初中中考数学文化素养

第一单元数与式第1课时实数中考试题中的数学文化《九章算术》——正负术【文化背景】中国古代著名的数学专著《九章算术》(成书于公元一世纪)中，最早提出了正负数加减法的法则：“正负数曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之．”这里的“名”就是“号”，“益”就是“加”，“除”就是“减”，“相益”、“相除”就是两数的绝对值“相加”、“相减”，“无”就是“零”．题图【中考对接】中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹(小棍形状的记数工具)正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，观察图①，可推算图②中所得的数值为()A. －2B. ＋2C. －6D. ＋6A【解析】∵正放表示正数，斜放表示负数，∴图②中所得的数值为(＋2)＋(－4)＝－2.斐波那契数列【中考对接】斐波那契数列中的第n个数可以用15[(1＋52)n－(1－52)n]表示(其中，n≥1)．这是用无理数表示有理数的一个范例．根据以上材料，可求出斐波那契数列中的第1个数为________；第2个数为________．第3课时整式及因式分解中考试题中的数学文化杨辉三角【文化背景】杨辉三角，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年．【中考对接】1. (2019烟台)南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a＋b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．(a＋b)0＝1(a＋b)1＝a＋b(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5…则(a＋b)9展开式中所有项的系数和是()A. 128B. 256C. 512D. 1024《易经》——结绳记数【文化背景】“结绳记数”是远古时期的人最常用的记数方法，因为那个时候还没有发明阿拉伯数字，人们在记数的时候，就只能借助外物的帮助．所谓“结绳记数”就是用打绳结的办法来记录物体的数量．传说中，古代的国王们出去打仗的时候，因为没有日历，就采取在绳子上打结的办法计算天数，绳子上所有的结都被打开的时候，也就是战争该结束的时候．第2题图【中考对接】2. (2018恩施州)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为________个．1. C【解析】取a＝1，b＝1，则可以计算(a＋b)9展开式中所有项的系数和是29＝512.2. 1838【解析】由题意，野果的数量满六进一，可得该图示为六进制数，化为十进制数为1×64＋2×63＋3×62＋0×61＋2×60＝1838.她一共采集到的野果数量为1838个．第二单元 方程(组)与不等式(组) 第5课时 一次方程与一次方程组中考试题中的数学文化《增删算法统宗》【中考对接】1. (2019福建)《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？”其大意是：“有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？”已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x 个字，则下面所列方程正确的是( )A ．x ＋2x ＋4x ＝34685B ．x ＋2x ＋3x ＝34685C ．x ＋2x ＋2x ＝34685D ．x ＋12x ＋14x ＝34685《九章算术》——百僧分百馍【中考对接】2.程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人．下列求解结果正确的是()A. 大和尚25人，小和尚75人B. 大和尚75人，小和尚25人C. 大和尚50人，小和尚50人D. 大、小和尚各100人《孙子算经》——绳度木长【中考对接】3.(2019长沙)《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是()A. ⎩⎨⎧y ＝x ＋4.50.5y ＝x －1B. ⎩⎨⎧y ＝x ＋4.5y ＝2x －1C. ⎩⎨⎧y ＝x －4.50.5y ＝x ＋1D. ⎩⎨⎧y ＝x －4.5y ＝2x ＋1第6课时 一元二次方程中考试题中的数学文化《几何原本》——一元二次方程的图解法【中考对接】第1题图1. (2018嘉兴)欧几里得的《原本》记载，形如x 2＋ax ＝b 2的方程的图解法是：画Rt △ABC ，使∠ACB ＝90°，BC ＝a 2，AC ＝b ，再在斜边AB 上截取BD ＝a 2，则该方程的一个正根是( ) A. AC 的长 B. AD 的长 C. BC 的长 D. CD 的长《田亩比类乘除捷法》【中考对接】2. (2019张家界)《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多________步．3. 1. B 【解析】∵x 2＋ax ＝b 2，∴x 2＋ax ＋(a 2)2＝b 2＋(a 2)2，即(x ＋a 2)2＝b 2＋(a 2)2，又∵∠ACB＝90°，BC＝a2，AC＝b，∴AB2＝b2＋(a2)2，即(x＋a2)2＝AB2，∴x＋a2＝AB，∵BD＝a2，∴x＝AB－BD＝AD.2. 12【解析】设宽为x步，则长为(60－x)步．∵矩形田地的面积为864平方步，∴x(60－x)＝864.解得x1＝36，x2＝24.当长x＝36时，宽为60－x＝24，此时长比宽多36－24＝12(步)；当长x＝24时，宽为60－x＝36，此时长比宽多24－36＝－12(步)，不符合题意，舍去．综上，长比宽多12步．第四单元三角形第16课时三角形及其性质中考试题中的数学文化海伦——秦九韶公式【文化背景】古希腊的几何学家海伦，在他的著作《度量》一书中，给出了如下公式：若一个三角形的三边分别为a，b，c，记p＝12(a＋b＋c)，那么三角形的面积为：S＝p（p－a）（p－b）（p－c）(海伦公式)．我国著名的数学家秦九韶于1274年在《数书九章》给出了如下公式：S＝14[a2b2－（a2＋b2－c22）2]，其中，a，b，c分别表示三角形三边长，S为三角形的面积．海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们一般也称此公式为海伦——秦九韶公式．【中考对接】题图(2019宜昌)古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝a＋b＋c2，那么三角形的面积为S＝p（p－a）（p－b）（p－c）.如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为()A. 66B. 63C. 18D. 19 2A【解析】∵a＝5，b＝6，c＝7，∴p＝a＋b＋c2＝5＋6＋72＝9，∴S△ABC＝p（p－a）（p－b）（p－c）＝9×（9－5）×（9－6）×（9－7）＝6 6.第17课时特殊三角形中考试题中的数学文化《数书九章》【中考对接】1.(2018长沙)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为( )A. 7.5平方千米B. 15平方千米C. 75平方千米D. 750平方千米《九章算术》——折竹抵地【中考对接】2. (2019德阳改编)《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子(1丈＝10尺)，现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为________尺．中考试题中的数学文化1. A 【解析】∵52＋122＝132，∴该沙田为直角三角形沙田，又∵5里＝5×500米＝2500米＝2.5千米，12里＝12×500＝6000米＝6千米，该沙田的面积为＝12×6×2.5＝7.5平方千米．2. B 【解析】设折断处离地面的距离为x 尺，则折断处离尖端的距离为(10－x )尺，根据题意可得x 2＋32＝(10－x )2，解得x ＝4.55.第五单元 四边形第23课时 矩形、菱形、正方形中考试题中的数学文化赵爽弦图【文化背景】赵爽，三国吴人，是三国到南宋时期三百多年间中国杰出的数学家之一．他在注解《周髀算经》中给出的“赵爽弦图”证明了勾股定理的准确性，如图所示，四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，中间空的是一个小正方形．通过对这个图形的切割、拼接、巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．证明方法如下：设直角三角形的三边中较短的直角边为a，另一直角边为b，斜边为c，朱实面积＝2ab，黄实面积＝(b－a)2＝b2－2ab＋a2，朱实面积＋黄实面积＝a2＋b2＝大正方形面积＝c2.【中考对接】(2019邵阳)公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的面积是________．4【解析】∵勾a＝6，弦c＝10，∴股b＝8，∴AD＝8－6＝2，∴小正方形的面积是4.第六单元圆第24课时圆的基本性质《九章算术》——圆材埋壁【中考对接】1.(2019广西北部湾经济区)《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺(1尺＝10寸)，则该圆材的直径为________寸．第1题图割圆术【文化背景】 3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法．【中考对接】2. (2019孝感)刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S 1来近似估计⊙O 的面积S ，设⊙O 的半径为1，则S －S 1＝______．(π取3.14)第2题图1. 26 【解析】如解图，作DE ⊥AB 于点H ，连接OA ，∴AH ＝BH ＝12AB ＝5寸．设OH ＝x 寸，∴OD ＝OA ＝(x ＋1)寸，∴(x ＋1)2＝x 2＋52，解得x ＝12，∴OA ＝OD ＝13寸，∴DE ＝2OD ＝26寸，即圆材的直径为26寸．.第1题解图2. 0.14 【解析】如解图，过点A 作AD ⊥OB 于点D .S ＝πr 2＝π，∠AOB ＝360°12＝30°.∵OA ＝1，∴AD ＝12OA ＝12，S 1＝12S △OAB ＝12×12·OB ·AD ＝12×12×1×12＝3.∴S －S1≈0.14. 第2题解图第七单元图形的变化第28课时视图与投影中考试题中的数学文化牟合方盖【中考对接】我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是()题图c。