简单的二阶微分方程
二阶阶微分方程的解法及应用课件
参数法是一种求解二阶微分方程的方法，通 过引入参数，将微分方程转化为关于参数的 常微分方程。这种方法适用于具有特定形式 的一阶和二阶微分方程，特别是当微分方程 的解与某个参数有关时。通过求解关于参数 的常微分方程，我们可以找到微分方程的解
二阶阶微分方程的解法及应用课件
目 录
• 二阶阶微分方程的基本概念 • 二阶阶微分方程的解法 • 二阶阶微分方程的应用 • 二阶阶微分方程的数值解法 • 二阶阶微分方程的边界值问题
01 二阶阶微分方程的基本概 念
二阶阶微分方程的定义
二阶阶微分方程是包含两个未知函数 和它们的二阶导数的方程。
二阶阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y', y''...) = 0，其中 F 是一个给定的函 数，x 和 y 是未知函数及其导数。
供需模型
01
二阶微分方程可以用来描述商品价格随时间和供需关系的变化
。
投资回报
02
在金融领域，二阶微分方程可以用来预测股票价格的变化和投
资回报。
经济增长
03
在研究经济增长时，二阶微分方程可以用来描述人均收入随时
间的变化。
在工程中的应用
控制系统
在自动化和控制工程中，二阶微分方程被用来描述系 统的动态响应和稳定性。
一维边界值问题
一维边界值问题是指求解一个关于一个自变量的二阶微分方程，同时给出该自变 量在两个特定点的取值条件。
一维边界值问题通常用于描述一个物理系统在一维空间中的行为，例如弦的振动 、波的传播等。解决这类问题通常需要使用打靶法、有限差分法等数值方法。
多维边界值问题
多维边界值问题是指求解一个关于多个自变量的二阶微分方 程组，同时给出这些自变量在多维空间中的边界条件。
二阶常系数微分方程
一、二阶常系数齐次线性微分方程
由上面分析可知，要求二阶常系数齐次线性微分方程的通解，关 键是寻找它的两个线性无关的特解.为此，首先找一个函数y，使 y″+py′+qy=0(p,q为常数).而指数函数erx(r为常数)就具备这种性质， 因为erx的一阶、二阶导数都是erx的常数倍，也就是说，只要适当选取 r，就可以使erx满足方程y″+py′+qy=0.于是，设y=erx (r为待定常数) 为方程y″+py′+qy=0的特解，将y=erx,y′=rerx,y″=r2erx代入方程中得 erx(r2+pr+q)=0.
一、二阶常系数齐次线性微分方程
定理6 如果y*是非齐次方程(12-20)的一个特解，而Y是其对应齐 次方程的通解，则y=Y+y*是非齐次方程(12-20)的通解.
证 因y*是非齐次方程(12-20)的一个特解，所以 y*″+py*′+qy*=f(x).又因Y是其对应齐次方程的通解，所以 Y″+pY′+qY=0.于是，对y=y*+Y有
y″+py′+qy=(Y+y*)″+p(Y+y*)′+q(Y+y*) =Y″+pY′+qY+y*″+py*′+qy* =0+f(x)=f(x) 所以，y=Y+y是非齐次方程(12-20)的解.又因为Y中含有两个任意常数， 从而，y=Y+y中也含有两个任意常数，所以y=Y+y是非齐次方程(1220)的通解.
定理5
如果y1与y2是齐次方程y″+py′+qy=0的两个特解，而且y1/y2不等 于常数，则y=C1y1+C2y2是齐次方程的通解，其中C1,C2为任意常数.
二阶常系数微分方程解法
二阶常系数微分方程解法微分方程是数学中一个非常重要的部分，它描述了很多现实生活和科学问题。
其中，二阶常系数微分方程是应用广泛的一种类型的微分方程，其解法也相对较为简单，下面将详细介绍解这类微分方程的方法。
一、二阶常系数微分方程的定义和形式二阶常系数微分方程指的是形如 y''+ay'+by=f(x) 的微分方程，其中 y、f(x)均为函数，a和b均为常数。
这类微分方程中，y”表示 y 对自变量 x 的二次导数，y'表示 y 对 x 的一次导数。
二、特征方程法解二阶常系数微分方程最常用的方法是特征方程法。
根据 y=Ae^{mx} 这种形式，我们可以将 y" 和 y' 带入 y 中，得到以下等式：(Ae^{mx})''+a(Ae^{mx})'+bAe^{mx}=0化简后可得：m^2+am+b=0以上所得到的方程式称为特征方程，解特征方程的根 m_{1}, m_{2} 就可以得到二阶常系数微分方程的通解。
1、特征方程有两个不相等的实根如果特征方程有两个不相等的实根 m_{1} 和 m_{2}，那么通解为：y=C_{1}e^{m_{1}x}+C_{2}e^{m_{2}x}其中，C_1、C_2 为任意常数，分别由初始值条件所决定。
2、特征方程有两个相等的实根如果特征方程有两个相等的实根 m，那么通解为：y=(C_1+C_2x)e^{mx}其中，C_1、C_2 为任意常数。
3、特征方程有两个共轭复根如果特征方程有两个共轭复根α+iβ 和α-iβ，那么通解为：y=e^{αx}(C_1\cos βx+C_2\sin βx)其中，C_1、C_2为任意常数。
三、拉普拉斯变换法除了特征方程法外，拉普拉斯变换法也可以用来求解二阶常系数微分方程。
我们将 y、y' 和 y" 进行拉普拉斯变换，得到：L\{y''\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)L\{y'\}=sY(s)-y(0)L\{y\}=Y(s)将以上三个式子带入二阶常系数微分方程中，消去 Y(s)，就可以得到：s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)+a(sY(s)-y(0))+bY(s)=F(s)其中 F(s) 为右侧函数的拉普拉斯变换。
二阶微分方程数值求解
二阶微分方程数值求解
要数值求解二阶微分方程，首先需要将其转化为一个一阶微分方程组。
假设待求解的二阶微分方程为：
y''(x) = f(x, y(x), y'(x))
将其转化为一阶微分方程组：
z(x) = y'(x)
z'(x) = f(x, y(x), z(x))
然后，可以选择数值求解方法，如欧拉方法、改进的欧拉方法、四阶龙格-库塔方法等等，对这个一阶微分方程组进行数值求解。
以欧拉方法为例，假设已知初始条件 y(x0) = y0，z(x0) = z0，
选择步长 h。
则可以按照以下步骤进行数值求解：
1. 初始化步数 n = 0，设置初始条件 y(x0) = y0，z(x0) = z0。
2. 计算下一步的值：y(x + h) = y(x) + h * z(x)，z(x + h) = z(x) +
h * f(x, y(x), z(x))。
3. 将 x 增加 h，即 x = x + h。
4. 将步数 n 增加 1，即 n = n + 1。
5. 重复步骤 2-4，直到达到目标位置的 x 值（如终点 x 结束条
件 x >= x_end）。
需要注意的是，数值求解方法的精度和稳定性都会受到步长的影响，过大的步长可能导致数值不稳定，过小的步长可能导致
计算量过大。
因此，选择合适的步长是很重要的。
值得一提的是，当二阶微分方程为边值问题时，可以采用有限差分法、有限元法等数值方法进行数值求解。
这些方法会更为复杂，并涉及到边界条件的处理。
二阶微分方程
解法
(r 2 pr q ) e r x 0 r 2 pr q 0
上述方程称为微分方程的特征方程, 其根称 为特征根. 求解常系数线性齐次微分方程 转化 求特征方程(代数方程)之根
y p y q y 0 ( p, q为常数 )
特征方程: r 2 pr q 0 , 特征根 实根 通 解
定理2 如果函数 y1 与 y2 是二阶齐次线性方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个线性无关的特解， 则 y = C1 y1 + C2 y2
是该方程的通解，其中 C1, C2为任意常数.
例 验证 y1 cos x, y2 sin x 是方程 y y 0 的 两个解，并写出该方程的通解
y p ( x) y q ( x) y 0
的两个解, 则 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)也是该方程的解.
(叠加原理)
注意 叠加起来的解从形式上看含有 C1 与 C2 两 个任意常数，但它还不一定是方程的通解．
例如
y1 2 y2
定义 设 y1 ( x), y2 ( x),, yn ( x) 是定义在区间I 上 的n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
例1 写出下列方程的特解形式.
例2 求微分方程
的通解
思考题
1 设函数 y(x) 满足
y(0) 1, 求 y(x)
2 求以 y (C1 C2 x x 2 )e 2 x 为通解的线性微分 方程（其中C1, C2为任意常数）
* * 且 y1 与 y2 分别是
y + p(x)y + q(x)y = f1 (x)， 和 y + p(x)y + q(x)y = f2 (x)
二阶微分方程
是线性非齐次方程的解， 这说明函数 y = Y + y* 是线性非齐次方程的解， 是二阶线性齐次方程的通解， 又 Y 是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常 数，故 y = Y + y* 中含有两个任意常数 即 y = Y + y* 中含有两个任意常数. 的通解. 是线性非齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = f (x) 的通解 ″ ′ 求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为： 求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为： (1) 求线性齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = 0 的线性 ) ″ ′ 无关的两个特解 y1 与 y2， 得该方程的通解 Y=C1 y1 + C2 y2. (2) 求线性非齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = f (x) 的 ) ″ ′ 一个特解 y*. 那么，线性非齐次方程的通解为 y = Y + y*. 那么，
1.二阶常系数线性齐次方程的解法 .
④ 考虑到左边 p，q 均为常数， 我们可以猜想该方程 ， 均为常数， ′ 形式的解， 为待定常数. 具有 y = erx 形式的解，其中 r 为待定常数 将 y′ = 代入上式， rerx, y″ = r2erx 及 y = erx 代入上式，得 ″ erx (r2 + pr + q) = 0 . ⑤ rx 是上述一元二次方程的根时， 即 r 是上述一元二次方程的根时， y = e 就是 式的解. 方程⑤称为方程④ 特征方程. ④式的解 方程⑤称为方程④的特征方程 特征方 程的根称为特征根 特征根. 程的根称为特征根 由于e 由于 rx ≠ 0，因此，只要 r 满足方程 ，因此， r2 + pr + q = 0， ， 设二阶常系数线性齐次方程为 y″ + py′ + qy = 0 . ″ ′
二阶电路微分方程
二阶电路微分方程电路是电子学的基础，而二阶电路微分方程是描述电路中电压和电流随时间变化的重要工具。
本文将通过生动、全面的方式，详细介绍二阶电路微分方程的相关知识，并提供一些指导意义。
首先，我们需要了解什么是二阶电路和微分方程。
二阶电路是指电路中含有二阶导数的电压和电流成分的电路。
而微分方程是描述函数导数与函数自身之间关系的方程。
在电路中，我们通过电压源和电流源来驱动电路元件，如电阻、电容和电感等。
这些元件在电路中的组合形成了各种各样的电路结构，包括LC电路、RL电路和RC电路等。
当电路中的元件数量增多，结构复杂度增加时，我们需要使用二阶微分方程来描述电路的动态行为。
二阶电路微分方程的一般形式为：\[L\frac{{d^2q(t)}}{{dt^2}}+R\frac{{dq(t)}}{{dt}}+\frac{{ 1}}{{C}}q(t)=V(t)\]其中，\(L\)代表电感的值，\(R\)代表电阻的值，\(C\)代表电容的值，\(q(t)\)代表电路中的电荷，\(V(t)\)代表电路中的电压源。
这个微分方程描述了二阶电路中电路元件之间的电压和电流的动态变化关系。
通过求解这个微分方程，我们可以获得电路中电压和电流随时间的变化规律。
解二阶电路微分方程的方法有多种，常见的有物理方法、拉普拉斯变换方法和复数方法等。
不同的方法适用于不同的电路结构和求解要求。
在解法选择上，我们可以根据实际情况和数学技巧进行抉择。
在实际应用中，求解二阶电路微分方程可以帮助我们分析电路的稳定性、频率响应和系统动态特性等。
通过对电路的动态行为进行研究，我们可以优化电路设计、改善电路性能，甚至可以实现系统的自动控制和信号处理等功能。
总结起来，二阶电路微分方程是分析电路动态行为的重要工具。
通过求解这些微分方程，我们可以了解电路中电压和电流的变化规律，并在实际应用中进行电路设计和性能优化。
因此，对于电子工程师和电路设计者来说，掌握二阶电路微分方程的求解方法和应用技巧是非常重要的。
二阶微分方程解法
二阶微分方程解法
1.二阶常系数齐次线性微分方程解法
一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=0。
特征方程
r2+pr+q=0的两根为r1,r2微分方程y”+py’+qy=0的通解。
两个不相等的实根r1,r2，y=C1er1x+C2er2x。
两个相等的实根r1=r2，y=(C1+C2x)er1x。
一对共轭复根r1=α+iβ,r2=α-iβ，
y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)。
2.二阶常系数非齐次线性微分方程解法
一般形式:y”+py’+qy=f(x)。
先求y”+py’+qy=0的通解
y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x)。
则
y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解。
求
y”+py’+qy=f(x)特解的方法:
①f(x)=Pm(x)eλx型。
令y*=xkQm(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Qm(x)的m+1个系数。
②f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型。
令y*=xkeλx ［Qm(x)cosωx+Rm(x)sinωx］［m=max﹛ｌ,n﹜,k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Qm(x)和Rm(x)的m+1个系数。
二阶偏微分方程求解
二阶偏微分方程求解【序言】在数学领域中，偏微分方程是一类重要的数学方程，它们在物理学、工程学、经济学等学科中具有广泛的应用。
其中，二阶偏微分方程是一类形式特殊的方程，它们具有一定的数学难度和挑战性。
在本文中，我们将探讨二阶偏微分方程的求解方法，帮助读者理解和掌握这一重要的数学工具。
【概述】二阶偏微分方程是指具有二阶导数的偏微分方程。
通常表示为：(1) A(x, y)∂²u/∂x² + 2B(x, y)∂²u/∂x∂y + C(x, y)∂²u/∂y² + D(x,y)∂u/∂x + E(x, y)∂u/∂y + F(x, y)u = G(x, y)其中，u是未知函数，A(x, y), B(x, y), C(x, y), D(x, y), E(x, y), F(x, y)是已知的函数，G(x, y)是给定的函数。
解出u(x, y)是我们求解二阶偏微分方程的目标。
【求解方法】在求解二阶偏微分方程之前，我们先来了解一下常见的求解方法。
1. 特征值法特征值法是求解一类特殊形式的二阶偏微分方程的有效方法。
对于形如：(2) A∂²u/∂x² + 2B∂²u/∂x∂y + C∂²u/∂y² = 0的方程，我们可以通过求解其特征方程来求得解。
特征方程一般形式为：(3) Aλ² + 2Bλ + C = 0其中λ是未知参数。
通过求解特征方程所得到的特征根λ可以帮助我们确定对应的解形式。
具体的讨论和求解方法可以见附录一。
2. 分离变量法分离变量法是一种常用的求解二阶偏微分方程的方法，它的基本思想是将未知函数表示为两个独立变量的乘积形式，然后分别对每个变量求解常微分方程。
具体步骤如下：(4) 假设u可以表示为u(x, y) = X(x)Y(y)，即u的形式可以分离变量。
(5) 将假设的形式代入原方程，得到两个关于X和Y的常微分方程。
二阶线性微分方程
6.3 二阶线性微分方程一．二阶线性微分方程解的结构把形如()()()y P x y Q x y f x '''++= （1）的方程叫做二阶线性微分方程。
当()0f x ≡时，上式变成()()0y P x y Q x y '''++= （2）方程（2）叫做方程（1）对应的二阶齐次线性微分方程。
当()0f x ≠时，方程（1）叫做二阶非齐次线性微分方程。
先讨论二阶齐次线性微分方程解的结构：定理1 若y 1和y 2是二阶齐次线性微分方程的解，则其线性组合1122C y C y +也是二阶齐次线性微分方程的解。
其中12,C C 是任意常数。
（证明略）如：可以验证函数2312,x x y e y e ==都是方程560y y y '''-+=的解，2312x x y C e C e =+也是这个方程的解，并且是这个方程的通解。
还可以验证函数2212,3x x y e y e ==也都是方程560y y y '''-+=的解，()222121233x x x y C e C e C C e =+=+也是这个方程的解，但是却不是这个方程的通解（因为123C C +还是一个常数）。
定义 对于两个都不恒等于零的函数1y 和2y ，如果存在一个常数k,使k=12y y ,则称函数1y 与2y 线性相关；否则，称1y 与2y 线性无关。
如：函数2312,x x y e y e ==是线性无关的，而函数2212,3x x y e y e ==是线性相关的。
定理 2 如果12,y y 是二阶齐次线性微分方程的两个线性无关的解，则1122y C y C y =+（12,C C 是两个任意常数）是二阶齐次线性微分方程的通解。
现再讨论二阶非齐次线性微分方程解的结构。
定理3 设y 是二阶非齐次线性微分方程（1）的一个特解，0y 方程（1）对应的齐次方程（2）的通解，则0y y y =+是二阶非齐次线性微分方程（1）的通解。
二阶微分方程解的结构
二阶微分方程解的结构\[y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=0\]的微分方程，其中$p(x)$和$q(x)$是已知函数。
一般来说，二阶微分方程的解的结构通常包括以下几种情况：1.常数解：如果将$y(x)=c$代入方程中，其中$c$为常数，可以发现方程两边都为零，所以$y(x)=c$是方程的一个解。
这种情况通常对应于方程的齐次形式没有$x$的因子。
2.指数解：如果将$y(x)=e^{mx}$代入方程中，可以得到一个关于$m$的代数方程，称为特征方程。
解特征方程可以得到$m$的值，从而确定了指数解$y(x)=e^{mx}$的形式。
这种情况通常对应于方程的齐次形式有$x$的因子。
3.三角函数解：如果将$y(x)=\sin mx$或$y(x)=\cos mx$代入方程中，可以得到一个关于$m$的代数方程，称为特征方程。
解特征方程可以得到$m$的值，从而确定了三角函数解的形式。
这种情况通常对应于方程的齐次形式有$x$的因子。
4.线性组合解：如果已知方程的两个解$y_1(x)$和$y_2(x)$，那么它们的线性组合$y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)$也是方程的解。
这是因为微分方程是线性的，满足叠加原理。
5.特解：对于非齐次形式为$y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x)$的微分方程，如果能找到一个特解$y_p(x)$，使得特解满足$f(x)=y''_p(x)+p(x)y'_p(x)+q(x)y_p(x)$，那么$y(x)=y_h(x)+y_p(x)$就是方程的一个解，其中$y_h(x)$是齐次形式的解。
需要注意的是，在求解二阶微分方程时，常常需要先求解齐次方程的解，然后再通过特解的方法求得非齐次方程的解。
齐次方程的解的结构通常可以根据特征方程$m^2+pm+q=0$的根的情况来分类：1.当特征方程有两个不相等的实根$m_1$和$m_2$时，齐次方程的解为$y(x)=c_1e^{m_1x}+c_2e^{m_2x}$，其中$c_1$和$c_2$为常数。
微积分：二阶微分方程
二、二阶常系数线性微分方程
一般形式 y+by+cy=f(x)
当f（x）=0时，称为齐次的， 当f（x） 0时，称为非齐次的。
1、解的结构 引进微分算子：L[y] y+b y+cy 则方程分别记为
L[y]=f(x)， L[y]=0 性质1
L[cy]=cL[y]，c为常数。
性质2
L[y1+y2]= L[y1]+ L[y2]。
得齐次方程的通解为 y (C1 C2 x)er1x ;
例4 解方程y 6 y 9 y 0. 解 特征方程 r 2 6r 9 0 (r 3)2 0
r1 r2 3 故通解 y (C1 C2 x)e3x .
若有一对共轭复根 ( 0)
特征根为 r1 i , r2 i ,
比较系数
2b0 3,2b0 b1 1.
b0
3, 2
b1
4.
y* x( 3 x 4)e x
2
通解
y
C1e x
C2e2x
x(
3 2
x
4)e x .
例3 求y 3x 1的一个特解。
解 r 2 0 0是重根，
设 y* x 2 (b0 x b1 )e0x 将y *、y *、y * 代入微分方程,
C2 x)e x
]
则，方程组的解为
z (C1 C2 x)e x
y
1 2
(2C1
C2
2C2 x)e x .
例2 解方程组
3
dx
dt dx
dy
dt dy
x y
0 et
(1) (2)
dt dt
微分方程组的应用：
例3 捕食 — 被捕食模型
二阶常系数微分方程总结
二阶常系数微分方程总结二阶常系数微分方程的求解方法及应用引言：在数学中，微分方程是一个方程，该方程中包含了未知函数的导数，是研究自然界现象变化规律的重要工具。
其中，二阶常系数微分方程是一类常见的微分方程，它具有形如f''(x)+af'(x)+bf(x)=0的形式，其中a和b为常数。
本文将从求解方法和应用两个方面对二阶常系数微分方程进行总结。
一、求解方法：1. 特征方程法：特征方程法是求解二阶常系数微分方程的常用方法。
对于f''(x)+af'(x)+bf(x)=0，我们可以假设f(x)=e^(rx)为其解，代入方程后化简得到特征方程r^2+ar+b=0。
根据特征方程的解的不同情况，可以得到方程的通解。
2. 变量分离法：对于一些特殊的二阶常系数微分方程，可以通过变量分离法求解。
首先，我们将f(x)表示为f(x)=u(x)v(x)，然后将f''(x)+af'(x)+bf(x)=0带入，得到一系列关于u(x)和v(x)的方程，通过求解这些方程可以得到方程的解。
3. 初值问题求解：对于二阶常系数微分方程的初值问题，可以通过给定初始条件来求解。
首先，将方程转化为标准形式，然后代入初始条件进行求解，得到满足初始条件的特解。
二、应用：1. 自由振动：二阶常系数微分方程广泛应用于描述自由振动现象。
例如，弹簧振子的运动可以用二阶常系数微分方程来描述，其中a和b分别代表弹簧的刚度和阻尼系数。
通过求解该微分方程，可以得到弹簧振子的运动规律。
2. 电路分析：在电路分析中，电感、电容和电阻的组合经常涉及到二阶常系数微分方程。
通过建立电路方程并转化为微分方程，可以求解电路中电流和电压随时间的变化规律，为电路设计和分析提供依据。
3. 指数增长和衰减：二阶常系数微分方程也可以应用于描述指数增长和衰减的过程。
在人口增长、物质衰变等领域中，经常需要通过求解二阶微分方程来预测趋势和变化。
二阶微分方程解法(参考模板)
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程: 方程 y+py +qy =0称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数.如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解.我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx代入方程 y +py +qy =0得(r 2+pr +q )e rx=0.由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx就是微分方程的解. 特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y+py +qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式2422,1q p p r -±+-= 求出.特征方程的根与通解的关系:(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解. 这是因为,函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又xr r xr x r e e e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为x r x r e C e C y 2121+=.(2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.这是因为, x r e y 11=是方程的解, 又x r x r xr x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r ,所以xr xe y 12=也是方程的解, 且x e xe y y xr xr ==1112不是常数. 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+=.(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=a ib 时, 函数y =e(a +ib )x、y =e(a ib )x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e axcos bx 、y =e axsin bx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y 1e(a +ib )x和y 2e(a ib )x都是方程的解 而由欧拉公式 得y 1e (a +ib )x e x (cos x i sin x )y 2e(aib )xe x (cos x i sin x )y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 22ie x sin x )(21sin 21y y ix e x -=βα故e ax cos bx 、y 2=e axsin bx 也是方程解.可以验证, y 1=e ax cos bx 、y 2=e axsin bx 是方程的线性无关解. 因此方程的通解为y =e ax(C 1cos bx +C 2sin bx ). 求二阶常系数齐次线性微分方程y +py +qy =0的通解的步骤为:第一步 写出微分方程的特征方程 r 2+pr +q =0第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2.第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解. 例1 求微分方程y-2y -3y =0的通解.解 所给微分方程的特征方程为 r 2-2r -3=0, 即(r 1)(r 3)0其根r 1=-1, r 2=3是两个不相等的实根, 因此所求通解为 y =C 1e -x+C 2e 3x.例2 求方程y+2y+y=0满足初始条件y|x=0=4、y|x=0=-2的特解.解所给方程的特征方程为r2+2r+1=0, 即(r1)20其根r1=r2=1是两个相等的实根, 因此所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e-x.将条件y|x=0=4代入通解, 得C1=4, 从而y=(4+C2x)e-x.将上式对x求导, 得y=(C2-4-C2x)e-x.再把条件y|x=0=-2代入上式, 得C2=2. 于是所求特解为x=(4+2x)e-x.例 3 求微分方程y-2y+5y= 0的通解.解所给方程的特征方程为r2-2r+5=0特征方程的根为r1=12i r2=12i是一对共轭复根因此所求通解为y=e x(C1cos2x+C2sin2x).n阶常系数齐次线性微分方程: 方程y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) + + p n-1y+p n y=0,称为n阶常系数齐次线性微分方程, 其中p1, p2 , , p n-1, p n都是常数.二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式, 可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.引入微分算子D及微分算子的n次多项式L(D)=D n+p1D n-1+p2 D n-2 + + p n-1D+p n则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n+p1D n-1+p2 D n-2 + + p n-1D+p n)y=0或L(D)y0注 D叫做微分算子D0y y D y y D2y y D3y y D n y y(n)分析令y e rx则L(D)y L(D)e rx(r n+p1r n-1+p2 r n-2 + + p n-1r+p n)e rx=L(r)e rx因此如果r是多项式L(r)的根则y e rx是微分方程L(D)y0的解n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程L(r)r n+p1r n-1+p2 r n-2 + + p n-1r+p n0称为微分方程L(D)y0的特征方程特征方程的根与通解中项的对应: 单实根r 对应于一项: Ce rx;一对单复根r 1, 2=a ib 对应于两项: e ax(C 1cos bx +C 2sin bx );k 重实根r 对应于k 项: e rx (C 1+C 2x + +C k x k -1); 一对k 重复根r 1, 2=a ib 对应于2k 项:e ax[(C 1+C 2x + +C k x k -1)cos bx +( D 1+D 2x + +D k x k -1)sin bx ]. 例4 求方程y (4)-2y +5y=0 的通解.解 这里的特征方程为r 4-2r 3+5r 2=0, 即r 2(r 2-2r +5)=0, 它的根是r 1=r 2=0和r 3, 4=12i .因此所给微分方程的通解为y =C 1+C 2x +e x(C 3cos2x +C 4sin2x ). 例5 求方程y (4)+b 4y =0的通解, 其中b 0.解 这里的特征方程为 r 4+b 4=0. 它的根为)1(22,1i r ±=β, )1(24,3i r ±-=β.因此所给微分方程的通解为 )2sin2cos(212x C x C ey xβββ+=)2sin2cos(432x C x C exβββ++-.二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程: 方程y +py +qy =f (x )称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中p 、q 是常数. 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程 的通解y =Y (x )与非齐次方程本身的一个特解y =y *(x )之和:y =Y (x )+ y *(x ).当f (x )为两种特殊形式时, 方程的特解的求法: 一、 f (x )=P m (x )e lx型当f (x )=P m (x )e lx时, 可以猜想, 方程的特解也应具有这种形式. 因此, 设特解形式为y *=Q (x )e lx , 将其代入方程, 得等式 Q(x )+(2l +p )Q(x )+(l 2+pl +q )Q (x )=P m (x ).(1)如果l 不是特征方程r 2+pr +q =0 的根, 则l 2+pl +q 0. 要使上式成立, Q (x )应设为m 次多项式:Q m(x)=b0x m+b1x m-1+ +b m-1x+b m,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, , b m, 并得所求特解y*=Q m(x)e lx.(2)如果l是特征方程r2+pr+q=0 的单根, 则l2+pl+q=0, 但2l+p0, 要使等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=P m(x).成立, Q(x)应设为m+1 次多项式:Q(x)=xQ m(x),Q m(x)=b0x m+b1x m-1+ +b m-1x+b m,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, , b m, 并得所求特解y*=xQ m(x)e lx.(3)如果l是特征方程r2+pr+q=0的二重根, 则l2+pl+q=0, 2l+p=0, 要使等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=P m(x).成立, Q(x)应设为m+2次多项式:Q(x)=x2Q m(x),Q m(x)=b0x m+b1x m-1+ +b m-1x+b m,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, , b m, 并得所求特解y*=x2Q m(x)e lx.综上所述, 我们有如下结论: 如果f(x)=P m(x)e lx, 则二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qy =f(x)有形如y*=x k Q m(x)e lx的特解, 其中Q m(x)是与P m(x)同次的多项式, 而k按l不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.例1 求微分方程y-2y-3y=3x+1的一个特解.解这是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且函数f(x)是P m(x)e lx型(其中P m(x)=3x+1, l=0).与所给方程对应的齐次方程为y-2y-3y=0,它的特征方程为r2-2r-3=0.由于这里l=0不是特征方程的根, 所以应设特解为y*=b0x+b1.把它代入所给方程, 得-3b0x-2b0-3b1=3x+1,比较两端x同次幂的系数, 得⎩⎨⎧=--=-13233100b b b -3b 0=3, -2b 0-3b 1=1.由此求得b 0=-1, 311=b . 于是求得所给方程的一个特解为 31*+-=x y . 例2 求微分方程y-5y +6y =xe 2x的通解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )是P m (x )e lx型(其中P m (x )=x , l =2). 与所给方程对应的齐次方程为y -5y +6y =0,它的特征方程为r 2-5r +6=0.特征方程有两个实根r 1=2, r 2=3. 于是所给方程对应的齐次方程的通解为Y =C 1e 2x +C 2e 3x .由于l =2是特征方程的单根, 所以应设方程的特解为y *=x (b 0x +b 1)e 2x .把它代入所给方程, 得 -2b 0x +2b 0-b 1=x . 比较两端x 同次幂的系数, 得 ⎩⎨⎧=-=-0212100b b b -2b 0=1, 2b 0-b 1=0.由此求得210-=b , b 1=-1. 于是求得所给方程的一个特解为 x e x x y 2)121(*--=. 从而所给方程的通解为x x x e x x e C e C y 223221)2(21+-+=. 提示y *=x (b 0x +b 1)e 2x (b 0x 2+b 1x )e 2x[(b 0x 2+b 1x )e 2x][(2b 0x +b 1)(b 0x 2+b 1x )×2]e2x[(b 0x 2+b 1x )e 2x][2b 02(2b 0x b 1)×2(b 0x 2+b 1x )×22]e 2xy *5y *6y *[(b 0x 2+b 1x )e 2x]5[(b 0x 2+b 1x )e 2x]6[(b 0x 2+b 1x )e 2x][2b 02(2b 0x b 1)×2(b 0x 2+b 1x )×22]e 2x5[(2b 0x +b 1)(b 0x 2+b 1x )×2]e2x6(b 0x 2+b 1x )e 2x[2b 04(2b 0x b 1)5(2b 0x +b 1)]e 2x[2b 0x +2b 0b 1]e 2x方程y+py +qy =e lx[P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]的特解形式应用欧拉公式可得e lx [P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]]2)(2)([ ie e x P e e x P e x i x i nx i xi l x ωωωωλ---++=x i nl x i n l e x iP x P e x iP x P )()()]()([21)]()([21ωλωλ-+++-=x i x i e x P e x P )()()()(ωλωλ-++=,其中)(21)(i P P x P n l -=, )(21)(i P P x P n l +=. 而m =max{l , n }. 设方程y+py+qy =P (x )e(l +iw )x的特解为y 1*=x k Q m (x )e(l +iw )x,则)(1)(*ωλi m k e x Q x y -=必是方程)()(ωλi e x P qy y p y -=+'+''的特解, 其中k 按l iw 不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1. 于是方程y+py +qy =e lx[P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]的特解为x i m k x i m k e x Q x e x Q x y )()()()(*ωλωλ-++=)sin )(cos ()sin )(cos ([x i x x Q x i x x Q e x m m x k ωωωωλ-++= =x k e lx[R(1)m(x )cos wx +R(2)m(x )sin wx ].综上所述, 我们有如下结论:如果f (x )=e lx[P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ], 则二阶常系数非齐次线性微分方程y+py +qy =f (x )的特解可设为y *=x k e lx [R (1)m (x )cos wx +R (2)m (x )sin wx ],其中R(1)m(x )、R(2)m(x )是m 次多项式, m =max{l , n }, 而k 按l +i w (或l -iw )不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1. 例3 求微分方程y+y =x cos2x 的一个特解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,且f (x )属于e lx[P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]型(其中l =0, w =2, P l (x )=x , P n (x )=0）. 与所给方程对应的齐次方程为y +y =0,它的特征方程为r 2+1=0.由于这里l +iw =2i 不是特征方程的根, 所以应设特解为y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .把它代入所给方程, 得(-3ax -3b +4c )cos2x -(3cx +3d +4a )sin2x =x cos2x . 比较两端同类项的系数, 得 31-=a , b =0, c =0, 94=d . 于是求得一个特解为 x x x y 2sin 942cos 31*+-=. 提示y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .y *=a cos2x 2(ax +b )sin2x +c sin2x +2(cx +d )cos2x(2cx +a2d )cos2x +(2ax 2b c )sin2xy *=2c cos2x 2(2cx +a 2d )sin2x 2a sin2x +2(2ax 2b c )cos2x(4ax4b4c )cos2x(4cx 4a 4d )sin2xy *y *(3ax 3b 4c )cos2x (3cx 4a 3d )sin2x由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=+-=-0340304313d a c c b a 得31-=a , b =0, c =0, 94=d .（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
二阶微分方程
设二阶线性齐次方程为： 设二阶线性齐次方程为：
(1)如果y1 ( x ), y2 ( x )为二阶线性齐次方程 (1) 的 两个解， 两个解，则 y = C1 y1 ( x ) + C 2 y2 ( x )仍为(1)的解, 为常数。 其中C1，C 2为常数。
例1
判别下列两组函数哪些是线性无关的？ 判别下列两组函数哪些是线性无关的？
(1) 1 + cos 2 x ,
cos x;
2
(2)e ,
−x
xe .
−x
解的结构定理： 2. 解的结构定理：
a0 ( x ) y′′ + a1 ( x ) y′ + a2 ( x ) y = 0 ------(1) a0 ( x ) y′′ + a1 ( x ) y′ + a2 ( x ) y = f ( x )--(2)
=0
的解。 故 y = e 为 (1′ ) 的解。
对应于特征根的三种情况， 对应于特征根的三种情况，(1′ ) 的通解有以 下三种情况： 下三种情况：
(1) r1 ≠ r2 时, y1 = e , y2 = e
r1 x
r2 x
的两个线性无关的特解， 为 (1′ ) 的两个线性无关的特解，
′)的通解为： y = C1er1x + C2er2 x (1 的通解为：
定理2 定理
设y1 ( x ), y2 ( x )为二阶线性齐次方程 (1) 的 两个线性无关的解， 两个线性无关的解，则 (1)的通解为 y = C1 y1 ( x ) + C 2 y2 ( x ) , 为两个任意常数。 其中C1，C 2为两个任意常数。
二阶常系数线性微分方程
下面考察二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构
y ay by f ( x)
(9 30)
y ay by 0
(9 25)
定理9.2 如果 y( x) 是方程 ( 9 30) 的一个特解, Y 是
方程 ( 9 30) 对应齐次方程( 9 25) 的通解, 则方程
形如
y ay by 0
(9 25)
称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中a , b 为已知常数.
定义9.4 设 y1( x), y2( x)为定义在 (a,b)内的两个函 数. 如果存在非零常数k , 使得 y1( x) ky2( x), 则称 y1( x), y2( x) 线性相关, 如果对于任意常数k , y1( x) ky2( x), 则称 y1( x), y2( x) 线性无关.
故方程的通解为
将 y ex 求导, 得
y ex , y 2ex ,
把 y, y, y 代入齐次线性微分方程中,
(2 a b)ex 0
由于 ex 0,
所以
2 a b 0
(9 27)
只要 是上方程的根，y ex 就是微分方程的解.
方程 2 a b 0 称为齐次线性微分方程的特征方程.
(9 30) 的通解为
y(x) Y y(x)
(9 31)
y ay by 0的通解
y ay by f ( x)的一个特解
归纳
对线性方程组Ax = b，它的通解：
x k11 k22 knr nr
齐次方程通解
非齐次方程特解
对一阶线性微分方程y P( x) y Q( x)，它的通解：
特征方程的根为
1,2 a
二阶微分方程通解的方法
二阶微分方程通解的方法二阶微分方程是指形如y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x)的方程，在数学中有着广泛的应用。
解决二阶微分方程的过程中，通解的求解方法是比较重要的一部分。
以下是二阶微分方程通解的方法：1. 利用特征方程求解齐次方程的通解对于齐次方程y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=0，其特征方程为λ+p(x)λ+q(x)=0。
通过求解特征方程的根λ1和λ2，可得到齐次方程的通解为y(x)=c1e^λ1x+c2e^λ2x。
2. 利用常数变易法求解非齐次方程的通解对于非齐次方程y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x)，首先解出其对应的齐次方程的通解y0(x)，然后考虑将y(x)表示为一个特解y1(x)加上齐次方程的通解y0(x)的形式，即y(x)=y0(x)+y1(x)。
通过常数变易法，可得到特解y1(x)的形式，从而得到非齐次方程的通解。
3. 利用指数函数求解特解对于形如f(x)=e^(px)的右端项，可尝试将特解y1(x)表示为Ae^(px)的形式，其中A为需要求解的常数。
将特解代入非齐次方程，求解常数A的值即可得到特解。
4. 利用三角函数求解特解对于形如f(x)=sin(mx)或cos(mx)的右端项，可尝试将特解y1(x)表示为Asin(mx)+Bcos(mx)的形式，其中A和B为需要求解的常数。
将特解代入非齐次方程，求解常数A和B的值即可得到特解。
综上所述，二阶微分方程通解的求解方法可以通过特征方程、常数变易法、指数函数和三角函数这些基本方法得到。
掌握这些通解的求解方法，有助于我们在解决实际问题时更加准确和高效。
二阶微分方程的通解公式
二阶微分方程的通解公式1. 引言在微积分中，二阶微分方程是一类常见且重要的方程。
解二阶微分方程的过程可以帮助我们理解和预测许多自然现象，如振动系统、电路分析和物理方程。
本文将介绍二阶微分方程的通解公式及其应用。
2. 二阶微分方程的一般形式二阶微分方程的一般形式可以表示为：d^2y/dx^2 + p(x) * dy/dx + q(x) * y = r(x)其中，y是未知函数，x是自变量，p(x)、q(x)和r(x)是已知函数。
3. 二阶齐次微分方程的解法二阶齐次微分方程是指r(x)为零的情况，即：d^2y/dx^2 + p(x) * dy/dx + q(x) * y = 03.1 特征方程的求解首先，我们设y = e^rx，将其代入方程，得到：r^2 * e^rx + p(x) * r * e^rx + q(x) * e^rx = 0将公式整理后，得到齐次方程的特征方程：r^2 + p(x) * r + q(x) = 03.2 特征方程的解根解特征方程可以得到两个解根r1和r2，可能存在以下三种情况： - 两个不同的实数根：r1和r2 - 一个重复实数根：r1 = r2 - 一对共轭复数根：r1 = α + βi 和r2 = α - βi（其中i为虚数单位）3.3 解的形式根据解根的不同情况，二阶齐次微分方程的通解可以表示为以下三种形式：•两个不同的实数根：y = C1 * e^(r1x) + C2 * e^(r2x)•一个重复实数根：y = (C1 + C2x) * e^(rx)•一对共轭复数根：y = e^(αx) * (C1 * cos(βx) + C2 * sin(βx))其中，C1和C2为任意常数，α和β为实数。
4. 非齐次二阶微分方程的解法对于非齐次二阶微分方程，即r(x)不为零的情况，我们可以利用特解和齐次解的叠加来求解。
4.1 特解的求解特解y_p可以通过常数变易法、待定系数法等方法求解。
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例如 y 2 y 3 y 0 是二阶常系数齐次线性微分
方程； y 2 y y xex 是二阶常系数非齐次线性微分 方程．
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
1．二阶常系数齐次线性微分方程解法
y C或 cot (y C1 )dy
dx
该微分方程的通解是 y C1 ) C2e x sin(
y C或ln(sin(y C1 )) x ln C2
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶的通解是 2 1 x 3
0
1 x y ' 1 y ' 2 dx a 0
取原点O到点A的距离为定值 a 于是有
1 y' ' 1 y '2 a y (0) a, y (0) 0
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
a 2C1 2 1 p 将初始条件 y ' (0) p(0) 0 代入①式，解得
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
3．二阶非齐次线性微分方程解的结构
定理 3 设 y 是二阶非齐次线性方程
*
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x )
*
( 2) 的 一 个
特解, Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的通解, 那么
y Y y 是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.
课题二十一 简单的二阶微分方程
3. y f ( y, y) 型的微分方程 方程的特点：右端不显含自变量 x .
方程的解法：求解这类方程可令 y p ( y ) 则 dy dp ( y ) dy dp y p, dx dy dx dy dp 于是,方程 y f ( y, y) 可化为 p f ( y, p ) . dy 这是关于 y 和 p 的一阶微分方程,如能求出其解 dy p ( y, C1 ) ,则可由 ( y, C1 ) 求出原方程的解. dx
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
[例 3] 求方程yy
解
y 0的通解.
2
设 y P( y ),
dP 则 y P , dy
dP dP 2 P 0, 即 P ( y 代入原方程得 y P P ) 0, dy dy dP 由 y P 0， 可得 P C1 y , dy
定理 2：如果 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个 线性无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1) 的通解.
例如 y y 0的两个特解是y1 cos x, y2 sin x,
y2 且 tan x 常数, 则其通解是y C1 cos x C2 sin x. y1
ln(1 p 2 ) ln x ln C1 ，得1 p 2 C1 x .
即 p C1 x 1, 也即 y C1 x 1 .
2 y (C1 x 1) dx (C1 x 1) C2 . 3C1
1 2
3 2
第七章
微 分 方 程
y (sin x C1 )dx cos x C1 x C2 ,
y sin x 1 C1x2 C2 x C3. 2
y ( cos x C1 x C2 )dx,
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微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
2. y f ( x, y ) 型的微分方程
问题: y C1 y1 C 2 y2一定是通解吗？
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微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
定义：设 y1 , y2 ,, yn 为定义在区间 I 内的 n 个函数． 如果存在 n个不全为零的常数， 使得当 x 在 该区间内有恒等式成立
k1 y1 k 2 y2 k n yn 0，
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微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
一、可降阶的二阶微分方程
1. y ( n) f ( x) 型的微分方程
方程解法：通过 n 次积分就可得到方程的通解.
[例 1] 求方程 y ( 3) cos x 的通解.
解
y
( 3)
cos x, y cos xdx sin x C1,
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课题二十一 简单的二阶微分方程
【授课时数】 总时数：6学时. 【学习目标】 1、知道二阶微分方程的概念； 2、会求可降阶的二阶微分方程、二阶常系数线性 齐次和非齐次微分方程的通解或特解。 【重、难点】 重点：可降阶的二阶微分方程和二阶常系数线性微 分方程的定义和解法，由微积分知识引出。 难点：正确求解可降阶的二阶微分方程和二阶常系 数线性微分方程的通解或特解，由实例讲解方法。
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课题二十一 简单的二阶微分方程
三、二阶常系数线性微分方程
形如 y py qy 0, ( p, q均为常数) 这样的 微分方程称为二阶常系数齐次线性微分方程．
形如 y py qy f ( x), ( p, q为常数, f ( x) ／ 0)
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课题二十一 简单的二阶微分方程
y 1 ( y ) 2 的通解. [例 2] 求方程 2 xy 解 令 y p (x) ,则 y( x) p( x) ，将其代入所给方 2 xpp 1 p 2 , 程,得
2 pd p d x , 两边积分得 分离变量得 2 1 p x
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课题二十一 简单的二阶微分方程
解 建立坐标系如图所示，设曲线方程为 y f (x), 由题意得 T sin S , T cos H , 将此两式相除，得
1 tan S , ( a H ) a x tan y' , S 1 y' 2 dx
2． y 1 y2 的通解是
C1 x y C1 x C2 3
；
y ln cos( x C1 ) C2
．
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二、二阶线性微分方程
[引例] 设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有 一个初始速度 v 0 0,物体便离开平衡位置,并在平 衡位置附近作上下振动.试确定物体的振动规律
方程的特点：方程右端不显含未知函数y. 方程的解法： 令 y p(x) ,则 y p(x), 将它们
代入方程得
p( x) f ( x, p( x))
这是一个关于自变量 x 和未知函数 p (x) 的 一阶微分方程,若可以求出其通解 p (x,C1) ,则 y ( x, C1 ) 再积分一次就能得原方程的通解.
那么称这 n个函数在区间 I 内线性相关；否则 称线性无关．
例如 当x ( , )时， e x， x , e 2 x 线性无关; e
1， 2 x , sin2 x 线性相关. cos
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课题二十一 简单的二阶微分方程
y1 ( x ) 特别地: 若在区间 I 上有 常数， 则函 y2 ( x ) 数 y1 ( x )与 y2 ( x )在 I 上线性无关.
1 1 p 2 ，并分离变量得 将 y ' p ， y p 代入得， p' a x x 1 a C1 a dp 1 e e ① dx ，两端积分，得 p 2
x x
1 a 1 C1 1或C1 1(舍). 再将 C1 代入①式，得 p (e e a ), x x 2 a a 将 p y ' 代入上式，并积分得 y (e e a ) C2 ② 2 将初始条件 y (0) a 代入②式，解得 C2 0,
若受到铅直干扰力 F h sin pt, 则
d 2x dx 2n k 2 x h sin pt 强迫振动的方程 dt 2 dt
对于象这样的微分方程，我们给出如下定义:
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微 分 方 程
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1．二阶线性微分方程的定义
d2y dy P( x) Q( x) y f ( x) 这样的微分方程 形如 2 dx dx
解得曲线方程为 将 C 2 0 代入②式，
a y (e e ). 2
x a
x a
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课题二十一 简单的二阶微分方程
f ( x)
小结
1.可降阶的高阶微分方程
y
(n)
两边同时积分n次
2.不显含y的二阶微分方程
y f ( x, y)
令y p , y p
3.不显含x的二阶微分方程
y f ( y, y)
2
dy d y dp 令 p( y ) , 则 p( y ) 2 dx dx dy
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思考题
y ( y ) 3 y 的通解. 求微分方程
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dy C1 y , dx
由 P y 0, 得 y C ,
C x 原方程通解为 y C2e 1 .
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[例 4] 设有一均匀、柔软的绳索，两端固定，绳 索仅受重力的作用而下垂，试问该绳索在平衡状态时 是怎样的曲线．
分析
设绳索的最低点为 A，取 y 轴过点 A 且垂 直向上，取 x 轴水平向右，且|OA|等于某个定 值．设绳索曲线的方程为 y f (x) ，现在考察 绳索上点 A 到另一点 M(x,y)间的一段弧 AM， 设其长 S．假定单位长绳索的重量为ρ ，则弧 AM 的重量为ρ S．由于绳索是柔软的，因而在 点 A 处的张力沿水平切线方向，其大小设为 H． 在点 M 处的张力沿该点处的切线方向， 与水 平线成θ 角，其大小设为 T，因作用于弧段 AM 的外力相互平衡。下面给出解法．