极化恒等式优化向量题解法

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(完整版)平面向量极化恒等式

平面向量
巧用极化恒等式，妙解一类向量题
如图，AB a, AD b，试证明平行四边形四边和对角线性质。
2
2
2
2
2
AC AC a b a 2a b b
2
2
2
2
2
DB DB a b a 2a b b
（1）（2）
（1）+（2）得：
2
AC
2
DB
2
2
a
b 2
2
2
AB
AD 2
（1）—（2）得：
a
b
＝
1 4
a
b源自文库
2
ab
2
————极化恒等式
应用一：求值例1.(2012浙江15)在ABC中，M是BC的中点， AM 3, BC 10,则AB AC
A
B
M
C
应用二：求范围
例2.已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则PA PB的取值范围是____;
C
P
A
D
B
跟踪练习： AB 4, AC 2, BAC 60o , AP 2, 则(PB PC )max _______
跟踪练习：
例 3.（2013 浙江理 7）在 ABC 中, P0 是边 AB 上一定点，

平面向量中的极化恒等式及有关最值(范围)问题(1)

4 1NM2(三角形模式). 4 3.平面向量中的最值(范围)问题 (1)向量数量积投影、向量的模、夹角的最值(或范围)；(2)向量表达式中字母参数的最值(或范围).
题型一极化恒等式的应用【例 1】 (1)在△ABC 中，M 是 BC 的中点，AM＝3，BC＝10，则A→B·A→C ＝________.
则D→E·D→A的值为________.
(2)若点 O 和点 F 分别为椭圆x2＋y2＝1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆 43
上的任意一点，则O→P·F→P的最大值为( )
A.2
B.3
C.6
D.8
解析 (1)取 AE 中点 O，设 AE＝x(0≤x≤1)，则 AO＝1x，∴D→E·D→A＝ 2
DO2－1AE2＝12＋
∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b.
即 6≥5＋2a·b，∴a·b≤12.
答案 (1) 2 (2)A (3)1
2
2
【训练 2－2】 (1)(2020·杭州四中仿真)若非零向量 a，b 满足 a2＝(5a
－4b)·b，则 cos〈a，b〉的最小值为________.
(2)(2019·浙江名师预测卷一)已知向量 a，b 满足|b|＝1，|a＋b|＝2|a－b|，
因为|a＋b|－|a－b|≤|(a＋b)－(a－b)|≤|a＋b|＋|a－b|，即|a－b|≤2≤3|a

高中数学平面向量专题——专题07??极化...

高中数学平面向量专题——专题07 极化...

高中数学平面向量专题——专题07 极化恒等式问题

极化恒等式这个概念虽在课本上没有涉及，但在处理一类向量数量积时有奇效

1.极化恒等式：

2.极化恒等式三角形模型：

3. 极化恒等式平行四边形模型：

题型总结归类：

类型一利用极化恒等式求值

类型二利用极化恒等式求最值或范围

类型三利用极化恒等式求参数

全国卷向量考察基本送分题，一般难度不大，但是对于基础比较好的多学一点技巧和解题套路，没有坏处。[玫瑰][玫瑰][玫瑰][玫瑰][撒花][撒花][撒花]

专题11向量极化恒等式

专题11 向量极化恒等式

平行四边形形式：若在平行四边形ABCD 中，则22

1()

AB AD AC DB ⋅=- 三角形形式：在ABC ∆中，M 为BC 的中点，所以222214

AB AC AM MB AM BC

⋅=-=-

,AB a AD = 证明：不妨设

利用极化恒等式求数量积的定值

【变2】

3．在边长为1的正三角形

等于．

利用极化恒等式求数量积的定值问题的步骤

利用极化恒等式求数量积的最值

(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；

【素养落地】本题充分考查了向量运算，

做出中点，利用极化恒等式可秒杀此类问题观想象、数学运算的核心素养

A ．44

B ．229．如图，B

C 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径，A ．34

（2022·福建莆田一中高三模拟）

10．如图，在ABC 中A ．1

B ．2（2022·海口一模）

11．设,A B 是半径为2的圆O 上的两个动点，点A ．[1,3]

-B ．[1,3]

（2022四川南充高三开学摸底联考）

12．已知直线l ：10x y +-=

14．正方体1ABCD A B -意两点之间的线段称为球的弦PM PN ⋅

的取值范围是 (2022·镇海中学模拟)

15．在面积为2的ABC 中，E ，F 2

PC PB BC ⋅+ 的最小值是 .

16．已知向量,a b 及实数t 满足a b t + （2022南京29中模考）

17．在ABC 中，点E F ，分别是线段

参考答案：

所以

(,)

AD=--

，AE

故答案为：13 18

4．B

【分析】根据条件建立坐标系，

向量极化恒等式

2 2 2 ，此时 PA PB 有最小值 6
min
三、解题方法总结
极化恒等式可求解的向量数量积问题基本特征是两向量同起点，若两向量不同起点可转
化为两向量同起点，也可考虑用极化恒等式求解。
1、两向量同起点，最常见的考查形式是两向量终点为定点或两终点连线为定长。如求
2
2 AB
解 AB AC 时，若 B,C 为定点或 BC 为定长，则 AB AC AD
例 3．（河南省南阳市第一中学 2018 届高三第十二次考试）已知 AB 为圆 C : x2 y2 2 y 0
的直径，点
P
为直线 l
:
y
x
1 上任意一点，则
2 PA
PB
2
的最小值为
。
2 2
2 2
2
解： PA PB 2 PC AC 2 PC 2
当 CP l 时， PC 取最小值 PC
微专题：极化恒等式
一、基础知识回顾
极化恒等式：
a
b
1 4
ab
2
ab
2
2 2
如图，当计算 AB AC 时，根据计划恒等式可得 AB AC AD BD ，这一表达
式将数量积与和中点有关的线段相联系，将相对抽象的向量数量积问题转化为较为直观的两个向量模长的关系，在解决一些与中点、长度密切相关的向量数量积问题时，往往能化繁为简，大大减少计算量。

巧用极化恒等式,妙解高考向量题

设OA ＝a, OB b, D为AB的中点，即点 C的轨迹是以D为起点，以
例4
数量积有关的范围问题
点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD -A 1B 1C1 D1 的底面 A1B 1C 1D1 1 ， 1 上的一点，则 PA PC 的取值范围为 2 .
A
. M B
.P
D1
（ 2014 年7月学考）：已知 RTABC的斜边AB的长为4，设P是以C为圆心， 1为半径的圆上任意一点，求PA PB的取值范围。
解： PA PB ＝(
PA PB 2 PA －PB 2 AB ) －( ) ＝PM －＝ | PM | 2 －4 2 2 4
2
2
1 ｜ PM ｜ 3
取OB的中点 D，作 DE AB于E， 1 易知： OP BP ＝PO PB ＝ [(PO PB) 2－( PO PB) 2 ] 4 2 2 1 1 2 [(2 PD) BO ] PD 4 4 3 3 而| PD | [| DE |, | AD |] [ , ] 4 2 1 1 故取值范围是 [ , ] 16 2
2 2 PM PN 2 PM PN 2 1 PM PN ( ) ( ) PO MN 2 2 4
| MN |[2,6], | PO |[1,3]
PM PN [8,8]
例： (2013 年平湖市高三)正方体的棱长为 2, MN是它内切球的一条弦， P为正方体表面上的动点，当弦MN最大时，则PM PN的最大值为

巧用极化恒等式秒杀高考向量题

冷世平整理

说明：由于前几天，大家经常提到极化恒等式，本人便收集整理了一些相关资料，相对较系统，且加入了群里大家讨论的部分题目，由于相当一部分内容非原创，所以只和大家分享一下自己整理的好东西而已，故不作投稿使用。

高中数学中存在着大量等量关系，如立方差(和)公式、二项展开式、两角和与差公式等.在高中数学中常能见到这些等量关系的身影，这也是高中教学重点关注的对象.但有些等量关系看似冷门，甚至课本上都不出现，但它在问题解决过程中却能起到立竿见影的效果，实现对问题的快速“秒杀”，极化恒等式就是可以“秒杀”高考向量题的一个有力工具。 1.极化恒等式

极化恒等式最初出现于高等数学中的泛函分析，它表示数量积可以由它诱导出的范数来表示，把这

个极化恒等式降维至二维平面即得：21()()4

a b a b a b 2

⎡⎤⋅=+--⎣⎦ ，有时也可将其写成。

4()(a b a b a b ⋅=+-- )注：21()()4a b a b a b ⎡⋅=+--⎣ 2⎤⎦表明向量的内积运算可以由向量线性运算的模导出(也是向量内积的另一种定义)，是沟通向量内积运算和线性运算的重要公式.若是实数，则恒等式,a b 21()()4

a b a b a b ⎡⋅=+--⎣2⎤⎦也叫“广义平方差”公式；极化恒等式的几何意义是:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角

线”与“差对角线”平方差的14，即2222

14a b AD BC AM BM ⎡⎤⋅=

-=-⎣

⎦ （如图）

在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，22214

高一数学微专题++妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题(解析版)

妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题

【题型归纳目录】题型一：定值问题题型二：范围与最值问题题型三：求参问题以及其它问题

【方法技巧与总结】

(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：

|a +b |2+|a -b |2=2(|a

|2+|b |2)

证明：不妨设AB =a ,AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -b

AC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2

①DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2 ②①②两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2 =2AB 2+AD 2 (2)极化恒等式：

上面两式相减，得：14

a +

b 2-a -b 2 ----极化恒等式

①平行四边形模式：a ⋅b =1

AC 2-DB 2

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的

.②三角形模式：a ⋅b =AM 2-1

DB 2(M 为BD 的中点)

【典型例题】题型一：定值问题

1(2024·全国·高三专题练习)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 、F 是AD 上的两个三等分点，BA ·CA =4，BF ·CF =-1，则BE ·CE 的值是()

A.4

B.8

【答案】C

【解析】因为D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，

所以BF =BD +DF ，CF =CD +DF =-BD +DF ，BA =BD +DA =BD +3DF ，CA =CD +DA =-BD +3DF ，

培优点向量极化恒等式

平面向量基本定理及数量积是高考考查的重点，很多时候需要用基底代换，运算量大且复杂，用向量极化恒等式、等和(高)线求解，能简化向量代换，减少运算量，使题目更加清晰简单．

考点一向量极化恒等式

极化恒等式：a ·b ＝⎝⎛

⎭⎫a ＋b 22－⎝⎛⎭⎫a －b 22

变式：(1)a ·b ＝(a ＋b )24－(a －b )24，a ·b ＝|a ＋b |24－|a －b |2

(2)如图，在△ABC 中，设M 为BC 的中点，则AB →·AC →＝AM →2－14

CB →2＝AM →2－MB →2

考向1 利用向量极化恒等式求值

例1 (1)如图所示，在长方形ABCD 中，AB ＝45，AD ＝8，E ，O ，F 为线段BD 的四等分点，则AE →·AF →

＝________.

答案 27

解析 BD ＝AB 2＋AD 2＝12， ∴AO ＝6，OE ＝3， ∴由极化恒等式知

AE →·AF →＝AO →2－OE →2＝36－9＝27.

(2)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点．BA →·CA →＝4，BF →·CF →

＝－1，则BE →·CE →

的值为________．

答案 78

解析设BD ＝DC ＝m ，AE ＝EF ＝FD ＝n ，则AD ＝3n .

根据向量的极化恒等式，

得AB →·AC →＝AD →2－DB →

2＝9n 2－m 2＝4，① FB →·FC →＝FD →2－DB →

2＝n 2－m 2＝－1.② 联立①②，解得n 2＝58，m 2＝138.

专题一平面向量的极化恒等式(含解析)

专题八平面向量的极化恒等式

利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决．

1．极化恒等式：a ·b ＝1

[(a ＋b )2－(a －b )2]

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14

．

2．平行四边形模式：如图(1)，平行四边形ABCD ，O 是对角线交点．则：(1)AB →·AD →＝1

[|AC |2－|BD |2]．

3．三角形模式：如图(2)，在△ABC 中，设D 为BC 的中点，则AB →·AC →

＝|AD |2－|BD |2．三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．记忆：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．考点一平面向量数量积的定值问题【方法总结】

利用极化恒等式求数量积的定值问题的步骤

(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；

(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值．

积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积，从而用极化恒等式解决．在运用极化恒等式求数量积时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线及第三边的长度，通常用平面几何方法或用正余弦定理求解，从而得到数量的值．

以小博大，很多数学老师不知道的极化恒等式，解决6类平面向量问题

以小博大，很多数学老师不知道的极化恒等式，解决6类平面

向量问题

“曲中求直，蓄而后发，此谓借力打人，四两拨千斤也”。出自武术大家李亦畲的《五字诀》，用于说明太极之奥义。

今天介绍一个平面向量的极化恒等式，亦有“四两拨千斤”之妙。一个公式，六种用法，小公式，大力量！

求解数量积常用的方法基底法、坐标法和图形法（几何意义法），但有时其解题过程运算复杂、过程繁冗，经常导致错误。此时若能巧用极化恒等式，往往化繁为简，快速找到解题突破口。本文以近几年高考、模拟试题为例，对极化恒等式在数量积问题中的应用进行分类整理，有助于学生成绩快速提升！

定理：设a，b是平面内的两个向量，则有a·b= 1/4

［（a+b）²-（a-b）²］.

推导方式比较容易，只需将右侧平方公式打开即可！

几何意义：△ABC中，AD为中线。则有：

极化恒等式的几何意义

即：向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，揭示了三角形中线与边的关系，也可以理解为向量的数量积可表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的1/4。特征：两个向量必须共起点，点D是两个向量夹角所对第三向量（这两个向量之差）上的中点。

题型一：三角形中数量积

【点评】利用极化恒等式构造方程组，从而求出数量积的值。对于从中线与底边这两个方向寻找基底向量的数量积问题，可以运用极化恒等式，把数量积转化为数量的运算，大大简化计算量！

【分析】此题是最值问题，标准答案是坐标法。计算量较大，此时利用极化恒等式直接将数量积转化，利用均值非常简单。

以下是几道三角形模型适合极化恒等式关于数量积的练习题。用来给学生练习使用。

极化恒等式在向量问题中的应用专题

极化恒等式正在背量问题中的应用博题之阳早格格创

做

阅读以下资料：

两倍等于两条邻边平方和的平方和平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表,,b AD a AB ==证明：不妨设

，

，则b a DB b a A -=+=C ()

2C C b b a a b a A A +⋅+=+== （1） ()

b a a b a DB

DB +⋅-=-== （2）

（1）（2）二式相加得：

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2

2222

22C AD AB b a DB A 论断：仄止四边形对付角线的仄圆战等于二条邻边仄圆战的二倍.

思索1：如果将上头（1）（2）二式相减，能得到什么论断呢？

b a ⋅＝()()

⎥⎦⎤⎢

⎣⎡--+2241

b a b a ————极化恒等式

对付于上述恒等式，用背量运算隐然简单说明.那么鉴于上头的引例，您感触极化恒等式的几许意思是什么？几许意思：背量的数量积不妨表示为以那组背量为邻边的仄止四边形的“战对付角线”与“好对付角线”仄圆好的4

即：[]224

1DB AC b a -=⋅（仄止四边形模式）

思索：正在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中面），此

图1

恒等式怎么样表示呢？果为AM AC 2=，所以2

1DB AM

b a -

⋅（三角形模式）例 1.(2012年浙江文15)正在ABC ∆中，M 是BC 的中面，3,10AM BC ==，则AB AC ⋅=____.

解：果为M 是BC 的中面，由极化恒等式得：

高中数学平面向量极化恒等式

)
（1）（2）两式相减得：
a
b
1 4
(a
b)2
(a
b)2
——极化恒等式
a b= 1 ( OD 2 AB 2) 4
——平行四边形模型
a b= OM 2 MA 2
——三角形模型
例1.(2012年浙江高考题) 在ABC中，M 是BC的中点，AM 3,
BC 10,则AB AC _______ .
1、定义法
2、几何意义法（投影法）
3、基底法
4、坐标法
谢谢聆听
课后思考题：(2008年浙江省高考题) 已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量，
若向量c满足 a c b c =0，则 c 的最大值是（）
A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2
由极化恒等式：
4
a
c
b
c
=
a
c
课堂小结：
一、使用极化恒等式求数量积的最值问题时可按如下步骤处理问题：
(1)把两个向量化为共起点向量；
(2)构建三角形，取连接两向量终点的线段的中点，把数量积的最值转化为某个向量模的最值；
(3)利用题目中的特殊条件找到动点的最佳位置，进而求最值.
二、向量数量积的最值问题还可以从多角度去
思考：
+
b
c
2
a
c

高中数学巧用极化恒等式秒杀高考向量题

极化恒等式最初出现于高等数学中的泛函分析，它表示数量积可以由它诱导出的范数来表示，把这

个极化恒等式降维至二维平面即得：21()()4

a b a b a b 2

⎡⎤⋅=+--⎣⎦ ，有时也可将其写成。

a b a b a b ⎡⋅=+--⎣2⎤⎦也叫“广义平方差”公式；极化恒等式的几何意义是:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角

线”与“差对角线”平方差的14，即2222

14a b AD BC AM BM ⎡⎤⋅=

-=-⎣

⎦ （如图）

在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，22214

a b AM BM AM BC ⋅=-=-2

，它揭示了三角

形的中线与边长的关系。

此恒等式的精妙之处在于建立起了向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现了向量与几何、代数的巧妙结合。

2022年高考数学必刷压轴题专题23极化恒等式含解析

专题23 极化恒等式

【方法点拨】极化恒等式：221

()()4a b a b a b ⎡⎤⋅=+--⎣

⎦.

说明：

（1）极化恒等式的几何意义是：设点D 是△ABC 边的中点，则

22221

||||4

AB AC AD BC AD BD ⋅=-=-，即：向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差．

（2）具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合.

（3）遇到共起点的两向量的数量积问题，常取第三边的中点，从而运用极化恒等式加以解决. 【典型例题】

例1 如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，,E F 是AD 上两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是．【答案】

【解析】设BD x =，DF y =

由极化恒等式得2

2294BA CA AB AC AD BD y x ⋅=⋅=-=-=， 2

221BF CF FB FC FD BD y x ⋅=⋅=-=-=-

解之得可得2294a b -=，22

1a b -=-，因此213

x =，258y =，

因此2

2245137

4888

BE CE EB EC ED BD y x ⨯⋅=⋅=-=-=-=．点评：

紧紧把握极化恒等式使用条件，三次使用极化恒等式求解.

例2 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 是平面ABC 内一点，则(2)PA PB PC +的最小值为．【答案】73