六年级数学 分数与循环小数的互化
小学奥数：“循环小数与分数互化”知识总结与例题(含答案)
小学奥数：“循环小数与分数互化”知识总结与例题（含答案）一、小数的基本知识小数可以分为有限小数和无限小数两部分；无限小数又分为无限不循环小数和循环小数两部分，而循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数。
1.有限小数的判定：分母的质因式中只有2和5的数。
2.循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。
3.循环小数的定义：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现。
4.纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的。
纯循环小数的判定：分母的质因式中不含2和5的，化成小数后为纯循环小数。
5.混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的。
混循环小数的判定： 分母的质因式不全含２和５的，化为小数后为混循环小数。
二、循环小数与分数的转化1．错位相减法与循环小数转化为分数 ⑴以0.1为例，令a =0.1，①，而=1.110a ②，由②-①可以得到，a =91，则=19a 。
==1240.129933；==123410.123999333；=12340.12349999⑵以0.1234为例，推导==1234-126110.123499004950。
设A =0.1234，将等式两边都乘以100，得：A =10012.34；再将原等式两边都乘以10000，得：A =100001234.34；两式相减得：-=-10000100123412A A ，所以A ==1234-1261199004950。
2．方法归纳⑴纯循环小数化成分数，分子是一个循环节的数字组成的数，分母是由数字９组成的，９的个数和一个循环节的数字的个数相同。
⑵混循环小数化成分数，分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去小数部分不循环数字组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数同循环节的位数相同，0的个数同不循环部分的位数相同。
3．常用的分数与循环小数转化=10.1428577，=20.2857147，=30.4285717， =40.5714287，=50.7142857，=60.8571427；三、小试牛刀【例1】(2008年希望杯第六届五年级一试第3题，6分)在小数1.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是 (注：公元2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。
小数与分数互化方法
小数与分数互化方法
小数与分数的互化方法是通过将小数转化为分数，以及将分数转化为小数。
将小数转化为分数的方法：
- 对于有限小数，例如0.4，可以先确定小数的位数，然后将小数部分除以对应位数的10的幂，分子为小数部分，分母为10的幂。
- 对于循环小数，例如0.333...，可以将循环部分表示为x，然后将整个小数表示为x = 0.333...，乘以一个适当的倍数，使得10x = 3.333...，然后两式相减得到9x = 3，解方程可得x = 1/3。
将分数转化为小数的方法：
- 对于分母为10的幂次方的分数，例如1/10、3/100等，可以直接将分子除以分母，得到小数形式。
- 对于其他分数，可以将分子除以分母，得到一个带有余数的除法形式，然后根据长除法的方法，将余数不断乘以10，并将商作为下一次的被除数，直到余数为0或者出现循环，将商的部分作为小数部分，循环部分根据循环的位置确定。
例如，将小数0.375转化为分数：0.375 = 375/1000 = 3/8
将分数5/6转化为小数：5/6 = 0.8333... (循环小数，循环部分为3)。
分数与循环小数的互化
涌III 市和徨玄卍反廨荷嘛公司M06A +017分数与循环小数的互化(3) 6.4 78(4) 6.421将下列分数化为循环小数，求出小数点后2008位数字. - （2） 131344计算：0.12 0.23 0.340.45 0.56 0.67 0.78 0.89姓名: 日期: Q严 【知识要点】 纯循环小数化分数的方法： （1） 分数的分子是第一个循环节数字所组成的数。
（2） 分母是数字9所组成的数，9的个数等于循环节的位数， 整数部分不变。
（纯循环小数化成分数后，能约分的要约分。
） 混循环小数化分数的方法： （1） 分数的分子是小数点右边第一个数字到第一个循环节末 位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数，所得的差。
（2） 分母是由数字9后面带数字0所组成的数，其中9的个数 等于循环节的位数，0的个数等于不循环部分的位数。
（混循环小 数化成分数后，能约分的要约分。
） — U*i il【典型例题】 把下列循环小数化为分数: (1) 0.7(2) 0.13(1)M06A+017鼎【DE和廨百哌公司-lb*!" B4HB B CVLSUItH ■■■••._____________________________________________例4计算0.11 0.21 0.31 0.41 0.51 0.61 0.71 0.81 0.91例5对于小数0.0123456，要使它成为循环小数且小数部分左起第100位上数字是4,那么两个循环点应分别加在 _________ 和这两个数字上例6真分数a化成小数后，在小数点后1994个数位上的数字之和为8972，求a= _______☆设a是一个自然数，A是1至9中一个数字，若44；0.3A7M06A +017煉I ■币和夜展胃瞩公司•B4HBB CVLSUItH > ■ V - ,_________课堂小测4.循环小数0.2837546与0.97216在小数点后第多少位时，首次在该 ___________________________ 位的数字都是6?5.在循环小数0.1234567中，移动循环节的小圆点，使得新的循环 小数的第100位数字是5,新的循环小数是几？----------------------6.真分数a 化成小数后，在小数点后 和为8969,并求出a .日姓名:成绩:1. 字把下列分数化为循环小数，并求出小数点后第100位的数2. 将下列循环小数化为分数： (1)0.68( 2)(3) 0.76123 .计算(0.91 0.82 0.73 0.64) (0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6).个数位上的数字之孺IDE和夜廨荷瞩公国M06A+017课后作业姓名： _________ 家长签字：___________ 成绩：______1将下列循环小数化为分数：(1) 5.123 ( 2) 0.2954 ( 3) 0.785714 22•把下列分数化为循环小数，并求出小数点后第100位的数字。
常见的分数和小数的互化
常见的分数和小数的互化
分数和小数之间的互化是数学中常见的概念。
下面是一些常见的分数和小数的互化方法：
1.将分数转换为小数：将分子除以分母即可获得相应的小数形
式。
例如，将分数3/4 转换为小数，计算 3 ÷4，结果为
0.75。
2.将小数转换为分数：将小数的数值部分作为分子，根据小数
位数确定分母的倍数。
例如，将小数0.6 转换为分数，数值部分为 6，因为小数有一位小数，所以分母为 10，所以转换后的分数为 6/10。
可以将这个分数化简为 3/5。
3.改写小数为分数：考虑小数表达的有限小数和无限循环小数
两种情况。
对于有限小数，可以将小数的数值部分作为分子，分母为 10 的幂次，以小数位数作为指数。
例如，0.3 可以改写为 3/10。
对于无限循环小数，用字母 a 表示循环部分，用字母 b 表示非循环部分，然后写成分数形式。
例如，
0.3333... 可以表示为 1/3。
这些是一些常见的分数和小数的互化方法。
要注意的是，有些无限循环小数可能无法精确地表示为一个分数，此时我们会使用省略号 (...) 或上方的一个水平线表示循环部分。
分数与小数的互化
分数与小数的互化是六年级数学上学期第二章第2节中的内容．通过本讲的学习，我们需要学会分数与有限小数及无限循环小数的互化，并利用分数与小数互相转化的方法比较分数与小数的大小，从而熟练分数与小数的互化，为后面学习分数与小数的四则混合运算做好准备．1、分数化小数利用分数与除法的关系，进行分数向小数的转化，例如：3350.65=÷=．2、可化为有限小数的分数的规律一个最简分数，如果分母中只含有素因数2和5，再无其他素因数，那么这个分数可以化成有限小数；否则就不能化成有限小数．3、有限小数化为分数原来有几位小数，就在1后面添几个零作为分母，原来的小数去掉小数点作分子，若有整数部分作为带分数的整数部分．注意：结果一定要化为最简分数．分数与小数的互化内容分析知识结构模块一：分数与有限小数的互化知识精讲【例1】 把下列分数化成有限小数，如果不能化成有限小数，则将其保留3位小数．35、56、18、920、7112、124【难度】★【答案】0.6；0.833；0.125；0.45；1.583；2.25． 【解析】考察分数与小数的互化．【例2】 把下列小数化成分数．0.12，0.076，1.35，2.02．【难度】★【答案】3197112252502050，，，．【解析】2531001212.0==，25019100076076.0==，207110035135.1==，50121002202.2==．【总结】考察分数与小数的互化．【例3】 比较下列两组数的大小：1320______0.66，1.35______37180． 【难度】★【答案】< ；<． 【解析】66.065.02013<=，35.14625.180371>=．【总结】考查分数与小数的大小比较，可以将分数化为小数，也可将小数化成分数，然后再比较大小．【例4】 将12，35，58，710，1320，1725按从小到大的顺序排列．【难度】★★【答案】12<35<58<1320<1725<710． 【解析】1=0.52，3=0.65，5=0.6258，7=0.710，13=0.6520，17=0.6825．【总结】主要考查分数的大小比较，可以将分数化为小数，然后再比较大小．例题解析【例5】 下列说法错误的是（ ）A ．任何分数都能化为小数B ．任何小数都能化为最简分数C ．任何分数都能化为有限小数D ．任何有限小数都能化为分数【难度】★★ 【答案】C【解析】分数可以化为有限小数和无限不循环小数． 【总结】考查分数化为小数的方法．【例6】 在分数313，714，1150，1215，2332，76中能化为有限小数的分数有______个．【难度】★★【答案】4【解析】714，1150，1215，2332均可化为有限小数．【总结】考察分数转化为有限小数的条件．【例7】 10.26分米 = ______分米 = ______米；0.26天 =______小时．（填分数） 【难度】★★ 【答案】501310；500131；25156．【解析】501310100261026.10==，251562450132426.0=⨯=⨯． 【总结】考察利用小数分数之间的转化表示单位之间的换算．【例8】 0.24的倒数是______，1.35的倒数是______． 【难度】★★【答案】625，2720．【解析】2561002424.0==，2027207110035135.1===． 【总结】先将小数化为分数，然后再求倒数．【例9】 （1）120.252-；（2）120.253-．【难度】★★【答案】（1）2.25；（2）1212． 【解析】（1）120.25 2.50.25 2.252-=-=；（2）111120.252233412-=-=．【总结】分数与小数混合运算时，有不能化为有限小数的分数时，将所有的数字转化为分数来进行运算．如果可以转换为有限小数时，则可以化做小数再加减运算．【例10】 甲水果店的苹果以9元4千克的价格出售，乙水果店的苹果以16元7千克的价格出售，哪家水果店苹果的价格比较便宜？【难度】★★ 【答案】乙． 【解析】因为1696416916494⨯=⨯⨯=，9166391697167⨯=⨯⨯=，所以16794>， 故乙水果店便宜．【总结】考查利用分数的大小比较解决实际问题．【例11】 某学校组织“分数计算竞赛”，甲、乙、丙三位同学分别耗时0.6小时、3760小时和42分钟，三人中用时最少的是谁？【难度】★★★ 【答案】甲． 【解析】42分钟=6042小时；0.6小时=53小时=6036小时．所以分钟小时小时4260376.0<<，故甲用时最少．【总结】考查利用分数的大小比较解决实际问题．【例12】 已知，a 是一个不大于30的正整数，且9a能化成有限小数，则a 可能取的值有______个．【难度】★★★ 【答案】13【解析】满足条件的有2，4，6，8，10，12，15，16，18，20，24，25，30，共有13个．【总结】本题主要考查分数化为有限小数的条件，主要化成最简分数之后，分母的因数 只有2和5就可以．1、 循环小数一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这个小数叫做循环小数．一个循环小数的小数部分中依次不断地重复出现的第一个最少的数字组，叫做这个循环小数的循环节．为了书写方便，小数的循环部分只写出第一个循环节，在这个循环节的首位和末位的数字上面各记一个圆点．例如：0.3333…的循环节为“3”，写作0.3g；0.1363636…的循环节为“36”，写作0.136g g． 像“0.3g”这样的循环小数称为纯循环小数，其循环节从小数点后第一位开始； 像“0.136g g ”这样的循环小数称为混循环小数，其循环节不从小数点后第一位开始． 2、 纯循环小数化为分数纯循环小数化分数：这个分数的分子等于一个循环节所组成的数，分母全部由9构成，9的个数等于一个循环节中的位数，最后再化为最简分数．例如：123410.123999333==g g ． 3、 混循环小数化为分数混循环小数化分数：这个分数的分子是第二个循环节之前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差，分母的前几位数是9，末几位数是0，9的个数等于一个循环节中的位数，0的个数等于小数点后不循环部分的位数．例如：1231122610.123990990495-===g g ． 模块二：分数与循环小数的互化知识精讲【例13】0.102102…的循环节是_______，写作_________，保留2位小数写作_______．【难度】★【答案】102；••201；0.10．【解析】考察循环小数的读法和写法．【例14】已知：0.12222，0.353555…，3.23232323，0.1010010001…，0.1353535…，0.231544307…，其中循环小数有_____个．【难度】★【答案】2个【解析】循环小数有0.353555…，0.1353535…．【总结】考察循环小数的定义．【例15】将下列分数化为有限小数，若不能化为有限小数，则化为循环小数，并说出其循环节．（1）75；（2）1215；（3）79；（4）4199．【难度】★【答案】（1）1.4；（2）0.8；（3）•7.0，循环节为7；（4）••14.0，循环节为41．【解析】考察分数与小数的互化．【例16】将下列两组数按从小到大的顺序排列．（1）29、16、0.2、516；（2）315、1.62g、138、1.60g g．【难度】★★【答案】（1）16<0.229<516<；（2）3151.60<g g1.62<g138<．【解析】（1）因为20.29•=、10.166•=、0.2、50.312516=，所以16<0.229<516<；（2）因为31 1.65=、131.6258=，所以3151.60<g g1.62<g138<．【总结】考察分数与小数的大小比较，可以将小数化为分数，也可将分数化为小数．例题解析【例17】 将下列循环小数化为分数．（1）0.3g；（2）0.21g g；（3）0.36g；（4）0.321g g．【难度】★★【答案】（1）31；（2）337；（3）3011；（4）53165．【解析】（1）310.393==g； （2）2170.219933==g g ；（3）36333110.36909030-===g ； （4）3213318530.321990990165-===g g ． 【总结】考察循环小数化为分数的方法，参考知识精要．【例18】 分数511化为循环小数后，小数点右边第200位上的数字是______． 【难度】★★【答案】5．【解析】••=54.0115，则小数点右边第200位上的数字为5．【总结】考察分数化为小数的方法以及数字的规律．【例19】 移动循环小数2.3020304gg的前一个循环点，使产生的循环小数尽可能小，这个新循环小数是__________．【难度】★★ 【答案】2.3020304gg．【解析】考察循环小数的比较大小．【例20】 将67化为循环小数后，小数点后的前100个数字之和为多少？ 【难度】★★【答案】453．【解析】••=257148.076循环数字有6位，因为100÷6=16余4，所以小数点后的前100个数字之和为：()()453175824175816=+++++++++⨯．【总结】考察分数化成小数的方法，以及对循环节的理解和运用．【例21】 将31 1.25⨯g 的结果化为带分数：______．【难度】★★【答案】45431．【解析】因为9212.1=•，所以381188431 1.215594545⨯=⨯==g ．【总结】现将循环小数化为分数，然后根据分数的乘法法则进行计算．【例22】 计算：（1）2.45 3.13+g gg；（2）2.609 1.32-gg g；（3）4.3 2.4⨯gg；（4）1.240.3÷g gg． 【难度】★★ 【答案】（1）165975；（2）283919900；（3）27286；（4）1141 【解析】（1）45131527522972.453.13232323599901115165165165-+=+=+=+=g gg； （2）609603261322.609 1.3221219009910099--=-=-g g g 283919900=； （3）3439222864.3 2.442999927⨯=⨯=⨯=g g ；（4）243123411.240.3139999911÷=÷=⨯=g g g ．【总结】本题主要考查无限循环小数化成分数的方法以及分数的运算．【例23】 10.610.610.60.6+++gggg．【难度】★★【答案】132205．【解析】212121212121212126443333321231333331339233263=+=+=+=+=+++++++原式239205344132=+=． 【总结】考察繁分数的运算，本题要先将小数化成分数再进行计算．【例24】 计算：0.140.250.360.470.58++++ggggg． 【难度】★★★【答案】1831．【解析】0.140.250.360.470.58++++ggggg．141252363474585=909090909013233343539090909090165319018-----++++=++++== 【总结】本题一方面考查无限循环小数化成分数的方法，另一方面考查分数的加法运算．【例25】 将纯循环小数0.ab g g化为最简分数时，分子与分母之和为19，求a 和b ． 【难度】★★★ 【答案】72a b ==，． 【解析】100.99a b ab +=g g，当分母为9时，则分子为10，则分数为910，不合题意；当分母为11时，分子为8，则分数为••=27.0118，所以72a b ==，． 【总结】考察循环小数化为分数的方法以及对纯循环小数的理解及运用．【例26】 某学生计算1.23g乘以一个数a 时，把1.23g误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3，则正确的结果该是多少？【难度】★★★ 【答案】111． 【解析】因为30719021190223132.1==-=•，所以3.023.13071=-a a ，所以3.03001=a ，所以90=a ；则正确的结果为111903037903071=⨯=⨯．【总结】本题一方面考查学生对题意的理解，另一方面考查无限循环小数与分数的互化以及分数的运算．【例27】 循环小数0.12345gg与0.2345gg在小数点后面第几位第一次同时出现数字5？ 【难度】★★★【答案】小数点后面第20位第一次 同时出现数字5．【解析】0.12345gg循环节有5位，0.2345gg循环节有4位，则小数点后面第20位第一次同时出现数字5．【总结】考察循环小数循环节的规律以及对最小公倍数的运用．【例28】 真分数7x化为小数后，如果从小数点后第一位数字开始连续若干个数字之和是91，那么x 等于多少？【难度】★★★【答案】2【解析】••=742851.071，••=485712.072，••=128574.073，••=871425.074，••=514287.075，••=257148.076，观察发现循环节的数字都是1，4，2，8，5，7，一个循环节的和为27758241=+++++，32791=÷余10，只有72中1082=+，所以x 等于2．【总结】考察分数与小数的互化以及对数字规律的观察与总结．【例29】 求证：20.63=g． 【难度】★★★【答案】设a =•6.0，则a 106.6=•，所以66.06.610=-=-••a a ，所以69=a ，所以32=a ． 【解析】考察分数化为循环小数的方法．【例30】 求证：110.3630=g ． 【难度】★★★【答案】设a =•63.0，则a 106.3=•，a 1006.36=•，所以336.36.3610100=-=-••a a ，所以3390=a ，所以3011=a ． 【解析】考察分数化为循环小数的方法．【习题1】 把下列分数化成有限小数，如果不能化成有限小数，则将其保留3位小数．74、415、1324、8335． 【难度】★【答案】7 1.754=、41 1.85=、130.54224=、83 3.22935=． 【解析】考察分数化小数的方法．【习题2】将1722化为循环小数：______． 【难度】★【答案】••7277.0．【解析】考察分数化小数的方法．【习题3】 将0.1503g g 化为分数：______． 【难度】★★【答案】4995751． 【解析】1503115027510.1503999099904995-===g g ． 【总结】考察循环小数化成分数的方法．【习题4】 将1.44、1.4g、41100、1.41从大到小排列：____________________． 【难度】★★【答案】41100<1.41<1.44<1.4g ． 【解析】因为04.110041=，所以41100<1.41<1.44<1.4g ． 【总结】考察分数与小数的大小比较，注意合理方法的选用．随堂检测【习题5】 计算：30.4524⨯=g g ______． 【难度】★★ 【答案】45． 【解析】因为115994554.0==••，所以351150.45241144⨯=⨯=g g ． 【总结】先将循环小数化为分数，然后再做乘法．【习题6】 甲、乙两个工人加工零件，甲平均每分钟加工0.9个，乙平均每分钟加工1011个，谁的工作效率高些？ 【难度】★★【答案】乙 【解析】因为100.900.911••=>，所以乙的工作效率高．【总结】考查分数与小数的大小比较在实际问题中的应用．【习题7】 0.540.36+=g g g______． 【难度】★★ 【答案】990899． 【解析】545364945393608990.540.3690999011990990990-+=+=+=+=g g g ． 【总结】先将循环小数化为分数，然后再做分数加减法．【习题8】 将613化为循环小数后，小数点后的前100个数字之和为多少？． 【难度】★★【答案】448． 【解析】••=861534.0136，循环节共有6位，则4166100Λ=÷， 所以()448516483516416=+++++++++⨯． 【总结】考察分数化成小数的方法，以及对循环节的总结及运用．【习题9】 计算：0.010.120.230.340.780.89+++++g g g g g g ．【难度】★★★ 【答案】512． 【解析】0.010.120.230.340.780.89+++++g g g g g g11212323437878989090909090901112131718190909090909021612905-----=+++++=+++++== 【总结】考察循环小数化为分数的方法以及分数的加法运算，注意结果要化到最简．【习题10】 设a 、b 、c 是0 ~ 9的数字（允许相同），将循环小数0.abc g g 化成最简分数后，分子有多少种不同的情况？【难度】★★★【答案】660． 【解析】0.999abc abc =g g ，因为a 、b 、c 是0 ~ 9的数字，所以abc 可以为001到999．因为373331119999⨯⨯⨯=⨯=，所以001到999中以3为公因数有333个数可以约分，还剩666个．以37为公因数的有27个可以约分，还剩639个．算重复的有 9个，所以剩 下639+9=648．而其中81的倍数有12个，所以共有648+12=660个．【总结】本题综合性较强，考查的知识点比较多，也比较综合，主要是认真分析题意，根据所学知识求出结论．【作业1】 填空： 12=______； 14=______； 34=______； 15=______； 18=______； 38=______； 58=______； 78=______； 120=______； 125=______； 140=______； 150=______． 【难度】★ 【答案】0.5；0.25；0.75；0.2；0.125；0.375；0.625；0.875；0.05；0.04；0.025；0.02．【解析】考察分数化成小数的方法．【总结】常见分数与小数需要背诵．【作业2】 将无限循环小数3.102g g表示成分数形式：______． 【难度】★【答案】333343． 【解析】102343.10233999333==g g ． 【总结】考察循环小数化分数．【作业3】 将下列小数化成最简分数．0.35，0.02，1.135【难度】★【答案】712712050200，，． 【解析】0.3520710035==，0.022110050==，1.13520027110001351==． 【总结】考察小数化成分数的方法，注意分数一定要化成最简分数．课后作业【作业4】 将435化成循环小数是______，小数点右边第2016位上的数字是______． 【难度】★★ 【答案】0.1142857&&，5． 【解析】40.114285735=&&循环节共有6个数字，()2016163355-÷=L ，所以小数点右 边第2016位上的数字是5．【总结】考察分数化小数的方法以及对循环节的理解及运用．【作业5】 119、522、0.227g g 、0.227g g 、1.2g 这些数中，是否有相等的两个数？若有，请将它们一一写出来．【难度】★★ 【答案】119=1.2g 、522=0.227g g ． 【解析】227222550.22799099022-===g g ；2270.2271000=g g ；2111.2199==g ． 【总结】考察循环小数化分数的方法以及分数的大小比较．【作业6】 化肥厂第一天生产化肥12.5吨，第二天比第一天多生产113吨，两天共生产化肥多少吨？【难度】★★ 【答案】3126． 【解析】31263115.125.12=⎪⎭⎫ ⎝⎛++（吨）． 【总结】考察分数加减法的实际应用．【作业7】 191.21.2427⨯+g g g ． 【难度】★★ 【答案】920． 【解析】192241911123194119201.21.241127999279992727279⨯+=⨯+=⨯+=+=g g g ．【总结】先将循环小数化为分数再做乘法运算．【作业8】 有8个数，0.51g g ，23，59，0.51g ，2447，1325是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是0.51g ，那么按从大到小排列时，第6个数是哪一个数？【难度】★★★【答案】0.51g． 【解析】因为20.63•=，50.59•=，240.510647=L ，130.5225=， 所以2447<0.51g 0.51<g g 1325<59<23<，由于这6个数从小到大的顺序排列0.51&在第二位，而0.51&在八个数按从小到大的顺序排列时位于第4个，所以另外两个数都小于0.51&，所以这八个数从大到小排列时，第四个是0.51&． 【作业9】 纯循环小数0.abc g g写成最简分数时，分子和分母的和是58，那么三位数abc = ______．【难度】★★★【答案】567． 【解析】0.999abc abc =g g ，而37391119999⨯⨯=⨯=，又因为0.abc g g 小于1，且分子和分母 的和是58，所以当分母为37时，则分子为21，即分数为••=765.03721；所以567abc =． 【总结】考察循环小数化为分数的方法．【作业10】 真分数13a 化成小数后，如果小数点后连续2017个数字之和是9075，那么a 等于多少？【难度】★★★【答案】4或5． 【解析】将分数131213111310139138137136135134133132131，，，，，，，，，，，化为小数后发现所有的循环节都是又0、7、6、9、2、3或4、6、1、5、3、8构成．则一个循环节的和为27329670=+++++， 或46153827+++++=，而3336279075Λ=÷，而 只有134，135小数点后第一位为3， 所以45a =或． 【总结】本题主要考查对循环节的规律的归纳及运用．。
循环小数与分数的互化以及分数的应用
循环小数与分数的互化以及分数的应用分数的应用【知识点讲解】2和5以外的素因数，这个分数就不能化为有限小数，而化成循环小数。
4、纯循环小数化分数的方法：分数的分子是一个循环节所表示的数，分母的各个位上的数字全是___9____，9的个数等于循环节里数字的个数。
5、混循环小数化分数的方法：分数的分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与小数部分中不循环部分的数字所组成的数之差；分母的头几位数字是___9____，9后面的数字是___0____，9的个数和一个循环节中的数字个数相等，0的个数等于不循环部分的数字个数。
二、分数与小数的大小比较6、比较几个数的大小时，一般应先根据数的特点将数的形式化成统一形式后再作比较，这样比较简单。
类型一：循环小数与分数的互化例题1：将下列分数化成循环小数： 338)1( 125)2(600832)3(例题2：将852.0,35.0,5.0 化成分数。
例题3：将926.0,3051.0,277.0 化成分数。
★巩固练习1、下列各数哪些是循环小数？哪些不是循环小数？ 0.333， 0.567567…， 2.0123123…， 4.18576…， 0.2020020002…， 14.141414…循环小数：____________________________ 非循环小数：_____________ ________2、循环小数4.25656…的循环节是________，用简便方法写作____________保留三个小数写作_________________.3、分数化为循环小数： 15141________. 4、将0691.0,0619.0,619.0,619.0,1211 各数按从大到小的顺序排列，排在第一位的是____ ,排在末位的是_____.5、循环小数4832.0与427.0 在小数点后面第_________位时，在该位上的数字都是4.类型二：应用问题解答应用题的步骤：1、审题理解题意：了解应用题的内容，知道应用题的条件和问题。
无限循环小数与分数的互化
1
2 1 2 39 2 1 3 2 6 3 44 3 44 39 3 13
205 73 1 132 132
1 (2)1.25 0. 3 1.25 1.25 0. 6 3
1 1.25 (0. 3 0. 6) 3 1 1 2 4 1.25 ( ) 1.25 3 3 3 3
无限循环小数和分数的互化
小数
有限 小数 无限 小数
无限循环 小数
无限不循 环小数
无限纯循 环小数 无限混循 环小数
一、纯循环小数化分数 从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。 例1 把纯循环小数化分数：
6 2 102 34 （1）0.6= （2）3.102= 3 999 3 333 9 3
再 见
二、混循环小数化分数 不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。 例2 把混循环小数化分数。
一个混循环小数的小数部 分可化成分数，这个分数 的分子是第二个循环节以 前的小数部分组成的数与 小数部分中不循环部分组 成的数的差。分母的头几 位数是9，末几位是0。9的 个数与循环节中的位数相 同，0的个数与不循环部分 的位数相同。
2503 2 2501 9990 9990
2.0 3 6
36 0 4 2 2 990 110
三、循环小数的四则运算
循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可按分数四 则运算法则进行。从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有 限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。
例3 计算下面各题
215 2 213 71 （1）0.215= 990 990 330
353 35 318 53 6 6 （2）6.353=6 900 900 150
2021新无限循环小数与分数的互化专业资料
归纳：
对于纯循环小数，循环节有几位就在分 对于纯循环小数，循环节有几位就在分母上添几个9，并将循环节添在分子上。
1、 把 化成分数.
例练母3：习上：将添分0几.别15个将0390 ，.化6 成并5 分、将0数.循3. 4环、节0 .添3 3在4 分、子0 . 6上7 。8 、 2无1（例（ 无（（例练（练 （（（（练（对练思（（2（无、 、 、限112限323习1习2133习2于习考323限） ： ）） ） ： ） ） ） ） ） ） ） ） ）把把把循 循 ： ：： 纯 ： ： 循将将将 将将将将将将将将将将将将环环循混环分分 分分化化化小小环循小别别 别别成成成数数小环数化将将 将将化化 化化化化化化化化化化化分分分与与数小与化成成成 成成成成成成成成成成成数数数分分，数分成分分分 分分分分分分分分分分分...、、 、、数数循化数分数数数 数数数数数数数数数数数的的环成的数..............互互节分互. 、、 、、化化有数化几有位何、、 、、就规在律分？、、 、、母上添几个9，并将循环节添在分子上。
无限循环小数与分数的互化
例1： 将 0 . 5 化成分数.
练习：
1、 把 0 . 2 化成分数.
2、 把 0 . 7 化成分数.
例2： 将 0 . 5 3 化成分数.
（1） 将 0 . 2 3 化成分数. （2） 将 0 . 8 5 化成分数.
（3） 将 0 .7 9 2 化成分数.
思考：将纯循环小数化成分数有何规律？
例1： 将 化成分数.
0 . 0 7 6 （2） 将 数化成分数有何规律？
归纳：
对于混循环小数，循环节有几位，就在分 母上先添几个9，小数局部不循环的小数 有几位，就在9后面添几个0，分子用所 有的小数局部减去非循环节的小数局部.
小升初第3讲：循环小数与分数互化、定义新运算(教师版)
1.已知x=010000000009999999999100099910099109+++，求x 的整数部分.知识点一（循环小数的认识） 【知识梳理】1. 循环小数可分为有限循环小数，如：1.123123123（不可添加省略号）和无限循环小数，如：1.123123123……（有省略号）。
前者是有限小数，后者是无限小数。
把循环小数的小数部分化成分数的规则①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。
②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字3⨯,这个最简分数的分母应小于337=999【解析】方法一：0.1+0.125+0.3+0.160.1111+0.1250+0.3333+0.1666=0.7359=0.736≈0.1+0.125+0.3+0.1611315=+++11=某学生将1.23乘以一个数a 时，把1.23，使乘积比正确结果减少【解析】由题意得：1.23a •，即：0.003•么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数<051<0.51<<<2591352<0.51<0.51<<<2590.9080807181216(1+2+3+4+8+9)12.127=+⨯ 2.10.3 2.4=+=1②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等. 如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同. 定义新运算分类 1、直接运算型 2、反解未知数型 3、观察规律型 4、其他类型综合【例题精讲】例1.对于任意两个数x 和y ，定义新运算◆和⊗，规则如下：x ◆y = 22x y x y ++，3x yx y x y ⨯⊗=+÷ .如：1◆2= 212122⨯++⨯，1212123⨯⊗=+÷.由此计算：..0.36◆141__________.2⎛⎫⊗= ⎪⎝⎭例2.用{}a 表示a 的小数部分，[]a 表示不超过a 的最大整数。
分数与小数互化
分数与小数互化一、引言在数学中，分数和小数是两个常见的数的表示方式。
分数是指一个整数除以另一个非零整数所得的结果，可以表示为a/b的形式，其中a和b为整数，b不等于0。
而小数是指用小数点表示的有理数，可以表示为整数部分与小数部分的组合。
本文将探讨分数与小数之间的互化关系。
二、分数转小数2.1 分数转小数的方法分数转小数可以通过除法来实现。
将分子除以分母，得到的结果就是分数转化成小数的值。
例如，将1/2转化成小数，计算1除以2，结果为0.5。
2.2 分数转小数的特殊情况对于一些特殊的分数，转化成小数可能会出现循环小数的情况。
循环小数是指小数部分出现重复序列的小数表示。
例如，将1/3转化成小数，计算1除以3，得到的结果是0.33333…，小数部分无限循环。
循环小数可以通过循环节的表示方式进行简化，例如将0.33333…表示为0.3(3)。
三、小数转分数3.1 小数转分数的方法小数转分数可以通过将小数部分表示为分数的形式来实现。
具体操作为，将小数部分的数字作为分子，分母设为10的幂次方，幂次取决于小数部分的位数。
例如，将0.25转化成分数，将25作为分子，10作为分母，得到的结果为25/100，可以进行约分得到1/4。
3.2 小数转分数的特殊情况对于一些特殊的小数，转化成分数可能会出现无限循环小数的情况。
无限循环小数是指小数部分无限重复的小数表示。
例如，将0.66666…转化成分数，设x=0.66666…，则10x=6.66666…，可以通过减法操作得到9x=6，解得x=2/3，所以0.66666…等于2/3。
四、分数与小数的应用分数和小数在实际生活和学习中有许多应用场景，下面列举了一些常见的应用：4.1 金融计算在金融计算中，小数常用于计算利率、汇率等百分比的表示。
而分数则常用于计算利息、债券等复杂的金融问题。
通过分数与小数的互化，可以方便地在不同计算环境中进行转换和应用。
4.2 分数的运算分数在数学中有着重要的地位，我们常常需要进行分数的加减乘除运算。
分数和小数的互化规律
分数和小数的互化规律
分数和小数可以通过一定的规律进行相互转化。
下面介绍一些基本的转化规律：
1. 小数转分数：
小数可以转化为分数形式，将小数点后的数字作为分子，分母为相应位数的10的幂。
例如：
- 小数0.25可以转化为分数为25/100，可以约分为1/4。
- 小数0.6可以转化为分数为6/10，可以约分为3/5。
2. 分数转小数：
分数可以转化为小数形式，将分子除以分母即可。
例如：
- 分数3/4 可以转化为小数为3 ÷4 = 0.75。
- 分数5/8 可以转化为小数为5 ÷8 ≈0.625。
3. 循环小数转分数：
对于循环小数，可以通过数学运算将其转化为分数。
例如：
- 循环小数0.666... 可以表示为2/3。
4. 分数转百分数：
分数可以转化为百分数形式，将分子除以分母，再乘以100。
例如：
- 分数3/5 可以转化为百分数为(3/5) ×100 = 60%。
5. 百分数转小数：
百分数可以转化为小数形式，将百分数除以100。
例如：
- 百分数80% 可以转化为小数为80 ÷100 = 0.8。
这些规律可以帮助你在分数和小数之间进行简单的转化。
【精品】循环小数与分的互化循环小数之间简单的加减运算
【关键字】精品循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．1.的“秘密”，，,…,2.推导以下算式⑴；；；；⑵；；；⑶；以为例，推导．设，将等式两边都乘以100，得：；再将原等式两边都乘以10000，得：，两式相减得：，所以．3.循环小数化分数结论纯循环小数混循环小数分子循环节中的数字所组成的数循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字所组成的数的差分母n个9，其中n等于循环节所含的数字个数按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9在0的左侧；；；，……模块一、循环小数的认识【例 1】在小数上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是_______(注：公元2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。
)【考点】循环小数的认识【难度】2星【题型】填空【关键词】第六届，希望杯，1试【解析】因为要得到最小的循环小数，首先找出小数部分最小的数为0，再看0后面一位上的数字，有05、02、00、07，00最小，所以得到的最小循环小数为【答案】【巩固】给下列不等式中的循环小数添加循环点：0.19980.19980.19980.1998【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算循环小数的计算【解析】根据循环小数的性质考虑，最小的循环小数应该是在小数点后第五位出现最小数字1的小数，因此一定是，次小的小数在小数点后第五位出现次小数字8，因此一定是．其后添加的循环点必定使得小数点后第五位出现9，因此需要考虑第六位上的数字，所以最大的小数其循环节中在9后一定还是9，所以最大的循环小数是，而次大数为，于是得到不等式：【答案】【例 1】真分数化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么是多少?【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算【解析】，，，，，．因此，真分数化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因为1992÷27=73……21,27-21=6，而6=2+4，所以，即．【答案】【巩固】真分数化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是，则是多少？【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算【解析】我们知道形如的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组成，只是各个数字的位置不同而已，那么就应该由若干个完整的和一个不完整组成。
无限循环小数和分数的互化
无限循环小数和分数的互化
分数化循环小数
1 化为小数为0.3333……= 3
11 9 化为小数为.2222……=
2 11
0.3
1.2
化为小数为0.1818……= 0.18
反过来，循环小数怎样化为分数呢？
分析
• 分数化小数 • 分母是10，100，1000......的：可以直接化成小数， 如，十分之七化成0.7，一百分之九化成0.09 • 分母不是10，100，1000......的：分子除以分母。一 个最简分数，如果分母分解质因数只含有2、5的， 可以化成有限小数；如果含有2、5以外的质因数， 就不能化成有限小数，但绝对能化成循环小数。附 加：如果分母分解质因数不含有2、5，只含有2、5 以外的质因数，就能化成纯循环小数，如果既含有 2、5，又含有2、5以外的质因数，就能化成混循环 小数。
• 小数化分数
• 有限小数化分数：小数表示的就是十分之一、百分之一、千分
之一......所以，0.6可以化成十分之六，约分成五分之三。 25 99 • 纯循环小数化分数：整数部分照抄，小数部分循环节如果是一 位分母为9，两位为99，三位为999......如0.2525......可以化成 ， 能约分的要约分。 • 混循环小数化分数：整数部分照抄，小数部分循环节部分一位 为9，两位为99，三位为999......不循环的部分有几位就在9的后 面添几个零，分母整个小数部分，循环部分一位循环就只抄一 位，两位就抄两位......。如0.13333......可以化成90分之13-1，就 是90分之12，约分成十五分之二。 • 无限不循环小数：不能化成分数，因为无限不循环小数是无理 数，分数全是有理数。
循环小数与分数互化
循环小数与分数互化1. 循环小数的定义循环小数是指小数部分存在重复数字或数字序列的小数形式。
例如，0.3333...即为一个循环小数，其小数部分数字3无限重复。
循环小数可以表示为有限小数，或者用括号把重复的数字或数字序列标记出来。
2. 循环小数转分数的方法要将循环小数转化为分数，我们可以利用以下简单的方法：2.1 设循环小数为x，循环节长度为n，去掉循环部分，设为y；2.2 将x与y相减，得到一个n位的0.9999...的无穷数；2.3 将无穷数除以10的n次方减1，即(10^n - 1)，得到转换结果。
3. 实例演示以循环小数0.3333...为例来演示转换为分数的过程：3.1 将0.3333...设为x，去掉循环部分得到y=0.33；3.2 x - y = 0.3333... - 0.33 = 0.0033... = z；3.3 z除以10的2次方减1，即(10^2 - 1)，得到z/(10^2 - 1) = 0.0033... / 99 = 1/30。
通过以上演示，我们可以得出结论，循环小数0.3333...可以转换为分数1/30。
4. 分数转循环小数的方法与循环小数转分数不同，分数转循环小数的方法相对复杂，但我们可以通过除法来实现。
下面是一个具体的分数转循环小数的步骤：4.1 将分数的分子除以分母，得到整数商和余数；4.2 将余数乘以10，然后再除以分母，得到下一个商和新的余数；4.3 重复以上步骤，直到出现与之前相同的余数，即可确定循环节。
举个例子来说明分数转循环小数的过程：将分数1/7转换为循环小数的步骤如下：4.1 1除以7，得到商0和余数1；4.2 余数1乘以10，再除以7，得到商1和新的余数3；4.3 余数3乘以10，再除以7，得到商4和新的余数2；4.4 余数2乘以10，再除以7，得到商2和新的余数6；4.5 余数6乘以10，再除以7，得到商8和新的余数4；4.6 余数4乘以10，再除以7，得到商5和新的余数5；4.7 余数5乘以10，再除以7，得到商7和新的余数1，与之前的余数相同。
六年级数学 分数与循环小数的互化
分数与循环小数的互化月 日 姓 名【知识要点】1． 分数化为小数任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。
一个最简分数化为小数有三种情况：（1）若分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2和5中个数最多的那个数的个数。
（2）若分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数。
（3）若分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环的部位的位数等于分母中质因数2和5中个数最多的那个数的个数。
2．循环小数化为分数（1）纯循环小数化为分数时，分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数字都是9，9的个数和循环节的位数相同。
（2）混循环小数化成分数时，分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位是9，末几位数字都是0，其中9的个数和循环节的位数相同，0的个数和不循环部分的位数相同。
【典型例题】1．把下列各分数化成循环小数，并求出小数点后第200位的数字是几？ (1)115 （2）27162．将下列循环小数化成分数。
①=•70. ②=••86.1 ③=••54370. ④=••4740.3.计算：0.•1•1+0.•2•1+0.•3•1+ 0.•4•1 +0.•5•1+0.•6•1+0.•7•1+0.•8•1+0.•9•14.在混循环小数中移动循环节的第一个圆点，使产生的新的循环小数值尽可能大：（1）••1871822.（2）••62514913.5.设a 为一个自然数，A 是1—9的一个数字，若444a =••950A .,则a=6.对于小数0.0123456，要使它成为循环小数且小数部分左起第100位上数字是4，那么两个循环点应分别加在 和 这两个数字上。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
分数与循环小数的互化
月 日 姓 名
【知识要点】
1． 分数化为小数
任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。
一个最简分数化为小数有三种情况：
（1）若分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2和5中个数最多的那个数的个数。
（2）若分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数。
（3）若分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环的部位的位数等于分母中质因数2和5中个数最多的那个数的个数。
2．循环小数化为分数
（1）纯循环小数化为分数时，分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数字都是9，9的个数和循环节的位数相同。
（2）混循环小数化成分数时，分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位是9，末几位数字都是0，其中9的个数和循环节的位数相同，0的个数和不循环部分的位数相同。
【典型例题】
1．把下列各分数化成循环小数，并求出小数点后第200位的数字是几？ (1)
115 （2）2716
2．将下列循环小数化成分数。
①=•70. ②=••86.1 ③=••54370. ④=••4740.
3.计算：0.•1•1+0.•2•1+0.•3•1+ 0.•4•1 +0.•5•1+0.•6•1+0.•7•1+0.•8•1+0.•9•
1
4.在混循环小数中移动循环节的第一个圆点，使产生的新的循环小数值尽可能大：
（1）••1871822.
（2）••62514913.
5.设a 为一个自然数，A 是1—9的一个数字，若444a =••950A .,则a=
6.对于小数0.0123456，要使它成为循环小数且小数部分左起第100位上数字是4，那么两个循环点应分别加在 和 这两个数字上。
7.真分数7
a 化成分数后，在小数点后1994个数位上的数字和为8972，求a 为多少？
随堂小测
姓 名 成 绩
1.把下列各分数化为循环小数，并求出小数点后第100位上的数字。
（1）
134 （2） 223 （3）27548
2.将下列循环小数化成分数。
=•50. =••570. =••246.2 =•
310.
3.计算：0.1•2+0.2•3+0.3•4+0.4•5+0.5•6+0.6•7+0.7•8+0.8•
9
4.设a 为一个自然数，a 是1至9中一个数字，若444a =••7A 30.,则a= .
5.将混循小数•
•65493942.的环循节的第一个圆点，移动到某一位上，使能产生的循环小数尽可能的大，这个循环小数是 .
6.给小数0.69453添上表示循环节的两个点，便其变成循环小数，己知小数点后第103位上的数字是5，求这个循环小数。
【趣味笑话】
四舍五入
仔仔兴高采烈地从学校里回来，问妈妈：“爸爸呢？”
妈妈看到仔仔兴奋的样子，奇怪地问：“爸爸在家，你找爸爸做什么？”“我向爸爸要5角钱。
”
“为什么？”妈妈问道。
“在考数学以前，爸爸对我说‘如果考了100分，就给我1元钱，考80分给8角。
’今天，我数学考了45分。
“仔仔回答说。
妈妈吃惊地问：“什么！数学才考45分？”
仔仔得意地说：“是呀，数学上要四舍五入，因此，爸爸必须付5角钱。
”
课后作业
姓 名 成 绩
1.把下列各分数化为循环小数，并求出小数点后第199位上的数字。
（1）
901 （2）133 （3）3300167
2.计算0.0•2+0.1•3+0.2•4+0.3•5+0.4•6+0.5•7+0.7•
9
3.已知71=0.•14285•7，问：最少从小数点右面第几位开始，到第几位为止的数字之和等于2000？
4.给小数0.7082169453添上表示循环节的两个点，使其变成循环小数。
已知小数点后第100位上的数字是5，求这个循环小数。
5.循环小数••7692590.和•
•743810.在小数点后第多少数位上首次同时出现数字？。