全国大学生力学竞赛—材料力学冲刺(2)
全国大学生力学竞赛—材料力学冲刺2
R
抗弯截面系数 WR34sin4
8sin
d dW d d R348 sisn i n 4 0
4 1 c s o i 4 s n s 4 i c n 0 o 4 s 78o
W0.79R13 未切前抗弯截面系数
I1
1bh31bh2h2 36 2 3
1 4
bh
3
1R4cossin3
4
例 圆形横截面对称地去掉最上下部份，有
R
r
可能使抗弯截面系数增加。求使抗弯截面系
数为最大的角度 。
圆台的惯性矩等于四个三角形与四个扇 形对水平对称轴惯性矩的和。
三角形对水平对称轴的惯性矩
I1
圆台的惯性矩等于四个三角形与四个扇 形对水平对称轴惯性矩的和。
三角形对水平对称轴的惯性矩
I1
1R4cossi3n
4
扇形对水平对称轴的惯性矩
R
R
I2 y2dA r2si2nrdrd r3dr sin2d
A
00
0
0
1R4cosin
8
R
r
I1
MD
qL2 8
L4 MD
B a
L2 a
a1 21L0.20L7
2
提示 当某个参量同时决定两个
函数，且这两个函数处于此长彼 消的态势时，这两个函数值的交 点往往就是极值点。
为了避免产生附加的弯矩， 在吊装时可考虑采用辅助吊杆。
分析和讨论
q
A
B
60
30 L
梁的横截面为矩形，两支座怎样移动，才能使梁的承 载能力为最大？
1qL2(Lx)2 4 2EI
全国大学生力学竞赛—材料力学冲刺(2)185页PPT
B 量为 q 。为了便于运输，可在梁上
a
预埋吊钩。吊钩位置应在何处？如
何正确吊装以避免梁开裂？
吊钩应置于横截面尺寸小的一侧，并关于中点对称预埋。
梁处于吊装状态时，可简化为如图的梁。
弯矩的峰值出现在 C、D 截面。
梁的变形如图。先求支反力。 最大挠度必产生于 AC 之间。
将原结构视为两段悬臂梁。
wA14qL3xE3 I1q2E L3Ix
wB1 4qL (L3 Ex)I3
1qL2(Lx)2 4 2EI
1 4q2L (L E x)I1 4qL (L 2 E x)2I L1qE 2LIx33L2x2L3
qL / 4 q
函数，并建立目标函数与自变量之间的函数关系。 一般可以直接利用目标函数的物理意义来确定所求出极
值是极大或极小。大多数情况下不必通过二阶导数确定极 值的性质。
由于在许多情况下是在有限区间内讨论问题的，因此应 注意区间两端点处的函数值是否可能构成极值。
如果函数是线性的，那么极值一定出现在所讨论的区间 的两个端点处。
R
R
I2 y2dA r2si2nrdrd r3dr sin2d
A
00
0
0
1R4cosin
8
例 圆形横截面对称地去掉最上下部份，有
R
r
可能使抗弯截面系数增加。求使抗弯截面系
数为最大的角度 。
圆台的惯性矩等于四个三角形与四个扇 形对水平对称轴惯性矩的和。
三角形对水平对称轴的惯性矩
I1
1R4cossi3n
训练内容
一、简化问题
模型简化
数学简化
物理事实简化
对称结构简化
二、平衡与叠加
整体平衡
全国大学生力学竞赛-材料力学部分
一、简化问题
模型简化 抓住变形和内力的主要特征 注意各类约束的特点
建立有附加条件的计算模型
数学简化 物理事实简化
充分利用小变形条件，适时舍去高阶小量
平截面假定 薄壁杆件中的切应力分布简化
扭转切应力
开口薄壁杆件的切应 力沿壁厚的分布状况
闭口薄壁杆件的切应 力沿壁厚的分布状况
在闭口薄壁杆件中，沿厚度方向上的扭转切应力均 匀分布，并形成切应力流 。
1 2 1 4 cos x 1 x x 2! 4! 1 1 sin x x x 3 x 5 3! 5!
1 x 1
x
例
为了在图示 A 与 B 两个固定点之间产生张力，人们常在这
两点之间绷上绳子，然后从中点 C 绞紧。现设绳子的横截面为 圆形，其半径为 r ，绳子材料的弹性模量为 E 。假定在绞紧过
B
K
C
例 如图的直角等腰三角形发生均匀 变形，其直角边的应变为 (1) ，斜边的 应变为 (2)，求： ① 斜边上的高的应 变 ；② 直角的变化量 。
记直角边长为 a，则有
AB a(1 (1) )
在 △ A B K 中，
BC 2a(1 ( 2 ) )
份具有与刚性面相同
的曲率。
附加条件：转角为零
F
EI A B
例
如图的均匀长梁放臵在刚性平
台上，梁单位长度重量为 q ，端头
B 处有 F qa 的力向上提，求 B 处 的挠度 与长度 a 的函数关系。
q A B L F
梁的力学模型可简化为左端固
定且弯矩为零的悬臂梁。
设平台上梁抬起的长度为 L， 由 A 处 M 0 可得：
全国首届大学生基础力学实验竞赛题目
全国首届大学生基础力学实验竞赛题目1、选择题（1）材料冷作硬化的后果是（）(a)比例极限提高，强度极限降低；(b)比例极限提高，塑性也提高；(c) 比例极限提高，塑性降低；(d)比例极限提高，强度极限也提高。
（2）对于没有明显屈服极限的塑性材料，图中的σ0.2表示材料的名义屈服极限。
(a) (b) (c) (d) (e)2、填空题图中所示4种材料的σ-ε曲线，的弹性模量最大；的比例极限最高；的塑性最好；的强度最高。
3、试标出图示低碳钢σ-ε曲线上在D点处弹性应变和塑性应变所占的份额。
4、低碳钢屈服阶段的σ-ε曲线为折线，应该用折线上哪点的应力值作为材料的屈服极限比较合理，请说明原因。
5、圆柱扭转破坏实验中，在试样表面画一条母线，铸铁试样破坏时母线怎样变化，低碳钢试样破坏时母线怎样变化？请分析原因。
6、图示为一薄壁压力容器。
在其表面设置两个测点A 、B ，测得A 点的纵向应变为1⨯10-4，测得B 点的环向应变为3.5⨯10-4。
若已知容器的材料弹性模量E=200GPa ，壁厚δ=10mm 。
试求容器内的压力p 和材料的泊松比μ。
7、图示为一空心钢轴，已知转速n =120r/min ，材料弹性模量E=200GPa ，泊松比μ =0.25，由实验测得轴表面一点A 处与母线成45︒方向上的正应变为2.0⨯10-4。
试求轴所传递的功率（单位千瓦）。
8（易）：有一粘贴在轴向受压试件上的应变片，其阻值为Ω120，灵敏系数136.2=K 。
问：当试件上的应变为με1000-时，应变片阻值是多少？9（中）：测点上应变花的粘贴位置如图。
实验测出()μεε2401=，()μεε4402=，()μεε503-=，求出该点的应力状态（结构材料GPa E 210=，32.0=μ）10(较难)：有一直径为d的复合材料试件，受到冲击载荷作用，如图。
欲用电侧法求该材料的泊松比。
问：1）如何布片？2）怎样测定、计算泊松比？11（难）：野外测试组，利用应变片测量动态应变，采用半桥接桥方式。
2023年材料力学竞赛答案
一、（10分）如图所示悬臂梁OA ，O 端固定，在其底部有一光滑曲面4cx w =，其中c 为已知常数。
已知梁的抗弯刚度为EI ，长为l ，问在梁上作用何种形式)(122x M EIcx w EI =-=''-)(24S x F EIcx w EI =-='''-)(24x q EIc w EI =-=''''-当x=l 时 EIcl F 24S -= 212EIcl M -=二．（10分）等截面多跨梁如图所示，C 处为中间铰，受均布荷载作用。
试画出该梁挠曲线的大体形状。
弯矩图挠曲线4cx Ax w 题一图w荷载图EIcl 2三、（10分）图示梁AB 弯曲刚度为EI ，抗弯截面系数为W ，B 端由拉压刚度为EA 的杆BD 连接，已知231Aa I =。
若重量为P 的重物以水平速度v 冲击在梁的中点C 处，求杆BD 和梁AB 内的最大冲击动应力。
EIPa EA aPEI a P 422148)2(33=⋅⋅+=∆st APA P 22st ==杆σWPaW aP 242st =⋅=梁σ 3224gPa EIv g v K =∆=std 杆杆st d d σσK = 梁梁st d d σσK =四．（10分）图示钢筋AD 长度为3a ，总重量为W ，对称地放置于宽为a 的刚性平台上。
试求钢筋与平台间的最大间隙δ。
设EI 为常量。
题三图EI Wa EI aa W EI a a W EI ql EI l M 115219384352166384521634442e =-⨯=-⨯=δ五．（10分）以绕带焊接而成的圆管如图所示，焊缝为螺旋线。
管的内径d =300mm ，壁厚t =1mm ，内压p =0.5MPa 。
求沿焊缝斜面上的正应力和切应力。
焊缝斜面上一点单元体MPa 5.37101410300105.04336=⨯⨯⨯⨯⨯==--t pd x σ MPa 752==tpdy σ，0=xy τ 沿焊缝斜面上的正应力和切应力MPa53)80cos(2755.372755.372sin 2cos 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++=--++=ατασσσσσαxy yx yx MPa 5.18)80sin(2755.372cos 2sin 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--=ατασσταxy yxy σ 26a aW 26a aW W q =六．（10分）两根钢轨铆接成组合梁，其连接情况如图所示。
2019力学竞赛材料力学辅导(冲击)
全国周培源大学生力学竞赛辅导材料力学
——冲击应力分析
•冲击应力分析
第三届力学竞赛题6
第四届力学竞赛题3
第五届力学竞赛题6
第七力学竞赛题4
注意在冲击过程中的能量转化
冲击物的能量（动能或势能）转化为被冲击物的变形能
第七届竞赛题4例题5-冲击
冲击称载荷作用下外伸梁
F
l a st h K d Δ++=211冲击动载荷系数：
m EI
l Fa EI Fa st 03146.03323=+=Δ静位移利用叠加法（逐段刚
化法）求：
2565.7211=Δ++=st h K d MPa W
a F K W M d d d 02.78**===σ将运动员视为弹性体，最大
动应力减少。
力学模型：
m
图示两根完全相同的悬臂梁，弯曲刚度为，在自由端两者有一间隙，今有一重物P 从高度落下，试求重物对梁的最大冲击力？假设：两梁变形均在弹性范围内，冲击物为刚体，被冲击梁质量不计，在冲击过程中，两梁共同运动。
EI Δ
h 练习题。
全国大学生力学竞赛—材料力学专题
组合 变形
Tension or compression :
(x) N(x)
A( x) N N(x)
N ( x)
l l EA d x
max
N(x) [ ]
A(x) max
l [l]
Equilibrium of forces Harmunious equations Physical equations
yx xy
zy
x
x
z
zx xz
x xy xz
T yx
y
yz
zx zy z
单元体微分面上的应力实际上就是 A 点处三 个相互垂直平面上的应力情况.
虎克定律
E G
y
yz
yx xy
zy
拉压 ( tension & compression ) 扭转 ( torsion )
弯曲 ( bending )
剪切 ( shearing )
组合变形 (combined deformations)
P
3. 材料力学的基本概念
强度 刚度 稳定性 内力 应力 应变 单元体 虎克定律
内力: 是材料力学问题的出发点.
P/ 2 P/ 2 a
L
H
H v
F
F v
P/ 2 P/ 2 a
L
H
H v
F
F v
P/ 2 P/ 2 a
L
材料力学
理论体系
1. 材料力学的主要任务
材料力学的研究对象
以杆件和杆件结构系统为研究对象
材料力学的任务