指数函数对数函数幂函数增长速度的比较教学设计
指数函数、对数函数、幂函数增长速度比较教学设计
指数函数、对数函数、幂函数增长速度比较教学设计【教学设计中学数学】区县雁塔区学校西安市航天中学姓名贾红云联系方式135********邮编*****《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学设计一、设计理念《普通高中数学课程标准》明确指出：“学生的数学学习活动，不应该只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应该倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等信息数学的方式；课程内容的呈现，应注意反映数学发展的规律以及学生的认知规律，体现从具体到抽象，特殊到一般的原则；教学应注意创设情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉等”。
本节课是北师大版高中数学必修Ⅰ第三章第6节内容，本节专门研究指数函数、幂函数、对数函数的增长的比较，目的是探讨不同类型的函数模型，在描述实际增长问题时的不同变化趋势，通过本节课的学习，可以引导学生积极地开展观察、思考和探究活动，利用几何画板这种信息技术工具，可以让学生从动态的角度直观观察指数函数、幂函数、对数函数增长情况的差异，使学生有机会接触一些过去难以接触到的数学知识和数学思想，并为学生提供了学数学、用数学的机会，体现了发展数学应用意识、提高实践能力的新课程理念。
二、教学目标1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性；2．能借助信息技术，利用函数图像和表格，对几种常见增长类型的函数增长的情况进行比较，体会它们增长的差异；3.体验指数函数、幂函数、对数函数与现实世界的密切联系及其在刻画实际问题中的作用，体会数学的价值.三、教学重难点教学重点：认识指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长的含义。
教学难点：比较指数函数、幂函数、对数函数增长的差异四、教学准备⒈提醒学生带计算器；⒉制作教学用幻灯片；⒊安装软件：几何画板，准备多媒体演示设备五、教学过程㈠基本环节㈡教学过程分析⒈创设情景，引起悬念杰米和韦伯的故事一个叫杰米的百万富翁，一天，碰上一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说，我想和你定个合同，我将在整整一个月中每天给你10万元，而你第一天只需给我一分钱，而后每一天给我的钱是前一天的两倍。
指对幂增长的比较教案
执教人教学自评： 优 良 中 差 课题指、对、幂增长的比较 主备人 王雷娜 审核人 张鹏 课时 2 教学时间 2012年 月 日（第 周第 2节） 三维目标 1、知识与技能： （1）在所学的指数函数的图象、幂函数的图象和对数函数的图像的基础上，列表画出函数的图象； （2）结合具体实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性. 2、 过程与方法： （1）能够借助信息技术, 利用函数图象及数据表格, 对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较, 初步体会它们的增长差异性； （2）收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等), 了解函数模型的广泛应用；（3）学会类比研究问题，利用数形结合的思想研究函数的性质。
3、情感.态度与价值观：体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.教学重点 将实际问题转化为函数模型，比较模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.教学难点选择合适的数学模型分析解决实际问题. 教学方法观察、思考、探究. 课时序数 第二课时教 学 流 程 个案设计[复习引入]对数函数log a y x =，幂函数y x α=，指数函数xy a =，当1a >时，在(0，＋∞)上都是增函数，其增长速度分别为平缓（越来越慢）、相对平缓和急剧（越来越快），而指数函数，常用“指数爆炸”来形容．[互动过程1][例] 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，的大小关系．实际问题中对几种增长模型的选择(1)指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；(2)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律；(3)而幂函数增长模型介于上述两者之间，适合一般增长的变化规律．[练习]1．当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是() A．y＝100x B．y＝log100xC．y＝x100D．y＝100x2．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别为f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x3.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝a t，有以下叙述：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2；③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.其中正确的是()A．①②B．①②③④C．②③④⑤D．①②⑤4．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2000年以15万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2010年，这所房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是________．5．已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万。
精 品 教 学 设 计3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
精 品 教 学 设 计《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》设计理念：以建构主义理论为支持，以问题思考——实践认知———实验探究————巩固知识为主线，注重新课引入，通过分析比较降次思想,构造商式函数二种方法比较函数增长的快慢更好的掌握这节课的内容教学目标：知识目标：会用二种方法比较函数增长的快慢，明确指数函数增长的快慢特点能力目标：渗透分类、比较、归纳的数学思想情感目标：注重数学知识与实际生活得紧密联系，增强数学的趣味性，提高学生学习数学的兴趣教学重点：函数增长快慢的比较教学难点：降次思想,构造商式函数教学准备：制作ppt,几何画板,学生提前预习教学过程：一、问题思考1.指数函数x y a = (1a >)，对数函数log a y x =(1a >)和幂函数n y x = (n>0)在区间(0,)+∞上的单调性如何？2、对于这三种增加的函数，它们的函数值的增长快慢有何差别呢？二、实践认知观察函数2x y =，100(0)y x x =>，2log y x =的自变量与函数值（取近似值）的对应表，思考这三个函数的增长快慢如何？三、实验探究利用几何画板画出指数函数、幂函数和对数函数的图象，观察图象比较函数增长的快慢.1、观察函数2x y =，2(0)y x x =>，2log y x =的图像，这三个函数的增长快慢如何？2、观察函数2x y =，2(0)y x x =>的图像，有几个交点？3、比较2x y =，3(0)y x x =>增长的快慢.4、比较2x y =，100(0)y x x =>增长的快慢.四、降次思想采用降次的方法可以比较函数增长的快慢：对于函数2x y =与100(0)y x x =>，由图象知不便于比较，若分别对函数2x y =，100(0)y x x =>两边取以2为底的对数，则得到函数y x =和2100log y x =，这样就只需比较函数y x =和2100log y x =的增长情况.五、构造商式函数 构造商式函数1002()(0)xh x x x=>，只需观察函数()h x 与1的大小关系. 六、归纳总结若1,0a n >>，那么当x 足够大时，一定有log .x n a a x x >>。
高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数4.5增长速的比较教学2b高一必修第二册数学
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情景与问题：
有一套房子，价格为200万元，假设房价每年上涨10%，某人每年固定能攒下40 万元，如果他想买这套房子，在不贷款、收入不增加的前提下，这个人需要多少 年才能攒够钱买这套房子？
A.5年 B.7年 C.8年 D.9年 E.永远也买不起 问题1：凭直觉，你认为上述问题的答案(dáàn)是什么？为什么？ 问题2：房价的增长速度一直都比攒钱的增长速度快吗？怎么刻画它们的增 长速度呢？
x的值每增加1， r ( x的) 值稳定地增长40，而
的p (值x )的增加量则逐渐变大，
并且越来越快。经过8年后， 的值的年p增( x加) 量将接近40，以后则均大于40。
在前8年里，攒钱的总数(zǒngshù)始终小于房价，所以，这个人永远也买不起房
子。
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课堂小结：
4.5
增长速度 的比较 (zēnɡ chánɡ sùdù)
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【学习目标】 1、复习平均变化率的定义，理解其意义及几何意义（直观想象） 2、能利用平均变化率比较幂指对函数增长的快慢（逻辑推理） 3、了解在实际生活中不同(bùtónɡ)增长规律的函数模型。（数学建模）
认为上述问题的答案是什么。问题2：房价的增长速度一直都比攒钱的增长速度快吗。问题3：函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1<x2
No 时)上的平均变化率怎么表示。在[1,2]与[2,3]上的平均变化率，。并说明，当自变量每增加1个单位时，函数值变化的规律。【评
价(píngjià)反馈】
Hale Waihona Puke Image探究 三 (tànjiū)
4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-北师大版高中数学必修第一册(2019版)教案
4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-北师大版高中数学必修第一册（2019版）教案1. 教学目标•了解指数函数、幂函数、对数函数的定义和特征；•掌握指数函数、幂函数、对数函数的图像和性质；•掌握指数函数、幂函数、对数函数的增长速度及其比较方法；•掌握指数函数、幂函数、对数函数的应用。
2. 教学重点和难点2.1 教学重点•指数函数、幂函数、对数函数的定义和特征；•指数函数、幂函数、对数函数的图像和性质；•指数函数、幂函数、对数函数的增长速度及其比较方法。
2.2 教学难点•对数函数的性质和增长速度比较；•指数函数和幂函数的增长速度比较。
3. 教学内容及方法3.1 指数函数的基本性质1.指数函数的定义；2.指数函数的图像和性质；3.指数函数的增长速度及其比较方法；4.指数函数的应用。
教学方法：讲解、演示、练习。
3.2 幂函数的基本性质1.幂函数的定义；2.幂函数的图像和性质；3.幂函数的增长速度及其比较方法；4.幂函数的应用。
教学方法：讲解、演示、练习。
3.3 对数函数的基本性质1.对数函数的定义；2.对数函数的图像和性质；3.对数函数的增长速度及其比较方法；4.对数函数的应用。
教学方法：讲解、演示、练习。
3.4 比较指数函数、幂函数、对数函数的增长速度1.指数函数和幂函数的比较；2.对数函数的增长速度比较。
教学方法：讲解、演示、练习。
3.5 应用综合运用指数函数、幂函数、对数函数的特性，解决实际问题。
教学方法：案例分析和讨论。
4. 教学资源教材：北师大版高中数学必修第一册（2019版）5. 教学步骤及时间安排5.1 第一课时（40分钟）课时内容：指数函数的基本性质1.讲解指数函数的定义及性质（10分钟）；2.演示指数函数的图像和性质（10分钟）；3.练习指数函数的增长速度及其比较方法（15分钟）；4.介绍指数函数的应用（5分钟）。
5.2 第二课时（40分钟）课时内容：幂函数的基本性质1.讲解幂函数的定义及性质（10分钟）；2.演示幂函数的图像和性质（10分钟）；3.练习幂函数的增长速度及其比较方法（15分钟）；4.介绍幂函数的应用（5分钟）。
《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》示范公开课教案【高中数学必修第一册北师大】
《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学设计1．认识增长的概念，通过数表的直观，体会幂函数、指数函数、对数函数增长速度的差异． 2．通过函数增长的比较过程，学习比较的方法，积累选择直观方式和比较大小(快慢)的经验．重点：三类函数增长的结论，函数增长快慢比较的常用方法． 难点：通过数据分析表述函数增长快慢的理由．一、新课导入我们已经知道，给定常数a ，b ，c ，指数函数y =a x (a >1)、对数函数y =log b x (b >1)、幂函数y =x c (x >0，c >0)都是增函数；而且当x 的值趋近于正无穷大时，y 的值都是趋近于正无穷大的．那么，这3个增函数的函数值的增长快慢有什么差别呢?如果把自变量看作时间，我们来个函数增长快慢的赛跑，怎么样?设计意图：开门见山，永上启下，温故知新；以赛跑的生活化场景，拉近数学与生活的距离，增强趣味性和探究欲.二、新知探究问题1 怎么比较三个函数增长得快慢呢?（经过短时讨论，确定：先猜增长快慢的关系，再利用猜想的中间量，分别比较另外两个量，试图印证猜想.）猜想：三类函数的增长，指数函数最快，对数函数最慢． 追问 怎样实现两个函数增长的比较呢?经过短时讨论，一致认为要借助直观，要从具体的函数入手研究． 答案：图表是直观的，利用图表分析具体函数的增长． (1)先比较具体的y =x 12和y =log 2x ，观察下表． x 20 22 23 24 26 28 210 212 214 216 y =x 12 1 2 2√2 4 8 16 32 64 128 256 y =log 2x2346810121416（学生分析数表得出增长结论．）◆教学目标◆教学重难点 ◆◆教学过程结论：可以看出，当x的取值充分大时，幂函数y=x 12比对数函数y=log2x增长快，而且快很多．(2)再比较具体的y=2x和y=x100，观察下表：结论：可以看出，当x的取值充分大时，指数函数y=2x比幂函数y=x100增长快，而且快很多．设计意图：通过数形结合分析，形成全方位的直观感受．问题2：试着总结指数函数、对数函数、幂函数图象的特征．答案：追问：试对指数函数y=a x(a>1)、对数函数y=log b x(b>1) 、幂函数y=x c(x>0，c>0)的不同增长情况进行比较．答案：随着x的增大，y=a x的函数值增长远远大于y=x c的函数值增长；而y=x c的函数值增长又远远大于y=log b x的函数值增长．在区间(0，+∞)上，当a>1，c>0时，当x足够大时，随着x的增大，y=a x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x c的增长速度，而y=log b x的增长速度则越来越慢．因此，总会存在一个x0，使得当x>x0时，一定有a x>x c>log b x，指数函数值增长非常快，因而常称这种现象为”指数爆炸”．总结：（1）当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．（2）当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型．（3）函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上．三、应用举例例1 从前，有一个国王特别喜爱一项称为“国际象棋”的游戏，于是他决定奖赏国际象棋的发明者，满足他的一个心愿．“陛下，我深感荣幸，我的愿望是你赏我几粒米．”发明者说．“只是几粒米?”国王回答说．“是的，只要在棋盘的第一格放上一粒米，在第二格放上两粒米，在第三个加倍放上四粒米…,以此类推，每一格均是前一格的两倍，直到放慢棋盘为止，这就是我的愿望．”国王很高兴．“如此廉价便可以换的如此好的游戏，我的祖辈们一定是恩泽于我了．"国王想．于是国王大声地说“好!把棋盘拿出来让我的臣子们一起见证我们的协议”．国王真的能够满足围棋发明者的愿望吗?解第x格放的米粒数显然符合指数函数f(x)=2x−1(x∈{1，2，3，…，64})，本题实际上是求64个函数值的和，我们不妨求f(64)=263≈9．22×1018．假定每1000颗麦子重40克，f(64)=3500亿吨．显然国王不能满足发明者的要求．例2 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案?解令第x天，回报为y元方案一：y=40方案二：y=10x(x∈N+)方案三：y=2x−1∙0.4(x∈N+)投资7天及以下选择方案一投资8-10天选择方案二投资11天及以上选择方案三．)内恒成立，求实数m的取值范围．例3若不等式x2−log m x<0在(0，12解分析：由x2−log m x<0得x2<log m x，把不等式的两边分别看做两个函数，利用数形结合的方法，通过图像进行转化．在同一坐标系中作y=x2和y=log m x的图象，要使x2<log m x在(0，12)内恒成立，只需y=log m x在y=x2的图像的上方，于是0<m<1，∵x=12时，y=x2=14，∴只要x=12时，y=log m12⩾14=log m m14∴12⩽m14，即116⩽m，又0<m<1，所以116⩽m<1，故m取值范围为[116，1)．四、课堂练习1．对于函数y=3x与y=x3：(1)通过计算或借助绘图工具求这两个函数图象的交点个数；(2)y=3x比y=x3增长得快，通过分析它们的图象解释其含义．参考答案：1．（1）通过软件绘图可以得到两个函数有两个交点．(2)这两个函数有两个交点，在第一个交点前，y=3x的图象一直在y=x3的图象上方，过了第一个交点直至第二个交点之间y=x3在y=3x的图象的上方，多了第二个交点后y=3x图象一直在y=x3的上面．五、课堂小结当b>l，c>0 时，即使b很接近于1，c很接近于0，都有y=x c比y=log b x增长快．当a>1，c>0时，即使a很接近于1，c很大，都有y=a x比y=x c增长快．y=a x(a>1) 随着自变量x的增大，y=a x的函数值增长远远大于y=x c的函数值增长；而y=x c的函数值增长又远远大于y=log b x的函数值增长．当a>1时指数函数值增长非常快，因而常称这种现象为”指数爆炸”．六、布置作业教材第113页习题4-3A 组第1-6题﹒。
【教学设计】《 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》(北师大)
《 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》本节是第三章第六节内容，专门研究指数函数、对数函数、幂函数的增长的比较，目的是探讨不同类型的函数模型，在描述实际增长问题时的不同变化趋势，通过本节学习，可以引导学生积极的展开观察、思考和探究活动。
【知识与能力目标】1、由前面学习指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像的基础上,列表画出函数的图像；2、会利用指数函数、幂函数的图像和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢。
【过程与方法目标】1、让学生借助表格和图形了解指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像之间的关系，以及变化；2、学会类比研究问题,利用数性结合的思想研究函数的性质。
【情感态度价值观目标】使学生通过学习指数函数、幂函数的图像和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢，在学习的过程中体会“指数爆炸”的含义,增强学习函数的积极性和自信心。
【教学重点】列表观察指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像的增长快慢。
【教学难点】指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、导入部分[互动过程1]复习:指数函数、幂函数、对数函数的图像与性质．请你画出函数的草图,并观察比较函数图像的变化。
你能判断出哪个函数的函数值随的增长速度增长的比较快吗？二、研探新知，建构概念[互动过程2]提出问题：当时，指数函数是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快。
当时，指数函数是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快。
当时,幂函数显然也是增函数,并且当n越大时,其函数值的增长就越快。
那么对于这三种增加的函数,它们的函数值的增长快慢有何差别呢？我们通过对三个具体函数的函数值（取近似值）的比较,来体会它们增长的快慢。
1．完成下表（借助科学计算器或设计程序通过计算机完成）。
2．利用上表中的数据完成下表[互动过程3]1．谈谈你对这三个函数值增长快慢的体会．结论: 在这三个函数中，指数函数增长最快，人们常称这种现象为“指数爆炸”。
【教学设计新部编版】《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》(北师大)
《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》本节是第三章第六节内容，专门研究指数函数、对数函数、幂函数的增长的比较，目的是探讨不同类型的函数模型，在描述实际增长问题时的不同变化趋势，通过本节学习，可以引导学生积极的展开观察、思考和探究活动。
【知识与能力目标】1、由前面学习指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像的基础上,列表画出函数的图像；2、会利用指数函数、幂函数的图像和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢。
【过程与方法目标】1、让学生借助表格和图形了解指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像之间的关系，以及变化；2、学会类比研究问题,利用数性结合的思想研究函数的性质。
【情感态度价值观目标】使学生通过学习指数函数、幂函数的图像和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢，在学习的过程中体会“指数爆炸”的含义,增强学习函数的积极性和自信心。
【教学重点】列表观察指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像的增长快慢。
【教学难点】指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、导入部分 [互动过程1] 复习:指数函数、幂函数、对数函数的图像与性质． 请你画出函数222,,log x xy y x y ===的草图,并观察比较函数图像的变化。
你能判断出哪个函数的函数值随的增长速度增长的比较快吗？ 二、研探新知，建构概念 [互动过程2]提出问题：x ◆ 教学重难点◆ 课前准备◆ 教学过程当1a >时，指数函数xy a =是增函数，并且当a 越大时，其函数值的增长就越快。
当1a >时，指数函数log xa y =是增函数，并且当a 越大时，其函数值的增长就越快。
当0,1x n >>时,幂函数ny x =显然也是增函数,并且当n 越大时,其函数值的增长就越快。
那么对于这三种增加的函数,它们的函数值的增长快慢有何差别呢？我们通过对三个具体函数10022,(0),log x xy y x x y ==>= 的函数值（取近似值）的比较,来体会它们增长的快慢。
指数函数幂函数对数函数增长的比较教案
指数函数幂函数对数函数增长的比较教案
指数函数、幂函数和对数函数增长的比较教案
教学目标
通过本教案的学习，学生将能够：
理解指数函数、幂函数和对数函数的定义；
理解指数函数、幂函数和对数函数的增长特点；
比较指数函数、幂函数和对数函数在不同增长情况下的差异。
教学步骤
1.引入
引导学生回顾函数的基本概念，并复习函数的图像、定义域和值域的表示方法。
2.指数函数
定义：指数函数是形如y=a^x的函数，其中a是常数且大于0，x是自变量。
指数函数的图像特点：
当a>1时，函数呈现上升的指数增长趋势；
当0<a<1时，函数呈现下降的指数增长趋势。
3.幂函数
定义：幂函数是形如y=x^a的函数，其中a是常数，x是自变量。
幂函数的图像特点：
当a>1时，函数呈现上升的幂函数增长趋势；
当0<a<1时，函数呈现下降的幂函数增长趋势。
4.对数函数
定义：对数函数是形如y=log<sub>a</sub>(x)的函数，其中a是常数且大于0，x是自变量。
对数函数的图像特点：
当a>1时，函数呈现上升的对数增长趋势；
当0<a<1时，函数呈现下降的对数增长趋势。
北师大版数学《36指数函数幂函数对数函数增长的比较》教学设计
§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 ----教学设计教材分析指数函数和对数函数是高中数学函数中的两类重要的函数模型．教材第三章《指数函数和对数函数》主要有三大块内容：指数运算和指数函数的图像与性质、对数运算和对数函数的图像与性质、指数函数对数函数幂函数增长速度的对比.知识结构如下图所示：教学目标1.知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．2.过程与方法能够借助信息技术，利用函数图像及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用．3.情态与价值体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．教学重点和难点教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．教学难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题．教学方法与手段教学方法：教师的启发式讲授与学生的动手实践、自主探索、合作交流相结合. 教学手段：多媒体辅助教学.教学过程一、提出问题我们已经知道：当1a >时，指数函数xy a =是增函数，并且当a 越大时，其函数值得增长就越快． 当1a >时，对数函数log a y x =是增函数，并且当a 越小时，其函数值得增长就越快． 当1x >，1n >时，幂函数ny x =显然也是增函数，并且当1x >越小时，n 越大其函数值得增长就越快．那么，对于这三种增加的函数，它们的函数的增长快慢有何差别？二、组织活动，进行探究活动一：用几何画板（或Microsoft Math ）去探究下列问题：①在区间(0,)+∞上判断函数2log y x =、2x y =、2y x =的单调性；②用几何画板在同一坐标系中画出下列函数的图像； ③结合函数图像找出交点坐标；④请在函数图像上分别标出不等式22log 2x x x <<和2log 2xx x <<成立的自变量x的取值范围；⑤由以上问题你能得到什么结论？ 谈论结果：①在区间(0,)+∞上函数2log y x =、2xy =、2y x =的单调递增的函数； ②图像略．③从图像上看2log y x =的图像与另外两个函数的图像没有交点，且总在另外两个函数的图像的下方，2x y =的图像与2y x =的交点有两个(2,4)和(4,16)．④22log 2x x x <<和2log 2xx x <<成立的自变量x 的取值范围分别为(2,4)和(0,2)(4,)+∞．⑤简单归纳三种函数增长的快慢．2log y x =、2x y =、2y x =函数的增长不在一个数量级上．从图像可知随着x 的增大2log y x =增长速度越来越慢，而2x y =、2y x =的增长速度越来越快，但是2xy =的增长速度更快．活动二：我们通过对三个具体函数2xy =、100y x =（0x >）、2log y x =的函数值（取近似值）的比较，来体会它们增长的快慢．①完成表3-13（借助科学计算器或设计程序通过计算程序通过计算机完成）．三、归纳提升一般地，对于指数函数)1(>=a a y x和幂函数)0(>=n x y n，通过探索可以发现，在区间),0(+∞上，无论n 比a 大多少，尽管在ｘ的一定变化范围内，x a 会小于n x ，但由于xa的增长快于n x 的增长，因此总存在一个0x ，当0x x >时，就会有nx x a >．同样地，对于对数函数log (1)a y x a =>和幂函数)0(>=n x y n ，在区间),0(+∞上，随着x 的增大，x a log 增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x 轴平行一样．尽管在x 的一定变化范围内，x a log 可能会大于n x ，但由于x a log 的增长慢于nx 的增长，因此总存在一个0x ，当0x x >时，就会有na x x <log ．综上所述，在区间),0(+∞上，尽管)1(>=a a y x，)1(log >=a x y a 和)0(>=n x y n 都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x 的增大，)1(>=a a y x的增长速度越来越快，会超过并远远大于)0(>=n x y n 的增长速度．而)1(log >=a x y a 的增长速度则越来越慢．因此，总会存在一个0x ，当0x x >时，就有xn a a x x <<log ．四、实际应用例1：函数2xy =与2y x =的图像的交点个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个例2：某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：0.25y x =、7log 1y x =+、 1.002x y =．问：其中哪个模型能符合公司的要求？解：借助计算器或计算中心机作出函数5y =、0.25y x =、7log 1y x =+、 1.002x y =的图像（如下）：对于模型0.25y x =它在区间[10,1000]上递增，当(20,1000)x ∈时，5y >，因此该模型不符合要求；对于模型 1.002x y =，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点0x 满足01.0025x =，由于它在[10,1000]上递增，因此当0x x >时，5y >，因此该模型也不符合要求；对于模型7log 1y x =+，它在区间[10,1000]上递增，而且当1000x =时，7log 10001 4.555y =+≈<，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型7log 1y x =+奖励时，奖金是否不超过利润的0025，即当[10,1000]x ∈时，是否有7log 10.25x y x x+=≤成立． 令7()log 10.25,[10,1000]f x x x x =+-∈，利用计算器或计算机作出函数)(x f 的图像（如图）．由图可知它是减函数，因此()(10)0.31670f x f <≈-<．即7log 10.25x x +<．所以，当[10,1000]x ∈时，7log 10.25x x x+<．说明按模型7log 1y x =+奖励，奖金不会超过利润的0025．综上所述，模型7log 1y x =+确实符合公司要求．五、课堂小结（1）指数函数，对数函数，幂函数的图像以及它们各自的增减性.（2）知道指数爆炸在生活中的一些直观的感受，并且能用计算器或设计程序来解决问题.（3）由解析式可以推知函数的变化，同时也能够熟练地由图像还原至所学的解析式，达到能够灵活的运用数形结合来解决题目的目的.六、作业布置课本103页：习题3-6 1、2．七、板书设计八、教学反思本节课的成功之处:一、本节课引导学生利用几何画板作图，激发了学生的学习兴趣.二、通过活动探究的方式学习，大部分学生能参与到课堂中来，取到了一定的教学效果. 不足之处：一、部分学生对几何画板作图不够熟练，效果不太好，应事先教学生用几何画板作图. 二、例题数量偏少，应增加几个．。
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案第一章：幂函数1.1 幂函数的定义与性质定义：幂函数是一种形式的函数，可以表示为y = x^a，其中x是变量，a是常数。
性质：幂函数的图像是一条曲线，取决于指数a的值。
当a为正整数时，函数在x轴的正半轴上递增。
当a为负整数时，函数在x轴的正半轴上递减。
当a为分数时，函数的图像呈现出特殊的变化规律。
1.2 幂函数的图像与性质绘制幂函数的图像，观察不同指数a对图像形状的影响。
分析幂函数的单调性、奇偶性、渐近线等性质。
第二章：指数函数2.1 指数函数的定义与性质定义：指数函数是一种形式的函数，可以表示为y = a^x，其中a是底数，x是变量。
性质：指数函数的图像是一条递增的曲线，底数a大于1时，曲线向上弯曲；底数a 小于1时，曲线向下弯曲。
指数函数的渐近线是y轴。
指数函数的值域是正实数集。
2.2 指数函数的应用分析指数函数的增长速度，比较不同底数的指数函数。
应用指数函数解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等。
第三章：对数函数3.1 对数函数的定义与性质定义：对数函数是一种形式的函数，可以表示为y = log_a(x)，其中a是底数，x是变量。
性质：对数函数的图像是一条递减的曲线，底数a大于1时，曲线向下弯曲；底数a 小于1时，曲线向上弯曲。
对数函数的渐近线是x轴。
对数函数的定义域是正实数集。
3.2 对数函数的应用分析对数函数的单调性，比较不同底数的对数函数。
应用对数函数解决实际问题，如测量、数据压缩等。
第四章：对数运算法则4.1 对数的基本性质回顾对数的定义，巩固对数函数的基本性质。
学习对数的换底公式、对数的反对数等基本性质。
4.2 对数的运算法则学习对数的加法、减法、乘法、除法等运算法则。
运用对数的运算法则进行复杂对数表达式的化简和求值。
第五章：对数函数的应用5.1 对数函数在实际问题中的应用分析实际问题，识别可以用对数函数表示的关系。
应用对数函数解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等。
高中数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.5 增长速度的比较学案(含解析)新人教B版必修第二
4.5 增长速度的比较学习目标1.能利用函数的平均变化率,说明函数的增长速度.2.比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.自主预习情境引入杰米是百万富翁,一天,他碰到一件奇怪的事,一个叫韦伯的人对他说:“我想和你订个合同,我将在整整一个月中(这个月有31天),每天给你10万元,而你第一天只需给我1分钱,以后你每天给我的钱是前一天的两倍.”杰米说:“真的?你说话算数?”合同开始生效了,杰米欣喜若狂.第一天杰米支出1分钱,收入10万元.第二天杰米支出2分钱,收入10万元,到了第10天,杰米共得100万元,而总共才付出10元2角3分.到了第20天,杰米共得200万元,而韦伯才得1万多元.杰米想:要是合同订二、三个月该多好!可从21天起,情况发生了转变.第22天杰米支出2万多,收入10万,到第28天,杰米支出134万多,收入10万.结果,杰米在一个月(31)天内得到310万元的同时,共付给韦伯2千1百多万元!杰米破产了.问题1写出杰米每天收入y(单位:分)与天数x的函数关系式.问题2写出杰米每天支出y(单位:分)与天数x的函数关系式.三种常见函数模型的增长差异对比三类函数的增长速度,熟记图像变化规律函数性质y=a x(a>1)y=log a x(a>1)y=kx(k>0)在(0,+∞)上的增减性图像的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定随k值而不同形象描述指数爆炸对数增长直线上升增长速度y=a x(a>1)的增长速度最终都会大大超过y=kx(k>0)的增长速度;总存在一个x0,当x>x0时,恒有log a x<kx增长结果存在一个x0,当x>x0时,有课堂探究题型一幂函数的增长速度y=xα,当α>1,x>0时,随x的增加,y增加的越来越快,当0<α<1,x>0时,随x的增加,y增加的越来越慢.例1已知函数y=x2,分别计算函数在区间[1,2]与[2,3]上的平均变化率,并说明当自变量每增加1个单位时,函数值变化的规律.训练1已知函数y=x12,分别计算函数在区间[0,1]与[1,2]上的平均变化率,并说明,当自变量每增加一个单位时,函数值变化的规律.题型二指数(对数)函数的增长速度y=a x,当a>1时,随x的增加,y值增加的越来越快,可以远远超过y=xα(α>1)的增长速度;y=log a x,当a>1,x>0时,y随x的增加而增加,但增加的速度越来越慢例2分别计算函数y=3x在区间[1,2]与[2,3]上的平均变化率,并说明函数值变化的规律.训练2计算函数y=log3x在区间[1,2]与 [2,3]上的平均变化率,并以此说明函数值变化的规律.题型三不同函数在同一区间上平均变化率的比较例3已知函数f(x)=2x,g(x)=x,h(x)=log2x,分别计算这三个函数在区间[a,a+1](a>1)上的平均变化率,并比较它们的大小.训练3已知函数y=log3x在[a,a+1](0<a<1)上的平均变化率小于1,求a的取值范围.核心素养专练1.下列函数中随x 的增长而增长最快的是( ) A.y=e xB.y=ln xC.y=x1 000D.y=2x2.已知函数f (x )在任意区间上的平均变化率为5,则当自变量减少2个单位时,函数值 单位.3.甲、乙两人在一次赛跑中,从同一地点出发,路程s 与时间t 的函数关系如图所示,则下列说法正确的是( )A.甲比乙先出发B.乙比甲跑的路程多C.甲、乙两人的速度相同D.甲比乙先到达终点参考答案自主预习问题1 y=107x (x ∈N *) 问题2 y=2x-1(x ∈N *) 填表略增函数 增函数 增函数 a x >kx>log a x课堂探究例1 解:因为Δx Δx =x 22-x 12x2-x1=x 2+x 1,所以y=x 2在区间[1,2]上的平均变化率为3,在区间[2,3]上的平均变化率为5,不难看出,当自变量大于零时,自变量每增加1个单位,区间的左端点值越大,函数值增加越快.训练1 解:因为ΔxΔx =x 212-x 112x2-x1=1x 212+x 112,所以y=x 12在[0,1]上的平均变化率为1,在[1,2]上的平均变化率为√2-1,可以看出自变量每增加1个单位,区间左端点值越大,函数值增加越慢.例2 解:因为Δx Δx =3x 2-3x 1x2-x 1,所以函数y=3x在区间[1,2]上的平均变化率为32-312-1=6,在[2,3]上的平均变化率为33-323-2=18,可以看出,当自变量每增加1个单位时,区间左端点值越大,函数值增加越快.训练2 解:因为Δx Δx=log 3x 2-log 3x 1x 2-x 1,所以y=log 3x 在区间[1,2]上的平均变化率为log 32-log 312-1=log 32.在区间[2,3]上的平均变化率为log 33-log 323-2=log 332,∵函数y=log 3x 在区间[1,2]与[2,3]上均是增函数,又log 32>log 332,∴函数值y 增加的速度越来越慢.例3 解:因为Δx Δx =2x +1-2x(x +1)-x =2a,Δx Δx =(x +1)-x(x +1)-x=1, Δx Δx=log 2(x +1)-log 2x(x +1)-x=log 2(1+1x ),又因为a>1时,有2a>21=2>1, log 2(1+1x )<log 2(1+11)=1,因此在区间[a ,a+1]上,f (x )的平均变化率最大,h (x )的最小. 训练3 解:∵Δx Δx=log 3(x +1)-log 3x (x +1)-x=log 3(1+1x )<1,∴log 3(1+1x )<log 33,∴0<1+1x <3,又0<a<1, ∴12<a<1,即a 的取值范围为(12,1).核心素养专练1.A2.减少10个 解析:设f (x )=5x+b ,x ∈R,则f (x-2)-f (x )=5×(x-2)+b-(5x+b )=-10.3.D 解析:由图知,甲、乙两人s 与t 的关系均为直线上升,路程s 的增长速度不变,即甲、乙均为匀速运动,但甲的速度快.又甲、乙的路程s 取值范围相同,即跑了相同的路程,故甲用时少,先到终点.学习目标1.复习平均变化率的定义,理解其意义及几何意义.(直观想象)2.能利用平均变化率比较幂指对函数增长的快慢.(逻辑推理)3.了解在实际生活中不同增长规律的函数模型.(数学建模)自主预习平均变化率1.试求出y=3x+4在[3,5]上的平均变化率.提示:平均变化率为y的改变量与x的改变量之比.2.(1)函数值的改变量与自变量的改变量的比称为.(2)函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1<x2时)或[x2,x1](x1>x2时)上的平均变化率为.(3)平均变化率也可理解为:自变量每增加1个单位,函数值平均将增加个单位,因此,可用平均变化率来比较函数值变化的快慢.3.函数y=4x的平均变化率为a1,函数y=x-3的平均变化率为a2,则a1,a2的大小关系是()A.a1>a2B.a1<a2C.a1=a2D.无法确定4.y=x2+1在[1,1+Δx]上的平均变化率是()A.2B.2xC.2+ΔxD.2+(Δx)2课堂探究有一套房子,价格为200万元,假设房价每年上涨10%,某人每年固定能攒下40万元,如果他想买这套房子,在不贷款、收入不增加的前提下,这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子?A.5年B.7年C.8年D.9年E.永远也买不起问题1:凭直觉,你认为上述问题的答案是什么?为什么?问题2:房价的增长速度一直都比攒钱的增长速度快吗?怎么刻画它们的增长速度呢?问题3:函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1<x2时)上的平均变化率怎么表示?问题4:平均变化率有怎样的意义?问题5:平均变化率的几何意义是什么?探究1:函数平均变化率的计算例1求函数y=2x在[1,2]与[2,3]上的平均变化率,并说明,当自变量每增加1个单位时,函数值变化的规律.变式训练求函数y=log2x在[1,2]与[2,3]上的平均变化率,并说明,当自变量每增加1个单位时,函数值变化的规律.探究2:函数增长速度的比较例2已知函数f(x)=2x,g(x)=x,h(x)=log2x,分别计算这三个函数在[a,a+1](a>1)上的平均变化率,并比较它们的大小.要点归纳:平均变化率大小比较常用方法引申:①当0<a<1时,g(x)的平均变化率还一定比h(x)大吗?②比较三个函数的平均变化率的变化趋势,你能得到什么结论?③能否举一些生活中指数增长、线性增长、对数增长的例子?例3回扣情境与问题我们再来研究本节课开始的问题:有一套房子,价格为200万元,假设房价每年上涨10%,某人每年固定能攒下40万元,如果他想买这套房子,在不贷款、收入不增加的前提下,这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子()A.5年B.7年C.8年D.9年E.永远也买不起核心素养专练A组1.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为()A.0.40B.0.41C.0.43D.0.442.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图像是()3.某学校开展研究性学习活动,某同学获得一组实验数据如下表:x1.99 3 4 5.1 6.12y1.5 4.04 7.5 12 18.01对于表中数据,现给出以下拟合曲线,其中拟合程度最好的是())xA.y=2x-2B.y=(12(x2-1)C.y=log2xD.y=124.(多选)在某种金属材料的耐高温实验中,温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图像如图所示.现给出下列说法,其中正确的说法是()A.前5 min温度增加的速度越来越快B.前5 min温度增加的速度越来越慢C.5 min以后温度保持匀速增加D.5 min以后温度保持不变5.生活经验告诉我们,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水的高度随着时间的变化而变化,在下图中请选择与容器相匹配的图像,A对应;B对应;C对应;D对应.6.同一坐标系中,画出函数y=x+5和y=2x的图像,并比较x+5与2x的大小.B 组7.某国2016年至2019年国内生产总值(单位:万亿元)如下表所示:年份2016 2017 2018 2019 x (年份代码)123生产总值y (万亿元)8.206 78.944 29.593 310.239 8(1)画出函数图像,猜想y 与x 之间的函数关系,近似地写出一个函数关系式;(2)利用得出的关系式求生产总值,与表中实际生产总值比较; (3)利用关系式预测2033年该国的国内生产总值.参考答案自主预习1.32.(1)平均变化率 (2)Δx Δx =x (x 2)-x (x 1)x 2-x 1(3)ΔxΔx3.A4.C 课堂探究问题:略例1 解:因为Δx Δx =2x 2-2x 1x2-x 1=2x 1(2x 2-x 1-1)x 2-x 1,所以y=2x在[1,2]上的平均变化率为21(22-1-1)2-1=2.y=2x在[2,3]上的平均变化率为22(23-2-1)3-2=4.变式训练 解:因为Δx Δx=log 2x 2-log 2x 1x 2-x 1=log 2x 2x 1x2-x 1,所以g (x )=log 2x 在[1,2]上的平均变化率为log 2212-1=log 22=1.g (x )=log 2x 在[2,3]上的平均变化率为log 2323-2=log 232.例2 解:因为Δx Δx =2x +1-2x(x +1)-x =2a,Δx Δx =(x +1)-x (x +1)-x=1,Δx Δx=log 2(x +1)-log 2x(x +1)-x=log 2(1+1x ),又因为a>1时,2a>21=2>1,log 2(1+1x )<log 2(1+11)=1,因此在区间[a ,a+1](a>1)上,f (x )的平均变化率最大,h (x )的最小.引申:略例3 解析:设经过x 年后,房价为p (x )万元,这个人攒下的钱共有r (x )万元,则这两个函数的解析式分别为:p (x )=200×1.1x,r (x )=40x ,(x ∈N).在区间[a ,a+1],a ∈N 上,Δx Δx =200×1.1x +1-200×1.1x(x +1)-x=20×1.1a ,Δx Δx =40(x +1)-40x(x +1)-x=40.令Δx Δx >ΔxΔx ,得20×1.1a >40,所以a>log 1.12≈7.3.即a ≥8时,房价的增长速度比攒钱的增长速度快.我们也可以列表,直观看一下两个函数值(取整数,单位:万元)的变化情况:x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 p (x ) 220 242 266 293 322 354 390 429 472 r (x ) 40 80 120 160 200 240 280 320 360x 的值每增加1,r (x )的值稳定地增长40,而p (x )的值的增加量则逐渐变大,并且越来越快.经过8年后,p (x )的值的年增加量将接近40,以后则均大于40.在前8年里,攒钱的总数始终小于房价,所以,这个人永远也买不起房子. 核心素养专练1.B 解析:Δy=f (x+Δx )-f (x )=f (2+0.1)-f (2)=(2.1)2+1-(22+1)=0.41.故选B. 2.C 解析:小明匀速运动时,所得图像为一条直线,且距离学校越来越近,故排除A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶,故排除B.故选C.3.D 解析:法一:相邻的自变量之差大约为1,相邻的函数值之差大约为2.5,3.5,4.5,6,基本上是逐渐增加的,二次函数曲线拟合程度最好,故选D.法二:比较四个函数值的大小,可以采用特殊值代入法.可取x=4,经检验易知选D. 4.BD 解析:因为温度y 关于时间t 的图像是先凸后平,所以前5 min 每当t 增加一个单位,相应的增量Δy 越来越小,而5 min 后y 关于t 的增量保持为0,则BD 正确.5.(4) (1) (3) (2) 解析:A 容器下粗上细,水高度的变化先慢后快,故与(4)对应;B 容器为球形,水高度变化为快—慢—快,应与(1)对应;C,D 容器都是柱形的,水高度的变化速度都应是直线型,但C 容器细,D 容器粗,故水高度的变化为C 容器快,与(3)对应,D 容器慢,与(2)对应.6.解:如图,根据函数y=x+5与y=2x的图像增长差异,得当x<3时,x+5>2x;当x=3时,x+5=2x;当x>5时,x+5<2x.7.解:(1)画出函数图像,如图所示.从函数的图像可以看出,画出的点近似地落在一条直线上,设所求的函数关系式为y=kx+b(k≠0).把直线经过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式,解得k=0.677 7,b=8.206 7.所以函数关系式为y=0.677 7x+8.206 7.(2)由得到的函数关系式计算出2017年和2018年的国内生产总值分别为0.677 7×1+8.206 7=8.884 4(万亿元),0.677 7×2+8.206 7=9.562 1(万亿元).与实际的生产总值相比,误差不超过0.1万亿元.(3)2033年,即x=17时,由(1)得y=0.677 7×17+8.206 7=19.727 6,即预测2033年该国的国内生产总值约为19.727 6万亿元.。
《3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学案1
《3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学案三维目标1．借助信息技术，利用函数图像及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．2．恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图像)，并借助信息技术解决一些实际问题．3．让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣．重点难点教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同．教学难点：应用函数模型解决简单问题．教学过程导入新课国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么．发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但不能满足发明者要求，这就是指数增长．本节我们讨论指数函数、对数函数、幂函数的增长差异．推进新课①在区间 0，＋∞ 上判断y＝log2x，y＝2x，y＝x2的单调性.②列表并在同一坐标系中画出三个函数的图像.③结合函数的图像找出其交点坐标.④请在图像上分别标出使不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围.⑤由以上问题你能得出怎样结论？讨论结果：①在区间(0，＋∞)上函数y＝log2x，y＝2x，y＝x2均为单调增函数．②见下图1.图1③从图像看出y＝log2x的图像与另外两函数的图像没有交点，且总在另外两函数的图像的下方，y＝2x的图像与y＝x2的图像有两个交点(2，4)和(4，16)．④不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围分别是(2，4)和(0，2)∪(4，＋∞)．⑤我们在更大的范围内列表作函数图像(图2)，图2容易看出：y＝2x的图像与y＝x2的图像有两个交点(2，4)和(4，16)，这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2x＜x2，有时x2＜2x.但是，当自变量x越来越大时，可以看到，y＝2x的图像就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道，如图3和下表所示．图3一般地，对于指数函数y＝a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n的增长，因此总存在一个x，当x＞x0时，就会有a x＞x n.同样地，对于对数函数y＝log a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，log a x增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样．尽管在x的一定变化范围内，log a x可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n.综上所述，尽管对数函数y＝log a x(a＞1)，指数函数y＝a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)在区间(0，＋∞)上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有logx＜x n＜a x.虽然幂函数y＝x n(n＞0)增长快于对数函数y＝log a x(a＞1)增长，但它们与指数增a长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”．应用示例例1试利用计算器来计算2500的近似值．活动：学生思考，教师提示，计算这样一个大的数，用计算器无法直接计算．如何计算呢？我们可以充分利用幂的运算性质，再结合计算器的利用来求其近似值．解：第一步，利用科学计算器算出210＝1024＝1.024×103；第二步，再计算2100，因为2100＝(210)10＝(1.024×103)10＝1.02410×1030，所以，我们只需要用科学计算器算出1．02410≈1.2677，则2100≈1.2677×1030；第三步，再计算2500，因为(2100)5≈(1.2677×1030)5，我们只需要用科学计算器算出1．267 75≈3.274 0，从而算出2500≈3.27×10150.点评：在设计计算方法时，要考虑到科学计算器能计算的位数．如果函数值非常大，我们常常用科学记数法表示，并且根据需要保留一定数目的有效数字．例2 在自然界中，有些种群的世代是隔离，即每一代的生活周期是分离的，例如很多一年生草本植物，在当年结实后死亡，第二年种子萌发产生下一代．假设一个理想种群，其每个个体产生2个后代，又假定种群开始时有10个个体，到第二代时，种群个体将上升为20个，以后每代增加1倍，依次为40，80，160，…，试写出计算过程，归纳种群增长模型，说明何种情况种群上升，种群稳定，种群灭亡．活动：学生仔细审题，理解题目的含义，教师指导，注意归纳总结．解：设N t 表示t 世代种群的大小，N t ＋1表示t ＋1世代种群的大小，则N 0＝10；N 1＝10×2＝20；N 2＝20×2＝40；N 3＝40×2＝80；N 4＝80×2＝160；…. 由上述过程归纳成最简单的种群增长模型，由下式表示：N t ＋1＝R 0·N t ，其中R 0为世代净繁殖率．如果种群的R 0速率年复一年地增长，则N 1＝R 0N 0，N 2＝R 0N 1＝R 20N 0，N 3＝R 0N 2＝R 30N 0，…N t ＝R t0N 0.R 0是种群离散增长模型的重要参数，如果R 0＞1，种群上升；R 0＝1，种群稳定；0＜R 0＜1，种群下降；R 0＝0，雌体没有繁殖，种群在一代中死亡．思路2例3 一工厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100时，每多订购1个，订购的全部零件的单价就降低0.02元，但最低出厂单价不低于51元．(1)一次订购量为多少个时，零件的实际出厂价恰为51元？(2)设一次订购量为x 个时，零件的实际出厂价为p 元，写出p ＝f (x )．(3)当销售商一次订购量分别为500，1 000个时，该工厂的利润分别为多少？(一个零件的利润＝实际出厂价－成本)解：(1)设一次订购量为a 个时，零件的实际出厂价恰好为51元，则a ＝100＋60－510.02＝550个．(2)p ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60，0<x ≤100，62－x 50，100<x <550，其中x ∈N ＋.51，x ≥550，(3)当销售商一次订购量为x 个时，该工厂的利润为y ，则y ＝(p －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 20x ，0<x ≤100，22x －x 250，100<x <550，11x ，x ≥550.其中x ∈N ＋，故当x ＝500时，y ＝6 000；当x ＝1 000时，y＝11 000.点评：方程中的未知数设出来后可以参与运算，函数解析式为含x ，y 的等式．例4 甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲、乙两图：图4甲调查表明：每个鱼池平均产量从第1年1万只鳗鱼上升到第6年2万只．乙调查表明：全县鱼池总个数由第1年30个减少到第6年10个．请你根据提供的信息说明：(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数．(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模(即总产量)比第1年扩大了还是缩小了？请说明理由．(3)哪一年的规模(即总产量)最大？请说明理由．活动：观察函数图像，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示：先观察图像得出相关数据，利用数据找出函数模型．解：由题意可知，甲图像经过(1，1)和(6，2)两点，从而求得其解析式为y 甲＝0.2x ＋0.8，乙图像经过(1，30)和(6，10)两点，从而求得其解析式为y 乙＝－4x ＋34.(1)当x ＝2时，y 甲＝0.2×2＋0.8＝1.2，y 乙＝－4×2＋34＝26，y 甲·y 乙＝1.2×26＝31.2.所以第2年鱼池有26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万只．(2)第1年出产鳗鱼1×30＝30(万只)，第6年出产鳗鱼2×10＝20(万只)，可见，第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了．(3)设当第m年时的规模总产量为n，那么n＝y甲·y乙＝(0.2m＋0.8)(－4m＋34)＝－0.8m2＋3.6m＋27.2＝－0.8(m2－4.5m－34)＝－0.8(m－2.25)2＋31.25.因此，当m＝2时，n max＝31.2，即第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为31.2万只．课堂小结本节学习了：①指数函数、对数函数、二次函数的增长差异．②幂函数、指数函数、对数函数的应用．。
高一数学北师大版1教学案：指数函数、对数函数、幂函数增长
指数函数、幂函数、对数函数增长比较
授课时间
撰写人
学习重点
认识指数函数、幂函数、对数函数增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长的含义.
学习难点
比较指数函数、幂函数、对数函数的增长差异
学 习 目 标
1。利用计算工具，比较指数函数、幂函数、对数函数的增长差异；
2。 结合具体实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长的含义.
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教 学 过 程
一 自 主 学 习
复习1：指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质？
2。阅读教材比较三种函数变化趋势
二 师 生 互动
例1 求下列函数的定义域：
（1) ；
（2） ；
（3） 。
例2已知函数 ，判断 的奇偶性和单调性。
例3已知定义在R上的偶函数 在 上是减函数，若 ，求不等式 的解集。
练1. 求下列函数的定义域与值域。
5。若函数 为减函数，则a的取值范围是。
6。若 ,那么下列不等式成立的是（ ）。
A． <l< B．1< <
C． 〈l〈 D．1< 〈
四 课 后 反 思
五 课 后 巩 固 练 习
1.函数 ．
（1)求 的定义域；
（2)讨论 的奇偶性；
（3）讨论 的单调性．
2。已知幂函数f（x)＝ （p∈Z）在 上是增函数，且在其定义域内是偶函数,求p的值，并写出相应的函数f(x).
（1) ； （2）
练2. 讨论函数 的单调性.
三 巩 固 练 习
1. 函数 的单调递增区间为( ）.
A. B。
C. D.
高中数学北师大版必修1第三章《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》优质课教案省级比赛获奖教案
高中数学北师大版必修1第三章《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师
面试试讲教案
【名师授课教案】
1教学目标
1.借助信息技术,利用函数图像及数据表格,比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.
2.恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图像),并借助信息技术解决一些实际问题.
3.让学生体会数学在实际问题中的应用价值,培养学生学习兴趣.
2重点难点
教学重点:认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异,体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同.
教学难点:应用函数模型解决简单问题.
3学情分析
1.知识储备方面
学习本课之前,学生在初中已经掌握了一次函数,二次函数、正比例函数、反比例函数几类基本初等函数;并且在高中阶段独立探究过指数函数与对数函数的图象与性质,基本掌握了研究函数的一般方法与过程。
本节课通过对对指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异,体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同。
课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用,都是通过实例来实现的。
由于指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长情况比较复杂,学生在对图象共性的归纳与概括方面可能遇到困难,因此在教学中尽量多使用多媒体技术进行教学。
2.思维水平方面
所授课班级是理科实验班学生,学生有较高的数学素养和较强的数学思维能力,对数学充满探索精神,同时对课堂教学有较高需求。
3.技术使用方面
学生能够熟练掌握图形计算器的操作,并具有利用信息技术进行自主探究的意识。
人教高中数学必修二B版《增长速度的比较》指数函数、对数函数与幂函数说课教学课件
Δ
3+1 -3
(3)对于 y=3 , =
=2×3a>6,
Δ
(+1)-
log2 (+1)-log2
Δ
+1
对于 y=log2x,Δ =
=log2
(+1)-
1
1
=log2 1 + <log2 1 + =1.
1
x
所以 y=log2x 在[a,a+1]上的平均变化率小于 y=3x 在[a,a+1]上的平
(-0.9)-(-1)
-0.9-(-1)
f(-0.9)=-(-0.9)2+(-0.9)=-1.71,所以平均变化率为
=
-1.71-(-2)
=2.9.
0.1
5.函数f(x)=x2在区间[1,1.1]上的平均变化率是
.
答案:2.1
解析:f(1)=1,f(1.1)=1.21,该函数在区间[1,1.1]上的平均变化率为
2.填空.
平均变化率的求解步骤:
(1)确定区间[x1,x2](x2>x1);
(2)求出Δx=x2-x1;
(3)求出Δf=f(x2)-f(x1);
Δ
(4)求出平均变化率Δ
=
(2 )-(1 )
.
2 -1
3.做一做:y=x2+1在[1,1+Δx]上的平均变化率是 (
)
A.2 B.2x C.2+Δx
1.21-1
=2.1.
1.1-1
课堂篇探究学习
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
高中数学北师大版精品教案《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较【教学目标】1．通过具体实例体会三类函数模型增长的差异，提升数学建模素养。
2．利用三类函数的图像对比研究函数的增长快慢培养直观想象素养。
【教学重难点】1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性。
重点2．会利用指数函数、幂函数和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢。
难点【教学过程】一、基础铺垫1三种函数的增长趋势当a>1时，指数函数＝a是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快。
当a>1时，对数函数＝og a是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快。
当>0，n>1时，幂函数＝n也是增函数，并且当>1时，n越大，其函数值的增长就越快。
思考1：在指数函数、对数函数、幂函数三类函数中，函数值增长最快的是哪个函数？[提示]指数函数2三种函数的增长对比对数函数＝og a a>1增长最慢，幂函数＝n n>0，指数函数＝aa>1增长的快慢交替出现，当足够大时，一定有a>n>og a。
思考2：在区间0，＋∞上，当a>1，n>0时，是否总有og a1，n>0，>0时，og a g1，f2g10。
∴12时，f>g，且g在0，＋∞上是增函数。
∴f2 016>g2 016>g8>f8。
【教师小结】函数＝aa>1＝og a a>1＝n n>0性质在0，＋∞上的单调性递增递增递增增长的速度先慢后快先快后慢随着n值的不同而不同图象的变化随的增大越来越陡随的增大逐渐变缓随着n值的不同而不同（二）指数、幂、对数比较大小1常用方法单调性法、图象法，中间搭桥法、作差商法。
2当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较。
3比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即先将它们分为“小于0”，“大于等于0，小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小。
高一数学教学案3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较北师大版必修1
练2.讨论函数 的单调性.
三巩固练习
1.函数 的单调递增区间为（）.
A. B.
C. D.
2.设 ，则 的值是（）.
A. 128 B. 256 C. 512 D. 8
3.函数 的奇偶性为（）.
A．奇函数而非偶函数
B．偶函数而非奇函数
C．非奇非偶函数
D．既奇且偶函数
4.函数 在区间 上的最大值是.
教学Байду номын сангаас程
一自主学习
复习1：指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质？
2.阅读教材比较三种函数变化趋势
二师生互动
例1求下列函数的定义域：
（1） ；
（2） ；
（3） .
例2已知函数 ，判断 的奇偶性和单调性.
例3已知定义在R上的偶函数 在 上是减函数，若 ，求不等式 的解集.
练1.求下列函数的定义域与值域.
教案、学案用纸
年级高一
学科数学
课题
指数函数、幂函数、对数函数增长比较
授课时间
撰写人
学习重点
认识指数函数、幂函数、对数函数增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长的含义。
学习难点
比较指数函数、幂函数、对数函数的增长差异
学习目标
1.利用计算工具，比较指数函数、幂函数、对数函数的增长差异；
2.结合具体实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长的含义。
5.若函数 为减函数，则a的取值范围是.
6.若 ，那么下列不等式成立的是（）.
A． <l< B．1< <
C． <l< D．1< <
四课后反思
五课后巩固练习
1.函数 ．
高中数学 第三章 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较教案 北师大版必修1
高中数学第三章指数函数、幂函数、对数函数增长的比较教案北师大版必修1一、教学目标:1.知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性.2.过程与方法能够借助信息技术, 利用函数图象及数据表格, 对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较, 初步体会它们的增长差异性; 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等), 了解函数模型的广泛应用.3.情感、态度、价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.二、教学重点、难点：1.教学重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义2．教学难点选择合适的数学模型分析解决实际问题.三、学法与教学用具：1.学法：学生通过阅读教材，动手画图，自主学习、思考，并相互讨论，进行探索.2．教学用具：多媒体.四、教学设想：（一）引入实例，创设情景.教师引导学生阅读例1，分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作指导.（二）互动交流，探求新知.1.观察数据，体会模型.教师引导学生观察例1表格中三种方案的数量变化情况，体会三种函数的增长差异，说出自己的发现，并进行交流.2.作出图象，描述特点.教师引导学生借助计算器作出三个方案的函数图象，分析三种方案的不同变化趋势，并进行描述，为方案选择提供依据.（三）实例运用，巩固提高.1.教师引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益.学生通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本例的完整解答，然后全班进行交流.2.教师引导学生分析例2中三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况，进一步体会三种基本函数模型在实际中广泛应用，体会它们的增长差异.3．教师引导学生分析得出：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择，学会对数据的特点与作用进行分析、判断。
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【教学设计中学数学】
区县雁塔区
学校西安市航天中学
姓名贾红云
联系方式
邮编710100
《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学设计
一、设计理念
《普通高中数学课程标准》明确指出：“学生的数学学习活动，不应该只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应该倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等信息数学的方式；课程内容的呈现，应注意反映数学发展的规律以及学生的认知规律，体现从具体到抽象，特殊到一般的原则；教学应注意创设情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉等”。
本节课是北师大版高中数学必修Ⅰ第三章第6节内容，本节专门研究指数函数、幂函数、对数函数的增长的比较，目的是探讨不同类型的函数模型，在描述实际增长问题时的不同变化趋势，通过本节课的学习，可以引导学生积极地开展观察、思考和探究活动，利用几何画板这种信息技术工具，可以让学生从动态的角度直观观察指数函数、幂函数、对数函数增长情况的差异，使学生有机会接触一些过去难以接触到的数学知识和数学思想，并为学生提供了学数学、用数学的机会，体现了发展数学应用意识、提高实践能力的新课程理念。
二、教学目标
1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性；
2．能借助信息技术，利用函数图像和表格，对几种常见增长类型的函数增长的情况进行比较，体会它们增长的差异；
3.体验指数函数、幂函数、对数函数与现实世界的密切联系及其在刻画实际问题中的作用，体会数学的价值.
三、教学重难点
教学重点：认识指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长的含 义。
教学难点：比较指数函数、幂函数、对数函数增长的差异
四、教学准备
⒈提醒学生带计算器； ⒉制作教学用幻灯片；
⒊安装软件：几何画板 ，准备多媒体演示设备
五、教学过程
㈠基本环节
⒈创设情景，引起悬念
杰米和韦伯的故事
一个叫杰米的百万富翁，一天，碰上一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说，我想和你定个合同，我将在整整一个月中每天给你
10万元，而你第一天只需给我一分钱，而后每一天给我的钱是前一天的两倍。
杰米说：“真的？！你说话算数？”
合同开始生效了，杰米欣喜若狂。
第一天杰米支出一分钱，收入10万元；第二天，杰米支出2分钱，收入10万元；第三天，杰米支出4分钱，收入10万元；第四天，杰米支出8分钱，收入10万元…..到了第二十天，杰米共得到200万元，而韦伯才得到1048575分，共10000元多点。
杰米想：要是合同定两个月、三个月多好！
你愿意自己是杰米还是韦伯？
【设计意图】创设情景，构造问题悬念，激发兴趣，明确学习目标 ⒉复习旧知，提出问题
图1-1 图1-2 图1-3
⑴ 如图1-1，当a 时，指数函数x
y a =是单调 函数，并且对于0x >，当底数a 越大时，其 函数值的增长就越 ；
⑵ 如图1-2当a 时，对数函数log a y x =是单调 函数，并且对1x >时，当底数a 越 时 其函数值的增长就越快；
⑶ 如图1-3当0x >，0n >时，幂函数n y x =是增函数，并且对于1x >，当n 越 时，其函数值
的增长就越快。
【设计意图】复习学过的三种函数，为新知识学习做好准备 ⒊实验探究，揭示真相
⑴动手实践 学生利用计算器计算函数值完善表格里的数据
【设计意图】
①指导学生使用计算器，计算对数值和大指数幂的值； ②通过计算让学生感受随着自变量的变化，函数值的变化情况。
⑵实验1 教师利用几何画板在同一坐标系中做出函数x y 2=，)0(2
>=x x y ，x y 2log =的图像，如图1-4，引导学生通过观察得到三种函数增长差异的初步结论；
⑶实验2教师利用几何画板在同一坐标系中做出函数x y 2=，3
(0)y x x =>，的图像，如图1-5，引导学生通过观察感受指数函数、幂函数增长的差异；
如图1-5 图1-6
⑷实验3教师讲解比较函数x
y 2=、100
(0)y x
x =>增长的快慢为何要降次，利用几何画板在同一坐
标系中作函数y x =和2100log y x =的图像，如图1-6，引导学生通过观察感受两个函数增长的差异，从而进一步确信指数函数、幂函数增长的差异
【设计意图】通过实验1，引导学生直观观察，进一步感受三种函数增长的差异，得到：随着x 的值增大
x y 2log =的函数值增长的越来越慢，x y 2=和)0(2>=x x y 的函数值增长的越来越快；x y 2log =增
长比x
y 2=和)0(2
>=x x y 要慢的多；对函数x
y 2=和)0(2
>=x x y 而言，在x 比较小时，会存在
)0(2>=x x y 比x y 2=的增长快的情况，当x 比较大时，x y 2=比)0(2>=x x y 增长得更快.
通过实验2，比较x y 2=比3(0)y x x =>的增长快慢，进一步得到：在x 比较小时，会存在3
(0)y x x =>比x y 2=的增长快的情况，当x 比较大时，x y 2=比3
(0)y x x =>增长得更快. 通过实验3，加大幂函数的幂指数，比较x
y 2=和100
(0)y x
x =>增长的快慢，此时采用两边取对数降次
的方法，只需比较y x =和2100log y x =的增长的快慢，让学生进一步确信：当x 足够大时,随着x 的增大，
x y a =的增长速度越来越快，会超过并远远大于n y x =的增长速度。
⒋用以致用，解决问题
第x 天时杰米所得10x 万元，（直线型函数） 第x 天时韦伯所得()2
3
1
121222 (2)
2112
x
x x --+++++==--分=()61021x --万元，（指数型函数） 从第29天起，情况发生了变化，第29天，杰米共收入290万元，却支出1分，约537万元，结果杰米在一个月（31天）内得到310万元的同时，共付给韦伯47分，也就是2000多万元！杰米破产了！ 【设计意图】学以致用，用实际例子体会直线上升和指数爆炸，呼应课前提出的问题。
⒌归纳总结，加深印象
让学生谈谈本节课的收获，用自己的语言归纳，教师引导，总结三个名词“对数增长、直线上升、指数爆炸”。
【设计意图】提炼重点，画龙点睛 ⒍作业布置，加强应用
【设计意图】增长生活常识，用所学知识解决实际问题
六、教学反思
⒈反思数学教学观
笔者的数学教学基本观点是：创设丰富的情境，激发学生的学习兴趣；以学生为中心，加强数学活动过程的教学，留有探索与思考的余地；营造一种合作交流的课堂气氛，引导学生主体参与，还学生学习主动权，自我挖掘其创造潜能。
⑴ 在本课的教学中，开场提出“杰米和韦伯的故事”，设置悬念，激发了学生的学习兴趣； ⑵本节课基本上做到了让学生经历数学化的过程，在数学活动中学习数学。
从动手实践、猜想、逐步验证，体现了由特殊到一般的数学思想方法，有助于培养学生严谨的科学态度。
⒉反思教学过程 ⑴对教与学的反思：
在这节课的课堂教学中，师生关系是平等的，学生有很多发言的机会，充分展示了知识的生成过程，从学生的动手计算、动手作图、猜想、教师验证、学生总结等，学生都主动参与，教师的作用是引导和组织，可以说教与学水乳交融、相互促进；
⑵对课堂提问的反思：这一节课的课堂提问相对较多，基本上是站在学生的角度，设置一些力所能及 的问题，充分发挥学生的能动性，但是思维活跃的同学回答问题积极，其余的同学则反应平淡。
⑶对教学效果的反思
本节课通过师生的共同努力，达到了比较满意的教学效果，但在一些知识性问题如函数x
y 2=和
)0(2>=x x y 图像的交点个数问题等还要在第四章进一步巩固。
以后课堂教学应注意改进的方面有:
⒈ 提出问题以后，留给学生充分的独立思考时间多些，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其 他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问；
⒉ 课堂生成的知识，例如运算过程、解题思路、新办法好技巧等要加强相互交流，达到相互启发、 相互促进的效果。