沪科版八年级数学下册勾股定理教案

第1课时 勾股定理
1．经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)
2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题．(重点)
一、情境导入
如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？
二、合作探究
探究点一：勾股定理的证明
作8个全等的直角三角形，设它
们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，将它们像下图所示拼成两个正方形．求证：a 2＋b 2＝c 2.
解析：从整体上看，这两个正方形的边
长都是a ＋b ，因此它们的面积相等．我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理．
证明：由图易知，这两个正方形的边长都是a ＋b ，∴它们的面积相等．左边的正方形面积可表示为a 2＋b 2＋1
2ab ×4，右边的正
方形面积可表示为c 2＋12ab ×4.∵a 2＋b 2＋
1
2
ab ×4＝c 2＋1
2ab ×4，∴a 2＋b 2＝c 2.
方法总结：根据拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理．
探究点二：勾股定理
【类型一】 直接利用勾股定理求长度
如图，已知在△ABC 中，∠ACB
＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，CD ⊥AB 交AB 于点D ，求CD 的长．
解析：先运用勾股定理求出AC 的长，再根据S △ABC ＝12AB ·CD ＝1
2AC ·BC ，求出
CD 的长．
解：∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，∴由勾股定理得AC 2＝AB 2－BC 2＝52－32＝42，∴AC ＝4cm.又∵S △
ABC ＝
12AB ·CD ＝1
2AC ·BC ，∴CD ＝AC ·BC AB
＝
4×35＝125(cm)，故CD 的长是125
cm. 方法总结：由直角三角形的面积求法可
知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．
【类型二】 利用勾股定理求面积
如图，以Rt △ABC 的三边长为斜
边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3，则图中△ABE 的面积为________，阴影部分的面积为________．
解析：因为AE ＝BE ，∠E ＝90°，所以S △ABE ＝12AE ·BE ＝1
2
AE 2.又因为AE 2＋BE 2
＝AB 2
，所以2AE 2
＝AB 2
，所以S △ABE ＝1
4AB 2
＝14×32＝94；同理可得S △AHC ＋S △BCF ＝14AC 2
＋1
4BC 2.又因为AC 2＋BC 2＝AB 2，所以阴影部分的面积为14AB 2＋14AB 2＝12AB 2＝1
2×32＝
92.故分别填94，9
2
. 方法总结：求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系．
【类型三】 勾股定理与数轴
如图所示，数轴上点A 所表示的
数为a ，则a 的值是( )
A. 5＋1 B ．－5＋1 C.5－1 D. 5 解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A 点的坐标．图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为12＋22＝5，∴－1到A 的距离是 5.那么点A 所表示的数为5－1.故选C.
方法总结：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A 的符号后，点A 所表示的数是距离原点的距离．
【类型四】 利用勾股定理证明等式
如图，已知AD 是△ABC 的中
线．求证：AB 2＋AC 2＝2(AD 2＋CD 2)．
解析：结论中涉及线段的平方，因此可以考虑作AE ⊥BC 交BC 于点E .在△ABC 中构造直角三角形，利用勾股定理进行证明．
证明：如图，过点A 作AE ⊥BC 交BC 于点E .在Rt △ABE 、Rt △ACE 和Rt △ADE
中，AB 2＝AE 2＋BE 2，AC 2＝AE 2＋CE 2，AE 2＝AD 2－ED 2，∴AB 2＋AC 2＝(AE 2＋BE 2)＋(AE 2＋CE 2)＝2(AD 2－ED 2)＋(DB －DE )2＋(DC ＋DE )2＝2AD 2－2ED 2＋DB 2－2DB ·DE ＋DE 2＋DC 2＋2DC ·DE ＋DE 2＝2AD 2＋DB 2＋DC 2＋2DE (DC －DB )．又∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，∴AB 2＋AC 2＝2AD 2＋2DC 2＝2(AD 2＋CD 2)．
方法总结：构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来．一般地，涉及线段之间的平方关系问题时，通常沿着这个思路去分析问题．
【类型五】 运用勾股定理解决折叠中的有关计算
如图，四边形ABCD 是边长为9
的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B ′处，点A 对应点为A ′，且B ′C ＝3，则AM 的长是( )
A ．1.5
B ．2
C ．2.25
D ．2.5
解析：连接BM ，MB ′.设AM ＝x ，在Rt △ABM 中，AB 2＋AM 2＝BM 2.在Rt △MDB ′中，B ′M 2＝MD 2＋DB ′2.∵MB ＝MB ′，∴AB 2＋AM 2＝BM 2＝B ′M 2＝MD 2＋DB ′2，即92＋x 2＝(9－x )2＋(9－3)2，解得x ＝2，即AM ＝2.故选B.
方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x ，然后用含有x 的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答．
【类型六】 分类讨论思想在勾股定理中的应用
在△ABC 中，AB ＝20，AC ＝15，
AD 为BC 边上的高，且AD ＝12，求△ABC 的周长．
解析：应考虑高AD 在△ABC 内和△ABC 外的两种情形．
解：当高AD 在△ABC 内部时，如图①.在Rt △ABD 中，由勾股定理，得BD 2＝AB 2
－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD ＝25，∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60；
当高AD在△ABC外部时，如图②.同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42.综上所述，△ABC的周长为42或60.
方法总结：题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉原三角形为钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的
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