极化恒等式优化向量题解法

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高中数学平面向量专题——专题07??极化...

高中数学平面向量专题——专题07 极化...
高中数学平面向量专题——专题07 极化恒等式问题
极化恒等式这个概念虽在课本上没有涉及，但在处理一类向量数量积时有奇效
1.极化恒等式：
2.极化恒等式三角形模型：
3. 极化恒等式平行四边形模型：
题型总结归类：
类型一利用极化恒等式求值
类型二利用极化恒等式求最值或范围
类型三利用极化恒等式求参数
全国卷向量考察基本送分题，一般难度不大，但是对于基础比较好的多学一点技巧和解题套路，没有坏处。

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向量点积另类方法--极化恒等式

向量点积另类方法--极化恒等式向量点积另类方法 - 极化恒等式背景向量点积是在线性代数中常用的操作，它可以计算两个向量之间的相似性或夹角。

传统的向量点积方法是将两个向量的对应元素相乘并求和，得到一个标量值。

然而，存在一种另类的向量点积方法，即极化恒等式方法。

极化恒等式方法极化恒等式方法是一种通过向量的乘法和加法操作来计算点积的方法。

具体而言，对于两个向量a和b，我们可以使用极化恒等式进行点积计算如下：a ·b = 1/4[(a + b)^2 - (a - b)^2]这个公式可以分解为两个部分，分别是(a + b)^2和(a - b)^2。

其中，(a + b)^2可以通过向量加法和乘法来计算，而(a - b)^2同样也可以通过向量加法和乘法来计算。

优势和应用极化恒等式方法相对于传统的点积方法具有以下优势：1. 可扩展性：极化恒等式方法可以扩展到高维向量计算，适用于更复杂的问题。

2. 简化计算：极化恒等式方法通过将点积计算分解为乘法和加法操作，简化了计算过程，降低了计算复杂度。

3. 稳定性：极化恒等式方法在计算过程中避免了大量的乘法操作，从而降低了数值计算中的误差累积。

极化恒等式方法在各种应用中都有着广泛的应用，特别是在机器研究、计算机视觉和信号处理等领域。

通过将点积计算分解为加法和乘法操作，可以提高计算效率，同时保持结果的准确性。

结论极化恒等式方法是一种另类的向量点积计算方法，通过将点积计算分解为加法和乘法操作，提供了一种简化计算、提高效率的解决方案。

在各种应用中都有着广泛的应用前景。

以上是关于向量点积另类方法 - 极化恒等式的文档内容，希望对您有所帮助。

向量极化恒等式

2 EF
AF
2
21
，选
A。
16
4．（2017 年新课标Ⅱ）已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则
PA PB PC 的最小值是
A． 2
B． 3 2
C． 4 3
D． 1
解：记 BC 中点为点 D ， AD 中点为点 E ，则
PA
PB PC
题型二：利用极化恒等式求解两向量不同起点，但可转化为两
同起点向量的数量积问题
例 2．（2016 年江苏）如图，在 ∆ABC 中， D 是边 BC 的中点， E, F 是 AD 上的两个三等
分点， BA CA 4, BF CF 1 ，则 BE CE
。
解：由极化恒等式：
BA
，其中 D 为 BC
4
中点，此时 AB AC 的值只依赖于 AD 的值，向量数量积的问题转化为两点间距离问题，
难度大大降低。
2、两向量不同起点时，考虑转化为同起点两向量数量积。如例 2 中求解 BE ⋅CE ，两
向量同终点不同起点，但经转化后 BE CE EB EC 同起点，亦可利用极化恒等式求解。
1 4
AB
，且对于边
AB
上
任一点 P ，恒有 PB PC P0B P0C 则（
）
A． ABC=90 B． BAC=90 C． AB AC D． AC BC
解：记
AB
中点为点
H
， BC
中点为点
M
，则
PB PC
2 PM
2 BM
，注意到
BM
2
为定
值，即 P 为 P0 时 PM 最小时，故 MP0 AB, CH AB CA CB ，选 D。

巧用极化恒等式,妙解高考向量题

巧用极化恒等式，妙解高考向量题
想一想
在处理向量的问题中，一个强有力的工具，特别在求向量数量积最值的时候，甚至是“秒杀”某些高考向量题，那就是向量的极化恒等式。
M
4a b (a b) (a b)
2
2
极化恒等式的几何意义：
(a b) 2 (a b) 2 a b 4
设OA ＝a, OB b, D为AB的中点，即点 C的轨迹是以D为起点，以
例4
数量积有关的范围问题
点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD -A 1B 1C1 D1 的底面 A1B 1C 1D1 1 ， 1 上的一点，则 PA PC 的取值范围为 2 .
A
. M B
.P
D1
在ABC中，点 E，F分别是线段 AB，AC的中点，点 P在直线 EF上，若ABC的面积为 2，则 PC PB BC 的最小值是
2 2 1 取BC的中点 D，在 PBC内使用恒等式得： PC PB ＝PD －BD ＝ | PD | 2 | BC | 2 , 4 4 2 2 因为 ABC的高 h , PBC的高为 , 从而 | PD | , | BC | | BC | | BC | 3 4 3 2 从而原式 | PD | 2 | BC | 2 | BC | 2 3 2 4 4 | BC |
解二：建系： AB 所在直线为 x 轴， AB 中垂线为 y 轴，设 AB 4 ， C (a, b), P( x,0) 则 A(2,0), B(2,0), P0 (1,0)
(2 x)(a x) a 1恒成立，即 x 2 (a 2) x a 1 0 在 2 x 2 恒成立， a 2 0 ，即点 C 在 AB 的中垂线上， CA CB 。

极化恒等式-教师版

极化恒等式知识精讲：1.极化恒等式:a ⃗ ⋅b ⃗ =14[(a ⃗ +b ⃗ )2−(a ⃗ −b⃗ )2] 2.极化恒等式的几何意义是：设点M 是△ABC 边的中点，则AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−14|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AM 2−BM 2，即：向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差．1.已知A 为椭圆x 29+y 25=1上的动点，MN 为圆(x −1)2+y 2=1的一条直径，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为________.备注：极化恒等式的典型应用BC2. （三星）（2017全国2理）已知ΔABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值是（）A.−2B.−32 C. −43 D.−1 解：方法一：建系法连接OP ，OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0). PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,−y )⋅(−x,√3−y) ∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−√3y =x 2+(y −√32)2−34 ∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−34，∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−32 ∴最小值为−32方法二：均值法∵PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 由上图可知：OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；两边平方可得3=(PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2+(PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2−2PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∵ (PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2+(PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2≥−2PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴ 2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−32∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−32，∴最小值为−32 解法三：配凑法 ∵PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )22=(PO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )22≥−32∴最小值为−323．在∆ABC 中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是∆ABC 所在平面上的任意一点，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为 A ．1B ．2C ．-2D ．-1【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D 在原点处，点A 在y 轴上，则A (0,2)．设点P 的坐标为x y (,)，则(,2),(,)PA x y PO x y =−−=−−，故()22(2)PA PB PA PC PA PB PC PA PO x y y ⋅+⋅=⋅+=⋅=+−22=+−−≥−x y 2[(1)]2222，当且仅当==x y 0,1时等号成立．所以PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为−2．选C ．4. （武汉二中高二）已知圆M:x 2+(y −1)2=1, 圆N:x 2+(y +1)2=1, 直线l 1、l 2分别过圆心M ,且l 1与圆M 相交于A 、B , l 2与圆N 相交于C 、D , P 是椭圆x 23+y 24=1上的任意一动点, 则PA → ⋅PB → +PC → ⋅PD →的最小值为______________.6 备注：用到极化恒等式5．在平面四边形ABCD 中，===AB BC CD 22，∠ABC =60∘,∠ADC =90∘，若BE →=EF →=FG →=GC →，则2AE →∙DC →+AE →∙AF →=_____；若P 为边BC 上一动点，当PA →∙PC →取最小值时，则cos ∠PDC 的值为_____．解：∵平面四边形ABCD 中，===AB BC CD 22，∠ABC =60∘,∠ADC =90∘，∴△ABC 是边长为2的等边三角，在Rt △ADC 中，AC =2,CD =1，所以∠ACD =60∘，又BE →=EF →=FG →=GC →， ∴E,F,G 是BC 边的四等分点．如图建立坐标系：则：A(0,√3),B (−1,0),C (1,0)， D (32,√32),E (−12,0),F (0,0),G (12,0)，所以2AE →DC →+AE →AF →=2(−12,−√3)(−12,−√32)+(−12,−√3)(0,−√3)=132，再设P (x,0)，则−1≤x ≤1，∴PA →PC →=(−x,√3)(1−x,0)=x 2−x =(x −12)2−14，显然x =12时，PA →PC →最小，此时P (12，0)，∴cos ∠PDC =cos ⟨DP →，DC →⟩=(−1，−√3)⋅(−1，−√3)(−1)+(−√32)(−12)+(−√32)=5√714．故答案为：132，5√714．6．在△OAB 中，OA =OB =2，AB =2√3，动点P 位于直线OA 上，当PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时，向量PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角余弦值为（）A ．−3√77B ．7C ．−√217D ．√213【详解】∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即8−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2，设OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(λ−1)OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =−2(1−λ)+4λ(λ−1)=4λ2−2λ−2=(2λ−12)2−94，当λ=14时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值−94，此时|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=34|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=32， |PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −14OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=116OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =116×22+22−12×(−2)=214，所以，|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√212，则cos <PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−9432×√212=−√217. 故选：C.7. （三星）在锐角∆ABC 中已知B= 3，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是__________.解：法一：极化恒等式；法二：以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，因为设A（x ，0）因为△ABC 是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A ＜90°，即A 在如图的线段DE 上（不与D ，E 重合），所以1＜x ＜4，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2﹣x=（x ﹣12）2﹣14，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的范围为（0，12）．方法2∵∠B=π3， △ABC 是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A ＜90°=a=2由正弦定理可得()−==A B a b csin 120sinA sin 0∴=b ,=−Ac A sin 2sin 1200)( ∴120cos cos AB AC c b A A ===+=+⎝⎭−AA Asin tan 32202)(∵∈tanA0,3)( ∴(0,12AB AC ∈)8.在△ABC 中，AC ＝2BC ＝4，∠ACB 为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN ＝1，若CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为34，则cos ∠ACB ＝．【答案】1−3√58【解析】取MN 的中点P ，则由极化恒等式得CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−14|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−14∵CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为34∴|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |min 由平几知识知：当CP ⊥AB 时，CP 最小. 如图，作CH ⊥AB ，H 为垂足，则CH=1 又AC ＝2BC ＝4，所以∠B ＝30o ，sinA=14 所以cos ∠ACB ＝cos （150o －A ）=1−3√58.9.如图所示，矩形ABCD 的边AB=4，AD=2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆与CD 交于点E ，若点P 是圆弧EB ̂ (含端点B 、E)上的一点，则PA → ·PB → 的取值范围是 .H【解析】取AB 的中点设为O ，则，当O 、P 、C 共线时， PO 取得最小值为PO =2√2−2；当P 与B （或E ）重合时，PO 取得最大值为PO=2，所以的取值范围是.10.如图，是边长为P 是以C 为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 最小值是_____.－111.（三星）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E,F 是AD 上的两个三等分点，BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4,BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是________.备注：极化恒等式的典型应用2221=4PA PB PO AB PO ⋅−=−4PA PB ⋅−[8∆ABC CA BP12.若平面向量a ，b 满足|2a －b|≤3，则a·b 的最小值为________.【解析】根据极化恒等式得：8a ⋅b =(2a +b)2−(2a −b)2=(2a +b)2−9≥−9，故a ⋅b ≥−98，所以a ⋅b 的最小值为−98．13.已知平面向量a ，b ，e 满足|e|＝1，a·e ＝1，b·e ＝－2，|a ＋b|＝2，那么a·b 的最大值为________．解：由a·e ＝1，b·e ＝－2得: a·e －b·e ＝3，即（a －b ）·e ＝3，|a －b|cos θ＝3a·b=14[|a ＋b|2－|a －b|2]≤－5414.在中，已知，，则面积的最大值是．解：取BC 的中点为D ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD 2−BC24，所以AD =√2因为BC 边上的高线长不大于中线长，当中线就是高线时，面积最大，故．15.已知平面向量a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ 满足|a ⃗ |=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =12，a ⃗ ⋅c ⃗ =2，|2b ⃗ −c ⃗ |=2，那么b⃗ ⋅c ⃗ 的最小值为________．【解析】由a ⃗ ⋅b ⃗ =12，a ⃗ ⋅c ⃗ =2得2a ⃗ ⋅b ⃗ +a ⃗ ⋅c ⃗ =3，即a ⃗ ⋅(2b ⃗ +c ⃗ )=3 又a ⃗ ⋅(2b ⃗ +c ⃗ )=|a ⃗ ||2b ⃗ +c ⃗ |cos θ（其中θ为向量a ⃗ 与2b ⃗ +c ⃗ 的夹角）所以|2b⃗ +c ⃗ |=3cos θ所以b⃗ ⋅c ⃗ =18[(2b ⃗ +c ⃗ )2−(2b ⃗ −c ⃗ )2]=18(9cos 2θ−4)≥58.∆ABC =BC 21AB AC •=∆ABC ∆ABC16.已知锐角的外接圆的半径为1，，则的取值范围为__________．17.已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则PA → ⋅PB →的取值范围是_____.[－2,6]18.在ΔABC 中，AB =3,AC =4,∠BAC =60°，若P 是ΔABC 所在平面内的一点，且AP =2，则PB → ⋅PC →的最大值为_____.10+2√3719.已知点P 是边长为2√3的正三角形ABC 内切圆上的一点，则PA → ⋅PB →的取值范围为_____.[−3,6]20.已知正方形ABCD 的边长为1，中心为O ，直线l 经过中心O ，交AB 于点M ，交CD 于点N ，P 为平面上一点，若2OP → ＝λOB → ＋(1－λ)OC → ，则PM → ·PN →的最小值为__________.−71621.设点P 为正三角形△ABC 的边BC 上的一个动点，当PA → ·PC →取得最小值时，sin ∠PAC 的值为________．√392622.在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 分别在x 轴，y 轴正半轴上移动，AB ＝2，若点P 满足PA → ·PB →＝2，则OP 的取值范围为________．[√3−1,√3+1]23.在△ABC 中，E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的面积为2，则PB → ·PC →＋BC →2的最小值是__________．4√3∆ABC ∠=πB 6BA BC⋅⎝ ⎛23,3。

巧用极化恒等式秒杀高考向量题

巧用极化恒等式秒杀高考向量题冷世平整理说明：由于前几天，大家经常提到极化恒等式，本人便收集整理了一些相关资料，相对较系统，且加入了群里大家讨论的部分题目，由于相当一部分内容非原创，所以只和大家分享一下自己整理的好东西而已，故不作投稿使用。

高中数学中存在着大量等量关系，如立方差(和)公式、二项展开式、两角和与差公式等.在高中数学中常能见到这些等量关系的身影，这也是高中教学重点关注的对象.但有些等量关系看似冷门，甚至课本上都不出现，但它在问题解决过程中却能起到立竿见影的效果，实现对问题的快速“秒杀”，极化恒等式就是可以“秒杀”高考向量题的一个有力工具。

1.极化恒等式极化恒等式最初出现于高等数学中的泛函分析，它表示数量积可以由它诱导出的范数来表示，把这个极化恒等式降维至二维平面即得：21()()4a b a b a b 2⎡⎤⋅=+--⎣⎦ ，有时也可将其写成。

224()(a b a b a b ⋅=+-- )注：21()()4a b a b a b ⎡⋅=+--⎣ 2⎤⎦表明向量的内积运算可以由向量线性运算的模导出(也是向量内积的另一种定义)，是沟通向量内积运算和线性运算的重要公式.若是实数，则恒等式,a b 21()()4a b a b a b ⎡⋅=+--⎣2⎤⎦也叫“广义平方差”公式；极化恒等式的几何意义是:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即222214a b AD BC AM BM ⎡⎤⋅=-=-⎣⎦ （如图）在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，22214a b AM BM AM BC ⋅=-=-2，它揭示了三角形的中线与边长的关系。

此恒等式的精妙之处在于建立起了向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现了向量与几何、代数的巧妙结合。

2．极化恒等式的应用自向量引入高中数学以后，由于它独特的性质(代数与几何的桥梁)，在近几年全国各地的高考中迅速成为创新题命制的出发点，向量试题有着越来越综合，越来越灵活的趋势，在浙江省数学高考中尤为突出，也出现了一些非常精美的向量题。

高一数学微专题++妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题(解析版)

妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题【题型归纳目录】题型一：定值问题题型二：范围与最值问题题型三：求参问题以及其它问题【方法技巧与总结】(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a|2+|b |2)证明：不妨设AB =a ,AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -bAC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2①DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2 ②①②两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2 =2AB 2+AD 2 (2)极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b 2-a -b 2 ----极化恒等式①平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.②三角形模式：a ⋅b =AM 2-14DB 2(M 为BD 的中点)【典型例题】题型一：定值问题1(2024·全国·高三专题练习)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 、F 是AD 上的两个三等分点，BA ·CA =4，BF ·CF =-1，则BE ·CE 的值是()A.4B.8C.78D.34【答案】C【解析】因为D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，所以BF =BD +DF ，CF =CD +DF =-BD +DF ，BA =BD +DA =BD +3DF ，CA =CD +DA =-BD +3DF ，所以BF ⋅CF =BD +DF ⋅-BD +DF =DF 2-BD2=-1，BA ·CA =BD +3DF ⋅-BD +3DF =9DF 2-BD2=4，可得DF 2=58，BD 2=138，又因为BE =BD +DE =BD +2DF ，CE =CD +DE =-BD +2DF所以BE ·CE =BD +2DF ⋅-BD +2DF =4DF 2-BD 2=4×58-138=78，故选：C ．2(2024·贵州毕节·统考三模)如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E ，F 是线段AD 的两个三等分点，若BA ⋅CA =7，BE ⋅CE =2，则BF ⋅CF =()A.-2B.-1C.1D.2【答案】B【解析】依题意，D 是BC 边的中点，E ，F 是线段AD 的两个三等分点，则BA ⋅CA =12BC -AD ⋅-12BC-AD =4AD 2-BC 24=36FD 2-BC24=7，BE ⋅CE =12BC -23AD ⋅-12BC -23AD =49AD 2-14BC 2=16FD 2-BC 24=2，因此FD 2=1,BC 2=8，BF ⋅CF =12BC -FD ⋅-12BC -FD =4FD 2-BC24=4×1-84=-1.故选：B .3(2024·湖南长沙·长郡中学校考一模)如图，在平行四边形ABCD 中，AB =1,AD =2，点E ,F ,G ,H 分别是AB ,BC ,CD ,AD 边上的中点，则EF ⋅FG +GH ⋅HE=A.32B.-32C.34D.-34【答案】A【解析】取HF 中点O ，则EF ⋅FG =EF ⋅EH =EO 2-OH 2=1-122=34, GH⋅HE =GH ⋅GF =GO 2-OH 2=1-12 2=34，因此EF ⋅FG +GH ⋅HE =32，选A .题型二：范围与最值问题1(2024·山东潍坊·高三统考期末)已知正方形ABCD 的边长为2，MN 是它的内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是()A.[0，1] B.0,2C.[1，2]D.-1,1【答案】A【解析】如下图所示：考虑P 是线段AB 上的任意一点，PM =PO +OM ，PN =PO +ON =PO -OM ，圆O 的半径长为1，由于P 是线段AB 上的任意一点，则PO∈1,2 ，所以，PM ⋅PN =PO +OM ⋅PO -OM =PO 2-OM 2∈0,1 .故选：A .2(2024·陕西榆林·统考三模)四边形ABCD 为菱形，∠BAC =30°，AB =6，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA ⋅PC的最小值为()A.-30 B.-27C.-15D.-9【答案】B【解析】由题意，四边形ABCD 为菱形，∠BAC =30°，可得∠DAC =60°，在△ABC 中，由余弦定理得到AC =63，连接AC 和BD 交于点O ，则点O 为AC 的中点，连接OA ，OC ，OP ，则PA =PO +OA ，PC =PO +OC =PO -OA，所以PA ⋅PC =PO +OA ⋅PO -OA =PO 2-OA 2=PO2-27≥-27．故选：B .3(2024·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测)△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =5，PQ 为△ABC 内切圆的一条直径，M 为△ABC 边上的动点，则MP ⋅MQ的取值范围为()A.0,4 B.1,4C.0,9D.1,9【答案】C【解析】由题可知，AB 2+BC 2=AC 2，所以△ABC 是直角三角形，∠B =90°，设内切圆半径为r ，则S △ABC =12×3×4=12×3+4+5 r ，解得r =1，设内切圆圆心为O ，因为PQ 是△ABC 内切圆的一条直径，所以OP =1，OQ =-OP ，则MP =MO +OP ，MQ =MO +OQ =MO -OP ，所以MP ⋅MQ =MO +OP MO -OP =MO 2-OP 2=MO2-1，因为M 为△ABC 边上的动点，所以MO min =r =1；当M 与C 重合时，MOmax =10，所以MP ⋅MQ的取值范围是0,9 ，故选：C题型三：求参问题以及其它问题1(2024·浙江杭州·高一校联考期中)设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B =14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB ⋅PC ≥P 0B ⋅P 0C.则()A.∠ABC =90°B.∠BAC =90°C.AB =ACD.AC =BC【答案】D【解析】如图，取BC 的中点D ，由极化恒等式可得：PB ⋅PC =PD 2-BD 2 ，同理，P 0B ⋅P 0C =P 0D 2 -BD 2，由于PB ⋅PC ≥P 0B ⋅P 0C ，则PD ≥P 0D ，所以P 0D ⊥AB ，因为P 0B =14AB ，D 是BC 的中点，于是AC =BC .故选：D .2(2024·辽宁·高一东港市第二中学校联考期中)在△ABC 中，AC =2BC =6，∠ACB 为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN =2，若CM ⋅CN的最小值为3，则cos ∠ACB =．【答案】2-2109【解析】取线段MN 的中点P ，连接CP ，过C 作CO ⊥AB 于O ，如图，PM =12MN =1，依题意，CM ⋅CN =CP +PM ⋅CP -PM =CP 2-PM 2=CP 2-1，因CM ⋅CN 的最小值为3，则CP 的最小值为2，因此CO =2，在Rt △AOC 中，cos ∠OCA =CO CA=13，sin ∠OCA =223，在Rt △BOC 中，cos ∠OCB =CO CB =23，sin ∠OCB =53，所以cos ∠ACB =cos (∠OCA +∠OCB )=cos ∠OCA cos ∠OCB -sin ∠OCA sin ∠OCB =2-2109.故答案为：2-21093(2024·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测)在△ABC 中，AC =2BC =4，∠ACB 为钝角，M ,N 是边AB 上的两个动点，且MN =1，若CM ⋅CN 的最小值为34，则cos ∠ACB =．【答案】1-358【解析】取MN 的中点P ，取PN =-PM ，PN =PM =12，CM ⋅CN =CP +PM ⋅CP +PN =CP +PM ⋅CP -PM =CP 2-14，因为CM ⋅CN 的最小值34，所以CP min =1．作CH ⊥AB ，垂足为H ，如图，则CH =1，又BC =2，所以∠B =30°，因为AC =4，所以由正弦定理得：sin A =14，cos A =154，所以cos ∠ACB =cos 150°-A =-32cos A +12sin A =-32×154+12×14=1-358．故答案为：1-358.【过关测试】一、单选题1(2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习)在△ABC 中，A =90°，AB =4，AC =43，P ，Q 是平面上的动点，AP =AQ =PQ =2，M 是边BC 上的一点，则MP ⋅MQ的最小值为()A.1 B.2C.3D.4【答案】B【解析】取PQ 的中点N ，则MP =MN +NP ,MQ =MN +NQ =MN -NP ，可得MP ⋅MQ =MN +NP ⋅MN -NP =MN 2-NP 2=MN2-1，∵MN =MA +AN ≥MA -AN ，当且仅当N 在线段AM 上时，等号成立，故MN ≥MA -AN =MA-3 ，显然当AM ⊥BC 时，MA取到最小值23，∴MN ≥MA-3 ≥23-3 =3，故MP ⋅MQ =MN2-1≥3-1=2.故选：B .2(2024·湖北武汉·高三武钢三中校考阶段练习)已知点P 在棱长为2的正方体表面上运动，AB 是该正方体外接球的一条直径，则PA ⋅PB的最小值为()A.-2 B.-8C.-1D.0【答案】A【解析】如图AB 为棱长为2的正方体外接球的一条直径，O 为球心，P 为正方体表面上的任一点，则球心O 也就是正方体的中心，所以正方体的中心O 到正方体表面任一点P 的距离的最小值为正方体的内切球的半径，它等于棱长的一半，即长度为1，AB 的长为正方体的对角线长，为23，我们将三角形PAB 单独抽取出来如下图所示：PA ⋅PB =(PO +OA )⋅(PO +OB )=(PO +OA )⋅(PO -OA )=PO |2- OA |2=|PO |2-232 2=|PO |2-3，所以PA ⋅PB 的最小值为12-3=-2.故选：A .3(2024·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中)已知点P 在棱长为4的正方体表面上运动，AB 是该正方体外接球的一条直径，则PA ⋅PB的最小值为( )．A.-8 B.-4C.-1D.0【答案】A【解析】由题意知：正方体的外接球的球心为O ，正方体的外接球的直径AB =42+42+42=43，则O 为AB 的中点，所以OA =-OB，且|OA |=|OB|=23，故PA ⋅PB =(OA -OP )⋅(OB -OP )=OA ⋅OB -(OA +OB )⋅OP +OP 2=-OA 2+OP 2=OP2-12，当OP 与正方体的棱长平行时，此时OP 最小，故OP≥2，所以PA ⋅PB的最小值4-12=-8．故选：A4(2024·贵州贵阳·统考一模)如图，在△ABC 中，AB =6,AC =3,∠BAC =π2,BD=2DC ，则AB ⋅AD=()A.9B.18C.6D.12【答案】D【解析】由BD =2DC 可得：DC =13BC ，所以AC -AD =13BC =13AC -AB ，所以AD =13AB +23AC ，AB ⋅AD =AB ⋅13AB +23AC =13AB 2+23AB ⋅AC ，因为AB =6,AC =3,∠BAC =π2，所以AB ⋅AD =13AB 2+23AB ⋅AC =13×36=12.故选：D .5(2024·贵州贵阳·统考模拟预测)如图，在△ABC 中，AB =6,AC =3,∠BAC =2π3,BD=2DC ，则AB ⋅AD =()A.18B.9C.12D.6【答案】D【解析】∵BD =2DC =2(BC -BD )，即BD =23BC ，∴AD =AB +BD =AB +23BC =AB +23AC -AB =13AB+23AC ，∴AB ⋅AD =AB ⋅13AB +23AC =13AB 2+23AB ⋅AC =13×62+23×6×3×cos 2π3=6.故选：D6(2024·新疆乌鲁木齐·高三兵团二中校考阶段练习)八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形(如△ACD )为等腰直角三角形，点O 为圆心，中间部分是正方形且边长为2，定点A ，B 所在位置如图所示，则AB ⋅AO的值为()A.14B.12C.10D.8【答案】A【解析】如图：连接OD因为中间是边长为2的正方形，且图中的各个三角形均为等腰直角三角形，所以∠ADO =∠ODB =45°，OD =2，AD=4，∠ADB =90°.所以AB ·AO =AD +DB ·AD +DO =AD 2+AD ·DO +DB ·AD +DB ·DO=42+4×2×cos 3π4+0+2×2cos π4=14.故选：A7(2024·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末)如图，在四边形ABCD 中，AC =4，BA⋅BC =12，E 为AC 中点.BE =2ED ，求DA ⋅DC 的值()A.0B.12C.2D.6【答案】A【解析】∵AC =4，E 为AC 中点，∴AE =CE =2，∵BA ⋅BC =BE +EA ⋅BE +EC =BE +EA ⋅BE -EA =BE 2-EA 2=BE2-4=12，∴BE =4，∴DE =12BE =2，∴DA ⋅DC =DE +EA ⋅DE +EC =DE +EA ⋅DE -EA =DE 2-EA2=4-4=0.故选：A .8(2023·贵州·校联考二模)如图，在平面四边形ABCD 中，AC=4，BA ⋅BC=12，E 为AC 的中点，BE =λED ，DA ⋅DC =-209，则λ的值为()A.2B.3C.43D.32【答案】B【解析】∵AC=4，E 为AC 的中点，∴|AE |=|CE|=2，∵BA ⋅BC =(BE +EA )⋅(BE +EC )=(BE +EA )⋅(BE -EA )=BE 2-EA 2=BE2-4=12，∴|BE|=4，∵BE =λED ,∴|DE |=1λ|BE |=4λ，∴DA ⋅DC =(DE +EA )⋅(DE +EC )=(DE +EA )⋅(DE -EA )=|DE |2-|EA |2=16λ2-4=-209，解得：λ=3.故选：B .9(2024·浙江·永嘉中学校联考模拟预测)已知△ABC 是边长为1的正三角形，BD =2DC ，AB +AC=2AE ，则AE ⋅AD =()A.34B.32C.38D.1【答案】A【解析】由AB +AC =2AE ，可知E 为BC 中点，所以AE ⊥BC ，如图所示：因为BD =2DC ，根据上图可知AD =AE +ED =AE +16BCAE ⋅AD =AE ⋅AE +16BC =AE 2=34故选：A10(2024·四川绵阳·统考二模)如图，在边长为2的等边△ABC 中，点E 为中线BD 的三等分点(靠近点B )，点F 为BC 的中点，则FE ⋅EC=()A.-34B.-56C.34D.12【答案】B【解析】由已知，BA =2，BC =2，∠ABC =60°，所以BA ⋅BC =BA ⋅BC cos ∠ABC =2×2×12=2.由已知D 是AC 的中点，所以BD =12BA +BC，BE =13BD =16BA +BC ，BF =12BC .所以FE =BE -BF =16BA +BC -12BC=16BA -13BC ，EC =BC -BE =BC -16BA +BC =-16BA +56BC ，所以，FE ⋅EC =16BA -13BC ⋅-16BA +56BC =-136BA 2+736BA ⋅BC -518BC 2=-136×4+736×2-518×4=-56.故选：B .11(2024·江西南昌·高一南昌二中校考开学考试)已知A ，B 是单位圆上的两点，O 为圆心，且∠AOB =120°，MN 是圆O 的一条直径，点C 在线段AB 上(不包含两个端点)，则CM ⋅CN的取值范围是()A.-12,1B.-1,1C.-34,0D.-1,0【答案】C【解析】∵∠AOB =120°，∴点C 在线段AB 上，且OC ∈12,1，∴CM ⋅CN =OM -OC ⋅ON -OC =OM ⋅ON -OM +ON ⋅OC +OC 2=-1+OC 2=-1+OC2，∵OC ∈12,1 ，∴CM ⋅CN ∈-34,0 .故选：C .二、填空题12(2024·黑龙江大庆·高一大庆一中校考期末)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点BA ⋅CA =5，BF ⋅CF =-2，则BE ⋅CE的值是.【答案】58【解析】因为BA ⋅CA =12BC -AD ⋅-12BC -AD =4AD 2-BC 24=36FD 2-BC 24=5，BF ⋅CF =12BC -13AD ⋅-12BC-13AD =4FD 2-BC24=-2，因此FD 2=78,BC 2=232，BE ⋅CE =12BC -ED ⋅-12BC -ED =4ED 2-BC 24=16FD 2-BC 24=58.故答案为：58.13(2024·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中)如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E 、F 是AD 上两个三等分点,BA ⋅CA =15，BE ⋅CE =5，则BF ⋅CF=.【答案】-1【解析】∵D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，∴BE =BD +DE =BD +2DF ,CE =-BD +2DF ，BA =BD +3DF ,CA =-BD +3DF ，∴BE ⋅CE =4DF 2-BD2=5，BA ⋅CA =9DF 2-BD 2=15，∴DF 2=2,BD2=3，又∵BF =BD +DF ,CF =-BD +DF ，∴BF ⋅CF =DF 2-BD 2=-1，故答案为：-1．14(2024·江苏盐城·统考一模)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点．BE ⋅CE =2，BC =2，则BF ⋅CF =．【答案】-14/-0.25【解析】因为BE ⋅CE =BD +DE ⋅CD +DE =BD +DE ⋅-BD +DE=DE 2-BD2=2，又D 是BC 的中点，且BC =2，所以BD =1，代入上式得DE 2=3，所以DE=3，因为E ，F 是AD 上的两个三等分点，所以DF =32，则BF ⋅CF =BD +DF ⋅CD +DF =BD +DF ⋅-BD +DF =DF 2-BD 2=34-1=-14，故答案为：-14.15(2024·山东·山东师范大学附中校考模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是.【答案】0,14【解析】如下图所示：设正方形ABCD 的内切圆为圆O ，当弦MN 的长度最大时，MN 为圆O 的一条直径，PM ⋅PN =PO +OM ⋅PO -OM =PO 2-OM 2=PO 2-14，当P 为正方形ABCD 的某边的中点时，OP min =12，当P 与正方形ABCD 的顶点重合时，OP max =22，即12≤OP ≤22，因此，PM ⋅PN =PO 2-14∈0,14.故答案为：0,14.16(2024·湖北省直辖县级单位·湖北省仙桃中学校考模拟预测)如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，AD =4，AB =83，BC =12，则BE ⋅BF的取值范围为.【答案】99,148【解析】在BC 上取一点G ，使得BG =4，取EF 的中点P ，连接DG ，BP ，如图所示：则DG =83，GC =8，CD =82+83 2=16，tan ∠BCD =838=3，即∠BCD =60°.BE ⋅BF =14BE +BF 2-BE -BF 2 =142BP 2-FE 2 =BP 2-9，当BP ⊥CD 时，BP 取得最小值，此时BP=12×sin60°=63，所以BE ⋅BFmin =63 2-9=99.当F 与D 重合时，CP =13，BC =12，则BP 2=122+132-2×12×13×12=157，当E 与C 重合时，CP =3，BC =12，则BP 2=122+32-2×12×3×12=117，所以BE ⋅BF max =157-9=148，即BE ⋅BF 的取值范围为99,148 .故答案为：99,14817(2024·全国·高三专题练习)如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，AD =4，AB =83，BC =12，则BE ⋅BF的最小值为，最大值为.【答案】99148【解析】在BC 上取一点G ，使得BG =4，取EF 的中点P ，连接DG ,BP ，如图所示：则DG =83,GC =8，CD =82+83 2=16，tan ∠BCD =838=3，即∠BCD =60°，BE ⋅BF =14BE +BF 2-BE -BF 2 =142BP 2-FE 2 =BP 2-9，当BP ⊥CD 时，BP 取得最小值，此时BP =12×sin60°=63，所以BE ⋅BF min =63 2-9=99.当F 与D 重合时，CP =13，BC =12，则BP 2=122+132-2×12×13×12=157，当E 与C 重合时，CP =3，BC =12，则BP 2=122+32-2×12×3×12=117，所以BE ⋅BFmax =157-9=148，故答案为：99；148.18(2024·浙江杭州·高二校联考期中)在△ABC 中，AB =4,BC =5,AC =6，点M 为△ABC 三边上的动点，PQ 是△ABC 外接圆的直径，则MP ⋅MQ的取值范围是【答案】-9,0【解析】根据向量关系可得MP ⋅MQ =MO 2-R 2，即判断MO 2-R 2的取值范围即可，由图可知MO 的最大值为R ，最小值为R 2-9.设外接圆的圆心为O ，半径为R ，可得MP ⋅MQ =MO +OP ⋅MO +OQ =MO 2+MO ⋅OP +OQ +OP ⋅OQ =MO2-R 2，∵M 为△ABC 三边上的动点，可知MO的最大值为O 到三角形顶点的距离，即为半径R ，且MO的最小值为O 到AC 边的距离，过O 作OM 0⊥AC ，垂足为M 0，则OM 0 =R 2-32=R 2-9，∴MP ⋅MQ的最大值为R 2-R 2=0，最小值为OM 0 2-R 2==R 2-9-R 2=-9，故MP ⋅MQ的取值范围是-9,0 .故答案为：-9,0 .19(2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)已知正△ABC 的边长为2，PQ 为△ABC 内切圆O 的一条直径，M 为△ABC 边上的动点，则MP ⋅MQ的取值范围为.【答案】0,1【解析】先由正△ABC 的性质，求出其内切圆半径，再利用向量的三角形法则，得到MP =MO +OP ，MQ =MO +OQ ，再结合OQ =-OP ，可得到MP ⋅MQ =MO 2-OP 2=MO 2-13，再根据图像利用临界值法，求出MP ⋅MQ的取值范围.如图所示，O 为正△ABC 内切圆圆心，OD 为内切圆半径，在△BDO 中，BD =1，∠OBD =30°，可求得内切圆半径OD =33.又PQ 为圆O 的直径, ∴OQ =-OP，利用向量的线性表示可得，MP =MO +OP ，MQ =MO +OQ =MO -OP，∴MP ⋅MQ =(MO +OP )(MO -OP )=MO 2-OP 2=MO 2-13，又M 为△ABC 边上的动点，由图可知，当M 为△ABC 边的中点时，MO 最小为33，即MP ⋅MQ min =0；当M 为△ABC 的顶点时，MO 最大为233，即MP ⋅MQ max =1.∴MP ⋅MQ的取值范围为0,1 .故答案为：0,1 .20(2024·全国·高一假期作业)设三角形ABC ，P 0是边AB 上的一定点，满足P 0B =14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB ⋅PC ≥P 0B ⋅P 0C，则三角形ABC 形状为.【答案】C 为顶角的等腰三角形【解析】取BC 的中点D ，连接PD ，P 0D ，如图所示：PB ⋅PC =PD +12BC ⋅PD -12BC =PD 2-14BC 2，同理P 0B ⋅P 0C =P 0D 2-14BC 2，∵PB ⋅PC≥P 0B ⋅P 0C ，∴PD 2-14BC 2≥P 0D 2-14BC 2∴PD ≥P 0D∴P 0D ⊥AB ，设O 为AB 的中点，∴P 0B =12OB ⇒P 0D ⎳OC ⇒OC ⊥AB ,∴AC =BC 即三角形ABC 为以C 为顶角的等腰三角形.故答案为：C 为顶角的等腰三角形．21(2024·江苏常州·常州高级中学校考模拟预测)设直角△ABC ，P 0是斜边AB 上一定点．满足P 0B =16AB =1，则对于边AB 上任一点P ，恒有PB ⋅PC ≥P 0B ⋅P 0C ，则斜边AB 上的高是．【答案】22【解析】取BC 中点D ，则PB ⋅PC =PD +DB PD +DC =PD 2+PD ⋅DC +DB +DC ⋅DB =PD 2-DB 2，同理P 0B ⋅P 0C =P 0D 2-DB 2，又PB ⋅PC ≥P 0B ⋅P 0C ，故PD 2≥P 0D 2，即PD ≥P 0D 恒成立，所以DP 0⊥AB .作CE ⊥AB ，则P 0为EB 中点，故EB =2P 0B =2，所以AE =4.又因为直角△ABC ，故CE 2=AE ⋅EB =8，所以CE =22，即斜边AB 上的高是22故答案为：2222(2024·河北保定·高一校联考期中)已知点P 在棱长为1的正方体表面上运动，AB 是该正方体外接球的一条直径，则PA ⋅PB的最小值为．【答案】-12/-0.5【解析】由题意，正方体外接球的直径AB =3，设点O 为正方体外接球的球心，则O 为AB 的中点，所以OA =-OB 且OA = OB =32，则PA ⋅PB =OA -OP ⋅OB -OP =OA ⋅OB -OA +OB ⋅OP +OP 2=OP 2-322由OP ≥12，所以PA ⋅PB 的最小值为12 2-32 2=-12．故答案为：-1223(2024·天津和平·统考二模)在平行四边形ABCD 中，∠BAD =π3，边AB ,AD 的长分别为2与1，则AD +AB 在AB 上的投影向量为(用AB 表示)；若点M ,N 分别是边BC ,CD 上的点，且满足BM BC =CNCD，则AM ⋅AN 的取值范围是.【答案】 54AB2,5【解析】在平行四边形ABCD 中，∠BAD =π3，边AB ,AD 的长分别为2与1，建立如图所示的直角坐标系，则B 2,0 ，A 0,0 ，D 12,32，C 52,32 ，AB =(2,0)，AC =52,32 ，AD =12,32 ，所以AD +AB =AC =52,32，所以(AD +AB )⋅AB =52×2+32×0=5，AB =2，所以AD +AB 在AB 上的投影向量为AD +AB ⋅AB AB ⋅ABAB=54AB ；设BM BC =CNCD=λ，λ∈0,1 ，则BM =λBC ，CN =λCD ，所以M 2+λ2,3λ2 ,N 52-2λ,32 ，所以AM ⋅AN =2+λ2,3λ2 ⋅52-2λ,32 =-λ2-2λ+5，因为λ∈0,1 ，函数y =-λ2-2λ+5的对称轴为λ=-1，所以y =-λ2-2λ+5在0,1 上单调递减，所以λ∈0,1 时，y =-λ2-2λ+5∈2,5 ，即AM ⋅AN 的取值范围是2,5 .故答案为：54AB；2,524(2024·天津南开·高三校考阶段练习)如图在△ABC 中，∠ABC =90°，BC =8，AB =12，F 为AB 中点，E 为CF 上一点.若CE =3，则EA ⋅EB =；若CE =λCF 0≤λ≤1 ，则EA ⋅EB的最小值为.【答案】 13-36【解析】因为∠ABC =90°，BF =12AB =6，BC =8，则CF =BC 2+BF 2=10，当CE =3时，EF =7，此时EA ⋅EB =EF +FA ⋅EF +FB =EF -FB ⋅EF +FB =EF 2-FB2=72-62=13；EF =CF -CE =1-λ CF ，则EA ⋅EB =EF 2-FB 2=1-λ 2CF2-36≥-36，当且仅当λ=1时，等号成立，故EA ⋅EB的最小值为-36.故答案为：13；-36.。

极化恒等式公式高中

极化恒等式公式高中在高中数学的学习中，有一个不太起眼但却十分实用的工具，那就是极化恒等式公式。

极化恒等式，对于很多同学来说，刚接触时可能会觉得有点陌生和头疼。

但别怕，咱们一起来好好琢磨琢磨它。

先来说说极化恒等式的表达式：对于向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)，有\(\vec{a}\cdot\vec{b} = \frac{1}{4}\left(|\vec{a} + \vec{b}|^2 - |\vec{a}- \vec{b}|^2\right)\)。

这个公式看起来是不是有点复杂？其实呀，它就是在告诉我们向量内积和向量模长之间的一种巧妙关系。

我记得有一次在课堂上，我给同学们讲解极化恒等式。

当时有个同学一脸困惑地问我：“老师，这个公式到底有啥用啊？感觉好抽象。

”我笑了笑，拿起粉笔在黑板上画了一个简单的几何图形。

我说：“同学们，咱们假设这里有一个平行四边形 ABCD，AC 和BD 是它的两条对角线，\(\vec{AB} = \vec{a}\)，\(\vec{AD} = \vec{b}\) 。

那 AC 的长度平方加上 BD 的长度平方等于多少呢？” 同学们都开始思考起来。

我接着引导他们：“我们可以利用极化恒等式来解决这个问题。

AC的长度平方就是\(|\vec{a} + \vec{b}|^2\)，BD 的长度平方就是\(|\vec{a}- \vec{b}|^2\) 。

所以，AC 的长度平方加上 BD 的长度平方，就等于 2（\(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2\)）。

”这时候，同学们的眼睛里开始有了亮光，似乎明白了一些。

再举个例子，假如我们要求一个三角形 ABC 中，边 BC 上中线 AD 的长度。

如果知道了\(\vec{AB}\)和\(\vec{AC}\) ，那我们就可以利用极化恒等式轻松搞定。

极化恒等式在解决一些与向量相关的最值问题、几何问题时，往往能发挥出意想不到的效果。

2021--平面向量--高考极化恒等式在向量问题中的应用

高考极化恒等式在向量问题中的应用大招系列一、秒杀公式的讲解：1.极化恒等式：设a ，b 为两个平面向量，则有恒等式：2214a b a b a b2.极化恒等式几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即：2214a b AD AB AD AB 或2214a b AC BD平行四边形模式：2214AB AD和对角线差对角线或2214AB AD AC BD3. 极化恒等式的三角形模式：在ABC 中，记M 为BC 的中点，则2214AB AC AM DB二、以例讲法典型类题 1 〖例1〗(2012浙江文)在ABC 中，M 是BC 的中点，3AM ，10BC ，则AB AC.〖例2〗(2007天津文)在ABC 中，2AB ，3AC ，D 是边BC 的中点，则AD BC.〖例3〗点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 的底面1111A B C D 上一点，则PA PC的取值范围是；〖例4〗(2015新课标1)已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y 上的一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，若120MF MF，则0y 的取值范围是.A ,33 .B ,66 .C ,33 .D ,33〖例5〗(2010福建文数)若点O 和点F 分别为椭圆22143x y 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP的最大值为.A 2 .B 3 .C 6 .D 8〖例6〗已知A ，B 是圆221x y 上的两个点，P 是AB 线段上的动点，当AOB 的面积最大时，则2AO AP AP 的最大值是.A 1 .B 0 .C 18 .D 12〖例7〗(2017新课标Ⅱ理)已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC的最小值是.A 2 .B 32 .C 43.D 1〖例8〗(2010全国Ⅰ理)已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB的最小值为( )．.A 4 .B 3 .C 4 .D 3〖例9〗(2013浙江理)设ABC ，0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C，则( )．.A 90BAC .B 90BAC .C AB AC .D AC BC高考数学讲义新华教育张老师：150****2680〖例10〗(2016江苏)如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BA CA， 1BF CF ，则BE CE的值是 ▲ .〖例11〗(2020天津)如图，在四边形ABCD 中，60B，3AB ，6BC ，且AD BC ，32AD AB ，则实数的值为，若M ，N 是线段BC 上的动点，且1MN ，则DM DN的最小值为 .NMDCBA高考数学讲义新华教育张老师：150****2680『强化练习』在Rt ABC 中，2CA CB ,M ，N 是斜边AB上的两个动点，且MN ，CM CN的取值范围是；正方体1111ABCD A B C D 的棱长为2，MN 是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦），P 为正方体表面积上的动点，当弦MN 最大时，PM PN的最大值为；(2011上海理)在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ，则AB AD；(2010福建理数)若点O 和点(2,0)F 分别为双曲线2221x y a (0a )的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP的取值范围为( ).A 3 .B3 .C 7,4 .D 7,4(2018天津理数)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ，AD CD ，120BAD ，1AB AD ．若点E 为边CD 上的动点，则AE BE 的最小值为.A 2116 .B 32 .C 2516.D 3 E DCBA。

专题一平面向量的极化恒等式(含解析)

专题八平面向量的极化恒等式利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决．1．极化恒等式：a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．2．平行四边形模式：如图(1)，平行四边形ABCD ，O 是对角线交点．则：(1)AB →·AD →＝14[|AC |2－|BD |2]．3．三角形模式：如图(2)，在△ABC 中，设D 为BC 的中点，则AB →·AC →＝|AD |2－|BD |2．三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．记忆：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．考点一平面向量数量积的定值问题【方法总结】利用极化恒等式求数量积的定值问题的步骤(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值．积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积，从而用极化恒等式解决．在运用极化恒等式求数量积时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线及第三边的长度，通常用平面几何方法或用正余弦定理求解，从而得到数量的值．【例题选讲】[例1] (1)(2014·全国Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5答案 A 解析通法由条件可得，(a ＋b )2＝10，(a －b )2＝6，两式相减得4a·b ＝4，所以a ·b ＝1．极化恒等式 a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]＝14(10－6)＝1．(2) (2012·浙江)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________．AABC图(2)答案－16 解析因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得：AB →·AC →＝|AM |2－14|BC |2＝9－14×100＝－16．(3)如图所示，AB 是圆O 的直径，P 是AB 上的点，M ，N 是直径AB 上关于点O 对称的两点，且AB ＝6，MN ＝4，则PM →·PN →＝( )A ．13B ．7C ．5D ．3答案 C 解析连接AP ，BP ，则PM →＝P A →＋AM →，PN →＝PB →＋BN →＝PB →－AM →，所以PM →·PN →＝(P A →＋AM →)·(PB →－AM →)＝P A →·PB →－P A →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝－P A →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝AM →·AB →－|AM →|2＝1×6－1＝5．(4)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 边上的中点，则EF →·FG →＋GH →·HE →＝________．答案 32 解析连结EG ，FH ，交于点O ，则EF →·FG →＝EF →·EH →＝EO →2－OH →2＝1－⎝⎛⎭⎫122＝34，GH →·HE →＝GH →·GF →＝GO →2－OH →2＝1－⎝⎛⎭⎫122＝34，因此EF →·FG →＋GH →·HE →＝32．(5) (2016·江苏)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点．BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值为________．答案 78 解析极化恒等式法设BD ＝DC ＝m ，AE ＝EF ＝FD ＝n ，则AD ＝3n ．根据向量的极化恒等式，有AB →·AC →＝AD →2－DB →2＝9n 2－m 2＝4， FB →·FC →＝FD →2－DB →2＝n 2－m 2＝－1．联立解得n 2＝58，m 2＝138．因此EB →·EC →＝ED →2－DB →2＝4n 2－m 2＝78．即BE →·CE →＝78．坐标法以直线BC 为x 轴，过点D 且垂直于BC 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xoy ，如图：设A (3a ，3b )，B (－c ，0)，C (－c ，0)，则有E (2a ，2b )，F (a ，b ) BA →·CA →＝(3a ＋c ，3b )·(3a －c ，3b )＝9a 2－c 2＋9b 2＝4 BF →·CF →＝(a ＋c ，b )·(a －c ，b )＝a 2－c 2＋b 2＝－1，则a 2＋b 2＝58，c 2＝138BE →·CE →＝()2a －c ，2b ·()2a －c ，2b ＝4a 2－c 2＋4b 2＝78．基向量 BA →·CA →＝(DA →－DB →)(DA →－DC →)＝4AD →2－BC →24＝36FD →2－BC →24＝4，BF →·CF →＝(DF →－DB →)(DF →－DC →)＝4FD →2－BC →24＝－1，因此FD →2＝58，BC →＝132，BE →·CE →＝(DE →－DB →)(DE →－DC →)＝4ED →2－BC →24＝16FD →2－BC →24＝78．(6)在梯形ABCD 中，满足AD ∥BC ，AD ＝1，BC ＝3，AB →·DC →＝2，则AC →·BD →的值为________．BC答案 4 解析过A 点作AE 平行于DC ，交BC 于E ，取BE 中点F ，连接AF ，过D 点作DH 平行于AC ，交BC 延长线于H ，E 为BH 中点，连接DE ，22212AB DC AB AE AF BF AF ⋅=⋅=-=-=，AC ⋅ 2224BD DB DH BE DE DE =-⋅=-=-，又1FE BE BF =-=，AD ∥BC ，则四边形ADEF 为平行四边形，AF DE =，1AC BD ∴⋅=．B【对点训练】1．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DA →的值为________．1．答案 1 解析取AE 中点O ，设|AE |＝x (0≤x ≤1)，则|AO |＝12x ，∴DE →·DA →＝|DO |2－|AO |2＝12＋⎝⎛⎭⎫12x 2 －14x 2＝1． 2．如图，△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，P 为线段OC 的中点，则AP →·OP →＝ ( )A ．1B ．116C ．14D ．－122．答案 B 解析取AO 中点Q ，连接PQ ，AP →·OP →＝P A →·PO →＝PQ 2－AQ 2＝516－14＝116．3．如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5，若AB →·AD →＝－7，则BC →·DC →的值是________．3．答案 9 解析因为AB →·AD →＝AO →2－OD →2＝9－OD →2＝－7⇒OD →2＝16，所以BC →·DC →＝CO →2－OD →2＝25 －16＝9．4．已知点A ，B 分别在直线x ＝3，x ＝1上，|OA →－OB →|＝4，当|OA →＋OB →|取最小值时，OA →·OB →的值是_____． A ．0 B ．2 C ．3 D ．64．答案 C 解析如图，点A ，B 分别在直线x ＝1，x ＝3上，|AB →|＝4，当|OA →＋OB →|取最小值时，AB 的中点在x 轴上，OA →·OB →＝OM →2－BM →2＝4－4＝0．5．在边长为1的正三角形ABC 中，D ，E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B )，则AD →·AE →等于( ) A ．16 B ．29 C ．1318 D ．135．答案 C 解析解法一：因为D ，E 是边BC 的两个三等分点，所以BD ＝DE ＝CE ＝13，在△ABD 中，AD 2＝BD 2＋AB 2－2BD ·AB ·cos60°＝⎝⎛⎭⎫132＋12－2×13×1×12＝79，即AD ＝73，同理可得AE ＝73，在△ADE 中，由余弦定理得cos ∠DAE ＝AD 2＋AE 2－DE 22AD ·AE ＝79＋79－⎝⎛⎭⎫1322×73×73＝1314，所以AD →·AE →＝|AD →|·|AE →|cos ∠DAE ＝73×73×1314＝1318．解法二：如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得A ⎝⎛⎭⎫，32，D ⎝⎛⎭⎫－16，0，E ⎝⎛⎭⎫16，0，所以AD →＝(－16，－32)，AE →＝⎝⎛⎭⎫16，－32，所以AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫－16，－32·⎝⎛⎭⎫16，－32＝－136＋34＝1318．极化恒等式法取DE 中点F ，连接AF ，则AD →·AE →＝|AF |2－|DF |2＝34－136＝1318．6．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →等于( )A ．89B ．109C ．259D ．2696．答案 B 解析坐标法由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB 与AC 垂直，所以△ABC 为直角三角形．以A 为原点，以AC 所在直线为x 轴，以AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)．不妨令E 为BC 的靠近C 的三等分点，则E ⎝⎛⎭⎫23，23，F ⎝⎛⎭⎫13，43，所以AE →＝⎝⎛⎭⎫23，23，AF →＝⎝⎛⎭⎫13，43，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109．极化恒等式法取EF 中点M ，连接AM ，则AE →·AF →＝|AM |2－|EM |2＝54－536＝109．7．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是( )A ．44B ．22C ．24D ．727．答案 B 解析如图，取AB 中点E ，连接EP 并延长，交AD 延长线于F ，AP →·BP →＝EP 2－AE 2＝EP 2－16＝2，∴EP ＝32，又∵CP →＝3PD →，AE →＝EB →，AB →＝DC →，∴AE ＝2DP ，即△F AE 中，DP 为中位线，AF ＝2AD ＝10，AE ＝12AB ＝4，FE ＝2PE ＝62，AP 2＝40，AD →·AB →＝AF →·AE →＝AP 2－EP 2＝40－(32)2＝22．8．如图，在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝6，∠A ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，AC →＝2AE →，若F 为DE 的中点，则BF →·DE →的值为________．A BD CE F8．答案 4 解析取BD 的中点N ，连接NF ，EB ，则BE ⊥AE ，∴BE ＝23．在△DEB 中．FN ∥12EB ．∴FN＝3．BF →·DE →＝2FB →·FD →＝2(FN 2－DN 2)＝4．AB DCE FN9．如图，在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，D 为边BC 的中点，若CD ⊥AD ，垂足为E ，则EB →·EC →＝________．9．答案－277 解析由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2 AB ·AC ·cos120°＝19，即BC ＝19，因为AB →·AC →AD 2－CD 2＝|AB |·|AC |·cos120°＝－3，所以|AD |＝72，因为S △ABC ＝2S △ADC ，则12|AB |·|AC |·sin120°＝2·12|AD ||CE |，解得|CE |＝3217，在Rt △DEC 中，|DE |＝CD 2－CE 2＝5714，所以EB →·EC →＝|ED |2－|CD |2＝－277．B10．在平面四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，且AB ＝1，EF ＝2，CD ＝5，若AD →·BC →＝15．则AC →·BD →的值为________．10．答案解析极化恒等式如图，取, , , AB AC CD BD 中点, , , H I J K ，四边形ABCD 中，易知, , EF KI HJ 三线共点于O ，2215154AD BC HK HI HO IO ⋅=⇒⋅==-，又4AC BD HE HF ⋅=⋅=()224HO FO -，在EFI ∆中，12,2EF EI FI ===，由中线长公式知214IO =,从而24HO =，AC BD ⋅=14(4)142-=．基向量法2EF AB DC =+，22242EF AB DC AB DC ∴=++⋅， AB DC EF =又=1,1AB DC ∴⋅=，15 ()()15AD BC AC CD BD DC ⋅=∴+⋅+=，，则2AC BD AC DC CD BD DC ⋅+⋅+⋅-15=，可化为()()515AC BD AB BC DC CD BC CD ⋅++⋅+⋅+-=，15, AC BD AB DC ⋅+⋅= AC BD ⋅故=14．BCADE OF考点二平面向量数量积的最值(范围)问题【方法总结】利用极化恒等式求数量积的最值(范围)问题的步骤(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)求中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围)．积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积的最值(范围)问题，利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围．对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积的最值(范围)问题，从而用极化恒等式解决．在运用极化恒等式求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线长的最值(范围)，通过观察或用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围)．【例题选讲】[例1](1)若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值为________．答案－98 解析 a ·b ＝18[(2a ＋b )2－(2a －b )2]＝18[|2a ＋b |2－|2a －b |2]≥02－328＝－98．当且仅当|2a ＋b |＝0，|2a －b |＝3，即|a |＝34，|b |＝32，< a ，b >＝π时，a ·b 取最小值－98．(2)如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1，3，点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC →的最大值是________．答案214解析坐标法以直线n 为x 轴，过点A 且垂直于n 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，如图：则A ()0，3，C ()c ，0，B ()b ，2，则AB →＝()b ，－1，AC →＝()c ，－3，从而()b ＋c 2＋()－42＝52，即()b ＋c 2＝9，又AC →·AB →＝bc ＋3≤()b ＋c 24＋3＝214，当且仅当b ＝c 时，等号成立．极化恒等式连接BC ，取BC 的中点D ，AB →·AC →＝AD 2－BD 2，又AD ＝12||AB →＋AC →＝52，故AB →·AC →＝254－BD 2＝254－14BC 2，又因为BC min ＝3－1＝2，所以(AB →·AC →) max ＝214．(3)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1答案 B 解析方法一 (解析法) 建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0)．设P 点的坐标为(x ，y )，图①则P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，∴P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2－3y )＝2⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322－34≥2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32．当且仅当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32．故选B ．方法二 (几何法) 如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →．图②要使P A →·PD →最小，则P A →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →||PD →|，问题转化为求|P A →||PD →|的最大值．又当点P 在线段AD 上时，|P A →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|P A →||PD →|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|P A →|＋|PD →|22＝⎝⎛⎭⎫322＝34，∴[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝(2P A →·PD →)min ＝－2×34＝－32．故选B ．极化恒等式法设BC 的中点为D ，AD 的中点为M ，连接DP ，PM ，∴P A →·(PB →＋PC →)＝2PD →·P A →＝2|PM→|2－12|AD →|2＝2|PM →|2－32≥－32．当且仅当M 与P 重合时取等号．BC(4)已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则P A →·PB →的取值范围是________．答案 [－2，6] 解析取AB 的中点D ，连接CD ，因为三角形ABC 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，且OC ＝2OD ＝2，所以CD ＝3，AB ＝23．又由极化恒等式得：P A →·PB →＝|PD |2－14|AB |2＝|PD |2－3，因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，|PD |max ＝3，当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，|PD |min ＝1，所以P A →·PB →∈[－2，6]．(5)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·P A →的最小值为_____．答案 5－213 解析通法以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)，设P (2cos θ，2sin θ)⎝⎛⎭⎫π3≤θ≤2π3，则PC →·P A →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)，其中0<tan φ＝36<33，所以0<φ<π6，当θ＝π2－φ时，PC →·P A →取得最小值，为5－213．极化恒等式法设圆心为O ，由题得AB ＝2，∴AC ＝3．取AC 的中点M ，由极化恒等式得PC →·P A →＝PM →2－AM →2＝PM →2－94，要使PC →·P A →取最小值，则需PM 最小，当圆弧AB ︵的圆心与点P ，M 共线时，PM 最小．易知DM ＝12，∴OM ＝⎝⎛⎭⎫122＋(3)2＝132，所以PM 有最小值为2－132，代入求得PC →·P A →的最小值为5－213．(6)在面积为2的△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF上，则PC →·PB →＋BC →2的最小值是________．答案 23 解析取BC 的中点为D ，连接PD ，则由极化恒等式得PC →·PB →＋BC →2＝PD →2－BC →24＋BC→2＝PD →2＋3BC →24≥AD →24＋3BC →24，此时当且仅当AD →⊥BC →时取等号，PC →·PB →＋BC →2≥AD →24＋3BC →24≥2AD →24·3BC →24＝23．另解取BC 边的中点M ，连接PM ，设点P 到BC 边的距离为h ．则S △ABC ＝12·||BC →·2h ＝2⇒||BC→＝2h，PM ≥h ，所以PB →·PC →＋BC →2＝⎝⎛⎭⎫PM →2－14BC →2＋BC →2＝PM →2＋34BC →2＝PM →2＋3h 2≥h 2＋3h2≥23(当且仅当||PM →＝h ，h 2＝3时，等号成立)【对点训练】1．已知AB 是圆O 的直径，AB 长为2，C 是圆O 上异于A ，B 的一点，P 是圆O 所在平面上任意一点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为( )A ．－14B ．－13C ．－12D ．－11．答案 C 解析 P A →＋PB →＝2PO →，∴(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →，取OC 中点D ，由极化恒等式得，PO →·PC →＝|PD |2－|CD |2＝|PD |2－14，又|PD |2min ＝0，∴(P A →＋PB →)·PC →的最小值为－12．2．如图，设A ，B 是半径为2的圆O 上的两个动点，点C 为AO 中点，则CO →·CB →的取值范围是( )A ．[－1，3]B ．[1，3]C ．[－3，－1]D ．[－3，1]2．答案 A 解析建立平面直角坐标系如图所示，可得O (0，0)，A (－2，0)，C (－1，0)，设B (2cos θ， 2sin θ)．θ∈[0，2π)．则CO →·CB →＝(1，0)·(2cos θ＋1，2sin θ)＝2cos θ＋1∈[－1，3]．故选A ．极化恒等式法连接OB ，取OB 的中D ，连接CD ，则CO →·CB →＝|CD |2－|BD |2＝CD 2－1，又|CD |2min ＝0，∴CO →·CB →的最小值为－1．|CD |2max ＝2，∴CO →·CB →的最大值为3．3．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值为________．3．答案－116 解析取OB 的中点D ，连接PD ，则OP →·BP →＝|PD →|2－|OD →|2＝|PD →|2－14，于是只要求求PD 的最小值即可，由图可知，当PD ⊥AB ，时，PD ＝34，即所求最小值为－116．4．(2020·天津)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．4．答案 16 132 解析第1空因为AD →＝λBC →，所以AD ∥BC ，则∠BAD ＝120°，所以AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos 120°＝－32，解得|AD →|＝1．因为AD →，BC →同向，且BC ＝6，所以AD →＝16BC →，即λ＝16．第2空通法在四边形ABCD 中，作AO ⊥BC 于点O ，则BO ＝AB ·cos 60°＝32，AO ＝AB ·sin 60°＝332．以O 为坐标原点，以BC 和AO 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系．如图，设M (a ，0)，不妨设点N 在点M 右侧，则N (a ＋1，0)，且－32≤a ≤72．又D ⎝⎛⎭⎫1，332，所以DM →＝⎝⎛⎭⎫a －1，－332，DN →＝⎝⎛⎭⎫a ，－332，所以DM →·DN→＝a 2－a ＋274＝⎝⎛⎭⎫a －122＋132．所以当a ＝12时，DM →·DN →取得最小值132．极化恒等式法如图，取MN 的中点P ，连接PD ，则DM →·DN →＝PD →2－MP →2＝PD →2－14，当PD →⊥BC →时，|PD→|2取最小值274，所以DM →·DN →的最小值为132．BC5．在△ABC 中，AC ＝2BC ＝4，∠ACB 为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN ＝1，若CM CN ⋅的最小值为34，则cos ∠ACB ＝________．5．答案解析取MN 的中点P ，则由极化恒等式得2221144CM CN CP MN CP ⋅=-=-，∵ CM CN ⋅的最小值为34，∴min 1CP =，由平几知识知：当CP ⊥AB 时，CP 最小，如图，作CH ⊥AB ，H 为垂足，则CH ＝1，又AC ＝2BC ＝4，所以∠B ＝30o ，sin A =14，所以cos ∠ACB ＝cos （150o －A ）．6．已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，AB ＝8，CD ＝6，则MA →·MB →的取值范围是________． 6．答案 [－9，0] 解析如图，MA →·MB →＝MO →2－AO →2＝MO →2－16，∵|OG →|≤|OM →|≤|OC →|，∴7≤|OM →|≤4，∴MA →·MB →的取值范围是[－9，0]．7．如图，设正方形ABCD 的边长为4，动点P 在以AB 为直径的弧APB 上，则PC →·PD →的取值范围为______． 7．答案 [0，16] 解析如图取CD 的中点E ，连接PE ，PC →·PD →＝PE →2－DE →2＝OE →2－2，2≤|PE →|≤25，所以PC →·PD →的取值范围为[0，16]．8．已知正△ABC 内接于半径为2的圆O ，AE 交圆O 于点F ，则F A →·FB →的取值范围是________．8．答案 [0，6] 解析取AB 的中点D 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，且OC ＝2OD ＝2，所以CD ＝3，AB ＝23．又由极化恒等式得：F A →·FB →＝|FD |2－|AD |2＝|FD |2－3，因为F 在劣弧BC 上，所以当F 在点C 处时，|FD |max ＝3，当F 在点B 处时， |PD |min ＝3，所以P A →·PB →∈[0，6]．9．已知AB 是半径为4的圆O 的一条弦，圆心O 到弦AB 的距离为1，P 是圆O 上的动点，则P A →·PB →的取值范围为_________．9．答案 [－6，10] 解析极化恒等式法设AB 的中点为C ，连接CP ，则P A →·PB →＝|PC →|2－|AC →|2＝|PC →|2－15．|PC →|2－15≥25－15＝10，|PC →|2－15≤9－15＝－6．10．矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，且MN ＝2，则AM →·AN →的最小值为________．10．答案 15 解析取K 为MN 中点，由极化恒等式，AM →·AN →＝|AK |2－1，显然K 的轨迹是以点C 为圆心，1为半径的圆周在矩形内部的圆弧，所以|AK |min ＝5－1＝4，所以AM →·AN →的最小值为15．AD11．在△ABC 中，已知AB ＝3，C ＝π3，则CA →·CB →的最大值为________．11．答案 32解析设D 是AB 的中点，连接CD ，点O 是△ABC 的外心，连接DO 并延长交圆O 于C ´，由△ABC ´是等边三角形，∵AD ＝32，∴C ´D ＝32，则CA →·CB →＝|CD →|2－|DA →|2＝|CD →|2－(32)2≤|C ´D →|2－34＝(32)2－34＝32．∴(CA →·CB →)max ＝32．12．已知在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( )A ．∠ABC ＝90°B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC12．答案 D 解析如图所示，取AB 的中点E ，因为P 0B ＝14AB ，所以P 0为EB 的中点，取BC 的中点D ，则DP 0为△CEB 的中位线，DP 0∥CE ．根据向量的极化恒等式，有PB →·PC →＝PD →2－DB →2，P 0B →·P 0C →＝P 0D →2－DB →2．又PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则|PD →|≥|P 0D →|恒成立，必有DP 0⊥AB ．因此CE ⊥AB ，又E 为AB 的中点，所以AC ＝BC ．13．在正方形ABCD 中，AB ＝1，A ，D 分别在x ，y 轴的非负半轴上滑动，则OC →·OB →的最大值为______．13．答案 2 解析如图取BC 的中点E ，取AD 的中点F ，OC →·OB →＝OE →2－BE →2＝OE →2－14，而|OE →|≤|OF →|＋|FE →|＝12||AD →|＋|FE →||＝12＋1＝32，当且仅当O ，F ，E 三点共线时取等号．，所以OC →·OB →的最大值为2．14．在三角形ABC 中，D 为AB 中点，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E ，F 分别为BC ，AC 上的动点，且EF ＝1，则DE →·DF →最小值为________． 14．答案154 解析设EF 的中点为M ，连接CM ，则|CM →|＝12，即点M 在如图所示的圆弧上，则DE →·DF → ＝|DM →|2－|EM →|2＝|DM →|2－14≥||CD |－12|2－14＝154．ABC DE M15．在Rt ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5，若点A ，B 分别在x ，y 轴的非负半轴上滑动，则OA →·OC →的最大值为________．15．答案 18 解析如图取AC 的中点M ，取AB 的中点N ，则OA →·OC →＝OM →2－AM →2＝OM →2－(32)2≤(ON →2－NM →2)－(32)2＝(2＋52)2－(32)2＝18．16．已知正方形ABCD 的边长为2，点F 为AB 的中点，以A 为圆心，AF 为半径作弧交AD 于E ，若P 为劣弧EF 上的动点，则PC →·PD →的最小值为______．16．答案 5－25 解析如图取CD 的中点M ，PC →·PD →＝PM 2－DM 2＝PM 2－1，而|PM |＋1＝|PM |＋|AP |≥|AM |＝5，当且仅当P ，Q 重合时等号成立，所以PC →·PD →的最小值为(5－1)2－1＝5－25．C17．如图，已知B ，D 是直角C 两边上的动点，AD ⊥BD ，|AD →|＝3，∠BAD ＝π6，CM →＝12(CA →＋CB →)，CN →＝12(CD →＋CA →)，则CM →·CN →的最大值为________．ABCDMN17．答案13＋44 解析设MN 的中点为G ，BD 的中点为H ，CM →·CN →＝|CG →|2－|GN →|2＝|CG →|2－116， ∵|CG →|≤|CH →|＋|HG →|＝12＋134，∴CM →·CN →≤(12＋134)2－116＝13＋44．所以CM →·CN →的最大值为13＋44．AB CD MNG H18．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BCD ＝60°，CB ＝CD ＝23．若点M 为边BC上的动点，则AM →·DM →的最小值为________．B C18．答案214解析设E 是AD 的中点，作EN ⊥BC 于N ，延长CB 交DA 的延长线于F ，由题意可得： FD ＝3CD ＝6，FC ＝2CD ＝43，∴BF ＝23，∴AB ＝2，F A ＝4，∴AD ＝2，EN AB ＝EF F A ＝54，EN ＝52．则AM →·DM →＝MA →·MD →＝|ME →|2－|EA →|2＝|ME →|2－1≥EN 2－1＝(52)2－1＝214．∴AM →·DM →＝214．另解设E 是AD 的中点，作EF ⊥BC 于F ，作AG ⊥EF 于G ，∵AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∴四边形ABCD 共圆，如图，由圆的对称性及∠BCD ＝60°，CB ＝CD ＝23，可知∠BCA ＝∠DCA ＝30°，∴AB ＝2，∵∠GAE ＝30°，∴GE ＝12，∴EF ＝2＋12＝52，则AM →·DM →＝MA →·MD →＝|ME →|2－|EA →|2＝|ME →|2－1≥EN 2－1＝(52)2－1＝214．∴AM →·DM →＝214．C19．(2018·天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为________．19．答案2116解析通法如图，以D 为坐标原点建立直角坐标系．连接AC ，由题意知∠CAD ＝∠CAB ＝60°，∠ACD ＝∠ACB ＝30°，则D (0，0)，A (1，0)，B ⎝⎛⎭⎫32，32，C (0，3)．设E (0，y )(0≤y ≤3)，则AE →＝(－1，y )，BE →＝⎝⎛⎭⎫－32，y －32，所以AE →·BE →＝32＋y 2－32y ＝⎝⎛⎭⎫y －342＋2116，所以当y ＝34时，AE →·BE→有最小值2116．极化恒等式法如图，取AB 的中点P ，连接PE ，则AE →·BE →＝PE →2－AP →2＝PE →2－14，当PE →⊥CD →时，|PE→|取最小值，由几何关系可知，此时，PE →2＝2516，所以DM →·DN →的最小值为2116．20．如图，圆O 为Rt △ABC 的内切圆，已知AC ＝3，BC ＝4，C ＝π2，过圆心O 的直线l 交圆于P ，Q 两点，则BP →·CQ →的取值范围为________．20．答案 [－7，1] 解析易知，圆的半径为1，BP →·CQ →＝(BC →＋CP →)·CQ →＝BC →·CQ →＋CP →·CQ →＝CP →·CQ →－CB →·CQ →，CP →·CQ →＝CO →2－OP →2＝2－1＝1．CB →·CQ →＝|CB →||CQ →|cos ∠BCQ ＝2|CQ →|cos ∠BCQ ，(|CQ →|cos ∠BCQ )min ＝0，(|CQ →|cos ∠BCQ )max ＝4．所以BP →·CQ →的取值范围为[－7，1]．21．在三棱锥S －ABC 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，且SA ＝SB ＝SC ＝2，点M 为三棱锥S －ABC 的外接球面上任意一点，则MA →·MB →的最大值为________．21．答案 23＋2 解析如图，MA →·MB →＝MO 1→2－2．当M ，A ，B 在同一个大圆上且MO 1⊥AB ，点M 与线段AB 在球心的异侧时，|MO 1→|最大，又2R ＝22＋22＋22＝23，所以R ＝3．|MO 1→|max ＝3＋1，MO 1→2－2的最大值为23＋2．A22．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM →·PN →的取值范围是________．22．答案 [0，2] 解析由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为23．当弦MN 的长度最大时，MN 为球的直径．设内切球的球心为O ，则PM →·PN →＝PO →2－ON →2＝PO →2－1．由于P 为正方体表面上的动点，故OP ∈[1，3]，所以PM →·PN →∈[0，2]．23．已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA →·CB →＝λ（λ为常数），且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值为________．23．答案－34解析如图取AB 的中点为D ，连接CD ，则CA →·CB →＝|CD →|2－1＝λ，|CD →|＝1＋λ，()－1≤λ<0，又由点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，故1＋λ≤12，则负数λ的最大值为－34．24．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．824．答案 C 解析如图，由已知|OF |＝1，取FO 中点E ，连接PE ，由极化恒等式得：OP →·FP →＝|PE |2－14|OF |2＝|PE |2－14，∵|PE |2max ＝254，∴OP →·FP →的最大值为6．。

高中数学基础题型向量极化恒等式(含解析)

向量极化恒等式【要点总结】1.极化恒等式：a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.2.平行四边形PMQN ，O 是对角线交点.则： (1)PM →·PN →＝14[|PQ |2－|NM |2](平行四边形模式)；(2)PM →·PN →＝|PO |2－14|NM |2(三角形模式).【典例1】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点． BA →·CA →＝4， BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值为________．【答案】 78【解析】设BD ＝DC ＝m ，AE ＝EF ＝FD ＝n ，则AD ＝3n.根据向量的极化恒等式，有AB →·AC →＝AD →2－DB →2＝9n 2－m 2＝4， FB →·FC →＝FD →2－DB →2＝n 2－m 2＝－1.联立解得n 2＝58，m 2＝138.因此EB →·EC →＝ED →2－DB →2＝4n 2－m 2＝78.即BE →·CE →＝78.【典例2】如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时， PM →·PN →的取值范围是________．【答案】 [0,2]【解析】由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2 3.当弦MN 的长度最大时，MN 为球的直径．设内切球的球心为O ，则PM →·PN →＝PO →2－ON →2＝PO →2－1.由于P 为正方体表面上的动点，故OP ∈[1，3]，所以PM →·PN →∈[0,2]．【典例3】 (1)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________.(2)(2018·上海调研)已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则P A →·PB →的取值范围是________. 【答案】 (1)－16 (2)[－2，6]【解析】 (1)因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得：AB →·AC →＝|AM |2－14|BC |2＝9－14×100＝－16.(2)取AB 的中点D ，连接CD ，因为三角形ABC 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，且OC ＝2OD ＝2，所以CD ＝3，AB ＝2 3. 又由极化恒等式得：P A →·PB →＝|PD |2－14|AB |2＝|PD |2－3，因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，|PD |max ＝3，当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，|PD |min ＝1，所以P A →·PB →∈[－2，6].【典例4】 (2018·诸暨适应性考试)已知AB 是圆O 的直径，AB 长为2，C 是圆O 上异于A ，B 的一点，P 是圆O 所在平面上任意一点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为( ) A.－14B.－13C.－12D.－1【答案】 C【解析】 P A →＋PB →＝2PO →，∴(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →，取OC 中点D ，由极化恒等式得，PO →·PC →＝|PD |2－14|OC |2＝|PD |2－14，又|PD |2min ＝0，∴(P A →＋PB →)·PC →的最小值为－12. 【典例5】如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP→＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是( ) A.44 B.22 C.24 D.72 【答案】 B【解析】如图，取AB 中点E ，连接EP 并延长，交AD 延长线于F ，AP →·BP →＝（AP →＋BP →）2－（AP →－BP →）24＝（2EP →）2－AB →24＝2，∴EP ＝32，又∵CP →＝3PD →，AE →＝EB →，AB →＝DC →， ∴AE ＝2DP ，即△F AE 中，DP 为中位线，AF ＝2AD ＝10，AE ＝12AB ＝4，FE ＝2PE ＝62，AD →·AB →＝AF →·AE →＝AF 2＋AE 2－EF 22＝100＋16－722＝22.【典例6】若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8 【答案】 C【解析】如图，由已知|OF |＝1，取FO 中点E ，连接PE ，由极化恒等式得：OP →·FP →＝|PE |2－14|OF |2＝|PE |2－14，∵|PE |2max＝254，∴OP →·FP →的最大值为6. 【典例7】已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DA →的值为________. 【答案】 1【解析】取AE 中点O ，设|AE |＝x (0≤x ≤1)，则|AO |＝12x ，∴DE →·DA →＝|DO |2－14|AE |2＝12＋⎝⎛⎭⎫12x 2－14x 2＝1. 【典例8】 (2018·镇海中学模拟)在面积为2的△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则PC →·PB →＋BC →2的最小值是________. 【答案】 23【解析】取BC 的中点为D ，连接PD ，则由极化恒等式得PC →·PB →＋BC →2＝PD →2－BC →24＋BC →2＝PD →2＋3BC →24≥AD →24＋3BC →24此时当且仅当AD →⊥BC →时取等号， PC →·PB →＋BC →2≥AD →24＋3BC →24≥2AD →24·3BC →24＝2 3. 【典例9】已知在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( ) A ．∠ABC ＝90° B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝AC D ．AC ＝BC【答案】 D【解析】如图所示，取AB 的中点E ，因为P 0B ＝14AB ，所以P 0为EB 的中点，取BC 的中点D ，则DP 0为△CEB 的中位线，DP 0∥CE.根据向量的极化恒等式，有PB →·PC →＝PD →2－DB →2，P 0B →·P 0C →＝P 0D →2－DB →2. 又PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则| PD →|≥|P 0D →|恒成立，必有DP 0⊥AB.因此CE ⊥AB ，又E 为AB 的中点，所以AC ＝BC.【典例10】如图所示，正方形ABCD 的边长为1，A ，D 分别在x 轴，y 轴的正半轴(含原点)上滑动，则OC →·OB →的最大值是________．【答案】 2【解析】如图，取BC 的中点M ，AD 的中点N ，连接MN ，ON ，则OC →·OB →＝OM →2－14.因为OM≤ON ＋NM ＝12AD ＋AB ＝32，当且仅当O ，N ，M 三点共线时取等号．所以OC →·OB →的最大值为2.。

大招2极化恒等式

大招2极化恒等式大招总结结论:设,a b 是两个平面向量,则有恒等式221[()(4a b a b a b ⎤⎫⋅=+--⎥⎪⎭⎥⎦,在三角形中,也可以用三角形的中线来表示,22AB AC AM MB ⋅=-.极化恒等式的作用主要在于,它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量之和或之差,因此,当两个向量之和或之差为定值时,常常可以考虑利用极化恒等式进行转化求解.典型例题例1.(2012浙江15)在ABC 中,M 是BC 的中点,3,10AM BC ==,则AB AC ⋅=解方法1:设AMB ∠θ=,则AMC ∠πθ=-.又AB MB MA =-,,AC MC MA =-()()AB AC MB MA MC MA ∴⋅=-⋅-2MB MC MB MA MA MC MA =⋅-⋅-⋅+2553cos θ=--⨯-()35cos 916πθ⨯-+=-.故答案为16-.方法2:由极化恒等式得222235AB AC AM MB ⋅=-=-=16-. 例 2.如图,在ABC 中,D 是BC 的中点,,E F 是AD 上的两个三等分点,4,1BA CA BF CF ⋅=⋅=-,则BE CE ⋅的值是解方法1:D 是BC 的中点,,E F 是AD 上的两个三等分点,,,3,BF BD DF CF BD DF BA BD DF CA BD ∴=+=-+=+=-+3,DF22221,94BF CF DF BD BA CA DF BD ∴⋅=-=-⋅=-=,22513,88DF BD ∴==,又2,2BE BD DF CE BD DF =+=-+,22748BE CE DF BD ∴⋅=-=,故答案为78. 方法2:由极化恒等式得224,BA CA AD BD ⋅=-=221,3.BF CF FD BD AD FD ⋅=-=-=分别解出2FD 和2BD 的值,即可求解.例3.已知AB 为圆O 的直径,M 为圆O 的弦CD 上一动点,8,6AB CD ==,则MA MB ⋅的取值范围是 . 解方法1:以AB 所在的直线为x 轴,以线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系,如图所示,且圆O的直径为AB,设(),M x y ,则(4A ,()()()0),4,0,4,,4,B MA x y MB x y -=--=---;()()22244()16MA MB x x y x y ⋅=---+-=+-,又M 是圆O 的弦CD 上一动点,且6CD =, 所以2216916x y-+,即22716x y +,其中最小值在CD 的中点时取得, 所以MA MB ⋅的取值范围是[]9,0-.故答案为[]9,0-.方法2:直接使用极化恒等式得22MA MB MO OA ⋅=-,[]74,4,9,0.MO OA MA MB =∴⋅∈-例4.(2013•浙江)设0,ABC P 是边AB 上一定点,满足014P B AB =,且对于边AB 上任一点P ,恒有00PB PC P B PC ⋅⋅,则( )A.90ABC ∠=B.90BAC ∠=C.AB AC =D.AC BC =解方法1:设4AB =,则01P B =,过点C 作AB 的垂线,垂足为H ,在AB 上任取一点P ,设0HP a =, 则由数量积的几何意义可得,()2||1,PB PC PH PB PB a PB ⋅=⋅=-+00P B PC a ⋅=-,于是00PA PC P B PC ⋅⋅恒成立,整理得()2||10PB a PB a -++恒成立,只需(a =+221)4(1)0a a -=-即可,于是1a =,因此我们得到2HB =,即H 是AB 的中点,故ABC 是等腰三角形,所以AC BC =.故选D. 方法222220002:,PB PC PM BM P B P C P MBM ⋅=-⋅=-因为00PB PC P B PC ⋅⋅所以2220PM P M从而0P M AB ⊥,过C 作0//CH P M 交AB 于H ,则CH AB ⊥考虑014P B AB =, 所以AH BH =,故AC BC =,选D例5.(2021•温州二模)如图,矩形ABCD 中,3,4AB BC ==,点M N 、分别为边,BC CD 上的动点,且2MN =,则AM AN ⋅的最小值是( ) A.13 B.15 C.17 D.19解方法1:以,AB AD 为坐标轴建立平面直角坐标系,设CM x =,则)02CN x ==(()3344254AM AN x x ∴⋅=+-=--令()254f x x =--则()4f x =-'令()0f x '=,解得85x =. 当805x <时,()0f x '<,当825x <<时,()0f x '>()f x ∴在80,5⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,在8,25⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,()()8019,15,2175f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.()min 8155f x f ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭.故选B. 方法2:如图5,K 为MN 的中点,由极化恒等式,AM AN ⋅=21AK -. 显然,K 的轨迹是以点C 为圆心,1为半径的圆周在矩形内部的圆弧. 所以min514,AK=-=2214115AM AN AK ⋅=--=例6.(2021•淮安二模)如图,在平面四边形ABCD 中,O 为BD 的中点,且3,5OA OC ==,若AB AD ⋅7=-,则BC DC ⋅的值是 .解方法1:平面四边形ABCD 中,O 为BD 的中点,且3,5,0OA OC OB OD ==∴+=若AB AD ⋅7=-,则()()AO OB AO OD +⋅+2AO AO OD AO OB OB OD =+⋅+⋅+⋅2(AO AO OD =+⋅222)37OB OB OB +-=-=-;216,4OB OB OD ∴=∴==()()BC DC BO OC DO OC ∴⋅=+⋅+BO DO BO OC =⋅+⋅2DO OC OC +⋅+()22224059BO OC BO DO OC =-+⋅++=-++=方法2:如图224,7AB AD AO OD ⋅=-=-,得216OD =,又22BC DC CB CD CO OD ⋅=⋅=-25169=-=例7.已知直线AB 与抛物线24y x =交于,A B 两点,M 为AB 的中点,C 为抛物线上一个动点,若0C 满足{}00min C A C B CA CB ⋅=⋅,则下列一定成立的是( )A.0C M AB ⊥B.0C M l ⊥,其中l 是抛物线过0C 的切线C.00C A C B ⊥D.012C M AB =解方法1:()()CA CB CM AM CM BM ⋅=-⋅-()2CM CM AM BM AM BM =-⋅++⋅22||CM AM =-,{}min CA CB ∴⋅即求min ||,CMCM l ∴⊥.其中l 是抛物线过0C 的切线.故选B .方法2:由{}00min C A C B CA CB ⋅=⋅得00C A C B CA CB ⋅⋅,由极化恒等式,220C M AM-22CM AM -,即220C M CM ,即抛物线24y x =上所有点到M 的距离最近的点为0C ,故以M 为圆心,0MC 为半径的圆与抛物线内切, 故选B .例8.如图,已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆,O E 为线段BC 上一动点,延长AE 交圆O 于点F ,则FA FB ⋅的取值范围是解方法1:取AB 的中点M ,则sin301,120OM OA AOB =⋅=∠=.则()()FA FB OA OF OB OF ⋅=-⋅-2OA OB OA OF OB OF OF =⋅-⋅-⋅+ ()2OA OB OF OA OB OF =⋅-⋅++22cos12024OF OM =⨯⨯-⋅+222cos 424cos MOF MOF =--⨯⨯∠+=-⨯∠.当点E 与点C 重合时,点F 和点C 重合,MOF π∠=,即FA FB ⋅的取值为6.当点E 与点B 重合时,点F 和点B 重合,3MOF π∠=,即FA FB ⋅的取值为0,即FA FB ⋅的取值范围是[]0,6,故答案为:[]0,6.方法2:如图6,过点C 作CD AB ⊥,垂足为D ,则D 是AB 中点连接FD 有AB =由极化恒等式,222134FA FB FD AB FD ⋅=-=- 因为点F 在劣弧BC 上,33FD ,所以[]0,6FA FB ⋅∈.例9.(2021•衡阳三模)在三棱雉S ABC -中,,,SA SB SC 两两垂直且2SA SB SC ===,点M 为三棱锥S ABC -的外接球上任意一点,则MA MB ⋅的最大值为解方法1:如图所示:图1 图2因为,,SA SB SC 两两垂直且2SA SB SC ===, 所以三棱锥S ABC -的外接球就是分别以,,SA SB SC 为棱的正方体的外接球(如图1),外接球的球心为正方体的体对角线的中点O ,.设线段AB 的中点为1,O AB =而()()()()11111111MA MB MO O A MO O B MO O A MO O A ⋅=+⋅+=+⋅-22221112MO O A MO =-=-,当1MO 取得最大值时,MA MB ⋅有最大值. 而当,,M A B 在同一个大圆上且1MO AB ⊥,点M 与线段AB 在球心的异侧时,1MO 最大(如图2),此时,)22111,2122MO OO MO ==-=-=.得:MA MB ⋅的最大值为2.故答案为:2方法2:由极化恒等式有212MA MB MO ⋅=-如图,当M A B 、、在同一个大圆上且1MO AB ⊥,点M 与线段AB 在球心的异侧时,1MO 最大,此时线段长为11MO OO =,所以22121)22MO -=-=所以MA MB ⋅的最大值为2例10.(2021•湖州二模)正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,MN 是它的内切球的一条弦(把球面上任意两点之间的线段称为球的弦),P 为正方体表面上的动点,当弦MN 最长时.PM PN ⋅的最大值为解方法1:设点O 是此正方体的内切球的球心,半径1R =.当弦MN 最长时,MN 为球O 的直径,此时()()PM PN PO MO PO ON ⋅=-⋅+,而,MO ON = 222 1PM PN PO R PO ∴⋅=-=-,当且仅当点P 为正方体的一个顶点时上式取得最大值,2max()12PM PN ∴⋅=-=⎝⎭. 故答案为2.方法2:由正方体的棱长为2,得内切球半径为1,正方体的体对角线为当弦MN 的长度最大时,MN 为球的直径.设内切球的球心为O ,则2221PM PN PO ON PO ⋅=-=-.由于P 为正方体表面上的动点,故OP ⎡∈⎣.所以[]0,2PM PN ⋅∈.自我检测1.(2021•浙江二模)如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A D 、分别在x 轴、y 轴正半轴上(含原点)上滑动,则OB OC ⋅的最大值是 .第1题图2.(2018•天津)如图,在平面四边形ABCD 中,AB BC ⊥,AD CD ⊥,120,1BAD AB AD ∠===.若点E 为边CD 上的动点,则AE BE ⋅的最小值为( ) A.2116B.32C.2516D.3第2题图3.(2017•新课标II)已知ABC 是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC ⋅+的最小值是( )A.2-B.32- C.43-D.1-4.(2021春•龙山区校级月考)已知圆O 为Rt ABC 的内切圆,3,4,90AC BC C ==∠=,过圆心O 的直线l 交圆O 于,P Q 两点,则BP CQ ⋅的取值范围是()A.()7,1-B.[]0,1 C.[]7,0-D.[]7,1- 5.(2021•绍兴一模)已知点,A B 分别在直线1,3x x ==上,O 为坐标原点,且4OA OB -=.当OA ∣OB +∣取到最小值时,OA OB ⋅的值为( )A.0B.2C.3D.66.(2021•日照一模)在锐角ABC 中,已知,23B BC π∠==,则AB AC ⋅的取值范围是 .7.(2021•绍兴二模)设锐角ABC 的面积为1,边,AB AC 的中点分别为,,E F P 为线段EF 上的动点,则2PB PC PC ⋅+最小值为 . 8.(2021秋•苏州期末)如图,在ABC 中,已知4,6,60AB AC BAC ==∠=,点,D E 分别在边AB ,AC 上,且2,3AB AD AC AE ==,点F 为DE 中点,则BF DE ⋅的值为 .9.(2021•浙江模拟)已知Rt ABC 的斜边AB 的长为4,设P 是以C 为圆心1为半径的圆上的任意一点,则PA PB ⋅的取值范围是( )A.35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.[]3,5-D.1⎡-+⎣ 10.(2021•江苏模拟)已知AB 为圆O 的直径,M 为圆O 的弦CD 上一动点,8,6AB CD ==,则MA .MB 的取值范围是 .11.(2021•闵行区校级模拟)已知点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面1111A B C D 上一点(包括边界),则PA PC ⋅的取值范围是 .12.(2021•上城区校级模拟)已知点M 为单位圆221x y +=上的动点,点O 为坐标原点,点A 在直线2x =上,则AM AO ⋅的最小值为 .13.在Rt ABC 中,90,4,3BAC AB AC ∠===,当B C 、分别在平面直角坐标系xOy 的x 轴、y 轴上运动时,OA OC ⋅的最大值是 .14. (2021-余杭区校级模拟)如图,ABCD 是边长为4的正方形,动点P 在以AB 为直径的圆弧APB 上,则PC PD ⋅的取值范围是__________.答案：方法 1: 以 AB 中点为坐标原点, AB 所在直线为 x 轴建立如图坐标系，则圆弧 APB 方程为 224,(0),(2,4),(2,4)x y y C D +=-因此设 (2cos ,2sin ),[0,](22cos ,42sin )P PC αααπαα∈∴=--,(22cos ,42sin )PD αα=---,由此可得 (22cos )(22cos )(42sin )(42sin )PC PD αααα⋅=---+--224cos 41616sin 4sin 1616sin αααα=-+-+=-化简得 1616sin PC PD α⋅=-∵[0,],sin [0,1]απα∈∈∴ 当0α= 或 π 时, max 16PC PD ⋅=; 当 2a π= 时, min 0PC PD ⋅=. 由此可得 PC PD ⋅ 的取值范围是 [0,16] 故答案为: [0,16]方法 2:取 CD 中点 M , 由极化恒等式得: 22,||[2,25],4,PC PD PM CM PM CM PC PD ⋅=-∈=⋅∈ [0,16].15.已知过原点的直线交椭圆2213x y +=于,A B 两点,若点M 为抛物线22y x =+上的一个动点,则MA MB ⋅的最小值为( )A.1B.2C.2D.5-答案：方法 1: 如图, 设 ()00,A x y , 则 ()00,B x y --, ∴()2200 1.,2 3M M x y M x x +=+再设, ∴()()220000,2,,2M M M M MA x x y x MB x x y x =---=-----.()22222422000225413M M M M MA MB x x x y x x x ⋅=-++-=++--则 2422220025213533234M M M x x x x x ⎛⎫=++-=+-- ⎪⎝⎭. ∵2200,03M x x .∴ 当 2200,3M x x == 时, MA MB ⋅ 有最小值为 25132144--=. 故选 A .方法 2 : 根据极化恒等式 22||||MA MB MD OA ⋅=-, 要求最小值, MO 最小, OA 最大, 此时 2||3OA =,()22min min ||2,|||| 1.MO MO OA =-=16.(2021-衡中高三测试题)已知,A B 为椭圆2214x y +=的一条动弦,且经过原点,M 为直线34x y -150-=上的一个动点,则MA MB ⋅的最小值为( )A.503439-- B.503439- C.5D.8答案：如图, 连接 MO , 根据极化恒等式有22||||MA MB MO BO ⋅=- 这样考虑到 ||MO 取最小值且 ||BO 取最大值时, 曲线动点问题便得以化解设 d 为原点 O 到直线 34150x y --= 的距离,则 min max 22|0015|||3,||23(4)MO d BO --====+-,因此 min ()945MA MB ⋅=-=.。

妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题(三大题型)(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)

．
4
9
）
= 7，
2
1
16 2 − 2
4
= 2，
2
− 3 ⋅ − 2 − 3
2
=
⋅ =
1
2
4 2 − 2
4
4×1−8
4
=
故选：B．
1
− ⋅ − 2 − =
= −1.
典型例题
题型一：定值问题
【变式1-1】（2024·湖南长沙·长郡中学校考一模）如图，在平行四边形中， = 1, = 2，点
, , , 分别是 , , , 边上的中点，则 ⋅ + ⋅ = （
3
3
A． 2
3
B．− 2
C． 4
【答案】A
【解析】取HF中点O，
则 ⋅ = ⋅ = 2 − 2
1
= 1 − ( 2) 2 =
3
4
，
⋅ = ⋅
重难点专题03
妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题
目录
C
O
N
T
E
N
T
S
01
02
03
题型归纳
方法技巧
典型例题
01
题型归纳
题型归纳
02
方法技巧
方法技巧
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
| + | + | − | = (|| + || )
证明：不妨设 = , = ，则 = + ， = −
【答案】 2−2
10
2 2
，
3
9

高中数学巧用极化恒等式秒杀高考向量题

高中数学巧用极化恒等式秒杀高考向量题高中数学中存在着大量等量关系，如立方差(和)公式、二项展开式、两角和与差公式等.在高中数学中常能见到这些等量关系的身影，这也是高中教学重点关注的对象.但有些等量关系看似冷门，甚至课本上都不出现，但它在问题解决过程中却能起到立竿见影的效果，实现对问题的快速“秒杀”，极化恒等式就是可以“秒杀”高考向量题的一个有力工具。

此恒等式的精妙之处在于建立起了向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现了向量与几何、代数的巧妙结合。

例1在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则______AB AC ⋅=（年浙江省数学高考理科试题第15题）2012【分析】该问题就是利用极化恒等式解决的极好范例，因为21925162AB AC AM BC ⋅=-=-=-。

2022年高考数学必刷压轴题专题23极化恒等式含解析

专题23 极化恒等式【方法点拨】极化恒等式：221()()4a b a b a b ⎡⎤⋅=+--⎣⎦.说明：（1）极化恒等式的几何意义是：设点D 是△ABC 边的中点，则22221||||4AB AC AD BC AD BD ⋅=-=-，即：向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差．（2）具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合.（3）遇到共起点的两向量的数量积问题，常取第三边的中点，从而运用极化恒等式加以解决. 【典型例题】例1 如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，,E F 是AD 上两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是．【答案】78【解析】设BD x =，DF y =由极化恒等式得222294BA CA AB AC AD BD y x ⋅=⋅=-=-=， 22221BF CF FB FC FD BD y x ⋅=⋅=-=-=-解之得可得2294a b -=，221a b -=-，因此2138x =，258y =，因此222451374888BE CE EB EC ED BD y x ⨯⋅=⋅=-=-=-=．点评：紧紧把握极化恒等式使用条件，三次使用极化恒等式求解.BC例2 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 是平面ABC 内一点，则(2)PA PB PC +的最小值为．【答案】73-【分析】本题的难点在于如何将2PB PC +“二合一”？注意到两向量共起点且其系数和为3，可利用三点共线的方法将其“二合一”，然后使用极化恒等式.【解析】设23PB PC PD +=，则2133PD PB PC =+，D 在BC 上所以(2)=3PA PB PC PA PD +如图，取BC 中点为E ，由极化恒等式得221=4PA PD PE AD -在ABD ，由余弦定理得22242128=+2cos 422=9329AD AB BD AB BD ABD -⋅⋅∠=+-⋅⋅⋅ 所以当=0PE ，即P 为AD 中点时，()min 7=9PA PD- 所以(2)PA PB PC +的最小值73-，此时P 为AD 中点.例3 如图所示，矩形ABCD 的边AB =4，AD =2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆与CD 交于点E ，若点P 是圆弧(含端点B 、E )上的一点，则PA → ·PB →的取值范围是 .【答案】【分析】取AB 的中点设为O ，则，然后利用平几知识确定PO 的取值范围，代入即可.EB [882,0]-2221=44PA PB PO AB PO ⋅-=-EBCAP D【解析】取AB 的中点设为O ，则，当O 、P 、C 共线时， PO取得最小值为2PO =；当P 与B （或E ）重合时，PO 取得最大值为PO =2，所以的取值范围是.例4 半径为2的圆O 上有三点A ，B ，C ，满足++0OA AB AC =，点P 是圆内一点，则++PA PO PB PC ⋅的取值范围是（）A . [)4,14-B . (]4,14-C . [)4,4-D . (]4,4-【答案】A【分析】直接两次使用极化恒等式即可. 【解析】由++0OA AB AC =得+AB AC AO = 在平行四边形ABOC 中，OB OC =，故易知四边形ABOC是菱形，且BC 设四边形ABOC 对角线的交点为E由极化恒等式得222114PA PO PE AO PE ⋅=-=-222134PB PC PE BC PE ⋅=-=-所以2++24PA PO PB PC PE ⋅=- 因为P 是圆内一点，所以03PE ≤<所以242414PE -≤-<，即4++14PA PO PB PC -≤⋅<，选A .例5 在△ABC 中，AC ＝2BC ＝4，∠AC B 为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN ＝1，若CM CN ⋅的2221=44PA PB PO AB PO⋅-=-PA PB ⋅[8-最小值为34，则cos ∠ACB ＝．【答案】1358- 【分析】取MN 的中点P ，由极化恒等式将“CM CN ⋅的最小值为34”转化为AB 边上的高CH =1，然后利用两角差的的余弦公式求解.【解析】取MN 的中点P ，则由极化恒等式得2221144CM CN CP MN CP ⋅=-=- ∵CM CN ⋅的最小值为34∴min 1CP =由平几知识知：当CP ⊥AB 时，CP 最小. 如图，作CH ⊥AB ，H 为垂足，则CH =1 又AC ＝2BC ＝4，所以∠B ＝30o，sin A =14所以cos ∠ACB ＝cos （150o－A ）=1358-.例6 已知直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB PC⋅的最大值为（） A ．161655+ B ．16855+ C ．165D ．565H【答案】D【解析】设BC 中点为D ，则22221120544PB PC PD BC PD PD =-=-⨯=-，又因为max PD AD r =+==，所以()max8156555PB PC =-=，故选：D.【巩固练习】1. 如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5.若AB ―→·AD ―→＝－7，则BC ―→·DC ―→＝________.2．矩形中，为矩形所在平面内一点，,矩形对角线，则值为 .3.若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值为________.4.已知平面向量a ，b ，e 满足|e |＝1，a ·e ＝1，b ·e ＝－2，|a ＋b |＝2，那么a ·b 的最大值为________．5.在中，已知，，则面积的最大值是．6.已知单位向量PA ，PB ，PC 满足2330PA PB PC ++=，则AB AC ⋅的值为（） A ．89B ．23C ．59D ．17. 已知2OA OB ==，且向量OA 与OB 的夹角为120°，又1PO =，则AP BP ⋅的取值范围为（） A ．[]1,1-B ．[]1,3-C ．[]3,1-D ．[]3,3-8.已知平面向量,a b c ,满足1a =，12a b ⋅=，2a c ⋅=，22b c -=，那么b c ⋅的最小值为________． 9.已知锐角的外接圆的半径为1，，则的取值范围为__________．10.在ABC ∆中，︒=∠==60,4,3BAC AC AB ，若P 是ABC ∆所在平面内的一点，且2=AP ，则PC PB ⋅的最大值为_____.11.已知点P 是边长为32的正三角形ABC 内切圆上的一点，则PB PA ⋅的取值范围为_____.12.已知正方形ABCD 的边长为1，中心为O ，直线l 经过中心O ，交AB 于点M ，交CD 于点N ，P 为平面上一点，若2OP → ＝λOB → ＋(1－λ)OC → ，则PM → ·PN →的最小值为__________.13.设点P 为正三角形△ABC 的边BC 上的一个动点，当PA → ·PC →取得最小值时，sin ∠PAC 的值为________．ABCD P ABCD 3,4PA PC ==6AC =PB PD ⋅ABC ∆2BC =1AB AC •=ABC ∆ABC ∆6B π∠=BA BC ⋅14.在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 分别在x 轴，y 轴正半轴上移动，AB ＝2，若点P 满足PA → ·PB →＝2，则OP 的取值范围为________．15.在△ABC 中，E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的面积为2，则PB → ·PC → ＋BC →2的最小值是__________．16.在半径为1的扇形AOB 中，若∠AOB ＝60°，C 为弧AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值是________．【答案与提示】1.【答案】9【提示】两次使用极化恒等式，由224BD AB AD OA ⋅=-得=8BD ，2294BD BC DC OC ⋅=-=. 2.【答案】【提示】设矩形的对角线交点为O ，由222222346942AC PA PC PO PO +-⋅=-=-=，得272PO =，227119422BD PB PD PO ⋅=-=-=-.3.【答案】98-【解析】根据极化恒等式得：2228(2)(2)(2)99⋅=+--=+--≥a b a b a b a b ，故98⋅≥-a b ，所以⋅a b 的最小值为98-．4.【答案】－54【提示】由a ·e ＝1，b ·e ＝－2得: a ·e －b ·e ＝3，即（a －b ）·e ＝3，|a －b |cos θ＝3a ·b=14[|a ＋b |2－|a －b |2]≤－545.【答案】【提示】取BC 的中点为D ，则224BC AB AC AD •=-，所以2AD =因为BC 边上的高线长不大于中线长，当中线就是高线时，面积最大，故面积的最大值． 6.【答案】A【解析】∵2330PA PB PC ++=，∴23PB PC PA +=-，如图，设BC 中点为D ，则()1123PD PB PC PA =+=-，且1PA PB PC ===， ∴,,P A D 三点共线，PD BC ⊥，1133PD PC ==，43AD =，112-2ABC ∆2∴ABC 为等腰三角形， ∴2223CD PC PD =-=∴22224839AB AC AD CD ⎛⎫⋅=-=-= ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A. 7. 【答案】C【解析】连结A B 、，则AB AB 的中点为T ，由222134PT AB PT AP BP ⋅==--，易知02PT ≤≤，所以2331PT -≤-≤ 故31AP BP -≤⋅≤，故选：C 8.【答案】58【解析】由12a b ⋅=，2a c ⋅=得23a b a c ⋅⋅=+，即(23a b c ⋅+)= 又(22cos a b c a b c θ⋅+)=+（其中θ为向量a 与2b c +的夹角）所以32cos b c θ+= 所以2221195(2)(2)488cos 8b c b c b c θ⎛⎫⎡⎤⋅=+--=-≥ ⎪⎣⎦⎝⎭. 9.【答案】10.【答案】10+【提示】方法同上.11.【答案】[]3,6-12.【答案】716-13.14.【答案】1⎤⎦15.【答案】33,2⎛+ ⎝16.【解析】如图，取OB 的中点D ，连接PD ，则OP →·BP →＝PD 2－OD 2＝PD 2－14，即求PD 的最小值．由图可知，当PD ⊥OB 时，PD min ＝34，则OP →·BP →的最小值是－116.。

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