第六章趋势时间序列模型

第六章 趋势时间序列模型
引言：前面我们讨论的是平稳时间序列的建模和 预测方法，即所讨论的时间序列都是宽平稳的。 一个宽平稳的时间序列的均值和方差都是常数， 并且它的协方差有时间上的不变性。
但是许多经济领域产生的时间序列都是非平 稳的。对协方差过程，非平稳时间序列会出现各 种情形，如它们具有非常数的均值μt，或非常数 的二阶矩，如非常方差σt2，或同时具有这两种情 形的非平稳序列。
不是所有的非平稳问题都可以用差分方法 解决，还有期望平稳和方差非平稳序列， 为了克服这个问题，我们需要适当进行 方差平稳化变换。
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一般用幂变换使方差平稳, 表示如下 :
xt( )
ln
xt
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1
0 0
这个变换最早由BOX和COX于1964年提出， 因此称作BOX—COX变换。其中λ为变换 参数。
一、均值非平稳过程
均值非平稳过程指随机过程的均值随均 值函数的变化而变化。
我们可以引进两种非常有用的均值非平 稳过程：确定趋势模型和随机趋势模型。
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（一）确定趋势模型
当非平稳过程均值函数可由一个特定的时 间趋势表示时，一个标准的回归模型曲 线可用来描述这种现象。
例如,若均值t服从线性趋势, t 0 1t
为满足平稳性,则必须有 :(B) 0的
根都在单位圆外.
如果(B) 0的根不都在单位圆外, 那
么, xt就是非平稳的.
现假设(B) 0恰有d个根落在单位圆上,
而其它根都在单位圆外,则可令 :
(B) (B)(1 B)d
于是原模型可写为 :
(B)(1 B)d xt (B)at
这时我们就称xt为齐次非平稳过程, d称为齐次性的阶. 令wt (1 B)d xt ,则 :
若时间序列具有上升或下降的趋势，那么对于 所有短时滞来说，自相关系数大且为正，而 且随着时滞k的增加而缓慢地下降。
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若序列无趋势，但是具有季节性，那末对 于按月采集的数据，时滞12，24， 36……的自相关系数达到最大(如果数据 是按季度采集，则最大自相关系数出现 在4，8，12， ……)，并且随着时滞的增 加变得较小。
第六章 趋势时间序列模型
第一节 非平稳时间序列模型的种类 第二节 非平稳性的检验 第三节 平稳化方法 第三节 求和自回归滑动平均模型(ARIMA)
在现实世界中的大多数经济时间序列都表现出 趋势性，即时间序列值随时间的变化呈现出增加或减 少趋势和方差的不稳定性。例如，城镇居民人均可支 配收入数据序列就有上升趋势，并且波动幅度逐年增 大，表现出方差的不平稳性。因此在对时间序列建立 模型之前，必须分析时间序列的平稳性和平稳化方法， 这对于我们进行时间序列的统计分析、预测与控制， 都具有十分重要的意义。
（二）随机趋势模型
随机趋势模型又称齐次非平稳ARMA模型。 为理解齐次非平稳ARMA模型，可先对 ARMA模型的性质作一回顾。
假设有一个ARMA( p, q)模型如下 :
(B)xt (B)at 其中: (B) 11B 2B2 B p
(B) 11B 2B2 qBq
at为白噪声序列.
1998 1994 1990 1986 1982 1978 1974 1970 1966 1962 1958 1954 1950
1600 1400 1200 1000 800 600 400 200
0
第一节 非时间序列模型的种类 一、均值非平稳过程 二、方差和自协方差非平稳过程
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则原序列可用确定的有趋势模型表示如下 :
xt 0 1t yt
其中: yt是一个零均值的平稳过程,可以用 前面介绍的ARMA模型来描述.
对二次均值函数, t 0 1t 2t 2
原序列可用下式表示 :
xt 0 1t 2t 2 yt 此外，均值函数还可能是指数函数、 正弦—余弦波函数等，这些模型都可 以通过标准的回归分析处理。 处理方法是先拟合出μt的具体形式， 然后对残差序列yt={xt－ μt}按平稳 过程进行分析和建模。
若序列是有趋势的，且具有季节性，其自
相关函数特性类似于有趋势序列，但它 们是摆动的，对于按月数据，在时滞12， 24，36，……等处具有峰态；如果时间序 列数据是按季节的，则峰出现在时滞4， 8，12， ……等处。
三、特征根检验法（P146）
基本思想 : 先拟合序列的适应模型,然后 求由该适应模型的参数组成的特征方程的
趋势性时间序列是在图形上表现出一个长期上升 或向下的趋势。一般情况下，通过时间序列观察值来 判断序列的趋势性是比较容易，但是有些情况下，就 比较困难，这主要原因是从短期看，时间序列具有趋 势变动，但从长期看，它只不过是循环波动的一部分。 时间序列的趋势性，有确定性和非确定性两种，前者 有线性趋势和非线性趋势。具有非确定性趋势的序列， 往往表现为一种慢慢地向上或向下漂移的时间序列.
(B)wt (B)at
可见一个齐次非平稳过程经过若干次(d次)差分 运算后可变为平稳序列.
可见我们所能分析处理的仅是一些特殊的 非平稳序列，即齐次非平稳序列。
由于齐次非平稳序列模型恰有d个特征根 在单位圆上，即有d个单位根，因此齐次 非平稳序列又称单位根过程。
二、方差和自协方差非平稳过程
一个均值平稳过程不一定是方差和自协方 差平稳过程，同时一个均值非平稳过程 也可能是方差和自协方差非平稳过程。
第二节 非平稳性的检验
一、通过时间序列的趋势图来判断 二、通过自相关函数(ACF)判断 三、特征根检验法 四、用非参数检验方法判断序列的平稳性 五、随机游走的单位根检验
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一、通过时间序列的趋势图来判断
这种方法通过观察时间序列的趋势图来判 断时间序列是否存在趋势性或周期性。
优点：简便、直观。对于那些明显为非平 稳的时间序列，可以采用这种方法。
缺点：对于一般的时间序列是否平稳，不 易用这种方法判断出来。
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二、通过自相关函数(ACF)判断
平稳时间序列的自相关函数(ACF)要么是截尾的， 要么是拖尾的。因此我们可以根据这个特性 来判断时间序列是否为平稳序列。