初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第21讲 从三角形的内切圆谈起

第二十一讲 从三角形的内切圆谈起
和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心，圆外切三角形、圆外切四边形有下列重要性质：
1．三角形的内心是三角形的三内角平分线交点，它到三角形的三边距离相等；
2．圆外切四边形的两组对边之和相等，其逆亦真，是判定四边形是否有外切圆的主要方法．
当圆外切三角形、四边形是特殊三角形时，就得到隐含丰富结论的下列图形：
注：设Rt △ABC 的各边长分别为a 、b 、c (斜边)，运用切线长定理、面积等知识可得到其内切圆半径的不同表示式： (1)2
c
b a r -+=； (2)c
b a ab
r ++=
．
请读者给出证 【例题求解】
【例1】 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°°，BC=5，⊙O 与Rt △ABC 的三边AB 、
BC、AC分相切于点D、E、F，若⊙O的半径r＝2，则Rt△ABC的周长为．思路点拨AF=AD，BE=BD，连OE、OF，则OECF为正方形，只需求出AF(或AD)即可．
【例2】如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点(异于A、B)，过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，AC、BD相交于N点，连结ON，NP，下列结论：①四边形ANPD是梯形；②ON=NP：③DP·P C为定值；
④FA为∠NPD的平分线，其中一定成立的是( )
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①④
思路点拨本例综合了切线的性质、切线长定理、相似三角形，判定性质等重要几何知识，注意基本辅助线的添出、基本图形识别、等线段代换，推导出NP∥AD∥BC是解本例的关键．
【例3】如图，已知∠ACP=∠CDE=90°，点B在CE上，CA=CB=CD，过A、C、D 三点的圆交AB于F，求证：F为△CDE的内心．
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨 连CF 、DF ，即需证F 为△CDE 角平分线的交点，充分利用与圆有关的角，将问题转化为角相等问题的证明．
【例4】 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=BC=1，以AB 为直径作半圆O 切CD 于E ，连结OE ，并延长交AD 的延长线于F ． (1)问∠BOZ 能否为120°，并简要说明理由； (2)证明△AOF ∽△EDF ，且2
1
==OA DE OF DF ； (3)求DF 的长．
思路点拨 分解出基本图形，作出基本辅助线．(1)若∠BOZ=120°，看能否推出矛盾；(2)把计算与推理融合；(3)把相应线段用DF 的代数式表示，利用勾股定理建立关于DF 的一元二次方程．
注：如图，在直角梯形ABCD中，若AD+BC=CD，则可得到应用广泛的两个性质：
(1)以边AB为直径的圆与边CD相切；
(2)以边CD为直径的圆与边AB相切．
类似地，三角形三条中线的交点叫三角形的重心，三角形三边高所在的直线的交点叫三角形的垂心．外心、内心、垂心、重心统称三角形的四心，它们处在三角而中的特殊位置上，有着丰富的性质，在解题中有广泛的应用．
【例5】如图，已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，O、O
1、O
2
分别是△ABC；
△ACD、△BCD的角平分线的交点，求证：(1) O
1O⊥C O
2
；(2)OC= O
1
O
2
．
(武汉市选拔赛试题)
思路点拨在直角三角形中，斜边上的高将它分成的两个直角三角形和原三角形相似，得对应角相等，所以通过证交角为90°的方法得两线垂直，又利用全等三角形证明两线段相等．
学力训练
1．如图，已知圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm，那么等腰梯形ABCD的周长等于= cm．
2．如图，在直角，坐标系中A 、B 的坐标分别为(3，0)、(0，4)，则Rt △ABO 内心的坐标是 ．
3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ， DC ⊥BC ，AB=8，BC=5，若以AB 为直径的⊙O 与DC 相切于E ，则DC= ．
4．如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C=90°，AO 的延长线交BC 于点D ，AC=4，CD=1，则⊙O 的半径等于( )
A ．5
4 B ．4
5 C ．4
3 D ．6
5
5．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD=90°，以CD 为直径的半圆O 切AB 于点E ，这个梯形的面积为21cm 2
，周长为20cm ，那么半圆O 的半径为( ) A ．3cm B ．7cm C ．3cm 或7cm D ． 2cm
6．如图，△ABC 中，内切圆O 和边B 、CA 、AB 分别相切于点D 、EF ，则以下四个结论中，错误的结论是( )
A ．点O 是△DEF 的外心
B ．∠AFE=2
1(∠B+∠C) C ．∠BOC=90°+2
1∠A D ．∠DFE=90°一2
1∠B
7．如图，BC 是⊙O 的直径，AB 、AD 是⊙O 的切线，切点分别为B 、P ，过C 点的切线与AD 交于点D ，连结AO 、DO ． (1)求证：△ABO ∽△OCD ；
(2)若AB 、CD 是关于x 的方程0)1()1(2
5
22=-+--m x m x 的两个实数根，且S △ABO + S
△OCD
=20，求m 的值．
8．如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，OC 与⊙O 相交于点D ，连结AD 并延长，BC 相交于点E ．
(1)若BC=3，CD=1，求⊙O 的半径；
(2)取BE 的中点F ，连结DF ，求证：DF 是⊙O 的切线；
(3)过D 点作DG ⊥BC 于G ，OG 与DG 相交于点M ，求证：DM ＝GM ．
9．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=13cm ，BC=16cm ，CD=5cm ，AB 为⊙O 的直径，动点P 沿AD 方向从点A 开始向点D 以1cm ／秒的速度运动，动点Q 沿CB 方向从点C 开始向点B 以2cm ／秒的速度运动，点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．
(1)求⊙O 的直径；
(2)求四边形PQCD 的面积y 关于P 、Q 运动时间t 的函数关系式，并求当四边形PQCD 为等腰梯形时，四边形PQCP 的面积；
(3)是否存在某时刻t ，使直线PQ 与⊙O 相切，若存在，求出t 的值；若不存
在
，
请
说
明
理
由． (2002年烟台市中考题)
10．已知在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，CD 为AB 上的高，O l 、O 2分别为△ACD 、△BCD 的内心，则O l O 2= ．
11．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A 和∠B 的平分线相交于P 点，又PE ⊥AB 于点E ，若BC=2，AC=3，则AE ·EB= ．
12．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的( )
A ．内心
B ．外心
C ．圆心
D ．重心
13．如图，AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 过点AB 和BC 相切于点P ，和AB 、AC 分别交于点E ，F ，若BD=AE ，且BE=a ，CF=b ，则AF 的长为( )
A ．
a 251+ B ．a 231+ C ．
b 251+ D ．b 2
3
1+
14．如图，在矩形ABCD 中，连结AC ，如果
O 为△ABC 的内心，过O 作OE ⊥AD 于E ，作OF ⊥CD 于F ，则矩形OFDE 的面积与矩形ABCD 的面积的比值为( ) A ．2
1 B ．3
2 C ．4
3 D ．不能确定
(《学习报》公开赛试题)
15．如图，AB 是半圆的直径，AC 为半圆的切线，AC=AB ．在半圆上任取一点D ，作DE ⊥CD ，交直线AB 于点F ，BF ⊥AB ，交线段AD 的延长线于点F ．
(1)设AD 是x °的弧，并要使点E 在线段BA 的延长线上，则x 的取值范围是 ；
(2)不论D 点取在半圆什么位置，图中除AB=AC 外，还有两条线段一定相等，指出这两条相等的线段，并予证明．
16．如图，△ABC 的三边满足关系BC=2
1(AB+AC)，O 、I 分别为△ABC 的外心、内心，∠ BAC 的外角平分线交⊙O 于E ，AI 的延长线交⊙O 于D ，DE 交BC 于H ．
求证：(1)AI=BD ；(2)OI=2
1AE ．
⌒
17．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点F，问EP与PD是否相等?证明你的结论．
18．如图，已知点P在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的AB(不含端点)上运动，PH⊥OA于H，△OPH的重心为G．
(1)当点P在AB上运动时，线段GO、GP、GH中有无长度保持不变的线段?如
果有，请指出并求出其相应的长度；
(2)设PH= x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围；
(3)如果△PGH为等腰三角形，试求出线段PH的长．
⌒
参考答案
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