名校课件 理论力学 静力学 第二章 刚体的平衡
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刚体静力学基本概念PPT
过此汇交点，且三个力共面。 F1
作业：证明该定理
A
C
F3
OB
F2
①该定理说明了不平行的三个力平衡的必要条件。
②可用来确定第三个力的作用线的方位。
分析和讨论
试想你是一名宇航员，你正在太空站外 面做太空行走。由于过于兴奋，你忘了时间， 结果你背包中的燃料在不知不觉中已消耗殆 尽。你将怎样回到太空站？
尽管你的背包已经空了，但是只要你把 它给扔了，照样能够回到太空站。
表达形式
未知数 1
桥梁支座约束实例
A
③ 中间铰
Fy
未知数 2
Fx
？
约束符号
Fx
Fy
Fy
Fx Fx
？
？
Fy
n
w
t
法向反力 FN
未知数 1
FN
A
O
B
FN
齿轮啮合实例
动脑又动笔
FA A
W
B FB
C FC
n
W O
t
FN
⑶ 光滑圆柱铰链
用圆柱销钉将两个零件连接在一起，并假设接触面光滑，由此 构成的约束。
连接件
销钉
连接件
约束力确定∶
FR
Fy
A O
Fx
Fy Fx
未知数2
y
F
α
x
飞机起落架约束实例
光滑圆柱铰链
变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此 变形体刚化为刚体，则平衡状态保持不变。
①建立了刚体静力学与变形体静力学的联系。 ②刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件，而非充 分条件。
柔性绳
刚性杆
2.2 约束和约束力 1. 概念
★ 自由体
理论力学-静力学：第二章 刚体的平衡 A
A
M
O
M B
A
M
O
M B
2021/5/4
25
MR r F ' r (F1'F2 ') r F1'r F2 '
M1 M2
结论：两个力偶的合成仍然为力偶，且 MR M1 M2
2021/5/4
16
§2-2 力偶系的平衡
作用于刚体上的力偶系合成为一力偶 {M1, M2,, Mn} {MR}
n
n
n
n
MR Mi M ixi M iy j M iz k
i1
i1
i1
i 1
M R ( M x )2 ( M y )2 ( M z )2
平衡的充分必要条件: {M1, M2,, Mn} {MR} {0}
空间力偶系 的平衡条件：
M x 0 M y 0
M z 0
平的面平力衡偶条系件： M 0
2021/5/4
17
§2-2 力偶系的平衡
习题：1-10、2-3、2-4
第二章 刚体的平衡
2021/5/4
1
问题的引出
桥梁受有：自身重力、铁轨压力、桥墩作用力、风载等 机身受有：自身重力、旋翼轴的作用力、空气动力等 研究内容：刚体在各种力系作用下平衡的一般规律
2021/5/4
2
问题的引出
设：共点力系 {F1, F2,, Fn} 作用在质量为 m 的质点上。
{F1, F2,, Fn, P1, P2,, Pm}
F’ F”
F AA
B
2021/5/4
21
§2-3 空间一般力系简化
定理：作用在刚体上的力，沿其作用线移动后，作用效应不变。
理论力学中的静力学平衡条件与应用
理论力学中的静力学平衡条件与应用在理论力学中，静力学是研究物体处于平衡状态时的力学原理和条件。
静力学平衡条件是判断物体是否处于平衡状态的基本准则。
本文将对理论力学中的静力学平衡条件进行分析，并探讨其在实际应用中的意义。
1. 刚体静力学平衡条件在理论力学中，刚体是指其形状和体积在外力作用下保持不变的物体。
刚体静力学平衡条件是判断刚体是否处于平衡状态的基本原理。
根据刚体静力学平衡条件，一个刚体处于平衡状态需要满足以下两个条件：- 力的平衡条件：合力为零。
即作用在刚体上的所有力的矢量和等于零。
- 力矩的平衡条件：合力矩为零。
即作用在刚体上的所有力矩的代数和等于零。
2. 非刚体静力学平衡条件在实际应用中，许多物体并不是刚体，而是由多个部分组成的弹性体。
对于非刚体的情况，同样存在静力学平衡条件来判断物体是否处于平衡状态。
非刚体静力学平衡条件包括以下几个方面：- 力的平衡条件：合力为零。
即作用在物体上的合外力等于零，物体保持静止。
- 力矩的平衡条件：合力矩为零。
即作用在物体上的合外力矩等于零，物体不会产生旋转。
- 形变平衡条件：物体内部各部分之间应满足力的平衡条件和形变的平衡条件，使得物体整体保持平衡。
3. 静力学平衡条件的应用静力学平衡条件在工程学、建筑学和力学等领域有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景：- 结构力学：静力学平衡条件可用于判断建筑物、桥梁和机械结构等是否处于稳定的平衡状态，从而确保其安全性。
- 弹性体力学：静力学平衡条件可用于分析和设计材料的弹性性能，求解材料的应力和变形分布。
- 静力学问题求解：通过应用静力学平衡条件，可以解决一些静力学问题，如悬臂梁的荷载计算、桥梁上的力的平衡等。
4. 实例分析以建筑结构为例，应用静力学平衡条件可以分析房屋的支撑结构是否稳定。
在设计房屋的支撑结构时，需要考虑以下几个方面：- 力的平衡条件：房屋所受的重力需要通过支撑结构的柱子、墙壁等来承受，使得合力为零，保持平衡。
静力学(第二章)
A FC
C
B
W
①选研究对象； ②去约束，取分离体；③画上主动力；④画出约束反力。
例3 图示结构中各杆重力均不计，所有接触处均为光滑 接触。试画出:构件AO、AB和CD的受力图。
①选研究对象； ②去约束，取分离体；③画上主动力；④画出约束反力。
例4 画出下列各构件的受力图
说明：三力平衡必汇交 当三力平行时，在无限 远处汇交，它是一种特 殊情况。
改变原力系对刚体的作用。
只适于刚体！
静力学基本公理
推理1
力的可传性
作用在刚体上某点的力，可沿其作用线移动， 而不改变它对刚体的作用。
力对刚体的作用决定于：力的大小、方向和作用线。 力是有固定作用线的滑动矢量。
静力学基本公理
根据力的可传性，作D 的受力图， 此受力图是否正确？
分析整个系统平衡时，作用力 是否可沿其作用线移动？
刚体静力学模型
1.3 接触和连接方式的抽象和理想化
自由体：
－约束
其运动没有受到其它物体预加 的直接制约的物体
刚体静力学模型
约束：对非自由体运动起制约作用的周围物体 约束反力：约束作用于被约束物体的力
非自由体：
其运动受到其它物体预加的直接制约的物体
刚体静力学模型 约束反力的特点：
大小：常常是未知的 作用点：接触点 方向：总是与约束所能阻止的物体运动方向相反 F G
工程常见约束与约束反力
2.1 柔性约束
柔性约束只能承受拉力 约束反力： 沿柔索而背离被约束物体，作 用于连接点。
工程常见约束与约束反力
2.1 柔性约束
柔性约束只能承受拉力
约束反力： 沿柔索而背离被约束物体，作用于连接点。
链条约束与约束力
理论力学课件-02第二章静力学(2)
研究方法：几何法，解析法。
例：起重机的挂钩。
3
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2–1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 §2–2 平面汇交力系合成与平衡的解析法 §2–3 平面力对点之矩的概念及计算 §2–4 平面力偶
4
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、平面汇交力系的合成
1.两个共点力的合成
力偶矩矢量有关.
45
力偶在任何轴上的投影为零，本身又不平衡。
y
F
d
F'
x
力偶不能合成为一个力，不能用一个力来等效 替换；力偶也不能用一个力来平衡，只能由力偶来 平衡。力和力偶是静力学的两个基本要素。
46
力偶对平面内任意一点的矩： MO (F , F ) MO(F ) MO(F) F(x d) F x
力对刚体可以产生 移动效应—用力矢度量 转动效应—用力对点的矩度量
F
O—矩心
h —力臂
o
h
MO(F) F h
+-
37
B
F o rA
h
MO(F) F h
2AOB
说明：① M O (F )是代数量，逆时针为正
②单位N·m，工程单位kgf·m。
38
二、合力矩定理
定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩， 等于所有各分力对同一点的矩的代数和
力的平行四边形法则或力三角形
5
2. 任意个汇交力的合成
F1 F2
A F3
F4
R F1 F2 F3 F4 即：R Fi
结论： 平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力
的作用线通过各力的汇交点。
6
F2
F3
R1
例：起重机的挂钩。
3
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2–1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 §2–2 平面汇交力系合成与平衡的解析法 §2–3 平面力对点之矩的概念及计算 §2–4 平面力偶
4
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、平面汇交力系的合成
1.两个共点力的合成
力偶矩矢量有关.
45
力偶在任何轴上的投影为零，本身又不平衡。
y
F
d
F'
x
力偶不能合成为一个力，不能用一个力来等效 替换；力偶也不能用一个力来平衡，只能由力偶来 平衡。力和力偶是静力学的两个基本要素。
46
力偶对平面内任意一点的矩： MO (F , F ) MO(F ) MO(F) F(x d) F x
力对刚体可以产生 移动效应—用力矢度量 转动效应—用力对点的矩度量
F
O—矩心
h —力臂
o
h
MO(F) F h
+-
37
B
F o rA
h
MO(F) F h
2AOB
说明：① M O (F )是代数量，逆时针为正
②单位N·m，工程单位kgf·m。
38
二、合力矩定理
定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩， 等于所有各分力对同一点的矩的代数和
力的平行四边形法则或力三角形
5
2. 任意个汇交力的合成
F1 F2
A F3
F4
R F1 F2 F3 F4 即：R Fi
结论： 平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力
的作用线通过各力的汇交点。
6
F2
F3
R1
人体静力学与平衡解析课件
在人着地的瞬间，其速度是4.5m/s，设地面 在5ms内使人体停止，此时所受的力约是其 体重的100倍。
如果人落在体操垫上，则其减速时间会长一 些，
另外，如果他按照人体的正常反应，先将脚 尖着地然后曲膝，使减速的时间更长，则可 07: 2 减少着地力。
59 9
人体在加速和减速力作用下的行为，是和 飞机、汽车、太空飞行器有关的人员感兴趣 的领域。人体经受得起的加速度的量值，决 定于人体的方位和加速度的持续时间。
07: 2 59 3
二、摩擦力 Friction
f N
接触表面 钢与钢 橡胶轮胎在干水泥地上 橡胶轮胎在湿水泥地上 钢在冰上 润滑的骨关节
u （摩擦系数） 0.15 1.0 0.7 0.03 0.003
07: 2 59 4
2.1 Standing at an Incline
f G cos
Ft G sin
三、动力学 Dynamics
习题
1.12 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18
07: 3 59 7
r
F
力矩 T rF
大小：T rF sin
矢量差积
是r与F所夹 的锐角
07: 59 3
重心
刚体的重心： 刚 体 的 重 量 可 以 认 为 集中 在 该 点 上 。
密 度 均 匀 且 几 何 形 状 对称 的 物 体 的 重 心 位于它们的几何中心。
形状不规则的物体的重心？
07: 59 4
会倒吗？
07: 59 1
一、静力学 Static Forces
研究作用在处于平衡和静止的物体上的
力。
质点平衡的条件：
T r F 其受到的各力之和为零
刚体平衡的条件：
如果人落在体操垫上，则其减速时间会长一 些，
另外，如果他按照人体的正常反应，先将脚 尖着地然后曲膝，使减速的时间更长，则可 07: 2 减少着地力。
59 9
人体在加速和减速力作用下的行为，是和 飞机、汽车、太空飞行器有关的人员感兴趣 的领域。人体经受得起的加速度的量值，决 定于人体的方位和加速度的持续时间。
07: 2 59 3
二、摩擦力 Friction
f N
接触表面 钢与钢 橡胶轮胎在干水泥地上 橡胶轮胎在湿水泥地上 钢在冰上 润滑的骨关节
u （摩擦系数） 0.15 1.0 0.7 0.03 0.003
07: 2 59 4
2.1 Standing at an Incline
f G cos
Ft G sin
三、动力学 Dynamics
习题
1.12 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18
07: 3 59 7
r
F
力矩 T rF
大小：T rF sin
矢量差积
是r与F所夹 的锐角
07: 59 3
重心
刚体的重心： 刚 体 的 重 量 可 以 认 为 集中 在 该 点 上 。
密 度 均 匀 且 几 何 形 状 对称 的 物 体 的 重 心 位于它们的几何中心。
形状不规则的物体的重心？
07: 59 4
会倒吗？
07: 59 1
一、静力学 Static Forces
研究作用在处于平衡和静止的物体上的
力。
质点平衡的条件：
T r F 其受到的各力之和为零
刚体平衡的条件：
理论力学-静力学：第二章 刚体的平衡 B
汇交力系平衡的充分必要条件：FR 0
空间问题
Fx 0
Fy 0, Fz 0
平面问题
Fx Fy
0 ,
0
力偶系平衡的充分必要条件： MO 0
M x (F ) 0 空间问题 M y (F ) 0,
M z (F ) 0
平面问题 M 0
2021/5/4
14
§2-4 各类力系平衡条件
1、 FR 0, MO 0
平衡
2、 FR 0, MO 0
3、 FR 0, MO 0
FR
FR
O
O’
FR 4、 FR 0, MO 0
2021/5/4
合力偶
合力
FR
FR
O
MO' O’
?
3
§2-3 空间一般力系简化
(1) FR 0, MO 0, FR MO
合力
FR O MO
FR FR
xW
C FC
•在同一平面内 最多取两个平行的取矩轴
•在空间内 最多取三个平行的取矩轴
2021/5/4
22
§2-4 各类力系平衡条件
思考题：下列方程中的投影轴和取矩轴不是同一根轴， 该方程组能否作为空间任意力系的平衡方程。
Fx 0
Fy 0 Fz 0
M x'(F ) 0
M y'(F ) 0,
FR
Od FR
O’
Od
O1/5/4
(A) FR 0, MO 0, FR MO (B) FR 0, MO 0
4
§2-3 空间一般力系简化
(2) FR 0, MO 0, FR MO
MO FR
O
M O1 FR
O MO2
理论力学PPT课件第2章 力系的平衡
2020/11/16
32
3. 摩擦角与自锁
摩擦角的定义：当摩擦力达到最大值时其全反力 与法线的夹角称为摩擦角。
tgmFFmNax
fsFN FN
fs
2020/11/16
33
2020/11/16
34
摩擦系数的测定：OA绕O 轴转动使物块刚开始下
滑时测出α角，tg α=fs , (即为该两种材料间的静 摩擦系数)。
2
dFd Qx(x)q(x),dM dx(x)FQ(x)
2020/11/16
19
例7 试导出理想流体(无粘性)的静力平衡微分方 程。设单位质量的体分布力为f。
解：在静止流体中取边长分别为dx,dy,dz的微小六面体, 受体积力FVf 及6个侧面上的表面压力作用. 考察左 右两侧面中点的压强大小如图所示，并视为整个侧面的 平均压强。
Mz
F Nx
F Qz
F Qy My
3KN
1KN 2KN
2020/11/16
1KN
14
思考：如何求各段内力函数？
D
1m
3KN
2m
1KN 2 m
1m
2KN
A
1KN
分三段，三个坐标
如：将D处2m，改为x，则CD段 扭矩为常数，弯矩为线性函数
2020/11/16
15
5、变形体的内力计算
例5：已知 q、l 试求图示简支梁，横截面内
2020/11/16
10
研究对象：三根直杆+重物+缆绳
受力分析：汇交力系 F A, F B, F C , F P, W , FPW500kN
FAFA co6s0osin60oico6s0oco6s0o jsin60ok FB FB co6s0osin60oico6s0oco6s0o jsin60ok FCFC co6s0o jsin60ok FPFP co6s0o jsin60ok
理论力学课件(西北工业大学)
§1–3 静力学公里
§1–3 静力学公理
1. 基本概念 力 系 —— 作用于同一物体或物体系上的一群力。 等效力系 —— 对物体的作用效果相同的两个力系。 平衡力系 —— 能使刚体维持平衡的力系。 合 力 —— 能和一个力系等效的一个力。 分 力 —— 一个力等效于一个力系，则力系中的各
力称为这个力（合力）的分力。
静力学
静力学的基本概念和 公理
西北工业大学 支希哲 朱西平 侯美丽
第一章
静力学的基本概念和公理
第一章 静力学的基本概念 和公理
第一章 静力学的 基本概念
和公理
静力学
§1– 1 刚
体
§1–2 力
§1–3 静 力 学 公 理
§1–4 约 束 和 约 束 反 力
§1–5 受 力 分 析 和 受 力 图
理第论一力章学静力学的基本概念和公理
相交于某点，则第三力的作用线必定也通过这个点。
证明：
F1
A1
F2
A A2
=
A3
F F1
A
F2
F3
第一章 静力学的基本概念和公理
推论
§1–3 静力学公理
公 理
推论(三力汇交定理) 当刚体在三个力作用下平衡时，设其中两力的作用线
相交于某点，则第三力的作用线必定也通过这个点。
证明：
F1
A1
F2
A A2
第一章 静力学的基本概念 和公理
§1–1 刚 体
第一章 静力学的基本概念和公理
§1–1 刚 体
刚体——在外界的任何作用下形状和大小都始终保持不变 的物体。 或者在力的作用下，任意两点间的距离 保持不变的物体。 刚体是一种理想的力学模型。
理论力学知识点ppt课件
图 (a)
图 (b)
图 (c)
6
静力学
第一章 静力学公理和物体的受力分析
由此可见，对于刚体来说，作用其上力的三要素是：力的 大小、方向和作用线。此时，力是一个滑动矢量。
公理3 力的平行四边形法则
作用于物体上同一点的两个力，可以合成一个合力。合力 的作用点仍在该点，其大小和方向由这两个力为边构成的平行 四边形的对角线来确定。如图(a)所示。即
பைடு நூலகம்
FR=F1+F2
也可以由力的三角形来确定合力的大小和方向，如图 (b)(c )。
图(a)
图(b)
7
图(c)
静力学
第一章 静力学公理和物体的受力分析
推论 三力平衡汇交定理
作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中任意两个力 的作用线汇交于一点，则第三个力的作用线必交于同一点， 且三个力的作用线在同一平面内。
5
静力学
第一章 静力学公理和物体的受力分析
由此公理可以导出下列推论： 推论 力的可传性
作用于刚体上某点的力，可以沿其作用线移到刚体内 任意一点，并不改变该力对刚体的作用。
证明：刚体上的点A处作用有力F，如图（a）所示。根 据公理2，可在力F的作用线上任取一点B，加上一对平衡 力F1和F2，使其 F=F2 = - F1 ，如图 (b)所示。再根据公 理2，去掉一对平衡力系F和 F1 ，这样只剩下力 F2 = F,如 图 (c )所示,即将力 F沿其作用线移到了点B。
根据力的定义，约束对其被约束物体的作用，实际上就 是力的作用，这种力称为约束力。它的大小是未知的，以后 可用平衡条件求出，但它的方向必与该约束对被约束的物体 所能阻止的位移方向相反。
11
静力学
静力学PPT课件
1、当力与某轴垂直相交或垂直相错时， 此力对该轴的投影为零。
2、当力与某轴平行时，此力对该轴的投 影等于力的大小。
例例题题
求如图所示平面共点力系的合力。其中：F1 = 200 N，
F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。
F2 y
解： 根据合力投影定理，得合力在轴
x，y上的投影分别为：
2、约束反力特点：约束反力 F作用于柔索和物体的连 接处，方向沿柔索背离被 约束物体。
约束力方向与所能限制的物体运动方向相反。
F1
F1
F2 F2
二 ）光滑支承面约束 1、约束性质：限制物体沿接触面公法线且指向接 触面的平移受到限制。
2、约束反力特点：约束反力F 沿接触面公法线且
指向被约束物体。
约束反力特点：一般用两个未知的正交分力Fx、Fy 和一个未知的约束反力偶M来表示。
§1-6 受力分析与受力图
一、受力分析 解决力学问题时，首先要选定需要进行研究的物
体，即选择研究对象；然后根据已知条件，约束类型 并结合基本概念和公理分析它的受力情况，这个过程 称为物体的受力分析。
表示研究对象所受的全部力的图形为物体的受力图。 作用在物体上的力有两类：
B
Q
(2) 球A 受三个力作用：
TE
(3) 作用于滑轮C 的力：
A P
NF
E AF
P
G
C
D B
例题1-2 等腰三角形构架ABC 的顶点A、B、C 都用铰链连 接，底边AC 固定，而AB 边的中点D 作用有平行于固定边AC 的力F，如图1–13(a)所示。不计各杆自重，试画出ABx
Fx
作用点： 为该力系的汇交点 21
力的投影与分力的区别：
2、当力与某轴平行时，此力对该轴的投 影等于力的大小。
例例题题
求如图所示平面共点力系的合力。其中：F1 = 200 N，
F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。
F2 y
解： 根据合力投影定理，得合力在轴
x，y上的投影分别为：
2、约束反力特点：约束反力 F作用于柔索和物体的连 接处，方向沿柔索背离被 约束物体。
约束力方向与所能限制的物体运动方向相反。
F1
F1
F2 F2
二 ）光滑支承面约束 1、约束性质：限制物体沿接触面公法线且指向接 触面的平移受到限制。
2、约束反力特点：约束反力F 沿接触面公法线且
指向被约束物体。
约束反力特点：一般用两个未知的正交分力Fx、Fy 和一个未知的约束反力偶M来表示。
§1-6 受力分析与受力图
一、受力分析 解决力学问题时，首先要选定需要进行研究的物
体，即选择研究对象；然后根据已知条件，约束类型 并结合基本概念和公理分析它的受力情况，这个过程 称为物体的受力分析。
表示研究对象所受的全部力的图形为物体的受力图。 作用在物体上的力有两类：
B
Q
(2) 球A 受三个力作用：
TE
(3) 作用于滑轮C 的力：
A P
NF
E AF
P
G
C
D B
例题1-2 等腰三角形构架ABC 的顶点A、B、C 都用铰链连 接，底边AC 固定，而AB 边的中点D 作用有平行于固定边AC 的力F，如图1–13(a)所示。不计各杆自重，试画出ABx
Fx
作用点： 为该力系的汇交点 21
力的投影与分力的区别：
静力学第二章(4-5节)
i= 1 i= 1 n n
FR = ( ∑ Fx ) 2 + ( ∑ Fy ) 2 + ( ∑ Fz ) 2
M = ∑M = ∑ri ×F O i i
i= 1 i= 1
n
n
M O = (∑ M Ox ) 2 +(∑ M Oy )2 +(∑ M Oz )2
4
空间任意力系平衡的 空间任意力系平衡的充分必要条件： 平衡
∑ Fy = 0
FAx + FB sin( 45o ) = 0
FAx = − FB sin(45o ) = −2W
FAy + FB cos(45o ) − W = 0
11
FAy = W − FB cos(45o ) = −W
例：已知AB梁长为 l，其上受有均布载荷 ， 已知 梁长为 ，其上受有均布载荷q， 端的约束力。 求：梁A 端的约束力。
F2 sin θ ⋅ a − W ⋅ a / 2 = 0
∑Fy =0
F2
FAy + Fc sinθ = 0
F Ay
∑My (F) =0
− F2 sinθ ⋅ a − F sinθ ⋅ a +W ⋅ a / 2 = 0 1
∑F =0 z
FAz + F1 sinθ + F2 sinθ −W = 0
F1
F Az
P
θ
20
问题：假设墙壁光滑， 问题：假设墙壁光滑，若使梯
A
子不滑动， 子不滑动，地面与梯子间的静 至少为多大？ 滑动摩擦因数 fs 至少为多大？ (不计梯子自重 设人重为 不计梯子自重, 设人重为W). 不计梯子自重
B
解：（1）研究梯子 ）研究梯子
FR = ( ∑ Fx ) 2 + ( ∑ Fy ) 2 + ( ∑ Fz ) 2
M = ∑M = ∑ri ×F O i i
i= 1 i= 1
n
n
M O = (∑ M Ox ) 2 +(∑ M Oy )2 +(∑ M Oz )2
4
空间任意力系平衡的 空间任意力系平衡的充分必要条件： 平衡
∑ Fy = 0
FAx + FB sin( 45o ) = 0
FAx = − FB sin(45o ) = −2W
FAy + FB cos(45o ) − W = 0
11
FAy = W − FB cos(45o ) = −W
例：已知AB梁长为 l，其上受有均布载荷 ， 已知 梁长为 ，其上受有均布载荷q， 端的约束力。 求：梁A 端的约束力。
F2 sin θ ⋅ a − W ⋅ a / 2 = 0
∑Fy =0
F2
FAy + Fc sinθ = 0
F Ay
∑My (F) =0
− F2 sinθ ⋅ a − F sinθ ⋅ a +W ⋅ a / 2 = 0 1
∑F =0 z
FAz + F1 sinθ + F2 sinθ −W = 0
F1
F Az
P
θ
20
问题：假设墙壁光滑， 问题：假设墙壁光滑，若使梯
A
子不滑动， 子不滑动，地面与梯子间的静 至少为多大？ 滑动摩擦因数 fs 至少为多大？ (不计梯子自重 设人重为 不计梯子自重, 设人重为W). 不计梯子自重
B
解：（1）研究梯子 ）研究梯子
静力学ppt课件
“勇气号”火星探测器 着陆装置
注意： 1. 力作用于可变形的物体时，既
有内效应，也会有外效应。 2. 力作用于刚体时，不会有内效
应，只可能有外效应。
5
§1-0 力学模型与力系
• 力 系(force system): 作用在物体上的一组力{F1, F2 ,, Fn}
Fn
F3 Pm
F2
P1
F1
P2
• 等效力系(equivalent force system):{F1, F2,, Fn} {P1, P2,, Pm} 对同一刚体产生相同作用效应的力系
• 合力(resultant force) : 与某力系等效的力 {F1, F2,, Fn} {FR}
• 平衡力系(force system in equilibrium): {F1, F2,, Fn} {0}
对刚体不产生任何作用效应的力系
6
§1-0 力学模型与力系
•共点力系(concurrent force system):力作用线汇交于一点的力系。
13
上节课的主要内容
• 基本概念
– 平衡、质点（系）、刚体、力系、等效力系、 合力、平衡力系、共点力系
• 基本方法
– 共点力系的合成（几何法、解析法） – 共点力系的平衡条件（几何法、解析法）
• 要研究的问题
– 如何进行受力分析 – 如何将基本概念与方法应用于实际问题
14
§1-3 平衡问题的解法
•自由体(free body)：可以在空间任意运动的物体
•非自由体(constrained body)：运动受到某些限制的物体
15
非自由体实例
16
§1-3 平衡问题的解法
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§2-1、力偶系
力偶系：作用于刚体上的 一组力偶。 一、力对点之矩
F' B
力对点之矩是力对该点的转动效应的度量
力对点的转动效应的度量必须用矢量表示
1、力对点之矩的数学描述
(1) 矢量表示式: MO r F
(2) 力矩大小: Mo r F d F (3) 力矩方向: 由右手螺旋法则确定
F
z Fz
F Fxy
od Fxy
M z dFxy
逆时针＋，顺时针－
r xi yj zk
如果已知：
F Fxi Fy j Fzk
如何求力F 对 z 轴的矩
11
r xi yj zk
z
F Fxi Fy j Fzk
Fz F
k Fx z
Fy Fxy
ij
x
y Fy
x
y
Fx
Fxy
M z (F ) xFy yFx
C
M2 D
研究BD
B
M2
NB
B
研究AC C
ND
D D
ND
M1
M1 ADN D
A
M1 M 2 BDN D sin
A
NA 23
§2-3、空间任意力系的简化 •空间任意力系：力作用线在空间任意分布的力系
z
F1
o
F2
F3
y
x Fi Fn
问题： 空间任意力系如何简化？
24
一、力的移动 1、力沿作用线移动
n
n
MO Mi ri Fi
i1
i1
MO
( MOx )2 ( MOy )2 ( MOz )2
38
利用力对点之矩和力对轴之矩的关系式
M M
x (F ) y (F )
M Ox M Oy
M z (F ) M Oz
空间任意力系平衡的充分必要条件：
Fx 0 M x (F ) 0 Fy 0, M y (F ) 0, Fz 0 M z (F ) 0
FA A
F
O
Fo
（A）
A
B
FA
O
F
B
FB
FB
Fo （B）
1、研究OA杆
2、研究AB杆
37
二、空间任意力系的平衡条件
空间任意力系简化 {F1, F2, , Fn} {FR, MO}
FR 0, MO 0
平衡
n
n
FR Fi ' Fi
i1
i1
FR
( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
?
过o’的合力
FR
o
MO
FR
o
FR
d
FR
o’ o
d
FR
o’
d Mo FR
oo ' FR
31
(2) FR 0, MO 0, FRMO
MO FR
o
MO1 FR
o
MO2
MO1
(MO
• FR )FR FR2
oo'
d
FR
MO FR2
MO1 FR
o d o’
力螺旋
MO1 FR FR
o d o’
39
三、其它力系的平衡条件
共点力系平衡的充分必要条件：
空间问题
Fx 0 Fy 0, Fz 0
平面问题
力偶系平衡的充分必要条件：
空间问题
M x (F ) 0 M y (F ) 0, M z (F ) 0
平面问题
Fx Fy
0 ,
0
M 0
40
平行力系平衡的充分必要条件：
FAy MA
A FAx
解：研究AB梁，画受力图。
Fx 0, FAx 0
B
Fy 0,
l
FAy qdx 0, FAy ql
0
M A 0,
B
M
A
l 0
xqdx
0,
M
A
1 2
ql2
45
例：重为W 的均质正方形板 水平支承在铅垂墙壁上，求 绳1、2的拉力, BC杆的内力
z
1 A
和球铰链A的约束力。
z
空间问题
o x
Fz 0
y
M x (F ) 0, M y (F ) 0
y
平面问题
o
Fy 0 MO (F ) 0
x
41
平面任意力系平衡的充分必要条件：
y
一 矩
Fx 0 Fy 0
o
x
式 Mo (F ) 0
二 矩
Fx 0 M A(F ) 0
式
M B (F ) 0
M2 rCD F2
rBA F1 M1 M2 rCD F2
16
2、力偶的性质 性质一 力偶不能与一个力等效 {F, F'} {FR}
性质二 力偶可在其作用面内任意移动（或移 到另一平行平面),而不改变对刚体的作用效应
FF
x
a
a
A
x
FF
FF
F
a
a
a
a
BA
F
F
F
a
B
17
18
性质三 只要力偶的转向和力偶矩的大小不变(F，d 可变)，
0
平面力偶系的平衡条件： M 0
21
例：结构如图所示，已知主动力偶 M， 哪种情况铰链的约束力最小,并确 定约束力的方向（不计构件自重）
FA
M
B
O
F （A）
1、研究OA杆
A
M
N B O
N （B）
2、研究AB杆
22
例: 已知 AB=2a BD=a,不计摩擦。求当系统
平衡时,力偶M1 ,M2 应满足的关系.
xW
2
C
By
解：一、取板为研究对象 F1 z
F2
FAz
二、受力分析 三、平衡方程
A FAy
y
FAx
xW
B C FC
n
F1
c
2 FR Fi
i1
n
x
MO ri Fi
y
o
a F2
i1
3 根据主矢和主矩的计算
b
F3
结果判断该力系的简化结果。
34
§2-4、各类力系作用下刚体的平衡条件
一、基本原理和定理
二力平衡原理
刚体在二力作用下平衡的充分必要条 件是此二力等值、反向、共线。
三力平衡定理
作用在刚体上的三个力若平衡，则这 三个力共面；或汇交于一点，或平行。
i1
i1
（与简化点有关）
28
三、空间任意力系简化的最后结果
空间任意力系 {F1, F2, , Fn} {FR, MO} 简化结果
1、 FR 0, MO 0 2、FR 0, MO 0
平衡 过o点的合力
3、FR 0, MO 0
合力偶
问题: 向不同点简化是否得到不同的合力偶?
29
Mi ri Fi
A、B连线与ox轴不垂直
三 矩
M A(F ) 0 M B (F ) 0
式
MC (F ) 0
A、B、C三点不共线
42
平面任意系平衡方程二矩式、三矩式的讨论
平面任意力系简化 {F1, F2, , Fn} {FR, MA}
MA
FR
M A(F) 0 F过R A点
BA
M B (F) 0 F沿R AB线
M Oz
xFy
yFx
力对点之矩在轴上的投影
9
2、合力矩定理：
若：作用在刚体上 {F1, F2 , , Fn} {FR}
n
则：
MO (FR ) MO (Fi )
i 1
z
z
F2
F1 rR
FR
o
y
x
Fn
F2
rn
Fn
o
x r2
rR r1
F1
y
FR
n
rR FR ri Fi i 1 10
二、力对轴之矩
刚体
F
F
FF
变形体
F
F
FF
作用于刚体上力的三要素:大小、方向、作用线 26
2、力的平移
F
F A
B
A
B
F
F A
B
F’
F MB
A rBA
B
力的平 移定理
{F}A {F ', MB}B , F ' F, MB rBA F 27
二、空间任意力系向一点简化
Fn
o
Fn'
Mn
An
A2
M2
o
A1 F2 F1 o成为简化点
力对轴之矩(标量) 等于 力对轴上任意一点 之矩(矢量)在该轴上的投影。
13
例: 计算力F 对l 轴之矩.
解: Ml (F ) MA(F )gl
z
Ml (F ) MB (F )gl
ai bj ck
a
l
a2 b2 c2
aFi cFk F
a2 c2 uuur MB (F ) BC F
12
力对轴之矩
MO z
M x(F) M y(F)
yFz zFx
zFy x Fz
M z (F )
x Fy
yFx
F
Or
y
x
力对o点之矩在坐标轴上的投影
M Ox M Oy
yFz zFx
zFy x Fz
M Oz
x Fy
yFx
M M
x y
(F (F
) )