最新三垂线定理及逆定理ppt课件
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三垂线定理及逆定理(一)newPPT教学课件
三垂线定理实质是平面内的直线和平面的斜线垂直 的判定定理.
2020/12/10
6
3.如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结 论成立吗？
P
a
o A α
直线a必须要在平面内,如果a 不在平面内,定理就不一定成ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ立.
2020/12/10
7
D1 A1
D A
解 题 反 思
2020/12/10
C1
B1 C
练习: (1)求证: D1BB1C (2)求证: D 1B平A 面 1C B
B
8
[思考1]:
A
在四面体A-BCD中,A在平面
BCD中的射影O在△BCD内,
试根据下列条件,判断O为
△BCD的什么心?
B
D (1) A到△BCD的三边距离相等.
O
(2) AB=AC=AD.
C
(3) AB,AC,AD两两垂直.
2020/12/10
9
[思考2]:
在四面体A-BCD中
A
若 AB CD ,BC AD ,
OA
a
PA
a
a
A - - - - - - - - 三垂线定理 .
PO
PA
a
OA
a
a
- - - - - - - - 三垂线逆定理
.
2.3.1三垂线定理及其逆定理
三垂线定理是平面
的一条斜线与平面内的 直线垂直的判定定理， 这两条直线可以是： ①相交直线 ②异面直线 e P
d c A
Ob
a
α
注意：如果将定理中
解 题 回 顾
“在平面内”的条件 去掉，结论仍然成立 吗？
例如：当 b⊥ 时， b⊥OA
但 b不垂直于OP
P
b
直线a 在一定要在 平面内，如果 a 不 在平面内，定理就 不一定成立。
（3）垂线段比任何一条斜线段都短
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。
已知 PA、PO分别 是平面的垂线、斜 线，AO是PO在平面 上的射影。a ， a⊥AO。 P
O
a
求证： a⊥PO
A
P
证明：
PA⊥ a
O
a
A
PA ⊥a AO⊥a， AO与PA相交
a⊥平面PAO
PO平面PAO
a⊥PO
例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平面 ABC ，AC ⊥ BC， 求证： PC ⊥ BC 证明：∵PA⊥平面ABC ∴PC是平面ABC的斜线 ∴AC是PC在平面ABC上的射影 ∵BC平面ABC 且AC ⊥ BC A ∴由三垂线定理得 PC ⊥ BC P
O
a
α
A
三垂线定理及其典型例题ppt课件
AB1C内 ∴BD1⊥平面AB1C
C B
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
三垂线定理
关于三垂线定的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。 至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。
从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序：一垂、 二射、三证。即
三垂线定理
PO是平面α的斜线, O为斜足; PA是平面α的垂线, A为垂足; P AO是PO在平面α内的射影.
oa
如果a α, a⊥AO，
α
A
思考a与PO的位置关
系如何？
结论：a⊥PO 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
为什么呢？
小结
三垂线定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也 和这条斜线垂直。
1°定理中四条线均针对同一平面而言 2°应用定理关键是找“基准面”这个参照系 3°操作程序分三个步骤——“一垂二射三证”
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
三垂线定理
例4、设PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=3，PB=4，
三垂线定理ppt课件
O B
精品课件
应用举例
例2、道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角 器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？ 解：在道边取一点C，使BC与道边所成水平角等于90°，
再在道边取一点D，使水平角CDB等于45°， 测得C、D的距离等于20m
A
B
90°
C
精ຫໍສະໝຸດ Baidu课件
45°
D
应用举例
∵BC是AC的射影 且CD⊥BC ∴CD⊥AC(三垂线定理) 因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。
精品课件
即:线射垂直 线斜垂直
O α
a
A
精品课件
定理中包括三种垂直关系：
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P PO
P
aOA
P
a PA
O Aa
O Aa
α
α
直线和 平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
精品课件
O Aa α
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
对定理的几点说明
P
1、三垂线定理描述的是斜线PA、
∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=20m ∴BC=20m， 在直角三角形ABC中 AC2=AB2+BC2，AC= 152+202 =25(m) 答：电塔顶与道路的距离是25m。
三垂线定理PPT教学课件
C是圆O上的任一点（异于A.B两点).则图中
直角三角形的个数是( ) D
A 1个 C 3个
B D
2个 4个
P
A
B
C
三垂线定理
AC例 ，2CB、1，如B图1A，，已求知证正：方BD体1⊥AB平CD面-AA1BB11CC1D1中，连结BD1，
证明：连结BD，连结A1B
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD
D1
P a
Ao α
已知: PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO 是PO在平面α内的射影，且a α，a⊥AO
求证： a⊥PO
证明：PA⊥α aα
①
PA⊥a
AO⊥a
②
a⊥平面PAO
PO 平面PAO
③
a⊥PO
P
a
Ao α
① 线面垂直
② 线线垂直
③ 线面垂直
线线垂直
线面垂直定 义
判定定理
线面垂直定 义
初一英语第二学期同步串讲 第七讲
Do you have an eraser?
Do you have a soccer ball?
在平面内的一条直线，如果和这个 平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的 射影垂直。
已知: PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO 是PO在平面α内的射影，且a α，a⊥PO求证： a⊥AO
课件：三垂线定理及逆定理ppt
线射垂直 线斜垂直
P
提问: 若将条件
o a a⊥AO与结论中
A α
a⊥ PO交换位置
是否还成立？
-
6
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个
平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影 垂直。
已知: PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO
是PO在平面α内的射影，且a α，a⊥PO求证：
a⊥AO
证 PA⊥α ①
O B
D C
AO⊥BD
又AO是PO在ABCD上的射影
PO⊥BD
同理，AC⊥BD PC⊥BD
AC是PC在ABCD上的射影
-
14
(2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC， M是BC的中点，P
求证：BC⊥AM
证明: PB=PC M是BC的中点
PM ⊥BC
PA⊥平面PBC PM是AM在平面PBC上的射影
A BC⊥AM
-
C M B
15
五、课堂小结
P
1、三垂线定理
a
o
2、三垂线逆定理 α A
(1)定理中四条线均针对同一平面而言
(2)应用定理关键是找“基准面”这个参照系
(3)操作程序分三个步骤——“一垂,二射,三 证.”
-
16
六、课后作业:
书P25的习题9.4的3、4题,并预 习后面的内容.
P
提问: 若将条件
o a a⊥AO与结论中
A α
a⊥ PO交换位置
是否还成立？
-
6
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个
平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影 垂直。
已知: PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO
是PO在平面α内的射影，且a α，a⊥PO求证：
a⊥AO
证 PA⊥α ①
O B
D C
AO⊥BD
又AO是PO在ABCD上的射影
PO⊥BD
同理，AC⊥BD PC⊥BD
AC是PC在ABCD上的射影
-
14
(2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC， M是BC的中点，P
求证：BC⊥AM
证明: PB=PC M是BC的中点
PM ⊥BC
PA⊥平面PBC PM是AM在平面PBC上的射影
A BC⊥AM
-
C M B
15
五、课堂小结
P
1、三垂线定理
a
o
2、三垂线逆定理 α A
(1)定理中四条线均针对同一平面而言
(2)应用定理关键是找“基准面”这个参照系
(3)操作程序分三个步骤——“一垂,二射,三 证.”
-
16
六、课后作业:
书P25的习题9.4的3、4题,并预 习后面的内容.
三垂线定理的逆定理(PPT)4-2
一、复习回顾：
1、垂线Байду номын сангаас理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射 影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
2、三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直， 那么它和这条斜线的射影垂直。
【练习】：
△BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的 射影O为△BCD的垂心 求证：点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
1、垂线Байду номын сангаас理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射 影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
2、三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直， 那么它和这条斜线的射影垂直。
【练习】：
△BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的 射影O为△BCD的垂心 求证：点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
三垂线定理ppt课件
P
证：∵PA⊥平面ABC，BC在平 面ABC内
∴PA⊥BC，又∠ABC=90°，
∴BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，
A
PB在平面PAB内，
∴BC⊥PB
思考： （1）证明线线垂直的方法有哪些？ （2）三垂线定理及其逆定理的主要内容。
C B
Βιβλιοθήκη Baidu
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11
例题2:如图所示，已知PA ⊥平面ABC，∠ACB= 90°， AQ⊥PC， AR⊥PB，试证∆PBC、 ∆PQR为直角三角形。
P
A Oa α
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9
三垂线定理包含几种垂直关系:
(1)线面垂直
P
α A Oa
直线和 平面垂直
（2）线射垂直
P
α A Oa
平面内的直 线和平面一 条斜线的射 影垂直
（3）线斜垂直
P
α A Oa
平面内的直 线和平面的 一条斜线垂 直
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10
例题一、引例：如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=90°， 求证：BC⊥PB。
l 平面：a
O a
斜线：l 斜足：O
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5
射影
点：平面外一点向平面引垂线，那么垂足就是该 点在平面内的射影。
任何一个图形由点组成的，所以，图形发在平面 内的射影就是图形上的每一个点在平面内的射影 点组成图形是。显然直线的射影是直线。
证：∵PA⊥平面ABC，BC在平 面ABC内
∴PA⊥BC，又∠ABC=90°，
∴BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，
A
PB在平面PAB内，
∴BC⊥PB
思考： （1）证明线线垂直的方法有哪些？ （2）三垂线定理及其逆定理的主要内容。
C B
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11
例题2:如图所示，已知PA ⊥平面ABC，∠ACB= 90°， AQ⊥PC， AR⊥PB，试证∆PBC、 ∆PQR为直角三角形。
P
A Oa α
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9
三垂线定理包含几种垂直关系:
(1)线面垂直
P
α A Oa
直线和 平面垂直
（2）线射垂直
P
α A Oa
平面内的直 线和平面一 条斜线的射 影垂直
（3）线斜垂直
P
α A Oa
平面内的直 线和平面的 一条斜线垂 直
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10
例题一、引例：如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=90°， 求证：BC⊥PB。
l 平面：a
O a
斜线：l 斜足：O
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5
射影
点：平面外一点向平面引垂线，那么垂足就是该 点在平面内的射影。
任何一个图形由点组成的，所以，图形发在平面 内的射影就是图形上的每一个点在平面内的射影 点组成图形是。显然直线的射影是直线。
9.4.4三垂线定理及逆定理(1) 课件 曹新田
H E F
G
D A HC与EF在平面 与 在平面 ABCD上的射影 上的射影 分别是什么？ 分别是什么？ B
HC与FG在平面 与 在平面 ABCD上的射影 上的射影 分别是什么？ 分别是什么？ DC与BC 与 FG与EA在平面 与 在平面 C ABCD上的射影 ABCD上的射影 分别是什么？ 分别是什么？ BC与A点 与 点
DC与AB 与
A B C D 从平面外一点向这个 从平面外一点向这个 平面所引的垂线段和斜线 段AB、AC、AD、AE… 、 、 、 哪一条最短？ 中，哪一条最短？
α E
垂线段比任何一条斜线段都短
A OB=OC ⇒ AB=AC OB＞OC ⇒ AB ＞AC ＞ AB = AC ⇒ OB=OC AB＞AC ⇒ OB＞OC ＞ ＞
a⊥PO
P
α
O
a
A
对三垂线定理的说明： 对三垂线定理的说明：
1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、 三垂线定理描述的是PO(斜线) AO(射影) PO(斜线 射影 a(直线 之间的垂直关系。 直线) a(直线)之间的垂直关系。 2、a与PO可以相交，也可以异面。 PO可以相交，也可以异面。 可以相交 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理。 平面内的一条直线垂直的判定定理。
例如： 例如：当 b⊥α 时， ⊥ b⊥OA ⊥ 不垂直于OP 但 b不垂直于 不垂直于
三垂线定理及逆定理课件
解 题 回 顾
α
A1
A
O
a
α
P
a
B1
C1
P
C B
A M B
C
使用三垂线定理还应注意些什么？
解 题 回 顾
三垂线定理是平面
的一条斜线与平面内的 直线垂直的判定定理， 这两条直线可以是： ①相交直线 ②异面直线 P
α
e d c A
O b
a
注意：如果将定理中
解 题 回 顾
“在平面内”的条件 去掉，结论仍然成立 吗？
一找垂线、垂面 二找斜线 三定射影 四证直线
P A O
α
a
四、应用
例1、 已知P 是圆O所在平面外一点， PA⊥圆O所在 平面 ，A B为圆O 的直径，C为圆周上除A、B以外的 任一点， 求证： PC ⊥ BC 证明：由题可知 PA⊥平面ABC P ∴PC是平面ABC的斜线 ∴PC在平面ABC上的射影是AC ∵AB为直径 ∴ AC ⊥ BC A ∵BC 平面ABC ∴ PC ⊥ BC
在平面 内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线垂直，那 么，它也和这条斜线的射影垂 直。
线斜垂直
四、练习与作业
已知 PA、PB、PC两两垂直， 求证：P在平面ABC内的射影是 △ABC的垂心 P
三垂线定理PPT课件
的距离。
A 解：过B
F
B E
二、应用
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部
的距离。
A 解：过B
F
B E
二、应用
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部
的距离。
A 解：过B
F
B E
二、应用
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部
的距离。
已知：AC和AB分别是平面的垂
线和斜线，BC是AB在平面
C
B
a
上的射影，a，aBC。 求证： aAB。
一、三垂线定理
1.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 A 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知：AC和AB分别是平面的垂
线和斜线，BC是AB在平面
C
B
a
上的射影，a，aBC。 求证： aAB。
∴a平面ACB
∵AB 面ACB
∴a AB
2.三垂线定理的逆定理
A
在平面内的一条直线 如果和
a
B
这个平面的一条斜线垂直 那么它
2.三垂线定理的逆定理
A
在平面内的一条直线 如果和
a
B
这个平面的一条斜线垂直 那么它
2.三垂线定理的逆定理
A
三垂线定理及其逆定理
§9.4.2 三垂线定理及其逆定理
复习回顾
P
导入新课
讲授新课
A
B
C 巩固新课
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥ 平面AC,DD1为平面AC的垂线，BD1为平面AC的 斜线。
D1
思考：
A1
1、直线BD,AC和BD1之间有 怎样的位置关系？
D
2、总wenku.baidu.com：
A
C1 B1
C
B
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个
影，则 a⊥b
（× ）
⑶ 若a是平面α的斜线，直线b α
且b垂直于a在另一平面β内的射
影则a⊥b
（× ） D
⑷ 若a是平面α的斜线,b∥α,直线
b垂直于a在平面α内的射影，
A
则 a⊥b
（√ ）
C1 B1
C B
例2 在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC
证明：作AO⊥平面BCD于点O，
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
P
已知：PA，PO分
别是平面 的垂线和斜
线，AO是PO在平面
A
O a 的射影,a ,a ⊥PO
α
求证：a ⊥AO
线射垂直 定逆定理理线斜垂直
复习回顾
P
导入新课
讲授新课
A
B
C 巩固新课
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥ 平面AC,DD1为平面AC的垂线，BD1为平面AC的 斜线。
D1
思考：
A1
1、直线BD,AC和BD1之间有 怎样的位置关系？
D
2、总wenku.baidu.com：
A
C1 B1
C
B
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个
影，则 a⊥b
（× ）
⑶ 若a是平面α的斜线，直线b α
且b垂直于a在另一平面β内的射
影则a⊥b
（× ） D
⑷ 若a是平面α的斜线,b∥α,直线
b垂直于a在平面α内的射影，
A
则 a⊥b
（√ ）
C1 B1
C B
例2 在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC
证明：作AO⊥平面BCD于点O，
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
P
已知：PA，PO分
别是平面 的垂线和斜
线，AO是PO在平面
A
O a 的射影,a ,a ⊥PO
α
求证：a ⊥AO
线射垂直 定逆定理理线斜垂直
补充专题：三垂线定理和逆定理
新课学习
如果将定理“在
平面内”的条件去掉， 结论仍然成立吗？
例如：当 b⊥ 时， b⊥OA
但 b不垂直于OP
P
b
直线a 在一定要在平面 内，如果 a 不在平面内， 定理就不一定成立。
Oa
αA
例题讲解
例1 直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) 已知：PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD
成 立
变式训练
求证：如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等， 那么这一点与角顶点连线与角的两边成角相等
已知：∠BAC在平面内，点P，PE⊥AB，PF⊥AC，
PO⊥ ，垂足分别是E、F、O，PE=PF
P
求证：∠PAF=∠PAB
EB O
A
C
F
D
同理CO⊥BD，
于是O是△BCD的垂心，
C
∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.
课堂练习
2 在四面体PABC中，已知PA⊥PB，PA⊥PB,PB⊥PC
求证：P点在面ABC内的射影 O为三角形ABC的垂心
P
A
O
C
B
例题讲解
例3 . 求证：如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相 等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。
已知：∠BAC在平面内，点P，PE⊥AB，PF⊥AC，
相关主题
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P
O Aa α
什么叫平面的垂线、斜线、射影？
直线PA是平面α的垂线, A为垂足;垂足A叫点P在平
面内α的正射影(简称射影）.
直线PO是平面α的斜线, O为斜足;
P
Байду номын сангаас
o
α
A
（斜线上一点与斜足 间的线段叫斜线段）
AO是PO在平面α内的射影.
P
oa
α
A
如果a α, a⊥AO， 思考a与PO的位置关 系如何？
三垂线定理及逆定理ppt课 件
1、直线与平面垂直的判定方法： （1）定义；（2）判定定理；（3）例1 2、直线与平面垂直的性质： （1）定义；（2）性质定理； （3）例3 3、直线与平面垂直和直线与直线垂直是可以相互转化的.
4、应用判定定理时，一定要弄清条件.
5、两个唯一结论.
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直 线，如果它和这个平面的一条斜线垂直， 那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。