第六章趋势时间序列模型
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第6章时间序列模型参数的统计推断
目的
检验模型的有效性------对信息的提取是否充分
检验对象
残差序列
判定原则
一个好的拟合模型应该能够提取观察值序列中几乎所 有的样本相关信息，即残差序列应该为白噪声序列
反之，如果残差序列为非白噪声序列，那就意味着残 差序列中还残留着相关信息未被提取，这就说明拟合 模型不够有效。
检验统计量：
t
T m
ˆj j
~ t T m
v jj Q(ˆ )
参数显著性检验的原理
H0 : j 0 H1 : j 0 1 j m
检验统计量：t T m ˆj j ~ t T m
v jj Q(ˆ )
当该检验统计量的p值小于α/2或大于1-α/2时，拒绝原假 设，认为该参数显著(不为零)。
非中心化的ARMA模型：
Xt 1Xt1 p Xt p t 1t1 qtq , t WN 0, 2
该模型共含有p+q+2个未知参数，分别为
1,2, ,p,1,2, ,q, , 2
ARMA模型的参数估计
方法
矩估计 极大似然估计 最小二乘估计
否则，认为该参数不显著。这时，应该剔除不显著参数 所对应的自变量重新拟合模型，构造出新的、结构更精 简的拟合模型。
例：参数显著性检验
ARMA模型的优化
检验模型的有效性------对信息的提取是否充分
检验对象
残差序列
判定原则
一个好的拟合模型应该能够提取观察值序列中几乎所 有的样本相关信息，即残差序列应该为白噪声序列
反之，如果残差序列为非白噪声序列，那就意味着残 差序列中还残留着相关信息未被提取，这就说明拟合 模型不够有效。
检验统计量：
t
T m
ˆj j
~ t T m
v jj Q(ˆ )
参数显著性检验的原理
H0 : j 0 H1 : j 0 1 j m
检验统计量：t T m ˆj j ~ t T m
v jj Q(ˆ )
当该检验统计量的p值小于α/2或大于1-α/2时，拒绝原假 设，认为该参数显著(不为零)。
非中心化的ARMA模型：
Xt 1Xt1 p Xt p t 1t1 qtq , t WN 0, 2
该模型共含有p+q+2个未知参数，分别为
1,2, ,p,1,2, ,q, , 2
ARMA模型的参数估计
方法
矩估计 极大似然估计 最小二乘估计
否则，认为该参数不显著。这时，应该剔除不显著参数 所对应的自变量重新拟合模型，构造出新的、结构更精 简的拟合模型。
例：参数显著性检验
ARMA模型的优化
第六章 时间序列分析
第六章时间序列分析
重点：
1、增长量分析、发展水平及增长量
2、增长率分析、发展速度及增长速度
3、时间数列影响因素、长期趋势分析方法
难点：
1、增长量与增长速度
2、长期趋势与季节变动分析
第一节时间序列的分析指标
知识点一：时间序列的含义
时间序列是指经济现象按时间顺序排列形成的序列。这种数据称为时间序列数据。
时间序列分析就是根据这样的数列分析经济现象的发展规律，进而预测其未来水平。
时间数列是一种统计数列，它是将反映某一现象的统计指标在不同时间上的数值按时间先后顺序排列所形成的数列。表现了现象在时间上的动态变化，故又称为动态数列。
一个完整的时间数列包含两个基本要素：
一是被研究现象或指标所属的时间；
另一个是该现象或指标在此时间坐标下的指标值。
同一时间数列中，通常要求各指标值的时间单位和时间间隔相等，如无法保证相等，在计算某些指标时就涉及到“权”的概念。
研究时间数列的意义：了解与预测。
[例题·单选题]下列数列中哪一个属于时间数列（）.
a.学生按学习成绩分组形成的数列
b.一个月内每天某一固定时点记录的气温按度数高低排列形成的序列
c.工业企业按产值高低形成的数列
d.降水量按时间先后顺序排列形成的数列
答案：d
解析：时间序列是一种统计数列，它是将反映某一现象的统计指标在不同时间上的数值按时间先后顺序排列所形成的数列，表现了现象在时间上的动态变化。
知识点二：增长量分析（水平分析）
一.发展水平
发展水平是指客观现象在一定时期内（或时点上）发展所达到的规模、水平,一般用y
t
（t=1,2,3，…,n) 。
在绝对数时间数列中，发展水平就是绝对数；
第6章 时间序列预测法
在95%的可靠程度下， 2005 年每月预测区间为 339.2 1.81217.03 预测区间为： 308.84 ~ 370.06
结论:比较 (1)、(2)可知：方法(1)精确度高。
22
表6-2 某商店汗衫的销售量统计表 单位：百元
问题
某商店 汗衫的销 售量如表 所示，试 预测第第 五年每月 的销售量。
341
312 327 351 4070 19
解：由表可知， 方法（1）以2001年~2004年的4年的月平均值 作为2005年的预测值，则有：
333.4 336.5 333.7 339.2 ˆ 2005 x y 335.（千元） 7 4 B 23.18 标准差为：S x 2.78 4 1 3 其中：B ( xi x ) 2
2
第一节 时间序列概述 一、时间序列分析 时间序列一般用：y1,y2,…,yt …;表示，其中t 表示时间。 在时间序列中，每个时期变量数值的大小， 都受到许多不同因素的影响。例如，手机销售 量受到居民的收入、质量，功能、价格等因素 的影响。因此，时间序列按性质不同分成一下 四类：
6
1、长期趋势(Long-term Tend) 指受某种根本性因素的影响，时间序列在 较长时间内朝着一定的方向持续上升或下降， 以及停留在某一水平上的倾向。 如图所示。
观察期 （年）
销售额 (万元)
[6]第六章 时间序列分析指标
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a1 a2 a 2 f1 a2 a3 2 2 f1 f 2 f3 +f 4 f2 a3 a4 f3 + a4 a5 2 f4
21 31 2
2
31 27 2
4
27 Fra Baidu bibliotek22
2 2 4 2 3 1
2+
22 15 2
3
15 25 2
表6-2
某银行2005-2009年的储蓄余额
2005 6.3 2006 9.1 2007 10.3 2008 8.8
单位：亿元
年份 储蓄余额
2009 10.0
时点数列主要有如下三个特点： （1）时点数列中各项指标值不能直接进行累加汇 总。假如将时点数列中的各项指标值累加，会出现重 复累计，其结果也毫无意义。 （2）时点数列中各指标值的大小与其对应的时点 间隔长短无直接关系。时点指标是反映现象在某一时 点上的状态总量，其数值大小不会随着时点间隔扩大 或缩小而发生改变。 （3）时点数列中每一项指标值不能连续登记汇总， 这些时点指标值都是现象经过一段时期的发展变化后 所达到的水平，它们只能通过隔一段时间登记一次来 取得。
ai 作为比较基础时期的指标水平 称为基期水平；最末 水平又可能充当后段时间的时间序列的最初水平。 发展水平在文字上习惯用“增加到”、“增加 为”、“降低到”、“降低为”表述。如：2012全年 我国人民币存款增加10.81万亿元，外币存款增加1314 亿美元，国家外汇储备余额达3.31万亿美元。2012年 末，广义货币（M2）余额97.42万亿元，狭义货币 （M1）余额30.87万亿元；流通中货币（M0）余额 5.47万亿元。全年净投放现金3910亿元。 二、序时平均数 序时平均数，又称平均发展水平或动态平均数， 它是根据时间序列中各个时期或时点的发展水平即指 标值加以平均所得到的平均数。社会经济现象在不同 时间上的发展变化往往表现为非均衡，为了掌握现象
21 31 2
2
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2 2 4 2 3 1
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表6-2
某银行2005-2009年的储蓄余额
2005 6.3 2006 9.1 2007 10.3 2008 8.8
单位：亿元
年份 储蓄余额
2009 10.0
时点数列主要有如下三个特点： （1）时点数列中各项指标值不能直接进行累加汇 总。假如将时点数列中的各项指标值累加，会出现重 复累计，其结果也毫无意义。 （2）时点数列中各指标值的大小与其对应的时点 间隔长短无直接关系。时点指标是反映现象在某一时 点上的状态总量，其数值大小不会随着时点间隔扩大 或缩小而发生改变。 （3）时点数列中每一项指标值不能连续登记汇总， 这些时点指标值都是现象经过一段时期的发展变化后 所达到的水平，它们只能通过隔一段时间登记一次来 取得。
ai 作为比较基础时期的指标水平 称为基期水平；最末 水平又可能充当后段时间的时间序列的最初水平。 发展水平在文字上习惯用“增加到”、“增加 为”、“降低到”、“降低为”表述。如：2012全年 我国人民币存款增加10.81万亿元，外币存款增加1314 亿美元，国家外汇储备余额达3.31万亿美元。2012年 末，广义货币（M2）余额97.42万亿元，狭义货币 （M1）余额30.87万亿元；流通中货币（M0）余额 5.47万亿元。全年净投放现金3910亿元。 二、序时平均数 序时平均数，又称平均发展水平或动态平均数， 它是根据时间序列中各个时期或时点的发展水平即指 标值加以平均所得到的平均数。社会经济现象在不同 时间上的发展变化往往表现为非均衡，为了掌握现象
时间序列分析-第六章 ARMA模型的参数估计
记
xp1
xp
y xp2 ,xx p1
xn
xn1
xp1 xp
xn2
x1 x2 ,
xnp
则 s ( α ) α T x T x α α T x T y ， 于y T 是x α 的y 最T y 小二 α
乘估计为
α ˆ(xTx)1xTy
即
s (α ˆ) y T y y T x (x T x ) 1 x T y in s (α ˆ) f α
l(α,
2)
N
2
p
ln{ S (α )}
1
2
2
S(α)
c
，
0
这里 c0是常数 .容易看出， l (α , 2 )的最大值点实际上是
的最小值点，从而是 α的最小二乘估计。
S (α )
注：当n充分大时，AR(p)模型参数的极大似 然估计、最小二乘估计和矩估计(Yule-Walker 估计)三者都非常接近，即三者渐近相等，它 们都可以作为AR(p)模型的参数估计，这是 AR(p)模型的独有的优点。
r1 r0
1
ak 1,k 1 (rk 1
k
rk 1 j akj )(r0
k
rj akj )1
j 1
j 1
k
k
( k 1 k 1 j akj )(1 j akj )1
第六章 时间序列分析
a0 a1 ... an
6 - 34
统计学
平均增长速度
因为累计增长速度既不等于各环比增 长速度之积，也不等于各环比增长速度
之和，所以不能直接用几何平均法或算
术平均法直接计算平均增长速度。而只
能先计算平均发展速度
平均增长速度 平均发展速度 1
6 - 35
平均发展速度和平均增长
3. 在有些情况下，不能单纯就增长率论增长率 ，要注意增长率与绝对水平的结合分析
6 - 28
增长率分析中应注意的问题
统计学
(例题分析)
【例】 假定有两个生产条件基本相同的企业， 各年的利润额及有关的速度值如下表
年份
1996
甲、乙两个企业的有关资料
甲企业
乙企业
利润额(万元) 增长率(%) 利润额(万元) 增长率(%)
6 - 33
a0 x n an
x n an a0
n a1 . a2 a0 a1
an an 1
统计学
平均发展速度
累计法，高次方程法
累计法（高次方程法）：关心现象整个
时期的累计水平，如：基本建设投资额，新
增固定资产总额，要求整个时期理论水平 之和等于实际水平之和
a0 a0 x .. a0 x n
统计学
移动平均法
(moving average)
6 - 34
统计学
平均增长速度
因为累计增长速度既不等于各环比增 长速度之积，也不等于各环比增长速度
之和，所以不能直接用几何平均法或算
术平均法直接计算平均增长速度。而只
能先计算平均发展速度
平均增长速度 平均发展速度 1
6 - 35
平均发展速度和平均增长
3. 在有些情况下，不能单纯就增长率论增长率 ，要注意增长率与绝对水平的结合分析
6 - 28
增长率分析中应注意的问题
统计学
(例题分析)
【例】 假定有两个生产条件基本相同的企业， 各年的利润额及有关的速度值如下表
年份
1996
甲、乙两个企业的有关资料
甲企业
乙企业
利润额(万元) 增长率(%) 利润额(万元) 增长率(%)
6 - 33
a0 x n an
x n an a0
n a1 . a2 a0 a1
an an 1
统计学
平均发展速度
累计法，高次方程法
累计法（高次方程法）：关心现象整个
时期的累计水平，如：基本建设投资额，新
增固定资产总额，要求整个时期理论水平 之和等于实际水平之和
a0 a0 x .. a0 x n
统计学
移动平均法
(moving average)
6第六章_趋势时间序列模型
非参数检验主要用顺序统计量进行检验，因此它既可检验 定距数据和定比数据，又可以检验定类数据和定序数据； 而参数检验只能处理定距数据和定比数据。因为这些优 点，非参数检验比参数检验应用更广泛。
d.非参数检验计算相对简单，易于理解。
非参数检验的缺点：
如果参数统计模型的所有假设在数据中事 实上都能满足，而且测量达到了所要求 的水平(定距数据或定比数据)，那么用非 参数检验就浪费了数据中的信息。也就 是说此时非参数检验的功效不如参数检 验高。
原序列可用下式表示 : x t t y t 0 1 2 t
2
此外，均值函数还可能是指数函数、 正弦—余弦波函数等，这些模型都可 以通过标准的回归分析处理。 处理方法是先拟合出μt的具体形式， 然后对残差序列yt={xt－ μt}按平稳 过程进行分析和建模。
（二）随机趋势模型 随机趋势模型又称齐次非平稳ARMA模型。 为理解齐次非平稳ARMA模型，可先对 ARMA模型的性质作一回顾。
第六章 趋势时间序列模型
第一节 非平稳时间序列模型的种类 第二节 非平稳性的检验
第三节 平稳化方法
第三节 求和自回归滑动平均模型(ARIMA)
在现实世界中的大多数经济时间序列都表现出 趋势性，即时间序列值随时间的变化呈现出增加或减 少趋势和方差的不稳定性。例如，城镇居民人均可支 配收入数据序列就有上升趋势，并且波动幅度逐年增 大，表现出方差的不平稳性。因此在对时间序列建立 模型之前，必须分析时间序列的平稳性和平稳化方法， 这对于我们进行时间序列的统计分析、预测与控制， 都具有十分重要的意义。
第六章时间序列分析
第六章时间序列分析
重点：
1、增长量分析、发展水平及增长量
2、增长率分析、发展速度及增长速度
3、时间数列影响因素、长期趋势分析方法
难点：
1、增长量与增长速度
2、长期趋势与季节变动分析
第一节时间序列的分析指标
知识点一：时间序列的含义
时间序列是指经济现象按时间顺序排列形成的序列。这种数据称为时间序列数据。
时间序列分析就是根据这样的数列分析经济现象的发展规律，进而预测其未来水平。
时间数列是一种统计数列，它是将反映某一现象的统计指标在不同时间上的数值按时间先后顺序排列所形成的数列。表现了现象在时间上的动态变化，故又称为动态数列。
一个完整的时间数列包含两个基本要素：
一是被研究现象或指标所属的时间；
另一个是该现象或指标在此时间坐标下的指标值。
同一时间数列中，通常要求各指标值的时间单位和时间间隔相等，如无法保证相等，在计算某些指标时就涉及到“权”的概念。
研究时间数列的意义：了解与预测。
［例题•单选题］下列数列中哪一个属于时间数列（）.
a. 学生按学习成绩分组形成的数列
b. 一个月内每天某一固定时点记录的气温按度数高低排列形成的序列
c. 工业企业按产值高低形成的数列
d. 降水量按时间先后顺序排列形成的数列
答案：d
解析：时间序列是一种统计数列，它是将反映某一现象的统计指标在不同时间上的数值按时间先后顺序排列所形成的数列，表现了现象在时间上的动态变化。
知识点二：增长量分析（水平分析）
.发展水平
发展水平是指客观现象在一定时期内（或时点上）发展所达到的规模、水平，一
般用y t （t=1,2,3，…,n）。
在绝对数时间数列中，发展水平就是绝对数；
第六章 时间序列分析
第二 时点数列
A .概念：绝对数时间数列中的 各项指标所反映的是现象在 某一时点达到的水平。
如：人口数时间序列、土地面 积时间序列、库存时间序列
B .特点:
a. 不可加性
b. 指标值大小与其时点间隔长 短没有直接关系。
c. 指标值采用间断登记方式获 得。
常见的时点序列
人口时点数列 存量时点数列 网点时点数列 （企业数目等）
时点 1日 10日 15日 30日 人数
连续时点数列序时平均数的计算
一般按照算术平均方法计算其 平均水平。
公式
逐日登记：
a
a
n
非逐日登记：
a
来自百度文库
af f
例 有某企业1日—30日每天的职工人数资料：
日期
1日－8日 9－15日
职工人数（人）
a1
a2
102
105
该月平均每天的职工人数为：
16日－30日
a3 108
（二）相对数时间序列
A .概念：将一系列同类的统计相对数按时间顺序排列而成的 数列，反映现象之间对比关系的动态过程。
B. 静态相对数和动态相对数 a. 静态相对数：五个相对数都要求在计算时分子与分母必须 是同一时间 b. 动态相对数：相对数的分子与分母不属于同一时间
C .特点：各项指标数值之间不能相加
9732 31
第六章时间序列趋势预测法(管理预测)
可以通过平均趋势变动值指标、加权平均方法 或直线趋势外推法解决。
下面章节将分别介绍。
（二）一次移动平均法步骤
计算一次平均数
xiwi
2003
40
1
40
2004
60
2
120
2005
55
3
165
2006
75
4
300
2007
85
5
425
Σ
315
15
1050
算术平均数 y 315 63 5
加权平均数 y 1050 70 15
很显然，用算术平均法求得的平均数作为 预测值过低，不能反映商店 销售的发展趋势。
第三节 移动平均法
2.057
年
1996
销 售
1Hale Waihona Puke Baidu97
额
1998
及 几
1999
何
2000
发 展
2001
速
2002
度
2003
83.00 90.00 89.00 87.00 92.00 96.00 100.00 95.00
102.00 108.00 99.00 98.00 106.00 104.00 104.00 95.00
4
时间序列按其指标不同，可分为绝对数时间序 列、相对数时间序列和平均数时间序列三种。
下面章节将分别介绍。
（二）一次移动平均法步骤
计算一次平均数
xiwi
2003
40
1
40
2004
60
2
120
2005
55
3
165
2006
75
4
300
2007
85
5
425
Σ
315
15
1050
算术平均数 y 315 63 5
加权平均数 y 1050 70 15
很显然，用算术平均法求得的平均数作为 预测值过低，不能反映商店 销售的发展趋势。
第三节 移动平均法
2.057
年
1996
销 售
1Hale Waihona Puke Baidu97
额
1998
及 几
1999
何
2000
发 展
2001
速
2002
度
2003
83.00 90.00 89.00 87.00 92.00 96.00 100.00 95.00
102.00 108.00 99.00 98.00 106.00 104.00 104.00 95.00
4
时间序列按其指标不同，可分为绝对数时间序 列、相对数时间序列和平均数时间序列三种。
时间序列分析：方法与应用(第二版)PPT 时间序列分析(第六章)
模型中Ci是随机的，称为随机效应。模型有一些假定。
3
二、固定效应模型
截面单位是总体的所有单位，则固定效应模型是一个 合理的模型。通常，仅就样本进行分析，不涉及以样本 推断总体时，可以使用固定效应模型。
（一） 固定效应模型的类型
根据模型截距和斜率是否相同，固定效应模型可以分
为四类。
4
模型能够同时反映研究对象在时间和截面单位两个方向 上的变化规律及不同时间、不同单位的特性。
H (FE RE )[Var(FE ) Var(RE )]1(FE RE )wenku.baidu.com~ 2 (M )
其中，自由度M是约束的个数。根据计算的检验统计量 可以对是否拒绝原假设做出判断。
例6.2
四、单位根检验与协整检验
建立Panel Data 模型时，如果截面单位数据的时间 过长，很难保证序列随时间变化是平稳的。需要对截 面序列进行单位根检验。
（四）随机效应检验
—Hausman检验
对数据运用固定效应模型还是随机效应模型所做的 检验。 检验基于固定效应估计量与随机效应估计量之间差异。 记固定效应估计量为FE，随机效应估计量为RE，如果 随机效应确实存在，则RE与FE相比应该具有更小的方 差；若两个估计量之间没有显著差异，则只需要采用 固定效应模型即可。
H o ：不存在异方差
H1 ：存在未知形式的异方差 统计量是通过残差平方与一切可能的解释变 量及其交叉项（非冗余变量）的辅助回归计
3
二、固定效应模型
截面单位是总体的所有单位，则固定效应模型是一个 合理的模型。通常，仅就样本进行分析，不涉及以样本 推断总体时，可以使用固定效应模型。
（一） 固定效应模型的类型
根据模型截距和斜率是否相同，固定效应模型可以分
为四类。
4
模型能够同时反映研究对象在时间和截面单位两个方向 上的变化规律及不同时间、不同单位的特性。
H (FE RE )[Var(FE ) Var(RE )]1(FE RE )wenku.baidu.com~ 2 (M )
其中，自由度M是约束的个数。根据计算的检验统计量 可以对是否拒绝原假设做出判断。
例6.2
四、单位根检验与协整检验
建立Panel Data 模型时，如果截面单位数据的时间 过长，很难保证序列随时间变化是平稳的。需要对截 面序列进行单位根检验。
（四）随机效应检验
—Hausman检验
对数据运用固定效应模型还是随机效应模型所做的 检验。 检验基于固定效应估计量与随机效应估计量之间差异。 记固定效应估计量为FE，随机效应估计量为RE，如果 随机效应确实存在，则RE与FE相比应该具有更小的方 差；若两个估计量之间没有显著差异，则只需要采用 固定效应模型即可。
H o ：不存在异方差
H1 ：存在未知形式的异方差 统计量是通过残差平方与一切可能的解释变 量及其交叉项（非冗余变量）的辅助回归计
第六章时间序列11
随机过程的主要数字特征为数学期望函数、方差函数和 相关函数等。
1．数学期望函数(均值函数)
对应于某固定时刻t，随机过程成为一个随机变 量，因此可以按通常随机变量 一样的方法定义过 程的数学期望。 数学期望在一般情况下依赖于t，是t的确定函数。 此函数称为随机过程的数学期望函数，
mx (t ) E[ X (t )]
xf ( x, t )dx
mx(t)是一个平均函数，随机过程在它附近起伏变化， 如图所示，图中细线表示随机过程的各个样本函数，红 线表示数学期望。
X1(t) X2(t) X3(t) mx(t) . . . t
注意：这里的mx(t)是随机过程X(t)的所有样本函数 在时刻t的平均值。这是统计平均(又称集平均)，应与 后面将引入的时间平均概念相区别。 2．方差函数(标准差函数) 随机变量X(t)的二阶中心矩DX(t)被称为随机过程X(t)的 方差函数，即
1、直接采样 时间序列的直接采样是实际问题中采用的一种采样 方法，它直接在实测的连续曲线x(t)的t0+nΔt点上取值， 作为数字时间序列中的Xn，如图所示。
直接采样示意图
2．累积采样 给出采样时间间隔Δt ，把x(t)在[t0+(n-1)Δt, t0+nΔt] 上累积值取为数字时间序列的采样值xn。
在时间序列的采样过程中，选取不同的采样时间间隔 Δt，可以得到不同的数字时间序列。因而合理地选取采 样的时间间隔Δt ，使经过采样处理后得到的数字时间序 列能如实地反映时间序列的统计特征是一个重要问题。
数据挖掘研究生课件--第六章 时间序列和序列模
。
2 DMh ( X , Y )
N
其中 rY是参考序列的协方差矩阵。 4．Mann距离判别
2 DMn ( Y , X )
2 Y
( X Y ) T rY ( X Y )
N
2为待测时序的方差。 其中，rX 为待检序列的协方差矩阵， X
2 X
( Y X ) T rX ( Y X )
第六章 时间序列和序列模式挖掘
内容提要
时间序列及其应用
时间序列预测的常用方法
基于ARMA模型的序列匹配方法 基于离散傅立叶变换的时间序列相似性查找
基于规范变换的查找方法
序列挖掘及其基本方法 AprioriAll 算法 AprioriSome 算法 GSP算法
基于离散傅立叶变换的时间序列相似性查找
时间序列预测的常用方法(续)
随机时间序列预测方法
通过建立随机模型，对随机时间序列进行分析，可以 预测未来值。 若时间序列是平稳的，可以用自回归(Auto Regressive， 简称AR)模型、移动回归模型(Moving Average，简称MA) 或自回归移动平均(Auto Regressive Moving Average， 简称ARMA)模型进行分析预测。
为了方便讨论，我们首先给出一些符号来表示序列及序列的 相似性： X {xt t 0, 1, 2, ..., n 1} 表示一个序列； Len（X）表示序列X的长度； First（X）表示序列X的第一个元素； Last（X）表示序列X的最后一个元素； 表示X在i时刻的取值， X [i ] X [i] xi ； 序列上元素之间的“<”关系，在序列X上，如果i<j ，那 么X[i]<X[j]； 本文用 X 表示X的子序列，如果序列X有k个子序列，则把 这些子序列分别表示为 X , X , ... , X 。 子序列间的<关系， X Si , X Sj 为X的子序列，如果First(XSi ) First(XSj ) ，则称 X X 。 子序列重叠（Overlap），假定X S1，XS2为X的两个子序 列，如果 First(XS1 ) First(XS2 ) Last(XS1 ) 或First(X ) First(X ) Last(X ) 成立，则XS1与XS2重叠。
2 DMh ( X , Y )
N
其中 rY是参考序列的协方差矩阵。 4．Mann距离判别
2 DMn ( Y , X )
2 Y
( X Y ) T rY ( X Y )
N
2为待测时序的方差。 其中，rX 为待检序列的协方差矩阵， X
2 X
( Y X ) T rX ( Y X )
第六章 时间序列和序列模式挖掘
内容提要
时间序列及其应用
时间序列预测的常用方法
基于ARMA模型的序列匹配方法 基于离散傅立叶变换的时间序列相似性查找
基于规范变换的查找方法
序列挖掘及其基本方法 AprioriAll 算法 AprioriSome 算法 GSP算法
基于离散傅立叶变换的时间序列相似性查找
时间序列预测的常用方法(续)
随机时间序列预测方法
通过建立随机模型，对随机时间序列进行分析，可以 预测未来值。 若时间序列是平稳的，可以用自回归(Auto Regressive， 简称AR)模型、移动回归模型(Moving Average，简称MA) 或自回归移动平均(Auto Regressive Moving Average， 简称ARMA)模型进行分析预测。
为了方便讨论，我们首先给出一些符号来表示序列及序列的 相似性： X {xt t 0, 1, 2, ..., n 1} 表示一个序列； Len（X）表示序列X的长度； First（X）表示序列X的第一个元素； Last（X）表示序列X的最后一个元素； 表示X在i时刻的取值， X [i ] X [i] xi ； 序列上元素之间的“<”关系，在序列X上，如果i<j ，那 么X[i]<X[j]； 本文用 X 表示X的子序列，如果序列X有k个子序列，则把 这些子序列分别表示为 X , X , ... , X 。 子序列间的<关系， X Si , X Sj 为X的子序列，如果First(XSi ) First(XSj ) ，则称 X X 。 子序列重叠（Overlap），假定X S1，XS2为X的两个子序 列，如果 First(XS1 ) First(XS2 ) Last(XS1 ) 或First(X ) First(X ) Last(X ) 成立，则XS1与XS2重叠。
计量经济学-第6章⑴时间序列的平稳性及其检验-文档资料
★时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据。
⒉经典回归模型与数据的平稳性
• 经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。 • 数据非平稳，大样本下的统计推断基础——“一致 性”要求——被破怀。 • 经典回归分析的假设之一：解释变量X是非随机变 量 • 放宽该假设：X是随机变量，则需进一步要求： (1)X与随机扰动项 不相关∶Cov(X,)=0 (2) ( X i X ) 2 / n 依概率收敛： P lim ( ( X
时间序列分析模型方法就是在这样的情况下， 以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而发 展起来的全新的计量经济学方法论。
时间序列分析已组成现代计量经济学的重要内 容，并广泛应用于经济分析与预测当中。
二、时间序列数据的平稳性
时间序列分析中首先遇到的问题是关于时间序列 数据的平稳性问题。 假定某个时间序列是由某一随机过程（stochastic process）生成的，即假定时间序列{Xt}（t=1, 2, …） 的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果 满足下列条件： 1）均值E(Xt)=是与时间t 无关的常数； 2）方差Var(Xt)=2是与时间t 无关的常数； 3）协方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔k有关， 与时间t 无关的常数； 则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而该 随机过程是一平稳随机过程（stationary stochastic process）。
⒉经典回归模型与数据的平稳性
• 经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。 • 数据非平稳，大样本下的统计推断基础——“一致 性”要求——被破怀。 • 经典回归分析的假设之一：解释变量X是非随机变 量 • 放宽该假设：X是随机变量，则需进一步要求： (1)X与随机扰动项 不相关∶Cov(X,)=0 (2) ( X i X ) 2 / n 依概率收敛： P lim ( ( X
时间序列分析模型方法就是在这样的情况下， 以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而发 展起来的全新的计量经济学方法论。
时间序列分析已组成现代计量经济学的重要内 容，并广泛应用于经济分析与预测当中。
二、时间序列数据的平稳性
时间序列分析中首先遇到的问题是关于时间序列 数据的平稳性问题。 假定某个时间序列是由某一随机过程（stochastic process）生成的，即假定时间序列{Xt}（t=1, 2, …） 的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果 满足下列条件： 1）均值E(Xt)=是与时间t 无关的常数； 2）方差Var(Xt)=2是与时间t 无关的常数； 3）协方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔k有关， 与时间t 无关的常数； 则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而该 随机过程是一平稳随机过程（stationary stochastic process）。
f第六章 趋势模型
16
差分后的序列图如下：
从差分后的序列图，可看出数据可能存在一种非常平稳的趋势。
17
差分序列的样本自相关函数AC与偏自相关函数PAC如下页表。
18
ARIMA(0，1，4)是一个合理的模式
19
例6.2 某中部省会城市房地产价格走势的预测。试根据该市 2000年1月到2005年5月的市区住房均价数据对该市后3个月市 区均价走势进行预测。
所产生。 其中， ut 是白噪声序列
9
如果 =1，则称 Yt 为一个有线性时间趋势的单位根过程。
单位根检验就是根据已观测到的时间序列，检验产生这个时间序列
的随机过程中的一阶自回归系数 是否为1，这个检验实际上就是
对时间序列是否为一个趋势平稳过程的检验，如果检验表明没有单位 根，则它是一个趋势平稳过程，否则它是一个带趋势的单位根过程。
20
差分后序列图如下：
21
样本自相关函数AC与偏自相关函数PAC如下
22
从图中数据可看出差分后的时间序列符合MA(2)模型。
23
用SAS求解，模型参数估计如下
利用条件最小平方法得到的参数估计值
参数
估计值
标准误差 t值
MA1，1 0.59721 0.14148 4.22
MA1，2 -0.10384 0.14909 -0.69
P值 0.0001 0.4908
差分后的序列图如下：
从差分后的序列图，可看出数据可能存在一种非常平稳的趋势。
17
差分序列的样本自相关函数AC与偏自相关函数PAC如下页表。
18
ARIMA(0，1，4)是一个合理的模式
19
例6.2 某中部省会城市房地产价格走势的预测。试根据该市 2000年1月到2005年5月的市区住房均价数据对该市后3个月市 区均价走势进行预测。
所产生。 其中， ut 是白噪声序列
9
如果 =1，则称 Yt 为一个有线性时间趋势的单位根过程。
单位根检验就是根据已观测到的时间序列，检验产生这个时间序列
的随机过程中的一阶自回归系数 是否为1，这个检验实际上就是
对时间序列是否为一个趋势平稳过程的检验，如果检验表明没有单位 根，则它是一个趋势平稳过程，否则它是一个带趋势的单位根过程。
20
差分后序列图如下：
21
样本自相关函数AC与偏自相关函数PAC如下
22
从图中数据可看出差分后的时间序列符合MA(2)模型。
23
用SAS求解，模型参数估计如下
利用条件最小平方法得到的参数估计值
参数
估计值
标准误差 t值
MA1，1 0.59721 0.14148 4.22
MA1，2 -0.10384 0.14909 -0.69
P值 0.0001 0.4908
第六章 时间数列分析
（1）如果数列中各项指标数值的间隔长度相等，则 用简单算术平均法计算。 （2）如果数列中各项指标数值的间隔长度不相等，则 应以间隔长度为权数，用加权算术平均法计算。
二、增减量和平均增减量 （一）增减量。是指某种社会经济现象在一定时期内增 长或减少的绝对数量，等于报告期水平与基期水平之差。 根据基期的不同分为逐期增减量和累积增减量，计算公 式为：
（三）数学模型法 1.长期趋势的类型
（1）直线趋势 Yc a bt
（2）抛物线趋势 （3）指数型趋势
2.参数的估计方法
3.02 3.09 3.06
2
3.02
3.05
3.07
3.06
3.09
3.32
3.19
3.15
3.21
3.21
3.26
3.25
3.00
3.54
3.55
3.87
3.82
4.07
3.91
3.79
--
注意： 1.移动项数的确定，如有自然周期，
则应以自然周期为移动平均项数，否则， 一般取奇数项。
2.移动周期不要确定的太长，否则资 料缺项较多。
1.定基增减速度
定基增减速度
累积增减量 某一固定基期水平
报告期水平 某一固定基期水平 某一固定基期水平
报告期水平 某一固定基期水平 某一固定基期水平 某一固定基期水平
二、增减量和平均增减量 （一）增减量。是指某种社会经济现象在一定时期内增 长或减少的绝对数量，等于报告期水平与基期水平之差。 根据基期的不同分为逐期增减量和累积增减量，计算公 式为：
（三）数学模型法 1.长期趋势的类型
（1）直线趋势 Yc a bt
（2）抛物线趋势 （3）指数型趋势
2.参数的估计方法
3.02 3.09 3.06
2
3.02
3.05
3.07
3.06
3.09
3.32
3.19
3.15
3.21
3.21
3.26
3.25
3.00
3.54
3.55
3.87
3.82
4.07
3.91
3.79
--
注意： 1.移动项数的确定，如有自然周期，
则应以自然周期为移动平均项数，否则， 一般取奇数项。
2.移动周期不要确定的太长，否则资 料缺项较多。
1.定基增减速度
定基增减速度
累积增减量 某一固定基期水平
报告期水平 某一固定基期水平 某一固定基期水平
报告期水平 某一固定基期水平 某一固定基期水平 某一固定基期水平
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第六章 趋势时间序列模型
引言：前面我们讨论的是平稳时间序列的建模和 预测方法，即所讨论的时间序列都是宽平稳的。 一个宽平稳的时间序列的均值和方差都是常数， 并且它的协方差有时间上的不变性。
但是许多经济领域产生的时间序列都是非平 稳的。对协方差过程，非平稳时间序列会出现各 种情形，如它们具有非常数的均值μt，或非常数 的二阶矩，如非常方差σt2，或同时具有这两种情 形的非平稳序列。
不是所有的非平稳问题都可以用差分方法 解决，还有期望平稳和方差非平稳序列， 为了克服这个问题，我们需要适当进行 方差平稳化变换。
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一般用幂变换使方差平稳, 表示如下 :
xt( )
ln
xt
xwenku.baidu.com
1
0 0
这个变换最早由BOX和COX于1964年提出， 因此称作BOX—COX变换。其中λ为变换 参数。
一、均值非平稳过程
均值非平稳过程指随机过程的均值随均 值函数的变化而变化。
我们可以引进两种非常有用的均值非平 稳过程：确定趋势模型和随机趋势模型。
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（一）确定趋势模型
当非平稳过程均值函数可由一个特定的时 间趋势表示时，一个标准的回归模型曲 线可用来描述这种现象。
例如,若均值t服从线性趋势, t 0 1t
为满足平稳性,则必须有 :(B) 0的
根都在单位圆外.
如果(B) 0的根不都在单位圆外, 那
么, xt就是非平稳的.
现假设(B) 0恰有d个根落在单位圆上,
而其它根都在单位圆外,则可令 :
(B) (B)(1 B)d
于是原模型可写为 :
(B)(1 B)d xt (B)at
这时我们就称xt为齐次非平稳过程, d称为齐次性的阶. 令wt (1 B)d xt ,则 :
若时间序列具有上升或下降的趋势，那么对于 所有短时滞来说，自相关系数大且为正，而 且随着时滞k的增加而缓慢地下降。
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若序列无趋势，但是具有季节性，那末对 于按月采集的数据，时滞12，24， 36……的自相关系数达到最大(如果数据 是按季度采集，则最大自相关系数出现 在4，8，12， ……)，并且随着时滞的增 加变得较小。
第六章 趋势时间序列模型
第一节 非平稳时间序列模型的种类 第二节 非平稳性的检验 第三节 平稳化方法 第三节 求和自回归滑动平均模型(ARIMA)
在现实世界中的大多数经济时间序列都表现出 趋势性，即时间序列值随时间的变化呈现出增加或减 少趋势和方差的不稳定性。例如，城镇居民人均可支 配收入数据序列就有上升趋势，并且波动幅度逐年增 大，表现出方差的不平稳性。因此在对时间序列建立 模型之前，必须分析时间序列的平稳性和平稳化方法， 这对于我们进行时间序列的统计分析、预测与控制， 都具有十分重要的意义。
（二）随机趋势模型
随机趋势模型又称齐次非平稳ARMA模型。 为理解齐次非平稳ARMA模型，可先对 ARMA模型的性质作一回顾。
假设有一个ARMA( p, q)模型如下 :
(B)xt (B)at 其中: (B) 11B 2B2 B p
(B) 11B 2B2 qBq
at为白噪声序列.
1998 1994 1990 1986 1982 1978 1974 1970 1966 1962 1958 1954 1950
1600 1400 1200 1000 800 600 400 200
0
第一节 非时间序列模型的种类 一、均值非平稳过程 二、方差和自协方差非平稳过程
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则原序列可用确定的有趋势模型表示如下 :
xt 0 1t yt
其中: yt是一个零均值的平稳过程,可以用 前面介绍的ARMA模型来描述.
对二次均值函数, t 0 1t 2t 2
原序列可用下式表示 :
xt 0 1t 2t 2 yt 此外，均值函数还可能是指数函数、 正弦—余弦波函数等，这些模型都可 以通过标准的回归分析处理。 处理方法是先拟合出μt的具体形式， 然后对残差序列yt={xt－ μt}按平稳 过程进行分析和建模。
若序列是有趋势的，且具有季节性，其自
相关函数特性类似于有趋势序列，但它 们是摆动的，对于按月数据，在时滞12， 24，36，……等处具有峰态；如果时间序 列数据是按季节的，则峰出现在时滞4， 8，12， ……等处。
三、特征根检验法（P146）
基本思想 : 先拟合序列的适应模型,然后 求由该适应模型的参数组成的特征方程的
趋势性时间序列是在图形上表现出一个长期上升 或向下的趋势。一般情况下，通过时间序列观察值来 判断序列的趋势性是比较容易，但是有些情况下，就 比较困难，这主要原因是从短期看，时间序列具有趋 势变动，但从长期看，它只不过是循环波动的一部分。 时间序列的趋势性，有确定性和非确定性两种，前者 有线性趋势和非线性趋势。具有非确定性趋势的序列， 往往表现为一种慢慢地向上或向下漂移的时间序列.
(B)wt (B)at
可见一个齐次非平稳过程经过若干次(d次)差分 运算后可变为平稳序列.
可见我们所能分析处理的仅是一些特殊的 非平稳序列，即齐次非平稳序列。
由于齐次非平稳序列模型恰有d个特征根 在单位圆上，即有d个单位根，因此齐次 非平稳序列又称单位根过程。
二、方差和自协方差非平稳过程
一个均值平稳过程不一定是方差和自协方 差平稳过程，同时一个均值非平稳过程 也可能是方差和自协方差非平稳过程。
第二节 非平稳性的检验
一、通过时间序列的趋势图来判断 二、通过自相关函数(ACF)判断 三、特征根检验法 四、用非参数检验方法判断序列的平稳性 五、随机游走的单位根检验
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一、通过时间序列的趋势图来判断
这种方法通过观察时间序列的趋势图来判 断时间序列是否存在趋势性或周期性。
优点：简便、直观。对于那些明显为非平 稳的时间序列，可以采用这种方法。
缺点：对于一般的时间序列是否平稳，不 易用这种方法判断出来。
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二、通过自相关函数(ACF)判断
平稳时间序列的自相关函数(ACF)要么是截尾的， 要么是拖尾的。因此我们可以根据这个特性 来判断时间序列是否为平稳序列。
引言：前面我们讨论的是平稳时间序列的建模和 预测方法，即所讨论的时间序列都是宽平稳的。 一个宽平稳的时间序列的均值和方差都是常数， 并且它的协方差有时间上的不变性。
但是许多经济领域产生的时间序列都是非平 稳的。对协方差过程，非平稳时间序列会出现各 种情形，如它们具有非常数的均值μt，或非常数 的二阶矩，如非常方差σt2，或同时具有这两种情 形的非平稳序列。
不是所有的非平稳问题都可以用差分方法 解决，还有期望平稳和方差非平稳序列， 为了克服这个问题，我们需要适当进行 方差平稳化变换。
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一般用幂变换使方差平稳, 表示如下 :
xt( )
ln
xt
xwenku.baidu.com
1
0 0
这个变换最早由BOX和COX于1964年提出， 因此称作BOX—COX变换。其中λ为变换 参数。
一、均值非平稳过程
均值非平稳过程指随机过程的均值随均 值函数的变化而变化。
我们可以引进两种非常有用的均值非平 稳过程：确定趋势模型和随机趋势模型。
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（一）确定趋势模型
当非平稳过程均值函数可由一个特定的时 间趋势表示时，一个标准的回归模型曲 线可用来描述这种现象。
例如,若均值t服从线性趋势, t 0 1t
为满足平稳性,则必须有 :(B) 0的
根都在单位圆外.
如果(B) 0的根不都在单位圆外, 那
么, xt就是非平稳的.
现假设(B) 0恰有d个根落在单位圆上,
而其它根都在单位圆外,则可令 :
(B) (B)(1 B)d
于是原模型可写为 :
(B)(1 B)d xt (B)at
这时我们就称xt为齐次非平稳过程, d称为齐次性的阶. 令wt (1 B)d xt ,则 :
若时间序列具有上升或下降的趋势，那么对于 所有短时滞来说，自相关系数大且为正，而 且随着时滞k的增加而缓慢地下降。
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若序列无趋势，但是具有季节性，那末对 于按月采集的数据，时滞12，24， 36……的自相关系数达到最大(如果数据 是按季度采集，则最大自相关系数出现 在4，8，12， ……)，并且随着时滞的增 加变得较小。
第六章 趋势时间序列模型
第一节 非平稳时间序列模型的种类 第二节 非平稳性的检验 第三节 平稳化方法 第三节 求和自回归滑动平均模型(ARIMA)
在现实世界中的大多数经济时间序列都表现出 趋势性，即时间序列值随时间的变化呈现出增加或减 少趋势和方差的不稳定性。例如，城镇居民人均可支 配收入数据序列就有上升趋势，并且波动幅度逐年增 大，表现出方差的不平稳性。因此在对时间序列建立 模型之前，必须分析时间序列的平稳性和平稳化方法， 这对于我们进行时间序列的统计分析、预测与控制， 都具有十分重要的意义。
（二）随机趋势模型
随机趋势模型又称齐次非平稳ARMA模型。 为理解齐次非平稳ARMA模型，可先对 ARMA模型的性质作一回顾。
假设有一个ARMA( p, q)模型如下 :
(B)xt (B)at 其中: (B) 11B 2B2 B p
(B) 11B 2B2 qBq
at为白噪声序列.
1998 1994 1990 1986 1982 1978 1974 1970 1966 1962 1958 1954 1950
1600 1400 1200 1000 800 600 400 200
0
第一节 非时间序列模型的种类 一、均值非平稳过程 二、方差和自协方差非平稳过程
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则原序列可用确定的有趋势模型表示如下 :
xt 0 1t yt
其中: yt是一个零均值的平稳过程,可以用 前面介绍的ARMA模型来描述.
对二次均值函数, t 0 1t 2t 2
原序列可用下式表示 :
xt 0 1t 2t 2 yt 此外，均值函数还可能是指数函数、 正弦—余弦波函数等，这些模型都可 以通过标准的回归分析处理。 处理方法是先拟合出μt的具体形式， 然后对残差序列yt={xt－ μt}按平稳 过程进行分析和建模。
若序列是有趋势的，且具有季节性，其自
相关函数特性类似于有趋势序列，但它 们是摆动的，对于按月数据，在时滞12， 24，36，……等处具有峰态；如果时间序 列数据是按季节的，则峰出现在时滞4， 8，12， ……等处。
三、特征根检验法（P146）
基本思想 : 先拟合序列的适应模型,然后 求由该适应模型的参数组成的特征方程的
趋势性时间序列是在图形上表现出一个长期上升 或向下的趋势。一般情况下，通过时间序列观察值来 判断序列的趋势性是比较容易，但是有些情况下，就 比较困难，这主要原因是从短期看，时间序列具有趋 势变动，但从长期看，它只不过是循环波动的一部分。 时间序列的趋势性，有确定性和非确定性两种，前者 有线性趋势和非线性趋势。具有非确定性趋势的序列， 往往表现为一种慢慢地向上或向下漂移的时间序列.
(B)wt (B)at
可见一个齐次非平稳过程经过若干次(d次)差分 运算后可变为平稳序列.
可见我们所能分析处理的仅是一些特殊的 非平稳序列，即齐次非平稳序列。
由于齐次非平稳序列模型恰有d个特征根 在单位圆上，即有d个单位根，因此齐次 非平稳序列又称单位根过程。
二、方差和自协方差非平稳过程
一个均值平稳过程不一定是方差和自协方 差平稳过程，同时一个均值非平稳过程 也可能是方差和自协方差非平稳过程。
第二节 非平稳性的检验
一、通过时间序列的趋势图来判断 二、通过自相关函数(ACF)判断 三、特征根检验法 四、用非参数检验方法判断序列的平稳性 五、随机游走的单位根检验
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一、通过时间序列的趋势图来判断
这种方法通过观察时间序列的趋势图来判 断时间序列是否存在趋势性或周期性。
优点：简便、直观。对于那些明显为非平 稳的时间序列，可以采用这种方法。
缺点：对于一般的时间序列是否平稳，不 易用这种方法判断出来。
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二、通过自相关函数(ACF)判断
平稳时间序列的自相关函数(ACF)要么是截尾的， 要么是拖尾的。因此我们可以根据这个特性 来判断时间序列是否为平稳序列。