黑龙江省黑河市2021届新高考数学二模试卷含解析

黑龙江省黑河市2021届新高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若2nx ⎛+ ⎝的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数n 的值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】C 【解析】 【分析】由二项式系数性质，()n a b +的展开式中所有二项式系数和为2n 计算． 【详解】2nx ⎛ ⎝的二项展开式中二项式系数和为2n，232,5n n ∴=∴=．故选：C ． 【点睛】本题考查二项式系数的性质，掌握二项式系数性质是解题关键．2．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切，则双曲线的渐近线方程是（ ） A ．y x =± B ．2y x =±C ．y = D．y =【答案】B 【解析】 【分析】先设直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切于点M ，根据题意，得到1//EM PF ，再由22114F E F F =，根据勾股定理求出2b a =，从而可得渐近线方程. 【详解】设直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切于点M ，因为12PF F ∆是以圆O 的直径12F F 为斜边的圆内接三角形，所以1290F PF ∠=o，又因为圆E 与直线2PF 的切点为M ，所以1//EM PF ，又22114F E F F =，所以144b PF b =⋅=， 因此22PF a b =+，因此有222(2)4b a b c ++=，所以2b a =，因此渐近线的方程为2y x =±. 故选B 【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.3．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率355113≈π．设胡夫金字塔的高为h ，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为A．(4h π+B．(2h π+C．(8h π+ D．(2h π【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】设胡夫金字塔的底面边长为a ，由题可得42a h =π，所以2h a π=，所以需要灯带的总长度约为44(22h+π⨯=π+h ，故选D ．4．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a b A A B C++=+-，求sin b A =（ ） A．2B．3C ．12D．2【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角B 的值，再利用正弦定理可求得sin b A 的值. 【详解】sin sin sin sin b c a b A A B C ++=+-Q，由正弦定理得b c a ba ab c++=+-，整理得222a c b ac +-=， 由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，0B Q π<<，3B π∴=.由正弦定理sin sin a b A B =得3sin sin 1sin 32b A a B π==⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.5． “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是（ ）A ．165B ．325C ．10D ．185【答案】D 【解析】 【分析】直接根据几何概型公式计算得到答案. 【详解】根据几何概型：809200S p ==，故185S =. 故选：D . 【点睛】本题考查了根据几何概型求面积，意在考查学生的计算能力和应用能力.6．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C 是符合要求的.考点：三视图7．古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为( ) A ．15B ．25C ．35D ．110【答案】B 【解析】 【分析】推导出基本事件总数，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，由此能求出6和28恰好在同一组的概率． 【详解】解：将五个“完全数”6，28，496，8128，33550336，随机分为两组，一组2个，另一组3个， 基本事件总数2353C 10n C ==，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数22123234m C C C C =+=，∴6和28恰好在同一组的概率42105mpn===．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为(mod)N n m=，例如112(mod3)=．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（）．A．21B．22C．23D．24【答案】C【解析】从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C.9．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )A．12种B．24种C．36种D．48种【答案】C【解析】【分析】先将甲、乙两人看作一个整体，当作一个元素，再将这四个元素分成3个部分，每一个部分至少一个，再将这3部分分配到3个不同的路口，根据分步计数原理可得选项.把甲、乙两名交警看作一个整体，5个人变成了4个元素，再把这4个元素分成3部分，每部分至少有1个人，共有24C 种方法，再把这3部分分到3个不同的路口，有33A 种方法，由分步计数原理，共有234336C A ⋅=种方案。

故选：C. 【点睛】本题主要考查排列与组合,常常运用捆绑法，插空法，先分组后分配等一些基本思想和方法解决问题，属于中档题.10．已知实数x ，y 满足约束条件2211x y y x y kx +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．53C ．2D ．73【答案】B 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,求出最优解,转化求解k 即可. 【详解】可行域如图中阴影部分所示，22,111B k k ⎛⎫+⎪--⎝⎭，421,2121k C k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，要使得z 能取到最大值，则1k >，当12k <≤时，x 在点B 处取得最大值，即2221211k k ⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，得53k =；当2k >时，z 在点C 处取得最大值，即421222121k k k -⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，得76k =（舍去）.故选:B.【点睛】本题考查由目标函数最值求解参数值,数形结合思想,分类讨论是解题的关键,属于中档题. 11．()2523(2)x x x --+的展开式中，5x 项的系数为（ ） A ．－23 B ．17C ．20D ．63【答案】B【分析】根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得5x 的系数. 【详解】5(2)x +的展开式的通项公式为5152r r r r T C x -+=⋅.则①()223x x --出(3)-，则5(2)x +出5x ，该项为：00555(3)23C x x -⋅⋅⋅=-； ②()223x x --出(2)x -，则5(2)x +出4x ，该项为：11555(2)220C x x -⋅⋅⋅=-； ③()223x x --出2x ，则5(2)x +出3x ，该项为：225551240C x x ⋅⋅⋅=；综上所述：合并后的5x 项的系数为17. 故选：B 【点睛】本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识.12．函数22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-的一个单调递增区间是（ ）A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．59,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x 表达式，再根据三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调区间，由此确定正确选项. 【详解】因为22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-1cos 21sin 2224x x x π⎛⎫=+++-=+ ⎪⎝⎭，由()f x 单调递增，则222242k x k πππππ-≤+≤+（k ∈Z ），解得388k x k ππππ-≤≤+（k ∈Z ），当1k =时，D 选项正确.C 选项是递减区间，A ，B 选项中有部分增区间部分减区间. 故选：D 【点睛】本小题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想，应用意识.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，有两人获奖.在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“○”则表示对某人是否获奖未发表意见.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两名获奖者是_______.【答案】乙、丁 【解析】 【分析】本题首先可根据题意中的“四个人中有且只有两个人的猜测是正确的”将题目分为四种情况，然后对四种情况依次进行分析，观察四人所猜测的结果是否冲突，最后即可得出结果. 【详解】从表中可知，若甲猜测正确，则乙，丙，丁猜测错误，与题意不符，故甲猜测错误；若乙猜测正确，则依题意丙猜测无法确定正误，丁猜测错误；若丙猜测正确，则丁猜测错误；综上只有乙，丙猜测不矛盾，依题意乙，丙猜测是正确的，从而得出乙，丁获奖. 所以本题答案为乙、丁. 【点睛】本题是一个简单的合情推理题，能否根据“四个人中有且只有两个人的猜测是正确的”将题目所给条件分为四种情况并通过推理判断出每一种情况的正误是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题.14．对任意正整数n ，函数32()27cos 1f n n n n n πλ=---，若(2)0f ≥，则λ的取值范围是_________；若不等式()0f n ≥恒成立，则λ的最大值为_________． 【答案】13,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 132- 【解析】 【分析】将2n =代入求解即可；当n 为奇数时,cos 1n π=-,则转化32()2710f n n n n λ=+--≥为2127n n n λ+-≤,设21()27g n n n n=+-,由单调性求得()g n 的最小值；同理,当n 为偶数时,cos 1n π=,则转化32()2710f n n n n λ=---≥为2127n n n λ--≤,设21()27(2)h x x x x x=--≥,利用导函数求得()h x 的最小值,进而比较得到λ的最大值. 【详解】由题,(2)1628210f λ=---≥,解得132λ-≤. 当n 为奇数时,cos 1n π=-,由32()2710f n n n n λ=+--≥,得2127n n nλ+-≤, 而函数21()27g n n n n=+-为单调递增函数,所以min ()(1)8g n g ==,所以8λ≤； 当n 为偶数时,cos 1n π=,由32()2710f n n n n λ=---≥,得2127n n nλ--≤,设21()27(2)h x x x x x=--≥,212,()470x h x x x '∴=-+>Q ≥,()h x ∴单调递增,min 13()(2)2h x h ∴==-,所以132λ-≤,综上可知,若不等式()0f n ≥恒成立,则λ的最大值为132-.故答案为:(1)13,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；(2)132- 【点睛】本题考查利用导函数求最值,考查分类讨论思想和转化思想.15．已知函数229,1,()4,1,x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的取值范围是_________ 【答案】2a ≥ 【解析】 【分析】1x >，可得()f x 在2x =时，最小值为4a +，1x ≤时，要使得最小值为()1f ，则()f x 对称轴x a =在1的右边，且()14f a ≤+，求解出a 即满足()f x 最小值为()1f . 【详解】当1x >，()44f x x a a x=++≥+，当且仅当2x =时，等号成立. 当1x ≤时，()229f x x ax =-+为二次函数，要想在1x =处取最小，则对称轴要满足1x a =≥并且()14+f a ≤，即1294a a -+≤+，解得2a ≥. 【点睛】本题考查分段函数的最值问题，对每段函数先进行分类讨论，找到每段的最小值，然后再对两段函数的最小值进行比较，得到结果，题目较综合，属于中档题.16．已知复数()22z i =-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数是_____，z =_____． 【答案】34i + 5 【解析】 【分析】直接利用复数的乘法运算化简，从而得到复数z 的共轭复数和z 的模． 【详解】()2224434z i i i i =-=-+=-Q ，则复数z 的共轭复数为34i +，且5z ==.故答案为：34i +；5. 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题． 三、解答题：共70分。