九江市2019年第一次高考模拟统一考试(试题+答案解析)

九江市2019年第一次高考模拟统一考试数 学（文科）（全卷满分150分， 考试时间120分钟）一.选择题(本大题共12小题，每小题5分, 共60分)1. 已知集合()(){}{}=⋂<=≤-+=B A x B x x x A x 则,12,021（ ）A.(]1--，∞ B.(]2,0 C.[)1,1- D.[)0,1- 2. 已知复数z 满足R i z ∈+2, z 的共轭复数为z ,=-z z ( )A. 0B.i 4C.i 4-D.-43. 已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的渐近线方程为,22x y ±=则该双曲线的离心率为（ ）A.22 B.26C. 2D. 3 4. 已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若甲的众数与乙的中位数相等，则图中x 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 65. 将函数)62sin(3)(π-=x x f 的图像向左平移4π个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍，得到函数)(x g 的图像，则)(x g 的解析式为( )A.())32sin(3π-=x x g B. ())3sin(3π+=x x g C.())34sin(3π+=x x g D. ())324sin(3π-=x x g6.已知ABC G ∆为的重心，且,C yB B xA G A ρρρ+=则y x ,的值分别为（ ）A.3131，B.3232，C.3231，D.3132， 7. 函数()2sin x xx f π=的图像大致为( )8.已知椭圆12222=+by a x ()0>>b a 的左、右焦点分别为Q P F F ,,,21为椭圆上的任意两点，若四边形21QF PF 为矩形，则该矩形的面积为（ ）A. 2aB. 22aC. 2bD. 22b9.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.32+πB.3+πC.23π+3 D.33+π 10.在平行四边形ABCD 中，∠B =ο60，E AB BC ,2,2==为BC 中点，则=∠AED cos （ ）A.77 B.772 C.77- D.772- 11.如图所示的是由三个半圆构成的图形，其中阴影部分的周长为π6，面积为π2，若在最大的半圆内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）A. 92B. 94C. 21D. 3212.已知()x f 是定义在()()∞+⋃∞，，00-上的函数，且x x f y ln )(-=是奇函数，ax x f y +=)(是偶函数，若方程0)(=x f 有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()1,0B. ()1,1-C. ⎪⎭⎫⎝⎛⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-e e 1,00,1 D. ),0()0,(e e ⋃-二、填空题(本大题共4小题，每小题5分, 共20分) 13. 曲线1ln 22=-=x x x y 在处的切线方程为 .x1 2 3 –3–2–1 0 y x 1 2 3 –3–2–1 0 y x 1 2 3 –3–2–1 0 y x1 2 3 –3–2–1 0 yABCD1 1 1 3主视图左视图 俯视图14. 已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-+≥+-040522012y x y x y x ， 则y x z 2-=的最大值为______.15. 已知αsin +32cos =α,则αtan = .16.如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，的中点，和分别为1111,C B D C N M 用过点NM A ,,的平面去截该正方体，则所得截面图形的周长为 .三、解答题（共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （一）必考题：（共60分） 17. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2+=+n S a n n . （1）求证：{}为等比数列1-n a ； （2）求数列{}n na n -的前n 项和n T .18. (本小题满分12分)如图，在ABC R t ∆中，AB D BC AB C 为,22,90===︒边的中点，AC E 为边上一点，且,2EC AE =以DE 为折痕，把ADE ∆折起得到一个四棱锥BCED P -,使得.2=PB（1）证明：.BCED PDE 平面平面⊥ （2）求四棱锥BCED P -的体积。

A C D A 1B 1C 1D 1 M B BACBC EDPED19.(本小题满分12分) 如图，已知抛物线x y E 4:2=的焦点为F,过点F 的直线l 与抛物线E 分别交于A,B 两点，点A 关于原点的对称点为C ，M 为AB 的中点。

（1）若x CM //轴，求直线l 的方程； （2）求直线BC 斜率的取值范围.20.(本小题满分12分)某地区当地一个空调厂家一年中有320天在生产和销售，该厂家的数据分析员分析了该厂每天的空调销售量)(x f （单位:台）与当天气温x （单位:℃）满足函数关系式)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-4030,804301040100,260x x x x x ＜，＜若在320个工作日内的平均气温频率分布直方图如下：（1）求该厂工人在工作时，当天气温为C C ︒︒25~20的概率，并求出这320天的日平均气温的中位数; （2）计算该空调厂家在这320个工作日内销售量的总和.（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）21. (本小题满分12分) 已知函数)(ln 2)(2R a x a xx a x f ∈-+=. （1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）证明：当0>a 时，()24-≥a x f 恒成立.（二）选考题：（共10分）22. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中, 曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 3t y t x (t 为参数,[)πα，0∈), 以坐标原点O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 2的极坐标方程为1cos 22+=θρρ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈020ρπθ，，(2) 若C 1与C 2有两个公共点, 求αtan 的取值范围.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数()()11≥-++=a a x ax x f .(1) 当1=a 时, 求不等式()()12<--x f x f 的解集; (2) 求证:()2≥x f , 并求等号成立的条件.江西省九江市2019年第一次高考模拟统一考试数学（文科）参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.D 解:由(1)(2)0x x +-≤，解得12x -≤≤，{|}12A x x ∴=-≤≤，由12x <得0x <，{|}0B x x ∴=<，A B ∴=I {|}10x x -≤<.故选D.2.C 解:设i z x y =+(,R x y ∈),则2i (2)i z x y +=++∈R ，2y ∴=-，2i z x ∴=-,4i z z -=-，故选C.3.B 解:由双曲线的渐近线方程知b a =，222213122a b e a +∴==+=，e ∴=，故选B. 4.C 解:由图可知，甲的众数是23，乙的中位数是22与20x +的平均数，22(20)232x ++∴=，4x ∴=，故选C.5.B 解:将()f x 的图像向左平移π4个单位得πππ())]446f x x +=+- 、π3sin(2)3x =+，再将横坐标变为原来的2倍，得π()3sin()3g x x =+，故选B.6.D 解:Q G 为∆ABC 的重心，111121()333333∴=+=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAG AB AC AB AB BC AB BC ，即23x =，13y =，故选D.7.A 解:2sin(π)()x f x x=Q 为奇函数，故排除B ，又()()()0123f f f ===，且1()402f =>.故选A. 8.D 解:设1PF m =，2PF n =，依题意得2222124m n F F c +==，由椭圆定义知2m n a +=， 而矩形12PF QF 的面积22222211[()()](44)222S m n m n m n a c b =⋅=+-+=-=，故选D.9.C 解:由三视图知，该几何体为半圆锥，正面三角形面积为12332⨯⨯=；背面展开为扇形，其弧长为12π1π2⨯⨯=，半径为22(3)12+=，则其面积为1π2π2⨯⨯=；3π32+，故选底面为半圆，其面积为1ππ122⨯⨯=，该几何体的表面积为C.10.A 解:E Q 为BC 中点，1BE ∴=，由余弦定理得2222cos 32AE AB BE AB BE B =+-⋅=-，2222cos 32DE CD CE CD CE C =+-⋅=+，222cos 2AE DE AD AED AE DE +-∴∠=⋅3232423232-++-=-⋅+77=.故选A. 11.B 解:设里面两个小半圆的半径分别为1r ，2r ，则最大的半圆的半径为12r r +，故阴影部分的周长121212π()ππ2π()6πC r r r r r r =+++=+=，123r r ∴+=，故最大半圆的面积21219ππ()22S r r =+=，又因为阴影部分的图形面积为2π，则在最大的半圆内随机取一点，该点取自阴影部分的概率2π499π2P ==,故选B.12.C 解: ()ln y f x x =-Q 是奇函数，()ln ||()ln ||f x x f x x ∴--=-+，即()()2ln ||f x f x x +-=①； 又()y f x ax =+Q 是偶函数，()()f x ax f x ax ∴--=+， 即()()2f x f x ax --=-②，由①②解得：()ln ||f x x ax =-,方程()0f x =有三个不同的实数解，等价于ln ||y x =与y ax =有三个交点，作出函数的图像可知，当1ea =±时,ln ||y x =与y ax =相切，当11(,0)(0,)e ea ∈-U 时，ln ||y x =与y ax =有三个交点，故选C.二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13.31y x =-. 解:1()4f x x '=-Q ，()31f '=，又()21f =Q ，∴23(1)y x -=-，即31y x =-.14. 1. 解:如图，作出可行域，当直线0:20l x y -=平移至经过点1(2,)2A 时， 2z x y =-取得最大值1.15.33.解:πsin 3cos 2sin()23ααα+=+=Q ,πsin()13α∴+=,ππ2π,32k k α∴+=+∈Z ,π2π,6k k α∴=+∈Z ,∴3tan 3=α.16.2132+. 解:如图，延长11,NM A D ，交于点P ，连接AP ，交1DD 于点E ，延长11,MN A B ，交于点Q ，连接AQ ，交1BB 于点F ， 则五边形MNFAE 即为所得截面，易得,E F 分别为1DD 和1BB的三等分点，则221113()()236ME NF ==+=，222131()33AE AF ==+=，22112()()222MN =+=，则五边形MNFAE 的周长为13132222136322⨯+⨯+=+. 三、解答题（共70分）17. 解:(Ⅰ)2n n a S n +=+Q ①，113a S ∴+=，解得132a =………2分 当2n ≥时，111n n a S n --+=+②，①-②得121n n a a --=………4分整理得111(1)2n n a a --=-，又1112a -=，{1}n a ∴-是首项为12，公比为12的等比数列…6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知112n n a -=， 112n n a ∴=+，2n n nna n -=………7分 故231123122222n n n n nT --=+++++L ③ 231112122222n n n n nT +-=++++L ④ ③-④得2311111(1)12111122122222222112nn n n n n n n n T +++-+=++++-=-=--L ……11分 222n nn T +∴=-……12分 18. 解: (Ⅰ)90C =︒Q ，22AB BC ==，∴3AC =，30A =︒，2AE EC =Q ，22333AE AC ∴==，在ADE ∆中，由余弦定理得 222222323312cos 1()213323DE AD AE AD AE A =+-⋅=+-⋅⋅⋅=，33DE ∴=………2分 D BCAA 1B 1D 1C 1 M NEF PQ又1PD BD ==Q，PB ，即222PB PD BD =+，PD D B ∴⊥………4分 又,DE BD Ü平面BCED ，DE BD D =I ，PD ∴⊥平面BCED ………5分 又PD Q Ü平面PDE ，∴平面PDE ⊥平面BCED ………6分 (Ⅱ)四边形BCED的面积为111122ABC ADE S S ∆∆-=⨯⨯………9分即四棱锥P BCED -，高1PD =， ∴四棱锥P BCED -的体积为113=………12分19. 解:(Ⅰ)设1122(,),(,)A x y B x y ，则11(,)y C x --，设直线l 的方程为1x my =+，由214x my y x =+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y my --=，124y y m ∴+=，124y y =-………2分 M Q 为,A B 的中点，1222M y y y m +∴==，221M x m =+，即2(21,2)M m m +， //CM x Q 轴，(1,0)F ∴为AM 的中点，2(12,2)A m m ∴--………4分A Q 在抛物线2:4E y x =上，22(2)4(12)m m ∴-=-，解得3m = 故直线l0y --=0y +=………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得212122212142()24221BC y y y y m mk x x m y y m m ++====+++++………8分 当=0m 时，=0BC k ………9分 当0m ≠时，222=12212+BC mk m m m=≤+，0BC k ≤<或02BC k <≤……11分 综上，直线BC斜率的取值范围是[………12分 20. 解: (Ⅰ)根据日平均气温频率分布直方图，气温为20C ~25C ︒︒的频率为15(0.00520.0120.0250.0450.04)0.3-⨯⨯+⨯+++=，即气温为20C ~25C ︒︒的概率0.3P =………3分气温在0C ~20C ︒︒的频率为5(0.0050.010.0250.045)0.425⨯+++=，设日平均气温的中位数为x ，则(20)0.060.50.425x -⨯=-，解得21.25C x =︒………6分 (Ⅱ)当气温为0C ~5C ︒︒时，天数为0.00553208⨯⨯=（天）， 取区间中点 2.5x =时，日销售量()602 2.555f x =-⨯=………7分 当气温为5C ~10C ︒︒时，天数为0.01532016⨯⨯=（天）， 取区间中点7.5x =时，日销售量()6027.545f x =-⨯=………8分当气温为10C ~30C ︒︒时，天数为(0.0250.0450.060.04)5320272+++⨯⨯=（天）， 日销售量()40f x =………9分取区间中点32.5x =时，日销售量()432.58050f x =⨯-=………10分 当气温为35C ~40C ︒︒时，天数为0.00553208⨯⨯=（天），取区间中点37.5x =时，日销售量()437.58070f x =⨯-=………11分销售量的总和为558451640272501670813400⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（台）………12分 21. 解:(Ⅰ)2222()()12()a ax ax f x a x x x +-'=--=(0x >)………1分当0a =时，()f x 在(,)0+∞上单调递减………2分当0a <时，由()0f x '>得1x a>-，由()0f x '<得10x a<<-，()f x 在1(0,)a-上单调递减，在1(,)a-+∞上单调递增………4分当0a >时，由()0f x '>得2x a>,由()0f x '<得20x a<<，()f x 在2(0,)a上单调递减，在2(,)a+∞上单调递增………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当0a >时,()f x 在2x a=处取得最小值22()(3ln )f a a a =-，要证()42f x a ≥-恒成立，只需证2(3ln )42a a a-≥-恒成立………8分由2(3ln )42a a a -≥-22ln 10a a⇔-+≤(0a >)，令2t a =，()ln 1g t t t =-+(0t >)………9分1()1g t t'=-(0t >)，当01t <<时，()0g t '>，当1t >时，()0g t '<，∴()g t 在(0,1)内单调递增，在(1,)+∞单调递减，()(1)0g t g ≤=，即22ln10a a-+≤，∴当0a >时，()42f x a ≥-恒成立………12分22. 解: (Ⅰ)将2C 的极坐标方程22cos +1ρρθ=化为直角坐标系中的普通方程：2221x y x +=+，即22(1)2x y -+=………2分又π[0,],02θρ∈>，则0,0y x ≥≥………4分∴曲线2C 的直角坐标方程为22(1)2x y -+=(0,0)y x ≥≥………5分(Ⅱ)依题意得曲线1C 是过点(3,0)，倾斜角为α的直线………6分设1:(3)C y k x =-，若22(1)2x y -+=与1C 相切，则满足(1,0)到1:30C kx y k --=，即=1k =-，1k =(舍去)………8分当曲线1C 经过点(0,1)时，其斜率13k =-………9分 根据图形可知，当113k -<≤-时,1C 与2C 有两个公共点，即tan α的取值范围是 1(1,]3--………10分23.解:(Ⅰ)当1a =时，不等式()(2)1||||131f x f x x x --<⇔+--<………1分当13x -≤≤时，不等式变形为221x -<，解得312x -≤<………3分 当3x >时，不等式为41<，显然不成立………4分 综上，不等式的解集为3{|}2x x <………5分(Ⅱ)证明：11()||||||||f x a x x a x x a a a =++-≥++-1|()()|x x a a ≥+--12a a =+≥……8分当且仅当1a =且11x -≤≤时等号成立………10分。