向量的线性运算基础测试题含答案解析

【详解】
解： 四边形 ABCD 是平行四边形，
AD∥BC，AD＝BC ，
D． a 1 b 2
BC AD b ， BE＝CE ，
BE 1 b ， 2
AE AB BE, AB a ，
AE a 1 b ， 2
故选：A. 【点睛】 本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型.
A． a a 2a
B． a a 0
C． a b a b
D． a b b a
【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量的定义是既有大小又有方向的量，及向量的运算法则即可分析求解． 【详解】
A. a 与 a 大小、方向都相同，∴ a a 2a ，故本选项正确；
B. a 与 a 大小相同，方向相反，∴ a a 0 ，故本选项正确；
∴a∥b ，
a
3 2
b
a 与 b 方向相反，
∴A，B，D 正确，C 错误； 故选：C． 【点睛】
本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．已知 a ， b 为非零向量，如果 b ＝﹣5 a ，那么向量 a 与 b 的方向关系是（ ）
向量的线性运算基础测试题含答案解析
一、选择题
1．下列命题正确的是（ ）
A．如果| a |＝| b |，那么 a ＝ b B．如果 a 、 b 都是单位向量，那么 a ＝ b C．如果 a ＝k b （k≠0），那么 a ∥ b D．如果 m＝0 或 a ＝ 0 ，那么 m a ＝0
【答案】C 【解析】 【分析】 根据向量的定义和要素即可进行判断． 【详解】
C．
OG
＝（
3
8,
1 2
），
OH
＝（（﹣
2 ）2，8）
D． OM ＝（ 5 +2， 2 ）， ON ＝（ 5 ﹣2， 2 ） 2
【答案】A 【解析】 【分析】 根据向量互相垂直的定义作答． 【详解】
A、由于 3×（﹣3﹣1）+20190×1＝﹣1+1＝0，则 OC 与 OD 互相垂直，故本选项符合题意． B、由于（ 2 ﹣1）（ 2 +1）+1×1＝2﹣1+1＝2≠0，则 OE 与 OF 不垂直，故本选项不符
3．已知 a 1, b 3，而且 b 和 a 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）
A． a 3b
B． a 3b
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量的性质即可解决问题．
【详解】
C． b 3a
D． b 3a .
∵ a 1, b 3，而且 b 和 a 的方向相反
∴ b 3a .
故选 D． 【点睛】 本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
14．在 ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O ， AB a ， AD b ，那么 OD 等于（ ）
A． 1 a 1 b 22
【答案】D 【解析】
B． 1 a 1 b 22
C． 1 a 1 b 22
D． 1 a 1 b 22
【分析】
由四边形
ABCD
是平行四边形，可得
OD
1 2
BD
，，又由
BD
BA
AD
，即可求得
OD 的值．
【详解】
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OB=OD= 1 BD， 2
∴ OD 1 BD ， 2
∵ BD BA AD a b ，
∴ OD 1 BD = 1 (a b) 1 a 1 b
22
22
故选：D．
【点睛】
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
此题考查了向量的知识．解题时要注意平行四边形法则的应用，还要注意向量是有方向
【详解】
解：∵ a0 、 b0 都是单位向量
∴ a0 b0
故选 C. 【点睛】 本题考查了平面向量的知识．注意掌握单位向量的定义．
7．已知 m 、 n 是实数，则在下列命题中正确命题的个数是（ ）． ① m 0 ， a 0 时， ma 与 a 的方向一定相反； ② m 0 ， a 0 时， ma 与 a 是平行向量； ③ mn 0， a 0 时， ma 与 na 的方向一定相同；
故选：C． 【点睛】 本题主要考查向量的定义和要素，准备理解相关概念是关键.
2．如图， ABCD 中，E 是 BC 的中点，设 AB a, AD b ，那么向量 AE 用向量 a、b
表示为（ ）
A． a 1 b 2
B． a 1 b 2
C． a 1 b 2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据 AE AB BE ，只要求出 BE 即可解决问题.
C.根据实数对于向量的分配律，可知 a b a b ，故本选项正确；
D.根据向量的交换律，可知 a b b a ，故本选项错误.
故选 D. 【点睛】 本题考查向量的运算，掌握运算法则及运算律是解题的关键.
9．已知向量 A．A、B、D 【答案】A 【解析】 【分析】
，且 B． A、B、C
12．在矩形 ABCD 中，下列结论中正确的是（ ）
A． AB CD
B． AC BD
C． AO OD
【答案】C 【解析】 【分析】 根据相等向量及向量长度的概念逐一进行判断即可． 【详解】 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量 ．
A. AB CD ，故该选项错误；
B. AC BD ，但方向不同，故该选项错误；
A． OC 3,20190 ,OD 31,1
B． OE 2 1,1 ,OF 2 1,1
C．
OG
3
8,
1 2
, OH
2
2 ,8
D． OM
5 2,
2 ,
5 2,
2 2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意中向量垂直的性质对各项进行求解即可．
【详解】
A. 3 31 20190 1 0 ，正确；
边形 D．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解 【答案】C 【解析】 【分析】 根据单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定进行解答即可． 【详解】
解：A. 设 e 为单位向量，那么| e | 1，此选项说法正确； B. 已知 a 、 b 、 c 都是非零向量，如果 a 2c ， b 4c ，那么 a / /b ，此选项说法正
合题意．
C、由于 3 8 ×（﹣
2
）2+
1 2
×8＝4+4＝8≠0，则 OG
与 OH
不垂直，故本选项不符合题意．
D、由于（ 5 +2）（ 5 ﹣2）+ 2 × 2 ＝5﹣4+1＝2≠0，则 OM 与 ON 不垂直，故本选 2
项不符合题意． 故选：A． 【点睛】 本题考查了平面向量，解题的关键是掌握向量垂直的定义.
的．
15．已知 c 为非零向量， a 3c ， b 2c ，那么下列结论中错误的是（ ）
A． a / /b
【答案】C 【解析】
B．| a | 3 | b | 2
C． a 与 b 方向相同 D． a 与 b 方向相反
【分析】
根据平面向量的性质一一判断即可．
【详解】
∵ a 3c ， b 2c
∴a 3b， 2
C．B、C、D
则一定共线的三点是( ) D．A、C、D
证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即 可得到共线的三点 【详解】 解：由向量的加法原理知 所以 A、B、D 三点共线. 【点睛】 本题考点平面向量共线的坐标表示，考查利用向量的共线来证明三点共线的，属于向量知 识的应用题，也是一个考查基础知识的基本题型.
④ mn 0 ， a 0 时， ma 与 na 的方向一定相反．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
【答案】D
【解析】
D．4 个
【分析】
根据向量关系的条件逐一判断即可. 【详解】
解：①因为 m 0 ，1＞0， a 0 ，所以 ma 与 a 的方向一定相反，故①正确；
②因为 m 0 ，1≠0， a 0 ，所以 ma 与 a 是平行向量，故②正确；
解：A．向量是既有大小又有方向，| a |＝| b |表示有向线段的长度， a ＝ b 表示长度相
等，方向相同，所以 A 选项不正确； B．长度等于 1 的向量是单位向量，所以 B 选项不正确；
C. a ＝k b （k≠0）⇔ a ∥ b ，所以 C 选项正确； D．如果 m＝0 或 a ＝ 0 ，那么 m a ＝ 0 ，不正确．
确；
C. 四边形 ABCD 中， 如果满足 AB / /CD ，| AD || BC |，即 AD=BC，不能判定这个四边
形一定是平行四边形，此选项说法不正确； D. 平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解，此选项说法正 确． 故选：C． 【点睛】 本题考查的知识点是平面向量，掌握单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的 判定方法是解此题的关键．
10．规定：在平面直角坐标系中，如果点 P 的坐标为 m, n ，向量 OP 可以用点 P 的坐标
表示为： OP m, n ．已知 OA x1, y1 ， OB x2 , y2 ，如果 x1 x2 y1 y2 0 ，那么
OA 与 OB 互相垂直．在下列四组向量中，互相垂直的是（ ）
【答案】B 【解析】 【分析】 根据平面向量的性质解答即可． 【详解】
解：A、如果 a ＝3 b ，那么两向量是共线向量，则 a ∥ b ，故 A 选项不符合题意． B、如果| a | ＝ | b | ，只能判定两个向量的模相等，无法判定方向，故 B 选项符合题意．
C、 0 的方向不确定，大小为 0，故 C 选项不符合题意． D、根据向量模的定义知，| a | ＝2| e |＝2，故 D 选项不符合题意．
D． BO OD
C. 根据矩形的性质可知，对角线互相平分且相等，所以 AO OD ，故该选项正确；
D. BO OD ，故该选项错误；
故选：C．
【点睛】 本题主要考查相等向量及向量的长度，掌握相等向量的概念是解题的关键．
13．下列说法不正确的是( )
A．设 e 为单位向量，那么| e | 1 B．已知 a 、 b 、 c 都是非零向量，如果 a 2c ， b 4c ，那么 a / /b C．四边形 ABCD中， 如果满足 AB / /CD ，| AD || BC |，那么这个四边形一定是平行四
故选：B． 【点睛】 此题考查的是平面向量,掌握平面向量的性质是解决此题的关键.
6．若 a0 、 b0 都是单位向量，则有（ ）．
A． a0 b0
【答案】C 【解析】 【分析】
B． a0 b0
C． a0 b0
D． a0 b0
由 a0 、 b0 都是单位向量，可得 a0 b0 ．注意排除法在解选择题中的应用．
③因为 mn 0， a 0 ，所以 m 和 n 同号，所以 ma 与 na 的方向一定相同，故③正确；
④因为 mn 0 ， a 0 ，所以 m 和 n 异号，所以 ma 与 na 的方向一定相反，故④正确．
故选 D. 【点睛】
此题考查的是共线向量，掌握共线向量定理是解决此题的关键.
8．下列式子中错误的是（ ）．
B. 2 1 2 1 11 2 ，错误；
C.3
8
21 2 8 12
2 4 ，错误；
2
D. 5 2 5 2 2 2 2 ，错误； 2
故答案为：A． 【点睛】 本题考查了向量垂直的问题，掌握向量互相垂直的性质以及判定是解题的关键．
11．规定：在平面直角坐标系中，如果点 P 的坐标为（m，n），向量 OP 可以用点 P 的坐 标表示为： OP ＝（m，n）．已知 OA ＝（x1，y1）， OB ＝（x2，y2），如果 x1•x2+y1•y2 ＝0，那么 OA 与 OB 互相垂直，在下列四组向量中，互相垂直的是（ ） A． OC ＝（3，20190）， OD ＝（﹣3﹣1，1） B． OE ＝（ 2 ﹣1，1）， OF ＝（ 2 +1，1）
4．已知矩形的对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，若 BC a ， DC b ，则（ ）
A． BO 1 a b ； 2
B． BO 1 a b ； 2
C． BO 1 b a ； 2
【答案】D 【解析】
D． BO 1 b a ． 2
在BCD中，BO 1 BD, BD DC CB.CB BC 2
所以BO 1 (b-a)故选D 2
5．已知 a 、 b 为非零向量，下列判断错误的是（ ）
A．如果 a ＝3 b ，那么 a ∥ b B．| a | ＝| b | ，那么 a ＝ b 或 a ＝ -b C． 0 的方向不确定，大小为 0 D．如果 e 为单位向量且 a ＝﹣2 e ，那么| a | ＝2