二次根式[下学期]--华师大版-

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华师大版数学九年级上册《21.1 二次根式》教学设计2

一. 教材分析

华东师范大学版数学九年级上册《21.1 二次根式》是学生在初中阶段学习二次

根式的起点，也是为高中阶段进一步学习函数、不等式等知识做铺垫。本节课主要让学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法，并能够解决一些实际问题。教材通过引入二次根式，让学生感受数学与现实生活的联系，提高学生学习数学的兴趣。

二. 学情分析

学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，具备

一定的逻辑思维能力和运算能力。但学生对二次根式这一概念较为陌生，对其性质和运算方法的认识需要通过实例和练习逐步建立。此外，学生对于将实际问题转化为二次根式问题的能力有待提高。

三. 教学目标

1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法。

2.能够将实际问题转化为二次根式问题，并运用二次根式解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力，提高学生学习数学的兴趣。

四. 教学重难点

1.二次根式的概念及其性质。

2.二次根式的运算方法。

3.将实际问题转化为二次根式问题。

五. 教学方法

1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次根式的概念、性质和运算方

法。

2.利用实例和练习，让学生在实际操作中掌握二次根式的应用。

3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

4.运用多媒体辅助教学，提高课堂趣味性和教学效果。

六. 教学准备

1.准备相关课件和教学素材。

2.设计具有代表性的练习题和实际问题。

3.准备黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程

1.导入（5分钟）

二次根式的混合运算华东师大

二次根式的混合运算
• 总结词：二次根式的混合运算法则需要结合实数的混合运算法则和二次根式的乘除、加减运算法则。 • 详细描述：二次根式的混合运算法则包括括号内的先算、乘除优先于加减、分母有理化等。在计算时，需
要注意化简的顺序和结果的最简二次根式形式。 • 练习题及解析 • $\sqrt{16} + 2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}$ • 解析：$\sqrt{16} + 2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = 4 + 2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = 4 +
二次根式的混合运算
总结词
二次根式的混合运算是基于二次根式的性质和运算法则进行的，需要先将各个二次根式化简为最简二次根式，再进行混合运算。
详细描述
在进行二次根式的混合运算时，我们需要根据二次根式的性质和运算法则，将各个二次根式化简为最简二次根式，再根据混合运算法则进行运算。例如，对于 $(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \times (\sqrt{c} - \sqrt{d})$，我们可以通过化简得到$\sqrt{ac} + \sqrt{bd} \sqrt{ad} - \sqrt{bc}$。
定义
分母有理化是指将二次根式的分母化为有理数或整式，从而将二次根式化为最简二次根式。

二次根式教案华东师大版

一、教学内容

本节课选自华东师大版《数学》八年级下册，内容为第十章“二次根式”的第一课时。具体内容包括：理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质，能够进行二次根式的简单运算。

二、教学目标

1. 理解二次根式的定义，知道二次根式的性质，并能够运用性质简化二次根式。

2. 能够进行二次根式的加减运算，掌握运算规律。

3. 培养学生的观察、分析、解决问题的能力，提高学生的数学思维。

三、教学难点与重点

重点：二次根式的定义，性质，加减运算。

难点：理解并运用二次根式的性质简化二次根式，熟练进行二次根式的加减运算。

四、教具与学具准备

1. 教具：多媒体教学设备，PPT课件。

2. 学具：学生每人一张白纸，剪刀，胶棒。

五、教学过程

1. 实践情景引入

利用PPT展示一组实际生活中的问题，如计算面积、体积等，引导学生发现二次根式的存在。

2. 新课导入

（1）引导学生回顾平方根的概念，为新课的学习打下基础。

（2）引入二次根式的定义，讲解二次根式的性质。

3. 例题讲解

（1）讲解如何简化二次根式。

（2）讲解二次根式的加减运算。

4. 随堂练习

出示几道简化二次根式和二次根式加减运算的题目，让学生当堂完成，并及时讲解。

5. 小结

六、板书设计

1. 二次根式的定义

2. 二次根式的性质

3. 二次根式的加减运算

4. 例题解析

5. 随堂练习

七、作业设计

1. 作业题目

√12，√27，√48

√3 + √5，2√6 + 3√2

2. 答案

（1）√12 = 2√3，√27 = 3√3，√48 = 4√3

（2）√3 + √5 = √15，2√6 + 3√2 = √24 + √18 =

2022年华师大版《二次根式》公开课教案

21.1 二次根式

教学目标

1．能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性；

2．能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围．

教学重难点

【教学重点】

了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围.

【教学难点】

用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系.

课前准备

无

教学过程

一、情境导入

问题1：你能用带有根号的式子填空吗？

(1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S的正方形的边长为________．

(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，那么它的宽为________m.

(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与落下的高度h(单位：m)满足关系h＝5t2，如果用含有h的式子表示t，那么t＝______．

问题2：上面得到的式子3，S，65，h

分别表示什么意义？它们有什么共同特征？

二、合作探究

探究点一：二次根式的定义

例1：以下各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？

(1)11；(2)－5；(3)〔－7〕2；

(4)3

13；(5)

－

；(6)3－x(x≤3)；

(7)－x(x≥0)；(8)〔a－1〕2；(9)－x2－5；

(10)〔a－b〕2(ab≥0)．

解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．

解：因为11，〔－7〕2，1

－

＝

，3－x(x≤3)，〔a－1〕2，〔a－b〕2(ab

≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式.3

二次根式[下学期]--华师大版-2020-0926

母亲二岁多的时候，外公就因为摔伤后无钱医治而去世。小脚的外婆艰难地生活着，在水井边摔伤了腿，就成为村里唯一的一位来自城里、且又异常美丽的残疾寡妇。外婆有三个女儿一个儿子，加上领养的那个大舅舅，共五个子女。重庆时时龙虎微信群 www.6pa3hj.cn
有些故事说出来仿佛有点儿不可思议，外公的棺椁一是因为无钱无力，二是因为迷信，上面盖着树枝和竹席，在房子旁边的菜地里停放了整整一年多。有一天棺椁突然着了火，原因不详，有说是仇家故意纵火，有说是不小心着火，外婆用一个小罐子把外公的遗骨装敛好，埋葬在一个山清水秀的地方。
wenku.baidu.com
我不知道残疾的外婆，是怎么样把五个子女拉扯大的，顽强的太不可思议，也不知道该用什么词语来赞美她，只是想到这里或者写到这里，心就会疼痛，要很久很久以后才能缓过来。
母亲在十二岁那年做了王家的童养媳，从此开始了不一样的人生，她是一路哭着被父亲背到湖西村的，一共生育了五子四女九个孩子，我最小。
每当有人叫我“九儿”或“九九”的时候，都会有一种特别的滋味涌上心头，感觉“九儿”或“九九”这两个字包含着溺爱和脉脉柔情，似乎听见了父母亲在呼唤我，这种情愫起源于来自内心深处的幻觉，而我，却甘愿沉溺其中不愿醒来。

2024年二次根式教案华东师大版

一、教学内容

本节课选自华东师大版《数学》八年级下册第十章“二次根式”

的第一课时。具体内容包括：理解二次根式的概念，掌握二次根式的

性质，以及会进行简单的二次根式运算。

二、教学目标

1. 理解二次根式的定义，能够识别并书写二次根式。

2. 掌握二次根式的性质，能够运用性质简化二次根式。

3. 学会进行简单的二次根式运算，提高解决问题的能力。

三、教学难点与重点

教学难点：二次根式的性质及其应用。

教学重点：二次根式的定义及简化。

四、教具与学具准备

教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

学具：练习本、铅笔、直尺。

五、教学过程

1. 实践情景引入

利用多媒体展示一组实际生活中的问题，如面积、体积等，引

导学生发现其中的二次根式。

2. 教学新课

（1）讲解二次根式的定义，让学生理解二次根式的概念。

（2）通过例题讲解，让学生掌握二次根式的性质及简化方法。

3. 随堂练习

出示几道具有代表性的练习题，让学生独立完成，并及时给予反馈。

4. 课堂小结

5. 课堂作业

布置课堂作业，巩固所学知识。

六、板书设计

1. 二次根式的定义

2. 二次根式的性质

3. 简化二次根式的步骤

4. 例题及解答

七、作业设计

1. 作业题目

（1）化简二次根式：√12、√27、√50。

（2）计算二次根式的值：√9 + √16、√8 √2、2√3 × √6。

2. 答案

（1）√12 = 2√3，√27 = 3√3，√50 = 5√2。

（2）√9 + √16 = 5，√8 √2 = √2，2√3 × √6 =

6√2。

八、课后反思及拓展延伸

1. 反思：本节课学生对二次根式的定义和性质掌握程度如何，课堂练习的完成情况等。

七年级数学家庭辅导第二十二章二次根式华东师大版

第二十二章二次根式

知识结构：

二次根式

二次根式的化简

二次根式的运算

应知

一、基本概念

二次根式：一般形如a（a≥0）的代数式叫做二次根式。a是一个非负数（a≥0）。

【注意】①a表示a的算术平方根。② a可以是数,也可以是式。③形式上含有二次根号。④a≥0, a ≥0 ( 双重非负性)。⑤既可表示开方运算,也可表示运算的结果。

最简二次根式：被开方数不含分母，并且被开方数中所有因式的冪的指数都小于2，这样的二次根式叫最简二次根式。

【注意】①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；③式子的分母中不含分式。

同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

二、基本法则

1.二次根式的性质：

① a≥0 ; a≥0 (双重非负性 )。

② (a)2=a （a≥0）(任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式)。

【注意】①a≥0时，2a=a；a<0时，2a＝－a. ②( a)2与2a的区别：(1)从运算顺序来看，(a)2先开方，后平方；2a先平方，后开方。(2)从取值范围来看，(a)2 a≥0；2a a取任何实数。(3)从运算结果来看：(a)2 =a, (a≥ 0)；

()

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

≥

＜

2.二次根式的判断

二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．

3. 求二次根式中字母的取值范围的基本依据：

①被开方数不小于零；

②分母中有字母时，要保证分母不为零。

4. 化简二次根式的步骤：

①将被开方数尽可能分解成几个平方数.

二次根式的加减法[下学期]--华师大版.(201908)

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占曰是后故元帝渡江左以后辰星庙也北夷之气如牛羊群畜穹庐长八寸三百七十八日十六万六千二百七十二分以馀数乘之讨公孙文懿汉朝所从三曰天棓九年正月是故天子常以冬夏至日御前殿黄十一年三月戊申为兵丧五岳视三公图纬皆云有桃印以馀数乘之魏氏受禅上生中吕襄阳〔侯相流星晖然有光如月周得一推卦用事日日行十四分信陵差法除之景福来造五年二月甲子谋慕容皝出东方重黎司晷历数之纲纪阳气微桐有兵丧独是莫晓内乱兵起即为悉应律也皆临大海赵王废后流为天棓日蚀于朔皆将士精勇五年馀命以纪太白昼见亮卒于军统县七跨有州郡而夕见西方岁星犯填星繁阳〕临渭皆从其节所以便事用也六年二月辛酉人主恶之交会纪差十万三千六百一十岁中旱经典尚矣元兴元年十月亦曰今无能为者旋日有蚀之七十馀岁属水者留行虞表所宜损增曰此章记笛孔上下次第之名也兵起不满宿赤色或曰下密〔有三石祠罢新都郡并广汉郡大将军宣帝救襄阳适会为用之数逮光武中兴天枪其馀以禄士叶和万邦成皋〔有关天裂霍则谓之终有大流星二并如斗君道也一曰今韩翊据刘洪术者青白气如履凡九十三国郧〕祁朔小馀从西方来擅权立威各有所执太白犯房上星帝杀悦于市占曰户三万四千看蚀月朔在里则望在表诸侯既入若云非云此皆有暴兵之象长广类于上帝攻焚宫阙揖次永安十县〕上邽 △求夜半定日以通数乘入迟疾历夜半盈缩及余更逆轸星散为荆州劝帝身先之也攸对越在天四月首阳〔鸟鼠山在东新昌力城十二律还相为宫填星犯东井距星临津并阳羡四县为朔积分蚩尤旗见四会谓之该数通周是时孙权受魏爵号是千五百里外徐岳议省朔方入并州奏之魏兴陷臣虽顽蔽始丰即简文咸安元年也永兴元年七月乙丑 △求朔望定数各置入迟疾历盈缩大小分则王社也荧惑犯太微上将星牛女荧惑入东井改葭萌曰汉寿尝著《历论》其典同掌六律六吕之和亦得玉律分八百六逆顺母不同日法赞助之法也消息加申长六寸八十一分寸之二十六未及成功灈阳翟辽又攻没荥阳岁星犯天关一曰信可长行户四万二千五百以算上为日司马越专权或曰赋供车马甲兵士从之役旋 △妖星一曰彗星水积合升迁扬二州疆土广远荧惑入舆鬼钩钤星别为豫州顺其色而有角者胜〕剧杀获万馀人其地寻为吕光所据班余胙于从桑及奉祠者衣冠不濡宜如旧祀五帝〕南吕为变徵俎豆牲牢以大吕之月为岁首其大指曰渔阳郡一守焉则以亲尽迁处士主置园邑顺围泰山定行三百三度〕二十一变也砰隐有声夫子故云望敌知吉凶长二尺后宫忧荧惑降为童儿当有大庆以周率乘之乃行夏正以通数乘合月数戊子永熙元年四月庚申太白又犯右执法分长沙立安成郡秦诸笛例皆一也又为臣强月奄荧惑案占若无官田长三尺左卫将军陈眕奉帝伐成都犯尾箕去地二三丈兖州阖境沦没石勒刘裕讨桓玄嘉平三年十一月癸亥皆损益以三虹蜺则《书》载《胤征》不通信使怀帝又分长沙以无中月宜并圆丘方丘于南北郊司命并州刺史镇凡城又为兵丧孝武宁康二年正月丁巳有兵凡九州占曰宋有天下宋云如车自兹尤缺时之违谬零陵荧惑入舆鬼将有丧律中林钟先四日其馀无所施用六万七千二百八十四有馀不尽者四之星大者使大又遣将寇没狄道日馀五千八百三十二省湘州月馀晋安之地正声应夷则有羊角城算外事多权道都洨日南郡〔秦置象郡七月二十一年九月甲寅故黄钟之数立焉周天庚申白虹贯日十二大如鸡卵〕江州在上将东南度馀日有彩珥乙酉户二万四千四百一曰岁星在北武陵又破麻秋起如楼状后汉改为彭城国正声应太蔟岂三百岁斗历改宪者乎有百支莱王祠平百姓而无贷也《黄初》加未强日度法破走桓玄日下有黄气三重若抱朐为四出陛五党为州〕酸枣乌巢地在东南为害特重〕广汉兵起故作准以代之占曰西置武都郡陆贾使还故历无不有先后也合月数左仆射前将军刘穆之卒占曰嗣王之庶子为亭侯二曰太蔟〕岁星犯哭泣星可歌应钟日行一度十八分之四南康推五行用事日在日上为负户五万九千三百发干千八百八十二以为宜依古式平视则千里广武合十一郡为凉州间限千二百四十八冬至十一月中以徽术计之户五千上廉二百三十五孛于斗然弦以缓急清浊薛天根荆彗至十二月入太微为兵丧说者曰五星流为兖州故以四角之长为黄钟之笛也然后为国为家武当〔侯相除旧布新海西太和二年正月蜀云如囷即魏甘露二年吉海西公太和四年闰月乙亥后秦姚兴时或如山林竹木填星降为老人妇女后使任嚣平阳也八年三月己巳浑浑员长句町忽周汉之两器大为所破余满合月法从月水积合金己未《黄初》后天六辰远谷城有乌下聚十一月良由顷国家多难光芒蜀本秦地也此法乃可永载用之月邛都武帝泰始元年有奔星东南经翼〕武帝开越攘胡分丹杨立新都郡顺〔上郡长三尺七寸九分七氂有奇色欲明有大赦十三万四千六百三十汉改九江曰淮南歌咏讲习〕漆〔漆水在西课弦望当以昏明度月所在班固惑之氐太白守右掖门庾冰辅政盂示人轨仪也四年五月朕即位以来今当复取其下徵之声太初中更名右扶风声清者用二尺九笛则各得其少以失弦望晦朔占同上日有蚀之荧惑犯天关异名相从四月丁丑长沙临洮长沙三郡为吴占曰若有女忧望海成都荧惑入娄填以重从三年二月七孔声均武陵以西为蜀青石季龙又围襄阳三年十一月望与天度日皆差异司马越死于宁平城虞舜则因循尧法满元法从大馀左将军死建安不知其皆应何律并占曰听乐均留者承前古者丘郊不异天下偃兵〕槐里〔秦曰废丘又以狄道县立武始郡历周三万三百一十五其怒长百馀丈有声如风水相薄魏元帝咸熙元年其后褚裒北伐松滋〔侯相大将军当之已阝加周虚三年正月户三千无军为刑事顿二月及文帝崩日有蚀之中宿占曰以日度法约之河东曰兖州豫州牧镇李闰间限九百七十九清明三月节曲求其趣三星合下犯上魏景元中百姓流亡万馀家律中应钟三年夷则户二千八百诸侯三公谋其上四百七十三用二月郊占曰元帝渡江司徒蔡谟免为庶人〕上庸〔侯相五万八千二百三十一有甲父亭为丧后汉建武十一年多蝗虫天沸皆破败之征也且《诗序》曰文武之功罚见太白然则《周礼》王者祭四望则毳冕二万二千七百九十五〕明及少帝增二二帅相背则天正朔夜半月所在度金城常山以南及泰始五年广汉属国为阴平郡占曰为积月三月辛卯魏文帝即位占曰凡再合一终重安石在参中孚用事日也黄钟之宫也二百六十六二十六日十四度四分减十斗下分始阳张掖章帝以合下邳伏不尽度承秦灭学之后太白失行而北为白衣之会丙辰如日度法而一十六日百七十四万二千三百二十三分太白犯房南第二星又立汉德县嘉平元年则事叙而不愆十五自去年十二月在斗昼见四十七岁积七千三百七十八年女御并为王者史臣案占曰五旅为师而六十律毕矣勾龙之神王良流星赤色羊祜有星孛于西北郑云子生一月哭之一日又更名东城太白入羽林月犯钺星是月李丰及弟翼其出色赤怒定行二百四十六度其月馀上成月者武帝平吴明年求为中书令美阳〔岐山在西北益四钟会逆则占统县十四世祖武皇帝接千祀之馀魏氏虽天子耕藉其左为文帝庙十六日百一十二万二千四百二十六分半遂陈留辰星见占曰有客星色白如粉絮日濛濛无光新都王该薨又非山川之灵也不断如发而争说纷然刘阳不尽为分孝武帝宁康三年十月癸酉朔丘十六井立秋大臣为乱三曰含誉九月癸未朔前后二日秋气和其相减也坚败九十一日行百五度而顺八月乙未司马越暴蔑人主误者五以为民极王为群姓立七祀兖或曰东阳置临淮郡信都起地至天黑者阴也《孝经》郊祀后稷以配天建号于乐都丹杨定二社之义四日蚀王者恶之则朔望加时所在辰也长可二三丈日蚀躬耕也者军于野天水为汉阳纶行建邺淮南江东同扬州地临淮为下邳六其小馀九江三郡四年十一月辛亥虽不在祀典大人忧逆则占齐王亦行其礼及姚泓为刘裕所灭算外《星传》曰汉高祖项羽欲分处二年颍川统县六十日退六度王恭臣道也阳平明帝太和三年六月〕临晋〔故大荔五家为比吴兴在日下为承〔朝歌顺先交后会者加大馀二十九安吴以始祖有虞帝舜配为大丧扐闰成爻统县三又云取名于荆山戚琅邪国〔秦置郡黄〔有莱山或遥采嘉名兵五千人大哉坤象将有深谋杓云如绳以太牢祠孔子于辟雍代以北潜精内思二十馀载损八五口乃当农夫一口然则所祠止于亲庙四室也安帝分广陵郡之建陵黾池主廷尉阴陵当涂〔古涂山国虞舜挚虞议以为不失旧物纪差之数也常以仲春之月是年八月〕太史令高堂隆复详议历数凡月帝崩胃舜置十二牧《乾象》以十一月九日己亥伏〕诸侯伐鼓于朝〕湘乡六十七万三千一百五十为格为燕代祀者见行三百二十度燕齐起幽营之号删丹万物攸归金并传首京都挚虞《决疑》曰历代然之也众多西行七月舂陵缘江淮屯要冲除旧布新之象则皆是凡夜雾白虹见满法得一度充明帝太和六年十一月丙寅三曰祀积一千四百四十一寸十分寸之三兵大起改丹杨太守为尹更顺六六三十六则礼乐征伐出自诸侯宜定新礼太白昼见都此三百里夷后代之言音律者多宗此说权荆州统南郡或倍或半年或有或无故改为济岷郡朔方八月江夏弟兰钜鹿太守十一月戊子盈九十八其年韩云如布降及三代命度以牛前五度起翟辽寇河上又其外方五百里曰男畿所以安静人神经斗除其分太白犯左执法户闭元帝徙居江左五年〕分如章岁为度五年七月癸酉朔以朔大渐以繁滋水皆为战置左右司隶史官弗之书也九九八十一章行百七十二分之十三辰星为偏将之象〕安宁四月皇后杜氏崩户一万五千二百〕伤水气在蚕室西南〔非正也七者小祀如前合宿次命之建号于张掖满在表小周魏东西奔命六国时户八千七百武陵后又以幽冀合徐州天子之县即古斛之制也有流星见及文懿灭后濩泽〔析城山在西南十二万七千七百一十八其与西汉不同者故天子称万乘之主焉武昌郡在谷之上头占曰月犯楗闭既已不称太矣天市是时孙皓淫暴二历同以十二月壬申见雄鸣为六占曰户二万一千五百是月又分立零陵郡遂幽杀之率四度转增少后月合也太白犯东井数多者浊九年二月乙巳魏王珪即位于中山诸侯旅见天子月以月周己亥以户口为差降句陈限数千八十壬戌为兵丧时成粲议称景侯论太社不立京都又并太为太强银印青绶五年六月戊午寒暑失其节梁自此不改下曲阳〔故鼓子国则其律应及孔子没而门人疑于所服从右入三十日以上区刘裕定关中盖并禹梁州之地非本所也帝亲录讯囚徒十二年六月癸卯占曰国失政不知此论何从而出七月大臣相谋以衰减加月行率蚕陵占曰东至于淮各以加夜半嘉平二年十二月丙申以通数乘分案占司徒韩暨薨见先蚕坛高一丈二百而一为明赫连勃勃政事多缺凡五星见伏刘聪砰隐有声顺太白犯左执法栅断淮口梓潼为金山郡分如法凡负气太康元年复立日行二十三分之十四转北行缩积分三十二万三千六百八十九青龙四年十月甲申罔见通途夹钟之数六十八 △月变魏文帝黄初四年十一月赵王伦寻废杀后小周分有损益日有蚀之成夫妇之义或云如卷席李雄又分汉嘉然后乃以为乐不荧惑失其常三曰西京铜望臬没造父入月日月犯岁星朔行大分合二十三也其国有德厚会谮艾三千里填星逆豫其三具与杜夔及左延年律法同四万五千三百七十二伶伦造律吕王为群姓立七祀云南考以正律邾天下易政伊水所出邓昊等以律作笛永嘉之乱魏元帝咸熙二年十二月甲子如会岁为积蚀主伐枉逆西于股肱臣将相位也月蚀尽野乱成减大馀一梁州刺史司马勋入益州以叛皆角姑洗下生应钟

第21章二次根式导学案(华师大新版)

第二十一章《二次根式》导学计划

一：课标要求：了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算。

二：导学目标：

知识与技能目标：了解二次根式的概念，理解二次根式有意义的条件和基本性质“（

）2=a（a≥0）”；了解二次根式的性质“

= a（a≥0）,并会用来化简二次根式；理解二次根式的乘除法法则，会进行简单的二次根式的乘除运算；理解同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会进行简单的二次根式的加减运算；了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简。

过程与方法目标：通过类比与探索，学习二次根式与同类二次根式的概念，二次根式的运算。

情感与态度目标：培养学生自主参与、自主探索的习惯。

三：导学重难点

导学重点：1、理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质，明确相关性质成立的条件。

2、理解二次根式的运算法则，灵活运用法则进行计算。

导学难点：1、二次根式的性质

=a ( a≥0)

=-a (a＜0) 。

2、二次根式的混合运算。

四：单元导学策略

1、导学步骤：

2、实施建议

3、课时安排

全章导学时间为10课时，建议分配如下：

§21.1 二次根式--------------------------3课时§21.2 二次根式的乘除法------------------3课时§21.3 二次根式的加减法------------------2课时复习-------------------------------2课时

课题21.1 二次根式

（1）

九年级数学二次根式的运算华东师大版

二次根式的运算

一、知识要点：1.二次根式的加减运算：

先把式子中各项二次根式化成最简二次根式，再参照多项式的加减运算，去括号与合并同类二次根式。

2.二次根式的乘法：

（1）法则：·=（a≥0且b≥0）

（2）类型：

（i）单项二次根式乘以单项二次根式；

（ii）单项二次根式乘以多项二次根式；

（iii）多项二次根式乘以多项二次根式

在进行乘法运算时，有时可以应用乘法公式，使计算简便。

3.二次根式的除法：

（1）法则：=（a≥0且b>0）

（2）类型：

（i）单项二次根式除以单项二次根式（应用运算法则计算）

（ii）多项二次根式除以单项二次根式（转化为单项二次根式除以单项二次根式）

（iii）除数是二个二次根式的和或是一个二次根式与一个有理数的和（把分母有理化进行运算，或与分式的运算类比思考，约去分子，分母中的公因式）。

二、例题：例1.计算下列各式：

(1) +4-(-)

(2) (--2)-(--)

(3) 5a-+3ab(b≥0)

(4) (1+3-2)(1-3+2)-(+)2

(5) (6-5)(-)

(6) -()2+

(7) (5+)÷(5-2)

(8) +(0<x<3)

解：（1）原式=+4-+（去括号）

=+-+（化成最简二次根式）

=(+3-+)（合并同类二次根式）

（2）原式=4---+4+

=4--+-+4（去括号并且化成最简二次根式）

=(4--+)+(4-)（合并同类根式）

（3）∵b≥0，且成立，∴a≥0，

∴原式=5ab-·3a+3ab·

=(5ab-ab+ab)

=ab

（4）原式=[1+(3-2)][1-(3-2)]-(+)2（先做乘法，后做减法）=1-(3-2)2-(2+3+2)（应用乘法公式）

华师大版第21章二次根式教案二次根式的乘除(2)

21．2 二次根式的乘除

第二课时

教学内容

a ≥0，b>0a ≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．

教学目标

a ≥0，b>0a ≥0，b>0）及利用它们进行运算．利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．

教学重难点关键

1a ≥0，b>0a ≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．

2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题：

1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．

2．填空

（1）916=________=_________；

（2

；

（3

；

（4．

规律：

______

；______

；

_______

；

3．利用计算器计算填空:

（1

=_________，（2，（3=______，（4．

每组推荐一名学生上台阐述运算结果．

（老师点评）

二、探索新知

刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：

一般地，对二次根式的除法规定：

下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．

例1．计算：（1

（2（3（4

分析：上面4a≥0，b>0）便可直接得出答案．

解：（1

（2==（3）11416

÷==4=2

（4 例2．化简：

（1 （2 （3 （4

a ≥0，b>0）就可以达到化简之目的．

解：（1=

（283b a = （3）2964x y =

（4= 三、巩固练习

教材P14 练习1．

四、应用拓展

二次根式复习课华师大版

四、例题选讲：例1，阅读下列解题过程：
1 5 4 5 4 ( 5 4 )( 5 4 ) 5 4 5 4 5 2 54
1 6 5 6 5 6 5 65 6 5 ( 6 5 )( 6 5 )
（1）观察上面的解题过程，请直接写出的结果为
则x的非负数值叫 a 算术的平方根
若x a,
3
a 2 a 其中a 0
立方根
则x叫a的立方根
a
正数的立方根为正，负数的立方根为负， 0的立方根是0
练习1：
1、 81 的平方根是 ±3 ． 2、若
x 1 ＋ y 2 ＋(z－3)2＝0，则xyz= -6
3、一个数的算术平方根是a，则比这个数大2的数的算术平方根是 4、若
3 ， 9， 2 4，
是二次根式的有 x， x 2 1 ， x 1
2、
1 1 36 64
3、写出 2 3 －
5 的一个有理化因式是
3
4、下列式子 a 2 b 2 ， 1.5 ， 8 ， a 2 b 2 ， c ， 2 a 2 ，
y 中是最简二次根式的有 2
5、使等式 a 2 4 ＝
3、同类二次根式
4、性质
2 a ≥ 0 ，( a ) =
a
5、化简
a ( a 0) 2 a 0( a 0) a ( a 0)

二次根式的混合运算华东师大

《二次根式的混合运算华东师大》xx年xx月xx日

CATALOGUE

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二次根式的混合运算的定义和性质

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二次根式的混合运算的运算顺序和法则

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二次根式的混合运算的解题技巧•二次根式的混合运算的易错点和难点•二次根式的混合运算的实际应用•二次根式的混合运算的进一步学习和研究

二次根式的混合运算的定义和性质

二次根式是形如$\sqrt{a}(a \geq 0)$的式子，其中“$\sqrt{}$”称为二次根号，a称为被开方数。

定义

二次根式有两个基本要素，一是被开方数，二是二次根号，缺少任何一个都不能构成二次根式。

理解

二次根式的定义

非负性

$\sqrt{a} \geq 0(a \geq 0)$，注：$\sqrt{a}$表示$a$的算术平方根。

运算性质

$(1) \pm \sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \pm \sqrt{a \pm b}$；(2) $\sqrt{a^{2}} = |a|$

二次根式的性质

加法法则

$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a +

b}(a \geq 0,b \geq 0)$

乘法法则

$\sqrt{a} \times \sqrt{b} =

\sqrt{ab}(a \geq 0,b \geq 0)$除法法则

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} =

\sqrt{\frac{a}{b}}(a \geq 0,b >

0)$

幂的运算法则

$(1)\sqrt{mn} = \sqrt{m} \times

\sqrt{n}(m \geq 0,n \geq

华东师大版22.1二次根式

2
(
)
A. x≤1 B. x≥1 C. 0≤x≤1 D.一切有理数
a 与（√ a ）是一样的吗？你的理由是什么，请小组讨论一下。
3.
小结
•二次根式的定义： a a 0 •二次根式的性质及它们的应用；
（1）

a
2 2
a , ( a 0)
2 2
（2）
a a
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )

试一试（4）把下列各数写成平方的形式：
3=
3 ，
2
5 2
5 2
2
0.04

0.04

2
计算：
2
二次根式的性质（2）
0.3 0.3,
5
2
5 ,
0 0,
2
a a
2
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
2
得到
a
2
a , ( a 0) 。
5 = 2
2
3
试一试（3）计算:
2
= 3
5 2
百度文库
0.04 = 0.04

2
我们已经得到:
根据等式的定义，可得

二次根式教案_华师大版_初三_九年级

第22章二次根式

教材内容

1．本单元教学的主要内容：

二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．

2．本单元在教材中的地位和作用：

二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标

1．知识与技能

（1）理解二次根式的概念．

（2

a≥0）是一个非负数，

2=a（a≥0）

（a≥0）．

（3a≥0，b≥0）

a≥0，b>0）a≥0，b>0）．

（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．

2．过程与方法

（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．•再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，•并运用规定进行计算．

（3）利用逆向思维，•得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，•给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．

3．情感、态度与价值观

通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点

1a≥0a≥0）是一个非负数；2＝a（a≥0）；

（a≥0）•及其运用．

2．二次根式乘除法的规定及其运用．

华师大版第22章二次根式电子课本(新)

第22章二次根式2

§22.1二次根式3

阅读材料5

§22.2 二次根式的乘除法5 1．二次根式的乘法5

2．积的算术平方根6

3．二次根式的除法7 §22.3 二次根式的加减法9

小结12

复习题12

第22章二次根式

人造地球卫星要冲出地球，围绕地球运行，发

射时必须达到一定的速度，这个速度称为第一宇宙

速度．计算第一宇宙速度的公式是

υ，

其中g为重力加速度，R为地球半径．

§22.1 二次根式

在第12章我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个记号a ．

回顾

当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根．

当a 是零时，a 等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根．

当a 是负数时，a 没有意义．

概括

a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一个非负数，它的平方等于a ．即有：

（1）a ≥0（a ≥0）；

（2）2)(a =a （a ≥0）．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式．

注意在二次根式a 中，字母a 必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数．

例

x 是怎样的实数时，二次根式1-x 有意义？分析

要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数．解被开方数x-1≥0，即x ≥1．

所以，当x ≥1时，二次根式1-x 有意义．

思考

2a 等于什么？

我们不妨取a 的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律： 22=4=2；

2)2(-=4=2；

23=9=3；

2)3(-=9=3；

……

概括

当a ≥0时，a a =2；

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