第5讲-逆运动学问题
逆运动学 迭代法 解析法
逆运动学迭代法解析法
逆运动学是机器人学中的一个重要概念，它用于确定机器人末端执行器的位置和姿态，以及实现特定的任务。
在机器人控制中，逆运动学问题是指在已知末端执行器的位置和姿态的情况下，确定机器人各关节的角度。
解决逆运动学问题的方法有很多种，其中迭代法和解析法是两种常用的方法。
迭代法是一种常见的数值计算方法，它通过不断迭代逼近解的过程来求解问题。
在逆运动学中，迭代法通过反复调整机器人各关节的角度，直到末端执行器的位置和姿态满足要求。
这种方法简单易行，但是需要注意收敛性和计算效率的问题。
另一种常用的方法是解析法，它通过数学公式和几何推导来直接求解逆运动学问题。
解析法的优点是可以得到精确解，而且计算效率高。
但是对于复杂的机器人结构和任务来说，解析法可能会变得复杂和困难。
在实际应用中，通常会根据具体的机器人结构和任务来选择适合的逆运动学求解方法。
有些情况下，迭代法和解析法也可以结合使用，以充分发挥各自的优势。
例如，在复杂的机器人系统中，可
以利用解析法得到初始解，然后再通过迭代法进行精细调整。
总的来说，逆运动学问题的求解方法是机器人控制中的重要课题，迭代法和解析法都是常用的方法。
选择合适的方法取决于具体的应用需求和计算资源，而在实际应用中也可以根据需要灵活地结合使用。
运动学逆解
运动学逆解
运动学逆解是机器人学中最重要的技术之一，它主要用于解决机
器人运动问题。
它可以用来求解机器人在特定位置处可以执行哪些运
动动作，并计算出运动动作需要的关节角度。
运动学逆解可以帮助我们轻松实现高精度的机器人运动控制，从
而使机器人能够实现高效、复杂的机械运动操作，比如抓取、放置等。
运动学逆解的原理是通过对机器人关节的位置和角度进行相关计算，来求得机器人在特定位置处的运动动作及其所需的关节角度。
这
些计算的基础是微积分学及其应用在机器人运动学和运动学深度上的
一些方程式，也就是所谓的解析法求解。
运动学逆解通过计算已知位置处机器人所需关节角度，即可求解
出尚未知的关节角度，从而实现机器人在某位置处的运动。
它也可以
用来帮助我们分析不同运动环境下机器人应当采取哪类控制策略，以
获得最大的运动效率。
由此可见，运动学逆解具有重要的意义，是机器人运动控制的基
础性技术，可为机器人实现高效的机械运动操作提供重要支持。
逆运动学的解析法原理及推导过程 详细
逆运动学的解析法原理及推导过程详细逆运动学是机器人学中的一个重要分支，它研究的是如何通过机器人的末端执行器的位置和姿态来计算出机器人各个关节的角度。
逆运动学的解析法是一种常用的计算方法，它可以通过数学公式来求解机器人的逆运动学问题。
逆运动学的解析法原理是基于机器人的运动学模型，通过对机器人的运动学方程进行求解，得到机器人各个关节的角度。
机器人的运动学方程可以表示为：
T = T1 * T2 * T3 * … * Tn
其中，T表示机器人的末端执行器的位姿，T1、T2、T3、…、Tn 表示机器人各个关节的变换矩阵。
通过对运动学方程进行求解，可以得到机器人各个关节的角度。
逆运动学的解析法推导过程如下：
1. 确定机器人的运动学模型，包括机器人的DH参数、末端执行器的位姿等信息。
2. 根据机器人的运动学模型，建立机器人的运动学方程。
3. 对运动学方程进行求解，得到机器人各个关节的角度。
具体的求解过程需要根据机器人的具体情况进行分析和计算。
一般
来说，可以采用数学工具如矩阵运算、三角函数等来进行计算。
逆运动学的解析法具有计算速度快、精度高等优点，适用于对机器人进行精确控制的场合。
但是，由于机器人的运动学模型比较复杂，解析法的求解过程也比较繁琐，需要一定的数学基础和计算能力。
逆运动学的解析法是机器人学中的一种重要计算方法，它可以通过数学公式来求解机器人的逆运动学问题，具有计算速度快、精度高等优点，是机器人控制中不可或缺的一部分。
运动学逆运算 -回复
运动学逆运算-回复什么是运动学逆运算运动学逆运算是一种数学方法，用于使用已知的末端效应器姿态和位置来确定机械臂关节角度的问题。
它是机器人运动学领域的关键问题之一，广泛应用于工业自动化、机器人导航和虚拟现实等领域。
在本文中，我们将分步回答运动学逆运算的原理、挑战和解决方法。
第一步：理解运动学逆运算原理在机器人运动学领域，正向运动学使用关节角度来计算机械臂的末端效应器的位置和姿态。
然而，逆运动学正好相反，它使用已知的末端效应器的位置和姿态来计算机械臂的关节角度。
运动学逆运算的目标是根据末端效应器的目标位置来确定关节角度，从而使机械臂能够准确地到达目标位置。
第二步：挑战与问题运动学逆运算面临许多挑战。
首先，由于机械臂的结构和自由度的不同，不同机械臂的运动学逆运算方法也会有所不同。
其次，由于机械臂的关节角度范围限制，可能存在多个解决方案或无解的情况。
此外，由于测量误差、机械臂的非线性特性以及环境不确定性，逆运算问题可能变得复杂且难以解决。
第三步：解决方法为了解决运动学逆运算的问题，研究者提出了多种不同的方法。
以下是一些常用的解决方法：1. 解析方法：这种方法通过解析推导机械臂模型来得到逆运算的解析解。
这种方法通常适用于特定类型的机械臂，具有高效和精确的特点。
然而，它对机械臂的结构和自由度有严格的要求。
2. 迭代方法：迭代方法是通过迭代计算来逐步逼近逆运算的解。
它通常使用数值优化算法，如牛顿法或拟牛顿法来实现。
迭代方法适用于各种类型的机械臂，但可能需要较长的计算时间。
3. 数值方法：数值方法是利用数值计算技术来近似求解逆运算问题。
它通过离散化机械臂模型，以及使用数值优化算法或数值求解器来计算近似解。
数值方法适用于复杂的机械臂和逆运算问题，但可能对计算资源要求较高。
第四步：应用和发展运动学逆运算在工业自动化、机器人导航、虚拟现实等领域有广泛的应用。
例如，在工业自动化中，运动学逆运算可以用于实现机器人的路径规划和控制。
逆运动学的解法
程序
3自由度平面旋转关节 函数为*f（x，y，phi） 直线插补程序 Cal_straight_line(start,end,time)
遇到的问题
1.找不到合适的返回函数存储关节角度数据 2.数据保存的格式怎么选择
下周安排
1.完成圆的插补程序编程 2. 使用Newton-Raphson进行数值解编程 方法研究 3.完善接口数据发送模块
逆运动学的解法
2010.4.7 倪初锋
逆运动学问题
逆运动学是指给出杆 件的位置，姿态（位 姿）速度，角速度， 加速度和角加速度， 求解能实现这些要求 的关节变量的位置， 速度，加速度。
Y
3
2
Y3
X3
l(t) l'(t) l ''(t)
( t ) '( t ) ''( t )
1
X
逆运动学问题
位姿向量r，关节变量q 执行器速度和角速度向量s，关节变量速度向量 q’ 对s等式两边微分 给出r，求q 给出s，求q’ 给出s’和q’，求q’’
r R(q ) s Jsq ' s ' J s q '' J s q '
逆坐标变换
给出r求q 在逆坐标变换问题中，一般不存在解析解。 所谓的解都用数值解法求得。但大部分工业 机器人的手臂，存在着特定的解析解。Fra bibliotek逆坐标变换
解析解法有如下几种： 1.齐次变换的逆坐标变换解析解法 2.向量的逆坐标变换解析解法 数值解法 1.Neston-Raphson 2.运动学方程置换为高次多项式，由根来计 算q
一周工作
1.基本完成3自由度平面关节解析解程序编 写，实现了直线插补。 2.实现单位时间的数据输出 3.基本界面的编写
《机器人导论》机器人逆运动学
《机器人导论》机器人逆运动学在机器人技术的广袤领域中，逆运动学是一个至关重要的概念。
简单来说，逆运动学就是要根据机器人末端执行器（比如机械手的夹爪）的期望位置和姿态，来计算出各个关节应该转动的角度或移动的距离。
想象一下，你有一个机械臂，它就像人的手臂一样，由多个关节连接而成。
当你希望它的手能够准确地到达某个特定的位置，并以特定的姿态抓住一个物体时，你就需要知道每个关节应该如何运动。
这就是逆运动学要解决的问题。
为了更好地理解逆运动学，我们先来看一个简单的例子。
假设有一个平面二连杆机械臂，由两个可以旋转的关节连接着两根连杆。
我们知道机械臂末端的位置坐标（x, y），并且知道两个连杆的长度分别为L1 和 L2。
那么，如何求出两个关节的旋转角度呢？我们可以通过几何关系来解决这个问题。
首先，根据末端位置（x, y），可以计算出从原点到末端的距离 R，通过勾股定理 R ＝√（x²＋y²)。
然后，我们可以计算出第一个关节的角度θ1，它等于 arctan(y ／x)。
接下来，计算第二个关节的角度θ2 就稍微复杂一些。
我们可以利用余弦定理来得到，经过一系列的数学推导，最终可以求出θ2。
当然，实际的机器人往往要复杂得多，可能有多个关节，甚至是在三维空间中运动。
对于多关节的机器人，解决逆运动学问题的方法也有很多种。
一种常见的方法是解析法。
这种方法通过数学推导和公式计算来直接求解关节变量。
但它的缺点是对于复杂的机器人结构，推导过程可能会非常繁琐，甚至可能无法得到解析解。
另一种方法是数值法。
其中比较常用的是迭代法。
它通过不断地猜测和修正关节变量的值，逐步逼近正确的解。
这种方法的优点是适用性广，但缺点是计算量可能较大，并且可能会陷入局部最优解。
在实际应用中，选择哪种方法取决于机器人的结构和具体的任务需求。
机器人逆运动学的应用场景非常广泛。
在工业生产中，机器人需要准确地抓取和放置零件，这就需要精确的逆运动学计算来控制机器人的动作。
逆运动学分析
实验15逆运动学分析1.机械臂坐标系的建立◆坐标系介绍描述空间位置、速度和加速度，大部分都是用笛卡尔坐标系，也就是大家熟知由三个互相垂直的坐标轴所组成的坐标系。
当我们说绕某一个轴旋转多少角度时，正方向的确定使用右手定则，如下图：◆位置、平移交换位置是使用一个三维向量来表示，平移变换是坐标系空间位置的变换，可以用坐标系原点O的位置向量表示，如下图所示。
多次平移变换也很简单，向量之间直接相加就可以求空间中一个点的位置在经过平移变换后的坐标系{B}中的坐标。
角度/方向、旋转变换相比于位置，方位的表示方法相对会麻烦一些。
在讨论方位之前，有必要先说明一点：示一个物体的三维位置和朝向，通常都会在物体上“附上”一个跟着它动跟着它转的坐标系，然后通过描述这个坐标系与参考坐标系的关系来描述这个物体。
描述一个物体在坐标系中的位置和朝向，可以等效理解为描述坐标系之间的关系。
我们这里讲角度/方向表示法，只要讲两个坐标系之间的关系就可以了。
要知道一个坐标系相对于另一个坐标系如何旋转、旋转了多少，应该怎么做呢？我们先从二维的情况看起：通过将坐标轴单位向量用参考坐标系表示，看图可以直接写出下列公式：我们再定义一个2x2的矩阵：显然，这个矩阵的每一列为坐标系B的坐标轴单位向量在坐标系中的表示，有了这个矩阵我们就能画出坐标系B的x轴y轴，确定B的唯一朝向。
旋转矩阵空间三维朝向相对来讲更加复杂，因为平面上坐标的朝向只能有一个自由度，即绕垂直平面的轴旋转。
而空间中物体的朝向会有三个自由度。
不过如果我们从上图的第一种方法出发，就可以轻松写出一个3×3的R矩阵，我们称它为旋转矩阵：这个式子表明从坐标系{B}到坐标系{A}的旋转矩阵中，每一列都是坐标系{B}的坐标轴单位向量在坐标系{A}中的表示。
2.逆运动学分析对于机械臂而言，就是给出夹持器的位置和朝向后求出每个关节的旋转角度。
机械臂的三维运动是比较复杂的，这里为了简化模型，我们去掉下方云台的旋转关节，这样就可以在二维的平面上进行运动学分析了。
逆运动学的解法
Y
3
2
Y3
X3
l(t) l'(t) l ''(t)
( t ) '( t ) ''( t )
1
X
逆运动学问题
程序
3自由度平面旋转关节 函数为*f（x，y，phi） 直线插补程序 Cal_straight_line(start,end,time)
遇到的问题
1.找不到合适的返回函数存储关节角度数据 2.数据保存的格式怎么选择
下周安排
1.完成圆的插补程序编程 2. 使用Newton-Raphson进行数值解编程 方法研究 3.完善接口数据发送模块
位姿向量r，关节变量q 执行器速度和角速度向量s，关节变量速度向量 q’ 对s等式两边微分 给出r，求q 给出s，求q’ 给出s’和q’，求q’’
r R(q ) s Jsq ' s ' J s q '' J s q '
逆坐标变换
给出r求q 在逆坐标变换问题中，一般不存在解析解。 所谓的解都用数值解法求得。但大部分工业 机器人的手臂，存在着特定的解析解。
逆坐标变换
解析解法有如下几种： 1.齐次变换的逆坐标变换解析解法 2.向量的逆坐标变换解析解法 数值解法 1.Neston-Raphson 2.运动学方程置换为高次多项式，由根来计 算q
一周工作
1.基本完成3自由度平面关节解析解程序编 写，实现了直线插补。 2.实现单位时间的数据输出 3.基本界面的编写
运动学逆运算 -回复
运动学逆运算-回复"运动学逆运算"，也称为"逆运动学问题解算"，是指在已知一个物体的末端位置和姿态的情况下，计算出使得该物体达到指定位置和姿态的机器人关节角度的过程。
逆运动学问题是机器人运动学中相当重要的一个问题，因为其解决了如何控制机器人运动的关键。
在描述运动学逆运算问题之前，我们需要先了解一些基础概念。
在机器人学中，末端执行器的位置和姿态可以由位姿矩阵（包含位置和方向）或欧拉角来表示。
而机器人的关节角度则用于描述机器人关节的运动状态。
假设我们有一个机器人，它有n个关节，每个关节对应一个关节角度。
现在我们希望计算出使机器人的末端执行器到达目标位置和姿态所需的关节角度。
下面是解决运动学逆运算问题的一般步骤：1. 确定机器人的运动学模型：首先，我们需要知道机器人的结构和运动学参数，包括关节长度、关节类型和坐标系。
这些信息用于建立机器人的运动学模型，该模型用于描述机器人的运动规律。
2. 确定末端位置和姿态：接下来，我们需要确定末端执行器的目标位置和姿态。
这可以通过传感器或人工输入来获取。
目标位置可以用坐标系中的位置向量表示，而目标姿态可以用旋转矩阵或欧拉角来表示。
3. 利用正运动学方程求解：正运动学方程描述了机器人的末端执行器位置和姿态与关节角度之间的关系。
我们可以利用这个方程将目标位置和姿态通过正向计算转化为关节角度。
4. 迭代求解：通常情况下，正运动学方程无法直接求解关节角度。
因此，我们需要使用迭代方法来逼近最终的解。
一种常用的方法是牛顿迭代法，基本思想是不断改进初始猜测值，直到满足精度要求。
5. 考虑机器人特性和限制：在求解逆运动学问题时，还需要考虑机器人的特性和限制，例如关节角度的范围限制、机械结构的约束以及避免碰撞等。
在计算过程中，需要对解进行合理性检查和调整。
6. 解算结果验证：最后，我们需要对求解得到的关节角度进行验证，即将得到的关节角度输入到机器人中，观察机器人是否能够达到目标位置和姿态。
逆运动学求解方法
逆运动学求解方法逆运动学求解方法是机器人学中的一个重要研究方向，其主要目的是确定机械臂末端执行器的姿态和位置，以便实现所需的任务。
本文将从逆运动学求解方法的基本概念、分类、应用场景和发展趋势等方面进行详细介绍。
一、基本概念逆运动学（inverse kinematics）是机器人学中的一个重要分支，它研究如何根据末端执行器的位置和姿态，确定机械臂各个关节的角度或位移。
与正运动学（forward kinematics）不同，正运动学是已知各关节角度或位移，计算末端执行器的位置和姿态。
逆运动学问题通常比正运动学问题更为复杂，因为它涉及到非线性方程组求解等数值计算问题。
二、分类根据求解方法的不同，逆运动学问题可以分为以下几类：1. 解析法：利用数学公式或几何关系直接求解各关节角度或位移。
这种方法通常适用于简单机构和特定任务。
2. 迭代法：通过迭代计算来逼近最优解。
这种方法通常适用于复杂机构和多自由度机器人。
3. 数值优化法：将逆运动学问题转化为优化问题，通过求解目标函数的最小值或最大值来确定各关节角度或位移。
这种方法通常适用于非线性和多约束的问题。
三、应用场景逆运动学求解方法在机器人领域有广泛的应用，以下是一些典型场景：1. 机器人轨迹规划：根据末端执行器的轨迹要求，计算各关节角度或位移，实现精确的运动控制。
2. 仿真和虚拟现实：通过逆运动学求解方法，可以在计算机上模拟机器人的运动和操作，进行虚拟现实技术研究和应用开发。
3. 医疗手术：利用机器人手臂进行微创手术操作时，需要精确控制末端执行器的位置和姿态，逆运动学求解方法可以帮助医生更好地完成手术任务。
四、发展趋势随着科技进步和工业自动化程度不断提高，逆运动学求解方法也在不断发展。
以下是一些主要趋势：1. 多模型方法：针对复杂机构和多自由度机器人，采用多种模型和算法来求解逆运动学问题，提高求解效率和精度。
2. 人工智能技术：利用深度学习、强化学习等人工智能技术来优化逆运动学求解方法，实现更加智能化的机器人控制。
第5讲-逆运动学问题
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
关于关节角(θ)的多解(多值) 关于关节角(θ)的多解(多值)问题 (θ)的多解
• 代数法和几何法进行位姿逆解时， 代数法和几何法进行位姿逆解时，关节角的解都是多解 (多值的)的。 多值的) • • 如用几何法，这种多值可以方便地由解图直接判定。 如用几何法，这种多值可以方便地由解图直接判定。 为达到目标点，操作机的上臂( 和下臂( 为达到目标点，操作机的上臂(杆2)和下臂(杆3)可有两 种位形关系。对于下臂，可在基座右面， 种位形关系。对于下臂，可在基座右面，转到基座的左 面。这样，到达目标点，就可有4种不同的位形。 这样，到达目标点，就可有4种不同的位形。
写成矩阵为
∂x d x ∂θ1 dy = ∂y ∂θ1
∂x ∂θ 2 d θ1 ⋅ ∂y dθ 2 ∂θ 2
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比 令
∂x ∂θ J = 1 ∂y ∂θ1
∂x ∂θ 2 ∂y ∂θ1
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
3转角表示的姿态矩阵
• 用连杆坐标系之间的变换矩阵A确定的T6建立机器人运动学方 用连杆坐标系之间的变换矩阵A确定的T 程的方法.其中n,o,a共 个元素表示手部姿态. 程的方法.其中n,o,a共9个元素表示手部姿态.实际只有三个独 n,o,a 立的.这种方法对坐标变换运算十分方便, 立的.这种方法对坐标变换运算十分方便,但利用它做手部姿态 描述不方便. 描述不方便. • 如何用3个独立参数描述姿态? 这3个独立变量可以取作绕3个 如何用3个独立参数描述姿态? 个独立变量可以取作绕3 轴的转角。 轴的转角。 • 机器人手部位姿的六维列矢量表示: 机器人手部位姿的六维列矢量表示:
逆运动学算法
逆运动学算法逆运动学算法（Inverse Kinematics Algorithm）是机器人学中的一个重要概念，它在机器人运动控制中起着至关重要的作用。
逆运动学算法的主要作用是根据机器人的末端执行器（例如机械臂的末端执行器）的期望位置和姿态，计算出相应的关节角度，以实现所需的运动。
本文将介绍逆运动学算法的基本原理和实际应用。
逆运动学算法的核心思想是通过逆推的方式，从目标位置和姿态反向计算出机器人关节的角度。
在实际应用中，逆运动学算法可用于机器人的路径规划、避障、姿态调整等场景。
它的实现一般基于数学模型和几何计算，可以通过解析法、数值法或近似法来求解。
逆运动学算法的实现较为复杂，需要考虑机器人的运动学模型、关节限制、奇异点等问题。
在机器人的路径规划中，逆运动学算法可以根据目标位置和姿态，计算出机器人每个关节的角度，以实现机械臂的精确控制。
而在避障中，逆运动学算法可以结合传感器数据，动态调整机器人的关节角度，以躲避障碍物。
逆运动学算法的实现方法有很多种，常见的有解析法和数值法。
解析法通过对机器人运动学方程进行求解，得到精确的解析解。
然而，由于机器人运动学方程的复杂性，解析法往往只适用于特定情况下的简化模型。
相对而言，数值法更加灵活，可以通过迭代计算的方式，逼近目标位置和姿态。
数值法的实现相对简单，但由于迭代计算的误差累积问题，可能存在收敛速度慢、奇异点附近解不稳定等问题。
逆运动学算法在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在工业制造中，机器人的精确控制是保证产品质量的重要环节。
逆运动学算法可以帮助机器人实现复杂的加工动作，提高生产效率和产品质量。
此外，在医疗领域，逆运动学算法也被用于辅助手术机器人的运动控制，实现更加精确和安全的手术操作。
尽管逆运动学算法在机器人控制中具有重要作用，但也存在一些挑战和限制。
首先，逆运动学问题往往存在多解性，即一个目标位置和姿态可能对应多个关节角度解。
在实际应用中，需要根据具体要求选择合适的解。
逆运动学算法
逆运动学算法引言：在机器人控制领域中，逆运动学算法是一种重要的技术，它用于确定机器人末端执行器的位置和姿态，以实现所需的运动。
逆运动学算法是机器人学中的一个关键问题，如何根据期望的末端执行器位置和姿态来计算关节角度是一个非常具有挑战性的问题。
本文将介绍逆运动学算法的基本原理和常见方法，并讨论其应用领域和局限性。
一、逆运动学算法的基本原理逆运动学算法是指根据机器人末端执行器的期望位置和姿态来计算机器人关节角度的过程。
它是正向运动学的逆过程。
正向运动学是指根据机器人关节角度计算末端执行器的位置和姿态的过程。
逆运动学算法的基本原理是通过解决一组非线性方程组来确定关节角度。
这些非线性方程组描述了机器人的几何特性和运动学约束。
通常情况下，这些方程组是复杂的，无法直接求解，因此需要使用数值方法来近似求解。
逆运动学算法的目标是找到一组关节角度，使得机器人末端执行器的位置和姿态与期望值尽可能接近。
二、逆运动学算法的常见方法1. 解析法：解析法是指直接求解非线性方程组的解析解。
这种方法适用于一些简单的机器人模型，其几何特性和运动学约束可以用简单的数学公式描述。
解析法的优点是计算速度快，但局限性在于只适用于某些特定机器人模型，且求解过程可能非常复杂。
2. 数值法：数值法是指使用迭代算法逐步逼近非线性方程组的解。
常见的数值法包括牛顿法、拟牛顿法、Levenberg-Marquardt算法等。
这些方法通过不断迭代来逼近解，直到满足精度要求为止。
数值法的优点是适用于各种机器人模型，且求解过程相对简单，但缺点是计算速度较慢。
三、逆运动学算法的应用领域逆运动学算法在机器人控制领域有广泛的应用。
它可以用于工业机器人、服务机器人、医疗机器人等各种类型的机器人。
在工业领域，逆运动学算法可以用于机器人的自动化生产线上，实现精密的物体抓取、装配和焊接等操作。
在服务领域，逆运动学算法可以用于机器人的姿态控制和路径规划，实现自主导航和物体搬运等任务。
逆运动学的解法
算q
一周工作
❖ 1.基本完成3自由度平面关节解析解程序编写， 实现了直线插补。
❖ 2.实现单位时间的数据输出 ❖ 3.基本界面的编写
程序
❖ 3自由度平面旋转关节 ❖ 函数为*f（x，y，phi） ❖ 直线插补程序 ❖ Cal_straight_line(start,end,time)
给出r，求q 给出s，求q’ 给出s’和q’，求q’’
r R(q) s Jsq' s ' Jsq '' Jsq '
逆坐标变换
❖ 给出r求q ❖ 在逆坐标变换问题中，一般不存在解析解。
所谓的解都用数值解法求得。但大部分工业 机器人的手臂，存在着特定的解析解。
逆坐标变换
❖ 解析解法有如下几种： ❖ 1.齐次变换的逆坐标变换解析解法 ❖ 2.向量的逆坐标变换解析解法 ❖ 数值解法
遇到的问题
❖ 1.找不到合适的返回函数存储关节角度数据 ❖ 2.数据保存的格式怎么选择
下周安排
❖ 1.完成圆的插补程序编程 ❖ 2. 使用Newton-Raphson进行数值解编程方
法研究 ❖ 3.完善接口数据发送模块
逆运动学问题
❖ 逆运动学是指给出杆件 的位置，姿态（位姿） Y 速度，角速度，加速度 和角加速度，求解能实 现这些要求的关节变量 的位置，速度，加速度。
Y3
3
X3
2
1
l(t) l'(t) l''(t)
(t ) '(t ) ''(t )
XБайду номын сангаас
逆运动学问题
正逆运动学关系
正运动学和逆运动学是运动学中的两个基本概念。
正运动学是指确定物体的运动轨迹和运动状态的过程，而逆运动学则是确定物体的运动轨迹和运动状态所需的初始条件和边界条件的过程。
具体来说，正运动学的任务是根据已知的运动状态和初始条件，计算出物体的未来运动轨迹。
这通常涉及到一组与机器人特定构型有关的方程，通过将已知的关节变量和连杆参数带入这些方程，可以计算出机器人的位姿。
另一方面，逆运动学的任务是根据已知的运动轨迹和边界条件，计算出物体的初始条件和运动状态。
例如，根据机器人的运动轨迹和边界条件，可以计算出机器人的初始位姿和关节角度等。
在实际应用中，正运动学和逆运动学是相互依存的。
例如，在机械设计中，需要确定机器人的运动轨迹和运动状态。
此时，正运动学的知识可以帮助我们计算出机器人的关节角度和速度等参数。
而逆运动学则可以帮助我们根据机器人的运动轨迹和边界条件，计算出机器人的初始条件和运动状态。
总的来说，正逆运动学关系在机器人学和运动学领域中扮演着重要的角色，对于理解、分析和控制物体的运动具有重要意义。
运动学逆运算
运动学逆运算运动学逆运算，又称运动学反解，是指在已知物体的运动规律（如速度、加速度等）的情况下，求解物体在某一时刻的位置、速度和加速度。
运动学逆运算是运动学的一个重要组成部分，它在工程、物理、生物等领域具有广泛的应用。
一、运动学逆运算的基本概念1. 位置：物体在空间中的坐标值，通常用三个坐标轴上的分量表示。
2. 速度：物体单位时间内位置的变化量，分为线速度和角速度。
线速度是物体沿某一直线方向的速度，角速度是物体绕某一轴旋转的速度。
3. 加速度：物体单位时间内速度的变化量，分为线加速度和角加速度。
线加速度是物体沿某一直线方向的加速度，角加速度是物体绕某一轴旋转的加速度。
4. 位移：物体从初始位置到某一时刻位置的有向线段长度。
5. 时间：物体运动的持续性，用一个数值表示。
二、运动学逆运算的基本公式1. 位移公式：s = vt + 0.5at^2，其中s为位移，v为初速度，a为加速度，t为时间。
2. 速度公式：v = u + at，其中v为末速度，u为初速度，a为加速度，t为时间。
3. 加速度公式：a = (v - u) / t，其中a为加速度，v为末速度，u为初速度，t为时间。
三、运动学逆运算的应用1. 质点运动：质点运动是指物体的质量集中在一个点上，可以忽略物体的大小和形状。
质点运动的基本公式包括匀速直线运动、匀加速直线运动、抛体运动等。
2. 刚体运动：刚体运动是指物体的形状和大小不随时间变化，但各部分之间可以相对移动。
刚体运动的基本公式包括平移、旋转、复合运动等。
3. 曲线运动：曲线运动是指物体沿着一条曲线路径运动。
曲线运动的基本公式包括圆周运动、椭圆周运动、螺旋线运动等。
4. 波动运动：波动运动是指物体在介质中传播时，其形状和大小随时间周期性变化。
波动运动的基本公式包括纵波、横波、声波、光波等。
四、运动学逆运算的实例分析1. 汽车刹车问题：已知汽车在刹车过程中的速度-时间关系为v = vo + at，其中vo为初始速度，a为刹车加速度，求汽车在刹车过程中的位移和刹车距离。
运动学逆问题在运动计量学中的应用分析
运动学逆问题在运动计量学中的应用分析运动计量学是一门研究人体运动特性的学科，它涉及力学、生理学、工程学、数学等多个学科领域。
其中，运动学是研究机体运动的几何学方法，通过对运动学参数的测量和分析，可以获取机体运动的空间和时间特征。
运动学逆问题是一类重要问题，在研究人体运动时具有广泛的应用，本文将对其在运动计量学中的应用进行分析。
一、运动学逆问题的基本概念运动学逆问题是指，在已知机体某一部位的末端运动轨迹和速度，求解该部位各关节运动轨迹和速度的问题。
在机体运动过程中，末端运动轨迹和速度是比较容易被测量和记录的，但是由于机体内部结构的复杂性，各关节的运动轨迹和速度往往难以直接测量。
因此，需要通过对运动学逆问题的求解，推导出各关节的运动轨迹和速度，来揭示机体的运动特征。
运动学逆问题的解决方法主要有基于力学模型的解析法和基于仿真优化的数值法两种。
其中，解析法适用于简单机构的运动学推导，能够精确地计算出系统的解析解，但是对于复杂机构，解析法的求解过程往往较为困难。
而数值法则可以通过数值仿真模拟来得出解答，也因此适用性更广泛，但是计算效率相对较低。
二、运动学逆问题在运动计量学中的应用运动计量学是一门跨学科的技术，它通过运用数学、计算机等先进技术对人体运动进行测量和分析。
在实际应用中，这些技术往往与仿真优化等方法相结合，来对人体运动进行全面而深入的研究。
运动学逆问题的求解正是运用到了其中。
（一）人体运动的建模与仿真运动计量学的一个重要应用是对人体运动进行建模和仿真。
通过测量运动学参数，建立关节角度、扭矩、力矩等参数与末端位置、速度、加速度等参数之间的关系，可以提供数学模型，用于仿真人体运动的轨迹、速度和加速度。
同时，这些数学模型可以提供更深入地了解人体运动特点，并为研究力学、生理学以及医学等多个领域提供重要的数据和信息。
（二）运动捕获与指导另一个重要的应用领域是运动捕获与指导。
通过对运动学参数的测量和分析，可以对人体运动进行监测和记录，并自动生成差异分析图片、人体运动模型等。
运动学正问题和逆问题
运动学正问题和逆问题
运动学正问题和逆问题是在机械工程、物理学和工程学等领域中经常遇到的问题。
这两种问题涉及到物体或系统的运动规律和运动状态，通过求解这些规律和状态可以得出有用的信息和结论。
1. 正问题
正问题是已知运动规律和初始条件，求解系统的运动状态或结果的问题。
在运动学中，正问题通常是指已知系统的运动方程和初始条件，求解系统在某个时刻的位置、速度和加速度等运动状态参数。
正问题可以通过数值求解或解析求解的方法得到解决，其中解析求解方法包括分离变量法、行波法、特征线法等。
通过正问题的求解，可以预测系统的未来状态，掌握系统的运动规律，为控制和优化系统的性能提供依据。
2. 逆问题
逆问题则是已知运动状态和结果，求解系统的运动规律或初始条件的问题。
在运动学中，逆问题通常是指已知系统的运动状态参数和结果，求解系统的运动方程或初始条件。
逆问题相对于正问题更为复杂，因为系统的运动规律往往是非线性的，而且往往存在多个解，需要采用合适的方法进行求解。
常用的求解逆问题的方法包括牛顿法、拉格朗日法、哈密顿法等。
通过逆问题的求解，可以了解系统的内部结构和规律，为设计和改进系统提供依据。
总之，运动学正问题和逆问题是相互关联的两个方面，它们的求解方法在机械工程、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用价值。
通过正问题和逆问题的求解，可以更好地理解系统的运动规律和性能，为控制和优化系统的性能提供依据，为设计和改进系统提供支持。
逆运动学算法
逆运动学算法逆运动学算法是机器人学领域的重要内容，它研究的是通过已知的末端执行器位置和姿态，来求解机器人的关节角度。
在工业自动化领域中，逆运动学算法被广泛应用于机器人路径规划、物体抓取、装配等方面。
本文将介绍逆运动学算法的基本原理和常用方法，并探讨其在机器人控制中的应用。
一、逆运动学算法的基本原理逆运动学算法的基本原理是根据机器人的末端执行器位置和姿态，逆推出机器人的关节角度。
为了实现这一目标，需要对机器人的结构和运动学模型进行建模。
一般来说，机器人的运动学模型可以通过Denavit-Hartenberg（D-H）参数来描述，它将机器人的关节连接关系和坐标系定义进行了抽象和简化。
在逆运动学算法中，通常使用解析法和数值法两种方法来求解机器人的关节角度。
解析法是通过代数方法直接求解出机器人的关节角度，而数值法则是通过迭代计算逼近求解。
每种方法都有其优劣之处，具体选择哪种方法取决于实际应用的需求和机器人的结构。
下面将介绍常用的逆运动学算法方法。
1. 解析法解析法是逆运动学算法中常用的求解方法，它通过代数方程求解机器人的关节角度。
在机器人学中，有一些特定结构的机器人可以通过解析法精确求解逆运动学问题，例如SCARA机器人和Delta机器人等。
这些机器人具有简单的运动学模型和特殊的关节连接关系，因此可以通过代数方法求解出关节角度。
2. 数值法数值法是逆运动学算法中普遍采用的求解方法，它通过迭代计算来逼近求解机器人的关节角度。
数值法的基本思想是从初始角度开始，通过不断调整关节角度，使末端执行器的位置和姿态逼近目标值。
常用的数值法有牛顿-拉夫逊法（Newton-Raphson）和雅可比转置法（Jacobian Transpose）等。
三、逆运动学算法在机器人控制中的应用逆运动学算法在机器人控制中有着广泛的应用。
其中一项重要的应用是机器人路径规划。
通过给定起始点和目标点的位置和姿态，逆运动学算法可以计算出机器人在运动过程中的关节角度，从而实现路径规划。
逆运动学闭式求解案例
逆运动学闭式求解案例逆运动学是机器人学中的一个重要概念，它指的是根据机器人末端执行器的位置和姿态，求解出机械臂各个关节的角度。
逆运动学问题在机器人的轨迹规划、路径规划、目标定位等方面具有重要的应用。
在实际工程中，逆运动学问题的求解可以通过闭式解法或数值解法来实现。
本文将列举一些逆运动学闭式求解的案例。
案例1：二自由度平面机械臂假设有一个二自由度平面机械臂，其末端执行器位置为(x, y)，求解出两个关节的角度。
该机械臂的两个关节分别为θ1和θ2，关节1和关节2的长度分别为l1和l2。
根据机械臂的几何关系，可以得到以下公式：x = l1*cos(θ1) + l2*cos(θ1+θ2)y = l1*sin(θ1) + l2*sin(θ1+θ2)通过联立上述两个方程，可以解出关节角度θ1和θ2的值，进而得到机械臂的逆运动学解。
案例2：三自由度空间机械臂假设有一个三自由度空间机械臂，其末端执行器位置为(x, y, z)，末端执行器姿态为(α, β, γ)，求解出三个关节的角度。
该机械臂的三个关节分别为θ1、θ2和θ3，关节1、关节2和关节3的长度分别为l1、l2和l3。
根据机械臂的几何关系，可以得到以下公式：x = l1*cos(θ1)*cos(θ2)*cos(θ3) + l2*cos(θ1)*cos(θ2) +l3*cos(θ1)y = l1*sin(θ1)*cos(θ2)*cos(θ3) + l2*sin(θ1)*cos(θ2) + l3*sin(θ1) z = l1*sin(θ2)*cos(θ3) + l2*sin(θ2) + l3α = atan2(sin(θ1), cos(θ1))β = atan2(sin(θ2), cos(θ2))γ = atan2(sin(θ3), cos(θ3))通过联立上述公式，可以解出关节角度θ1、θ2和θ3的值，进而得到机械臂的逆运动学解。
案例3：Delta机器人Delta机器人是一种特殊结构的平行机构机器人，具有高速、高精度和高刚性的特点。
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(3.47) . . . . 若已知关节上θ1与θ2是时间的函数,θ1=f1(t),θ2=f2(t), 则可求出 该机器人手部在某一时刻的速度V=f(t), 即手部瞬时速度。反之, . -1 . 给定机器人手部速度,可由V=J(q)q解出相应的关节速度,q=J V, 式中J-1为机器人逆速度雅可比矩阵。
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
关于关节角(θ)的多解(多值) 关于关节角(θ)的多解(多值)问题 (θ)的多解
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比 5.2 工业机器人速度分析 工业机器人速度分析
1. 工业机器人速度雅可比矩阵 工业机器人速度雅可比矩阵 数学上, 雅可比矩阵(Jacobian Matrix)是一个多元函数的偏 导矩阵。假设有六个函数, 每个函数有六个变量, 即
•
正解
– 已知各杆的结构参数和关节变量，求末端执行器的空间位置 已知各杆的结构参数和关节变量， 和姿态，称作机器人运动学正问题；对于移动关节， 和姿态 ， 称作机器人运动学正问题 ； 对于移动关节 ， 取 d为 为 关节变量。 关节变量。
•
逆解
– 已知作业要求时，末端执行器的空间位置和姿态以及各杆的 已知作业要求时， 结构求关节变量 结构求关节变量
2 ）求θ3
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
3 ）求θ2
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
求逆小结 求逆解： 求逆解：
1) 2) 方法：等号两端的矩阵中对应元素相等； 方法：等号两端的矩阵中对应元素相等； 步骤：利用矩阵方程进行递推，每递推一次可解一个或多于 步骤：利用矩阵方程进行递推， 一个的变量公式； 一个的变量公式； 3) 技巧： 技巧：利用三角方程进行置换
写成矩阵为
∂x d x ∂θ1 dy = ∂y ∂θ1
∂x ∂θ 2 d θ1 ⋅ ∂y dθ 2 ∂θ 2
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比 令
∂x ∂θ J = 1 ∂y ∂θ1
∂x ∂θ 2 ∂y ∂θ1
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
3转角表示的姿态矩阵
• 用连杆坐标系之间的变换矩阵A确定的T6建立机器人运动学方 用连杆坐标系之间的变换矩阵A确定的T 程的方法.其中n,o,a共 个元素表示手部姿态. 程的方法.其中n,o,a共9个元素表示手部姿态.实际只有三个独 n,o,a 立的.这种方法对坐标变换运算十分方便, 立的.这种方法对坐标变换运算十分方便,但利用它做手部姿态 描述不方便. 描述不方便. • 如何用3个独立参数描述姿态? 这3个独立变量可以取作绕3个 如何用3个独立参数描述姿态? 个独立变量可以取作绕3 轴的转角。 轴的转角。 • 机器人手部位姿的六维列矢量表示: 机器人手部位姿的六维列矢量表示:
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
第五讲
机器人逆运动学及速度分析
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比 5.1 工业机器人的运动学方程简介 • 运动方程
– 末端执行器(对多数机器人常表现为夹持型工具)上的坐标系 末端执行器(对多数机器人常表现为夹持型工具) 也称标架)相对于基础坐标系的位姿矩阵 位姿矩阵T (也称标架)相对于基础坐标系的位姿矩阵Te0，就是操作机的 运动方程。 运动方程。
(3.36)
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比 可写成 将其微分, 得
Y=F(X)
(3.37)
可简写成
∂F 式中, (6×6)矩阵 称为雅可比矩阵。 ∂X
∂F dY = dx ∂X
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比 对于工业机器人速度分析和静力分析中遇到类似的矩阵, 我 们称为机器人的雅可比矩阵, 简称雅可比。 以二自由度平面关节机器人为例,如图3.14所示,机器人的手 部坐标(x,y)相对于关节变量(θ1,θ2)有
以及A 以及A1，A2，A3，A4，A5，A6 求： θ1，θ2，…θ6（代数法） θ 代数法）
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
第5章 机器人逆运动学与速：1 ）求θ1
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
• 用 qi 代替 θi 或 di 表示关节变量 (qi 称作广义关 代替θ 表示关节变量(q 节变量) 节变量) • 一般的递推解题步骤如下： 一般的递推解题步骤如下：
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
PUMA560的位姿逆解。 例：已知T06，求例PUMA560的位姿逆解。即：已知 已知T 求例PUMA560的位姿逆解
对于n自由度机器人,关节变量q=［q1 q2…qn］T,当关节为转 动关节时,qi=θi; 当关节为移动关节时,qi=di,则dq=dq1 dq2…dqn］
T反映关节空间的微小运动。由X=X(q)可知,
dX=J(q)dq
其中J(q)是(6×n)的偏导数矩阵. ( 是 × 的偏导数矩阵 (X=[x,y,z,φx,φy,φz]T 的偏导数矩阵. dX=[dx,dy,dz,δφx,δφy,δφz] dX=[dx,dy,dz,δφx,δφy,δφz T ), 称为n自由度机器人速 度雅可比矩阵。
用绕基础坐标轴的转角为参数的导航角表示法 x-y-zRPY
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
用绕动坐标轴转角为参数的欧拉角表示法 z-y-x欧拉角设定法
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
用绕动坐标轴转角为参数的欧拉角表示法
则式(3.41)可简写为
dX=J d = dθ
dθ1 dx 其中, dX = , dθ = dy dθ 2
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比 由此可求得
− l1s1 − l2 s12 J = l1c1 + l2 c12
− l2 s12 l2 c12
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
5.1.2 反向运动学及实例
• 位姿逆解法可分为3类： 位姿逆解法可分为3
–代数法 代数法 –几何法 几何法 –数值解法。 数值解法。 数值解法
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
若已知末杆某一特定的位姿矩阵T 若已知末杆某一特定的位姿矩阵 06：
• 方法步骤
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
关于关节角(θ)的多解(多值) 关于关节角(θ)的多解(多值)问题 (θ)的多解
• 代数法和几何法进行位姿逆解时， 代数法和几何法进行位姿逆解时，关节角的解都是多解 (多值的)的。 多值的) • • 如用几何法，这种多值可以方便地由解图直接判定。 如用几何法，这种多值可以方便地由解图直接判定。 为达到目标点，操作机的上臂( 和下臂( 为达到目标点，操作机的上臂(杆2)和下臂(杆3)可有两 种位形关系。对于下臂，可在基座右面， 种位形关系。对于下臂，可在基座右面，转到基座的左 面。这样，到达目标点，就可有4种不同的位形。 这样，到达目标点，就可有4种不同的位形。
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比 逆速度雅可比J-1出现奇异解的情况如下: ① 工作域边界上的奇异: 机器人手臂全部伸开或全部折 回时,叫奇异形位。该位置产生的解称为工作域边界上的奇异。 ② 工作域内部奇异: 机器人两个或多个关节轴线重合引 起的奇异。当出现奇异形位时,会产生退化现象, 即在某空间 某个方向(或子域)上, 不管机器人关节速度怎样选择, 手部也 不可能动。
• 三次旋转变换后的得到 的姿态矩阵如何？ 的姿态矩阵如何？
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比 工业机器人速度分析 2. 工业机器人速度分析 把式(3.44)两边各除以dt, 得
dX dq = J (q) dt dt
或
(3.45) (3.46)
V=J(q) q
其中: V——机器人末端在操作空间中的广义速度,V=X;
J(q)——速度雅可比矩阵;
q——机器人关节在关节空间中的关节速度。
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比 若 把 J(q) 矩 阵 的 第 1 列 与 第 2 列 矢 量 记 为 J1 、 J2, 则 有 V=J1θ1+J2θ2,说明机器人速度雅可比的每一列表示其它关节不 动而某一关节运动时产生的端点速度。 二自由度手部速度为
x = l1 cos θ1 + l2 cos θ12 y = l1 sin θ1 + l2 sin θ12
即
x = x(θ1 , θ 2 ) y = y (θ1 , θ 2 )
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比 求微分有
∂x ∂x dx = ∂θ d θ1 + ∂θ dθ 2 1 2 dy = ∂y d θ + ∂y dθ 1 2 ∂θ1 ∂θ 2
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比 5.1.1 工业机器人的运动学方程简介 工业机器人的运动学方程简介
• 这两个问题， 这两个问题 ， 是机器人应用中 极为重要的问题， 极为重要的问题 ， 是对机器人 进行位置控制的关键。 进行位置控制的关键。
•
由于末端执行器类型复杂， 由于末端执行器类型复杂 ， 为 了便于研究， 了便于研究 ， 下面以末杆的位 姿矩阵T 取代T 作为研究对象。 姿矩阵T0n 取代T0e 作为研究对象。
X=[x,y,z,φx,φy,φz]T
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比
用绕基础坐标轴的转角为参数的导航角表示法 x-y-zRPY
φ——滚转角 滚转角(roll)； 滚转角 ； θ——俯仰角 俯仰角(pith)； 俯仰角 ； 偏摆角(yaw) ψ——偏摆角 偏摆角
第5章 机器人逆运动学与速度雅克比