离散图论部分习题课

11. 设有向简单D的度数列为2，2，3，3，入度列为 0，0，2，3，试求D的出度列。
解：设有向简单图D的度数列为2，2，3，3， 对应的顶点分别为v1,v2,v3,v4, 由于d(v)=d+(v)+d-(v), 所以d+(v1)= d(v1)-d-(v1)=2-0=2, d+(v2)= d(v2)-d-(v2)=2-0=2, d+(v3)= d(v3)-d-(v3)=3-2=1, d+(v4)= d(v4)-d-(v4)=3-3=0, 于是D的出度列为2，2，1，0。
由此可知,图G中至少有11个顶点: 3个4度点,4个3度点和 4个2度点; 至多有15个顶点: 3个4度点,4个3度点和8个1 度点.
8. 设G1,G2,G3,G4均是4阶3条边的无向简单图， 则它们之间至少有几个是同构的？
解： 4阶3条边非同构的无向简单图共有3个，因此 G1,G2,G3,G4中至少有2个是同构的。
10. 无向图G中有9个顶点,每个顶点的度数不是5就是6, 证明:图G中至少有5个6度的顶点或至少有6个5度的顶点.
证明:由于度数为奇数的顶点必为偶数个,所以度数为5的顶 点个数必为偶数,即可能为0、2、4、6、8.因为总数是9个顶 点,所以6度的顶点个数分别为9、7、5、3、1,于是图G中至 少有5个6度的顶点或至少有6个5度的顶点.
9. 是否存在3个顶点和6个顶点的自补图？ 解: 由于顶点为n的无向完全图的边数为 n(n 1.)
2
设G的自补图为G’,则G与G’的边数相等. 设它们的边数各为m,于是有m+m=n(n 1)
2
即m=n(n-1)/4, 而m为正整数,所以要么n=4k或n=4k+1, 所以不存在3个顶点和6个顶点的自补图.
解:由于Nk×k+(n-Nk)×(k+1)=2m 于是:Nk=n(k+1)-2m.
4. 试画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图
5. 判断下述每一对图是否同构: (1)
度数列不同 不同构
(2) 不同构
入(出)度列不同
(3)
度数列相同
但不同构
6. 一个图是自补图,设顶点数为n,其边数为m,其对应的 完全图的边数是多少?
本章重点
一、掌握有关图的基本概念： 邻接 关联 有向图 无向图 n阶图 底图 平行边 多重图 连通图 自回路（环） 简单图 二、掌握图中顶点的度数，握手定理及其推论
定理：设图G是具有n个顶点、m条边的无向图，
其中点集V={v1， v2，… vn }, 则
n
deg(vi ) 2m
i 1
由该定理可得：
思考题答案：
1. 有9个人一起打乒乓球，已知他们每人至少与其中另外 3个人各打过一场球，试证明至少有一人不止和3个人 打过球.
证明: 用9 个顶点vi表示9个人,顶点间的一条边表示这两人打 过一场球,可构成一个无向图,若每个人仅和其余3个人各打过 一场球，则d(vi) =3,而此时图G的奇数度点是9个,即奇数个, 因此产生矛盾,于是至少有一人不止和3个人打过球.
（2）1，2，3，4，5 （4）1，2，3，4，6
13. 如图是二部图，求其最大匹配。
a1
a2
V1
a3
a4
V2
b1
b2
b3
b4
b5
14.完全二部图Km, n=(V1,V2,E)共有多少条边?
15. 当n取何值时，完全图Kn是欧拉图？ 16. 证明：对于任意一个无向连通图，必能从任意 一点出发经过图中每边恰好两次再回到出发点。
思考题： 1. 有9个人一起打乒乓球，已知他们每人至少与其中另外
3个人各打过一场球，试证明至少有一人不止和3个人 打过球. 2. 若无向图G有12条边，G中有6个3度结点，其余结点度数 均为2，问G中有多少个结点？ 3. 设n阶图G中有m条边,每个顶点的度数不是k就是k+1, 若G中有Nk个k度顶点,Nk+1个k+1度的顶点,试求出顶点 个数Nk的表达式. 4. 试画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图. 5. 判断下述每一对图是否同构?
2.若无向图G有12条边，G中有6个3度结点，其余结点度数 均为2，问G中有多少个结点？
解:设图中有x个结点,由握手定理可得: 6×3+(x-6) ×2=2×12 于是 x=9, 所以G中有9个结点.
3. 设n阶图G中有m条边,每个顶点的度数不是k就是k+1, 若G中有Nk个k度顶点,Nk+1个k+1度的顶点,试求出顶点 个数Nk的表达式.
(握手定理)
推论: 度数为奇数的顶点的个数必为偶数。
三、掌握有向完全图和无向完全图及推论
推论1：
n阶无向完全图Kn
共有
n(n 1) 2
条边。
推论2： n阶有向完全图， 共有n(n-1) 条边。
四、掌握图的同构
五、掌握补图及自补图
六、掌握二部图及完全二部图
Hale Waihona Puke Baidu
七、掌握求二部图的最大匹配的方法 八、掌握欧拉图及半欧拉图及其应用
12.下列各组数中不能构成无向图的的度数列的是（ ） （1）1，1，2，3，5 （2）1，2，3，4，5 （3）1，3，1，3，2 （4）1，2，3，4，6
解: 根据自补图的定义其对应的完全图的边数是2m.
7. 设无向简单连通图G有16条边,有3个4度顶点,4个3度顶 点,其余顶点的度数都小于3,问G至少有多少个顶点,至多 有多少个顶点?
解: 由题设可知,图G中有16条边,所以图G中各点的度数 之和为32. 又由于图G中有3个4度顶点和4个3度顶点,这7个点的度数 之和为24,而图G中其余点的度数小于3,即图G中其余点的 度数只可能是2或1(由于图G是连通图,所以无零度点).
9. 是否存在3个顶点和6个顶点的自补图？
10. 无向图G中有9个顶点,每个顶点的度数不是5就是6,
证明:图G中至少有5个6度的顶点或至少有6个5度的顶点. 11. 设有向简单D的度数列为2，2，3，3，入度列为0，0， 2，3，试求D的出度列。
12.下列各组数中不能构成无向图的的度数列的是（ ）
（1）1，1，2，3，5 （3）1，3，1，3，2
(1)
(2)
(3) 6. 一个图是自补图,设顶点数为n,其边数为m,其对应的 完全图的边数是多少?
7. 设无向简单连通图G有16条边,有3个4度顶点,4个3度顶 点,其余顶点的度数都小于3,问G至少有多少个顶点,至多 有多少个顶点? 8. 设G1,G2,G3,G4均是4阶3条边的无向简单图， 则它们之间至少有几个是同构的？