九年级圆周角、圆心角、四点共圆、全等三角形、动点问题的综合

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九年级数学四点共圆例题讲解

知识点、重点、难点

四点共圆是圆的基本内容，它广泛应用于解与圆有关的问题．与圆有关的问题变化多,解法灵活,综合性强,题型广泛,因而历来是数学竞赛的热点内容。

在解题中,如果图形中蕴含着某四点在同一个圆上，或根据需要作出辅助圆使四点共圆，利用圆的有关性质定理，则会使复杂问题变得简单，从而使问题得到解决。因此,掌握四点共圆的方法很重要.

判定四点共圆最基本的方法是圆的定义：如果A、B、C、D四个点到定点O的距离相等，即OA＝OB＝OC＝OD，那么A、B、C、D四点共圆．

由此，我们立即可以得出

1。如果两个直角三角形具有公共斜边，那么这两个直角三角形的四个顶点共圆。

将上述判定推广到一般情况，得：

2。如果四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。

3.如果四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。

4。如果两个三角形有公共底边,且在公共底边同侧又有相等的顶角,那么这两个三角形的四个顶点共圆。

运用这些判定四点共圆的方法，立即可以推出：

正方形、矩形、等腰梯形的四个顶点共圆。

其实,在与圆有关的定理中,一些定理的逆定理也是成立的，它们为我们提供了另一些证明四点共圆的方法．这就是:

1.相交弦定理的逆定理：若两线段AB和CD相交于E，且AE·EB=CE·ED，则A、B、C、D四点共圆。

2．割线定理的逆定理：若相交于点P的两线段PB、PD上各有一点A、C,且PA·PB =PC·PD,则A、B、C、D四点共圆。

3。托勒密定理的逆定理:若四边形ABCD中，AB·CD＋BC·DA=

九年级中考压轴——动点问题集锦

1、已知等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动。过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒。

1) 当四边形MNQP为矩形时，有MN=QP，即MN在运动t秒后，线段QP的长度为3+t。因为三角形ABC是等边三角形，所以三角形ABC的高等于边长的一半，即2根号3.因此，四边形MNQP的面积为2根号3*t平方+2t。

2) 四边形MNQP的面积为S，运动时间为t。因为三角形ABC是等边三角形，所以三角形ABC的高等于边长的一半，即2根号3.因此，四边形MNQP的高为2根号3.由于四边形MNQP是矩形，所以MN=QP=3+t，PQ=2根号3.因此，

S=PQ*MN=2根号3*(3+t)。函数关系式为S=2根号3*t+6根号3，t的取值范围为t≥0.

2、在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=42，∠B=45度。动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长

度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD

以每秒1个单位长度的速度向终点D运动。设运动的时间为t 秒。

1) 因为三角形ABD和三角形CBD相似，所以BD=AB-

AD=39.由于三角形BCD是直角三角形，所以BC=BD/根号

2=39/根号2.

2) 当MN∥AB时，由于三角形BMD和三角形BAC相似，所以BD/AB=MD/MN，即39/42=2t/(3+t)，解XXX13秒。

3) 当△MNC为等腰三角形时，由于三角形MNC和三角

浙教版九年级数学上册《圆心角、圆周角》练习题

2022-2023学年浙教版九年级数学上册《3.4圆心角、3.5圆周角》

优生辅导综合练习题（附答案）

一．选择题

1．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ADC＝130°，则∠BAC的度数为（）

A．25°B．30°C．40°D．50°

2．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（）

A．40°B．30°C．20°D．15°

3．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝15°，则∠BDC＝（）

A．85°B．75°C．70°D．65°

4．如图，AB是⊙O的直径，∠D＝32°，则∠AOC等于（）

A．158°B．58°C．64°D．116°

5．如图，△ABC的两顶点A，B在⊙O上，点C在圆外，∠C＝46°，边AC交⊙O于点D，DE∥BC经过圆心交⊙O于点E，则的度数为（）

A．44°B．80°C．88°D．92°

6．一副学生三角板放在一个圈里恰好如图所示，顶点D在圆圈外，其他几个顶点都在圆圈上，圆圈和AD交于点E，已知AC＝8cm，则这个圆圈上的弦CE长是（）

A．6cm B．6cm C．4cm D．cm 二．填空题

7．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD＝50°，则∠BAD的大小为°．

8．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．若∠BAC＝44°，BD＝2，则弧AE的度数是，DC的长为．

9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则CD的长为．

九年级数学中考专题：动点问题综合压轴题

2023年九年级数学中考专题：动点问题综合压轴题

1．如图，在ABC 中，4AB =，6BC =，P 是BC 边上一动点，60APN B ∠=∠=︒，过A 点作射线AM BC ∥，交射线PN 于点D ．

(1)求AC 的长； (2)求证：2=?AP BP AD ；

(3)连接CD ，若ACD 为直角三角形，求BP 的长．

2．如图1，,=90DC AB D ∠︒，,10cm,6cm AC BC AB BC ⊥==．点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，沿AB 方向向点B 运动，同时点Q 以2cm/s 的速度从点B 出发，沿B →C →A 方向向点A 运动，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动，设运动的时间为t （s ）．

(1)AD 的长为；

(2)求t 为何值时，PQ 平行于ABC ∆的一边；

(3)当点Q 在边BC 上运动，求t 为何值时，PBQ ∆的面积为2

64cm 5

3．如图1，正方形ABCD 中，点P 为对角线BD 上一动点，点E 在AD 的延长线上，且62AP PE AB DE ===，，．

(1)填空：PE 的长为______；

(2)如图2，过点P 作PF EC ⊥于点F ，交DC 于点H ，延长FP 交AB 于点G ，求证：BG CH DE =+；

(3)若点E 在直线AD 上运动，直线PE 与直线CD 交于点M ，其他条件不变，则PM 的长为______；

(4)若点P 为正方形ABCD 对角线BD 上的动点，则22PD BP +的最小值为______．

4．如图1，在Rt ABC △中，=90=6cm =8cm ACB AC BC ∠︒，，，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒()02t ＜＜，连接PQ ．

[初中教育][初三数学]圆心角和圆周角

小班辅导教案

知识点一圆心角定理

1.概念填空：

（1）把圆绕旋转任意一个角度，所得的图形都和原图形重合.圆是中心对称图形，就是它的对称中心.

（2）顶点在的角叫做圆心角.

（3）圆心角定理：在同圆会等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等.

（4）我们把1°圆心角所对的弧叫做，则n°的圆心角所对的弧就是 .

2.把一个圆分成相等的6段弧，每段弧所对的圆心角的度数是 >

3.如图，MN为⊙○的弦，∠M=50°，则圆心角∠MON等于（）

A.50°

B.55°

C.65°

D.80°

̂= .

4.如图，在⊙○中，∠AOB=∠COD，则AC= ，AC

̂的度数5.如图，两个同心圆的圆心为O，大圆半径OA,OB分别交小圆于A′,B′两点，如果AB̂的度数是60°，那么A′B′

为（）

A.60°

B.大于60°

C.小于60°

D.不能确定

题型一利用圆心角定理证明角（弧）度、线段间的等量关系

例1：如图，O为等腰三角形ABC的底边AB上的中点，以AB为直径的半圆分别交AC,BC于点D,E，连结OD,OE.求证：（1）∠AOE=∠BOD；

̂=BÊ.

（2）AD

巩固练习1：如图，在⊙○中，弦AB=CD.求证：AC=BD.

题型二利用圆心角定理计算弧的度数

̂的度数为40°，例2：如图，AB,DF是⊙○的两条直径，C是⊙○的直径AB上一点，过点C作弦DE，使CD=CO.若AD

̂的度数.

求BE

巩固练习2：如图，以Rt△ABC的直角顶点为圆心，以BA为半径的圆分别交AC于点D，交BC于点E.若∠C=31°，

̂的度数.

求AD

知识点二圆心角定理的逆定理

九年级数学圆周角和圆心角知识点

九年级数学圆周角和圆心角知识点引言：

数学作为一门博大精深的学科，其中的几何知识在我们的日常生活中无处不在。而在九年级数学学习中，圆周角和圆心角是我们必须理解和掌握的重要概念之一。本文将深入探讨九年级数学中的圆周角和圆心角知识点，希望能够为同学们的学习提供一些帮助。

一、圆周角

圆周角是指一个图形所对的圆的圆周上的一部分，以弧所对的角叫做圆周角。我们可以通过弧所对的圆心角来计算圆周角的大小。假设圆的半径为r，圆弧对应的圆心角为θ（弧度制），那么圆周角的度数就是θ的度数。例如，当θ为π/2时（即90度），圆周角也是90度。圆周角的度数取决于其对应的圆心角的度数大小，换言之，圆周角可以看作是圆心角对应弧的一种度数表示。

二、圆心角

圆心角是指圆周上任意两点连线与定点所夹的角，定点即为圆心。通过圆心角的大小，我们可以判断出对应弧的长短和角的大小。圆周上的所有圆心角的和等于360度，这是因为360度对应

于一整个圆周。根据圆心角的大小，我们可以将其分为三类：锐角、直角和钝角。如果一个圆心角的度数小于90度，则称之为锐角；如果一个圆心角的度数等于90度，则称之为直角；如果一个圆心角的度数大于90度但小于180度，则称之为钝角。

三、圆周角和圆心角的关系

圆周角和圆心角有着密切的联系。首先，同一个圆弧所对应的圆心角和圆周角的度数相等。这是因为，圆周角可以看作是圆心角对应的弧的度数表示。其次，同一个圆的圆周角之和等于360度。这是由圆心角之和等于360度所决定的。另外，当两个圆心角的度数相等时，它们所对应的圆周角的度数也是相等的。

人教版九年级上数学：第二十四章圆的综合解题技巧

圆综解题技巧

解决圆综问题常用到的定理：

（1）弧、弦、圆心角定理

弧、弦、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论1：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．推论2：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．（2）圆周角定理

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

（3）垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

（4）切线定理

切线的判定定理：经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

（5）切线长定理

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

（6）圆的内接四边形：

圆内接四边形性质：圆内接四边形对角互补．

推论：圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角。

要想熟练解决几何问题，一定要形成一种做辅助线和解题的条件反射，看到题中的某个条件、某个图形或是某种问法脑海中就会即刻呈现出可能的辅助线。这种条件反射像是饿了想吃饭，渴了想喝水一样。

（1）见到条件给出圆周角或者圆心角的度数或等量关系→找同弧或等弧所对的其他圆周角或者圆心角。

（2）见到直径→找直径所对的圆周角

（3）见到切线尤其是要证明相切关系→连过切点的半径

2021-2022学年度北师大版九年级数学下册第三章圆综合测试试卷(含答案解析)

北师大版九年级数学下册第三章圆综合测试

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、圆O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝4cm，则点A与圆O的位置关系为（）

A．点A在圆上B．点A在圆内C．点A在圆外D．无法确定

AC=．将ABC绕点A按逆时针方向旋转90︒后2、如图，在ABC中，90

∠=，8

ABC︒

BAC︒

∠=，30

△，则图中阴影部分面积为（）

得到AB C''

A．4πB．8π-C．4π-D．

3、如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝37°，则∠AOB的度数是（）

A ．73°

B ．74°

C ．64°

D ．37°

4、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （﹣4，﹣3），以点A 为圆心，4为半径画⊙A ，则坐标原点O 与⊙A 的位置关系是（）

A ．点O 在⊙A 内

B ．点O 在⊙A 外

C ．点O 在⊙A 上

D ．以上都有可能

5、如图，ABCD 是O 的内接四边形，130B ∠=︒，则AOC ∠的度数是（）

A ．50°

B ．100°

C ．130°

D ．120°

6、如图，四边形ABCD 内接于O ，若130C ∠=︒，则BOD ∠的度数为（）

2023学年人教中考数学重难点题型分类专题07 圆心角、圆周角重难点题型分类

专题07 圆心角、圆周角重难点题型分类-高分必刷题（解析版）

专题简介：本份资料包含《圆心角、圆周角》这一模块在各次期中、期末考试中常考的填空、选则题和主流中档大题，具体包含的题型有同弧所对的圆周角相等、同弧或等弧所对的圆心角是圆周角两倍（含三小类题型）、圆心角和圆周角的综合大题这三类题型。

圆中角度问题常见模型

圆周角=圆周角的8字模型圆心角=2倍圆周角的8字模型

圆中的燕尾模型圆中的“山”字模型

∠B=∠C

∠O=2∠C

∠O=2∠A

∠E OG=2∠C

题型一：同弧所对的圆周角相等（技巧:找8字形）

1．（雅礼）如图，⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点P ，∠A ＝42°，∠APD ＝77°，则∠B 的大小是．

【解答】解：∵∠A ＝42°，∴∠D ＝42°，∵∠APD ＝77°，∴∠B ＝77°﹣42°＝35°，

故答案为：35°．

2．（青竹湖）如图，⊙O 是正三角形ABC 的外接圆，点P 在劣弧AB 上，∠ABP ＝22°，则∠BCP 的度数为度．

【解答】解：∵⊙O 是正三角形ABC 的外接圆，∴∠BAC ＝60°，∠ABP ＝22°，∴∠

BCP ＝∠ACB ﹣∠ABP ＝38°．

3．（雅礼）如图，AB 为⊙O 直径，CD 为⊙O 的弦，∠ACD ＝25°，∠BAD 的度数为．

【解答】解：∵AB为⊙O直径∴∠ADB＝90°，∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD＝25°

∴∠B＝25°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝65°．

故答案为：65°．

4．（广益）如图，⊙A过点O（0，0），C（2，0），D（0，2），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（）

九年级数学圆周角和圆心角的关系专题练习(含解析)

∴∠ACD=∠B=28°．

故选A ．

分析：利用垂直的定义得到∠DPB =90°，再根据三角形内角和定理求出∠B=180°-90°-62°=28°，然后根据圆周角定理即可得到∠ACD 的度数．

3.如图，AB 是⊙O 的直径，若∠BAC =35°，则∠ADC =（）

A ．35°

B ．55°

C ．70°

D ．110°

答案：B

解析：解答：：∵AB 是⊙O 的直径，

∴∠ACB =90°，

∵∠BAC =35°，

∴∠ABC =180°-90°-35°=55°，

∴∠ADC=∠ABC =55°．

故选B ．

分析：先根据圆周角定理求出∠ACB =90°，再由三角形内角和定理得出∠ABC 的度数，根据圆周角定理即可得出结论．

4.下列命题中，正确的命题个数是（）

①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角度数等于圆心角度数的一半；

③90°的圆周角所对的弦是直径；④圆周角相等，则它们所对的弧也相等．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

答案：A

解析：解答：解：①中，该角还必须两边都和圆相交才行．错误；

②中，必须是同弧或等弧所对，错误；

③正确；

④中，必须在同圆或等圆中，错误．

故选A ．

分析：根据圆周角的概念和定理，逐条分析判断．

5.如图，已知A ，B ，C 在⊙O 上，为优弧，下列选项中与∠AOB 相等的是（）

ACB A ．2∠C B ．4∠B C ．4∠A D ．∠B+∠C

答案：A

解析：解答：如图，由圆周角定理可得：∠AOB=2∠C．

故选：A．

分析：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．根据圆周角定理，可得∠AOB=2∠C．

北师大版九年级下册数学《圆周角和圆心角的关系》圆教学说课研讨课件复习

O
BC
基础练习：一、填空：
A ３.如图,若弧BC的度数为40°
O
则圆心角∠BOC=____;
圆周角∠BAC=____;
BC
基础练习：一、填空：
4.已知:如图,圆心角∠AOB
O
的度数为100°,
则圆周角∠ACB=_____;
A
B
C
基础练习：一、填空：
D
E 5.已知:如图,圆心角
∠BOC=80°,
拓展化心动为行动
驶向胜利的彼岸
1.如图,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?为什么?
2.想一想，等圆中也有这样的结论吗？
D
B
E
●O
同弧或等弧所对的圆周角相等；
A
C
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
驶向胜利的彼岸
独立作业 10
挑战自我
驶向胜利的彼岸
• 习题4.3 3-5题
2
= 1∠COD,
2
∴ ∠ABC = 1∠AOC. 一条弧所对的圆周角等于它所
2
对的圆心角的一半.
你能写出这个命题吗?
议一议 7
圆周角定理
驶向胜利的彼岸
• 综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是
• :圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 即 ∠ABC =

中考数学复习----《圆周角定理》知识点总结与专项练习题(含答案)

中考数学复习----《圆周角定理》知识点总结与专项练习题（含答案）

知识点总结

1.圆心角、弦以及弧之间的关系：

①定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧。

2.圆周角的定义：

顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

3.圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

4.圆周角定理的推论：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

5.圆的内接四边形：

①定义：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。

②性质：I：圆内接四边形的对角互补。

II：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。

练习题

1、（2022•襄阳）已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为2，那么弦AC所对的圆周角的度数

等于．

【分析】首先利用勾股定理逆定理得∠AOC＝90°，再根据一条弦对着两种圆周角可得答案．【解答】解：如图，

∵OA＝OC＝1，AC＝，

∴OA2+OC2＝AC2，

∴∠AOC＝90°，

∴∠ADC＝45°，

∴∠AD'C＝135°，

故答案为：45°或135°．

2、（2022•日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作

如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为．

【分析】连接AC，根据∠ABC＝90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC 即可．

九年级数学圆周角和圆心角的关系练习题

圆周角和圆心角的关系同步练习

一、填空题:

1.如图1,等边三角形ABC 的三个顶点都在⊙O 上,D 是AC 上任一点(不与A 、C 重合),则∠ADC 的度数是________.

(1) (2) (3) (4)

2.如图2,四边形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上,且AD ∥BC,对角线AC 与BC 相交于点E,那么图中有_________对全等三角形;________对相似比不等于1的相似三角形.

3.已知,如图3,∠BAC 的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.

(5) (6)

4.如图4,A 、B 、C 为⊙O 上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.

5.如图5,AB 是⊙O 的直径, BC BD ,∠A=25°,则∠BOD 的度数为________.

6.如图6,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.

二、选择题:

7.如图7,已知圆心角∠BOC=100°,

则圆周角∠BAC 的度数是( )

A.50°

B.100°

C.130°

D.200° (7)

(8) (9) (10)

8.如图8,A 、B 、C 、D 四个点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( )

A.2对

B.3对

C.4对

D.5对

9.如图9,D 是AC 的中点,则图中与∠ABD 相等的角的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

10.如图10,∠AOB=100°,则∠A+∠B 等于( )

人教版数学九年级上册四点共圆,解题妙不可言

人教版数学九年级上册四点共圆，解题妙不可言

四点共圆是一种重要的解题方法，熟练判断四点共圆，并灵活运用圆的相关性质，能有效进行解题.

1.对角互补的四边形四点共圆证线段线段

例1如图1，在四边形ABCD 中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD=210，CE AD 于点E ．求证：AE=CE ；（2）若tanD=3，求AB 的长．

（2018年北京石景山区模拟题）

分析：根据∠A=∠BCD=90°，利用对角互补的四边形共圆，作出这个圆，从而把问题转化为圆的知识，在圆的背景下求解，可以帮助同学们更容易找到求解思路.

解：

如图1，因为∠A+∠BCD=180°,所以四边形ABCD 四点共圆，延长CE 交圆于点F ，连接AF ，因为∠A=∠AEC=90°，所以AB ∥CF ，所以BC=AF,因为BC=CD ，所以AF=CD ，因为∠EAF=∠ECD ， ∠F=∠D ，所以△AEF ≌△CED ，所以AE=CE.

（2）略

点评：对角互补的四边形内接于圆，借助四点共圆，可以创造出更多解题所必需的条件，如夹在两平行弦之间的弦相等，为三角形的全等提供“S ”元素.

2.对角互补的四边形四点共圆综合题

例2 如图2，四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，∠ADC=∠ABC=90°，∠BCD 是锐角.

（1）若BD=BC ，求证：sin ∠BCD=

BD ；（2）若AB=BC=4,AD+CD=6，求：AC BD 的值. （3）若BD=CD ，,AB=6，BC=8。求：sin ∠BCD 的值.

分析：根据∠ADC=∠ABC=90°，可以判定四边形ABCD 是满足四点共圆，且直径为AC ，作出直径为AC 的圆，就把普通的计算转化为圆的基本计算，充分利用圆的知识使得计算更加简便，提高计算的效率.

专题04 圆周角定理(解析版) -2021-2022学年九年级数学之专攻圆各种类型题的解法(人教版)

专题04 圆周角定理

1.圆周角的定义

顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

2.圆周角定理及其推论

定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC 与∠BOC 存在怎样的数量关系.

推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．

2）直径所对的圆周角是直角．

圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．

3.圆周角与圆心角的关系中圆心的位置存在的情形

（1）圆心O 在∠BAC 的一边上（如图甲）

（2）圆心O 在∠BAC 的内部（如图乙）

（3）圆心O 在∠BAC 的外部（如图丙）

甲乙丙

4.圆周角和直径的关系

概念规律重在理解

12BAC BOC ∠=∠

半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.

5.方法总结

在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．

6.圆内接四边形

如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.

推论1：圆的内接四边形的对角互补.

推论2：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.

注意：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．

典例解析掌握方法

【例题1】（2021湖南邵阳）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB 的大小为（）

A．25°B．30°C．35°D．40°

(完整版)初三上专题四点共圆

四点共圆专题讲义

例1如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点.求证：E、F、G、H四点共圆.

例2. (1)如图，在△ ABC 中，BD、CE 是AC、AB 上的高，/ A=60 ° .求证：ED = _BC 2

(2)已知：点0是厶ABC的外心，BE, CD是高.求证：A0丄DE

例3.如图，在△ ABC中，AD丄BC, DE丄AB, DF丄AC .求证：B、E、F、C四点共圆.

〔、

〈

* ---- 空

；°7

、 / f —*ff A OA=OB=OC/ ADC= / ABC=90°/ ACD= / ABD=90°/ B+ / D=180。或/

A+ / BCD=180。或/

A= / DCE

/ A= / D 或/ B= /

1. ______________________________________________________

2. _______________________________________________________

3.________________________________________________________

例4•求证：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积，即图中

练习1.在△ ABC中，BA BC , BAC , M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ .

(1)若60且点P与点M重合(如图1),线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出/ CDB 的度数；

(2)在图2中，点P不与点B, M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想/ CDB的大小(用含的代数式表示)，并加以证明；