⊥，b a b α⊥⇒//，其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③ 7．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π 8．设有两条直线m ，n 和三个平面α，β，γ，给出下面四个命题：①m αβ=，////n m n α⇒，//n β②αβ⊥，m β⊥，//m m αα⊄⇒；③//αβ，//m m αβ⊂⇒；④αβ⊥，//αγβγ⊥⇒其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为2，则a 的值为( ) A ．-2或2 B ．12或32 C ．2或0D ．-2或010．若方程124kx k =-+ 有两个相异的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．13,34⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．53,124⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．53,124 11．已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()221225x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ）A ．[]4,10B ．[]3,5C ．[]8,10D ．[]6,1012．若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心 B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离 二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________．14．光线由点P(2,3)射到直线x+y+1=0上，反射后过点Q(1,1) ，则反射光线方程为__________．15．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是线段AB 、AD 、AA 1的中点，又P 、Q 分别在线段A 1B 1、A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x (0<x <1).设平面MEF ∩平面MPQ＝l ，现有下列结论：①l ∥平面ABCD ；②l ⊥AC ；③直线l 与平面BCC 1B 1不垂直；④当x 变化时，l 不是定直线.其中不成立的结论是________.(写出所有不成立结论的序号)16．点(5,2)到直线()1(21)5m x m y m -+-=-的距离的最大值为________.17．已知一束光线通过点()3,5A -，经直线l ：0x y +=反射，如果反射光线通过点()2,5B ，则反射光线所在直线的方程是______.18．在平面直角坐标xOy 系中,设将椭圆()2222110y x a a a +=>-绕它的左焦点旋转一周所覆盖的区域为D ，P 为区域D 内的任一点，射线()02x y x =≥－上的点为Q ，若PQ 的最小值为a ，则实数a 的取值为_____．19．已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l ，m 是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l⊥m，则①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)．20．函数2291041y x x x =++-+的最小值为_________.三、解答题21．如图，在以,,,,A B C D E 为顶点的五面体中，O 为AB 的中点，AD ⊥平面ABC ，AD ∥BE ，AC CB ⊥，22AC =，244AB BE AD ===.（1）试在线段BE 找一点F 使得OF //平面CDE ，并证明你的结论；（2）求证：AC ⊥平面BCE ；（3）求直线DE 与平面BCE 所成角的正切值.22．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．23．如图所示，四棱锥B AEDC -中，平面AEDC ⊥平面ABC ，F 为BC 的中点，P 为BD 的中点，且AE ∥DC ，90ACD BAC ∠=∠=︒，2DC AC AB AE ===．（Ⅰ）证明：平面BDE ⊥平面BCD ；（Ⅱ）若2DC =，求三棱锥E BDF -的体积．24．如图四棱锥C ABDE -的侧面ABC ∆是正三角形，BD ⊥面ABC ，//BD AE 且2BD AE =，F 为CD 的中点.（1）求证：//EF 面ABC（2）若6BD AB ==，求BF 与平面BCE 所成角的正弦值25．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ， 33AB CD ==，AB AD ⊥，AB PA ⊥， 且2AD PA ==，22PD =，13PE PB =（1）证明：//CE 平面PAD ；（2）求点B 到平面ECD 的距离；26．如图，将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -沿着相邻的三个面的对角线切去四个棱锥后得一四面体11A CB D -．（Ⅰ）求该四面体的体积；（Ⅱ）求该四面体外接球的表面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】将异面直线所成的角转化为平面角，然后由题意，找出与直线a 垂直的直线b 的平行线，与直线c 平行线的夹角.【详解】在直线a 上任取一点O ，过O 做//c c '，则,a c '确定一平面α，过O 点做直线b 的平行线b '，所有平行线b '在过O 与直线a 垂直的平面β内，若存在平行线1b '不在β内，则1b '与b '相交又确定不同于β的平面，这与过一点有且仅有一个平面与一条直线垂直矛盾，所以b '都在平面β内，且,l αβαβ⊥=，在直线c '上任取不同于O 的一点P ，做PP l '⊥于P '，则PP β'⊥，POP '∠为是c '与β所成的角为60︒，若b l '⊥，则,b b c α'''⊥⊥，若b '不垂直l 且不与l 重合，过P '做P A b ''⊥，垂足为A ，连PA ，则b '⊥平面PP A '，所以b PA '⊥，即1,cos 2OA OP OA PA AOP OP OP '⊥∠=<=， 60AOP ∠>︒，综上b '与c '所成角的范围为[60,90]︒︒，所以直线b 与c 所成角的范围为[]60,90︒︒.故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成角，空间角转化为平面角是解题的关键，利用垂直关系比较角的大小，属于中档题.2．B解析：B【解析】该几何体是一个正方体与半圆柱的组合体，表面积为2215221122032S πππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ． 3．D解析：D 【解析】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．详解：∵点A （﹣3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线L 与线段AB 有公共点， ∴直线l 的斜率k≥k PB 或k≤k PA ，∵PA 的斜率为4031--- =﹣1，PB 的斜率为2031--=1， ∴直线l 的斜率k≥1或k≤﹣1，点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.4．A解析：A【解析】【分析】由题意得：圆心在直线x=-1上，又圆心在直线x+y=0上，故圆心M 的坐标为（-1，1），再由点点距得到半径。
2020-2021学年重庆第一中学高一数学理月考试卷含解析
2020-2021学年重庆第一中学高一数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数零点个数为( )（A）1 （B）2 （C）3 （D）4参考答案：C2. 函数在上的最大值为（）A．2 B．1 C． D．无最大值参考答案：3. 若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（）A．B．2 C．D．参考答案：A4. 设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a参考答案：B【考点】对数值大小的比较；有理数指数幂的化简求值．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出结论．【解答】解：∵，0＜log32＜1，lg（sin2）＜lg1=0．∴a＞1，0＜c＜1，b＜0．∴b＜c＜a．故选B．【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．5. 一个算法的程序框图如上图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是（）A．？ B．？C．？D．？参考答案：D6. 若函数f（x）=lnx+2x﹣3，则f（x）的零点所在区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）参考答案：B【考点】函数零点的判定定理．【分析】判断函数的单调性与连续性，利用零点判定定理求解即可．【解答】解：函数f（x）=lnx+2x﹣3，在x＞0时是连续增函数，因为f（1）=2﹣3=﹣1＜0，f（2）=ln2+4﹣3=ln2+1＞0，所以f（1）f（2）＜0，由零点判定定理可知，函数的零点在（1，2）．故选：B．7. 下列函数中，周期为2π的是（）A．y=sin B．y=|sin| C．y=cos2x D．y=|sin2x|参考答案：B【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，函数y=|Asin（ωx+φ）|的周期为?，得出结论．【解答】解：由于函数y=sin的最小正周期为=4π，故排除A；根据函数y=|sin|的最小正周期为=2π，故B中的函数满足条件；由于y=cos2x的最小正周期为=π，故排除C；由于y=|sin2x|的最小正周期为?=，故排除D，故选：B．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，函数y=|Asin（ωx+φ）|的周期为?，属于基础题．8. 已知向量，，，的夹角为45°，若，则（）A. B. C. 2 D. 3参考答案：C【分析】利用向量乘法公式得到答案.【详解】向量，，，的夹角为45°故答案选C【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.9. 设，，，则的大小关系是（）A． B. C. D.参考答案：C10. 将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，所得到的图象的解析式是（）A． B． C． D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如果一个等差数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么它前15项的和等于 .参考答案：120略12. 已知一个扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积为_________________.参考答案：略13. 已知tanα=3，则的值为．参考答案：【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：∵tanα=3，则==，故答案为：．14. 公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷中第22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”．题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快（每天增加的数量相同），已知第一天织布5尺，一个月（30天）共织布9匹3丈，则该女子每天织布的增加量为尺．（1匹=4丈，1丈=10尺）参考答案：设该女子织布每天增加尺，由题意知，尺，尺又由等差数列前项和公式得，解得尺15. 幂函数的图象经过点，则的值为__________．参考答案：216. （5分）一个正方体的顶点都在一个球面上，已知这个球的表面积为3π，则正方体的棱长．参考答案：1考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：先确定球的半径，再利用正方体的对角线为球的直径，即可求得结论．解答：∵球的表面积为3π，∴球的半径为∵正方体的顶点都在一个球面上，∴正方体的对角线为球的直径设正方体的棱长为a，则∴a=1故答案为：1点评：本题考查球的内接几何体，考查学生的计算能力，属于基础题．17._______________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2021巴蜀中学数学月考试卷及答案分析
2021巴蜀中学数学月考试卷及答案分析第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1.-2的绝对值是（）A．-2 B．2 C．1/2 D．-1/22．若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值可能是（）A．1 B．6 C．7 D．103．如果|a|=﹣a，下列成立的是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤04、在数轴上，把表示-4的点移动2个单位长度后，所得到的对应点表示的数是（）A.-1B.-6C.-2或-6D.无法确定5．星期天，小王去朋友家借书，下图是他离家的距离y（千米）与时间x（分钟）的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是（）A．小王去时的速度大于回家的速度B．小王在朋友家停留了10 分钟C．小王去时所花的时间少于回家所花的时间D．小王去时走上坡路，回家时走下坡路6．下列说法正确的是( ) A．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行B．两点之间的所有连线中，线段最短C．相等的角是对顶角D．若AC＝BC，则点C是线段AB的中点7．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是…………………………………………………（）A．4m B．4n C．2(m+n)D．4(m－n)8．一根绳子弯曲成如图1的形状，用剪刀像图2那样沿虚线a把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图3那样沿虚线b（b∥a）把绳子再剪一次时，绳子就被剪为9段．若用剪刀在虚线a，b之间把绳子再剪(n－2)次(剪开的方向与a平行)，这样一共剪n次时绳子的段数是( )A．4n＋1 B．4n＋2 C．4n＋3 D．4n＋59`在数轴上与-3的距离等于4的点表示的数是（）.A、1.B、-7C、1或 -7D、无数个10．如图，AC、BD相交于点O，∠1= ∠2，∠3= ∠4，则图中有（）对全等三角形。
2020年重庆市巴蜀中学高一下学期期中数学试题(附带详细解析)
……装…______姓名：……装…绝密★启用前2020年重庆市巴蜀中学高一下学期期中数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知非零实数a b >，则下列说法一定正确的是（ ） A ．22a b >B ．||||a b >C ．11a b< D ．22a c b c ⋅≥⋅2．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是（ ） A ．1(0,0)e =，2(1,2)e =- B ．1(1,2)e =-，2(5,7)e = C ．1(3,5)e =，2(6,10)e =D ．1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AC a =，BD b =则AD =（ ）A ．1124a b -B ．1124a b + C ．1122a b -D ．1122a b +4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若向量(,)p a c a b =+-，(,)q b a c =-，且p q ，则角C =（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 5．在数列{}n a 中：已知11a =，1(2)n n a a n n --=≥，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A ．2n n a =B ．21n n a +=C ．2n n na +=D ．222n n n a -+=6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走了（ ） A ．6里B ．12里C ．24里D ．96里7．下列式子的最小值等于4的是（ ） A ．4(0)a a a+≠ B ．4sin sin x x +，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．4x x e e -+，x ∈RD 28．已知向量(2,1)a =，(1,)b λ=-，若5a b ⋅=-，则向量a 在向量b 方向上的投影等于（ ） A ． B ．2C ．D 9．已知等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式2120dx a x +≥的解集为[0,9]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值的正整数n 的值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．710．在R 上定义运算a •b =(a +1)b ，若存在x ∈[1,2]使不等式(m −x )•(m +x)<4成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．(−2,2)B ．(−1,2)C ．(−3,2)D ．(1,2)11．在ABC ∆中，已知2AB =，4AC =，若点G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心，则()AG AW BC +⋅=（ ） A ．4B ．6C ．10D ．1412．在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、()c a b c >>，已知不等式11ta b b c a c+≥---恒成立，则当实数t 取得最大值T 时，cos T B 的取值范围是（ ） A ．120,5⎛⎫⎪⎝⎭B ．122,5⎛⎫⎪⎝⎭C ．D ．(2,4)○…………订…班级：___________考号○…………订…第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知a =b =且角3A π=则角B =_______.14．已知向量a 、b 满足：||1a =，(3,4)b =，2a b a ⋅=，则a 与b 的夹角的余弦值为________.15．如图，为了测量河对岸的塔高AB ，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得200CD =米，且在点C 和D 测得塔顶A 的仰角分别为45︒，30，又30CBD ∠=︒，则塔高AB =______.16．在数列{}n a 中，已知11a =，2211n n n n n a S n a S ---=-()2,n n N +≥∈，记2nn a b n=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，则2021T =______.三、解答题17．已知函数2()45()f x x x x R =-+∈. （1）求关于x 的不等式()2f x 的解集；（2）若不等式()|3|f x m >-对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围. 18．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，且24a =，420S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 为等比数列，且11b a =，84b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．如图：在平面四边形ABCD 中，已知B D π∠+∠=，且7AD CD ==，5AB =，3BC =.………○……………○……（1）求D ∠；（2）求四边形ABCD 的面积.20．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，满足1232n n a n b b b b ⋅⋅⋅⋅=，且14b =，2124a a =+.（1）分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式. （2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S . 21．已知向量(sin ,1)m x ω=-，13cos ,2n x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭（其中0>ω），设函数()()2f x m m n =⋅+-，且函数()f x 的最小正周期为π.（1）将函数()f x 的表达式化成()sin()f x k mx n ϕ=++（其中k 、m 、n 为常数）的形式；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若32125B f π⎛⎫+=⎪⎝⎭，且32BA BC ⋅=，又cos A a ，516b ，cos Cc成等差数列，求ABC ∆的外接圆的面积. 22．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意n N +∈恒有233123n n S a a a =+++成立；数列{}n b 满足：11b =，且()2211cos sin 22n n n n b a b a n N ππ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求1a 、2a 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）①记212n n c b -=+，证明数列{}n c 为等比数列； ②若数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2019T 的值.参考答案1．D 【解析】 【分析】运用不等式的基本性质、取特例法、作差法，逐一对四个选项进行判断. 【详解】选项A.由不等式性质220a b a b >>⇒>可知；是两个正数存在a b >，才有22a b >，本题的已知条件没有说明是两个正数，所以本选项是错误的；选项B:若1,2a b =-=-，显然结论||||a b >不正确，所以本选项是错误的； 选项C:11b a a b ba--=，a b >可以判断b a -的正负性，但是不能判断出ba 的正负性，所以本选项不正确； 选项D:若0c，由a b >，可以得到22ac bc =，若0c ≠时，由不等式的性质可知：a b >，2220c ac bc >⇒>，故由a b >可以推出22a c b c ⋅≥⋅，故本选项正确，所以本题选D. 【点睛】本题考查了不等式的性质.判断不等式是否成立，除了应用不等式的性质之处，一般用特例法、比较法来进行判断. 2．B 【解析】 【分析】以作为基底的向量需要是不共线的向量，可以从向量的坐标发现A ，C ， D 选项中的两个向量均共线，得到正确结果是B ． 【详解】解：可以作为基底的向量需要是不共线的向量，A 中一个向量是零向量，两个向量共线，不合要求B 中两个向量是1(1,2)e =-，2(5,7)e =，则2517⨯≠-⨯故1(1,2)e =-与2(5,7)e =不共线，故B 正确；C 中两个向量是1212e e =，两个向量共线，D 项中的两个向量是124e e =，两个向量共线，故选：B ． 【点睛】本题考查平面中两向量的关系，属于基础题. 3．D 【解析】 【分析】结合平行四边形的性质，利用已知AC a =，BD b =，可以用,a b 表示出,AO OD ,最后用,a b 表示出AD .【详解】11112222AD AO OD AC BD a b =+=+=+，故本题选D. 【点睛】本题考查了平面向量的加法的几何意义、平行四边形的性质，正确理解平面向量的加法的几何意义是解题的关键. 4．C 【解析】 【分析】由p q ，可以得到等式，结合余弦定理，可以求出角C 的大小. 【详解】222()()()p q a c a c b a b c a b ab ⇒+-=-⇒=+-,由余弦定理可知：2222cos c a b ab C =+-⋅，所以有1cos ,(0,)23C C C ππ=∈⇒=,故本题选C. 【点睛】本题考查了两平面向量共线时，坐标运算，考查了余弦定理. 5．C 【解析】利用“累加求和”、等差数列的通项公式即可得出． 【详解】 解：11a =，1(2)n n a a n n--=，2112211(1)()()()(1)2122n n n n n n n n na a a a a a a a n n ---++∴=-+-+⋯+-+=+-+⋯++==．故选：C 【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式，属于基础题. 6．A 【解析】 【分析】由题意可知该问题为等比数列的问题，设出等比数列的公比和首项， 依题意可求出首项和公比，进而可求出结果. 【详解】由题意可得，每天行走的路程构造等比数列，记作数列{}n a ，设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为12q =，依题意有()6113781a q q -=-，解得1192a =，则56119262a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，最后一天走了6里，故选A.【点睛】本题主要考查等比数列，熟记等比数列的概念以及通项公式和前n 项和公式即可，属于基础题型. 7．C 【解析】 【分析】由基本不等式和函数(0)ay x a x=+>的单调性，求出四个选项中函数的最小值，然后进行判断，找到最小值为4的选项.选项A:设1y a a =+，当0a >时，12y a a =+≥=，当且仅当1a =时，取等号；当0a <时，1()2y a a =--+≤-=--，当且仅当1a =-时，取等号，故函数没有最小值； 选项B: 4sin sin y x x =+,令sin 0,(0,1)2x a x a π⎛⎫=∈∴∈ ⎪⎝⎭，函数4y a a =+在(0,2)a ∈时，单调递减，故当(0,1)a ∈时，是单调递减函数，所以5y >，没有最小值；选项C: 444x x x x e e e e -+=+≥=，当且仅当ln 2x =时，等号，故符合题意；选项D:令2y ==1(2)(2)t t y t t t=≥⇒=+≥，而函数1y t t=+在1t ≥时，是单调递增函数，故当2t ≥时，函数1y t t=+也是单调递增，所以52y ≥，不符合题意，所以本题选C. 【点睛】本题考查了基本不等式和函数(0)ay x a x=+>的单调性，利用基本不等式时，一定要注意三点：其一，必须是正数；其二，要有值；其三，要注意等号成立的条件，简单记为一正二定三相等. 8．A 【解析】 【分析】首先根据向量的数量积求出参数λ的值，即可得到b ，再根据a b b⋅计算可得.【详解】 解：(2,1)a =，(1,)λ-=b ，且 5a b ⋅=-125λ∴-⨯+=-解得3λ=-()1,3b ∴=--，()21b ∴=-=向量a 在向量b 方向上的投影5210a b b⋅-===-故选：A 【点睛】本题考查向量的数量积及数量积的几何意义，属于基础题. 9．B 【解析】试题分析：∵关于x 的不等式2120dx a x +≥的解集为[]0,9，∴，分别是一元二次方程的两个实数根，且．∴，可得：，∴．∴，可得：，．∴使数列{}n a 的前项和n S 最大的正整数的值是．故选B ． 考点：等差数列的前项和. 10．C 【解析】 【分析】先将原式进行化简，然后参变分离，转化为求最值，最后变换成关于m 的不等式求解即可. 【详解】令g(x)=(m −x )⋅(m +x )=[(m −x )+1]⋅(m +x )=m 2−x 2+m +x 因为∃x ∈[1,2],g(x)<4 即m 2+m <x 2−x +4 也就是m 2+m <(x 2−x +4)max在x ∈[1,2]时，x =2，x 2−x +4取最大值为6 所以m 2+m <6 解得−3<m <2故选C 【点睛】本题考查了不等式的解法，转化思想非常重要，是解题的关键，属于中档题. 11．C 【解析】 【分析】取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心，则0DW BC ⋅=， 再用AB 、AC 表示AW ，AG ，BC 再根据向量的数量积的运算律计算可得. 【详解】解：如图，取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心 0DW BC ∴⋅=()()22113323AG AD AB AC AB AC ∴==⨯+=+ ()12AW AD DW AB AC DW =+=++()()()115326AW AG AB AC AB AC DW AB AC DW +=++++=++()()()5566AB AC DW AB AG AW BC BC B W C BC AC D ⎡⎤∴+⋅=⋅=⋅⋅⎢++++⎥⎣⎦()56AB A BC C =⋅+ ()()56C AC AB AB A =⋅+- ()()222242105566AC AB =-=-= 故选：C【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形的重心和外心的性质及向量中点的向量表示，考查运算能力，属于中档题． 12．B 【解析】 【分析】由11t a b b c a c+≥---，则a c a ct a b b c --≤+--利用基本不等式求出t 的最大值T ，再用余弦定理表示出cos T B ，在锐角三角形中，由a b c >>，求出ca的取值范围，再利用函数1y t t=+的单调性，求出cos T B 的取值范围【详解】 解：11ta b b c a c +≥---，()a b c >> a c a c t a b b c--∴≤+--224a c a c a b b c a b b c b c a b a b b c a b b c a b b c ---+--+---+=+=++≥+=------ 当且仅当b c a ba b b c--=--即2a c b +=时等号成立，此时取得最小值4 4t ∴≤4T ∴=2222222233232cos 4cos 421222a c a c a c b a c ac a c T B B ac ac ac c a +⎛⎫+- ⎪+-+-⎛⎫⎝⎭∴==⋅=⋅==+- ⎪⎝⎭在锐角三角形中a b c >>，所以222b c a +>，代入2a c b +=化简得25230c c a a ⎛⎫+⋅-> ⎪⎝⎭315c a ∴<<令c t a =，则3,15t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1y t t =+在3,15t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以342,15y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭31212,25a c c a ⎛⎫⎛⎫∴+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1cos 22,5T B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】本题考查基本不等式，余弦定理的应用，属于难题.13．4π 【解析】 【分析】由正弦定理即可解得. 【详解】解：3a =，b =3A π=由正弦定理可得sin sin a b A B=sin sin3B π∴=解得sin B a b >A B ∴>4B π∴=故答案为：4π 【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题. 14．15【解析】 【分析】首先求出b ，a b ⋅，再根据夹角公式cos ,a b a b a b⋅<>=计算可得.【详解】解：(3,4)b =，2345b∴=+=1a =，221a a b a ∴===⋅11cos ,155a b a b a b⋅∴<>===⨯ 故答案为：15【点睛】本题考查向量的数量积及向量的夹角的计算，属于基础题. 15．200 【解析】 【分析】由题意可知：45ACB ∠=︒， 30ADB ∠=︒,设AB x =，可以在在ABC ∆中，求出BC x =，在ABD ∆中，可以求出BD =，在BCD ∆中，利用余弦定理可求出2CD 的表达式，结合已知200CD =，可以求出AB 的长. 【详解】由题意得：在ABC ∆中，45ACB ∠=︒，在ABD ∆中，30ADB ∠=︒,设AB x =，则BC x =，BD =，在BCD ∆中200CD =，30CBD ∠=︒由余弦定理得：2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠22220032x x x ⇒=+-⇒200x =【点睛】本题考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力. 16．20211011【解析】 【分析】根据()1=(2,)n n n a S S n n N *--≥∈,可以化简等式2211n n n n n a S n a S ---=-为n 111n a a n n n n -=⨯-+，令n n a c n=则11n n n c c n -=⨯+，利用累乘法可求出21n c n =+，最后求出n a ，得21121n n a b n n n ⎛⎫==⨯- ⎪+⎝⎭根据裂项相消法可以求出2021T 的值. 【详解】由()22112,n n n n n a S n a S n n N+---=-≥∈得()2211nnn n n a SS n a ----=，∴()2211n n na n a --=，∴n 111n a a nn n n -=⨯-+， 令n n a c n =则11n n n c c n -=⨯+，∴11n n c n c n -=+由累乘法得121n a c n =+， ∴21n c n =+，∴21n a n n =+，∴21n n a n =+，∴22112(1)1n n a b n n n n n ⎛⎫===⨯- ⎪++⎝⎭，∴202111111120212(1)2(1)2232021202220221011T =-+-++-=-=. 【点睛】本题考查了公式()1=(2,)n n n a S S n n N *--≥∈、累乘法、裂项相消法，考查了数学运算能力.17．(1) {|13}x x << (2) (2,4) 【解析】 【分析】 （1）()2f x 化为2452x x -+<，直接求解不等式的解集；（2）问题不等式()|3|f x m >-对任意x ∈R 恒成立min |3|()m f x ⇔-<，求出函数2()45()f x x x x R =-+∈的最小值，解不等式即可.【详解】 （1）由()2f x 得2430x x -+<，即13x <<，所以()2f x 的解集为{|13}x x <<；（2）不等式()|3|f x m >-对任意x ∈R 恒成立min |3|()m f x ⇔-<， 由22()45(2)1f x x x x =-+=-+得，()f x 的最小值为1，所以|3|1m -<恒成立，即131m -<-<， 所以24m <<，所以实数m 的取值范围为(2,4). 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，以及不等式恒成立时，求参数问题，关键是找到问题的等价命题.18．（1）2n a n =；（2）122n +- 【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a 公差为d ，根据条件得到方程组解得； （2）首先求出{}n b 的通项公式，再由等比数列前n 项和公式计算可得. 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a 公差为d ，24a =，420S =.()1144414202a d a d +=⎧⎪∴⎨⨯-+=⎪⎩解得 122a d =⎧⎨=⎩()112n a a n d n ∴=+-=（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，由11b a =，84b a =131228b b q =⎧∴⎨=⨯⎩解得122b q =⎧⎨=⎩，2nn b ∴=则()23121222222212n n n n T +-=++++==--【点睛】本题考查等差数列的通项公式，等比数列的通项及前n 项和公式的应用，属于基础题.19．(1) 3D π= (2) 【解析】 【分析】 （1）分别在，和ABC ∆中，运用余弦定理，求出2AC 的表达式，利用 B D π+=，这样可以求出D ∠的大小；（2）由（1）可以求出B ∠的大小，利用面积公式结合ACD ABC ABCD S S S ∆∆=+四边形，求出四边形ABCD 的面积. 【详解】 （1）在中，由余弦定理得：222222cos 77277cos AC AD CD AD CD D D=+-⨯⋅=+-⨯⨯9898cos D =-.在ABC ∆中，由余弦定理得：222222cos 53253cos AC AB BC AB BC B B =+-⨯⋅=+-⨯⨯=3430cos B -.∴9898cos 3430cos D B -=-， ∵B D π+=，∴cos cos()cos B D D π=-=-， ∴9898cos D -=3430cos D +， ∴1cos 2D =， ∴3D π=.（2）由（1）得233B πππ=-=，∴ABCD ACD ABC S S S =+11sin sin 22AD CD D AB BC B =⋅+⋅17722=⨯⨯⨯+15322⨯⨯⨯=【点睛】本题考查了余弦定理、面积公式，重点考查了数学运算能力，方程思想.20．（1）1n a n =+，4nn b ；（2）()132489n nS n ++⨯-=【解析】 【分析】（1）首先求出12a =，从而得到{}n a 的通项公式，继而求出{}n b 的通项公式. （2）利用错位相减法求出前n 项和n S . 【详解】 解：（1）{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，满足1232n n a n b b b b ⋅⋅⋅⋅=，且14b =，.所以11142a b ⋅==解得12a =，又2124a a =+，所以23a =，所以1n a n =+()11232n n n b b b b ⋅+∴⋅⋅⋅=①当2n ≥时，则()112312n n n b b b b ⋅--⋅⋅⋅=②①除以②得11242n n n n n nb经检验当1n =时，4n n b 也成立，所以4n nb（2）由（1）知()14n nn n c a b n =⋅=+⋅()12324344414n n n S =⨯+⨯++∴⨯++⨯①; ()2341243444441n n n S +=⨯+⨯+⨯+++⨯②;①减②得()123412414141414314n n nS n +=⨯+⨯-+⨯+⨯++⨯-+⨯()()1414414134n n n n S +--=+-+⨯-()1144414333n n n S n ++=-+-+⨯-()13248333n n S n +-+=-()132489n nn S ++⨯-=∴ 【点睛】本题考查数列通项公式的计算，以及错位相减法求和，属于中档题. 21．（1）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）62536π 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的数量积及三角恒等变换化简可得()sin 26f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再由函数的最小正周期求出ω.（2）由32125B f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭求出sin B ，再由同角三角函数的基本关系求出cos B ，由32BA BC ⋅=，可得40ac =，由cos A a ，516b ，cos Cc成等差数列，利用正弦定理边角互化求出b ，最后由正弦定理求出外接圆的半径，即可得解. 【详解】 解：（1）(sin ,1)m x ω=-，13cos ,2n x ω⎛⎫=-⎪⎭，()()2f x m m n =⋅+- 221()2sin 1cos 22f x m m n x x x ωωω∴=+⋅-=++-1cos 21()2222x f x x ωω-∴=+-1()2cos 222f x x x ωω∴=- ()sin 26f x x πω⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，因为()f x 的最小正周期为π22T ππω∴==，1ω∴= ()sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭（2）32125B f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭3sin 221221265B B f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3sin 5B ∴=cos 54B ∴=±又32BA BC ⋅=即cos 32ac B = 4cos 5B ∴=，40ac = cos A a ，516b ，cos C c成等差数列 5cos cos 216A Cb a c∴⨯=+即()58cos cos ac b c A a C =+ ()5sin sin 8sin sin cos sin cos A C B C A A C ∴=+ ()5sin sin 8sin sin A C B A C ∴=+25sin sin 8sin A C B ∴=即258ac b =5b ∴=2sin b R B =，5252335R ∴==，256R ∴= 2225625636S R πππ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭【点睛】本题考查三角函数的性质，正弦定理解三角形，属于中档题.22．（1）11a =，22a =，n a n =；（2）①证明见解析；②1009303592-+⨯ 【解析】 【分析】（1）代入求出1a 、2a 的值，猜想{}n a 的通项公式为n a n =，再用数学归纳法证明即可；（2）由11b =，且()2211cos sin 22n n n n b a b a n N ππ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+∈⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.即可得到一般地，2122n n b b +=，2211n n b b -=+则212122n n b b +-=+，从而可证数列{}n c 为等比数列，再用分组求和的方法求出2019T . 【详解】 解：（1）232331n n S a a a =+++当1n =时，2311S a =解得11a =或10a =（舍去） 当2n =时，233212S a a =+解得22a =猜想数列{}n a 的通项公式为n a n =，则()12n n n S += 显然当1n =时成立， 假设当n k =时也成，即323312k k S a a a =+++，则1n k =+时，()()()()2222221111122112k k k k k k k k k k S S a S S a a S k k +++++=+=+⋅+=+⋅⋅+++ ()()22211k S k k k =++++ ()321k S k =++231k k S a +=+ 233311k a a a +=+++得证所以n a n =（2）①11b =，且()2211cos sin 22n n n n b a b a n N ππ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.()211012b b ∴=++= ()321104b b =++=答案第17页，总17页 ()431015b b =++=一般地，2122n n b b +=，2211n n b b -=+则212122n n b b +-=+所以()2121222n n b b +-+=+即2121222n n b b +-+=+ 所以{}212n b -+是公比为2的等比数列，212n n c b -=+，所以数列{}n c 为等比数列；()1211222n n b b --∴+=+⋅121232n n b --∴=-+⋅122111322n n n b b -+∴==-+⋅ 11212232132n n n n b n +--⎧-+⋅⎪∴=⎨⎪-+⋅⎩，为奇数，为偶数 ②()()()()01210092019232232232232T =-+⋅+-+⋅+-+⋅++-+⋅()()()()0121008132132132132+-+⋅+-+⋅+-+⋅++-+⋅ ()()()01210081009210101100923232323232=-⨯+-⨯+⨯⋅+⋅+⋅++⋅+⋅()()1009100912210101100963212-=-⨯+-⨯+⋅+⋅- 1009303592=-+⨯【点睛】本题考查利用n S 求n a ，递推公式证明数列是等比数列及分组求和，属于难题.。
重庆市2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题含答案
重庆市2023-2024学年度下期高2026届第一次月考数学试题（答案在最后）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(AB BC AD +-=（）A.AD B.DAC.CDD.DC【答案】D 【解析】【分析】直接用向量加减法容易得解．【详解】解：AB BC AD AC AD DC +-=-=．故选：D ．【点睛】本题考查了向量加减法，属于基础题．2.在ABC 中，已知120B =︒，AC ，2AB =，则BC =（）A.1B.C.D.3【答案】D 【解析】【分析】利用余弦定理得到关于BC 长度的方程，解方程即可求得边长.【详解】设,,AB c AC b BC a ===，结合余弦定理：2222cos b a c ac B =+-可得：21942cos120a a c =+-⨯⨯⨯ ，即：22150a a +-=，解得：3a =（5a =-舍去），故3BC =.故选：D.【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：(1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．3.已知向量()63,9a t =+ ，()42,8b t =+ ，若//1132b a a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎭+⎝⎭⎝，则t =（）A .1- B.12-C.12D.1【答案】B 【解析】【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t 的值．【详解】向量()63,9a t =+，()42,8b t =+ ，所以()63,1113a b t =++ ，()1242,5a b t =+-，又//1132b a a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎭+⎝⎭⎝，所以()()56311420t t +-+=，解得12t =-．故选：B ．4.在ABC 中，点D ，E 分别是AB ，BC 的中点，记AE a = ，CD b = ，则AC =（）A.()13a b - B.()12a b - C.1123a b - D.()23a b -【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由平面向量的线性运算，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可知，()12a AB AC =+ ，1122b AB CA AB AC =+=-．两式相减，得32a b AC -= ，所以()23AC a b =-．故选：D ．5.已知向量a ，b不共线，且4AB a b =+ ，9BC a b =-+ ，3CD a b =- ，则一定共线的是（）A.A ，B ，DB.A ，B ，CC.B ，C ，DD.A ，C ，D【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出,BD AC，再利用共线向量定理逐项判断作答.【详解】向量a ，b不共线，且4AB a b =+ ，9BC a b =-+ ，3CD a b =- ，282(4)2BD BC CD a b a b AB =+=+=+= ，则有//AB BD，而,AB BD 有公共点B ，有A ，B ，D 共线，A 是；0BC ≠ ，不存在实数λ，使得AB BC λ=，因此,AB BC 不共线，A ，B ，C 不共线，B 不是；0BC ≠，不存在实数μ，使得CD BC μ= ，因此,BC CD 不共线，B ，C ，D 不共线，C 不是；130AC AB BC b =+=≠ ，不存在实数t ，使得CD t AC =，因此,AC CD 不共线，A ，C ，D 不共线，D不是.故选：A6.已知对任意平面向量(,)AB x y = ，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量(cos sin ,sin cos )AP x y x y θθθθ=-+，叫做把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转θ角得到点P .已知平面内点(1,2)A ，点()14B ，把点B 绕点A 沿顺时针方向旋转π3后得到点P ，则点P 的坐标为（）A.31,2⎫+⎪⎭ B.31,2⎛⎫+ ⎪⎝⎭C.52⎛⎝ D.(5,212【答案】A 【解析】【分析】根据向量旋转的定义求得旋转后向量坐标，结合A 点坐标可得点P 的坐标．【详解】O 为坐标原点，由已知2)AB =，ππππ12sin()2cos()](,333322AP =----+-=- ，又(1,2)A ，所以P点坐标为13(1,2)(,)(1,)2222OP OA AP =+=+-=+ ，故选：A ．7.如右图所示，已知点G 是ABC 的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM xAB =u u u r u u u r ，AN yAC =u u ur u u u r ，则2x y +的最小值为A.2B.13C.33+ D.34【答案】C 【解析】【分析】由题意可得MG GN λ=，利用三角形重心的向量表示，化简可得113x y+=.然后利用基本不等式来求得最值.【详解】因为M ，N ，G 三点共线，所以MG GN λ=，所以()AG AM AN AGλ-=- 又因为G 是ABC 重心，所以()13AG AB AC =+，所以()()1133AB AC x AB y AC AB AC λ⎛⎫+-=-+ ⎪⎝⎭，所以11331133x y λλλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，化简得113x y +=，由基本不等式得()(1111212233333x y x y x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2113x y y x x y⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即2122,36x y ==时，等号成立，故选：C 【点晴】8.如图所示，平面四边形ABCD 的对角线交点位于四边形的内部，2AB =，BC =AC CD =，AC CD ⊥，当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为（）A.B. C.4 D.6【答案】D 【解析】【分析】设(0),,,,πABC ACB αβαβ==∠∠∈，利用余弦定理求得2AC ，表示出sin β，进而可求得2BD ，结合辅助角公式即可求得答案.【详解】由题意2AB =，BC =设(0),,,,πABC ACB αβαβ==∠∠∈，则由余弦定理得：2222··cos 12AC AB BC AB BC ABC α=+-∠=-，由正弦定理得：sin β=因为AC CD ⊥，则90BCD β︒∠=+，在BCD △中，()28122cos 90BD a β︒=+--⨯+20α=-+π202016sin 4ααα⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭，3π4α∴=时，2BD 的最大值为36，BD 取得最大值6，故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知a ，b ，c是三个平面向量，则下列叙述错误的是（）A.()()a b c a c b ⋅⋅=⋅⋅ B.若a b = ，则a b=± C.若a b ⊥，则a b a b+=- D.若a b a c ⋅=⋅r r r r，且0a ≠ ，则b c=【答案】ABD 【解析】【分析】根据数量积的意义判断A ，根据向量模的意义判断B ，根据向量数量积的运算律运算及向量垂直判断C ，根据向量的数量积运算判断D.【详解】对于A ，因为()a b c ⋅⋅ 表示向量c λ，()a cb ⋅⋅ 表示向量b μ ，当,c b不共线且0,0λμ≠≠时，两个向量一定不相等，故A 错误；对于B ，因为a b = 时，向量,a b 的方向不确定，故a b =±不正确，故B 错误；对于C ，a b a b +=-⇔ 22a b a b+=- 2222220a a b b a a b a b b a b ⇔+⋅+=-⋅+⇔⋅=⇔⊥，所以C 正确；对于D ，由cos ,cos ,a b a c a b a b a c a c ⋅=⋅⇒⋅=⋅r r r r r r r r r r r r ，0a ≠ ，所以cos ,cos ,b a b c a c =r r r r r r ，不能得出b c =，故D 错误.故选：ABD10.在ABC 中，AB =，2BC =，45A ∠=︒，则ABC 的面积可以为（）A.B.32C.332+ D.622+【答案】AC 【解析】【分析】由余弦定理可求得b ，再用三角形面积公式可得解.【详解】c =，2a =，o 45A =，∴2222cos a b c bc A =+-，即2222cos 4622b ac bc A b =-+=-+⨯⨯，整理得220b -+=，解得1b =+1，当1b =时，)113sin 12222ABC S bc A +==⨯⨯=，当1b =时，)113sin 12222ABC S bc A -==⨯⨯=，所以ABC 的面积为332+故选：AC.11.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =，则下列结论正确的有（）A.22OA OD ⋅=-B.OB OH +=C.AH HO BC BO⋅=⋅D.AH 在AB 向量上的投影向量为2AB【答案】ABD 【解析】【分析】正八边形ABCDEFGH 中，每个边所对的角都是45︒，中心到各顶点的距离为1，然后再由数量积的运算逐一分析四个选项得答案．【详解】正八边形ABCDEFGH 中，每个边所对的角都是45︒，中心到各顶点的距离为1，对于A ，11cos1352OA OD ⋅=⨯⨯︒=- ，故A 正确；对于B ，90BOH ∠=︒，则以OB ，OH 为邻边的对角线长是||OA 倍，可得OH OB +==，故B 正确；对于C ， AH BC = ，||||HO BO = ，AH 与HO 的夹角为180AHO ︒-∠，BC 与BO的夹角为OBCAHO ∠=∠，故AH HO BC BO ⋅=-⋅uuu r uuu r uu u r uu u r，故C 错误；对于D ，AH 在AB 向量上的投影向量为cos1352AH AB AB AB AB AB AB⋅⋅=⋅=-，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设向量a ，b 不平行，向量a b λ+ 与2a b + 平行，则实数λ=_________．【答案】12【解析】【详解】因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则{12,k k λ==，所以12λ=．考点：向量共线．13.笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称，如图，在平面斜角坐标系xOy 中，两坐标轴的正半轴的夹角为60︒，1e ，2e 分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量12a xe ye =+，则称有序实数对(),x y 为a 在该斜角坐标系下的坐标.若向量m ，n在该斜角坐标系下的坐标分别为()3,2，()2,k ，当k =_______时，11m n ⋅=.【答案】67【解析】【分析】根据斜角坐标定义写出向量（用两个已知单位向量表示），然后由向量数量积计算可得．【详解】由已知1232m e e =+ ，122n e ke =+ ，12111cos 602e e ⋅=⨯⨯︒= ，22121211221(32)(2)6(34)26(34)2112m n e e e ke e k e e ke k k ⋅=+⋅+=++⋅+=+++= ，解得：67k =．故答案为：67．14.已知平面向量a ，b ，c满足：2a b c ⋅== ，3a c -= ，4b c -= ，则a b c +-= ___________，且a b +的取值范围为___________.【答案】①.5②.[]3,7【解析】【分析】第一空：由题意可设()2cos ,2sin ,,OC c OA a OB b θθ====，进一步有()()2cos 3cos ,2sin 3sin ,2cos 4cos ,2sin 4sin B C θαθαθβθβ++++，结合2a b ⋅=有2x y +=-，其中6cos cos 8cos cos 12cos cos x θαθβαβ=++，6sin sin 8sin sin 12sin sin y θαθβαβ=++，而a b c +-也可以用含x y +的式子来表示，从而即可得解；第二空，由向量之间的“三角不等式”即可求解.【详解】第一空：2c = ，3a c -= ，4b c -= ，设()2cos ,2sin ,,OC c OA a OB b θθ====，从而3,4CA CB ==，设()()2cos 3cos ,2sin 3sin ,2cos 4cos ,2sin 4sin B C θαθαθβθβ++++，从而()2cos 3cos 4cos ,2sin 3sin 4sin a b c θαβθαβ+-=++++，又因为2a b ⋅=，所以()24cos6cos cos 8cos cos 12cos cos θθαθβαβ+++()24sin 6sin sin 8sin sin 12sin sin 2θθαθβαβ++++=，记6cos cos 8cos cos 12cos cos x θαθβαβ=++，6sin sin 8sin sin 12sin sin y θαθβαβ=++，从而2x y +=-，所以a b c +-=5===；第二空：对于两个向量,u v，有u v u v u v -⋅≤⋅≤⋅ ，进一步有222222222u u v v u u v v u u v v -⋅+≤+⋅+≤+⋅+ ，所以u v u v u v -≤+≤+ ，注意到2c = ，5a b c +-=，从而3a b a b c c +=≥+-- ，等号成立当且仅当,a b c c +-反向，7a b a b c c +=≤+-+ ，等号成立当且仅当,a b c c +-同向，所以a b +的取值范围为[]3,7.故答案为：5，[]3,7.【点睛】关键点点睛：第一空的关键是在于利用整体思想结合2a b ⋅=，得到2x y +=-，其中6cos cos 8cos cos 12cos cos x θαθβαβ=++，6sin sin 8sin sin 12sin sin y θαθβαβ=++，由此即可顺利得解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知平面向量a ，b ，2,1a b == ，且a 与b的夹角为π3.（1）求2a b +；（2）若2a b + 与()2a b λλ+∈R 垂直，求λ的值【答案】（1）（2）4-【解析】【分析】（1）根据已知利用向量的数量积公式得出a b ⋅，即可由向量模长的求法列式2a b +=，结合向量的运算代入值求解即可；（2）根据向量垂直其数量积为0，列式展开代入值求解即可.【小问1详解】2,1a b == ，且a 与b 的夹角为3π，π1cos 21132a b a b ∴=⨯⨯⋅==22a b +== 【小问2详解】2ba + 与()2ab λλ+∈R 垂直，()()202a b b a λ∴⋅+=+，即222024a b a a b b λλ+⋅+⋅=+，即8240λλ+++=，解得：4λ=-.16.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，ABBC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA.【答案】（1）72（2）4【解析】【详解】试题分析:（1）在三角形中，两边和一角知道，该三角形是确定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三边.（2）利用同角三角函数的基本关系求角的正切值.（3）若是已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据大边对大角进行判断.（4）在三角形中，注意这个隐含条件的使用.试题解析:解：（1）由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝.故PA ＝2.5分（2）设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得sin sin150sin(30)αα=︒︒-，α＝4sin α.所以tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34.12分考点：（1）在三角形中正余弦定理的应用.（2）求角的三角函数.17.设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值；（II ）设函数()()·,.f x a b f x =求的最大值【答案】（I ）6π（II ）max 3()2f x =【解析】【详解】(1)由2a ＝x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，2b ＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及a b =r r，得4sin 2x ＝1.又x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，从而sin x ＝12，所以x ＝6π.(2)()·=f x a b =sin x ·cos x ＋sin 2x＝2sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋12，当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，－6π≤2x －6π≤56π，∴当2x －6π＝2π时，即x ＝3π时，sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭取最大值1.所以f (x )的最大值为32.18.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足cos cos 2cos +=ac B b C A.（1）求角A 的大小；（2）若cos 3B =，求()sin 2B A +的值；（3）若ABC的面积为3，3a =，求ABC 的周长和外接圆的面积.【答案】18.π319.620.8，3π【解析】【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换求解即可；（2）由同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和正弦公式求解；（3）由三角形面积公式及余弦定理求出b c +，再由正弦定理求外接圆半径即可.【小问1详解】由cos cos 2cos +=ac B b C A，由正弦定理sin sin cos sin cos 2cos +=AC B B C A，从而有()sin sin sin sin 2cos 2cos A AB C A A A +=⇒=，sin 0A ≠ ，1cos 2A ∴=，0πA << ，π3A ∴=.【小问2详解】因为sin 3B ==，所以23,1sin 22sin cos cos 22cos 13B B B B B ===-=-，πππ223sin(2)sin 2sin 2cos cos 2sin 3336B A B B B ⎛⎫+=+=+=⎪⎝⎭.【小问3详解】因为11sin 2223S bc A bc ==⋅=，所以163bc =，由余弦定理得：()22222cos 22cos a b c bc A b c bc bc A =+-=+--，即()216933b c =+-⨯，解得5b c +=，所以ABC 的周长为8a b c ++=，由32πsin sin 3a R A ===所以外接圆的面积2π3πS R ==.19.已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(),OM a b =为函数()f x 的相伴特征向量，同时称函数()f x 为向量OM的相伴函数.（1）记向量(ON = 的相伴函数为()f x ，若当()85f x =且ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，求sin x 的值；（2）设()()ππ3cos 63g x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，试求函数()g x 的相伴特征向量OM ，并求出与OM共线的单位向量；（3）已知()2,3A -，()2,6B，()OT = 为函数()()πsin R 6h x m x m ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的相伴特征向量，()π23x x h ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，请问在()y x ϕ=的图象上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥ ?若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）410-；（2）)OM =，1,22⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭；（3）存在点()0,2，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据向量的伴随函数求出()f x ，再将所求角用已知角表示，结合三角恒等变换即可求解；（2）化简函数解析式，根据相伴特征向量的定义即可求得OM，继而进一步计算即可；（3）根据题意确定m 的值，继而得到函数()π2sin 6h x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭，继而得到()2cos 2xx ϕ=，设点,2cos 2x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据向量的垂直关系进行计算，结合三角函数的有界性得到答案.【小问1详解】根据题意知，向量(ON = 的相伴函数为()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当()π82sin 35f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭时，π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又ππ,36x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则ππ0,32x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π3cos 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故ππsin sin 33x x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππππsin cos cos sin 3333x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4133433525210-=⨯-⨯=.【小问2详解】因为()ππ3cos 63g x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππcos cos sin sin 3cos cos sin sin 6633x x x x ⎫⎛⎫=-++⎪ ⎪⎭⎝⎭3cos x x =+，故函数()g x的相伴特征向量)OM =，则与)OM =共线单位向量为)313,622OM OM⎛⎫±=±=± ⎪ ⎪⎝⎭.【小问3详解】因为()π31sin sin cos 622h x m x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，其相伴特征向量()OT =，故32112m m =⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以2m =-，则()π2sin 6h x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()πππ2sin 23236x x x h ϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦π2sin 2cos 222x x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，设点,2cos2x P x ⎛⎫⎪⎝⎭，又()2,3A -，()2,6B ，所以22cos 3,2,2cos 622x x AP x BP x ⎛⎫⎛⎫=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，若AP BP ⊥ ，则()()222cos 32cos 6022x x AP BP x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2244cos 18cos 18022x x x -+-+=，229252cos 224x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为139522cos 2,2cos ,22222x x -≤≤-≤-≤-，故22591692cos 4224x ⎛⎫≤-≤⎪⎝⎭，又2252544x -≤，故当且仅当0x =时，22925252cos 2244x x ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭成立，故在()y x ϕ=的图象上存在一点()0,2P ，使得AP BP ⊥ .【点睛】关键点点睛：理解相伴特征向量和相伴函数的定义是解答本题的关键.。
重庆市巴蜀中学高2022届高一(下)月考试题(数学)777
B重庆市巴蜀中学高2022届高一（下）月考试题（数学）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．与向量(1,4)a =-垂直的向量是（ ） A ．(1,4)- B ．(4,1)-C ．(4,1)D ．(1,4)2,21n+ ）项A ．10B ．11C ．12D ．133．以下表达中，能体现出“平面向量的基本定理”是（ ） A ．若(2,3)a =-，向量(6,9)b =-，则两向量共线B ．非零向量AB 与向量BA 的模长相等，方向相反，是一对相反向量C ．AC 是平行四边形ABCD 的对角线，则AC AB AD =+ D ．非零向量a 与b 垂直，则0a b ⋅=4．已知递减的等差数列{}n a 中，若21216a a +=，则13S =（ ） A ．96B ．104C ．78D ．1125．已知34sin 45απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 4απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．45 B ．45-C ．35D ．35-6．ABC △中，若cos cos a B b A =，sin sin b B c C =，则该三角形一定是（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形7．设向量(,1)m a =，(1,3)n =且222m n m n -=+，求与向量m 共线的单位向量（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭⎝⎭或C ．⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭⎝⎭或 8．在ABC △中，4AC =，2sin 3sin A B =，且1cos 3C =，则AB =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．89．已知圆内接四边形ABCD ，其中四边形各边的长度分别为3AB =，5BC =，8CD =，5DA =，则BD 的长为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．若A 是锐角三角形的最小内角，则函数3()sin(2)3cos 2f A A A π=+-的值域为（ ）A ．(4,1)--B ．(4,1)-C ．4,1⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D ．(1,1)-11．设点O 为ABC △内部一点，存在3450OA OB OC ++=，则BOA △的面积与ABC △的面积之比为（ ）A ．13B ．14C ．512D ．41512．设点O 为ABC △内部一点，已知sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=，AB c =，AC b =，22(2)4b c -+=，则BC AO ⋅的取值范围为（ ）A ．)1,8-⎡⎣B ．()1,8-C ．)0,8⎡⎣D ．()0,1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.） 13．已知向量(1,1)a =-，(0,3)b =则向量a 与b 的夹角为_____.14．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，3226a a =+，则公比q =____.15．将函数()f x 的图象向左平移3π个单位后得到函数()4sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭为______.16．在平面上，12AB AB ⊥，11OB =，22OB =，12AP AB AB =+，若12OP ≤，则OA 的最小值是______.三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18、19、20、21、22题每题12分.） 17．已知两向量a 、b ，=(2,3)a .（1）若(1,0)b =，求a b +的值；（2）若(3,)a m =，a 与2a b -共线，求实数m 的值.18.已知数列{}n a 是递增的等差数列，且满足1440a a ⋅=，2428a a += （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项的和n S ；（2）若已知1202n n b a =-()*n ∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最小值.19．一运送防疫物资的货轮正在向北航行，已知在小岛C 的周围42海里内存在暗礁，在A处测得小岛C 在穿的北偏东30°，此船沿正北航行30海里后在B 处测得小岛C 在船的北偏东45°.（1）如果继续向北航行，此船是否有触礁的风险？请阐述理由.（2）若有触礁风险，货轮在B 处需要转向避开风险，设需要向北偏西转向的角为α，求当。
高中数学 重庆市巴蜀中学高2022届高一(下)月考试题(数学)777
B重庆市巴蜀中学高2022届高一（下）月考试题（数学）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．与向量(1,4)a =-垂直的向量是（ ）A ．(1,4)-B ．(4,1)-C ．(4,1)D ．(1,4)2,21n+ ）项A ．10B ．11C ．12D ．133．以下表达中，能体现出“平面向量的基本定理”是（ ）A ．若(2,3)a =-，向量(6,9)b =-，则两向量共线B ．非零向量AB 与向量BA 的模长相等，方向相反，是一对相反向量C ．AC 是平行四边形ABCD 的对角线，则AC AB AD =+D ．非零向量a 与b 垂直，则0a b ⋅=4．已知递减的等差数列{}n a 中，若21216a a +=，则13S =（ ）A ．96B ．104C ．78D ．1125．已知34sin 45απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 4απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．45 B ．45-C ．35D ．35-6．ABC △中，若cos cos a B b A =，sin sin b B c C =，则该三角形一定是（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形7．设向量(,1)m a =，(1,3)n =且222m n m n -=+，求与向量m 共线的单位向量（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭⎝⎭或C ．⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭⎝⎭或 8．在ABC △中，4AC =，2sin 3sin A B =，且1cos 3C =，则AB =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．89．已知圆内接四边形ABCD ，其中四边形各边的长度分别为3AB =，5BC =，8CD =，5DA =，则BD 的长为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．若A 是锐角三角形的最小内角，则函数3()sin(2)3cos 2f A A A π=+-的值域为（ ）A ．(4,1)--B ．(4,1)-C ．4,1⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D ．(1,1)-11．设点O 为ABC △内部一点，存在3450OA OB OC ++=，则BOA △的面积与ABC △的面积之比为（ ）A ．13B ．14C ．512D ．41512．设点O 为ABC △内部一点，已知sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=，AB c =，AC b =，22(2)4b c -+=，则BC AO ⋅的取值范围为（ ）A ．)1,8-⎡⎣B ．()1,8-C ．)0,8⎡⎣D ．()0,1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.） 13．已知向量(1,1)a =-，(0,3)b =则向量a 与b 的夹角为_____.14．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，3226a a =+，则公比q =____.15．将函数()f x 的图象向左平移3π个单位后得到函数()4sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭为______.16．在平面上，12AB AB ⊥，11OB =，22OB =，12AP AB AB =+，若12OP ≤，则OA 的最小值是______.三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18、19、20、21、22题每题12分.） 17．已知两向量a 、b ，=(2,3)a .（1）若(1,0)b =，求a b +的值；（2）若(3,)a m =，a 与2a b -共线，求实数m 的值.18.已知数列{}n a 是递增的等差数列，且满足1440a a ⋅=，2428a a += （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项的和n S ；（2）若已知1202n n b a =-()*n ∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最小值.19．一运送防疫物资的货轮正在向北航行，已知在小岛C 的周围42海里内存在暗礁，在A处测得小岛C 在穿的北偏东30°，此船沿正北航行30海里后在B 处测得小岛C 在船的北偏东45°.（1）如果继续向北航行，此船是否有触礁的风险？请阐述理由.（2）若有触礁风险，货轮在B 处需要转向避开风险，设需要向北偏西转向的角为α，求当α取最小值时，cos α的值.（为计算方便，将近似为58计算，其他结果不作近似处20．在ABC △中，A 、B 、C 分别为三个边a 、b 、c 的对角，且（1）求角A.（2）若23a =，且sin sin 2B C +=，求ABC △的面积21．在ABC △中，已知向量,cos()6x b B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(),sin y a A =，且 x ∥y（1）求角B 的值；（2）若ABC △为锐角三角形，且2c =，求ABC △面积的取值范围.22．已知，()sin cos g x x x =+，()2sin cos h x s x =（1）求()g x 的值域；（2）x 取何值时，函数()()y g x h x =+取得最大值.（3）已知在第（2）问的条件下，当x 取最小正数时，求3cos 28f x ⎛π⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.sin()sin()sin cos 2αβαβαβ++-⎛⎫= ⎪⎝⎭。
重庆市巴蜀中学校2024届高三上学期适应性月考(一)数学试题及参考答案
1
，则 6 7 = 1，因此， 1 + 4 + 6 7 =− 4 + 1 =− 3，C 对；.当 = 7 时，
6
0< 有两种情况：
−1<1 ⇒1<
<2或 1≤
−1<5 ⇒
= 4，
1≤ +1<5
+1 = 5
从而可得 的范围为 1,2 ∪ 4 ，D 错.选：ABC.
13．二项式
1
−2
2
3
的展开式的通项为
2,即:4 2 = 16 2 + 4 2 − 2 ⋅ 4
⋅2
3
⋅ ,即
2
13
=
5
5
2,因为 2 +
2=
2,所以 2 +
2 = 13 2 ⇒
2 10
= ,即 的渐近线方程为
2 10
=± .选:C.
5
5
5
1
7． 满足 + 1 =
，且当 ∈ 0,1 时， = 1 −
2
2 − 1 ，当 ∈ 1,2 时，可得
1
>
2+
+ 1；
2
e −1
（2）若关于 的方程 = sin + 1 在 0,π 内有解，求实数 的取值范围.
参考答案： 1． 2 − 2 − 3 ≤ 0，所以 + 1 − 3 ≤ 0，即−1 ≤ ≤ 3， = | − 1 ≤ ≤ 3 ， = | ≥ 2 ，所以 ∩ = 2,3 ，
选：C.
2．由log3 + 1 < 0，得−1 < < 0，因而“ < 0”是“log3 + 1 < 0”的必要而不充分条件.选：A. 3．由题−3 ≤ ≤ 1，所以−4 ≤ − 1 ≤ 0，所以 的定义域为 −4,0 ， = − 1 的定义域为 −4,0 .
高2021届高一上月考数学参考答案
巴蜀中学高2021届高一（上）月考数学参考答案一、选择题1-4DBDA5-8CBBA 9-12CCAB二、填空题13、{}532，，14、2-15、(]1,016、256-三、解答题17、解：（1）}61|{},52|{<<-=≤≤-=x x B x x A （2）}62|{<≤-=x x B A }52|{>-<=x x x A C U 或}65|{)(<<=x x B A C U 18、解：（1）原不等式即求|2||2|->+x x ，平方得：444422+->++x x x x ，解之得0>x 故不等式的解集为}0|{>x x （2）原不等式即求9|2||22|≤-++x x 的解集，⎩⎨⎧≤-++--≤⎩⎨⎧≤-++<<-⎩⎨⎧≤-++≥9)2()22(19)2()22(219)2()22(2x x x x x x x x x 或或解之得：132132-≤≤-<<-≤≤x x x 或或故不等式的解集为}33|{≤≤-x x 19、解：（1） 0)(<x f 的解集为)5,1(-，0)(=∴x f 的两根为51和-所以可设)0)(5)(1()(>-+=a x x a x f ，又因为值域为),9[+∞-，故99)2()(min -=-==a f x f ，即1=a 所以54)(2--=x x x f （2）令]3,0[92∈-=x t ，则9)2(54)9(222--=--=-=t t t x f y 当2=t 时，9min -=y ；当0=t 时，5max -=y ，故函数值域为]5,9[--20、解：}24|{<<-=x x A ，}62|{≤≤=ax x B （1）当2=a 时，}31|{≤≤=x x B ，则有}21|{<≤=x x B A （2）由题，则有AB ⊆①当0=a 时，A B ⊆∅=满足题意；②当0>a 时，A a x a x B ⊆≤≤=}62|{，则有26<a ，即3>a ；③当0<a 时，A a x a x B ⊆≤≤=}26|{，则有46->a ，即23-<a ；综上：3>a 或23-<a 或0=a 21、解：由题可知)(x f 在定义域内单调递减（1）⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥+≥-2210220122a a a a ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧<<--≥≥-≤31111a a a a 或，故31<≤a （2）由题即求不等式0222>--+x mx mx 的解集即求0)1)(2(>-+mx x 的解集①当0=m 时，不等式解集为}2|{-<x x ；②当0>m 时，不等式的解集为}12|{m x x x >-<或；③当0<m 时，即求不等式01)(2(<-+m x x 的解集（ⅰ）当21-=即21-=m 时，不等式的解集为∅（ⅱ）当21->m 即21-<m 时，不等式的解集为}12|{m x x <<-（ⅲ）当21-<m 即021<<-m 时，不等式的解集为}21|{-<<x mx 22、解：（1）)2,0(132112)(在+-=+-=x x x x f 单调递增，又1)2(,1)0(=-=f f ，故函数)(x f 的值域为)1,1(-（2）由题，不等式1122422222+->-+-x x n an n amn m 对任意02>≥n m ，)2,0(∈x 恒成立即有不等式112242)(2+->-+-x x a n m a n m 恒成立令2≥=n m t ，即有)(112242)(2x f x x a at t t g =+->-+-=对任意)2,0(,2∈≥x t 恒成立即有max min )()(x f t g >，则1242)(2≥-+-=a at t t g 对任意2≥t 恒成立当2≤a 时，)(t g 在),2[+∞∈t 单调递增，所以168)2()(min ≥-==a g t g ，解得67≤a ；当2>a 时，)(t g 在],2[a 单调递减，在)[∞+，a 单调递增，所以142)()(2min ≥+--==a a a g t g ，解之得13≤≤-a ，不合题综上：67≤a。
重庆高一高中数学月考试卷带答案解析
重庆高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.函数的定义域为（）A．B．C．D．2.设集合，，则（）A．B．C．D．3.满足条件的集合M的个数为（）A．6B．7C．8D．94.“”是“”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要5.二次函数中，若，则其图象必经过点（）A．B．C．D．6.已知全集，，，，则（）A．B．C．D．7.设函数满足，则的表达式为（）A．B．C．D．8.函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．9.关于x的不等式的解集为，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．10.若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．11.设函数，满足，且对任意，都有，则（）A．0B．1C．2015D．201612.已知，在上任取三个数a，b，c，均存在以为三边的三角形，则m的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题1.给定映射：，在映射下，的像为．2.已知函数，则的值为．3.已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为．4.已知函数，，若存在一个实数，使得与均不是正数，则实数m 的取值范围是．三、解答题1.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）已知全集，集合，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求．2.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）设，若在上是单调函数，求实数m的取值范围．3.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）设，集合，．（Ⅰ）若且，求实数P的取值范围；（Ⅱ）若，求B．4.（本小题满分12分）解关于x的不等式．5.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问4分，（Ⅲ）小问4分）定义在上的函数满足条件：对所有正实数x，y成立，且，当时，有成立．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）证明：函数在上为单调递增函数；（Ⅲ）解关于x的不等式：．6.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问2分，（Ⅱ）小问3分，（Ⅲ）小问5分）已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数，，方程的实根都是的实根；反之，方程的实根都是的实根．（Ⅰ）求d的值；（Ⅱ）若，求c的取值范围；（Ⅲ）若，，求c的取值范围．重庆高一高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，故选C．【考点】函数的定义域．2.设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，所以，故选D．【考点】集合的运算．3.满足条件的集合M的个数为（）A．6B．7C．8D．9【答案】B【解析】的非空子集有个，故选B．【考点】集合的关系（子集）．4.“”是“”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】B【解析】时一定有成立，但当时有，故“”是“”的必要不充分条件，选B．【考点】充分必要条件．5.二次函数中，若，则其图象必经过点（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，即函数图象过点，故选C．【考点】函数的图象，函数的定义．6.已知全集，，，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，作出文氏图，如图，可知，，故选B．【考点】集合的运算．【名师点晴】在解决集合运算问题时，注意数形结合思想的应用．在进行集合运算时要尽可能借助Venn图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用Venn图表示，元素连续时用数轴表示，同时注意端点的取舍．7.设函数满足，则的表达式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，则，所以，所以，故选C．【考点】求函数解析式．8.函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，因为是增函数，在上递减，所以的减区间为，故选D．【考点】函数的单调性．9.关于x的不等式的解集为，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】时，，时，不等式为，不成立，解集为，时，不等式为，解集不为，当时，的图象是开口向下的抛物线，不等式的解集不为，当，即时，的图象是开口向上的抛物线，因此，解得，综上有，故选A．【考点】一元二次不等式的解．10.若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，在区间上单调递增，则，，故选A．【考点】函数的单调性．11.设函数，满足，且对任意，都有，则（）A．0B．1C．2015D．2016【答案】D【解析】令，得，所以，令，得，所以，所以，，…，．故选D．【考点】抽象函数．【名师点晴】解决抽象函数问题的基础是熟悉函数的基本知识，特别是基本初等函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等，常用方法有特殊值法、赋值法、图象法，在解题时可想象所给抽象函数与我们的哪个函数类似，由此及彼．本题采用赋值法得出递推关系．12.已知，在上任取三个数a，b，c，均存在以为三边的三角形，则m的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，在上的最大值为，最小值为，则题意等价于，又，所以，又，成立，在上单调递增，，由得，得，故选A．【考点】二次函数的最值．【名师点晴】“任取三个数a，b，c，均存在以为三边的三角形”的充要条件是“，，中任意两数的和大于第三个数”，简单点就是“两个较小者之和大小最大者”，由于任意性，不方便操作，此问题转化为“2倍的最小值大于最大值”，这样才易于操作．二、填空题1.给定映射：，在映射下，的像为．【答案】【解析】时，，，所以所求象为．【考点】映射的概念．2.已知函数，则的值为．【答案】【解析】，．【考点】分段函数．3.已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为．【答案】【解析】时，，符合题意，当时，，得，综上有．【考点】函数的定义域．【名师点晴】本题表面上考查函数的定义域，实质是考查不等式恒成立问题，即恒成立，这里易错的地方是只是利用判别式，求得，没有讨论二次项系数为0的情形．4.已知函数，，若存在一个实数，使得与均不是正数，则实数m 的取值范围是．【答案】【解析】要使有非正数值，则，解得，时，因为，对称轴，因此只能当时，才可能有，但此时，不合题意，当时，，，已经满足题意，故．【考点】二次方程的根与二次函数的性质．【名师点晴】本题考查二次函数与一元二次不等式、二次方程之间的关系，象本题不等式的解集就是使的自变量的取值，也即函数的图象在轴下方部分的自变量的集合，其中就是二次方程的解．三、解答题1.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）已知全集，集合，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】集合的问题要明确集合中的元素是什么？集合是一元二次不等式的解集，集合是分式不等式的解集，在数轴上标出集合，可得，．试题解析：（Ⅰ），，则；（Ⅱ），得，则．【考点】集合的运算．2.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）设，若在上是单调函数，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或．．【解析】（Ⅰ）观察题意，知二次方程的两根为和1，因此可设，再把点代入可求得；（Ⅱ）函数是二次函数，它在区间上单调，则其对称轴在这个区间之外，由此可得的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由题意可设，即，由的图象过点，知，从而，即；（Ⅱ），其对称轴为，依题意得：或，即或．【考点】二次函数的解析式，二次函数的性质．【名师点晴】二次函数的解析式可三种形式，一是一般式，二是顶点式，三是两根式，根据不同的条件设出恰当的形式，解题时可起到事半功倍的效果．3.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）设，集合，．（Ⅰ）若且，求实数P的取值范围；（Ⅱ）若，求B．【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）集合是一个二次方程的解集，，则其判别式；（Ⅱ）由，说明二次方程的解是和3，由韦达定理可求得，解方程可得集合．试题解析：（Ⅰ）由已知得：，则方程有实根，故，解得：或；（Ⅱ）由知：方程有两根-1和3，由韦达定理得：，所以，于是集合B的元素是方程，即的根，解之得：或或，从而集合．【考点】一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解方程．4.（本小题满分12分）解关于x的不等式．【答案】当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．【解析】当时，本题是一元一次不等式，时，它是一元二次不等式，对一元二次方程的两根为和，当时，不等式的解集在两根之间，当时，不等式的解集在两根之外，此时还要讨论两根的大小，都能正确写出解集．试题解析：原不等式可化为，（Ⅰ）当时，，解集为；（Ⅱ）当时，对应方程两根为，由对应二次函数的图象知，解集为；（Ⅲ）当时，，由对应二次函数的图象知，①当时，解集为；②当时，解集为；③当时，解集为．综上：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．【考点】解含参数的一元二次不等式．【名师点晴】解含参数的一元二次不等式的步骤：解含参数的一元二次不等式可按如下步骤进行：1°二次项若含有参数应讨论参数是等于0、小于0、还是大于0．然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．2°判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．3°确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式．5.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问4分，（Ⅲ）小问4分）定义在上的函数满足条件：对所有正实数x，y成立，且，当时，有成立．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）证明：函数在上为单调递增函数；（Ⅲ）解关于x的不等式：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）．【解析】这是有关抽象函数的问题，一般采用赋值法解题，（Ⅰ）由于已知，因此可令直接求得，而由已知可得，（Ⅱ）要证明是单调增函数，通常是设，证明，为此作差，，根据条件易知，因此要证，这个可结合已知时，，时，得证；（Ⅲ）这类函数不等式要化为形式，首先由（Ⅰ），再由已知可化为，由单调性可去函数符合“”．试题解析：（Ⅰ）取，可得，∴，∴．取，可得，∴．取，可得，∴．（Ⅱ）证明：在上任取，则，∵，∴，∴，∴．要证明在上为单调递增函数，只须证．当时，有成立；当时，成立；当时，有，∵，∴，∴，故此时仍有成立．综上知：在上恒成立，从而函数在上为单调递增函数．（Ⅲ）由（Ⅰ）知：，原不等式变形为，即，因为为定义在上为单调递增函数，故，解之得，，所以原不等式的解集为．【考点】抽象函数．6.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问2分，（Ⅱ）小问3分，（Ⅲ）小问5分）已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数，，方程的实根都是的实根；反之，方程的实根都是的实根．（Ⅰ）求d的值；（Ⅱ）若，求c的取值范围；（Ⅲ）若，，求c的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）比较方便由题意若，则，即；（Ⅱ）关键是分析方程的解的情况，，，中只有一个为0时，两方程解相同，当时，由题意，无解，由此可得；（Ⅲ）由题意，符合题意，时，方程无实根，在时，方程无实根，符合题意，当时，方程有实根，此时要求无实根，综合以上分析可得的取值范围．试题解析：（Ⅰ）设r是方程的一个根，即，由题设得，于是，即，即；（Ⅱ）由题设及（Ⅰ）知，．由得b，c是不全为零的实数，且，则，方程就是①方程就是②（1）当时，方程①②的根都为，符合题意；（2）当时，方程①②的根都为，符合题意；（3）当时，方程①的根都为，，它们也都是方程②的根，但它们不是方程的实根，由题意，方程无实根，故，得．综上所述，c的取值范围是．（Ⅲ）由，，得，，③由可以推断出，知方程的根一定是方程的根．当时，符合题意；当时，，方程的根不是方程④的根，因此，根据题意，方程④应无实根，那么当，即时，，符合题意；当，即或时，方程④得，即⑤，则方程⑤应无实根，所以有且．当时，只需，解得：，矛盾，舍去；当时，，解得：，因此．综上所述，c的取值范围是．【考点】一元二次方程根的判别式．。
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得到 cos C 3 即 C=30 ，进而 A 60 ， B 90 ，由 a 3 ，得到 c 2
由 SABC
1 (a 2
b
c)r
即
33 2
= 1（3+3 2
得到 3 ( AB BC)2 75 ， 4
即 ( AB BC)max 10 km （当且仅当 AB BC 时取得最值）……12 分
22、解析：（1） OA 0, 2 2e2 ， OB 2, 1 2e1 e2 ，其中 e1 、 e2 是成 60 夹角的两单位向量
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则
选项 B : 向量 a 、 b 、 c 都为非零向量时，平行具有传递性，选项 B 正确；
选项 C : 向量 a 与 b 模长相等，但是方向不一定相同或相反，可以为任意夹角，选项 C 错误；
选项 D :
由
|
a
b
||
a
b
|
得到
a
2
2a
b
2 b
a
2
2a
b
b
2
，即 a b 0 ，选项 D 正确。
故选 BD ．
10、解析：由正弦定理
a sin
A
b sin
B
知
sin
2 45
b sin
B
，得
sin
B
b 2
第1页共5页
选项 A : sin B 5 无解，选项 A 正确； 2
选项 B : sin B 1 ，恰有一解 B ，选项 B 正确； 2
选项 C : sin B 3 ，解得 B 或 B 2 ，有两解，选项 C 正确；
记设
BC
的中点为
D
，则
OD
0, 1
，得 |
AD
|
3
，从而高
h
|
AD
|
sin
60
3
3，
2
则 SABC
1 | BC 2
| h
1 2
4
33 2
3
3
法（二）： | OA | 2 ， |OB|=
2 4e1
4e1 e2
e2
2
……8 分
3 ，由（1）问知： OA OB
O
为 ABC
的重心，则 SABC
3） r ，得 r 3 2
3，
∴
SAOB
1 cr 2
1 2
3 3 3 3 3 3 ，选项 D 正确。
2
4
3 ，b2 3 ，
故选 BCD ．
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三、填空题： 13、 2
14、 0 且 2
15、 200
16、 1 2
13、解析：由正弦定理
a sin
A
b sin
B
知：
sin
3 60
2
3
3
选项 D : sin B 1 ，解得 B 或 B 5 （舍）只有一解，选项 D 错误。
2
6
6
故选 ABC ．
11、解析：选项 A : AB AC 0 得到 A 为锐角，不能推出 ABC 为锐角三角形，选项 A 错误；
选项 B : 由 sin A cos B 不能得到直角三角形，比如 A 120 ， B 30 选项 B 错误；
即 a 5 ，所以周长 l a b c 12 ，故选 C ．
7、解析： SABC
2R 2
sin
Asin B sin C
abc 4R
，得到 2R2
1 2
4 4R
，解得
R
1，
所以 SABC
2R 2
sin
A sin B sin C
2 12
1 =1 ，故选 2
A．
8、解析：由题知： FG 1， AB 5 ，设 AF BG x 0 ，则 AG x 1 ，
m
3)
，则
2
=
m
3
36
解得 m 7 ，故选 D ．
5、解析： PA PB PA PC ，即 PA PB PA PC 0 ，即 PA (PB PC) 0
PA CB 0 ，即 PA BC ，所以点 P 的轨迹经过 ABC 的垂心，故选 A ．
6、解析：由韦达定理知： b c 7 ， bc 8 ，则 a2 b2 c2 2bc cos (b c)2 3bc 25 3
3
3、解析： A : B : C 1: 2 : 3 ，得到 A=30，B=60，C=90 ，则 a : b : c sin A : sin B : sin C 1 : 3 :1 22
1: 3 : 2 ，故选 B ．
4、解析：
A、B、C
三点共线，则
AB
∥
BC
，且
AB=(3,
6)
，
BC
=(2,
∴ sin A 3 cos A ， 即 tan A 3 ，∴ A ． ……6 分 3
（2）
AD
AB
BD
AB
1
BC
AB
1
( AC
AB)
2
AB
1
AC
3
3
33
| AD |
2 3
AB
1 3
AC
2
4
2 AB
4
AB
AC
1
2 AC
9
9
9
将
|
AC
|
b
1
，
|
AB
|
c
3
OA
OB
2e2
(2e1
e2 )
4e1
e2
2e2
2
4
11
cos
60
2
0
……4 分
（2）① 法（一）： OA 0, 2 ， OB 2, 1 ，点 O 为 ABC 的重心，
则 OA OB OC 0 ，得 OC (OA OB) 2,1
则 BC 4,0 平行于 x 轴，且 |BC|=4 ，
1
2
3
4
5
6
高 2023 届高一（下）学月考试
数学
一、单选题： 1-4 : D、C、B、D
5-8 : A、C、A、B
1、解析：作基底的两个向量必须不共线，故选 D ．
2、解析： cos B a2 c2 b2 25 64 49 1 ，∴ B ，故选 C ．
2ac
2 5 8 2
在 RT AGB 中由勾股定理知： x2 (x 1)2 25 ，解得 x 3 ，
从而 AE AG | AE | cos | AG || AF | | AG | 3 4 12 ，故选 B ．
二、多选题： 9、BD 10、ABC 11、CD 12、BCD
9、解析：选项 A : 当 a 和 c 同时与 b 垂直时， a 与 c 的方向可以相反，模长也可不相等，选项 A 错误；
选项
A：B
C
2A
，且
A
B
C
，得
A
3
，由正弦定理知： 2 R
a sin a
3 sin 60
2
3，
所以 R 3 ，所以外接圆的面积为 3 ，选项 A 错误；
选项
B：bc
2a
6
，
p
1 (a 2
b c)
9 2
，由海伦公式知 SABC
9 3 (9 b)(9 c)
22 2
2
3 3
(9 b) (9 c)
从而 b ua =
2 b
2u
a
b
u
2a
2
4u 2 2 3u 1= 4(u
3) 2
1
1
。
2 42
四、解答题：
17、解析：（1） (2a+b) (4a
3b)
2 8a
2a b
2 3b
6
，即 8
2a b
12
6
，∴ a b
1…5
分
（2） | 2a b |
2 4a
4a b
所以 c 6cos A (3 2,3 3) ，选项 C 正确；
选项 D ： sin B 2sin C ，则 b 2c ，又 A 2C ，则 sin B sin( A C) sin 3C ，
由正弦定理得 2c b c ，即 2sin C sin 3C sin 2C cos C cos 2C sin C sin 3C sin B sin C
得到 1
……8 分
从而 OD (1, 2) ， OD 在 OB 上的投影 | OD |
OD OB
ODOB 5 1 ．……12 分
| OD | | OB | | OB | 5
20、解析：（1） a cos A ，即 a sin B 3b cos A ，即 2R sin A sin B 3 2R sin B cos A 3b sin B
得到向量 a 与向量 b 的夹角为 30 或150 ，同理 b ua 的最小值表示过向量 b 的终点向向量
1
a 所在直线作垂线得到的垂线长为 。
2
另解：| a b | =
2
b
2
2
ab
2 a
2 4 cos 4
当 2cos 时， | a b |min 4 cos 2 4 2 sin 1 ，∴ 30 或150
选项 C : 由已知得 a2 b2 c2 ，所以 ABC 为直角三角形. 选项 C 正确； 选项 D : 由已知得 cos C a2 b2 c2 0 ，所以 ABC 为钝角三角形，选项 D 正确。