角平分线定理在几何证明题中的妙用
几何证明——角平分线模型
B P A
B P A B
P
C
A
E B M
P A
D
A
B
C
几何证明——角平分线模型(中级)
【知识要点】
１、角平分线:
(1)角平分线性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等(作用:证明两条线段相等);
(2)逆定理:在角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。(作用:证明两角相等或一条射线
就是一个角的角平分线)。
2、角平分线常见用法(或辅助线作法):
①垂两边:如图1,已知BP 平分ABC ∠,过点P 作PA AB ⊥,PC BC ⊥,则PA PC =。
②截两边:如图2,已知BP 平分MBN ∠,点A BM 上,在BN 上截取BC BA =,则ABP ∆≌CBP ∆。 ③角平分线+平行线→等腰三角形:
如图3,已知BP 平分ABC ∠,//PA AC ,则AB AP =; 如图4,已知BP 平分ABC ∠,//EF PB ,则BE BF =。
(1) (2) (3) (4) ④三线合一(利用角平分线+垂线→等腰三角形): 如图5,已知AD 平分BAC AD BC ⊥AB AC =,BD CD =。 (5)
3、角平分线比例定理
如图6,AD 为ABC ∆的角平分线,则
AB BD AC CD =或AB AC
BD CD
=
。 (6)
【经典例题】
例1、已知如图,ABC ∆中,BC AC =,AD 平分CAB ∠,若ο
90=∠C ,求证:CD AC AB +=;
例2、如图,在ABC Rt ∆中,ο
90=∠ACB ,AB CD ⊥于D ,AF 平分CAB ∠交CD 于E ,交CB 于F ,且
三角形中线和角平分线在解题中的应用(整理八种方法)
解三角形题目的思考
文科：在△ABC 中，D 是BC 的中点，若AB=4，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______； 理科：在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；
常规解法及题根：
（15年新课标2理科）∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 是∆ADC 面积的2倍。
(Ⅰ)求C
B ∠∠sin sin ; (Ⅱ) 若AD =1，D
C =
22求BD 和AC 的长.
（15年新课标2文科）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC .
（I ）求sin sin B C
∠∠ ； （II ）若60BAC ∠=,求B ∠.
重点结论：角平分线性质：
（1）平分角
（2）到角两边距离相等
（3）线段成比率
中点性质与结论：
（1）平分线段；
（2）向量结论；
（3）两个小三角形面积相等。
题目解法搜集：
解法1（方程思想）：两边及夹角，利用余弦定理求第三边，然后在小三角形中求解；
在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；
解：在△ABC 中，222BC =AB +AC -2AB AC cos BAC=7∠，则7
因为AD 平分∠BAC ，则AB BD AC DC =
，所以BD=37，DC=7；
在△ABD 中，设AD=x ，利用cos ∠BAD=cos30°=222
2AB AD BD AB AD +- 即2
22373323x x +-⎝⎭=⨯，解得x=
线段的角平分线
几何软件作图法
打开几何软件， 选择线段工具
在线段上任意 一点单击，作 为角平分线的
起点
拖动鼠标到线 段的另一点， 作为角平分线
的终点
单击鼠标左键， 完成角平分线
的绘制
在几何证明中的应用
证明三角形的内角和为180度 证明三角形的外角和为360度 证明平行四边形的对角线互相平分 证明等腰三角形的底角相等
线段与角平分线的长度关系
角平分线是线段的一部分，与线段的长度有关 角平分线将线段分成两个相等的部分，即角平分线与线段的长度相等 角平分线与线段的长度关系可以用数学公式表示 角平分线与线段的长度关系在实际应用中有重要意义，如测量、绘图等
线段与角平分线的角度关系
角平分线是线段的垂直平分线 角平分线将线段分成两个相等的角 角平分线与线段的夹角为90度 角平分线与线段的夹角为180度
角平分线定理的逆定理：如果一条直线上的点到角两边的距离相等，那么这条直线 就是角平分线
角平分线定理的推广：如果一条直线上的点到角两边的距离相等，那么这条直线就是 角平分线的平行线
角平分线定理的逆定理的推广：如果一条直线上的点到角两边的距离相等，那么这 条直线就是角平分线的平行线的平行线
线段与角平分线相关的其他定理
定理证明
角平分线定义：将 一个角分成两个相 等的角的直线
定理内容：角平 分线上的点到角 的两边距离相等
初中数学几何大题的证明思路及常用原理
初中数学几何大题的证明思路及常用原理几何证明题入门难，证明题难做，已经成为许多同学的共识…今天分享的是一位数学老教师总结的几何证明题思路及常用的原理，一定要好好看并且收藏起来!
几何证明题的思路
很多几何证明题的思路往往是填加辅助线，分析已知、求证与图形，探索证明。
对于证明题，有三种思考方式：
1.正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。
2.逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显。
同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。
例如：
可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可;要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去…
这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。
3.正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目，可以结合结论和已知条件认真的分析。
初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。
给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。
证明题要用到哪些原理
要掌握初中数学几何证明题技巧，熟练运用和记忆如下原理是关键…
下面归类一下，多做练习，熟能生巧，遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题…
角平分线定理及其逆定理的应用
角平分线定理及其逆定理的应用
（苏州国际外语学校李平利）
教学目标：掌握用角平分线定理及其逆定理进行几何证明；
掌握几种已知角平分线添加辅助线的方法：向角的两边作垂线，截长、补短等。教学重点：掌握用角平分线定理及其逆定理进行几何证明；
掌握几种已知角平分线添加辅助线的方法：向角的两边作垂线，截长、补短等。教学方法：六步循环教学法
教具准备：ppt课件演示
预习检测：
2、已知如图，BD平分∠ABC，若要证明AD=DC,则可以添加的一个条件是______
如图，直线m、h、k表示相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有几处？请你把它们的位置画出来。
例题选讲：
例1、已知如图,∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BP平分∠DBE.
P
例2 已知：如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC.
求证：∠A+∠C＝180度
例3、已知如图，四边形ABCD是正方形，将三角板的直角顶点P在对角线AC上移动，使直角边PD始终经过点D,另一条直角边PO与BC保持相交，则在运动过程中PD与PM的关系是怎样的？证明你的结论。
注意：先让学生猜想，再用几何画板演示，组织学生合作讨论。
知识点：
1、已知角平分线添加辅助线的方法：
方法一：向角的边作垂线
（AAS 或HL或ASA等）
方法二：在角的较长边上截取线段使
它等于角的短边（SAS）?
2、一题多解、一题多变
拓展延伸：
思考一：在例3中，如果与BC的延长线相交，结论是否还成立呢？如果成立请证明你的结论。
思考二：如图,AB∥CD, E为BC上的一点, ∠1=∠2, ∠3=∠4,
角平分线定理证明过程
角平分线定理证明过程
1. 引言
角平分线定理是平面几何中一个重要的定理，它描述了一个角的平分线与角的两边所构成的比例关系。在本文中，我们将详细介绍角平分线定理的证明过程。
2. 定理表述
设在三角形ABC中，有一条从顶点A出发的角平分线AD，它将∠BAC平分为两个相等的角∠BAD和∠DAC。那么，根据角平分线定理可知：
AB/AC = BD/DC
3. 证明过程
为了证明角平分线定理，我们需要利用几何性质和一些基本的推导。下面是证明过程的详细步骤：
步骤1：延长AD
首先，在三角形ABC中，从点D出发向BC方向延长AD到点E。即使得AD=DE。
步骤2：观察△ABD与△AEC
由于∠BAD和∠DAC是相等的（根据题设），我们可以得到以下结论：
∠ABD = ∠DAC
又因为直角三角形ABD与AEC有共同边AD，所以可以推导出：
∠ABD = ∠AEC
根据等角定理，我们可以得到以下结论：
△ABD与△AEC是全等的
步骤3：观察△BDA与△CED
由于△ABD与△AEC是全等的，我们可以得到以下结论：
∠BDA = ∠CEA
又因为直角三角形BDA与CED有共同边AD，所以可以推导出：
∠BDA = ∠CED
根据等角定理，我们可以得到以下结论：
△BDA与△CED是全等的
步骤4：观察比例关系
根据步骤3中的结果，我们知道△BDA与△CED是全等的。那么，它们的边长比例
也应该相等。
根据全等三角形的性质，我们可以得到以下比例关系：
BD/CE = BA/EA （1）
又因为直线DE平行于BC（根据步骤1），所以根据平行线分割比例定理可知：
初中几何证明题要用到的一些定理
初中几何证明题要用到的一些定理
初中几何证明题要用到的一些定理
证明两线段相等
1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
*12.两圆的内（外）公切线的长相等。
13.等于同一线段的两条线段相等。
证明两个角相等
1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
*6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的
弧对的圆周角。
*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线
的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。10.等于同一角的两个角相等
证明两直线平行
1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
初中数学几何证明题画辅助线的技巧
初中数学几何证明题画辅助线的技巧
第一篇：初中数学几何证明题画辅助线的技巧
初中数学几何证明题画辅助线的技巧
在初中数学几何学习中，如何添加辅助线是许多同学感到头疼的问题，许多同学常因辅助线的添加方法不当，造成解题困难。以下是常见的辅助线作法编成了一些“顺口溜” 歌诀。
人人都说几何难，难就难在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。图中有角平分线，可向两边作垂线。
角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。
半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
角平分线定理在几何证明题中的妙用
角平分线定理在几何证明题中的妙用
颜庆波
利用角平分线的有关定理，我们不但可以用尺规作图的方法将角二、四、八、
而且还可以利用它们简捷地证明几何问题。
例1 如图1，OC平分.AOB，P是0C上一点，D是OA上一点, 且
PD=PE，求证：.PDO . PEO =180。
E1
例2如图2，在. ：ABC中，/BAC的平分线与BC边的垂直平分线相交于点P。过点P作AB、AC （或延长线）的垂线，垂足分别是M、N。求证：BM=CN。
…等分，
E是OB上一点,
A
初二数学几何证明难题
例3:已知：如图，0是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD丄AB , EF丄AB , EG丄CO. 求证：CD = GF .（初二）
例4 :已知：如图，P是正方形ABCD内点，/ PAD = Z PDA =15°. 求证：△ PBC是正三角形.
例5:已知：如图，在四边形ABCD中，AD = BC , M、
N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN
于E、F.
求证：/ DEN =Z F.
例6:如图，四边形ABCD为正方形，求
证：CE= CF.（初二）
DE // AC, AE = AC, AE 与CD 相交于F .
例7:如图，四边形ABCD为正方形，DE // AC,且CE = CA，直线EC交DA延长线于F. 求证：AE = AF .（初二）
例9:已知：△ ABC是
正三角形，P是三角形
内一点，
例8:设P是正方形ABCD 一边BC上的任一点, 求证：PA= PF.（初二）PF 丄AP, CF 平分/ DCE .
A D
F
PA= 3, PB= 4, PC= 5. 求：/ APB的度数.
三角形角平分线地结论及应用
浅议三角形角平分线的结论及应用
摘要：
一个角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段。本文主要谈两点：关于三角形的内、外角平分线的夹角的问题和关于三角形内、外角平分线的交点问题。
关于三角形的内、外角平分线的夹角问题：（1）三角形两内角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的和。（2）三角形两外角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的差。（3）三角形一个内角的平分线与一个外角平分线的夹角等于三角形第三个内角的一半（4）三角形两内角平分线的夹角与两外角平分线的夹角互补或相等。
关于三角形内外角平分线的交点问题：（5）三角形的三条内角平分线相交于一点，这点到三角形的三边的距离相等（6）三角形两外角平分线的交点到三角形三边所在的直线相等，并且这点在三角形第三个内角的平分线上等关键词：三角形角平分线夹角交点变式练习
一个三角形的角平分线不外乎就是内角的平分线和外角的角平分线。在学习过程中，教师要指导学生善于对三角形的角平分线的基本图形进行归纳，对角平分线的性质和结论做好总结，这样对以后知识的积累有很大的帮助，对解决复杂的几何证明题也更便捷。下面就三角形角平分线的相关结论逐一探讨。结论一：如图1、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，
1∠Ａ。
试探究：∠D=９０°＋
2
解：∵BD、CD为角平分线
1∠ＡＢＣ，（图1）
∴∠ＣＢＤ＝
2
1∠ＡＣＢ。
∠ＢＣＤ＝
2
在△ＢＣＤ中：∠Ｄ＝１８０°－（∠ＣＢＤ＋∠ＢＣＤ）
1（∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ）
＝１８０°－
2
1（１８０°－∠Ａ）
＝１８０°－
初中几何证明题的知识点总结
几何证明题的知识点总结
知识点：
一、线段垂直平分线（中垂线）性质定理及其逆定理：
定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
M
P
A B
N
二、角平分线的性质定理及其逆定理：
定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等。
逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，定在这个角的平分线上。
三、相交线、平行线
1、对顶角相等
2、平行线的判定
（1)同位角相等，两直线平行
（2)内错角相等，两直线平行
（3)同旁内角互补，两直线平行
3、平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等
（2）两直线平行，内错角相等
（3）两直线平行，同旁内角互补
（4）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
四、三角形
1、等腰三角形
（1）等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线
（2）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形就是等腰三角形（简称为“等角对等边”）
2、RT 的性质定理：
（1）RT 的两个锐角互余。
（2）在RT 中，斜边上的中线等于斜边的一半。
推论：
（1）在RT 中，如果一个锐角等于30度，那么这个角所对的边等于斜边的一半。
（2）在RT 中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度。
2、勾股定理
在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方即：c b a 2
角平分线的性质和判定(共张)课件
作法应用
01
在几何证明题中，常常需要用到 角平分线的作法来构造辅助线， 从而证明某些结论。
02
作法应用可以帮助我们更好地理 解几何图形的性质和判定定理。
作法证明
第一步
根据等腰三角形的性质， 等腰三角形的两个底角相 等。
第二步
由于所作的线段是等腰三 角形的底边，所以这条线 段将角平分。
第三步
证明所作的线段与角的两 边垂直，从而证明这条线 段是角的平分线。
通过角平分线的定义和性质，结合三角形全 等的判定定理，证明推论1的正确性。
证明2
通过反证法和角的平分线的性质，证明推论 2的正确性。
感谢您的观看
THANKS
应用场景
在几何证明题中，我们经常需要使用 角平分线定理的逆定理来证明某条射 线是某个角的角平分线。
实例解析
例如，在三角形中，如果一条线段将 一个角分成两个相等的部分，并且这 条线段上的点到这个角的两边的距离 相等，那么这条线段就是这个角的角 平分线。
逆定理证明
证明方法
首先，我们可以通过反证法来证明这个 逆定理。假设存在一条射线，它将一个 角平分，但这条射线上的点到这个角的 两边的距离不相等。那么，我们可以构 造一个新的角平分线，使得这个新的角 平分线上的点到这个角的两边的距离相 等。这与已知条件矛盾，所以假设不成 立，原命题成立。
判定方法
角平分线定理在高考中的运用
＼ ￣
＾ ＾ ＼ ＇
ｈ ＷＣ
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、 为 边构 则知 点 Ｐ 为所
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〇 ＾ＰＣ ，
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Ｉ 所 以 狀 为 乙 Ｃ４ 尸 ，
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的 角 平 分 线？
又心
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三点共线 所 以 ，
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二 、 角 平 分线 性 质 定 理 运 用 举例
在 Ａ 仙Ｃ 中 根 据 角 平 分 线 定 理 可 得 而 ＝ 元 ＝ ｙ ， 设
如图， 在
中 ， 乙 ＆４Ｃ 的 角
＼ ＝ ＾ 平 分 线 奶 与 沉 交 点 为 込 则
乂 ／
茆 边 上
点 一 ．
４ 三
点共线
若
＝
忍
＋
冗
， 则
１
Ｉ
１
１
／Ｖ ＡＢＢＤＦ
元 ＝記
Ａ ／＼ 证明
过点 Ｄ 分别作 顶 丄 肋
ｚ
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￣￣
ｓ
与 积 为 Ａ ＳＰＺ）
Ａ ＣＷ 的 面 比 （
） ？
Ａ － ２
试 Ｍ＾ｌ ｉ ＝
该
ＵＣ
Ｉ
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ｆｌ Ｃ
所 以 ＝ ２
几何证明练习题角平分线定理
几何证明练习题角平分线定理几何证明练习题：角平分线定理
几何证明题常常令人头疼，但只要理解并掌握了一些定理和常用的证明方法，就能够应对不同的证明问题。本文将讨论几何证明练习题中的角平分线定理。
角平分线定理是几何中的一个重要定理，它阐述了一个角的角平分线将把该角分成两个相等的角。以下将介绍该定理以及其中一个相应的证明。
定理1：角平分线定理
在平面几何中，若一条线段从一个角的顶点开始并与该角的两边相交于两个点，将该角分成两个相等的角，则这个线段被称为该角的角平分线。
证明：
假设∠ABC是一个角，其中线段AD作为∠ABC的角平分线，交于点D。
我们要证明∠BAD ≡ ∠DAC。
首先，连接线段BD和CD。
根据角的定义，∠ABD + ∠DBC = ∠ABC （1）
同理，∠CAD + ∠ADC = ∠ACB （2）
又根据角的补角定义，∠ABC + ∠ACB = 180°
将以上两式相加可得，
∠ABD + ∠DBC + ∠CAD + ∠ADC = 180°（3）
由于∠BAD和∠DAC构成∠BAC的角平分线，因此∠BAD =
∠DAC。
代入（3）式可得，
∠ABD + ∠DBC + ∠BAD + ∠ADC = 180°
由于∠BAD = ∠DAC，上式可简化为
∠ABD + ∠DBC + ∠DAC + ∠ADC = 180°
根据（1）和（2）的关系可得
∠ABC + ∠ACB + ∠DAC + ∠ADC = 180°
由于∠ABC + ∠ACB = 180°，所以上式变为
180° + ∠DAC + ∠ADC = 180°
初中数学-三角形内外角平分线有关命题的证明及应用
三角形内外角平分线
一.命题的证明及应用
在中考常有与三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的．下面来一起学习一下．
命题 1 如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠
D=90°+∠A．
证明：如图１：
∵∠1＝∠，∠２＝∠，
∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°①
∠1＋∠2＋∠D=180°②
①－②得：
∠1＋∠2＋∠A＝∠D③
由②得：
∠1＋∠2=180°－∠D④
把③代入④得：
∴180°－∠D＋∠A＝∠D
∠D=90°+∠A．
点评利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明.
命题2 如图２，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°－∠A．
证明：如图２：
∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线，
∴∠D=180°－∠1－∠2
=180°－（∠DBE+∠DCF）
=180°－（∠A+∠4+∠A+∠3）
=180°－（∠A+180°）
=180°－∠A－90°
=90°－∠A；
点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，可以证明.
命题3 如图3，点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠E=∠
A．
证明：如图3：
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∠A+2∠1=2∠4①
∠1+∠E=∠4②
①×代入②得：
∠E=∠A．
点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.
命题4如图４，点E是△ABC一个内角平分线BE与一个
外角平分线CE的交点，证明:AE是△ABC的外角平分线.
证明：如图3：
∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EF
初中数学 什么是角平分线的三等分线定理
初中数学什么是角平分线的三等分线定理
在初中数学中，角平分线是指从角的顶点出发，将角分成两个相等的角的线段。角平分线的三等分线定理是一个重要的几何定理，它表明如果从一个角的顶点出发，作出两条角平分线将这个角分成三个相等的角，那么这两条角平分线所形成的角度相等。
具体来说，假设我们有一个角ABC，其中点D和点E分别在AB和AC上，且角BAD和角CAE 是角ABC的两条角平分线。我们需要证明角BDE和角CDE的度数相等，即∠BDE = ∠CDE。
以下是证明步骤：
步骤1：根据角的平分线定义，我们知道角BAD和角CAE将角ABC分成两个相等的角，即∠BAD = ∠CAE。
步骤2：根据步骤1中的结论，我们可以得到∠BAC = ∠BAD + ∠CAE = 2∠BAD。
步骤3：同样地，根据角的平分线定义，我们知道角BAD和角CAE是角ABC的平分线，因此∠BAC也是角ABC的平分线。这意味着∠BAC将角ABC分成两个相等的角，即∠BAC = ∠ACB。
步骤4：将步骤2和步骤3中得到的等式代入，得到2∠BAD = ∠BAC = ∠ACB。
步骤5：将等式2∠BAD = ∠ACB两边同时除以2，得到∠BAD = ∠ACB / 2。
步骤6：利用角的平分线定义，我们知道角BAD是角BDE的平分线，因此∠BDE = 2∠BAD。
步骤7：将步骤5中得到的等式代入，得到∠BDE = 2(∠ACB / 2) = ∠ACB。
步骤8：同样地，利用角的平分线定义，我们知道角CAE是角CDE的平分线，因此∠CDE = 2∠CAE。
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角平分线定理在几何证明题中的妙用
颜庆波
利用角平分线的有关定理，我们不但可以用尺规作图的方法将角二、四、八、…等分，而且还可以利用它们简捷地证明几何问题。
例1 如图1，OC平分∠A O B，P是OC上一点，D是OA上一点，E是OB上一点，且PD=PE，求证：∠+
1
O
8
0。
D
E
P
∠=︒
O P
例2 如图2，在∆A B C中，∠B A C的平分线与BC边的垂直平分线相交于点P。过点P作AB、AC（或延长线）的垂线，垂足分别是M、N。求证：BM=CN。
初二数学几何证明难题
例３：已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）
A
F
G C
E
B
O
D
例４：已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA ＝o
15．求证：△PBC是正三角形．
例５：已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN 于E、F．
求证：∠DEN＝∠F．
例６：如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．求证：CE＝CF．（初二）
例７：如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．求证：AE＝AF．（初二）
例８：设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．求证：PA＝PF．（初二）E
例９：已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．
求：∠APB的度数．
例１０：如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．
求证：四边形A2B2C2D2是正方形．