简单的二阶微分方程
二阶微分方程解
二阶微分方程解
二阶微分方程分为齐次和非齐次两种类型。在这里，我们主要讨论二阶常系数齐次线性微分方程的解法。
二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为：
ayy'' + by' + cy = 0
其中，a、b、c为常数。
求解过程如下：
1. 特征方程：首先求出微分方程的特征方程。特征方程为：
r^2 - pr - q = 0
其中，p、q为常数。
2. 求解特征方程：求出特征方程的两个根r1和r2。可以使用公式：
r1,2 = (-p ±√(p^2 - 4q)) / 2
3. 根据根与系数的关系，得出二阶微分方程的通解：
通解= yC1* e^(r1x) + yC2 * e^(r2x)
其中，yC1和yC2为待定系数，可通过初始条件求解。
4. 求解特解：若需要求解特解，可以先设特解的形式为y = yE(x)，然后将其代入原方程，求解待定系数。
举例：求解二阶常系数齐次线性微分方程：
yy'' - 2y' + 3y = 0
1. 特征方程：r^2 - 2r + 3 = 0
2. 求解特征方程：
r1= 1，r2 = 3
3. 通解：
通解= yC1* e^x + yC2* e^-x
4. 求解特解：
设特解为y = yE(x) = e^(x^2)
将其代入原方程，求解得到yE(x)为原方程的特解。
需要注意的是，二阶微分方程的解法不仅限于齐次方程，还包括非齐次方程。非齐次方程的解法通常需要先求解齐次方程的通解，然后通过待定系数法求解特解。此外，还有其他类型的二阶微分方程，如艾里方程等，其解法更为复杂。
二阶常系数微分方程
一、二阶常系数齐次线性微分方程
由上面分析可知，要求二阶常系数齐次线性微分方程的通解，关 键是寻找它的两个线性无关的特解.为此，首先找一个函数y，使 y″+py′+qy=0(p,q为常数).而指数函数erx(r为常数)就具备这种性质， 因为erx的一阶、二阶导数都是erx的常数倍，也就是说，只要适当选取 r，就可以使erx满足方程y″+py′+qy=0.于是，设y=erx (r为待定常数) 为方程y″+py′+qy=0的特解，将y=erx,y′=rerx,y″=r2erx代入方程中得 erx(r2+pr+q)=0.
y″+py′+qy=(Y+y*)″+p(Y+y*)′+q(Y+y*) =Y″+pY′+qY+y*″+py*′+qy* =0+f(x)=f(x) 所以，y=Y+y是非齐次方程(12-20)的解.又因为Y中含有两个任意常数， 从而，y=Y+y中也含有两个任意常数，所以y=Y+y是非齐次方程(1220)的通解.
一、二阶常系数齐次线性微分方程
注
不等于常数这一条件很重要.如果 =k(k是常数)， 即y1=ky2，于是y=(C1k+C2)y2=Cy2，其中C=C1k+C2，因 而y中只含有一个任意常数，所以不是齐次方程的通解.满足 2 不等于常数这一条件的两个解称为线性无关解，因此， 求齐次方程的通解，就归结为求它的两个线性无关的特解.
二阶齐次微分方程三种通解
二阶齐次微分方程三种通解
二阶齐次微分方程的三种通解分别是：
1. 常数解：如果二阶齐次微分方程的特征方程的根都是实数，且相等，那么方程的通解就是y(x) = C1e^(ax) + C2xe^(ax)，其中C1和C2是任意常数，a是特征方程的根。
2. 两个不同实根解：如果二阶齐次微分方程的特征方程的根都是不同的实数，那么方程的通解就是y(x) = C1e^(a1x) + C2e^(a2x)，其中C1和C2是任意常数，a1和a2是特征方程的根。
3. 复数根解：如果二阶齐次微分方程的特征方程的根是共轭复数，即 a±bi，那么方程的通解就是 y(x) = e^(ax)(C1cos(bx) + C2sin(bx))，其中C1和C2是任意常数，a和b是特征方程的实部和虚部。
二阶微分方程
二阶微分方程
二阶微分方程作为微积分中的一种常用形式，它的求解方法十分重要。本
文将围绕二阶微分方程的基本定义、求解方法及其应用展开讲述。
一、二阶微分方程的基本定义及形式
二阶微分方程指的是形如 $y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)$ 的微分方程。其中
$y$ 表示一个未知函数，$P(x)$ 和$Q(x)$ 是已知函数，$f(x)$ 是已知的函数。
二阶微分方程中的 $y''$ 表示未知函数 $y$ 的二阶导数，$y'$ 表示 $y$ 的一阶导数。$P(x)$ 和 $Q(x)$ 是已知函数，它们可能包含 $x$ 或 $y$，甚至二
者的组合。$f(x)$ 是已知的函数，它是一个关于 $x$ 的函数，通常是我们要寻求的解函数。
二阶微分方程是高阶微分方程的一个特例。如果方程中只包含 $y''$ 与 $y$，则称为二阶常系数齐次微分方程。
二阶微分方程的一些常见形式：
1. $y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)$，这是二阶非齐次线性微分方程的一般形式。
2. $y''+w(x)y=0$，这是二阶齐次线性微分方程的一般形式。
3. $y''-c^2y=0$，这是二阶常系数齐次微分方程的一般形式，其中 $c$ 是常数。
二、二阶微分方程的求解方法
1. 变量分离法
当二阶微分方程形如 $y''=f(x)$ 时，我们可以用变量分离法求解。首先将
方程两边同时积分得到 $y'=F(x)+C_1$，再次积分得到
$y=\\int[F(x)+C_1]dx+C_2$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 分别是积分常数。
二阶微分方程
y = eαx (C1 cos βx + C 2 sin βx ).
上述求二阶常系数线性齐次方程通解的方法称 为特征根法，其步骤是： 为特征根法，其步骤是： (1) 写出所给方程的特征方程； ) 写出所给方程的特征方程； (2) 求出特征根； ) 求出特征根； (3) 根据特征根的三种不同情况 ， 写出对应的 ) 根据特征根的三种不同情况， 特解，并写出其通解 特解，并写出其通解.
之比为常数. 反之， 之比为常数， 即 y1 与 y2 之比为常数 反之，若y1 与 y2 之比为常数，
y1 设 = λ , 则 y1 = λ y2，即 y1 - λ y2 = 0. 所以 y1 与 y2 y2 线性相关. 因此，如果两个函数的比是常数 ， 则它们 线性相关 因此， 如果两个函数的比是常数，
例1
的通解. 求方程 y″ - 2y′ - 3y = 0 的通解 ″ ′
例 2 求方程 y″ - 4y′ + 4y = 0 的满足初始条件 ″ ′ y(0) = 1， y′(0) = 4 的特解 的特解. ， ′ 例3 例4 的通解 求方程 2y″ + 2y′ + 3y = 0 的通解. ″ ′ 的通解. 求方程 y″ + 4y = 0 的通解 ″
二阶微分方程
11
1．二阶常系数线性齐次微分方程的通解 先讨论二阶常系数线性齐次微分方程 y′′ + py′ + qy = 0 的解的结构． 的解的结构． 定理1 定理1 如果函数 y1与y2 是方程 (6)的两个解, 那么 (6)
y = C1 y1 + C 2 y2
也是方程(6)的解，其中是任意常数 也是方程 的解，其中是任意常数． 的解
由初始条件 y
3 2
′ x = 3 = 1, y
这时p = y (因为y′ x = 3 = 1, 所以取正号 ),即 3 3 − dy y 2 dy = dx 或 = y2 dx 1 − 积分后， 积分后，得 − 2y 2 = x + C
2
再由初始条件 y
x=3
= 1, 得C 2 = −5, 代入上式整理后得
dp 于是方程(4)就变为 p 于是方程 就变为 = f ( y , p) dy 这是一个关于变量 y , p 的一阶微分方程 .设它的通解为 设它的通解为 y′ = p = ϕ ( y, C 1 )
分离变量并积分，得方程 的通解为 分离变量并积分，得方程(4)的通解为 dy ∫ ϕ ( y , C1 ) = x + C 2 .
6
例3 求方程 (1 + x 2 ) y′′ = 2 xy′ 满足初始条件 y 解
x =0
二阶微分方程
第三节二阶微分方程
第方程
1
特殊二阶微分方程
1''型
1.
()y f x =型。 此类方程只要积分两次就可以得出通解。通解中包含两个任意常数，可由初值条件确定。
2.
'''f x y =型。
(),y 此类方程不显含未知函数，可用降阶法：先将未知函数一阶导数看作未知函数，原方程化为一阶微分方程。
32例3.2求下列微分方程的通解:
2
'''0
0.yy y −=解: 设
()'y P y =，则有：()()'''y P y P y =.
原方程变为： 'yP P =P C y =.原方程变为y
；易得其解为()1y 从而有：
112'.C x
y C y y C e
=⇒=
二阶线性微分方程
如果微分方程中未知函数及其一阶、二阶导数都是次的，则称为二阶线性微分方程。
是一次的则称为
线分方程般
二阶线性微分方程的一般形式为：
y P x y P x y f x
++=()
''()'().
12
如果右边的函数为零，则称该方程为二阶线性齐次微分方程。
是二阶非齐次线性微分方程的一个()() 12123y x y x y y y 设是二阶非齐次线性微分方程的个特解，是相应齐次方程的通解，是定理=+该非齐次解。
方程的通()() 124y x y x 设，分别是微分方程定理()()() 121''','''y P x y P x y f x P x y P x y f x ++=++=()()()()() 12212y y x y x 的解，则是方程
+()()()() 1212'''y P x y P x y f x f x ++=+的解。
二阶微分方程解法(参考模板)
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程
教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐
次线性微分方程的解法
教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程：
一、二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程: 方程 y
+py +qy =0
称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数.
如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解.
我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx
满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx
代
入方程 y +py +qy =0
得
(r 2
+pr +q )e rx
=0.
由此可见, 只要r 满足代数方程r 2
+pr +q =0, 函数y =e rx
就是微分方程的解. 特征方程: 方程r 2
+pr +q =0叫做微分方程y
+py +qy =0的特征方程. 特征方程的两个根
r 1、r 2可用公式
2
422,1q p p r -±+-= 求出.
特征方程的根与通解的关系:
(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解. 这是因为,
函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又x
r r x
r x r e e e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为
x r x r e C e C y 2121+=.
(2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微
重点可降阶的二阶微分方程和二阶常系数线性微分方程的定义和解(精)
程称为二阶线性微分方程.
当 f ( x) 0时，称为二阶线性齐次微分方程. 当 f ( x) 称为二阶线性非齐次微分方程. / 0时，
第七章
微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
2．二阶线性齐次微分方程解的结构
y P( x ) y Q( x ) y 0
(1)
定理 1 如果函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x )是方程(1) 的两个解，那么 y C1 y1 C 2 y2 也是(1)的 解． （C1 , C 2 是任意常数）
2． y 1 y2 的通解是
C1 x y C1 x C2 3
；
y ln cos( x C1 ) C2
．
第七章
微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
二、二阶线性微分方程 [引例] 设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具
有一个初始速度 v 0 0, 物体便离开平衡位置 ,并在 平衡位置附近作上下振动 .试确定物体的振动规律
a 将 C 2 0 代入②式， 解得曲线方程为 y (e e ). 2
x a
x a
此曲线为悬链线．
第七章
微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
(n)
小结
1.可降阶的高阶微分方程
y
f ( x)
二阶微分方程
+ C2 e
−x
( 2 ) y ′′ + 2 y ′ + y = 0 ,
特征方程： 解 特征方程：
r + 2r + 1 = ( r + 1) = 0 ,
2 2
特征根： 特征根：
r1 = r2 = −1 ,
−x
∴通解为：y = (C1 + C2 x)e 通解为：
( 3 ) y ′′ − 2 y ′ + 5 y = 0 .
解
特征方程： 特征方程： r − 2r + 5 = 0 ,
2
特征根： 特征根： r1 , 2 = 1 ± 2i , ∴通解为： y = e (C1 cos2 x + C2 sin 2 x) 通解为：
x
阶常系数线性齐次方程: n 阶常系数线性齐次方程:
a0 y
( n)
+ a1 y
( n −1 )
+ L + a n −1 y ′ + a n y = 0
y1( x) ′ y1( x) M
(n−1) 1
y2( x) y′ ( x) 2 M y
(n−1) 2
L L
yn( x) y′ ( x) n M
(n−1) n
( x)
( x) L y
( x)
的朗斯基（ 为y1 ( x ), y2 ( x ),L yn ( x )的朗斯基（Wronski）行列式 ,
二阶微分方程类型及其解法
e cosβx，e sinβx 是方程(7.1)的两个特解：且它们线性无关，由上节定理 二知，方程(7.1) αx αx y＝C1e cosβx＋C2e sinβx αx 或 y＝e (C1cosβx＋C2sinβx) 其中 C1，C2 为任意常数，至此我们已找到了实数形式的通解，其中α，β分 别是特征方程(7.2)复数根的实 综上所述，求二阶常系数线性齐次方程(7.1)的通解，只须先求出其特征方 程(7.2) 2 特征方程 r ＋pr＋q＝0 的根 d 2 y dy 微分方程 ＋p ＋qy＝0 的通解 2
r1x r1x １ 1 2 １ 1
r1x
r1x
将它们代入方程(7.1) (r 1u＋２r1
2
du d 2 u ＋ )e dx dx 2
1
r1x
＋p(
du ＋r u)e dx
1 ２ １
r1x
＋que ＝0
r1x
d 2u du ［ ＋ (2r ＋ p) ＋(r 2 dx dx
r1x
＋pr1＋q)u］e ＝0
2
3 16 19 a2 32 ~ 1 3 19 所求方程的特解 y ＝ x － x＋ x 4 16 32 d2y (3)如果 p＝0，q＝0，则方程变为 ＝p (x)，此时特解是一个(n＋2)次 dx 2
二阶常微分方程求解
二阶常微分方程求解
二阶线性微分方程是指未知函数及其一阶、二阶导数都是一次方的二阶方程，简单称为二阶线性方程。二阶线性微分方程的求解方式分为两类，一是二阶线性齐次微分方程，二是线性非齐次微分方程。
如果一个二阶方程中，未知函数及其一阶、二阶导数都是一次方的，就称它为二阶线性微分方程，简单称为二阶线性方程。
二阶线性微分方程的解方式分成两类，一就是二阶线性齐次微分方程，二就是线性非齐次微分方程。前者主要就是使用特征方程解，后者在对应的齐次方程的吉龙德上加之直和即为非齐次方程的吉龙德。齐次和非齐次的微分方程的吉龙德都涵盖一切的求解。二阶线性微分方程定义：y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f ( x ) 方程称作二阶线性微分方程
当 f ( x ) = 0 恒成立时，称该方程为二阶线性齐次方程；
当 f ( x ) ≠ 0 指该方程为二阶线性非齐次方程。
定理：若 y 1 ， y 2 是二阶线性齐次方程y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = 0 的解，则 y = c 1 y 1 + c 2 y 2 （ c 1 , （c1，c 2 ∈ r ) 仍
是它的解。
微积分：二阶微分方程
得齐次方程的通解为 y (C1 C2 x)er1x ;
例4 解方程y 6 y 9 y 0. 解 特征方程 r 2 6r 9 0 (r 3)2 0
r1 r2 3 故通解 y (C1 C2 x)e3x .
若有一对共轭复根 ( 0)
特征根为 r1 i , r2 i ,
5.3二阶微分方程
一般形式： F（x，y，y，y）=0
或 y=f （x，y，y）
一、可降阶的二阶方程
1、不含未知函数y： y=f （x，y）
只要令 y=p， y= dp 方程可化为
一阶方程
dx
dp f (x, p) dx
例
求初值问题
(1 y
x2 x0
) y 1, Biblioteka Baidu x
2
0
xy 3
.
当==0时,f (x) = Pm(x)； 当=0时,f (x) = Pm(x)ex ，而 Pm(x)ex cosx与Pm(x)ex sinx分别为上
b2 4c ,
2
两个不成比例的特解
y1 e r1x ,
y2 e r2x ,
得齐次方程的通解为
y
C e r1x 1
C2e r2x ;
例3 解方程y y 2 y 0. 解 特征方程
r2 r 2 0
(r 1)(r 2) 0
r1 1, r2 2 故通解y C1e 2x C2e x .
二阶微分方程通解的方法
二阶微分方程通解的方法
二阶微分方程是指形如y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x)的方程，在数学中有着广泛的应用。解决二阶微分方程的过程中，通解的求解方法是比较重要的一部分。
以下是二阶微分方程通解的方法：
1. 利用特征方程求解齐次方程的通解
对于齐次方程y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=0，其特征方程为λ+p(x)λ+q(x)=0。通过求解特征方程的根λ1和λ2，可得到齐次方程的通解为y(x)=c1e^λ1x+c2e^λ2x。
2. 利用常数变易法求解非齐次方程的通解
对于非齐次方程y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x)，首先解出其对应的齐次方程的通解y0(x)，然后考虑将y(x)表示为一个特解
y1(x)加上齐次方程的通解y0(x)的形式，即y(x)=y0(x)+y1(x)。通过常数变易法，可得到特解y1(x)的形式，从而得到非齐次方程的通解。
3. 利用指数函数求解特解
对于形如f(x)=e^(px)的右端项，可尝试将特解y1(x)表示为
Ae^(px)的形式，其中A为需要求解的常数。将特解代入非齐次方程，求解常数A的值即可得到特解。
4. 利用三角函数求解特解
对于形如f(x)=sin(mx)或cos(mx)的右端项，可尝试将特解y1(x)表示为Asin(mx)+Bcos(mx)的形式，其中A和B为需要求解的常数。
将特解代入非齐次方程，求解常数A和B的值即可得到特解。
综上所述，二阶微分方程通解的求解方法可以通过特征方程、常数变易法、指数函数和三角函数这些基本方法得到。掌握这些通解的求解方法，有助于我们在解决实际问题时更加准确和高效。
二阶微分方程解法
第六节二阶常系数齐次线性微分方程之勘阻及广创作
教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法
教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法
教学过程：
一、二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程:方程
y+py+qy=0
称为二阶常系数齐次线性微分方程,其中p、q均为常数.
如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解,那么y=C1y1+C2y2就是它的通解.
我们看看, 能否适当选取r,使y=erx满足二阶常系数齐次线性微分方程,为此将y=erx代入方程
y+py+qy=0
得
(r2+pr+q)erx=0.
由此可见,只要r满足代数方程r2+pr+q=0,函数y=erx就是微分方程的解.
特征方程:方程r2+pr+q=0叫做微分方程y+py+qy=0的特征方程.特征方程的两个根r1、r2可用公式
特征方程的根与通解的关系:
(1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时,函数、
是方程的两个线性无关的解.
这是因为,
函数、是方程的解,又不是常数.
因此方程的通解为
.
(2)特征方程有两个相等的实根r1=r2时,函数、是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.
这是因为,是方程的解,又
,
所以也是方程的解,且不是常数.
因此方程的通解为
.
(3)特征方程有一对共轭复根r1, 2=a ib时,函数y=e(a+ib)x、y=e(a ib)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解.函数y=eaxcosbx、y=eaxsinbx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解.
二阶可降阶微分方程
二阶可降阶微分方程
二阶可降阶微分方程是指形如：
dy/dx = f(x,y)
的微分方程，其中f(x,y)是一个关于x和y的函数。这种微分方程可以通过分离变量或者使用变量替换等方法转化为一阶微分方程或者常微分方程来求解。
例如，方程dy/dx = y2可以先对方程两边求导得到：
d²y/dx²= 2y
然后使用变量替换y = e u，得到新的微分方程：
du/dx = 1
解出这个方程得到u = x + C，其中C是常数。将u和y 的解代入原方程得到：
e x = x + C
解出C得到C = ln|x| - C
因此，对于这个二阶可降阶微分方程，解为：
y = e x
这就是一个二阶可降阶微分方程的解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C1 x y C1 x C2 3
；
y ln cos( x C1 ) C2
．
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
二、二阶线性微分方程
[引例] 设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有 一个初始速度 v 0 0,物体便离开平衡位置,并在平 衡位置附近作上下振动.试确定物体的振动规律
问题: y C1 y1 C 2 y2一定是通解吗？
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
定义：设 y1 , y2 ,, yn 为定义在区间 I 内的 n 个函数． 如果存在 n个不全为零的常数， 使得当 x 在 该区间内有恒等式成立
k1 y1 k 2 y2 k n yn 0，
定理 2：如果 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个 线性无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1) 的通解.
例如 y y 0的两个特解是y1 cos x, y2 sin x,
y2 且 tan x 常数, 则其通解是y C1 cos x C2 sin x. y1
y (sin x C1 )dx cos x C1 x C2 ,
y sin x 1 C1x2 C2 x C3. 2
y ( cos x C1 x C2 )dx,
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
2. y f ( x, y ) 型的微分方程
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
三、二阶常系数线性微分方程
形如 y py qy 0, ( p, q均为常数) 这样的 微分方程称为二阶常系数齐次线性微分方程．
形如 y py qy f ( x), ( p, q为常数, f ( x) ／ 0)
程称为二阶线性微分方程.
当 f ( x) 0时，称为二阶线性齐次微分方程. 当 f ( x) 0时，称为二阶线性非齐次微分方程. /
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
2．二阶线性齐次微分方程解的结构
y P ( x ) y Q( x ) y 0
(1)
定理 1 如果函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x )是方程 (1)的两个解，那末 y C1 y1 C 2 y2 也是(1)的 解． C1 , C 2 是任意常数） （
那么称这 n个函数在区间 I 内线性相关；否则 称线性无关．
例如 当x ( ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ, )时， e x， x , e 2 x 线性无关; e
1， 2 x , sin2 x 线性相关. cos
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
y1 ( x ) 特别地: 若在区间 I 上有 常数， 则函 y2 ( x ) 数 y1 ( x )与 y2 ( x )在 I 上线性无关.
方程的特点：方程右端不显含未知函数y. 方程的解法： 令 y p(x) ,则 y p(x), 将它们
代入方程得
p( x) f ( x, p( x))
这是一个关于自变量 x 和未知函数 p (x) 的 一阶微分方程,若可以求出其通解 p (x,C1) ,则 y ( x, C1 ) 再积分一次就能得原方程的通解.
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
[例 3] 求方程yy
解
y 0的通解.
2
设 y P( y ),
dP 则 y P , dy
dP dP 2 P 0, 即 P ( y 代入原方程得 y P P ) 0, dy dy dP 由 y P 0， 可得 P C1 y , dy
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
思考题解答 dp 法二 : 令y p, 则y p , 代入得 dy dp 2
dy y C或 p p( p 1)
1 dp dx 2 p 1
y C或 arctanp y C1
y C或p y tan(y C1 )
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
3．二阶非齐次线性微分方程解的结构
定理 3 设 y 是二阶非齐次线性方程
*
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x )
*
( 2) 的 一 个
特解, Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的通解, 那么
y Y y 是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.
x x(t ).
解 受力分析
o x x
1. 恢复力 f cx (c 0), dx 2. 阻力 R ( 0). dt
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
d 2x dx F ma , m 2 cx , dt c dt2 且令 2n, k , 则得 m m d 2x dx 2n k 2 x 0 物体自由振动的微分方程 dt 2 dt
0
1 x y ' 1 y ' 2 dx a 0
取原点O到点A的距离为定值 a 于是有
1 y' ' 1 y '2 a y (0) a, y (0) 0
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
a 2C1 2 1 p 将初始条件 y ' (0) p(0) 0 代入①式，解得
1 1 p 2 ，并分离变量得 将 y ' p ， y p 代入得， p' a x x 1 a C1 a dp 1 e e ① dx ，两端积分，得 p 2
x x
1 a 1 C1 1或C1 1(舍). 再将 C1 代入①式，得 p (e e a ), x x 2 a a 将 p y ' 代入上式，并积分得 y (e e a ) C2 ② 2 将初始条件 y (0) a 代入②式，解得 C2 0,
解得曲线方程为 将 C 2 0 代入②式，
a y (e e ). 2
x a
x a
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
f ( x)
小结
1.可降阶的高阶微分方程
y
(n)
两边同时积分n次
2.不显含y的二阶微分方程
y f ( x, y)
令y p , y p
这样的微分方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程．
例如 y 2 y 3 y 0 是二阶常系数齐次线性微分
方程； y 2 y y xex 是二阶常系数非齐次线性微分 方程．
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
1．二阶常系数齐次线性微分方程解法
课题二十一 简单的二阶微分方程
3. y f ( y, y) 型的微分方程 方程的特点：右端不显含自变量 x .
方程的解法：求解这类方程可令 y p ( y ) 则 dy dp ( y ) dy dp y p, dx dy dx dy dp 于是,方程 y f ( y, y) 可化为 p f ( y, p ) . dy 这是关于 y 和 p 的一阶微分方程,如能求出其解 dy p ( y, C1 ) ,则可由 ( y, C1 ) 求出原方程的解. dx
ln(1 p 2 ) ln x ln C1 ，得1 p 2 C1 x .
即 p C1 x 1, 也即 y C1 x 1 .
2 y (C1 x 1) dx (C1 x 1) C2 . 3C1
1 2
3 2
第七章
微 分 方 程
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
解 建立坐标系如图所示，设曲线方程为 y f (x), 由题意得 T sin S , T cos H , 将此两式相除，得
1 tan S , ( a H ) a x tan y' , S 1 y' 2 dx
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
y 1 ( y ) 2 的通解. [例 2] 求方程 2 xy 解 令 y p (x) ,则 y( x) p( x) ，将其代入所给方 2 xpp 1 p 2 , 程,得
2 pd p d x , 两边积分得 分离变量得 2 1 p x
思考题解答
法一 : 令y p, 则y p, 代入得
dp p( p 2 1) dx 1 dp dx 2 p( p 1)
1 p 2 )dp x ln C1 p p 1
(
ln p ln p 2 1 x ln C1
p
p2 1
C1e x
若受到铅直干扰力 F h sin pt, 则
d 2x dx 2n k 2 x h sin pt 强迫振动的方程 dt 2 dt
对于象这样的微分方程，我们给出如下定义:
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
1．二阶线性微分方程的定义
d2y dy P( x) Q( x) y f ( x) 这样的微分方程 形如 2 dx dx
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
一、可降阶的二阶微分方程
1. y ( n) f ( x) 型的微分方程
方程解法：通过 n 次积分就可得到方程的通解.
[例 1] 求方程 y ( 3) cos x 的通解.
解
y
( 3)
cos x, y cos xdx sin x C1,
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
【授课时数】 总时数：6学时. 【学习目标】 1、知道二阶微分方程的概念； 2、会求可降阶的二阶微分方程、二阶常系数线性 齐次和非齐次微分方程的通解或特解。 【重、难点】 重点：可降阶的二阶微分方程和二阶常系数线性微 分方程的定义和解法，由微积分知识引出。 难点：正确求解可降阶的二阶微分方程和二阶常系 数线性微分方程的通解或特解，由实例讲解方法。
3.不显含x的二阶微分方程
y f ( y, y)
2
dy d y dp 令 p( y ) , 则 p( y ) 2 dx dx dy
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
思考题
y ( y ) 3 y 的通解. 求微分方程
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
y C或 cot (y C1 )dy
dx
该微分方程的通解是 y C1 ) C2e x sin(
y C或ln(sin(y C1 )) x ln C2
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
练 习 题
填空题
2 xy 1． y 的通解是 2 1 x 3
dy C1 y , dx
由 P y 0, 得 y C ,
C x 原方程通解为 y C2e 1 .
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
[例 4] 设有一均匀、柔软的绳索，两端固定，绳 索仅受重力的作用而下垂，试问该绳索在平衡状态时 是怎样的曲线．
分析
设绳索的最低点为 A，取 y 轴过点 A 且垂 直向上，取 x 轴水平向右，且|OA|等于某个定 值．设绳索曲线的方程为 y f (x) ，现在考察 绳索上点 A 到另一点 M(x,y)间的一段弧 AM， 设其长 S．假定单位长绳索的重量为ρ ，则弧 AM 的重量为ρ S．由于绳索是柔软的，因而在 点 A 处的张力沿水平切线方向，其大小设为 H． 在点 M 处的张力沿该点处的切线方向， 与水 平线成θ 角，其大小设为 T，因作用于弧段 AM 的外力相互平衡。下面给出解法．