六年级数学分数与循环小数的互化

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小学奥数：“循环小数与分数互化”知识总结与例题(含答案)

小学奥数：“循环小数与分数互化”知识总结与例题（含答案）

一、小数的基本知识

小数可以分为有限小数和无限小数两部分；无限小数又分为无限不循环小数和循环小数两部分，而循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数。

1.有限小数的判定：分母的质因式中只有2和5的数。

2.循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。

3.循环小数的定义：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现。

4.纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的。

纯循环小数的判定：分母的质因式中不含2和5的，化成小数后为纯循环小数。

5.混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的。

混循环小数的判定：分母的质因式不全含２和５的，化为小数后为混循环小数。

二、循环小数与分数的转化

1．错位相减法与循环小数转化为分数 ⑴以0.1为例，令a =0.1，①，而=1.110a ②，由②-①可以得到，a =91，则=19a 。 ==1240.129933；==123410.123999333；=12340.12349999

⑵以0.1234为例，推导=

=1234-126110.123499004950。设A =0.1234，将等式两边都乘以100，得：A =10012.34；

再将原等式两边都乘以10000，得：A =100001234.34；

两式相减得：-=-10000100123412A A ，所以A ==1234-1261199004950

。

2．方法归纳

⑴纯循环小数化成分数，分子是一个循环节的数字组成的数，分母是由数字９组成的，９的个数和一个循环节的数字的个数相同。

六年级奥数第三讲分数和小数

分数和小数

1、分数与有限小数

（1）有限小数都可以化为分数；

（2）一个最简分数的分母，如果只含有质因数2、5，就能化成有限小数。

例如 0.3＝ 0.21＝ 0.431＝

12= 18= 15= 120

注意：(2)中必须是最简分数。

2、循环小数

(1)纯循环小数

如0.4

＝0.444… 0.32

＝0.232323… 0.715

=0.517517517…

(2)混循环小数

如0.34

＝0.3444… . 0.5132 ＝0.51232323…

试一试：下列各循环小数是纯循环小数，还是混循环小数？

2.0 152.0 230.0 230.0

3、分数与循环小数的互化

(1)分数化循环小数

一个最简分数的分母，如果含有2、5以外的质因数，这个分数就可化为循环小数。

①如果分母只含2和5以外的质因数，这个分数就化为纯循环小数。

②如果分母既含质因数2或5，又含2和5以外的质因数，这个分数就化为混循环小数。

如6.032 = 981.037

7 = 61.061 = 35.0158 = 349.07537 = 742851.071142 ==

例1 不做除法，判断下面哪些分数可以化有限小数、纯循环小数或混循环小数。

1845 311 724 161120 121440

(2)化循环小数为分数

例2 把下面循环小数化为分数

①27.0 ②273.0

常见的分数和小数的互化

分数和小数之间的互化是数学中常见的概念。下面是一些常见的分数和小数的互化方法：

1.将分数转换为小数：将分子除以分母即可获得相应的小数形

式。例如，将分数3/4 转换为小数，计算 3 ÷4，结果为

0.75。

2.将小数转换为分数：将小数的数值部分作为分子，根据小数

位数确定分母的倍数。例如，将小数0.6 转换为分数，数值部分为 6，因为小数有一位小数，所以分母为 10，所以转换后的分数为 6/10。可以将这个分数化简为 3/5。

3.改写小数为分数：考虑小数表达的有限小数和无限循环小数

两种情况。对于有限小数，可以将小数的数值部分作为分子，分母为 10 的幂次，以小数位数作为指数。例如，0.3 可以改写为 3/10。对于无限循环小数，用字母 a 表示循环部分，用字母 b 表示非循环部分，然后写成分数形式。例如，

0.3333... 可以表示为 1/3。

这些是一些常见的分数和小数的互化方法。要注意的是，有些无限循环小数可能无法精确地表示为一个分数，此时我们会使用省略号 (...) 或上方的一个水平线表示循环部分。

分数和小数的互化知识点总结

分数和小数的互化知识点总结在数学中，分数和小数是常见的数的表示形式。它们可以表示同一

个数值，但采用不同的分数形式或小数形式。本文将总结分数和小数

的互化知识点，包括互化的基本方法和实例应用。

一、分数转换为小数的方法

1. 直接除法法：将分子除以分母，所得结果即为分数的小数形式。

例如：将2/3转换为小数，计算2 ÷ 3 = 0.6666...（以6无限循环表示）。

2. 除法的整数部分加上小数部分法：将分子除以分母，将得到的商

的整数部分作为小数的整数部分，再将得到的商的小数部分写成小数

形式。例如：将5/4转换为小数，计算5 ÷ 4 = 1.25。

3. 小数点移位法：将分子乘以10的n次方（n为正整数），然后除

以分母，得到的商就是所需的小数形式。例如：将3/5转换为小数，计

算3 × 10 ÷ 5 = 6。

二、小数转换为分数的方法

1. 小数转换为有限小数的分数：将小数的数位作为分子，分母为10的数位数次方；然后将分数化简至最简形式。例如：将0.6转换为分数，分子为6，分母为10，化简得到3/5。

2. 小数转换为无限循环小数的分数：设小数部分重复的数字位数为n，将小数的数位减去非循环位数后作为分子，分母为9乘以非循环位

数为n的0.9倍的10的n次方，然后将分数化简至最简形式。例如：

将0.444...转换为分数，分子为4，分母为9乘以0.9的10的1次方，化简得到4/9。

三、实例应用

实例1：将1/4转换为小数。

解法：1 ÷ 4 = 0.25。因此，1/4转换为小数为0.25。

实例2：将0.6转换为分数。

著名机构数学教案讲义六年级秋季班第6课时循环小数与分数的互化(老师)

第6课时循环小数与分数的互化

知识精要

一、循环小数与分数的互化

1、循环小数：一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断的重复出现，这个小数叫做循环小数。

2、循环节：一个循环小数的小数部分中，依次不断的重复出现的第一个最少的数字组，叫做这个循环小数的循环节。

3、能化为循环小数的分数：一个最简分数，如果分母中含有2和5以外的素因数，这个分数就不能化为有限小数，而化成循环小数。

4、纯循环小数化分数的方法：分数的分子是一个循环节所表示的数，分母的各个位上的数字全是___9____，9的个数等于循环节里数字的个数。

5、混循环小数化分数的方法：分数的分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与小数部分中不循环部分的数字所组成的数之差；分母的头几位数字是___9____，9后面的数字是___0____，9的个数和一个循环节中的数字个数相等，0的个数等于不循环部分的数字个数。

二、分数与小数的大小比较

比较几个数的大小时，一般应先根据数的特点将数的形式化成统一形式后再作比较，这样比较简单。

精解名题

例题1：将下列分数化成循环小数：

338)1( 12

5)2( 600832)3( 解：（1）42.0 （2）641.0 （3）3138.2

例题2：将852.0,35.0,5.0 化成分数。解：从左到右依次是：333

86,9953,

95 例题3：将926.0,3051.0,27

7.0 化成分数。解：22

1799076599077722

77.0 4995

7519990150299990115033051.0 9906239906629926.0

循环小数与分数的互化以及分数的应用

分数的应用

【知识点讲解】

类型一：循环小数与分数的互化

例题1：将下列分数化成循环小数：

338)1( 125)2( 600

832)3( 例题2：将852.0,35.0,5

.0 化成分数。

例题3：将926.0,3051.0,27

7.0 化成分数。

★巩固练习

1、下列各数哪些是循环小数？哪些不是循环小数？

0.333， 0.567567…， 2.0123123…， 4.18576…， 0.2020020002…， 14.141414… 循环小数：____________________________ 非循环小数：_____________ ________

2、循环小数 4.25656…的循环节是________，用简便方法写作____________保留三个小数写作_________________.

3、分数化为循环小数： 15141

________. 4、将0691.0,0619.0,619.0,619.0,12

11 各数按从大到小的顺序排列，排在第一位的是____ ,排在末位的是_____.

5、循环小数4832

.0 与427.0 在小数点后面第_________位时，在该位上的数字都是4.

类型二：应用问题

解答应用题的步骤：

1、审题理解题意：了解应用题的内容，知道应用题的条件和问题。读题时，不丢字不添字边读边思考，弄明白题中每句话的意思。也可以复述条件和问题，帮助理解题意。

2、选择算法和列式计算：这是解答应用题的中心工作。从题目中告诉什么，要从什么着手，逐步根据所给的条件和问题，联系四则运算的含义，分析数量关系，确定算法，进行解答并标明正确的单位名称。

无限循环小数与分数的互化

2503 2 2501 9990 9990
2.0 3 6

36 0 4 2 2 990 110
三、循环小数的四则运算
循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。
例3 计算下面各题

2 1 3
(3)1.14 0.2 5 0.3 6 0.4 7 0.5 8

13 23 33 43 53 1 90 90 90 90 90
165 5 1 2 90 6
把分数化成循环小数
1 9
1 99
1 999
5 9
17 99
38 999
8 9
34 99
125 999
(3)4.3 2. 4

ห้องสมุดไป่ตู้

3 4 1 4 16 4 2 4 2 10 9 9 3 9 27
24 3 8 1 8 (4)1. 2 4 0. 3 1 1 3 99 9 33 3 11
先把循环小数化成分数后再计算。
2 1 2 1 (1)0. 6 1 2 1 3 3 2 1 0. 6 1 3 2 1 3 23 0. 6 3 2 3 2 0. 6 3

分数与循环小数的互化

涌III 市和徨玄卍反廨荷嘛公司

M06A +017

分数与循环小数的互化

(3) 6.4 78

(4) 6.421

将下列分数化为循环小数，求出小数点后2008位数字. - （2） 13

计算：0.12 0.23 0.34

0.45 0.56 0.67 0.78 0.89

姓名: 日期: Q

严【知识要点】纯循环小数化分数的方法：（1）分数的分子是第一个循环节数字所组成的数。（2）分母是数字9所组成的数，9的个数等于循环节的位数，整数部分不变。（纯循环小数化成分数后，能约分的要约分。）混循环小数化分数的方法：（1）分数的分子是小数点右边第一个数字到第一个循环节末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数，所得的差。（2）分母是由数字9后面带数字0所组成的数，其中9的个数等于循环节的位数，0的个数等于不循环部分的位数。（混循环小数化成分数后，能约分的要约分。） — U*i il

【典型例题】把下列循环小数化为分数: (1) 0.7

(2) 0.13

(1)

M06A+017鼎【DE和廨百哌公司

-lb*!" B4HB B CVLSUItH ■■■••._____________________________________________

例4

计算0.11 0.21 0.31 0.41 0.51 0.61 0.71 0.81 0.91

例5对于小数0.0123456，要使它成为循环小数且小数部分左起

第100位上数字是4,那么两个循环点应分别加在 _________ 和

这两个数字上

1分数与循环小数的互化(六B班)

小升初分班集训第1讲

月日姓名

【知识要点】

一、纯循环小数化分数的方法：

（1）分数的分子是第一个循环节数字所组成的数。

（2）分母是数字9所组成的数，9的个数等于循环节的位数，整数部分不变。

纯循环小数化成分数后，能约分的要约分。

混循环小数化分数的方法：

（1）分数的分子是小数点右边第一个数字到第一个循环节末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数，所得的差。

（2）分母是由数字9，以及后面带数字0所组成的数，其中9的个数等于循环节的位数，0的个数等于不循环部分的位数。

混循环小数化成分数后，能约分的要约分。

二、整除

1．整除概念：一个整数除以另一个整数，得到的商也是一个整数，叫做整除。

2．较常见数的整除特征：

（一）能被2、5、4、25、8、125整除的数的特征：

①末一位能被2或5整除；

②末两位能被4或25整除；

③末三位能被8或125整除。

（二）能被3、9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除。

（三）能被6整除数的特征：既能被2整除又能被3整除。

【典型例题】

例1 将下列循环小数化为分数。

（1）∙

7.0（2）

∙

6.1（3）

∙

1428

7.0

（4）∙

31.0（5）

∙

21.3（6）

∙

例2 计算：

∙

+19.0

18.0

17.0

16.0

15.0

14.0

13.0

12.0

11.0

例3 对于小数0.0123456，要使它成为循环小数且小数部分左起第100位上数字是4，那么两个循环点应分别加在________和________这两个数字上。

例4 真分数7

循环小数与分数的互化及分数的应用

分数与循环小数的互化及分数的应用

学生情况及其分析：学生是上海六年级的学生，目前分数的加减及乘除大致已经学完，学校里学习的内容已经基本属于奥数的难度了，学生很活跃（上课对于会的题目会踊跃回答，且会提出自己的解题方法，且易于接受），对于分数部分的基础及稍微提高些的计算都已经掌握的都非常好了。

教学目的：本节课的内容主要是将分数与循环小数的互化步骤熟练掌握；分数应用题一方面是在整数应用题基础上的延伸和深化；另一方面，它有其自身的特点和解题规律。在解分数应用题时，分析体中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键。

教学设计：

1、循环小数与分数的互化

（1）纯循环小数化分数

从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。怎样把它化为分数呢？看下面例题。

例1把纯循环小数化分数：

从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这

个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9。9的个数与循环节的位数相同。能约分的要约分。

练习：

（1）

（2）

（2）混循环小数化分数

不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。怎样把混循环小数化为分数呢？看下面的例题。

例2把混循环小数化分数。

由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。分母的头几位数是9，末几位是0。9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。

练习：

（3）循环小数的四则运算

循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。

无限循环小数和分数互化

• 分ห้องสมุดไป่ตู้化小数
• 分母是10，100，1000......的：可以直接化成小数，如，十分之七化成0.7，一百分之九化成0.09
• 分母不是10，100，1000......的：分子除以分母。一个最简分数，如果分母分解质因数只含有2、5的，可以化成有限小数；如果含有2、5以外的质因数，就不能化成有限小数，但绝对能化成循环小数。附加：如果分母分解质因数不含有2、5，只含有2、5 以外的质因数，就能化成纯循环小数，如果既含有 2、5，又含有2、5以外的质因数，就能化成混循环小数。
无限不循环小数如3.149323846……，
无限循环小数
无限纯循环如0.333……，2.567567567……
•
••
0.3 2.56 7
•
无限混循环如0.5666…… 0.56
•
0.1777…… 0.17
（循环节）依次不断重复出现的数字叫做循环节（循环符号如果循环节只有一个数字，就在这个数字上加一个圆点，如果循环节有一个以上的数字，就在这个循环节的首位和末位的数字上各加一个圆点。）
• 小数化分数 • 有限小数化分数：小数表示的就是十分之一、百分之一、千分
之一......所以，0.6可以化成十分之六，约分成五分之三。 • 纯循环小数化分数：整数部分照抄，小数部分循环节如果是一
位分母为9，两位为99，三位为999......如0.2525......可以化成九十九分之九十九，能约分的要约分。 • 混循环小数化分数：整数部分照抄，小数部分循环节部分一位为9，两位为99，三位为999......不循环的部分有几位就在9的后面添几个零，分母整个小数部分，循环部分一位循环就只抄一位，两位就抄两位......。如0.13333......可以化成90分之13-1，就是90分之12，约分成十五分之二。 • 无限不循环小数：不能化成分数，因为无限不循环小数是无理数，分数全是有理数。

小学奥数：“循环小数与分数互化”知识总结与例题（含答案）

小学奥数：“循环小数与分数互化”知识总结与例题（含答

案）

小学奥数：“循环小数与分数互化”知识总结与例题（含答案）

一、小数的基本知识

小数可以分为有限小数和无限小数两部分；无限小数又分为无限不循环小数和循环小数两部分，而循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数。

1.有限小数的判定：分母的质因式中只有2和5的数。

2.循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。

3.循环小数的定义：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现。

4.纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的。

纯循环小数的判定：分母的质因式中不含2和5的，化成小数后为纯循环小数。

5.混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的。

混循环小数的判定：分母的质因式不全含２和５的，化为小数后为混循环小数。

二、循环小数与分数的转化

1．错位相减法与循环小数转化为分数⑴以0.1为例，令a =0.1，①，而=1.110a ②，由②-①可以得到，a =91，则=19a 。==1240.129933；==123410.123999333；=12340.12349999

⑵以0.1234为例，推导=

=1234-126110.123499004950。设A =0.1234，将等式两边都乘以100，得：A =10012.34；

再将原等式两边都乘以10000，得：A =100001234.34；

两式相减得：-=-10000100123412A A ，所以A ==1234-1261199004950

六年级秋季班-第6讲：分数与小数的互化

分数与小数的互化是六年级数学上学期第二章第2节中的内容．通过本讲的

学习，我们需要学会分数与有限小数及无限循环小数的互化，并利用分数与小数互相转化的方法比较分数与小数的大小，从而熟练分数与小数的互化，为后面学习分数与小数的四则混合运算做好准备．

1、分数化小数

利用分数与除法的关系，进行分数向小数的转化，例如：3

350.65

=÷=．

2、可化为有限小数的分数的规律

一个最简分数，如果分母中只含有素因数2和5，再无其他素因数，那么这个分数可以化成有限小数；否则就不能化成有限小数． 3、有限小数化为分数

原来有几位小数，就在1后面添几个零作为分母，原来的小数去掉小数点作分子，若有整数部分作为带分数的整数部分．

注意：结果一定要化为最简分数．

分数与小数的互化

内容分析

知识结构

模块一：分数与有限小数的互化

知识精讲

【例1】把下列分数化成有限小数，如果不能化成有限小数，则将其保留3位小数．

3 5、

、

【例2】把下列小数化成分数．

0.12，0.076，1.35，2.02．

【例3】比较下列两组数的大小：13

______0.66，1.35______

．

【例4】将1

，

按从小到大的顺序排列．

【例5】下列说法错误的是（）

A．任何分数都能化为小数B．任何小数都能化为最简分数

C．任何分数都能化为有限小数D．任何有限小数都能化为分数

【例6】在分数

，

中能化为有限小数的分数有______个．

【例7】10.26分米= ______分米= ______米；0.26天=______小时．（填分数）【例8】0.24的倒数是______，1.35的倒数是______．

【精品】循环小数与分的互化循环小数之间简单的加减运算

【关键字】精品

循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．

1.的“秘密”

，，,…,

2.推导以下算式

⑴；；；；

⑵；；；

⑶；

以为例，推导．

设，将等式两边都乘以100，得：；

再将原等式两边都乘以10000，得：，

两式相减得：，所以．

3.循环小数化分数结论

纯循环小数混循环小数

分子循环节中的数字所组成的数循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字所组成的数的差

分母n个9，其中n等于循环节所

含的数字个数

按循环位数添9，不循环位数添0，组成分

母，其中9在0的左侧

；；；，……

模块一、循环小数的认识

【例 1】在小数上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是_______(注：公元2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射

中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。)

【考点】循环小数的认识【难度】2星【题型】填空

【关键词】第六届，希望杯，1试

【解析】因为要得到最小的循环小数，首先找出小数部分最小的数为0，再看0后面一位上的数字，有05、

02、00、07，00最小，所以得到的最小循环小数为

【答案】

【巩固】给下列不等式中的循环小数添加循环点：0.19980.19980.19980.1998

【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算

循环小数的计算

【解析】根据循环小数的性质考虑，最小的循环小数应该是在小数点后第五位出现最小数字1的小数，因此一定是，次小的小数在小数点后第五位出现次小数字8，因此一定是．其后添加的循环点必定使得小数点后第五位出现9，因此需要考虑第六位上的数字，所以最大的小数其循环节中在9后一定还是9，所以最大的循环小数是，而次大数为，于是得到不等式：

循环小数与分数互化

1. 循环小数的定义

循环小数是指小数部分存在重复数字或数字序列的小数形式。例如，0.3333...即为一个循环小数，其小数部分数字3无限重复。循环

小数可以表示为有限小数，或者用括号把重复的数字或数字序列标记

出来。

2. 循环小数转分数的方法

要将循环小数转化为分数，我们可以利用以下简单的方法：

2.1 设循环小数为x，循环节长度为n，去掉循环部分，设为y；

2.2 将x与y相减，得到一个n位的0.9999...的无穷数；

2.3 将无穷数除以10的n次方减1，即(10^n - 1)，得到转换结果。

3. 实例演示

以循环小数0.3333...为例来演示转换为分数的过程：

3.1 将0.3333...设为x，去掉循环部分得到y=0.33；

3.2 x - y = 0.3333... - 0.33 = 0.0033... = z；

3.3 z除以10的2次方减1，即(10^2 - 1)，得到z/(10^2 - 1) = 0.0033... / 99 = 1/30。

通过以上演示，我们可以得出结论，循环小数0.3333...可以转换为分数1/30。

4. 分数转循环小数的方法

与循环小数转分数不同，分数转循环小数的方法相对复杂，但我

们可以通过除法来实现。下面是一个具体的分数转循环小数的步骤：

4.1 将分数的分子除以分母，得到整数商和余数；

4.2 将余数乘以10，然后再除以分母，得到下一个商和新的余数；

4.3 重复以上步骤，直到出现与之前相同的余数，即可确定循环节。

举个例子来说明分数转循环小数的过程：