离散图论部分习题课
复旦大学 计算机院 赵一鸣 离散数学 图论习题
(1)证明连通：任两点连通。 反证，不连通：1）若干连通分支 2）存在2个顶点，它们之间没有路 (2)证明G为树：树的等价定义证明方法， 利用树的等价定义；证明G有生成树， 可证明G连通，再用定理7.3 (3)利用Euler公式，推论6.1和6.2，及定 理6.2的证明方法，结合定理5.1;做过的 习题 (4)连通度证明，定理8.1及做过习题证明 方法
[7.21] (1)试画一棵带权1, 3, 8, 9, 12, 15, 16的最 优二分树。
W(T)=(1+3)*5+8*4+9*3+(12+15+16)*2
=20+32+27+86=165
(2)试将最优二分树的霍夫曼算法推广到最优 m 分树上, 其中m3。 当t-1不是m -1的倍数时, 则添加k个权为0的,使t1+k是m -1的倍数. 画一棵最优m分树方法是: 这里 t是权的个数 设t个权w1,w2,,wt,w1w2wt 首先构造t棵树,每棵树是一个顶点(即根),分别带 权 w1,w2, ,wt。 然后找出m个带最小权w1,w2 ,,wm的顶点作为 树叶, 构造一棵m分树。
(半)Euler图,充要条件 (半)Hamilton图,必要条件，充分条件 (半)Euler有向图,充要条件 (半)Hamilton有向图，有关结论 平面图，面，内部面，外部面 Euler公式,推论6.1，6.2 库拉托斯基定理 对偶图，定义，特点 点着色，面着色，地图
点连通度，边连通度，最小度数的关系 定理8.1 网络，容量，流量，可行流，最大流， 割容量，最小割 匹配，v关于M饱和，完美匹配，最大匹 配，完全匹配 交错路，增广路，定理8.8(最大匹配的充 要条件。 邻集，霍尔定理
离散数学图论练习题(优选试题)
图论练习题一.选择题1、设G是一个哈密尔顿图，则G一定是( )。
(1) 欧拉图(2) 树(3) 平面图(4)连通图2、下面给出的集合中，哪一个是前缀码？()(1) {0，10，110，101111}(2) {01，001，000，1}(3) {b，c，aa，ab，aba}(4) {1，11，101，001，0011}3、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中()的路。
4、设G是一棵树，则G 的生成树有( )棵。
(1) 0(2) 1(3) 2(4) 不能确定5、n阶无向完全图Kn 的边数是( )，每个结点的度数是( )。
6、一棵无向树的顶点数n与边数m关系是()。
7、一个图的欧拉回路是一条通过图中( )的回路。
8、有n个结点的树，其结点度数之和是()。
9、下面给出的集合中，哪一个不是前缀码( )。
(1) {a，ab，110，a1b11} (2) {01，001，000，1}(3) {1，2，00，01，0210} (4) {12，11，101，002，0011}10、n个结点的有向完全图边数是( )，每个结点的度数是( )。
11、一个无向图有生成树的充分必要条件是( )。
12、设G是一棵树，n,m分别表示顶点数和边数，则(1) n=m (2) m=n+1 (3) n=m+1 (4) 不能确定。
13、设T=〈V,E〉是一棵树，若|V|>1，则T中至少存在( )片树叶。
14、任何连通无向图G至少有( )棵生成树，当且仅当G 是( )，G的生成树只有一棵。
15、设G是有n个结点m条边的连通平面图，且有k个面，则k等于:(1) m-n+2 (2) n-m-2 (3) n+m-2 (4) m+n+2。
16、设T是一棵树，则T是一个连通且( )图。
17、设无向图G有16条边且每个顶点的度数都是2，则图G有( )个顶点。
(1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 1618、设无向图G有18条边且每个顶点的度数都是3，则图G有( )个顶点。
离散数学习题课图论
2021/6/28
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练习2(续)
D的邻接矩阵的前4次幂.
1 2 0 0
A 0
0
1
0
1 0 0 1
0
0
1
0
1 2 2 0
A 2 1
0
0
1
1 2 1 0
1
0
0
1
3 2 2 2
A3
1
2
1
0
2 2 2 1
1
2
1
0
Hale Waihona Puke 5 6 4 2A4
2
2
2
1
4 4 3 2
2
2
2
1
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练习2(续)
(5) v1到v1长度为1,2,3,4的回路数分别为 1,1,3,5. 其中长度为1的是初级的(环)；长度 为2的是复杂的；长度为3的中有1条是复杂 的，2条是初级的；长度为4的有1条是复杂 的，有4条是非初级的简单回路. (6) 长度为4的通路(不含回路)为33条. (7) 长度为4的回路为11条. (8) 长度4的通路88条，其中22条为回路. (9) 44的全1矩阵.
9阶无向图G中，每个顶点的度数不是5就 是6. 证明G中至少有5个6度顶点或至少有 6个5度顶点.
方法一：穷举法
设G中有x个5度顶点，则必有(9x)个6度顶点， 由握手定理推论可知，(x,9x)只有5种可能： (0,9), (2,7), (4,5), (6,3), (8,1）它们都满足要求.
方法二：反证法
〔1 n 6〕 熟练掌握求最优树的方法
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习题1
离散数学图论习题
1 第4章 图论综合练习一、 单项选择题1．设L 是n 阶无向图G 上的一条通路，则下面命题为假的是( )． (A) L 可以不是简单路径，而是基本路径可以不是简单路径，而是基本路径 (B) L 可以既是简单路径,又是基本路径又是基本路径 (C) L 可以既不是简单路径，又不是基本路径可以既不是简单路径，又不是基本路径 (D) L 可以是简单路径，而不是基本路径可以是简单路径，而不是基本路径 答案：A 2．下列定义正确的是( )． (A) 含平行边或环的图称为多重图含平行边或环的图称为多重图 (B) 不含平行边或环的图称为简单图不含平行边或环的图称为简单图 (C) 含平行边和环的图称为多重图含平行边和环的图称为多重图 (D) 不含平行边和环的图称为简单图不含平行边和环的图称为简单图 答案：D 3．以下结论正确是．以下结论正确是 ( )．(A) 仅有一个孤立结点构成的图是零图仅有一个孤立结点构成的图是零图 (B) 无向完全图K n 每个结点的度数是n (C) 有n (n >1)个孤立结点构成的图是平凡图个孤立结点构成的图是平凡图 (D) 图中的基本回路都是简单回路图中的基本回路都是简单回路 答案：D 4．下列数组中，不能构成无向图的度数列的数组是( )． (A) (1,1,1,2,3) (B) (1,2,3,4,5) (C) (2,2,2,2,2) (D) (1,3,3,3) 答案：B 5．下列数组能构成简单图的是( )． (A) (0,1,2,3) (B) (2,3,3,3) (C) (3,3,3,3) (D) (4,2,3,3) 答案：C 6．无向完全图K 3的不同构的生成子图的个数为（的不同构的生成子图的个数为（ ）．）． (A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3 答案：C 7．n 阶无向完全图K n 中的边数为（中的边数为（）．）． (A) 2)1(+n n (B) 2)1(-n n (C) n (D)n (n +1) 答案：B 8．以下命题正确的是( )．(A) n (n ³1)阶完全图K n 都是欧拉图都是欧拉图 (B) n (n ³1)阶完全图K n 都是哈密顿图都是哈密顿图(C) 连通且满足m =n －1的图<V ,E >(½V ½=n ,½E ½=m )是树是树(D) n (n ³5)阶完全图K n 都是平面图都是平面图 答案：C 10．下列结论不正确是( )．(A) 无向连通图G 是欧拉图的充分必要条件是G 不含奇数度结点不含奇数度结点(B) 无向连通图G 有欧拉路的充分必要条件是G 最多有两个奇数度结点最多有两个奇数度结点 (C) 有向连通图D 是欧拉图的充分必要条件是D 的每个结点的入度等于出度的每个结点的入度等于出度(D) 有向连通图D 有有向欧拉路的充分必要条件是除两个结点外，每个结点的入度等2 于出度于出度 答案：D 11．无向完全图K 4是（是（）．）． （A ）欧拉图）欧拉图 （B ）哈密顿图）哈密顿图 （C ）树）树 答案：B 12．有4个结点的非同构的无向树有个结点的非同构的无向树有 ( )个．个． (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 答案：A 13．设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，必须删去G 的( )条边，才能确定G 的一棵生成树．一棵生成树．(A) 1+-n m (B) m n - (C) 1++n m (D) 1+-m n 答案：A 14．设G 是有6个结点的完全图，从G 中删去( )条边，则得到树．条边，则得到树． (A) 6 (B) 9 (C) 10 (D) 15 答案：C 二、 填空题1．数组{1，2，3，4，4}是一个能构成无向简单图的度数序列，是一个能构成无向简单图的度数序列， 此命题的真值是此命题的真值是 . 答案：0 2．无向完全图K 3的所有非同构生成子图有的所有非同构生成子图有个．个． 答案：4 3．设图G =<V ,E >，其中|V |=n ,|E |=m ．则图G 是树当且仅当G 是连通的，且m = ． 答案：n －1 4．连通图G 是欧拉图的充分必要条件是是欧拉图的充分必要条件是 ． 答案：图G 无奇数度结点无奇数度结点5．连通无向图G 有6个顶点9条边，从G 中删去中删去 条边才有可能得到G 的一棵生成树T ． 答案：4 6．无向图G 为欧拉图，当且仅当G 是连通的，且G 中无中无 结点．结点． 答案：奇数度答案：奇数度7．设图>=<E V G ,是简单图，若图中每对结点的度数之和是简单图，若图中每对结点的度数之和 ，则G 一定是哈密顿图．一定是哈密顿图． 答案：V ³8．如图1所示带权图中最小生成树的权是所示带权图中最小生成树的权是 ．答案：12三、化简解答题1．设无向图G ＝<V ,E >，V ={v 1，v 2，v 3，v 4，v 5，v 6}， E ={( v 1，v 2), ( v 2，v 2), ( v 4，v 5), ( v 3，v 4), ( v 1，v 3), ( v 3，v 1), ( v 2，v 4)}． (1) 画出图G 的图形；的图形；v 1 v 2v 6 v 5v 3v 4图2 ·2 2 3 · 1 · 7 9 2 · 8 · 6 图1 3 (2) 写出结点v 2, v 4，v 6的度数；的度数； (3) 判断图G 是简单图还是多重图．是简单图还是多重图． 解：(1) 图G 的图形如图5所示．所示． (2) 0)deg(,3)deg(,4)deg(642===v v v ．(3) 图G 是多重图．作图如图2. 2．设图G ＝<V ，E >，其中，其中V ＝{a ,b ,c ,d ,e }, E ={(a ,b ),(b ,c ),(c ,d ), (a ,e )} 试作出图G 的图形，并指出图G 是简单图还是多是简单图还是多重图？是连通图吗？说明理由. 解：图G 如图8所示．. 图G 中既无环，也无平行边，是简单图．中既无环，也无平行边，是简单图． 图G 是连通图．G 中任意两点都连通.所以，图G 有9个结点．作图如图3．四、计算题1．设简单连通无向图G 有12条边，G 中有2个1度结点，2个2度结点，3个4度结点，其余结点度数为3．求G 中有多少个结点．试作一个满足该条件的简单无向图．中有多少个结点．试作一个满足该条件的简单无向图．解：设图G 有x 个结点，由握手定理个结点，由握手定理2´1+2´2+3´4+3´（x -2-2-3）＝12´2 271821243=-+=xx ＝9 故图G 有9个结点．个结点． 满足该条件的简单无向图如图4所示所示2．设图G (如图5表示)是6个结点a ,b ,c , d ,e ,f的图，试求，图G 的最小生成树，并计算它的权．的最小生成树，并计算它的权．解：构造连通无圈的图，即最小生成树，用解：构造连通无圈的图，即最小生成树，用克鲁斯克尔算法：克鲁斯克尔算法： 第一步：第一步： 取ab ＝1；第二步：；第二步： 取af =4 第三步：第三步： 取fe ＝3；第四步：；第四步： 取ad =9 第五步：第五步： 取bc =23 如图6．权为1+4+3+9+23=40 3．一棵树T 有两个2度顶点，1个3度顶点；3个4度顶点，度顶点， 问它有几片树叶？问它有几片树叶？解：设T 有n 顶点，则有n －1条边．T 中有2个 2度顶点，1个3度顶点，3个4度顶点，度顶点， 其余n －2－1-3个1度顶度顶点．点．由握手定理：由握手定理： 2·2+12+1··3+3·4+ (n －2－1-3)=2(n －1) 解得解得 n =15．于是T 有15-6=9片树叶片树叶五、证明题1．若无向图G 中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的．中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的．证：用反证法．设G 中的两个奇数度结点分别为u 和v ．假若u 和v 不连通．不连通．即它们之间无任何通路，则G 至少有两个连通分支G 1，G 2，且u 和v 分别属于G 1和G 2，于是G 1和G 2各含有一个奇数度结点．各含有一个奇数度结点．这与握手定理的推论矛盾．这与握手定理的推论矛盾．这与握手定理的推论矛盾．因而因而u 和v 一定是连通的．通的．a hb h h ec h hd 图3 图4 b · 23 1 c · · a 4 · f 9 3 d · ·e 图6 b · 23 1 15 c · 25 ·a 4 · f 28 9 16 3 d · 15 ·e 图5 。
离散图论部分习题
图的着色问题习题解答
01
图的着色问题：给定一个图，使 用最少的颜色对图中顶点进行着 色，使得相邻的顶点颜色不同。
02
图的着色问题是一个经典的NP难 问题，其求解方法包括贪心算法 、回溯算法等。
最小生成树问题习题解答
习题解答与解析
欧拉路径与回路习题解答
欧拉路径
一个路径是欧拉路径，如果它通过图 中的每条边恰好一次。
欧拉回路
一个路径是欧拉回路，如果它通过图 中的每条边恰好一次，并从某一条边 开始，最后回到这条边结束。
哈密顿路径与回路习题解答
哈密顿路径
一个路径是哈密顿路径，如果它通过图中的每个顶点恰好一 次。
哈密顿回路
02
基础问题解析
欧拉路径与回路
定义
一个遍历图中的所有边且每条边只遍历一 次的路径称为欧拉路径。如果这个路径的 起点和终点是同一点，则称为欧拉回路。
求解方法
应用
在计算机科学中，欧拉回路可用于解 决一些优化问题，如旅行商问题。
通过穷举法或动态规划法寻找是否存 在欧拉回路，并确定回路的长度。
哈密顿路径与回路
应用场景
最短路径问题在路由选择、 物流配送、旅行规划等领 域有广泛应用。
图的连通性问题
连通性定义
一个无向图是连通的，如果任意两个顶点之间都存在一条路径。
连通性判定
常用的连通性判定算法有深度优先搜索和广度优先搜索。
应用场景
图的连通性问题在社交网络分析、交通网络分析、通信网络分析 等领域有广泛应用。
04
离散图论部分习
目录
• 基础知识回顾 • 基础问题解析 • 高级问题解析 • 习题解答与解析
离散数学习题解答第6部分(图论)
离散数学习题解答 习题六 （第六章 图论）1．从日常生活中列举出三个例子，并由这些例子自然地导出两个无向图及一个向图。
[解] ①用V 代表全国城市的集合，E 代表各城市间的铁路线的集合，则所成之图G=（V ，E ）是全国铁路交通图。
是一个无向图。
②V 用代表中国象棋盘中的格子点集，E 代表任两个相邻小方格的对角线的集合，则所成之图G=（V ，E ）是中国象棋中“马”所能走的路线图。
是一个无向图。
③用V 代表FORTRAN 程序的块集合，E 代表任两个程序块之间的调用关系，则所成之图G+（V ，E ）是FORTRAN 程序的调用关系图。
是一个有向图。
2．画出下左图的补图。
[解] 左图的补图如右图所示。
3．证明下面两图同构。
a v 2 v 3 v 4图G图G ′[证] 存在双射函数ϕ:V →V ′及双射函数ψ : E →E ′ϕ (v 1)=v 1′ ϕ (v 1，v 2)=(v 1′，v 2′) ϕ (v 2)=v 2′ ϕ (v 2，v 3)=(v 2′，v 3′) ϕ (v 3)=v 3′ ϕ (v 3，v 4)=(v 3′，v 4′) ϕ (v 4)=v 4′ ϕ (v 4，v 5)=(v 4′，v 5) ϕ (v 5)=v 5′ ϕ (v 5，v 6)=(v 5′，v 6′) ϕ (v 6)=v 6′ϕ (v 6，v 1)=(v 6′，v 1′) ϕ (v 1，v 4)=(v 1′，v 4′) ϕ (v 2，v 5)=(v 2′，v 5′) ϕ (v 3，v 6)=(v 3′，v 6′)显然使下式成立：ψ (v i ，v j )=(v i ,v j ′)⇒ ϕ (v i )=v i ′∧ϕ (v j )=v j ′ (1≤i ·j ≤6) 于是图G 与图G ′同构。
4．证明（a ），（b ）中的两个图都是不同构的。
图G 中有一个长度为4的圈v 1v 2v 6v 5v 1，其各顶点的度均为3点，而在图G ′中却没有这样的圈，因为它中的四个度为3的顶点v 1'，v 5'，v 7'，v 3'不成长度的4的圈。
离散数学-图论-习题公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 A100001010 B011000100 C000110010 D1 1 0 0 0 0 0 0 1 E000011100 F001100001
311页（2）构造一种欧拉图，其结点数v和边数e满足下述条件
a)v，e旳奇偶性一样。 b) v，e旳奇偶性相反。 假如不可能，阐明原因。
练习 321页（1）
(a) v*=5,e*=8,r*=5
(b) v*=7,e*=13,r*=12
(c) v*=5,e*=6,r*=3
(d) v*=7,e*=12,r*=7
321页(4)证明：若图G是自对偶旳，则e=2v-2。
证明： 若图G是自对偶旳，则v=v*，e=e*，即 r*=v=v*=r，e=e* 则由欧拉定理v-e+r=2 得v-e+v=2，即e=2v-2。 若图G是自对偶旳，则e=2v-2。
1 0 1 10
A=
1 0 0 00
1 0 1 00
0 0 0 00 i=4时，因为A[4,2]=1，将第四行
用Warshall算法求可
加到第2行，A不变。
达性矩阵。
i=5时，因为A旳第5列全为0，所
i=1时，因为A旳第一行 以A不变。
0 0 0 00
全为0，所以A不变。
i=2时，因为A旳第2列 全为0，所以A不变。
无向图G具有一条欧拉回 路，当且仅当G是连通旳，而且 全部结点度数全为偶数。下面旳 图中全部结点度数全为偶数，所
以都是欧拉图。
ห้องสมุดไป่ตู้v=3,e=3
v=5,e=5
v=4,e=4 v=4,e=6
v=7,e=8
v=6,e=7
311页（6）
(图论)离散数学习题参考答案2
解此不等式可得 n ≥ 7 ， 即 G 中至少有 7 个顶点， 当为 7 个顶点时， 其度数列为 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4 ， Δ = 4, δ = 2 8. 设有 n 个顶点，由握手定理可得： ∑ d (vi ) = 2m ，即
i =1 n
1 × (3 + 5) + (n − 2) × 2 = 2 × 6
d − (v1 ) = 3, d + (v1 ) = 0; d − (v2 ) = 1, d + (v2 ) = 2; d − (v3 ) = 1, d + (v3 ) = 3; d − (v4 ) = 2, d + (v4 ) = 2
第十一次： （欧拉图与哈密顿图）P305 1.2.11.21 （无向树及其性质）P318 2.24(a), 25(b) 1. (a),(c) 是欧拉图，因为它们均连通且都无奇度顶点； (b),(d)都不是欧拉图；因为(b) 不连通，(d) 既不连通又有奇度顶点；要使(b),(d)变为欧拉图 均至少加两条边，使其连通并且无奇度顶点。如下图所示。
(1) v2 到 v5 长度为 1,2,3,4 的通路数分别为 0, 2, 0,0 条； (2) v5 到 v5 长度为 1,2,3,4 的通路数分别为 0,0,4,0 条； (3) D 中长度为 4 的通路（含回路）为 32 条； (4) D 中长度为小于或等于 4 的回路数为 12 条； (5) 因为 D 是强连通图，所以可达矩阵为 4 阶全 1 方阵，如上图所示。 46. 各点的出度和入度分别如下：
(v2,12)** (v5, 7)*
根据上表的最后一行，从 v1 到其余各点的最短路径和距离如下： v1v2, d(v1,v2)=6 v1v2v6, d(v1,v6)=12 v1v3, d(v1,v3)=3 v1v3v4v5v7, d(v1,v7)=7 v1v3v4, d(v1,v4)=5 v1v3v4v5v7v8, d(v1,v8)=10 v1v3v4v5, d(v1,v5)=6
离散数学及其应用图论部分课后习题答案
作业答案：图论部分P165:习题九1、 给定下面4个图（前两个为无向图，后两个为有向图）的集合表示，画出它们的图形表示。
（1）111,G V E =<>，112345{,,,,}V v v v v v =，11223343345{(,),(,),(,),(,),(,)}E v v v v v v v v v v = （2）222,G V E =<>，21V V =，11223344551{(,),(,),(,),(,),(,)}E v v v v v v v v v v = （3）13331,,,D V E V V =<>=31223324551{,,,,,,,,,}E v v v v v v v v v v =<><><><><> （4）24441,,,D V E V V =<>=31225523443{,,,,,,,,,}E v v v v v v v v v v =<><><><><> 解答： （1） （2）10、是否存在具有下列顶点度数的5阶图？若有，则画出一个这样的图。
（1）5，5，3，2，2；（2）3，3，3，3，2；（3）1，2，3，4，5；（4）4，4，4，4，4 解答：（1）（3）不存在，因为有奇数个奇度顶点 。
14、设G 是(2)n n ≥阶无向简单图，G 是它的补图，已知12(),()G k G k δ∆==，求()G ∆，()G δ。
解答：2()1G n k ∆=--；1()1G n k δ=--。
15、图9.19中各对图是否同构？若同构，则给出它们顶点之间的双射函数。
解答：（c ）不是同构，从点度既可以看出，一个点度序列为4，3，3，3，3而另外一个为4，4，3，3，1（d ）同构，同构函数为16、画出所有3条边的5阶简单无向图和3条边的3阶简单无向图。
离散图论部分习题课
(*)
V1
a1
a2
(b1)
(b3)
a3
a4
V2
b1
b2
b3
b4
b5
(a2)
(a2)
(a3)
④从a3出发，把b4标记成(a3)，因为b4是非饱和点，说明已找到一 条增长通路：a2b1a3b4。再用增长通路中不属于M的边代替属于M 的边，于是得到对集。 M′= {(a1,b5),(a2,b1), (a3,b4),(a4,b3)}。 从 M′= {(a1,b5),(a2,b1), (a3,b4),(a4,b3)}开始，重复上述过程， 直到找不出M的增长通路为止。由于V1中已没有M的非饱和点， 所以M′就是所求的最大对集。
本章重点
一、掌握有关图的基本概念：
邻接 关联 有向图 无向图 n阶图 底图 平行边 多重图 连通图 自回路（环） 简单图 二、掌握图中顶点的度数，握手定理及其推论
定理：设图G是具有n个顶点、m条边的无向图，
其中点集V={v1， v2，… vn }, 则
n
deg(vi) 2m (握手定理)
i1
由该定理可得： 推论: 度数为奇数的顶点的个数必为偶数。
三、掌握有向完全图和无向完全图及推论
推论1：
n阶无向完全图Kn
共有
n
(
n 2
1)
条边。
推论2： n阶有向完全图， 共有n(n-1) 条边。
四、掌握图的同构
五、掌握补图及自补图
六、掌握二部图及完全二部图
七、掌握求二部图的最大匹配的方法 八、掌握欧拉图及半欧拉图及其应用
思考题： 1. 有9个人一起打乒乓球，已知他们每人至少与其中另外
11. 设有向简单D的度数列为2，2，3，3，入度列为 0，0，2，3，试求D的出度列。
离散数学图论部分综合练习及答案
3．设图 G＝<V, E>，则下列结论成立的是 ( C
A．deg(V)=2E
B．deg(V)=E
C． ∑deg(v) = 2 E v∈V
D． ∑deg(v) = E v∈V
)．神马东东？？？？？
aο
οb
οd
οf
4．图 G 如图一所示，以下说法正确的是 ( C ) ．
2．设 G 是一个 n 阶无向简单图，n 是大于等于 2 的奇数．证明图 G 与它的 补图 G 中的奇数度顶点个数相等．
2．证明：设 G =< V , E > ， G =< V , E′ > ．则 E′ 是由 n 阶无向完全图 Kn 的边 删去 E 所得到的．所以对于任意结点 u ∈V ，u 在 G 和 G 中的度数之和等于 u 在 Kn 中的度数．由于 n 是大于等于 2 的奇数，从而 Kn 的每个结点都是偶数度的 （ n −1 (≥ 2) 度），于是若 u ∈V 在 G 中是奇数度结点，则它在 G 中也是奇数度 结点．故图 G 与它的补图 G 中的奇数度结点个数相等．
(v2, v4)，(v3, v4)，(v3, v5)，(v4, v5) }，试 （1）画出 G 的图形表示；
（2）写出其邻接矩阵；
（3）求出每个结点的度数；
V1：2；V2：3；V3：4；V4:3；V5:2
（4）画出图 G 的补图的图形．
3．设 G=<V，E>，V={ v1，v2，v3，v4，v5}，E={ (v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)，(v3,v4)， (v3,v5)，(v4,v5) }，试
则对于结点集 V 的每个非空子集 S，在 G 中删除 S
离散数学图论部分14章习题课
离散数学（图论部分）1-4章习题课1. 证明：在10个人中，或有3人互相认识，或有4人互不认识。
证：设x为10人中之任意某人，则在余下9人中：(1) x至少认识其中4人，或(2) x至多认识其中3人（即至少不认识其中6人），两者必居其一。
(1) 若此x认识的4人互不相识，命题得证；否则，互相认识的2人加上x构成互相认识的3人，命题得证。
(2) 若此x不认识的6人中有3人互相认识，命题得证；否则，由Ramsey(3,3)=6知，此6人中至少有3人互不认识，此3人加上x为互不认识的4人，命题得证。
2. 设(a) V={a,b,c,d}，A={<a,b>,<a,c>,<b,c>,<b,d>,<c,d>}(b) V={a,b,c,d,e}，E={(a,b),(a,c),(b,c),(d,e)}画出上述图的图解。
解：略。
3. 试找出K3的全部子图，并指出哪些是生成子图。
解：K3共有17个子图。
其他略。
4. 证明：在至少有2人的团体中，总存在2个人，他们在这个团体中恰有相同数目的朋友。
解：在n个人的团体中，各人可能有的朋友数目为0, 1, 2, 3, …, n-1，共n个数，但其中0和n-1 不能共存，故n个人事实上可能的朋友数目只有n-1个。
由鸽巢原理，命题得证。
5.某次宴会上许多人互相握手。
证明：必有偶数个人握了奇数次手。
证：以人为顶点，握手关系为邻接关系构造一个无向图。
由图的性质，奇数度的顶点必为偶数个，即握了奇数次手的人数必为偶数。
6. 证明：Ramsey(3,4)=9。
（提示：题1的推广）证：在9个人中，不可能每个人都恰好认识其他的3个人（即图的9个顶点不可能每个顶点的度都为3，否则违反图的奇数度的顶点必为偶数个的性质）。
设x不会恰好认识其他的3个人（即deg(x)≠3），则在余下8人中：：(1) x至少认识其中4人，或(2) x至多认识其中2人（即至少不认识其中6人），两者必居其一。
四川大学离散数学(冯伟森版)课后习题答案习题参考解答(图论部分)
习题十1. 设G 是一个(n ，m)简单图。
证明：，等号成立当且仅当G 是完全图。
证明：（1）先证结论：因为G 是简单图，所以G 的结点度上限 max(d(v)) ≤ n-1, G 图的总点度上限为 max(Σ(d(v)) ≤ n ﹒max(d(v)) ≤ n(n-1) 。
根据握手定理，G 图边的上限为 max(m) ≤ n(n-1)/2,所以。
（2） =〉G 是完全图 因为G 具有上限边数，假设有结点的点度小于n-1,那么G 的总度数就小于上限值，边数就小于上限值，与条件矛盾。
所以，G 的每个结点的点度都为n-1，G 为完全图。
G 是完全图 =〉 因为G 是完全图，所以每个结点的点度为n-1, 总度数为n(n-1)，根据握手定理，图G 的边数 。
■2. 设G 是一个（n ，n +1）的无向图，证明G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。
证明：反证法，假设,则G 的总点度上限为max(Σ(d(u)) ≤2 n ，根据握手定理，图边的上限为max(m) ≤ 2n/2=n 。
与题设m = n+1，矛盾。
因此，G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。
■3．确定下面的序列中哪些是图的序列，若是图的序列，画出一个对应的图来: （1）（3，2，0，1，5）； （2）（6，3，3，2，2） （3）（4，4，2，2，4）； （4）（7，6，8，3，9，5）解：除序列（1）不是图序列外，其余的都是图序列。
因为在（1）中，总和为奇数，不满足图总度数为偶数的握手定理。
可以按如下方法构造满足要求的图：序列中每个数字ai 对应一个点，如果序列数字是偶数，那么就在对应的点上画ai/2个环，如果序列是奇数，那么在对应的点上画(ai-1)/2个环。
最后，将奇数序列对应的点两两一组，添加连线即可。
下面以（2）为例说明：(6 , 3, 3, 2, 2 ) 对应图G 的点集合V= { v 1,v 2,v 3,v 4,v 5}每个结点对应的环数(6/2, (3-1)/2, (3-1)/2, 2/2,2/2) = (3,1,1,1,1)v 1v 5v 3v 4v 2将奇数3，3 对应的结点v 2,v 3一组，画一条连线其他序列可以类式作图，当然大家也可以画图其它不同的图形。
离散数学 第七章 图论 习题课
零图与平凡图；简单图与多重图； 完全图；子图，生成子图，补图；图的同构。 2、运用。 (1) 灵活运用握手定理及其推论， (2) 判断两个图是否同构， (3) 画出满足某些条件的子图，补图等。
第五页，共48页。
二、通路、回路、图的连通性
1、基本概念 路，回路，迹， 通路，圈 无向图和有向图中结点之间的可达关系；连通 图，连通分支，连通分支数W(G) 点割集，割点，点连通度k(G) 边割集，割边(桥)，边连通度λ(G) 短程线，距离 有向图连通的分类，强连通，单侧连通，弱连 通， 强分图，单侧分图，弱分图
简单图
(2) E (a,b), (b, e), (e,b), (a, e), (d, e) 多重图
(3) E (a,b), (b, e), (e, d ), (c, c)
不是
第九页，共48页。
下列各序列中，可以构成无向简单图的度数序列的
有哪些？
(1) (2,2,2,2,2)
可以
(2)(1,1,2,2,3)
，故无向图的结点数为奇数，则所对应的n阶完全 图中每个结点的度数为n-1即为偶数， 利用奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，所以， 在G中结点度数为奇数的结点，在其补图中的度数 也应为奇数，故G和其补图的奇数结点个数也是相 同的。
第二十五页，共48页。
P286
1、在无向图G中，从结点u到结点v有一条长度为偶数 的通路，从结点u到结点v又有一条长度为奇数的通路 ，则在G中必有一条长度为奇数的回路。
正确答案是：C。 对割边、边割集的概念理解到位。 定义 设无向图G=<V, E>为连通图，若有边集E1E
，使图G删除了E1的所有边后，所得的子图是不连通 图，而删除了E1的任何真子集后，所得的子图是连 通图，则称E1是G的一个边割集．若某个边构成一个 边割集，则称该边为割边（或桥） 如果答案A正确，即删除边(a, d)后，得到的图是不连 通图，但事实上它还是连通的。因此答案A是错误的。
离散数学及其应用图论部分课后习题答案
（2）构成了回路，但是不为简单回路和初级回路，因为有重复的边
（3）构成了初级通路，因为点不重复；
（4）不构成通路，因为边 不存在；
（5）构成通路，但是不为简单通路和初级通路，因为有重复的边
（6）构成了回路，但是不为简单回路和初级回路，因为有重复的边
（7）构成了初级通路；
（8）简单通路，但是不为初级通路，有重复边。
23、用Dijkstra标号法求图9.22中各图从顶点 到其余各点的最短路径和距离。
解答
步骤
1
2
3
4
5
6
7பைடு நூலகம்
到 最短路为 ，路长为6；
到 最短路为 ，路长为3；
到 最短路为 ，路长为5；
到 最短路为 ，路长为6；
到 最短路为 ，路长为12；
到 最短路为 ，路长为7；
那么对于n阶m条边的无向图G是 棵树组成的森林，在任意两棵树中分别找一点进行连一条边，那么得到的图则为n阶m+1条边的无向图G是 棵树组成的森林，
那么 ，所以 。
方法二：设 棵树中，分别有 个顶点和 条边， ，则有
， ， ，即可得证。
19、求图10.17中两个带权图的最小生成树。
解答：
P204:习题十一
16、画出所有3条边的5阶简单无向图和3条边的3阶简单无向图。
解答：
（1）三条边一共提供6度；所以点度序列可能是
①3，3，0，0，0，0；②3，2，1，0，0，0；③3，1，1，1，0，0；④2，2，2，0，0，0；⑤2，2，1，1，0，0；⑥2，1，1，1，1，0；⑦1，1，1，1，1，1；
由于是简单图，①②两种情形不可能
计算机科学与技术 离散数学 练习-第4部分 图论
1、一个7阶无向简单图，其结点的最大度数为（）A、5B、6C、7D、82、设G为7阶无向简单图，下列命题成立的是（）A、G的每个结点度数均为3B、G的每个结点度数均为5C、G的每个结点度数均为6D、G的每个结点度数均为73、由4个点3条边构成的无向简单图中，结点的最大度数为（）A、1B、2C、3D、44、(多选题)下列度数列，可以简单图化的是（）A、5,5,4,4,2,1B、5,5,4,1,1C、5,4,4,2,1D、5,4,3,2,2E、4,4,3,3,2,2F、4,3,2,1G、3,3,2,2,1,1H、3,3,3,1I、3,3,1,15、下列可作为4阶无向简单图的结点度数序列是（）A、1,2,3,4B、0,2,2,3C、1,1,2,2D、1,3,3,38、下列关于图的命题正确的是（）A、欧拉图都是哈密顿图B、哈密顿图都是欧拉图C、4阶以上的完全图都是欧拉图D、4阶以上的完全图都是哈密顿图9、下列关于欧拉图的描述正确的是（）A、K4是欧拉图B、K5是欧拉图C、完全图都是欧拉图D、K6是欧拉图13、一棵无向树有5片树叶，3个2度结点，其余都是3度结点，这棵树的结点数是（）A、10B、11C、12D、1314、G是有n个结点，m条边的连通图，要确定G的一棵生成树，必须删去G的多少条边（）A、m-n+1B、m-nC、m+n+1D、n-m+115、一个n阶图不一定是树的是（）A、无回路的连通图B、无回路且有n-1条边C、n阶连通图D、有n-1条边的连通图16、下列6阶无向树的度数序列，对应不止一棵同构树的是（）A、1,1,1,1,2,4B、1,1,1,2,2,3C、1,1,2,2,2,2D、1,1,1,1,3,31、设5阶简单连通图G所有结点的度数之和为18，则G的结点的最大度数为_____，最小度数为______2、4阶完全图K4是平面图，其面数r为_____，记结点数为n，边数为m，则n-m+r=_______3、一个简单无向连通图，有n个结点，m条边，则边数m的最大值为_________，最小值为_______4、7阶无向简单图G，最多有________条边5、连通平面图G的每个面至少由5条边围成，则G的边数m与顶点数n满足的不等式关系为______________6、连通平面图G共有8个顶点，其平面表示中共有6个面，则边数为______7、如题的9阶无向图，需要添加边使其称为欧拉图，至少需要添加_____________和______________8、一棵n(n>2)阶无向树T，其最大度数⊿(T)的最小值为_____，最大值为________9、一棵7阶树T，其分支点最多有____个，最多有____片树叶10、无向完全图K8，需要删掉______条边才能得到生成树；无向完全图K9，需要删掉______条边才能得到生成树11、无向树有4个3度分支点，2个2度分支点，其余为树叶，则树叶数为______12、设无向树有8片树叶，1个4度分支点，其余都是3度分支点，则该树共有______个结点1、研究4阶完全图K4，判断其是否存在欧拉回路？是否存在哈密顿回路？如果存在，共有多少个非同构的回路？2、9阶无向图G中，每个结点的度数不是5就是6，证明：G中至少有5个6度结点或至少有6个5度结点。
离散数学--第七章-图论---习题课
(1)设n阶图G中有m条边，证明：δ(G)≤2m/n≤△(G) (2)n阶非连通的简单图的边数最多可为多少？最少呢？
(1)证明中关键步骤是握手定理：
2m=∑deg(vi) δ(G)≤deg(vi)≤△(G)，于是得 nδ(G)≤2m≤n△(G)
⇒ δ(G)≤2m/n≤△(G) 易知2m/n为G的平均度数，因而它大于或等于
证明 ：
设从结点u到结点v长度为偶数的通路是 ue1u1e2u2…e2kv，
长度为奇数的通路是ue11u11e12u12…e12h-1v， 那么路ue1u1e2u2…e2kve12h-1…u12e12u11e11u就是一条回
路，它的边数＝2k+(2h-1)＝2(h+k)-1，是奇数，故 这条回路的长度是奇数。
（k为正整数）。 解：
1)设图G 是自补图，G 有 e 条边，G 对应的完全图的 边数为 A。G 的补图 G’的边数应为 A 一 e。因为 G～G’， 故边数相等，e=A 一 e，A＝2e，因此 G 对 应的完全图的边数 A 为偶数。
2)由 1)可知，自补图对应的完全图的边数为偶数。n 个结点的完全图 Kn 的边数为n(n-1)/2 ， 所以 n(n-1)/2=2m ，即n(n-1)=4m，因而 n为4的倍数，即n=4k， 或n-1为4的倍数，即n=4k+1，
平面图的判断 欧拉公式
平面图的对偶图
无向树及其性质 根树及其应用
地图着色与平 面图着色
一、无向图与有向图
1、基本概念。
有向图与无向图的定义；有向边,无向边,平行边, 环, 孤立结点
关联与邻接(相邻)； 结点的度数；结点的度, 结点的出度, 结点的入
度, 图的最大度Δ(G),最小度δ(G),
离散数学习题集及答案第6-7章图论含答案
第6-7章一．选择/填空1、设图G 的邻接矩阵为0101010010000011100000100，则G 的边数为( D )． A ．5 B ．6 C ．3 D ．42、设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如下图所示，则下列结论成立的是( A )．A ．（a ）是强连通的B ．（b ）是强连通的C ．（c ）是强连通的D ．（d ）是强连通的3、给定无向图G 如下图所示，下面给出的结点集子集中，不是点割集的为（ B ）．A ．{b , d }B ．{d }C ．{a , c }D ．{b , e }4、图G 如下图所示，以下说法正确的是 ( D ) ．A ．{(a , c )}是割边B ．{(a , c )}是边割集C ．{(b , c )}是边割集D ．{(a, c ) ,(b, c )}是边割集5、无向图G 存在欧拉通路，当且仅当(D )．A ．G 中所有结点的度数全为偶数B ．G 中至多有两个奇数度结点C ．G 连通且所有结点的度数全为偶数D ．G 连通且至多有两个奇数度结点6、设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，必须删去G 的( A )条边，才能确定G 的一棵生成树．A ．1m n −+B ．m n −C ．1m n ++D ．1n m −+7、已知一棵无向树T 中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T 的树叶数为（B ）．A ．8B ．5C ．4D ．38、已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 15 ． 9、连通无向图G 有6个顶点9条边，从G 中删去 4 条边才有可能得到G 的一棵生成树T ．10、如右图 相对于完全图K 5的补图为（A ）。
11、给定无向图，如下图所示，下面哪个边集不是其边割集（ B ）。
A 、；B 、{<v1,v4>,<v4,v6>};C 、；D 、。
12、设D 是有n 个结点的有向完全图,则图D 的边数为( A ) (A))1(−n n (B))1(+n n (C)2/)1(+n n (D)2/)1(−n n 13、无向图G 是欧拉图,当且仅当( C )(A) G 的所有结点的度数都是偶数 (B)G 的所有结点的度数都是奇数(C)G 连通且所有结点的度数都是偶数 (D) G 连通且G 的所有结点度数都是奇数。
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7. 设无向简单连通图G有16条边,有3个4度顶点,4个3度顶 点,其余顶点的度数都小于3,问G至少有多少个顶点,至多 有多少个顶点?
解: 由题设可知,图G中有16条边,所以图G中各点的度数 之和为32. 又由于图G中有3个4度顶点和4个3度顶点,这7个点的度数 之和为24,而图G中其余点的度数小于3,即图G中其余点的 度数只可能是2或1(由于图G是连通图,所以无零度点).
9. 是否存在3个顶点和6个顶点的自补图？
10. 无向图G中有9个顶点,每个顶点的度数不是5就是6,
证明:图G中至少有5个6度的顶点或至少有6个5度的顶点. 11. 设有向简单D的度数列为2，2，3，3，入度列为0，0， 2，3，试求D的出度列。
12.下列各组数中不能构成无向图的的度数列的是（ ）
（1）1，1，2，3，5 （3）1，3，1，3，2
由此可知,图G中至少有11个顶点: 3个4度点,4个3度点和 4个2度点; 至多有15个顶点: 3个4度点,4个3度点和8个1 度点.
8. 设G1,G2,G3,G4均是4阶3条边的无向简单图， 则它们之间至少有几个是同构的？
解： 4阶3条边非同构的无向简单图共有3个，因此 G1,G2,G3,G4中至少有2个是同构的。
12.下列各组数中不能构成无向图的的度数列的是（ ） （1）1，1，2，3，5 （2）1，2，3，4，5 （3）1，3，1，3，2 （4）1，2，3，4，6
11. 设有向简单D的度数列为2，2，3，3，入度列为 0，0，2，3，试求D的出度列。
解：设有向简单图D的度数列为2，2，3，3， 对应的顶点分别为v1,v2,v3,v4, 由于d(v)=d+(v)+d-(v), 所以d+(v1)= d(v1)-d-(v1)=2-0=2, d+(v2)= d(v2)-d-(v2)=2-0=2, d+(v3)= d(v3)-d-(v3)=3-2=1, d+(v4)= d(v4)-d-(v4)=3-3=0, 于是D的出度列为2，2，1，0。
本章重点
一、掌握有关图的基本概念： 邻接 关联 有向图 无向图 n阶图 底图 平行边 多重图 连通图 自回路（环） 简单图 二、掌握图中顶点的度数，握手定理及其推论
定理：设图G是具有n个顶点、m条边的无向图，
其中点集V={v1， v2，… vn }, 则
n
deg(vi ) 2m
i 1
由该定理可得：
9. 是否存在3个顶点和6个顶点的自补图？ 解: 由于顶点为n的无向完全图的边数为 n(n 1.)
2
设G的自补图为G’,则G与G’的边数相等. 设它们的边数各为m,于是有m+m=n(n 1)
2
即m=n(n-1)/4, 而m为正整数,所以要么n=4k或n=4k+1, 所以不存在3个顶点和6个顶点的自补图.
（2）1，2，3，4，5 （4）1，2，3，4，6
13. 如图是二部图，求其最大匹配。
a1
a2
V1
a3
a4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
V2
b1
b2
b3
b4
b5
14.完全二部图Km, n=(V1,V2,E)共有多少条边?
15. 当n取何值时，完全图Kn是欧拉图？ 16. 证明：对于任意一个无向连通图，必能从任意 一点出发经过图中每边恰好两次再回到出发点。
(1)
(2)
(3) 6. 一个图是自补图,设顶点数为n,其边数为m,其对应的 完全图的边数是多少?
7. 设无向简单连通图G有16条边,有3个4度顶点,4个3度顶 点,其余顶点的度数都小于3,问G至少有多少个顶点,至多 有多少个顶点? 8. 设G1,G2,G3,G4均是4阶3条边的无向简单图， 则它们之间至少有几个是同构的？
(握手定理)
推论: 度数为奇数的顶点的个数必为偶数。
三、掌握有向完全图和无向完全图及推论
推论1：
n阶无向完全图Kn
共有
n(n 1) 2
条边。
推论2： n阶有向完全图， 共有n(n-1) 条边。
四、掌握图的同构
五、掌握补图及自补图
六、掌握二部图及完全二部图
七、掌握求二部图的最大匹配的方法 八、掌握欧拉图及半欧拉图及其应用
10. 无向图G中有9个顶点,每个顶点的度数不是5就是6, 证明:图G中至少有5个6度的顶点或至少有6个5度的顶点.
证明:由于度数为奇数的顶点必为偶数个,所以度数为5的顶 点个数必为偶数,即可能为0、2、4、6、8.因为总数是9个顶 点,所以6度的顶点个数分别为9、7、5、3、1,于是图G中至 少有5个6度的顶点或至少有6个5度的顶点.
思考题： 1. 有9个人一起打乒乓球，已知他们每人至少与其中另外
3个人各打过一场球，试证明至少有一人不止和3个人 打过球. 2. 若无向图G有12条边，G中有6个3度结点，其余结点度数 均为2，问G中有多少个结点？ 3. 设n阶图G中有m条边,每个顶点的度数不是k就是k+1, 若G中有Nk个k度顶点,Nk+1个k+1度的顶点,试求出顶点 个数Nk的表达式. 4. 试画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图. 5. 判断下述每一对图是否同构?
解:由于Nk×k+(n-Nk)×(k+1)=2m 于是:Nk=n(k+1)-2m.
4. 试画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图
5. 判断下述每一对图是否同构: (1)
度数列不同 不同构
(2) 不同构
入(出)度列不同
(3)
度数列相同
但不同构
6. 一个图是自补图,设顶点数为n,其边数为m,其对应的 完全图的边数是多少?
思考题答案：
1. 有9个人一起打乒乓球，已知他们每人至少与其中另外 3个人各打过一场球，试证明至少有一人不止和3个人 打过球.
证明: 用9 个顶点vi表示9个人,顶点间的一条边表示这两人打 过一场球,可构成一个无向图,若每个人仅和其余3个人各打过 一场球，则d(vi) =3,而此时图G的奇数度点是9个,即奇数个, 因此产生矛盾,于是至少有一人不止和3个人打过球.
2.若无向图G有12条边，G中有6个3度结点，其余结点度数 均为2，问G中有多少个结点？
解:设图中有x个结点,由握手定理可得: 6×3+(x-6) ×2=2×12 于是 x=9, 所以G中有9个结点.
3. 设n阶图G中有m条边,每个顶点的度数不是k就是k+1, 若G中有Nk个k度顶点,Nk+1个k+1度的顶点,试求出顶点 个数Nk的表达式.