3 矩阵的相似标准形
矩阵理论(第三章矩阵的标准型)
1 1 1 J 1 1 2
初级因子为
Jordan标准形为
1 2, 2,3 1, 求得对应的特征向量为
X1 (1,1,1)T , X 2 (2,1,0)T , X3 (0,0,1)T ,
故
1 2 0 P 1 1 0 1 0 1
从而
2 0 0 P 1 AP 0 1 0 0 0 1
3级因子，因为
0 0 0 2 1 1 2 3 3 0
1
3
0 0 0, 2 0
2 2 2 7
1
D3 () (( 1)3 ,( 1)2 ( 2), 2 2 7,0,...) 1
4级因子
D4 ( ) ( 1)3 ( 2)
例6
1 2 1 求A 1 3 2 2 3 1 1
的Jordan标准形。
解：特征矩阵为
1级因子，因为 c 2, 3, 1 2级因子，因为存在
1 3 2 3 3
1 2 1 E A 1 3 2 2 3 1 1
来自百度文库第三章
矩阵的标准形
内容： 理解矩阵的Jordan分解和Jordan标准形的概念， 会求Jordan标准形； 会求 矩阵的Smith标准形，以及 矩阵的不变 因子和初级因子； 重点：矩阵相似于对角阵的条件，标准形， 约当标准形
矩阵的相似标准形
对2= 3=1, 解齐次线性方程组 (EA)x=0,
2 x1 x2 0 即 4 x1 2 x2 0
x1 x3 0
由 2 1 0 1 0 1 4 2 0 0 1 2 1 0 1 0 0 0
得一般解为
x1 x3
x
2
2 x3
x3 x3
取基础解系
1 2
的特征向量.
问题：对任何方阵A, 是否有特征值呢? A有 特征值时，如何求出它的全部特征值和全部 特征向量呢?
1. 矩阵A=(aij)nn的特征值和特征向量
若Ax= λx, 则 xAx=( EA)x=0. (1)
由x是非零向量, 说明齐次线性方程组
( EA)x=0
有非零解, (1)有非零解
a11 a12
1
因此A的属于2= 3=1的全部特征向量是
k(1, 2, 1), (k 0).
例2 求矩阵
1 B 2
2 1
2 2
的特征值和特征向量.
2 2 1
解： 特征方程
1 2 2
E B 2 1 2 ( 1)2( 5) 0
2 2 1
B的特征值为 1= 2= 1, 3=5. 对二重特征值 = 1，解方程组(EB)x=0,
即若能用相似变换将A化为对角矩阵, 则 满秩矩阵P的每个列向量必满足
Api i pi (i 1,2,, n).
矩阵的相似标准形
准形可改善数值稳定性。
特征值问题中的应用
特征值求解
通过求解矩阵的相似标准形，可得到原矩阵的特征值 和特征向量。
特征值性质分析
相似标准形有助于分析特征值的性质，如特征值的重 数、分布等。
广义特征值问题
在处理广义特征值问题时，相似标准形同样具有重要 作用。
工程技术领域应用举例
结构力学
在结构力学中，相似标准形可用于分析结构的振 动模态和频率。
THANK YOU
感谢聆听
矩阵的条件数
条件数用于衡量矩阵求解问题对输入误差的敏感性。条件 数越大，求解过程中数值不稳定性越严重。
迭代算法的收敛性
对于迭代算法，需要关注其收敛速度以及是否收敛于精确 解。不合适的迭代参数或初始值可能导致算法不收敛或收 敛速度极慢。
算法设计思路及步骤
01
选择合适的相似变换矩阵
为了将原矩阵转换为相似标准形，需要构造一个合适的相似变换矩阵。
误区三
相似标准形是唯一的。实际上，相似标准形并不是唯一的，因为对于同一个对角矩阵 $Lambda$，可能存在多个不同的可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=Lambda$。
相关领域前沿动态介绍
矩阵相似性的应用
在机器学习、图像处理、信号处理等领域中，矩阵相似性被广泛应用于数据降维、特征提取、模式识别等任务。通过 利用相似矩阵的性质，可以简化计算、提高算法效率。
定义矩阵相似度的方法
矩阵相似度可以通过多种方法进行定义和计算。以下是一些常见的方法：
1. 特征值比较：如果两个矩阵的特征值相同，则它们可能相似。然而，需要注意的是，相同的特征值并不一定意味着两个矩阵相似。
2. 矩阵对角化：对角化是一种判断矩阵相似的常用方法。如果两个矩阵都可以被对角化，且它们的对角矩阵相同（即相同的特征值在对角线上），则这两个矩阵相似。
3. Jordan标准型：Jordan标准型是另一种判断矩阵相似性的方法。将矩阵转换为Jordan标准型后，可以直接比较它们的Jordan块。如果两个矩阵的Jordan标准型相同（包括相同的Jordan块和对应的特征值），则这两个矩阵相似。
4. Frobenius范数：这是一种矩阵的范数，表示矩阵中所有元素的平方和的平方根。对于两个矩阵A和B，它们的Frobenius范数之差，即||A-B||F，可以作为它们的相似度的度量。若两个矩阵A和B的Frobenius范数之差越小，则说明它们越相似。
这些方法在不同场景下都有应用，具体使用哪种方法取决于问题的特定需求和上下文。
第1页共1页
矩阵相似的判定条件
矩阵相似的判定条件
矩阵相似是一个概念，它指的是多个矩阵之间有相似性的情况。它是一个重要的数学概念，被广泛用于线性代数和科学计算中。本文将讨论矩阵相似的判定条件，并给出一个典型的例子。
矩阵相似的定义是两个矩阵之间存在一种可以将一个矩阵变换
到另一个的变换，以及这两个矩阵的行列式相等。具体来讲，如果A 和B是两个n阶矩阵，那么A和B是矩阵相似的，当且仅当存在一个n阶可逆矩阵P，令B=PAP-1。这个变换矩阵P可以是正交的、对称的或者是单位矩阵，并且行列式det(P)可以是任意非零值。
举一个典型的例子，让我们来看一下矩阵A和矩阵B：
A=
begin{bmatrix}
1 &
2 & 3
4 &
5 & 6
7 & 8 & 9
end{bmatrix},quad
B=
begin{bmatrix}
-1 & 2 & 3
-4 & 5 & 6
-7 & 8 & 9
end{bmatrix}
矩阵A和B之间有一种可以将A变换到B的变换，即变换矩阵P 为单位阵：
P=
begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0
0 & 1 & 0
0 & 0 & 1
end{bmatrix}
可以看到，B=PAP-1，也就是说矩阵A和矩阵B是矩阵相似的。
除了上面的例子外，可以看到，矩阵相似的判定条件是由三个方面组成的：
（1）存在一个可逆的变换矩阵；
（2）变换矩阵的行列式不为0；
（3）矩阵A和矩阵B之间存在一种可以将A变换到B的变换，即B=PAP-1。
此外，在实际应用中，也存在非可逆矩阵和正交变换矩阵，也可以用来检验矩阵相似性。给定一个非可逆矩阵P，如果B=PAP-1，那么A和B也是矩阵相似的。除此之外，正交矩阵也可以检验矩阵相似性。如果P是一个正交矩阵，那么B=PAPT，其中PT是P的转置矩阵，也就是说A和B是矩阵相似的。
5.11矩阵的相似标准形3
作业讲解： 1,2, 2,1
, , ,cos , .
解：
2
, 22 12 32 22 18 3 2
, 2 1 1 2 3 2 2 1 0
3 1 . 例 求A 的特征值和特征向量 1 3 解 A的特征多项式为 3 1 2 (3 ) 1 1 3 8 6 2 (4 )( 2 ) 所以A的特征值为 1 2, 2 4.
当 1 2时, 对应的特征向量应满足 3 2 1 x1 0 , 1 3 2 x 2 0
3.恒等变换的特征值是1，零变换的特征值是0；一切非零 向量都是它们的特征向量。 4.单位矩阵的特征值全是1；零矩阵的特征值全是0；上 （下）三角阵的特征值是它的全部主对角元。
特征值与特征向量的计算：
第一步 计算 A 的特征多项式；
第二步 求出特征多项式的全部根，即得 A的全部 特征值； 第三步 将每一个特征值代入相应的线性方程组， 求出基础解系，即得该特征值的特征向量．
3
1 , 2 , 3 即为欧氏空间 R 的一个标准正交基． 则
引入：
n维线性空间V取定一组基后，V上的线性变换f就对应 一个矩阵，则f的运算对应于矩阵的运算。 为了方便运算，希望取得这组基，使f的矩阵尽可能的 “简单”，例如，对角阵。 而f在两组基下的矩阵是相似的，因此，这一章的目的， 就是求得f的矩阵可以相似于怎样“最简单”的矩阵。
矩阵的相似标准形139页PPT
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔ห้องสมุดไป่ตู้思而不学则殆。——孔子
矩阵相似的判定条件
矩阵相似的判定条件
矩阵的相似判定条件，对于线性代数的研究非常重要，因其关乎矩阵的结构，这是决定矩阵运算、数值计算的基础。在这篇文章中，我们将详细阐述矩阵的相似性判定条件。
首先，我们从基本概念出发，来详细讨论矩阵相似性。矩阵的相似性是指，当两个或多个矩阵满足特定的条件时，它们结构上有相似性。这些条件有如下几种：
1. 换矩阵存在这样的矩阵T，使A=TBT，其中B是另外一个矩阵。这时，A与B是相似的；
2. A的特征矩阵P的每一行（或列）都能经过同样的线性变换得到B的特征矩阵Q的每一行（或列）时，A与B是相似的；
3. 果A可由对角阵和它上三角阵的乘积表示，而B可以由另一个对角阵和它上三角阵的乘积表示（并且两个对角阵都是可逆的），则A与B是相似的。
除此之外，在高等数学中，我们还发现了另一种能够用来检测矩阵相似性的条件矩阵等价的判定条件，它与矩阵的相似性有密切的关系，但也有一些不同点。
矩阵等价的判定条件可以用如下四个条件来表述：
1.在一个矩阵Q，使得A＝Q＊B，其中B是另一个矩阵。这时，A 与B是等价的；
2.A的特征矩阵P的每一行（或列）都能经过一定的线性变换得到B的特征矩阵Q的每一行（或列），A与B是等价的；
3.果A可以由对角阵和它上三角阵的乘积表示，而B可以由另一个对角阵和它上三角阵的乘积表示（并且两个对角阵都是不可逆的），则A与B是等价的；
4.果A可以由三角阵和它下三角阵的乘积表示，而B可以由另一个三角阵和它下三角阵的乘积表示，则A与B是等价的。
除了这些条件，还存在着一些更抽象的条件，如加性等价、维数等价，以及域同调等价。这些抽象的条件也可以用来检测矩阵相似性或矩阵等价性，有着与上述判定条件同样的效果。
矩阵的相似标准形
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假设 A 是 n 阶方阵，则 A 相似于对角阵的 充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量
特征向量。
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线性变换的特征值、特征向量
设 f 是线性空间V 上的线性变换，假设
即： 是 f 的属于特征值 0 的特征向量
当且仅当 x0 是 A 的属于特征值 0 的特征向量。
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定理1
若A, BCnn是相似的，则I A I B.
注：1.定理的逆命题不成立；
2.可定义线性变换的特征多项式。
特别是,若f Hom(V ,V )在基1,2,L ,s下的矩阵是A,
0 F ， V 。若 f () 0
则称 0 是 f 的特征值，
是相应于特征值 0 的特征向量。
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线性变换的可对角化问题
设V 是 n 维线性空间， f 是线性空间V 上的 线性变换，则存在V 的基使得 f 的矩阵是对角阵 当且仅当 f 有 n 个线性无关的特征向量。
第三节 可对角化的条件
矩阵的等价标准形
矩阵的等价标准形
矩阵的等价标准形是线性代数中一个重要的概念，它可以帮助
我们更好地理解和分析矩阵的性质和特点。在矩阵的等价标准形中，我们通常会涉及到矩阵的相似性、对角化和标准型等概念。本文将
从这些方面对矩阵的等价标准形进行详细的介绍和解析。
首先，我们来看一下矩阵的相似性。如果存在可逆矩阵P，使
得矩阵A和B满足关系式，B=P^(-1)AP，那么我们就称矩阵A和B
是相似的。相似矩阵具有一些重要的性质，例如它们的特征值和特
征向量是相同的。通过相似变换，我们可以将一个复杂的矩阵转化
为一个更简单的形式，从而更方便地进行分析和运算。
接下来，我们要讨论矩阵的对角化。对角化是指将一个矩阵通
过相似变换转化为对角矩阵的过程。对角化可以简化矩阵的运算，
使得矩阵的乘法、幂运算等操作更加方便和高效。对角化还可以帮
助我们更清晰地看出矩阵的特征值和特征向量，从而更好地理解矩
阵的性质和结构。
除了对角化，我们还需要了解矩阵的标准型。对于一个n阶矩阵，它的标准型可以表示为，T=P^(-1)AP，其中T是一个特殊的形
式，它的非零元素只存在于主对角线和次对角线上。标准型可以帮助我们更清晰地了解矩阵的结构和特点，从而更好地应用矩阵进行问题的求解和分析。
在矩阵的等价标准形中，我们还需要考虑到矩阵的不变因子和有理标准型等概念。不变因子是指矩阵通过相似变换后，保持不变的一些因子，它可以帮助我们更好地理解矩阵的相似性和结构。有理标准型则是对于一个矩阵，通过有理变换可以将其转化为一个特殊的形式，从而更好地进行分析和运算。
总的来说，矩阵的等价标准形是线性代数中一个重要且复杂的概念，它涉及到相似性、对角化、标准型、不变因子和有理标准型等多个方面。通过对矩阵的等价标准形进行深入的了解和研究，我们可以更好地应用矩阵进行问题的求解和分析，为线性代数的学习和应用提供更多的便利和帮助。希望本文的介绍和解析能够帮助读者更好地理解和掌握矩阵的等价标准形，从而更好地运用它们解决实际问题。
矩阵的等价标准形
矩阵的等价标准形
矩阵的等价标准形是矩阵理论中一个重要的概念，它在代数、几何和计算机科学等领域都有着广泛的应用。在矩阵的等价标准形中，我们主要涉及到相似矩阵和合同矩阵两个概念。
首先，我们来看相似矩阵。两个n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=B，那么我们称矩阵A和B是相似的，P 就是相似变换矩阵。相似矩阵具有许多相似的性质，比如它们的特征值和秩是相同的。在实际应用中，相似矩阵可以用来简化矩阵的计算和分析，从而方便我们进行后续的工作。
其次，我们来看合同矩阵。两个n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^TAP=B，那么我们称矩阵A和B是合同的，P 就是合同变换矩阵。合同矩阵也具有许多重要的性质，比如它们的惯性指数相同。在实际应用中，合同矩阵可以用来描述二次型的规范形，从而方便我们进行二次型的分析和求解。
在矩阵的等价标准形中，我们可以利用相似矩阵和合同矩阵的性质，将一个复杂的矩阵化简为一个更加简单的形式，从而方便我们进行后续的计算和分析。比如，我们可以利用相似矩阵将一个矩
阵对角化，从而方便我们求解矩阵的幂和指数函数；我们也可以利
用合同矩阵将一个二次型化为规范形，从而方便我们进行二次型的
分类和规范化。
总之，矩阵的等价标准形是矩阵理论中一个非常重要的概念，
它在代数、几何和计算机科学等领域都有着广泛的应用。通过对相
似矩阵和合同矩阵的研究，我们可以将复杂的矩阵化简为简单的形式，从而方便我们进行后续的计算和分析。希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！
矩阵相似的充分条件
矩阵相似的充分条件
矩阵相似是线性代数中一个重要的概念，它描述了两个矩阵在某种意义下具有相同的性质。在实际应用中，矩阵相似性质的研究具有重要的意义，例如在矩阵的对角化、矩阵的特征值和特征向量的求解等方面都有广泛的应用。
矩阵相似的定义是：设A和B是n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则称A和B相似。其中，P-1表示P的逆矩阵。
矩阵相似的充分条件有很多，下面我们将介绍其中的几个。
1. 特征值相同
设A和B是n阶矩阵，如果A和B有相同的特征值，则A和B相似。这个结论可以通过矩阵的特征值和特征向量的定义来证明。设λ是A的一个特征值，v是A对应于λ的一个特征向量，则有Av=λv。由于B和A有相同的特征值，所以存在一个向量u，使得Bu=λu。令P=[v,u]，则有P-1AP=B，因此A和B相似。
2. 秩相同
设A和B是n阶矩阵，如果A和B的秩相同，则A和B相似。这个结论可以通过矩阵的秩和零空间的定义来证明。设r是A的秩，N(A)是A的零空间，N(B)是B的零空间，则有
n=r+dim(N(A))=r+dim(N(B))。由于A和B的秩相同，所以dim(N(A))=dim(N(B))，因此n=r+dim(N(A))=r+dim(N(B))=n。这意味着N(A)和N(B)的维数相同，因此存在一个可逆矩阵P，使得P-
1AP=B，因此A和B相似。
3. 矩阵的Jordan标准形相同
设A和B是n阶矩阵，如果A和B的Jordan标准形相同，则A 和B相似。这个结论可以通过矩阵的Jordan标准形的定义来证明。设J(A)和J(B)分别是A和B的Jordan标准形，则存在可逆矩阵P1和P2，使得A=P1J(A)P1-1，B=P2J(B)P2-1。由于J(A)和J(B)相同，所以存在一个可逆矩阵Q，使得J(A)=QJ(B)Q-1。令P=P1Q，则有P-1AP=B，因此A和B相似。
矩阵的标准型怎么求
矩阵的标准型怎么求
矩阵的标准型是线性代数中一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质和特征。在实际应用中，求解矩阵的标准型可以帮助我们简化问题，从而更容易进行计算和分析。接下来，我将介绍矩阵的标准型是什么，以及如何求解矩阵的标准型。
矩阵的标准型是指将一个矩阵通过一系列相似变换，化为特定形式的矩阵。通常情况下，我们希望将一个矩阵化为对角矩阵或者上三角矩阵的形式，这样可以更方便地进行计算和分析。对于一个n阶矩阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP为对角矩阵或者上三角矩阵，那么我们称矩阵A是可对角化的，对角矩阵或者上三角矩阵就是矩阵的标准型。
那么，如何求解矩阵的标准型呢？首先，我们需要找到矩阵的特征值和特征向量。对于一个n阶矩阵A，如果存在一个标量λ和一个非零向量v，使得Av=λv，那么λ就是矩阵A的特征值，v就是对应于特征值λ的特征向量。我们可以通过求解矩阵A的特征方程det(A-λI)=0来找到矩阵A的特征值。一旦我们找到了矩阵A的特征值，接下来就是求解对应于每个特征值的特征向量。
接下来，我们需要构建特征向量矩阵P。将矩阵A的特征向量按列排成一个矩阵P，如果特征向量线性无关，那么P是可逆的。接着，我们计算P^-1AP，得到的矩阵就是矩阵A的标准型。如果P^-1AP为对角矩阵，那么矩阵A是可对角化的；如果P^-1AP为上三角矩阵，那么矩阵A是可上三角化的。
需要注意的是，并不是所有的矩阵都是可对角化的。对于一个矩阵A而言，它可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。如果A的特征向量不足够，那么A就不是可对角化的。在这种情况下，我们可以求解矩阵的若尔当标准型，将矩阵A化为若尔当块的形式。
第三章 矩阵的相似标准形
第三章 矩阵的相似标准形
矩阵的相似标准形有着广泛的应用．在线性代数中，已讨论了可对角化方阵的相似标准形——对角形矩阵.但并不是所有方阵都可对角化，本章将从任意方阵的特征矩阵入手，介绍矩阵相似的判别法和两种常用的相似标准形，并进一步讨论方阵可对角化的条件，最后给出一类特殊矩阵的对角化方法.
§3.1 λ矩阵及其Smith 标准形
一、λ矩阵的基本概念
定义1 设()(1,2,,,1,2,,)ij a i m j n λ== 是数域F 上的多项式，以()ij a λ为元素的m n ⨯矩阵
1112121
22212()()()()()()()()()()n n m m mn a a a a a a A a a a λλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
称为多项式矩阵或λ矩阵，多项式()(1,2,,,1,2,,)ij a i m j n λ== 中的最高次数称为()A λ的次数，数域F 上m n ⨯λ矩阵的全体记为[]m n F λ⨯.
为了与λ矩阵相区别，我们把以数域F 中的数为元素的矩阵称为数字矩阵．显然，数字矩阵是λ矩阵的特例.数字矩阵A 的特征矩阵E A λ-就是1次λ矩阵.
如果m n ⨯的λ矩阵()A λ的次数为k ，则()A λ可表示为
1110()k k k k A A A A A λλλλ--=++++ ，
其中(0,1,,)i A i k = 是m n ⨯数字矩阵，并且0k A ≠．例如
2
2221()1A λλλλλλ
λλλλ⎛⎫-+ ⎪=- ⎪ ⎪+-⎝⎭2010101100000111000111000100λλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭
矩阵的标准形
矩阵的标准形
线性代数中涉及矩阵的标准形有三种，分别是等价标准形、相似标准形和合同标准形.虽然各种矩阵的标准形不同，但它们有一个不变量——秩不变.
0.00r E A ⎡⎤−−−−−→⎢⎥⎣⎦一系列初等变换(1) 等价标准形
与是同型矩阵，若经过一系列初等A B A 变换化为，则称与等价. 若，B B A ()R A r =则又由于对作一次初等行（列）变换相当A 于左（右）乘一个初等矩阵，而初等矩阵的A 乘积是可逆阵，从而对阶矩阵而言，
m n ⨯A
存在阶可逆方阵和阶可逆方阵，使
m P n Q 000r E PAQ ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中标准形的非负整数由原矩阵唯一确定.r 易见，矩阵的等价标准形唯一.
(2) 矩阵的相似标准形
设均为阶方阵，若存在可逆矩阵，,A B n P 1
B P AP
-=则称矩阵与相似.A B 为什么要讨论这一类标准形，是起源于实对称阵如何化为对角阵，进而通过对角阵研究原矩阵.
使得
是的特征值.A 1
P AP -=Λ
对角阵，其中{}12,,,n diag λλλΛ= 12,,,n λλλ 12.n AP P P λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=Λ=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦ 设是实对称阵，能否找到可逆阵（甚至A P 正交阵）使得
7
将按列分块，记，则有
P []12,,,n P p p p = [][]121212,,,,,,n n n A p p p p p p λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦ 即(1,2,,).
i i i Ap p i n λ== 易见可逆矩阵的第列是实对称阵的特征P i A 值所对应的特征向量，这一表达式也正是方阵
第四章 矩阵的相似标准形
第四章 矩阵的相似标准形
复方阵在相似意义下的标准形——Jordan 标准形（B A B AP P ~1⇔=-）。
第一节 特征值 特征向量
如果存在任意的一组基n ααα,,,21 ，使
=),,,(21n f ααα ),,,(21n ααα ),,,(21n d d d d ，
则n i d f i i i ,,2,1,)( ==αα。
定义1.1 设),hom(V V f ∈，V 为数域F 上的线性空间，若存在F ∈λ以及非零向量V ∈ξ，使得 λξξ=)(f
则称λ是线性变换f 的特征值，ξ为f 对应于特征值λ的特征向量。
例如：1 是恒等变换I 的特征值；0是零变换O 的特征值，一切非零向量都是他们的特征向量。
设V 为n 维线性空间，n ααα,,,21 为V 的一组基，f 在该组基下的矩阵为A ，ξ的坐标向量为X ，则)(ξf 的坐标向量为AX ，于是
存在0≠ξ，使得⇔=λξξ)(f 存在0≠X ，使得⇔=X AX λ存在0≠X ，使得⇔=-0)(X I A λ0=-A I λ。
因此，f 的特征值即是特征方程0=-A I λ在数域F 上的根；特征值λ对应的特征向量ξ的坐标向量X 就是齐次线性方程组
0)(=-X A I λ
的非零解。
定义1.2 设n n C A ⨯∈，n 次多项式0)(=-=A I C λλ称为矩阵A 的特征多项式；称0)(=-=A I C λλ的根为矩阵A 的特征值，记矩阵A 的特征值集为)(A λ；称满足X AX λ=的非零向量X 为矩阵A 的特征向量（属于特征值λ）。
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求f的特征值及相应的特征子空间的基 。
34
定理12
设f Hom(V，V )的特征多项式是C ( ) ( i ) ri ，
i 1 s
则 dim Vi ri .
35
定理13
设f Hom(V , V )的特征多项式是C( ) ( i )ri ，
i 1 s
则下述条件是等价的： 1. f是可对角化的；
2.i， dimVi ri ;
3.V V1 V2 Vs
36
例10
f Hom(C
22
,C
22
)定义为： X C
22
,
1 f (X ) 2
1 X 2
1.求f在基E11 , E21 , E12 , E22下的矩阵；
定义：矩阵A的次数最低的、最高次项系数为一的化零多项式 称为A的最小多项式.
性质1：若m( x), ( x)分别是矩阵A的最小多项式、化零多项式， 则m( x) | ( x). 性质2：任意矩阵的最小多项 式是唯一的
性质3：如果矩阵 A, B相似，则A, B有相同的最小多项式。
定理7：矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关。
定理8：若1 , 2 , , s是矩阵A的互不相同的特征值， 1i ,2i , ,tii是A的属于特征值i的线性无关的特征向量，则 11,21 , ,t1112,22 , ,t2 2 1s ,2 s , ,ts s 线性无关。
a22 a32 a52
a23 a33 a53
a25 a35 a55
13
特征多项式的计算
定理2：设A aij
nn
,则
I A n b1n1 b2n2 bn1 bn
其中，bj (1) j （A的j阶主子式）
特别地，b1 aii ,
a22 a32 a52
a24 a34 a54
12
主子式与子式
a11 a21 a31 a41 a 51 a12 a22 a32 a42 a52 a13 a23 a33 a43 a53 a14 a24 a34 a44 a54 a15 a25 a35 a45 a55
11
主子式与子式
a11 a21 a31 a41 a 51 a12 a22 a32 a42 a52 a13 a23 a33 a43 a53 a14 a24 a34 a44 a54 a15 a25 a35 a45 a55
a21 a31 a51
18
例4
3 4 1000 设A 3 5 .求A .
C( ) 2 3
2
19
例5
1 2 2 100 已知A 1 0 3 ，求A 。 1 1 2
C( ) ( 1)( 1)
2
20
最小多项式
第三章
矩阵的相似标准形
1
矩阵与线性变换
本章的目的： 对给定的矩阵，找一最简单的矩阵与之相似。 对给定的线性空间上的线性变换，找线性空间的一 组基，使得线性变换的矩阵最简单。
2
第一节 特征值与特征向量
假设 A 是 n 阶方阵， 0 是数，若存在 n 维 列向量 ，使得
， 且 A 0
31
特征子空间
定义：设f Hom(V ,V ), 0是f 的特征值。称
V0 V | f () 0
为 f的相应于特征值 0的特征子空间。
dimV0 =线性变换 f 的属于特征值 0 的
线性无关特征向量的个数。
32
Fra Baidu bibliotek
可对角化的条件
假设 dim V n ， f Hom(V , V ) 的特征多项式为
1 1 f (X ) 1 1 X
求f的最小多项式。
28
第三节 可对角化的条件
目的： 对给定的矩阵，判断其是否相似于对角阵； 对给定的线性空间上的线性变换，判断是否存在 空间的一组基，使得其矩阵是对角阵。
29
已知的判别方法
定理6：n n矩阵A相似于对角阵 A有n个线性无关的特征向量。
设 f 在 V 的 基 1 , 2 ,, n 下 的 矩阵 是 A ， 若 0 F ， 则 f ( ) 在基 1 , 2 ,, n V 在基 1 , 2 ,, n 下的坐标是 x0 ， 下的坐标是 Ax0 。故 即：
f ( ) 0 Ax0 0 x0 ，
C() ( 1 )c1 ( 2 )c2 ( s )cs
则存在 V 的基使得 f 的矩阵是对角阵的充分必要条件是
dimV1 dimV2 dimVs n
33
例9
f Hom(C
22
,C
22
)定义为： X C
22
1 1 , f (X ) 1 1 X
26
例7
a1 b1 a2 b2 设 , , A H .求A的最小多项式。 a b n n
27
例8
f Hom(C 22 , C 22 )定义为：X C 22 ,
2.求f的特征值及相应的特征子空间的基 ;
3. 问：是否存在C 22的基，使得f 的矩阵为对角阵？为什么？
37
定理14
n n矩阵A相似于对角阵 A的最小多项式无重根。
引理：若n阶矩阵M i 满足M1M 2 M s O, 则 r (M i ) (s 1)n.
f () 0
则称 0 是 f 的特征值，
是相应于特征值 0 的特征向量。
5
线性变换的可对角化问题
设 V 是 n 维线性空间， f 是线性空间 V 上的 线性变换，则存在 V 的基使得 f 的矩阵是对角阵 当且仅当 f 有 n 个线性无关的特征向量。
6
线性变换的特征值、特征向量的计算
30
线性变换的可对角化问题
假设V 是n维线性空间，f Hom(V ,V ).
定理9：f 可对角化 f 有n个线性无关的特征向量。
定理10 : f 的属于不同特征值的特征向量线性无关。
定理11：若1 , 2 , , s是线性变换f 的互不相同的特征值， 1i ,2i , ,tii是f 的属于特征值i的线性无关的特征向量，则 11,21 , ,t1112,22 , ,t2 2 1s ,2 s , ,ts s 线性无关。
n
推论：若 A, B相似，则 tr( A) tr(B), A B .
15
a1 b1 a2 b2 设 , , A H .求A的特征值。 a b n n
2.r ( AB ) r ( A), r ( B);
定义：（线性变换的最 小多项式）
21
定理5
设m( x), C ( x)分别是矩阵A的最小多项式和特征多项式， 则m( x) | C ( x)，并且，对0 C, m(0 ) 0 C (0 ) 0。
22
例6
求下列矩阵的最小多项 式： a a 1 a 1 a a 0 , a 1 , a a a
2
A的特征值只能是0或1。
17
第二节 Hamilton-Cayley定理
定理3：设A F nn , C() I A .则C( A) O.
定理4：设f Hom(V ,V ), C( )是f 的特征多项式，则C( f ) O.
Schur 引理：对A C nn , 存在酉矩阵 U使得U H AU是上三角矩阵。
,
1 1 f (X ) 1 1 X
求f的特征值、特征向量。
10
特征多项式的计算
定义： 假设矩阵 A aij
nn
， 第1 i1 i2 ik n
行，则 A 的第 i1 , i2 ,, ik 行，第 i1 , i2 ,, ik 列交 叉处的元素构成的 k 阶子式称为 A 的一个 k 阶 主子式。
性质1：若m( x), ( x)分别是矩阵A的最小多项式、化零多项式， 则m( x) | ( x). 性质2：任意矩阵的最小多项 式是唯一的
性质3：如果矩阵 A, B相似，则A, B有相同的最小多项式。
定义：（线性变换的最 小多项式）
设m( x), C ( x)分别是矩阵A的最小多项式和特征多项式， 则m( x) | C ( x)，并且，对0 C, m(0 ) 0 C (0 ) 0。
是 f 的属于特征值 0 的特征向量
当且仅当 x0 是 A 的属于特征值 0 的特征向量。
7
定理1
若A, B C 是相似的，则I A I B .
nn
注： 1.定理的逆命题不成立；
2.可定义线性变换的特征 多项式。
特别是, 若f Hom(V ,V )在基1 , 2 ,, s下的矩阵是A, ' (1' ,2 ,, s' ) (1,2 ,, s )P 则f 在新的基
23
第二节 Hamilton-Cayley定理
定理3：设A F nn , C() I A .则C( A) O.
定理4：设f Hom(V ,V ), C( )是f 的特征多项式，则C( f ) O.
Schur 引理：对A C nn , 存在酉矩阵 U使得U H AU是上三角矩阵。
i 1 n
bn (1)n A.
14
矩阵的迹
定义：设A (aij )nn , 称 aii为A的迹，记为tr ( A).
i 1 n
命题：若 A (aij )nn的特征值为 1, 2 ,, n , 则
tr ( A) i ,
i 1 n
A i .
i 1
例3
I A b1 b2
n n1
n 2
bn1 bn
16
特别地，b1 aii ,
i 1
n
bn (1)n A.
化零多项式
设f ( x)是多项式。若f ( A) O, 则A的特征值均是f ( x) 0的根.
例：已知A A.证明：
则称 0 是 A 的特征值，
是 A 的属于特征值 0 的特征向量。
3
矩阵的相似对角化
假设 A 是 n 阶方阵，则 A 相似于对角阵的 充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量 特征向量。
4
线性变换的特征值、特征向量
设 f 是线性空间 V 上的线性变换，假设
0 F ， V 。若
24
例5
1 2 2 已知A 1 0 3 ，求A100。 1 1 2
C( ) ( 1)( 1)
2
化零多项式 设f ( x)是多项式。若f ( A) O,
则A 的特征值均是f ( x) 0的根.
25
最小多项式
定义：矩阵A的次数最低的、最高次项系数为一的化零多项式 称为A的最小多项式.
下的矩阵是
B P 1 AP.
8
例1
f Hom(C 3 , C 3 )定义为： X ( x, y, z)T ,
x y f (X ) x y 2z
求f的特征值、特征向量。
9
例2
f Hom(C
22
,C
22
)定义为： X C
22