2016-2017年上海市上海中学高一上期中数学试卷

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上海市莘庄中学2016-2017学年高一上学期期中数学试卷及解析

上海市莘庄中学2016-2017学年高一上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题( ) A.M N ⋂ B.UMNC.UM N D.M N ⋃2.已知函数2()4()a f x x x R x+=+∈在2x =时取得最小值，则实数a =（）A.4B.4-C.4±D.2±3.已知,a b 为实数，则“1a b >>”是“1111a b <--”的（） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.非充分非必要条件4.设A 为非空实数集（至少有两个元素），若对任意,x y A ∈，都有,x y A x y A +∈-∈，且xy A ∈，则称A 为封闭集，则下列四个判断：①集合A 为封闭集，则A 为无限集； ②集合{|2,}A n n k k Z ==∈为封闭集； ③若集合12,A A 为封闭集，则12A A ⋃为封闭集； ④若A 为封闭集，则一定有0A ∈；，其中正确的命题个数有（）. A.4个B.3个C.2个D.1个第II 卷（非选择题）二、填空题5.命题若a b >，则2a b >”为__________命题（填“真”或“假”）.6.已知全集{1,2,3,4,5}U =，{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，那么()UB A ⋂=_______.7.集合{}22,,1A a a =+，且1A ∈，则实数a 的值为__________. 8.若集合2{|20,}A x x x x R =+-≤∈，集合2{|0,}1x B x x R x -=≤∈+，则A B =______.9.已知,x y R +∈，且8xy =，则2x y +的最小值为___________.10.已知,a b ∈R ，命题“若0a =且0b =，则220a b +=”的逆否命题为__________. 11.已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R =，则实数a 的取值范围是______________________ .12.若集合A 满足{}121,3,,A x y x N y N x **≠⎧⎫⊆⊂=∈∈⎨⎬⎩⎭，则集合A 的个数有_______个. 13.已知2{|60,}A x x bx x R =-+=∈，2{|20,}B x x x c x R =-+=∈，且{}0,2,3A B ⋃=，则实数,b c 的值分别是b =__________，c =__________.14.已知,a b R +∈，且231a b +=.则11a b+的最小值为_________. 15.对任意实数x ∈R ，不等式223022ax ax x x -+>-+恒成立，则实数a 的取值范围为_________.16.不等式2(1)(43)0x x x +-+>有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出11y x =+和2243y x x =-+的图象，然后根据图象进行求解，请类比此方法求解以下问题：设,a b ∈Z ，若对任意0x ≤，都有2(2)()0ax x b --+≤成立，则a b +=____________.三、解答题已知，比较2252a b ++与42ab a +的大小，并说明理由. 18.已知全集U =R ，设集合{|||2}A x x a =-<，21{|1}2x B x x -=<+. （1）若2a =，求()()UU A B ；（2）若UAB =∅，求实数a 的取值范围.19.已知全集U =R ，2{|(1)0}A x x a x a =+--≤，{}()()0()B x x a x b a b =--><. （1）若[1,3]UB =-，求,a b 的值；（2）若31a -<<-，且2(1)Ua A -∈，求实数a 的取值范围.20.已知命题:P 集合2{|(2)10,}A x x a x x R =+++=∈，{|0}B x x =>且A B =∅，命题:Q 不等式16x x a ---<恒成立.（1）分别求命题P 、Q 为真命题时的实数a 的取值范围；（2）若命题P 、Q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围；21.定义：记12min{,,,}n x x x 为12,,,n x x x 这n 个实数中的最小值，记12max{,,,}n x x x 为12,,,n x x x 这n 个实数中的最大值，例如：{}min 3,2,0-2=-，{}max 3,2,03-=.（1）若{}2()min ,1f x x x =-+，求(0)f 、(2)f 的值；（2）已知{}()max ,23()g x x x x R =+∈，求()g x 的最小值；（3）若max (,)H x y R+⎧⎫=∈，求H 的最小值.参考答案1.B【解析】1.举反例说明A,C,D 错误，结合韦恩图说明B 正确. 当{1},{1,2}M N ==时，满足M N ⊆，此时{1}MN =≠∅，{2}U MN =≠∅，{1,2}M N =，所以A,C,D 错误，如图可得UMN =∅故选：B 2.C【解析】2.根据函数的单调性进行求解即可.因为函数()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增，在2x =时取得最小值，24a =⇒=±.故选：C 3.A【解析】3. 先假设1111a b <--成立，求出,a b 之间的关系，结合充分性和必要性的定义进行求解即可.11110011111(1)(1)b a b a a b a b a b -<⇒-<⇒<⇒>>------或1b a <<或1b a <<，显然由，1a b >>能推出1111a b <--，但是由1111a b <--，不一定能推出1a b >>，故1a b >>”是“1111a b <--”的充分非必要条件.故选：A 4.B【解析】4.①：运用反证法进行判断即可； ②：运用所给的定义进行判断即可； ③：结合②，再举个封闭集，进行判断即可；④：当,x y A ∈且x y =，根据0x y -=进行判断即可；①：假设封闭集合A 中有n 个元素，2n ≥，设这个n 个元素从小到大排列为：121n n a a a a -<<<<，显然这n 个元素必有正数，如果没有正数，那么两个数的积就是正数或零，显然这是不可能的，故一定有0n a >，当n x y a ==时，2n n x y a a +=>，显然()x y A +∉，这与集合A 是封闭集矛盾，故至少有两个元素封闭集一定是无限集，因此本命题是真命题；②：设,x y A ∈，所以有2,2,(,)x k y m k m Z ==∈，2(),()x y k m k m Z k m Z x y A +=+∈∴+∈∴+∈；2(),()x y k m k m Z k m Z x y A -=-∈∴-∈∴-∈；4,2xy kmk m Z km Z xy A =∈∴∈∴∈，故集合{|2,}A n n k k Z ==∈为封闭集，因此本命题是真命题；③：由②可知：{|2,}A n n k k Z ==∈为封闭集，同理{|3,}B n n k k Z ==∈也是封闭集，当2,3x y ==时，125()x y A A +=∉，所以12A A ⋃不是封闭集，因此本命题是假命题；④：A 为封闭集，当,x y A ∈且x y =时，0x y A -=∈，因此本命题是真命题. 故选：B 5.假【解析】5.举特例进行判断真假即可.若0,1a b ==-，显然a b >成立，但22a b >不成立，故本命题是假命题. 故答案为：假 6.{4}【解析】6.运用集合补集的定义求出UA ，再利用集合交集的定义进行求解即可.因为{1,2,3,4,5}U =，{1,2,3}A =，所以{}4,5UA =，又因为{2,3,4}B =，所以{}()4U BA =.故答案为：{4} 7.0【解析】7.根据元素与集合的关系，分类求解，并用集合元素的互异性进行检验即可. 因为1A ∈，所以有1a =或211a +=.当1a =时，有212a +=，不符合集合元素的互异性，故舍去；当211a +=时，解得0a =，此时集合{}2,0,1A =，符合集合元素的互异性. 故答案为：0 8.(]1,1-【解析】8.解一元二次不等式化简集合A 的表示，再解分式不等式化简集合B 的表示，最后利用集合交集的定义，结合数轴进行求解即可.因为2{|20,}{|21}A x x x x R x x =+-≤∈=-≤≤，2{|0,}{|12}1x B x x R x x x -=≤∈=-<≤+，所以AB =(]1,1-.故答案为：(]1,1- 9.8【解析】9.直接应用基本不等式求解即可.因为,x y R +∈，所以228x y +≥==（当且仅当2x y =时取等号，即2,4x y ==时取等号）.故答案为：810.若220a b +≠，则0a ≠或0b ≠【解析】10.根据逆否命题的定义直接求解即可.命题“若0a =且0b =，则220a b +=”的逆否命题为若220a b +≠，则0a ≠或0b ≠. 故答案为：若220a b +≠，则0a ≠或0b ≠ 11.1a ≤【解析】11.由并集的定义及数轴表示可得解. 在数轴上表示出集合A 和集合B ,要使AB R =，只有1a ≤.12.15【解析】12.用列举法表示集合12,,x y x N y N x **⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭，再根据子集关系和真子集关系进行求解即可. 因为{}12,,1,2,3,4,6,12x y x N y N x **⎧⎫=∈∈=⎨⎬⎩⎭， {}121,3,,A x y x N y N x **≠⎧⎫⊆⊂=∈∈⎨⎬⎩⎭，所以集合A 中含有1,3这两个元素，那么集合A 的个数就相当于集合{}2,4,6,12的真子集个数，即42115-=个. 故答案为：15 13.5 0【解析】13.根据集合并集的定义，结合两个一元二次方程的特征进行求解即可.因为{}0,2,3A B ⋃=，说明这两集合是至少有一个集合中含有0这个元素， 0不可能是方程260x bx -+=的根，所以0一定是方程220x x c -+=的根，此时0c ，因此{0,2}B =，而{}0,2,3A B ⋃=，所以3必是集合A 的元素，也就是3必是方程260x bx -+=的根，此时5b =，因此{}2,3A =，此时符合{}0,2,3A B ⋃=.故答案为：5；014.5+【解析】14.用123a b =+进行代换，利用基本不等式进行求解即可.23233115552a b a b a b b a a b a b +=+=++≥+=+++（当且仅当32b a b a =时取等号，即23,23a b -==时取等号）.故答案为：5+15.[0,12)【解析】15.先用配方法判断分母的正负性，这样可以转化不等式，最后分类讨论，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.因为2222(1)10x x x -+=-+>，所以222303022ax ax ax ax x x -+>⇒-+>-+对任意实数x ∈R 恒成立.当0a =时，不等式变成30>，显然对任意实数x ∈R 恒成立；当0a ≠时，要想230ax ax -+>对任意实数x ∈R 恒成立，只需2012()430a a a a >⎧⇒<<⎨∆=--⋅⋅<⎩，综上所述：实数a 的取值范围为[0,12). 故答案为：[0,12) 16.1-或3【解析】16.先根据a 的正负性进行讨论，再根据题中所给的方法画出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可.若0a ≥时，当0x ≤时，显然20ax -<，此时一定有20x b -+≥恒成立，即2x b ≤，不存在这样的实数b ；当0a <时，函数2y ax =-是减函数，在同一直角坐标系内，画出函数22,y ax y x b =-=-+的图象，如下图所示：由题意结合图象有：0b >，2y ax =-与横轴的交点坐标为：2(,0)a，2y x b =-+与横轴的交点坐标为：(，因此要对任意0x ≤，都有2(2)()0ax x b --+≤成立，只需：224a b a==，因为,a b ∈Z ，所以有：12b a =⎧⎨=-⎩或41b a =⎧⎨=-⎩，因此a b +=1-或3.故答案为：1-或317.225242a b ab a ++≥+，理由见解析.【解析】17.用作差比较法，结合配方法进行判断即可.225242a b ab a ++--22(2)(1)1a b a =-+-+ 2(2)0a b -≥，2(1)0a -≥ 2252420a b ab a ∴++-->225242a b ab a ∴++≥+18.（1）[)(2]4,-∞-+∞；（2）01a ≤≤.【解析】18.（1）当2a =时，解绝对值不等式、分式不等式化简集合,A B 的表示，再根据集合补集的定义，结合数轴进行求解即可；（2）解绝对值不等式结合A 的表示，根据空集的定义，结合数轴进行求解即可. （1）2204(0,4)x x A -<⇒<<⇒=(][),04,U A ∴=-∞⋃+∞2131023(2,3)22x x x B x x --<⇒<⇒-<<⇒-++ (,2][3,)U B ∴=-∞-+∞[)()()(2]4,U U A B ∴=-∞-⋃+∞（2）(,2][3,)UB =-∞-⋃+∞，(2,2)A a a =-+UAB =∅2223a a -≥-⎧∴⎨+≤⎩01a ∴≤≤19.（1）1,3a b =-=；（2）((1)a ∈-⋃-【解析】19. （1）根据[1,3]UB =-，结合补集的定义求出集合B ，根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可；（2）根据31a -<<-，化简集合A 的表示，再根据2(1)Ua A -∈，结合补集的定义进行求解即可. （1）因为[1,3]UB =-，所以(,1)(3,)B =-∞-⋃+∞.1,3-为方程()()0x a x b --=的两个根，a b <. 1,3a b ∴=-=.（2）31a -<<-，[1,]A a ∴=-， 2(1)Ua A -∈，21a a ∴->-或211a -<，a ∴>或a <或a <<，31a -<<-，((1)a ∴∈-⋃-. 20.（1）P 为真命题时，4a >-；Q 为真命题时，57a -<<；（2）(5,4][7,)a ∈--⋃+∞【解析】20.（1）根据交集的定义结合一元二次方程根的性质，绝对值的性质进行求解即可；（2）根据题意分类讨论，结合数轴进行求解即可.（1）命题P 为真命题时：①方程2(2)10x a x +++=没有实数根，所以有∆<040A ⇒-<<；②方程2(2)10x a x +++=没有正实根，所以有：2(2)40a ∆=+-≥且(2)0a -+≤，解得0a ≥，综上：4a >-.命题Q 为真命题时：1111657x x a x a x x a x a a ---=---≤-+-=-<⇒-<<；（2）①P 真Q 假，即5a ≤-或7a ≥，且47a a >-⇒≥.②Q 真P 假，即57a -<<且454a a ≤-⇒-<≤-综上：(5,4][7,)a ∈--⋃+∞.21.（1）(0)0f =，(2)3f =-；（2）1；（3）2【解析】21.（1）结合题中的定义直接求解即可；（2）结合题中的定义，把()g x 的解析式化成分段函数的形式，然后求最小值即可；（3）根据三个式子的特征，不妨设x y ≥的大小，再利用基本.（1）{}(0)min 0,10f ==，{}2(2)min 2,213f =-+=- （2）{},(1)()max ,2323,(1)x x g x x x x x -≤-⎧=+=⎨+>-⎩当1x ≤-时，()(1)1g x g ≥-=；当1x >-时，()(1)1g x g >-=.∴当1x =-时，()g x 最小值为1（3）max max H⎧⎫⎧⎫== 由x y ≥≤，max ⎧⎫=2≥，当且仅当x y =时，等式成立.①14y ≤2≤，max 2H ⎧⎫==≥， ②104y <<2>，max 2H ⎧⎫=>，综上：min 2H =当且仅当14x y =≥时等式成立.。

上海市高一(上)期中数学试卷(解析版)

2015-2016学年上海市格致中学高一（上）期中数学试卷一、填空题B= ．1．已知全集U=R，，则A∩∁U2．若函数，则f（x）•g（x）= ．3．函数y=的定义域是．4．不等式ax+b＜0的解集A=（﹣2，+∞），则不等式bx﹣a≥0的解集为．5．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5在区间（，1）上为增函数，那么f（2）的取值范围是．6．已知集合A={x|x≥2}，B={x||x﹣m|≤1}，若A∩B=B，则实数m的取值范围是．7．“若a+b＞2，则a＞2或b＞2”的否命题是．8．设f（x）是R上的偶函数，f（1）=0，且在（0，+∞）上是增函数，则（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集是．9．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是．10．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）=1，若f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，则实数a的取值范围是．11．已知的解集为[m，n]，则m+n的值为．二、选择题12．给出下列命题：（1）∅={0}；（2）方程组的解集是{1，﹣2}；（3）若A∪B=B∪C，则A=C；B．（4）若U为全集，A，B⊆U，且A∩B=∅，则A⊆∁U其中正确命题的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．413．“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程x2+ax+1=0没有实根”的（）A．充要条件 B．必要非充分条件C．充分非必要条件D．非充分非必要条件14．已知a∈R，不等式的解集为P，且﹣4∉P，则a的取值范围是（）A．a≥﹣4 B．﹣3＜a≤4C．a≥4或a≤﹣3 D．a≥4或a＜﹣315．函数f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]三、解答题（8+8+10+14分）16．记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．（Ⅰ）若a=3，求P；（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．17．设α：A={x|﹣1＜x＜1}，β：B={x|b﹣a＜x＜b+a}．（1）设a=2，若α是β的充分不必要条件，求实数b的取值范围；（2）在什么条件下，可使α是β的必要不充分条件．18．设函数f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c（a＞0，a，c∈R）（1）设a＞c＞0，若f（x）＞c2﹣2c+a对x∈[1，+∞]恒成立，求c的取值范围；（2）函数f（x）在区间（0，1）内是否有零点，有几个零点？为什么？19．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域（0，+∞）内存在x0，使函数f（x+1）≤f（x）f（1）成立；（1）请给出一个x的值，使函数；（2）函数f（x）=x2﹣x﹣2是否是集合M中的元素？若是，请求出所有x组成的集合；若不是，请说明理由；（3）设函数，求实数a的取值范围．2015-2016学年上海市格致中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题B= {0} ．1．已知全集U=R，，则A∩∁U【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合．B={x|x≤}，最后根据交集定义运算得出结果．【分析】先确定集合A={0，3}，再确定CU【解答】解：因为A={x|x2﹣3x=0}={0，3}，而B={x|x＞}，且U=R，B={x|x≤}，所以，CU所以，{x|x≤}∩{0，3}={0}，B={0}，即A∩CU故答案为：{0}．【点评】本题主要考查了集合间交集，补集的混合运算，涉及一元二次方程的解法，交集和补集的定义，属于基础题．2．若函数，则f（x）•g（x）= x（x＞0）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的解析式化简求解即可．【解答】解：函数，则f（x）•g（x）==x，x＞0．故答案为：x（x＞0）．【点评】本题考查函数的解析式的求法，考查计算能力．3．函数y=的定义域是{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤4}．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用分母不为0，开偶次方被开方数方法，列出不等式组求解可得函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，可得：，解得：﹣1≤x＜1或1＜x≤4．函数的定义域为：{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤4}．故答案为：{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤4}．【点评】本题考查函数的定义域的求法，是基础题．4．不等式ax+b＜0的解集A=（﹣2，+∞），则不等式bx﹣a≥0的解集为（﹣∞，] ．【考点】其他不等式的解法．【专题】方程思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得a＜0，且﹣2a+b=0，解得b=2a，代入要解的不等式可得．【解答】解：∵不等式ax+b＜0的解集A=（﹣2，+∞），∴a＜0，且﹣2a+b=0，解得b=2a，∴不等式bx﹣a≥0可化为2ax﹣a≥0，两边同除以a（a＜0）可得2x﹣1≤0，解得x≤故答案为：（﹣∞，]．【点评】本题考查不等式的解集，得出a的正负是解决问题的关键，属基础题．5．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5在区间（，1）上为增函数，那么f（2）的取值范围是[﹣7，+∞）．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】求得二次函数的对称轴，由题意可得≤，求得a的范围，再由不等式的性质，可得f（2）的范围．【解答】解：函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5的对称轴为x=，由题意可得≤，解得a≤2，则f（2）=4﹣2（a﹣1）+5=11﹣2a≥﹣7．故答案为：[﹣7，+∞）．【点评】本题考查二次函数的单调性的运用，考查不等式的性质，属于中档题．6．已知集合A={x|x≥2}，B={x||x﹣m|≤1}，若A∩B=B，则实数m的取值范围是[3，+∞）．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；转化思想；定义法；集合．【分析】先求出集合B，再利用交集定义和不等式性质求解．【解答】解：∵集合A={x|x≥2}，B={x||x﹣m|≤1}={x|m﹣1≤x≤m+1}，A∩B=B，∴m﹣1≥2，解得m≥3，∴实数m的取值范围是[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．7．“若a+b＞2，则a＞2或b＞2”的否命题是“若a+b≤2，则a≤2且b≤2”．【考点】四种命题．【专题】演绎法；简易逻辑．【分析】根据否命题的定义，结合已知中的原命题，可得答案．【解答】解：“若a+b＞2，则a＞2或b＞2”的否命题是“若a+b≤2，则a≤2且b≤2”，故答案为：“若a+b≤2，则a≤2且b≤2”【点评】本题考查的知识点是四种命题，熟练掌握四种命题的概念，是解答的关键．8．设f（x）是R上的偶函数，f（1）=0，且在（0，+∞）上是增函数，则（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集是（0，1）∪（2，+∞）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系先求出f（x）＞0和f（x）＜0的解集，进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，f（1）=0，且在（0，+∞）上是增函数，∴f（﹣1）=f（1）=0，则函数f（x）对应的图象如图：即当x＞1或x＜﹣1时，f（x）＞0，当0＜x＜1或﹣1＜x＜0时，f（x）＜0，则不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0等价为或，即或，即或，即x＞2或0＜x＜1，即不等式的解集为（0，1）∪（2，+∞），故答案为：（0，1）∪（2，+∞）【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合求出f（x）＞0和f（x）＜0的解集是解决本题的关键．9．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，0）．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m 的范围．【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）．【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．10．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）=1，若f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，则实数a的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题．【分析】先利用f（x）是R上的偶函数，且f（2）=1，得到f（2）=f（﹣2）=1；再由f（x）在[0，+∞）上是增函数，f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，导出﹣2﹣x≤a≤2﹣x在x∈[﹣1，1]上恒成立，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，且f（2）=1，∴f（2）=f（﹣2）=1；∵f（x）在[0，+∞）上是增函数，f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，∴﹣2≤x+a≤2，即﹣2﹣x≤a≤2﹣x在x∈[﹣1，1]上恒成立，∴﹣1≤a≤1，故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查函数恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的奇偶性、单调性的灵活运用．11．已知的解集为[m，n]，则m+n的值为 3 ．【考点】根与系数的关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】利用二次函数的单调性、一元二次不等式的解法即可得出．【解答】解：解：∵ x2﹣2x+3=（2x2﹣6x+9）= [（x﹣3）2+x2]≥，令n2﹣2n+3=n，得2n2﹣9n+9=0，解得n=（舍去），n=3；令x2﹣2x+3=3，解得x=0或3．取m=0．∴m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了二次函数的单调性、一元二次不等式的解法，属于基础题．二、选择题12．给出下列命题：（1）∅={0}；（2）方程组的解集是{1，﹣2}；（3）若A∪B=B∪C，则A=C；B．（4）若U为全集，A，B⊆U，且A∩B=∅，则A⊆∁U其中正确命题的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；集合思想；数形结合法；集合．【分析】由集合间的关系判断（1）；写出方程组的解集判断（2）；由A∪B=B∪C，可得A=C或A、C均为B的子集判断（3）；画图说明（4）正确．【解答】解：（1）∅⊆{0}．故（1）错误；（2）方程组的解集是{（1，﹣2）}．故（2）错误；（3）若A∪B=B∪C，则A=C或A、C均为B的子集．故（3）错误；（4）若U为全集，A，B⊆U，且A∩B=∅，如图，则A⊆∁B．故（4）正确．U∴正确命题的个数是1个．故选：A．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了集合的表示法及集合间的关系，是基础题．13．“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程x2+ax+1=0没有实根”的（）A．充要条件 B．必要非充分条件C．充分非必要条件D．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】方程思想；判别式法；简易逻辑．【分析】一元二次方程x2+ax+1=0没有实根，则△＜0．解出即可判断出．【解答】解：若一元二次方程x2+ax+1=0没有实根，则△=a2﹣4＜0．解得﹣2＜a＜2．∴“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程x2+ax+1=0没有实根”必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程有实数根与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知a∈R，不等式的解集为P，且﹣4∉P，则a的取值范围是（）A．a≥﹣4 B．﹣3＜a≤4C．a≥4或a≤﹣3 D．a≥4或a＜﹣3【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；方程思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】原不等式化为＜0，分类讨论即可得到答案．【解答】解：化为式﹣1＞0，即＞0，即＜0，当a+3＞0时，即a＞﹣3时，原不等式为x+a＜0，即x＜﹣a，∵﹣4∉P，∴a≥4；当a+3＜0时，即a＜﹣3时，原不等式为x+a＞0，即x＞﹣a，∴﹣4∉P，∴a＜﹣3；当a+3=0时，即x∈∅，∴﹣4∉P，综上所述：a的取值范围为a≥4，或a≤﹣3，故选：C．【点评】本题考查分式不等式解法的运用，关键是分类讨论，属于与基础题．15．函数f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】由分段函数可得当x=0时，f（0）=a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有a2≤x++a，x＞0恒成立，运用基本不等式，即可得到右边的最小值2+a，解不等式a2≤2+a，即可得到a的取值范围．【解答】解：由于f（x）=，则当x=0时，f（0）=a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有a2≤x++a，x＞0恒成立，由x+≥2=2，当且仅当x=1取最小值2，则a2≤2+a，解得﹣1≤a≤2．综上，a的取值范围为[0，2]．故选：D．【点评】本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性及运用，同时考查基本不等式的应用，是一道中档题三、解答题（8+8+10+14分）16．记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．（Ⅰ）若a=3，求P；（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；其他不等式的解法；绝对值不等式的解法．【分析】（I）分式不等式的解法，可转化为整式不等式（x﹣a）（x+1）＜0来解；对于（II）中条件Q⊆P，应结合数轴来解决．【解答】解：（I）由，得P={x|﹣1＜x＜3}．（II）Q={x||x﹣1|≤1}={x|0≤x≤2}．由a＞0，得P={x|﹣1＜x＜a}，又Q⊆P，结合图形所以a＞2，即a的取值范围是（2，+∞）．【点评】对于条件Q⊆P的问题，应结合数轴来解决，这样来得直观清楚，便于理解．17．设α：A={x|﹣1＜x＜1}，β：B={x|b﹣a＜x＜b+a}．（1）设a=2，若α是β的充分不必要条件，求实数b的取值范围；（2）在什么条件下，可使α是β的必要不充分条件．【考点】充要条件．【专题】转化思想；集合思想；简易逻辑．【分析】（1）若α是β的充分不必要条件，则A⊊B，即，解得实数b的取值范围；（2）若α是β的必要不充分条件，则B⊊A，即且两个等号不同时成立，进而得到结论．【解答】解：（1）∵a=2，∴β：B={x|b﹣2＜x＜b+2}．若α是β的充分不必要条件，则A⊊B，即，解得：b∈[﹣1，1]；（2）若α是β的必要不充分条件，则B⊊A，即且两个等号不同时成立，即a＜1，b≤|a﹣1|【点评】本题考查的知识点是充要条件，正确理解并熟练掌握充要条件的概念，是解答的关键．18．设函数f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c（a＞0，a，c∈R）（1）设a＞c＞0，若f（x）＞c2﹣2c+a对x∈[1，+∞]恒成立，求c的取值范围；（2）函数f（x）在区间（0，1）内是否有零点，有几个零点？为什么？【考点】函数零点的判定定理；二次函数的性质．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意可得：二次函数的对称轴为x=，由条件可得：2a＞a+c，所以x=＜＜1，进而得到f（x）在区间[1，+∞）是增函数，求出函数的最小值，即可得到答案．（2）二次函数的对称轴是x=，讨论f（0）=c＞0，f（1）=a﹣c＞0，而f（）=﹣＜0，根据根的存在性定理即可得到答案．【解答】解：（1）因为二次函数f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c的图象的对称轴x=，因为由条件a＞c＞0，得2a＞a+c，所以x=＜＜1，所以二次函数f（x）的对称轴在区间[1，+∞）的左边，且抛物线的开口向上，所以f（x）在区间[1，+∞）是增函数．所以f（x）min=f（1）=a﹣c，因为f（x）＞c2﹣2c+a对x∈[1，+∞]恒成立，所以a﹣c＞c2﹣2c+a，所以0＜c＜1；（2）二次函数f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c图象的对称轴是x=．若f（0）=c＞0，f（1）=a﹣c＞0，而f（）=﹣＜0，所以函数f（x）在区间（0，）和（，1）内分别有一零点．故函数f（x）在区间（0，1）内有两个零点；若f（0）=c＜0，f（1）=a﹣c＞0，而f（）=﹣＜0，故函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质，以及根的存在性定理．19．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域（0，+∞）内存在x0，使函数f（x+1）≤f（x）f（1）成立；（1）请给出一个x的值，使函数；（2）函数f（x）=x2﹣x﹣2是否是集合M中的元素？若是，请求出所有x组成的集合；若不是，请说明理由；（3）设函数，求实数a 的取值范围．【考点】元素与集合关系的判断．【专题】应用题；新定义；函数思想．【分析】（1）取值带入即可；（2）根据函数f （x ）的定义求解x 0即可；（3）利用函数的思想求解．【解答】解：（1）令x 0=2，则，成立；（2）假设函数f （x ）=x 2﹣x ﹣2是集合M 中的元素，则存在x 0，使f （x 0+1）≤f（x 0）f （1）成立，即（x 0+1）2﹣（x 0+1）﹣2≤（）（﹣2），解得：，故x 0组成的集合是：{x 0|}；（3）∵函数f （x ）=，∴，设g （x ）==，∴0＜g （x ）＜3，2a=0时显然成立，当a ＞0时，a ＞g （x ），∴a＞3；a ＜0时，a ＜g （x ），∴a＜0；综上，a≤0或a ＞3【点评】本题考查新定义及运用，考查运算和推理能力，考查函数的性质和应用，正确理解定义是迅速解题的关键，属于中档题。

上海市七宝中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题含答案

七宝中学2016第一学期高一期中考试数学试卷（含参考答案)考生注意：1。

答卷前,考生务必在答题纸上将学校、姓名和学号填写清楚，答题一律使用黑色字迹的钢笔、圆珠笔或签字笔书写．2.本试卷共有23道题，共4页．满分150分，考试时间120分钟．3。

考试后只交答题纸,试卷由考生自己保留．一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，请在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.如图,I是全集,,A B是I的子集,则阴影部分表示的集合是.A BI2.已知集合{}29,2,1A x x=-+,集合{}21,2B x =，若{}2A B =，则x 的值为___。

1-3.函数()f x =M ，则R M =。

10 2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 4.已知(){}(){}2,1,A x y y xB x y x a ==+==，，则AB 的元素个数是。

15.已知,0x y >且1x y +=，则xy 的最大值是146.已知 R x y ∈、,命题“若5x y +≥,则3x ≥或2y ≥”是_ 真 __命题(填“真”或“假"）．7.已知函数()f x 的定义域是[]1,5，则(21)f x -的定义域是[]1,38.若关于x 的不等式(2)23a x x -<+的解集是()(),32,-∞--+∞，则实数a 的值是。

12-9.若关于m 的不等式350x m ++>在[]1,3m ∈上有解，则实数x 的取值范围是。

14x >-10.设2:8120x x α-+>，2:x m m β-≤，若β是α的充分非必要条件，则实数m 的取值范围是 .21m -<<11.若0b a <<，则下列结果①a b ab +<;②||||a b >;③110b a>>；④表达式b a a b +最小值为2中,正确的结果的序号有 ① 。

2016-2017年上海市青浦一中高一(上)期中数学试卷及参考答案

2016-2017学年上海市青浦一中高一（上）期中数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）不等式|x+3|＞1的解集是．2．（3分）已知a，b∈R，则“a＞1，b＞1”是“a+b＞2”的条件．3．（3分）已知集合A={x|∈N*，x∈Z}，用列举法表示为．4．（3分）命题“设x，y∈Z，若x，y是奇数，则x+y是偶数”的等价命题是．5．（3分）设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，|a﹣5|}，∁U M={5，7}，则a 的值为．6．（3分）已知﹣1＜a＜b＜2，则a﹣b的范围是．7．（3分）已知x，y∈R+，且x+4y=1，则xy的最大值为．8．（3分）设x＞0，则的最小值为．9．（3分）已知集合A={x|x2﹣3x﹣10=0}，B={x|mx﹣1=0}，且A∪B=A，则实数m的值是．10．（3分）若不等式（a﹣b）x+a+2b＞0的解是x＞，则不等式ax＜b的解为．11．（3分）已知a＞0，若不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a在实数集R上的解集不是空集，则a的取值范围是．12．（3分）非空集合G关于运算⊕满足：（1）对任意a，b∈G，都有a+b∈G；（2）存在e∈G使得对于一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a，则称G是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合与运算：①G是非负整数集，⊕：实数的加法；②G是偶数集，⊕：实数的乘法；③G是所有二次三项式构成的集合，⊕：多项式的乘法；④G={x|x=a+b，a，b∈Q}，⊕：实数的乘法；其中属于融洽集的是（请填写编号）二、选择题（每小题3分，共12分）13．（3分）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（）”的几何解释．A．如果a＞b，b＞c，那么a＞cB．如果a＞b＞0，那么a2＞b2C．对任意实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立D．如果a＞b，c＞0那么ac＞bc14．（3分）已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定能成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＞0 C．cb2＜ca2 D．ac（a﹣c）＜015．（3分）设实数x，y为任意的正数，且+=1，求使m≤2x+y恒成立的m 的取值范围是（）A．（﹣∞，8]B．（﹣∞，8）C．（8，+∞）D．[8，+∞）16．（3分）设[x]表示不超过x的最大整数（例如：[5.5]=5，[一5.5]=﹣6），则不等式[x]2﹣5[x]+6≤0的解集为（）A．（2，3） B．[2，4） C．[2，3]D．（2，3]三、解答题（满分52分）17．（8分）已知集合A={x|x2﹣mx+m2﹣19=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={2，﹣4}，若A∩B≠∅，A∩C=∅，求实数m的值．18．（10分）若集合A={x|ax2﹣3x+2=0，a∈R}有且仅有两个子集，求实数a的取值范围．19．（10分）已知命题甲：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为空集；命题乙：方程x2+ax﹣（a﹣4）=0有两个不相等的实根．（1）若甲，乙都是真命题，求实数a的取值范围；（2）若甲，乙中有且只有一个是假命题，求实数a的取值范围．20．（12分）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm．（1）设矩形栏目宽度为xcm，求矩形广告面积S（x）的表达式（2）怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？21．（12分）已知集合M={x|x2﹣4x+3＜0}，N={x||x﹣3|≤1}．（1）求出集合M，N；（2）试定义一种新集合运算△，使M△N={x|1＜x＜2}；（3）若有P={x|||≥}，按（2）的运算，求出（N△M）△P．2016-2017学年上海市青浦一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）不等式|x+3|＞1的解集是（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞）．【解答】解：不等式|x+3|＞1等价于x+3＞1或x+3＜﹣1，解得x∈（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞）．2．（3分）已知a，b∈R，则“a＞1，b＞1”是“a+b＞2”的充分不必要条件．【解答】解：若a＞1，b＞1，则a+b＞2，是充分条件，若a+b＞2，则推不出a＞1，b＞1，比如：a=0，b=3也可以，故答案为：充分不必要．3．（3分）已知集合A={x|∈N*，x∈Z}，用列举法表示为{﹣1，2，3，4} ．【解答】解：集合A={x|∈N*，x∈Z}，可知，=2，=3，=6，则x=﹣1，2，3，4．集合A={x|∈N*，x∈Z}={﹣1，2，3，4}．故答案为：{﹣1，2，3，4}．4．（3分）命题“设x，y∈Z，若x，y是奇数，则x+y是偶数”的等价命题是设x，y∈Z，若x+y不是偶数，则x，y不都是奇数．【解答】解：原命题与其逆否命题的真假性相同，为等价命题，故命题“设x，y∈Z，若x，y是奇数，则x+y是偶数”的等价命题是：“设x，y∈Z，若x+y不是偶数，则x，y不都是奇数“；故答案为：设x，y∈Z，若x+y不是偶数，则x，y不都是奇数5．（3分）设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，|a﹣5|}，∁U M={5，7}，则a的值为2或8．【解答】解：由U={1，3，5，7}，且C U M={5，7}，所以，M={1，3}，又集合M={1，|a﹣5|}，所以|a﹣5|=3．所以，实数a的值为2或8．故答案为：2或86．（3分）已知﹣1＜a＜b＜2，则a﹣b的范围是﹣3＜a﹣b＜0．【解答】解：∵﹣1＜a＜b＜2，∴a﹣b＜0，﹣2＜b＜1，∴﹣3＜a﹣b＜2，综上可得：﹣3＜a﹣b＜0；故答案为：﹣3＜a﹣b＜07．（3分）已知x，y∈R+，且x+4y=1，则xy的最大值为．【解答】解：，当且仅当x=4y=时取等号．故应填．8．（3分）设x＞0，则的最小值为2﹣1．【解答】解：由x＞0，可得x+1＞1，可令t=x+1（t＞1），即x=t﹣1，则==t+﹣1≥2﹣1=2﹣1．当且仅当t=，即x=﹣1，取得最小值．故答案为：2﹣1．9．（3分）已知集合A={x|x2﹣3x﹣10=0}，B={x|mx﹣1=0}，且A∪B=A，则实数m的值是0或或．．【解答】解：由题意：集合A={x|x2﹣3x﹣10=0}={﹣2，5}，集合B={x|mx﹣1=0}，∵A∪B=A，∴B⊆A当B=∅时，满足题意，此时方程mx﹣1=0无解，解得：m=0．当C≠∅时，此时方程mx﹣1=0有解，x=，要使B⊆A，则满足或，解得：m=或m=．综上可得：实数m的值：0或或．故答案为：0或或．10．（3分）若不等式（a﹣b）x+a+2b＞0的解是x＞，则不等式ax＜b的解为{x|x＜﹣1} ．【解答】解：由于不等式（a﹣b）x+a+2b＞0的解是，∴a＞b，=，求得=﹣1，a＞0，故不等式ax＜b，即x＜=﹣1，即x＜﹣1，故答案为：{x|x＜﹣1}．11．（3分）已知a＞0，若不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a在实数集R上的解集不是空集，则a的取值范围是（1，+∞）．【解答】解：法一：∵|x﹣4|+|x﹣3|≥|x﹣4+3﹣x|=1，∴|x﹣4|+|x﹣3|的最小值为1，又不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a的解集不是空集，∴a＞1．法二：由绝对值的几何意义知|x﹣4|+|x﹣3|表示实数轴上的点到﹣3和到4两点的距离之和，故|x﹣4|+|x﹣3|≥1，由题意，不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a在实数集上的解不为空集，只要a＞（|x﹣4|+|x﹣3|）min即可，即a＞1，故答案为：（1，+∞）12．（3分）非空集合G关于运算⊕满足：（1）对任意a，b∈G，都有a+b∈G；（2）存在e∈G使得对于一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a，则称G是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合与运算：①G是非负整数集，⊕：实数的加法；②G是偶数集，⊕：实数的乘法；③G是所有二次三项式构成的集合，⊕：多项式的乘法；④G={x|x=a+b，a，b∈Q}，⊕：实数的乘法；其中属于融洽集的是①④（请填写编号）【解答】解：①对于任意非负整数a，b知道：a+b仍为非负整数，所以a⊕b∈G；取e=0，及任意非负整数a，则a+0=0+a=a，因此G对于⊕为整数的加法运算来说是“融洽集”；②对于任意偶数a，b知道：a+b仍为偶数，故有a+b∈G；但是不存在e∈G，使对一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a，故②的G不是“融洽集”．③对于G={二次三项式}，若a、b∈G时，a，b的两个同类项系数，则其积不再为二次三项式，故G不是和谐集，故③不正确；④G={x|x=a+b，a，b∈Q}，设x1=a+b，x2=c+d，则设x1+x2=（a+c）+（b+d），属于集合G，取e=1，a×1=1×a=a，因此G对于⊕实数的乘法运算来说是“融洽集”，故④中的G是“融洽集”．故答案为①④．二、选择题（每小题3分，共12分）13．（3分）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（）”的几何解释．A．如果a＞b，b＞c，那么a＞cB．如果a＞b＞0，那么a2＞b2C．对任意实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立D．如果a＞b，c＞0那么ac＞bc【解答】解：可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为c（c2=a2+b2），则外围的正方形的面积为c2，也就是a2+b2，四个阴影面积之和刚好为2ab，对任意正实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立．故选：C．14．（3分）已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定能成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＞0 C．cb2＜ca2 D．ac（a﹣c）＜0【解答】解：∵c＜b＜a且ac＜0，故c＜0，a＞0，∴ab＞ac一定成立，又∵b﹣a＜0，∴c（b﹣a）＞0一定成立，b2与a2的大小无法确定，故cb2＜ca2不一定成立，∵a﹣c＞0，∴ac（a﹣c）＜0一定成立，故选：C．15．（3分）设实数x，y为任意的正数，且+=1，求使m≤2x+y恒成立的m 的取值范围是（）A．（﹣∞，8]B．（﹣∞，8）C．（8，+∞）D．[8，+∞）【解答】解：∵x＞0，y＞0且+=1，∴2x+y=（2x+y）（+）=4++≥4+2=8，当且仅当y=2x=4时取等号．∵不等式2x+y≥m恒成立⇔（2x+y）min≥m．∴m∈（﹣∞，8]，故选：A．16．（3分）设[x]表示不超过x的最大整数（例如：[5.5]=5，[一5.5]=﹣6），则不等式[x]2﹣5[x]+6≤0的解集为（）A．（2，3） B．[2，4） C．[2，3]D．（2，3]【解答】解：不等式[x]2﹣5[x]+6≤0可化为：（[x]﹣2）（[x]﹣3）≤0解得：2≤[x]≤3，所以解集为2≤[x]≤3，根据[x]表示不超过x的最大整数得不等式的解集为：2≤x＜4故选：B．三、解答题（满分52分）17．（8分）已知集合A={x|x2﹣mx+m2﹣19=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={2，﹣4}，若A∩B≠∅，A∩C=∅，求实数m的值．【解答】解：由B中方程变形得：（x﹣2）（x﹣3）=0，解得：x=2或x=3，即B={2，3}，∵A={x|x2﹣mx+m2﹣19=0}，C={2，﹣4}，且A∩B≠∅，A∩C=∅，∴将x=3代入集合A中方程得：m2﹣2m﹣10=0，即（m﹣5）（m+2）=0，解得：m=5或m=﹣2，当m=5时，A={x|x2﹣5x+6=0}={2，3}，此时A∩C={2}，不合题意，舍去；当m=﹣2时，A={x|x2+2x﹣15=0}={3，﹣5}，满足题意，则m的值为﹣2．18．（10分）若集合A={x|ax2﹣3x+2=0，a∈R}有且仅有两个子集，求实数a的取值范围．【解答】解：因为集合A={x|ax2﹣3x+2=0}的子集只有两个，所以A中只含一个元素．当a=0时，A={}；当a≠0时，若集合A只有一个元素，由一元二次方程判别式△=9﹣8a=0得a=，综上，当a=0或a=时，集合A只有一个元素．故答案为：0或．19．（10分）已知命题甲：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为空集；命题乙：方程x2+ax﹣（a﹣4）=0有两个不相等的实根．（1）若甲，乙都是真命题，求实数a的取值范围；（2）若甲，乙中有且只有一个是假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：命题甲：由不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为空集，得△=（a﹣1）2﹣4a2＜0…（1分）解得：…（1分）命题乙：由方程有两个不相等的实根得△=2a2+4（a﹣4）＞0，…（1分）解得：a＜﹣4，a＞2；…（1分）（1）甲，乙都是真命题的条件是a∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）…（2分）（2）甲，乙中有且只有一个是假命题的条件是，或，故…（4分）20．（12分）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm．（1）设矩形栏目宽度为xcm，求矩形广告面积S（x）的表达式（2）怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？【解答】解：（1）设矩形栏目宽度为xcm，高为…（2分）…（4分）（2）根据题意得：（3分）等号成立的条件是：x=75，y=120…（2分）答：当广告的高为75cm，宽为120cm时，矩形广告的面积最小．…（1分）21．（12分）已知集合M={x|x2﹣4x+3＜0}，N={x||x﹣3|≤1}．（1）求出集合M，N；（2）试定义一种新集合运算△，使M△N={x|1＜x＜2}；（3）若有P={x|||≥}，按（2）的运算，求出（N△M）△P．【解答】解：（1）M={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，N={x||x﹣3|≤1}={x|2≤x ≤4}．（2）M△N中的元素都在M中但不在N中，∴定义M△N={x|x∈M且x∉N}．（3）P={x|||≥}=（2.5，3.5]，∵N△M={x|3≤x≤4}，∴（N△M）△P={x|3≤x≤4}．。

2016-2017学年上海市浦东新区杨思高中高一(上)期中数学试卷

2016-2017学年上海市浦东新区杨思高中高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题12小题，每题3分，共36分）1．（3分）集合A={a，b，c，d，e}，B={d，f，g}，则A∩B=．2．（3分）已知全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜2}，则集合∁U A=．3．（3分）命题“若x＞1且y＜﹣3，则x﹣y＞4”的等价命题是．4．（3分）已知x＜0，﹣1＜y＜0，用不等号将x，xy，xy2从大到小排列得．5．（3分）设集合A={x|﹣＜x＜2}，B={x|x2≤1}，则A∪B=．6．（3分）设全集U={2，4，3﹣a2}，P={2，a2﹣a+2}，∁U P={﹣1}，则a=．7．（3分）若a＞0，b＞0，2a+b=1，则ab的最大值为．8．（3分）已知x＞﹣1，当x=时，x+的值最小．9．（3分）x，y为实数，使x＞y且＞同时成立的一个充要条件是．10．（3分）若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是．11．（3分）若关于x的不等式＞0的解集为R，则k的范围为．12．（3分）已知集合P={x|1≤x≤6，x∈N}，对它的非空子集A，将A中每个元素k，都乘以（﹣1）k再求和（如A={1，3，6}，可求得和为（﹣1）•1+（﹣1）3•3+（﹣1）6•6=2，则对M的所有非空子集，这些和的总和是．二、选择题（本大题4小题，每题3分，共12分）13．（3分）已知集合A、B，若A不是B的子集，则下列命题中正确的是（）A．对任意的a∈A，都有a∉B B．对任意的b∈B，都有b∈AC．存在a0，满足a0∈A，a0∉B D．存在a0，满足a0∈A，a0∈B14．（3分）若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A．B．a2＞b2C．D．a|c|＞b|c|15．（3分）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．a2+b2＞2ab C． D．16．（3分）设全集为U，定义集合M与N的运算：M*N={x|x∈M∪N且x∉M∩N}，则N*（N*M）=（）A．M B．N C．M∩∁U N D．N∩∁U M三、解答题（本大题5小题，共52分）17．（8分）比较与（）2的大小．18．（10分）已知集合A={x|12﹣5x﹣2x2＞0}，B={x|x2﹣ax+b≤0}满足A∩B=∅，A∪B=（﹣4，8]，求实数a，b的值．19．（10分）已知集合A={x||2x﹣1|≤3}，集合B={x|x2+（4﹣a）x﹣4a＞0}，若A∩B=A，求实数a的取值范围．20．（12分）某商场一年购进某种货物900吨，每次都购进x吨，运费为每次9万元，一年的总存储费用为9x万元．（1）要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买多少吨？（2）要使一年的总运费与总存储费用之和不超过585万元，则每次购买量在什么范围？21．（12分）设全集U=R．（1）解关于x的不等式|x﹣1|+a﹣1＞0（a∈R）；（2）记A为（1）中不等式的解集，B为不等式组的整数解集，若（∁U A）∩B恰有三个元素，求a的取值范围．2016-2017学年上海市浦东新区杨思高中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题12小题，每题3分，共36分）1．（3分）（2016秋•浦东新区校级期中）集合A={a，b，c，d，e}，B={d，f，g}，则A∩B={d} ．【考点】1E：交集及其运算．【专题】11 ：计算题；37 ：集合思想；4O：定义法；5J ：集合．【分析】利用交集的定义直接求解．【解答】解：∵集合A={a，b，c，d，e}，B={d，f，g}，∴A∩B={d}．故答案为：{d}．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（3分）（2016•杨浦区一模）已知全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜2}，则集合∁U A={x|x＜﹣1或x≥2} ．【考点】1F：补集及其运算．【专题】11 ：计算题；37 ：集合思想；4O：定义法；5J ：集合．【分析】根据补集的定义求得∁U A．【解答】解：全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜2}，则集合∁U A={x|x＜﹣1或x≥2}，故答案为：{x|x＜﹣1或x≥2}．【点评】本题主要考查补集的定义和求法，属于基础题．3．（3分）（2016秋•浦东新区校级期中）命题“若x＞1且y＜﹣3，则x﹣y＞4”的等价命题是“若x﹣y≤4，则x≤1或y≥﹣3”．【考点】25：四种命题间的逆否关系．【专题】35 ：转化思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】根据原命题与它的逆否命题是互为等价的命题，写出它的逆否命题即可．【解答】解：根据原命题与它的逆否命题是互为等价的命题，所以命题“若x＞1且y＜﹣3，则x﹣y＞4”的等价命题是：“若x﹣y≤4，则x≤1或y≥﹣3”．故答案为：“若x﹣y≤4，则x≤1或y≥﹣3”．【点评】本题考查了原命题与它的逆否命题是等价命题的应用问题，是基础题目．4．（3分）（2016秋•浦东新区校级期中）已知x＜0，﹣1＜y＜0，用不等号将x，xy，xy2从大到小排列得xy＞xy2＞x．【考点】R3：不等式的基本性质．【专题】2A ：探究型；4O：定义法；5T ：不等式．【分析】根据不等式的基本性质，分析三个式子的大小，可得答案．【解答】解：∵x＜0，﹣1＜y＜0，∴0＜y2＜1，xy＞0，x＜xy2＜0，即xy＞xy2＞x，故答案为：xy＞xy2＞x【点评】本题考查的知识点是不等式的基本性质，难度不大，属于基础题．5．（3分）（2015•上海模拟）设集合A={x|﹣＜x＜2}，B={x|x2≤1}，则A∪B= {x|﹣1≤x＜2} ．【考点】1D：并集及其运算．【分析】集合B为简单的二次不等式的解集，解出后，利用数轴与A求并集即可．【解答】解：B=x|x2≤1=x|﹣1≤x≤1，A∪B={x|﹣1≤x＜2}，故答案为：{x|﹣1≤x＜2}．【点评】本题考查集合的基本运算，属基本题，注意等号．6．（3分）（2016秋•浦东新区校级期中）设全集U={2，4，3﹣a2}，P={2，a2﹣a+2}，∁U P={﹣1}，则a=2．【考点】1F：补集及其运算．【专题】11 ：计算题；37 ：集合思想；4O：定义法；5J ：集合．【分析】由全集U，P，以及P的补集，利用补集的定义列出关于a的方程【解答】解：根据补集的定义和性质U=P∪（C U P），由于全集U={2，4，3﹣a2}，P={2，a2﹣a+2}，∁U P={﹣1}，所以{2，4，3﹣a2}={2，a2﹣a+2，﹣1}，根据集合相等的定义，得出a2﹣a+2=4，且3﹣a2=﹣1，解得a=2故答案为：2【点评】本题考查补集的定义和性质，属于基础题．7．（3分）（2016秋•浦东新区校级期中）若a＞0，b＞0，2a+b=1，则ab的最大值为．【考点】7F：基本不等式．【专题】35 ：转化思想；5T ：不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴2a+b=1，化为ab≤，当且仅当b=2a=时取等号．则ab的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（3分）（2016秋•浦东新区校级期中）已知x＞﹣1，当x=1时，x+的值最小．【考点】7F：基本不等式．【专题】35 ：转化思想；5T ：不等式．【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴x+=x+1+﹣1≥﹣1=3，当且仅当x=1时取等号．故答案为：1．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．（3分）（2016秋•浦东新区校级期中）x，y为实数，使x＞y且＞同时成立的一个充要条件是xy＜0．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【解答】解：由＞得﹣=＞0，∵x＞y，∴x﹣y＞0，y﹣x＜0，则xy＜0，即x＞y且＞同时成立的一个充要条件是xy＜0，故答案为：xy＜0【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键．10．（3分）（2015•潍坊校级模拟）若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x ＜4，则实数a的取值范围是[3，+∞）．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】11 ：计算题．【分析】先求出不等式|x﹣1|＜a的解集为集合B，再根据条件可知{x|0＜x＜4}⊂B，建立关于a的不等式组，解之从而确定a的取值范围．【解答】解：|x﹣1|＜a⇒1﹣a＜x＜a+1由题意可知﹣≤x＜0 0＜x＜4是1﹣a＜x＜a+1成立的充分不必要条件∴解得a≥3∴实数a的取值范围是[3，+∞）故答案为：[3，+∞）【点评】本题考查充分不必要条件的应用，解题时要注意含绝对值不等式的解法和应用，属于基础题．11．（3分）（2016秋•浦东新区校级期中）若关于x的不等式＞0的解集为R，则k的范围为[1，9）．【考点】3R：函数恒成立问题．【专题】32 ：分类讨论；35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；59 ：不等式的解法及应用．【分析】关于x的不等式＞0的解集为R，x2+x+1=+＞0，转化为（k﹣1）x2+（k﹣1）x+2＞0的解集为R．对k分类讨论，利用一元二次不等式的解集与判别式的关系即可得出．【解答】解：∵关于x的不等式＞0的解集为R，x2+x+1=+＞0，∴（k﹣1）x2+（k﹣1）x+2＞0的解集为R．当k=1时，2＞0恒成立，因此k=1满足条件．当k≠0时，可得，解得1＜k＜9，综上可得：k的范围为[1，9）．故答案为：[1，9）．【点评】本题考查了恒成立问题等价转化方法、“三个二次的关系”、不等式的解集与判别式的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．12．（3分）（2016秋•浦东新区校级期中）已知集合P={x|1≤x≤6，x∈N}，对它的非空子集A，将A中每个元素k，都乘以（﹣1）k再求和（如A={1，3，6}，可求得和为（﹣1）•1+（﹣1）3•3+（﹣1）6•6=2，则对M的所有非空子集，这些和的总和是96．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】15 ：综合题；32 ：分类讨论；49 ：综合法；5J ：集合．【分析】根据题意，将M中所有非空子集分类考虑完备，将所有非空子集中的含有1的总个数确定好，从而可求其和，同理求得含有2、3…，6的部分的和，问题即可解决．【解答】解：∵M={x|1≤x≤6，x∈N}={1，2，…，6}，∴M中所有非空子集中含有1的有6类：①单元素集合只有{1}含有1，即1出现了C50次；②双元素集合有1的有{1，2}，{1，3}，…{1，6}，即1出现了C51次；③三元素集合中含有1的有{1，2，3}，{1，2，4}，…{1，5，16}即1出现了C52次；…⑩含有6个元素{1，2，…}1出现了C55次；∴1共出现C50+C51+…+C55=25；同理2，3，4，…6各出现25次，∴M的所有非空子集中，这些和的总和是25•[（﹣1）1+2×（﹣1）2+…+6×（﹣1）6]=25×3=96．故答案为：96．【点评】本题考查数列求和，难点在于将M中所有非空子集合理分类计算，用组合数性质解决，考查学生综合分析与推理的能力，属于难题．二、选择题（本大题4小题，每题3分，共12分）13．（3分）（2008•卢湾区二模）已知集合A、B，若A不是B的子集，则下列命题中正确的是（）A．对任意的a∈A，都有a∉B B．对任意的b∈B，都有b∈AC．存在a0，满足a0∈A，a0∉B D．存在a0，满足a0∈A，a0∈B【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【专题】14 ：证明题．【分析】根据子集的定义进行判断．【解答】解：根据子集的定义，若∀x∈A，都有x∈B，则A是B的子集，∴A不是B的子集，有存在a0，满足a0∈A，a0∉B，故选C．【点评】本题考查了子集的定义简单应用．14．（3分）（2006•上海）若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A．B．a2＞b2C．D．a|c|＞b|c|【考点】71：不等关系与不等式．【专题】11 ：计算题．【分析】本选择题利用取特殊值法解决，即取符合条件的特殊的a，b的值，可一一验证A，B，D不成立，而由不等式的基本性质知C成立，从而解决问题．【解答】解：对于A，取a=1，b=﹣1，即知不成立，故错；对于B，取a=1，b=﹣1，即知不成立，故错；对于D，取c=0，即知不成立，故错；对于C，由于c2+1＞0，由不等式基本性质即知成立，故对；故选C．【点评】本小题主要考查不等关系与不等式、不等关系与不等式的应用、不等式的基本性质等基础知识，属于基础题．15．（3分）（2012•城区校级模拟）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．a2+b2＞2ab C． D．【考点】7F：基本不等式．【专题】11 ：计算题．【分析】利用反例：a=﹣2，b=﹣1时，可判断选项A，C，反例：a=b=2时，a2+b2=2ab，可判断B，由ab＞0可知，，由基本不等式可判断D【解答】解：例如a=﹣2，b=﹣1时，选项A，C不成立例如a=b=2时，a2+b2=2ab，选项B不成立由ab＞0可知，，由基本不等式可得，=2故选D【点评】本题主要考查了基本不等式的成立条件的判断及基本不等式的应用，属于基础试题16．（3分）（2016秋•浦东新区校级期中）设全集为U，定义集合M与N的运算：M*N={x|x∈M∪N且x∉M∩N}，则N*（N*M）=（）A．M B．N C．M∩∁U N D．N∩∁U M【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】37 ：集合思想；4O：定义法；5J ：集合．【分析】根据题意画出文氏图表示M*N为图中的阴影区域，从而得出N*（N*M）所表示的区域为M．【解答】解：如图所示，由定义可知N*M为图中的阴影区域，∴N*（N*M）为图中阴影Ⅰ和空白的区域，∴N*（N*M）=M．故选：A．【点评】本题考查了集合的运算问题，解题时要认真审题，注意集合运算公式的灵活应用．三、解答题（本大题5小题，共52分）17．（8分）（2016秋•浦东新区校级期中）比较与（）2的大小．【考点】72：不等式比较大小．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4H ：作差法；5T ：不等式．【分析】利用作差法判断两个多项式的大小即可．【解答】解：﹣（）2=﹣（a2+b2+2ab）=（a2+b2﹣2ab）=（a﹣b）2≥0，∴≥（）2．【点评】本题考查了利用作差法比较两个多项式大小的应用问题，是基础题目．18．（10分）（2016秋•浦东新区校级期中）已知集合A={x|12﹣5x﹣2x2＞0}，B={x|x2﹣ax+b≤0}满足A∩B=∅，A∪B=（﹣4，8]，求实数a，b的值．【考点】1D：并集及其运算．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4R：转化法；5J ：集合．【分析】求出集合A={x|﹣4＜x＜}，由A∩B=∅，A∪B=（﹣4，8]，得到B={x|x2﹣ax+b≤0}={x|}，由此能求出a，b的值．【解答】解：∵集合A={x|12﹣5x﹣2x2＞0}={x|﹣4＜x＜}，B={x|x2﹣ax+b≤0}，满足A∩B=∅，A∪B=（﹣4，8]，∴B={x|x2﹣ax+b≤0}={x|}，∴，8是方程|x2﹣ax+b=0的两个根，∴，解得a=，b=12．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意一元二次不等式的性质的合理运用．19．（10分）（2016秋•浦东新区校级期中）已知集合A={x||2x﹣1|≤3}，集合B={x|x2+（4﹣a）x﹣4a＞0}，若A∩B=A，求实数a的取值范围．【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【专题】32 ：分类讨论；33 ：函数思想；4O：定义法；5J ：集合．【分析】确定集合A的元素范围，根据A∩B=A，建立条件关系即可求实数a的取值范围．【解答】解：由题意：集合A={x||2x﹣1|≤3}={x|﹣1≤x≤2}集合B={x|x2+（4﹣a）x﹣4a＞0}={x|（x+4）（x﹣a）＞0}，∵A∩B=A∴A⊆B．解法一：令f（x）=x2+（4﹣a）x﹣4a＞0，∵﹣1≤x≤2，根据一元二次方程的根的分布：可得：或解：a≤﹣1故得实数a的取值范围是：（﹣∞，﹣1]．解法二，讨论思想：当a=﹣4时，B={x∈R|x≠﹣4}，满足A⊆B．当a＞﹣4时，B={x|x＞a或x＜﹣4}，要使A⊆B成立，则：a≤﹣1．当a＜﹣4时，B={x|x＜a或x＞﹣4}，满足A⊆B．故得实数a的取值范围是：（﹣∞，﹣1]．【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，难度中档．20．（12分）（2016秋•浦东新区校级期中）某商场一年购进某种货物900吨，每次都购进x吨，运费为每次9万元，一年的总存储费用为9x万元．（1）要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买多少吨？（2）要使一年的总运费与总存储费用之和不超过585万元，则每次购买量在什么范围？【考点】5D：函数模型的选择与应用．【专题】12 ：应用题；33 ：函数思想；4G ：演绎法；51 ：函数的性质及应用．【分析】（1）先设某公司每次都购买x吨，由于一年购买某种货物900吨，得出需要购买的次数，从而求得一年的总运费与总存储费用之和，最后利用基本不等式求得一年的总运费与总存储费用之和最小即可．（2）根据一年的总运费与总存储费用之和不超过585万元，可建立不等式，从而可求次购买量的范围【解答】解：（1）设每次都购买x吨，则需要购买次，∵运费为9万/次，一年的总存储费用为9x万元，∴一年的总运费与总存储费用之和为9×+9x万元∵9×+9x≥540，当且仅当9×=9x时取等号∴x=30吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小；（2）由题意，9×+9x≤585，得20≤x≤45．∴每次购买量在大于或等于20吨且小于或等于45吨的范围内．【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式的运用，确定函数解析式是关键．21．（12分）（2016秋•浦东新区校级期中）设全集U=R．（1）解关于x的不等式|x﹣1|+a﹣1＞0（a∈R）；（2）记A为（1）中不等式的解集，B为不等式组的整数解集，若（∁U A）∩B恰有三个元素，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】38 ：对应思想；4R：转化法；5T ：不等式．【分析】（1）通过讨论a的范围，求出不等式的解集即可；（2）解不等式组，求出集合B，通过讨论a的范围，求出∁A，结合题意得到关∪于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）由|x﹣1|+a﹣1＞0 得|x﹣1|＞1﹣a，当a＞1时，解集是R；当a≤1时，解集是{x|x＜a，或x＞2﹣a}．（2）解不等式组，得：﹣4＜x≤，故B={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，当a＞1时，C U A=∅，不满足条件．当a≤1时，C U A={x|a≤x≤2﹣a}，∴2﹣a≥1，若（∁U A）∩B恰有三个元素，则，解得：﹣1＜a≤0．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查集合的运算，是一道中档题．考点卡片1．集合的包含关系判断及应用【知识点的认识】概念：1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A=B．【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．2．并集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A ∪B．符号语言：A∪B={x|x∈A或x∈B}．图形语言：．A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．运算形状：①A∪B=B∪A．②A∪∅=A．③A∪A=A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．⑤A∪B=B⇔A⊆B．⑥A∪B=∅，两个集合都是空集．⑦A∪（C U A）=U．⑧C U（A∪B）=（CUA）∩（CUB）．【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复．【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题．3．交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A ∩B．符号语言：A∩B={x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算形状：①A∩B=B∩A．②A∩∅=∅．③A∩A=A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B=A⇔A⊆B．⑥A∩B=∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁U A）=∅．⑧∁U（A∩B）=（∁U A）∪（∁U B）．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．4．补集及其运算【知识点的认识】一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作C U A，即C U A={x|x∈U，且x∉A}．其图形表示如图所示的Venn图．．【解题方法点拨】常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法．【命题方向】通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现．5．交、并、补集的混合运算【知识点的认识】集合交换律A∩B=B∩A，A∪B=B∪A．集合结合律（A∩B）∩C=A∩（B∩C），（A∪B）∪C=A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A ∪C）．集合的摩根律Cu（A∩B）=CuA∪CuB，Cu（A∪B）=CuA∩CuB．集合吸收律A∪（A∩B）=A，A∩（A∪B）=A．集合求补律A∪CuA=U，A∩CuA=Φ．【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．6．四种命题间的逆否关系【知识点的认识】基本概念：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题．四种命题的关系：【解题方法点拨】由于本处命题主要是概念型与理解型的题，准确理解概念；注意原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假．原命题与逆否命题同真假，为解题提供逆向思维的方法，反证法的应用．【命题方向】近几年的高考主要是考察对四命题的理解以及命题之间互为逆否关系的理解，通常以小题为主．又可以与充要条件联合命题．7．必要条件、充分条件与充要条件的判断【知识点的认识】正确理解和判断充分条件、必要条件、充要条件和非充分非必要以及原命题、逆命题否命题、逆否命题的概念是本节的重点；掌握逻辑推理能力和语言互译能力，对充要条件概念本质的把握是本节的难点．1．充分条件：对于命题“若p则q”为真时，即如果p成立，那么q一定成立，记作“p⇒q”，称p为q的充分条件．意义是说条件p充分保证了结论q的成立，换句话说要使结论q成立，具备条件p就够了当然q成立还有其他充分条件．如p：x≥6，q：x＞2，p是q成立的充分条件，而r：x＞3，也是q成立的充分条件．必要条件：如果q成立，那么p成立，即“q⇒p”，或者如果p不成立，那么q一定不成立，也就是“若非p则非q”，记作“￢p⇒￢q”，这是就说条件p是q的必要条件，意思是说条件p是q成立的必须具备的条件．充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．2．从集合角度看概念：如果条件p和结论q的结果分别可用集合P、Q 表示，那么①“p⇒q”，相当于“P⊆Q”．即：要使x∈Q成立，只要x∈P就足够了﹣﹣有它就行．②“q⇒p”，相当于“P⊇Q”，即：为使x∈Q成立，必须要使x∈P﹣﹣缺它不行．③“p⇔q”，相当于“P=Q”，即：互为充要的两个条件刻画的是同一事物．3．当命题“若p则q”为真时，可表示为，则我们称p为q的充分条件，q是p 的必要条件．这里由，得出p为q的充分条件是容易理解的．但为什么说q是p 的必要条件呢？事实上，与“”等价的逆否命题是“”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．4．“充要条件”的含义，实际上与初中所学的“等价于”的含义完全相同．也就是说，如果命题p等价于命题q，那么我们说命题p成立的充要条件是命题q成立；同时有命题q成立的充要条件是命题p成立．【解题方法点拨】1．借助于集合知识加以判断，若P⊆Q，则P是Q的充分条件，Q是的P的必要条件；若P=Q，则P与Q互为充要条件．2．等价法：“P⇒Q”⇔“￢Q⇒￢P”，即原命题和逆否命题是等价的；原命题的逆命题和原命题的否命题是等价的．3．对于充要条件的证明，一般有两种方法：其一，是用分类思想从充分性、必要性两种情况分别加以证明；其二，是逐步找出其成立的充要条件用“⇔”连接．【命题方向】充要条件主要是研究命题的条件与结论之间的逻辑关系，它是中学数学最重要的数学概念之一，它是今后的高中乃至大学数学推理学习的基础．在每年的高考中，都会考查此类问题．8．函数恒成立问题【知识点的认识】恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）=ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单【解题方法点拨】一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．例：f（x）=x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围．解：由题意可知：a≤恒成立即a≤x++2⇒a≤2+2【命题方向】恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．9．函数模型的选择与应用【知识点的知识】1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．2．用函数模型解决实际问题（1）数据拟合：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．（2）常用到的五种函数模型：①直线模型：一次函数模型y=kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y=kx（k＞0）．②反比例函数模型：y=（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．③指数函数模型：y=a•b x+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．④对数函数模型，即y=m log a x+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．⑤幂函数模型，即y=a•x n+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y=ax2+bx+c （a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．3．函数建模（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．（2）过程：如下图所示．【典型例题分析】典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（）A．y=0.025x B．y=1.003x C．y=l+log7x D．y=x2分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%=x，A中，函数y=0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；B中，函数y=1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；C中，函数y=l+log7x，易知满足①，当x=1000时，y取最大值l+log71000=4﹣lg7＜5，且l+log7x≤x恒成立，故满足公司要求；D中，函数y=x2，易知满足①，当x=400时，y＞5不满足公司要求；故选C点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x=（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数；（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润=销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本=固定费用+生产费用）分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．。

2016-2017学年上海市闵行区七宝中学高一(上)期中数学试卷

2016-2017学年上海市闵行区七宝中学高一（上）期中数学试卷一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，请在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 如图，是全集，，是的子集，则阴影部分表示的集合是________．2. 已知集合，集合，若，则的值为________．3. 函数的定义域是，则________．4. 已知，，则的元素个数是________．5. 已知，且，则的最大值是________．6. 已知，，命题“若，则或”是________命题（填“真”或“假”）．7. 已知函数的定义域是，则的定义域是________．8. 若关于的不等式的解集是，则实数的值是________．9. 若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是________．10. 设，，若是的充分非必要条件，则实数的取值范围是________．11. 若，则下列结果①；②；③；④表达式最小值为中，正确的结果的序号有________．12. 定义实数运算，则，则实数的取值范围是________．13. 设非空集合满足：当时，有．给出如下四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则或．其中正确命题的是________．14. 对于任意两个正实数，，定义．其中常数，“”是通常的实数乘法运算，若，与都是集合中的元素，则________．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.请在答题纸的相应位置上填写正确答案的编号，选对得5分，否则一律得零分．1. 已知，，则命题“若，则且”的否命题是（）A.若，则，都不为．B.若，则，不都为．C.若，则且D.若，则且2. 已知，，那么的最大值为（）A. B.C. D.3. 已知，，，则“”是“关于的不等式在上恒成立”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件4. 已知，集合，，记，，A. B.C. D.三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．1. 设集合，（1）用列举法表示集合（2）若，求实数的值．2. 某地区上年度电价为元，年用电量为，本年度计划将电价降到元至元之间，而用户期待电价为元，下调电价后新增加的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为），该地区的电力成本为元．（注：收益实际用电量（实际电价-成本价）），示例：若实际电价为元，则下调电价后新增加的用电量为元（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益与实际电价的函数关系；（2）设，当电价最低为多少仍可保证电力部门的收益比上一年至少增长？3. 已知，，都是正数，（1）若，试比较与的大小；（2）若，求证：．4. 已知函数，其中，是实数．（1）若不等式的解集是，求的值；（2）若，对任意，都有，且存在实数，使得，求实数的取值范围；（3）若方程有一个根是，且，，求的最小值，及此时，的值．5. 已知数集具有性质；对任意的，，与两数中至少有一个属于．（1）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；（2）证明：，且（3）当时若，求集合．参考答案与试题解析2016-2017学年上海市闵行区七宝中学高一（上）期中数学试卷一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，请在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.【答案】【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】阴影部分所表示的为在集合中但不在集合中的元素构成的部分，即在中且在的补集中．【解答】解：阴影部分所表示的为在集合中但不在集合中的元素构成的部分，即在中且在的补集中，故阴影部分所表示的集合可表示为.故答案为：.2.【答案】【考点】交集及其运算【解析】根据与交集的元素，确定出的值即可．【解答】解：集合，集合，，∴，且，∴，解得，当时，，，不满足，∴，故答案为：3.【答案】【考点】补集及其运算【解析】求出函数定义域的补集即可．【解答】解：∵函数的定义域是，∴；∴．故答案为：．4.【答案】【考点】交集及其运算【解析】构成方程组，即可求出交点，即可做出判断．【解答】解：由，解得或，∴，，则的元素个数是个，故答案为：5.【答案】【考点】基本不等式【解析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：，且，则，当且仅当时取等号，故答案为：．6.【答案】真【考点】命题的真假判断与应用【解析】写出原命题的逆否命题，通过逆否命题与原命题同真假判定．【解答】解：∵命题“若，则或”的逆否命题是：“若且，”，且为真命题”.又因为原命题与其逆否命题同真假，所以原命题为真命题．故答案为：真．7.【答案】【考点】函数的定义域及其求法【解析】由在已知函数定义域内求得的范围得答案．【解答】解：∵函数的定义域是，∴由，得．∴的定义域是．故答案为：．8.【答案】【考点】其他不等式的解法【解析】把所求不等式移项，通分合并后，判断不等于，转化为，根据解集的特点即可求出的值．【解答】解：不等式，整理得：，即：由不等式的解集判断，可化为，关于的不等式的解集是，由解集特点可知：，且，解得：．故答案为：．9.【答案】【考点】函数恒成立问题【解析】分离变量，通过的范围，求解的范围即可．【解答】解：关于的不等式在上有解，可得，，的最小值为：．可得．故答案为：．10.【答案】【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】分别表示出、中关于的范围，根据充分性和必要性列出不等式组，即可．【解答】记．记．∵是的充分非必要条件．∴∴或解不等式，得．∴实数的取值范围为．故填．11.【答案】①【考点】利用不等式比较两数大小【解析】根据不等式的基本性质判断即可．【解答】解：对于①，正确，对于②∵，∴，故②错误，对于③∵，∴，故③错误，对于④∵，∴，故④错误，故答案为：①12.【答案】【考点】分段函数的应用【解析】根据，建立关于的不等式，解之即【解答】解：定义实数运算，则，即，解得故答案为：，13.【答案】①②③④【考点】命题的真假判断与应用【解析】由“当时，有”可推得参数的值一定大于等于，符合条件的的值一定大于等于，小于等于，通过解出不等式组对四个命题逐个进行验证即可．【解答】解：由定义设非空集合满足：当时，有可知：符合定义的参数的值一定大于等于，符合条件的的值一定大于等于，小于等于，如此才能保证时，有即，再对各个命题进行判断：对于①，，故必有，可得，，故正确；②，，则，解得，故正确；③若，则，可解得，故正确；④若，则，可解得或，故正确．故答案为：①②③④.14.【答案】【考点】子集与交集、并集运算的转换【解析】可知，而根据及即可求出，而，都是集合的元素，从而得出，进而求出，从而得出，这样根据的范围即可得出的值．【解答】解：；∵，；∴；∴；又，都是集合的元素；∴；∴；∴，且；∴．故答案为：．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.请在答题纸的相应位置上填写正确答案的编号，选对得5分，否则一律得零分．1.【答案】B【考点】四种命题间的逆否关系【解析】利用否命题的定义写出结果即可．【解答】解：，，则命题“若，则且”的否命题是：，则，不都为．故选：．2.【答案】B【考点】函数的最值及其几何意义【解析】根据基本不等式的性质即可求出．【解答】解：，，，当且仅当时取等号，∴的最大值为故选：3.【答案】D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可．【解答】解：由不一定能推出恒成立，比如的时候，恒成立，不是充分条件，若关于的不等式在上恒成立，则且，不是必要条件，故选：．4.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】利用函数性质和交集定义求解．【解答】解：∵，集合，，记，，∴．故选：．三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．1.【答案】解：（1）集合，∵，解得：，，∴集合．（2）∵，方程，此时判别式，解得：无解，∴．当方程只有一个解：，此时判别式且，解得：；当方程只有一个解：，此时判别式且，解得：无解；当方程有两个解：，，解得：；经检验，或符合条件．故得实数的值为或．【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】（1）化简集合，列举元素表示集合．（2）根据，建立条件关系，讨论集合的元素，即可求实数的取值．【解答】解：（1）集合，∵，解得：，，∴集合．（2）∵，方程，此时判别式，解得：无解，∴．当方程只有一个解：，此时判别式且，解得：；当方程只有一个解：，此时判别式且，解得：无解；当方程有两个解：，，解得：；经检验，或符合条件．故得实数的值为或．2.【答案】当电价最低为时仍可保证电力部门的收益比上一年至少增长分．【考点】函数模型的选择与应用【解析】（1）设下调后的电价为元，依题意知用电量增至，求出电力部门的收益与实际电价的函数关系．（2），代入函数关系式，列出不等式组求解即可．【解答】解：（1）设下调后的电价为元，依题意知用电量增至，电力部门的收益为，．…分（2）依题意有整理得，解此不等式得答：当电价最低为时仍可保证电力部门的收益比上一年至少增长分．3.【答案】解：（1）∵，，都是正数，且，∴，所以；分证明：（2）∵，，都是正数，且，∴当且仅当取得等号，即分．【考点】不等式的证明【解析】（1）将两个式子作差变形，通过提取公因式，判断符号，得出大小关系；（2）利用配方法证明即可．【解答】解：（1）∵，，都是正数，且，∴，所以；分证明：（2）∵，，都是正数，且，∴当且仅当取得等号，即分．4.【答案】解：（1）依题意，，，解得，，∴分（2）若，则．依题意，，由①得，，由②得，或，所以，或为所求．…分（3）∵方程有一个根是，且、，∴，即，∵可得，设，，可得，，，，当且仅当，即时取等号．…分．【考点】根的存在性及根的个数判断函数的最值及其几何意义【解析】（1）利用不等式的解集，转化为方程的根，求解即可．（2）利用二次函数的性质，列出不等式组求解即可．（3）利用基本不等式转化求解函数的最值的即可．【解答】解：（1）依题意，，，解得，，∴分（2）若，则．依题意，，由①得，，由②得，或，所以，或为所求．…分（3）∵方程有一个根是，且、，∴，即，∵可得，设，，可得，，，，当且仅当，即时取等号．…分．5.【答案】解：（1）由于，，，，，，，都属于数集，∴该数集具有性质．由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质．（2）证明：令，，则∵ “与两数中至少有一个属于”，∴不属于，∴属于．令，那么是集合中某项，不行，是，可以．如果是或者，那么可知，那么，只能是等于了，矛盾．所以令可以得到，同理，令、，…，，可以得到，∴倒序相加即可得到．即．（3）当时，取，当时，，由具有性质，，又时，，∴，，，，，∵，∴，则，，，从而可得，，故，即，又∵，∴，则，则有．又∵，∴，即，，，，是首项为，公差为等差数列，∴．【考点】数列的求和【解析】（1）利用与两数中至少有一个属于．即可判断出结论．（2）令，，由“与两数中至少有一个属于”，可得属于．令，那么是集合中某项，不行，是，可以．同理可得：令可以得到，令、，…，，可以得到，倒序相加即可得到．（3）当时，取，当时，，由具有性质，，又时，，可得，，，，，，，则，，，又，可得，则，则有．可得，，，，是首项为，公差为等差数列．【解答】解：（1）由于，，，，，，，都属于数集，∴该数集具有性质．由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质．（2）证明：令，，则∵ “与两数中至少有一个属于”，∴不属于，∴属于．令，那么是集合中某项，不行，是，可以．如果是或者，那么可知，那么，只能是等于了，矛盾．所以令可以得到，同理，令、，…，，可以得到，∴倒序相加即可得到．即．（3）当时，取，当时，，由具有性质，，又时，，∴，，，，，∵，∴，则，，，从而可得，，故，即，又∵，∴，则，则有．又∵，∴，即，，，，是首项为，公差为等差数列，∴．。

上海市上海中学2016-2017学年高一上学期数学周练14Word版含答案

上海中学高一周练数学卷2016.12.22一. 填空题1.函数()f x =(0)x ≤的反函数是1()fx -= 2. 若4log 124x =，则x = 3. 函数2()lg(23)f x x x =--的递减区间是4. 函数21()12f x x =+(2)x <-的反函数是1()f x -= 5. 若函数6,2()3log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩(0a >且1)a ≠的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围是 6. 若函数()8x f x =的图像经过点1(,)3a ，则1(2)f a -+=7. 若函数24,3()(1)1,3x x f x a x x ⎧-≥=⎨-+<⎩存在反函数，则实数a 的取值范围为8. 如果log 41a b =-，则a b +的最小值为9. 若实数t 满足()f t t =-，则称t 是函数()f x 的一个次不动点，设函数()ln f x x =与反函数的所有次不动点之和为m ，则m =10. 设lg lg lg 111()121418x x x f x =+++++，则1()()f x f x+= 11. 设方程24x x +=的根为m ，方程2log 4x x +=的根为n ，则m n +=12. 对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y f x -=，且1([0,1))[1,2)f -=，1((2,4])[0,1)f -=，若方程 ()0f x x -=有解0x ，则0x =二. 选择题13. 如果23499log 3log 4log 5log 100x =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则x ∈（）A. (1,2)B. (2,3)C. (5,6)D. (6,7)14. 函数2x xe e y --=的反函数是（）A. 奇函数，在(0,)+∞上是减函数B. 偶函数，在(0,)+∞上是减函数C. 奇函数，在(0,)+∞上是增函数D. 偶函数，在(0,)+∞上是增函数15. 已知函数()f x 为R 上的单调函数，1()f x -是它的反函数，点(1,3)A -和点(1,1)B 均在函数()f x 的图像上，则不等式1|(2)|1x f -<的解集为（）A. (1,1)-B. (1,3)C. 2(0,log 3)D.2(1,log 3)16. 设,,0x y z >，且12xyz y z ++=，则422log log log x y z ++的最大值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6三. 解答题17. 已知910390x x -⨯+≤，求函数111()4()242x x y -=-+的最大值和最小值；18. 给定实数a ，0a ≠且1a ≠，设函数11x y ax -=-；（1）求证：经过这个函数图像上的任意两个不同的点的直线不平行于x 轴；（2）判断此函数的图像是否关于直线y x =对称，说明你的理由；19. 作出下列函数的大致图像；（1）3|log |||y x =；（2）12log (24)y x =+；20. 设a 是实数，函数()4|2|x xf x a =+-；（1）求证： ()f x 不是奇函数；（2）当0a >时，求()f x 的值域；21. 设函数()n n f x x bx c =++，*n N ∈，b 、c R ∈；（1）设2n ≥，1b =，1c =-，证明：()n f x 在区间1(,1)2内存在唯一的零点；（2）设2n =，若对任意12,[1,1]x x ∈-，有2122|()()|4f x f x -≤，求b 的取值范围；参考答案一. 填空题1. 2x -(0)x ≤2.116 3. (,1)-∞- 4. (3)x > 5. (1,2] 6. 237. (1,2] 8. 1 9. 0 10. 3 11. 4 12. 2二. 选择题13. D 14. C 15. C 16. A三. 解答题17. max ()(0)2f x f ==，min ()(1)1f x f ==；18.（1）略；（2）1()()f x f x -=，是； 19. 略；20.（1）略；（2）当102a <<，值域为2[,)a +∞；当12a ≥，值域为1[,)4a -+∞； 21.（1）单调递增，1()02n f <，(1)0n f >；（2）[2,2]-；。

2016-2017学年上海市金山中学高一(上)期中数学试卷

2016-2017学年上海市金山中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1. 若全集，且，则集合________．2. 已知集合，，则________．3. 函数，，则________．4. 函数的定义域为________．5. 设函数，若，则实数________．6. 若，则不等式的解集为________．7. 已知，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是________．8. 若关于的不等式的解集为，则________．9. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是________．10. 已知集合，，若，则实数的取值范围是________．11. 设函数，若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是________．12. 满足不等式的实数的集合叫做的邻域，若的邻域是一个关于原点对称的区间，则的取值范围是________．二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.1. 若集合中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不可能是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形2. 设取实数，则与表示同一个函数的是（）A.，B.，C.，D.，3. 若和均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是（）A. B.C.D.4. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有（）A.个B.个C.个D.个三、（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.1. 解不等式组．2. 已知集合，，若，，求的值．3. 已知集合，集合，求．4. 我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形的空地上修建一个占地面积为（平方米）的矩形健身场地．如图，点在上，点在上，且点在斜边上．已知，米，米，．设矩形健身场地每平方米的造价为元，再把矩形以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（为正常数）．（1）试用表示，并求的取值范围；（2）求总造价关于面积的函数；（3）如何选取，使总造价最低（不要求求出最低造价）．5. 设函数，函数，其中为常数且，令函数．（1）求函数的表达式，并求其定义域；（2）当时，求函数的值域；（3）是否存在自然数，使得函数的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，试说明理由．参考答案与试题解析2016-2017学年上海市金山中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1.【答案】【考点】补集及其运算【解析】根据题意，由补集的性质，，计算可得答案．【解答】解：根据题意，全集，且，，故答案为：．2.【答案】【考点】交集及其运算【解析】求出中不等式的解集确定出，找出与的交集即可．【解答】解：由中不等式变形得：，解得：，即，∵，∴，故答案为：．3.【答案】，（）【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】由题意函数，，直接求解即可．注意定义域范围．【解答】解：由题意函数，，那么：，∵，∴∴答案为，（）4.【答案】【考点】函数的定义域及其求法【解析】利用分式分母不为零，偶次方根非负，得到不等式组，求解即可．【解答】解：由题意解得故答案为：5.【答案】或【考点】求函数的值【解析】根据解析式分类讨论的范围，代入对应的解析式，列出方程进行求解．【解答】解：①当时，，∴，又∴，②当时，，∴，故答案为：或．6.【答案】【考点】其他不等式的解法【解析】通过的范围判断两个因式的根的大小，利用二次不等式的解法得到结果即可．【解答】解：∵，∴，则不等式的解集就是的解集，即：．故答案为：．7.【答案】【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据充分不必要条件的定义建立条件关系即可得到结论．【解答】解：由得或，若是的充分不必要条件，则，故答案为：8.【答案】【考点】绝对值不等式的解法【解析】分、、三种情况，分别去掉绝对值求得不等式的解集，再把求得的解集和所给的解集作对比，从而求得的值，综合可得结论．【解答】解：显然，不满足条件．当时，由关于的不等式可得，解得，再根据的解集为，∴，无解．当时，由关于的不等式可得，解得，再根据的解集为，∴，解得，故答案为：．9.【答案】【考点】一元二次不等式的解法【解析】根据题意，讨论的取值，是否满足不等式的解集为即可．【解答】解：∵关于的不等式的解集为，∴时，，不等式不成立，满足题意；时，，不等式的解集不为空集，不满足题意；时，，当时，即，解得：，满足题意；综上，实数的取值范围是．故答案为：．10.【答案】【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】由题意知，对的正负进行分类讨论，写出集合，再由子集的定义求出的取值范围即可．【解答】解：由题意知，则，当时，，∵，∴解得，当时，，∵，∴解得，当时也有．综上，实数的取值范围是故答案为．11.【答案】【考点】函数恒成立问题【解析】表示数轴上的对应点到对应点的距离减去它到对应点的距离，其最小值为，故有，由此求得的取值范围．【解答】解：∵函数，不等式对任意实数恒成立，∴，而表示数轴上的对应点到对应点的距离减去它到对应点的距离，其最小值为，故有，故答案为12.【答案】【考点】基本不等式【解析】先根据条件求出；再结合而邻域是一个关于原点对称的区间域得到，再构造函数，利用导数求出函数的值域．【解答】解：∵的邻域在数轴上表示以为中心，为半径的区域，∴，而邻域是一个关于原点对称的区间域，可得．，设，且∴当是，解得，且，当是，解得或，且，∴函数在，上单调递增，函数在，，上单调递减，∴当时，函数有极大值，即，当时，函数有极小值，即，∴的值域为．故则的取值范围是．二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.1.【答案】D【考点】集合的确定性、互异性、无序性【解析】根据集合元素的互异性可得，三个元素互不相等，该三角形一定不可能是等腰三角形．【解答】解：若集合中三个元素为边可构成一个三角形，则由集合元素的互异性可得，三个元素互不相等，故该三角形一定不可能是等腰三角形，故选：2.【答案】B【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】根据确定函数的三要素判断每组函数是否为同一个函数，即需要确定每组函数的定义域、对应关系、值域是否相同，也可只判断前两项是否相同即可确定这两个函数是否为同一个函数．【解答】解：组中两函数的定义域相同，对应关系不同，，故中的两函数不为同一个函数；组中两函数的定义域均为所有正数构成的集合，对应关系化简为，故中的两函数是同一个函数；组中两函数的定义域不同，的定义域为，的定义域为，故中的两函数不为同一个函数；组中两函数的定义域不同，的定义域为，的定义域由不等于的实数构成，故中的两函数不为同一个函数．故选．3.【答案】A【考点】基本不等式【解析】利用基本不等式的使用法则“一正二定三相等”即可判断出．【解答】解：．∵，∴，正确；．不成立；．，且与异号不成立；．不成立．故选：．4.【答案】D【考点】函数的表示方法函数的定义域及其求法函数的值域【解析】读懂“孪生函数”的定义本题就很简单了，所谓的“孪生函数”无非就是利用相同的函数值和相同的解析式解个方程罢了．【解答】解：令得，令得，使得函数值为的有三种情况，即，，，使得函数值为的也有三种情况，即，，，则“孪生函数”共有个．故选．三、（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.1.【答案】解：∵由原不等式组∴原不等式组的解集为【考点】其他不等式的解法【解析】解好不等式组里边每一个不等式，最后取其交集即可．【解答】解：∵由原不等式组∴原不等式组的解集为2.【答案】解：由题意得，，代入中方程得，故，由和得：，代入中方程得：，所以．【考点】交集及其运算【解析】由题意得，，求出，从而求出，进而求出，，由此能求出的值．【解答】解：由题意得，，代入中方程得，故，由和得：，代入中方程得：，所以．3.【答案】解：，故，解得或，集合，对分类：当时恒成立；当时，，解得综合得：故．【考点】交集及其运算【解析】由集合利用根的判别式求出或，由集合，对分类：当时恒成立；当时，由得根的判别式求出，由此能求出．【解答】解：，故，解得或，集合，对分类：当时恒成立；当时，，解得综合得：故．4.【答案】选取的长为米或米时总造价最低．【考点】函数的最值及其几何意义函数解析式的求解及常用方法求函数的值【解析】（1）由解直角三角形，可得矩形的面积，，运用二次函数的最值求法，可得值域；（2）由三角形的面积和题意可得总造价，即可得到所求；（3）运用基本不等式，计算即可得到所求或．【解答】解：（1）在中，显然，，∴，矩形的面积，，由，当时，可得最大值为，当或时，取得最小值，于是为所求．（2）矩形健身场地造价，又的面积为，即草坪造价，由总造价，∴，．（3）∵，当且仅当即时等号成立，此时，解得或，答：选取的长为米或米时总造价最低．5.【答案】解：（1），其定义域为；（2）令，则且∴∴∵在上递减，在上递增，∴在上递增，即此时的值域为（3）令，则且∴∵在上递减，在上递增，∴在上递增，上递减，时的最大值为，∴，又时∴由的值域恰为，由，解得：或即的值域恰为时，所求的集合为．【考点】函数的定义域及其求法函数的值域【解析】（1）求出函数的表达式，由，的定义域求解函数的定义域．（2）当时，函数的定义域即可确定，利用换元和基本不等式求最值即可；（3）结合（2）利用函数的值域求出关于的表达式，求出的范围即可．【解答】解：（1），其定义域为；（2）令，则且∴∴∵在上递减，在上递增，∴在上递增，即此时的值域为（3）令，则且∴∵在上递减，在上递增，∴在上递增，上递减，时的最大值为，∴，又时∴由的值域恰为，由，解得：或即的值域恰为时，所求的集合为．。

2016-2017学年上海市上海中学高一上学期期中考试数学试卷含详解

上海中学高一期中数学卷1.设集合{}0,2,4,6,8,10A =，{}4,8B =，则A B =ð_______________.2.已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B ＝________.3.“若1x =且1y =，则2x y +=”的逆否命题是________4.若2211(f x x x x +=+，则(3)f =________5.不等式9x x >的解是________6.若不等式2(1)0ax a x a +++<对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________7.不等式2(3)30x --<的解集是________8.已知集合{|68}A x x =-≤≤，{|}B x x m =≤，若A B B ≠ 且A B ⋂≠∅，则m 的取值范围是________9.不等式1()()25a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为________10.设0a >，0b >，且45ab a b =++，则ab 的最小值为________11.若函数()22()42221f x x p x p p =----+在区间[]1,1-上至少存在一个实数c ，使()0f c >，则实数p 的取值范围为________.12.已知,a b 为正实数，且2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为___________．13.不等式||x x x <的解集是（）A.{|01}x x << B.{|11}x x -<<C.{|01x x <<或1}x <- D.{|10x x -<<或1}x >14.若A B ⊆，A C ⊆，{0,1,2,3,4,5,6}B =，{0,2,4,6,8,10}C =，则这样的A 的个数为（）A.4 B.15 C.16 D.3215.不等式210ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b -=（）A.7-B.7C.5- D.516.已知函数f(x)=x 2+bx ，则“b ＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件17.解不等式：（1）|2||23|4x x -+-<；（2）2232x x x x x -≤--；18.已知,,,a b c d R ∈，证明下列不等式：（1）22222()()()a b c d ac bd ≥+++；（2）222a b c ab bc ca ++≥++；19.已知二次函数2()1f x ax bx =++，,a b ∈R ，当1x =-时，函数()f x 取到最小值，且最小值为0；（1）求()f x 解析式；（2）关于x 的方程()|1|3f x x k =+-+恰有两个不相等的实数解，求实数k 的取值范围；20.设关于x 的二次方程2(1)10px p x p +-++=有两个不相等的正根，且一根大于另一根的两倍，求p 的取值范围；21.已知二次函数2()f x ax bx c =++(0)a ≠，记[2]()(())f x f f x =，例：2()1f x x =+，则[2]222()(())1(1)1f x f x x =+=++；（1）2()f x x x =-，解关于x 的方程[2]()f x x =；（2）记2(1)4b ac ∆=--，若[2]()f x x =有四个不相等的实数根，求∆的取值范围；上海中学高一期中数学卷1.设集合{}0,2,4,6,8,10A =，{}4,8B =，则A B =ð_______________.【答案】{}0,2,6,10【分析】利用补集的定义可得出集合A B ð.【详解】集合{}0,2,4,6,8,10A =，{}4,8B =，因此，{}0,2,6,10A B =ð.故答案为：{}0,2,6,10.【点睛】本题考查补集的计算，熟悉补集的定义是计算的关键，考查计算能力，属于基础题.2.已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B ＝________.【答案】{-101}，，【分析】化简集合A ，由交集运算即可求解.【详解】因为{|22}A x x =-<<，所以A B ⋂＝{1,0,1}-，故填{1,0,1}-.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于中档题.3.“若1x =且1y =，则2x y +=”的逆否命题是________【答案】若2x y +≠，则1x ≠或1y ≠【分析】根据已知中的原命题及逆否命题的定义，可得答案．【详解】解：“若1x =且1y =，则2x y +=”的逆否命题是“若2x y +≠，则1x ≠或1y ≠”，故答案为：“若2x y +≠，则1x ≠或1y ≠”【点睛】本题考查的知识点是四种命题，熟练掌握逆否命题的定义，是解答的关键，属于基础题．4.若2211(f x x x x +=+，则(3)f =________【答案】7【分析】利用换元法求出函数的解析式，然后求解函数值即可．【详解】解：2221112f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，因为当0x >时，12x x +≥=；当0x <时，112x x x x ⎛⎫+=--+≤-=- ⎪-⎝⎭；所以2()2f x x =-，(][),22,x ∈-∞-+∞ ，则()37f =．故答案为：7．【点睛】本题考查函数的解析式的求法，函数值的求法，考查计算能力，属于基础题．5.不等式9x x>的解是________【答案】(3,0)(3,)-⋃+∞【分析】首先通分化简分式不等式，最后化简为整式不等式，利用穿根法解答即可．【详解】解：原不等式等价于290x x->等价于(3)(3)0x x x +->，数轴标根，穿针引线得如下图形：则原不等式的解30x -<<或3x >即不等式的解集为(3,0)(3,)-⋃+∞；故答案为：(3,0)(3,)-⋃+∞；【点睛】本题考查了分式不等式的解法；关键是转化为整式不等式解之；运用穿根法使得解集易得，属于中档题．6.若不等式2(1)0ax a x a +++<对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________【答案】1(,3-∞-【分析】若不等式2(1)0ax a x a +++<对一切x ∈R 恒成立，则220(1)40a a a <⎧⎨∆=+-<⎩，解得a 的取值范围．【详解】解：若不等式2(1)0ax a x a +++<对一切x ∈R 恒成立，当0a =时，0x <，不满足条件；则220(1)40a a a <⎧⎨∆=+-<⎩，解得：13a <-，即1,3a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，故答案为：1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查的知识点是函数恒成立问题，二次函数的图象和性质，转化思想，属于中档题．7.不等式2(3)30x --<的解集是________【答案】(0,6)t =，则原不等式化为2230t t --<，(0)t ，解关于t 的不等式，然后解出x 范围．t =，(0)t ，则原不等式化为2230t t --<，解得13t -<<所以03t ≤<，即[)0,3t ∈[)0,3，所以2(3)9x -<，解得333x -<-<，所以06x <<，故原不等式的解集为()0,6；故答案为：()0,6．【点睛】本题考查了利用换元法解不等式，属于基础题．8.已知集合{|68}A x x =-≤≤，{|}B x x m =≤，若A B B ≠ 且A B ⋂≠∅，则m 的取值范围是________【答案】[6,8)-【分析】根据集合的并集和集合的交集得到关于m 的不等式组，解出即可．【详解】解：{|68}A x x =-，{|}B x x m =，若A B B ≠ 且A B ⋂≠∅，则68m m -⎧⎨<⎩，解得68m -≤<，即[)6,8m ∈-故答案为：[)6,8-．【点睛】本题考查了集合的交集、并集的定义，属于基础题．9.不等式1()()25a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为________【答案】16【分析】利用基本不等式进行求解，先求出()1a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为)21+，然后解不等式即可．【详解】解：())211111a y ax x y a a a x y x y ⎛⎫++=+++++++ ⎪⎝⎭，当且仅当y ax x y =时取等号，即()1a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为)21+，若不等式()125a x y x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭对任意正实数x ，y 恒成立，)2125∴+，即154，则16a ，即正实数a的最小值为16，故答案为：16．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式先求出()1a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为)21+是解决本题的关键，属于中档题．10.设0a >，0b >，且45ab a b =++，则ab 的最小值为________【答案】25【分析】利用基本不等式可将45ab a b =++转化为ab 的不等式，求解不等式可得ab 的最小值．【详解】解：0a > ，0b >，45a b ab ∴++=，可得55ab +=+，当且仅当4a b =时取等号．)150∴+，∴51-（舍去）．25ab ∴．故ab 的最小值为25；故答案为：25．【点睛】本题考查基本不等式，将212ab a b =++转化为不等式是关键，考查等价转化思想与方程思想，属于中档题.11.若函数()22()42221f x x p x p p =----+在区间[]1,1-上至少存在一个实数c ，使()0f c >，则实数p 的取值范围为________.【答案】3(3,2-【分析】直接计算，需分多种情况讨论，故先求题干的否定，即对于区间[]1,1-上任意一个x ，都有()0f x ≤，只需满足(1)0(1)0f f ≤⎧⎨-≤⎩，列出不等式组，求解即可得答案.【详解】函数()f x 在区间[]1,1-上至少存在一个实数c ，使()0f c >的否定为：对于区间[]1,1-上任意一个x ，都有()0f x ≤，则(1)0(1)0f f ≤⎧⎨-≤⎩，即2242(2)21042(2)210p p p p p p ⎧----+≤⎨+---+≤⎩，整理得222390210p p p p ⎧+-≥⎨--≥⎩，解得32p ≥或3p ≤-，所以函数()f x 在区间[]1,1-上至少存在一个实数c ，使()0f c >的实数p 的取值范围是3(3,)2-.故答案为：3(3,)2-【点睛】本题考查二次方程根的分布与系数的关系，解题的要点在于求解题干的否定，再求得答案，考查分析理解，求值计算的能力，属中档题.12.已知,a b 为正实数，且2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为___________．【答案】63+【详解】试卷分析：因为,a b 为正实数，且2a b +=，所以22222112121(1)111111a b b a a b a b a b b a b a b +-+=+++=++-+=++++++[]()2+121(1)121111(1)=1+3+133131b a b a a b a b a b a b ⎡⎤++⎛⎫⎛⎫++=+++++⎢⎥ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦(161333+≥++=当且仅当()2+11b a a b =+即1)a b =+时取等号，所以2221a b a b +++的最小值为63+．考点：基本不等式．【名师点睛】本主要考查基本不等式的应用以及构造基本不等式的拆项、拼凑等基本方法，属难题．第一难点是将2221a b a b +++正确拆分为2111a b +++形式，第二难点是211a b ++乘以(1)3a b ++进行变形拼凑基本不等式()2+11b a a b ++的形式，最后利用基本不等式求最小值时还得注意应用基本不等式的条件，即保证两个数均为正数、乘积为定值且能取到等号，得到正确结果．13.不等式||x x x <的解集是（）A.{|01}x x << B.{|11}x x -<<C.{|01x x <<或1}x <- D.{|10x x -<<或1}x >【答案】C【分析】原不等式即()||10x x -<，等价转化为①010x x >⎧⎨-<⎩，或②010x x <⎧⎨->⎩．分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．【详解】解：不等||x x x <，即()||10x x -<，∴①010x x >⎧⎨-<⎩或②010x x <⎧⎨->⎩．解①可得01x <<，解②可得1x <-．把①②的解集取并集，即得原不等式的解集为{|01x x <<或1}x <-，故选：C ．【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论和等价转化的数学思想，属于中档题．14.若A B ⊆，A C ⊆，{0,1,2,3,4,5,6}B =，{0,2,4,6,8,10}C =，则这样的A 的个数为（）A.4B.15C.16D.32【答案】C【分析】利用A B ⊆，A C ⊆，可得()A B C ⊆ ，求出B C ⋂，即可得出结论．【详解】解：A B ⊆ ，A C ⊆，()A B C ∴⊆ ，{0,1,2,3,4,5,6}B = ，{0,2,4,6,8,10}C =，{}0,2,4,6B C ∴= ，则B C ⋂的子集有4216=个；A ∴的个数为16，故选：C ．【点睛】本题考查集合的运算与关系，考查学生的计算能力，属于基础题．15.不等式210ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b -=（）A.7- B.7 C.5- D.5【答案】C【分析】根据不等式的解集构造不等式，化简后于已知得不等式对比即可求出a 与b 的值，进而求出-a b 的值．【详解】解：由不等式210ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，构造不等式11023x x ⎛⎫⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：2610x x +-<，即2610x x --+>，与210ax bx ++>对比得：6a =-，1b =-，则615a b -=-+=-，故选：C ．【点睛】此题考查学生理解不等式解集的意义，会根据解集构造不等式，属于基础题．16.已知函数f(x)=x 2+bx ，则“b ＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【详解】试卷分析：由题意知222()()24b b f x x bx x =+=+-，最小值为24b -．令2=+t x bx ，则2222(())()(),244b b b f f x f t t bt t t ==+=+-≥-，当0b <时，(())f f x 的最小值为24b -，所以“0b <”能推出“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”；当0b =时，4(())=f f x x 的最小值为0，()f x 的最小值也为0，所以“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”不能推出“0b <”．故选A ．考点：充分必要条件．17.解不等式：（1）|2||23|4x x -+-<；（2）2232x x x x x -≤--；【答案】（1）1(,3)3；（2）(1,0]{1}(2,)-+∞ 【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出各个区间上的x 的范围，从而求出不等式的解集即可；（2）通过讨论x 的范围得到10x -=或0(2)(2)0x x x ⎧⎨-+>⎩或0(2)(1)0x x x <⎧⎨-+<⎩，解出即可．【详解】解：（1）因为|2||23|4x x -+-<当2x 时，2234x x -+-<，解得：3x <，即23x ≤<；当322x <<时，2234x x -+-<，解得：4x <，即322x <<；当32x时，2324x x -+-<，解得：13x >，即1332x <≤；综上可得不等式的解集是：1|33x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭即1,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2） 2232x x x x x ---，∴2(1)0(2)(1)x x x x --+，10x ∴-=或0(2)(2)0x x x ⎧⎨-+>⎩或0(2)(1)0x x x <⎧⎨-+<⎩解得：10x -<或1x =或2x >，故不等式的解集是{}(1,0]1(2,)-+∞ ．【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查解分式不等式以及分类讨论思想，属于中档题．18.已知,,,a b c d R ∈，证明下列不等式：（1）22222()()()a b c d ac bd ≥+++；（2）222a b c ab bc ca ++≥++；【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）根据不等式的左边减去右边化简结果为2()0ad bc -，可得不等式成立；（2）从不等式的左边入手，左边对应的代数式的二倍，分别写成两两相加的形式，在三组相加的式子中分别用均值不等式，整理成最简形式，得到右边的2倍，两边同时除以2，得到结果．【详解】（1）证明：22222()()()a b c d ac bd ++-+ ()()2222222222222a c a d b c b d a c abcd b d =+++-++()20ad bc =-，22222()()()a b c d ac bd ∴+++成立；（2）因为222a b ab +≥，222a c ac +≥，222c b cb +≥，当且仅当a b c ==时取等号；所以222a b c ++2222221()2a b c a b c =+++++1(222)2ab ca bc ab bc ca ++=++，当且仅当a b c ==时取等号；222a b c ab bc ca ∴++++．【点睛】本题主要考查用比较法证明不等式，考查均值不等式的应用，考查不等式的证明方法，把差变为因式乘积的形式，是解题的关键，属于中档题．19.已知二次函数2()1f x ax bx =++，,a b ∈R ，当1x =-时，函数()f x 取到最小值，且最小值为0；（1）求()f x 解析式；（2）关于x 的方程()|1|3f x x k =+-+恰有两个不相等的实数解，求实数k 的取值范围；【答案】（1）2(1)2f x x x =++；（2）3k <或134k =；【分析】（1）根据函数的对称轴和函数的最值，即可求出函数的解析式，（2）设|1|x t +=，0t ，得到230t t k -+-=，由x 的方程()|1|3f x x k =+-+恰有两个不相等的实数解，得到关于t 的方程由两个相等的根或有一个正根，解得即可．【详解】解：（1）1x =-时，函数()f x 取到最小值，且最小值为0，12b a∴-=-，(1)10f a b -=-+=，解得1a =，2b =，2()21f x x x ∴=++，（2）()|1|3f x x k =+-+，221|1|3x x x k ∴++=+-+，即2(1)|1|3x x k +=+-+，设|1|x t +=，0t ，230t t k ∴-+-=，x 的方程()|1|3f x x k =+-+恰有两个不相等的实数解，∴关于t 的方程由两个相等的根或有一个正根，∴14(3)0k ∆=--=或14(3)030k k ∆=-->⎧⎨-<⎩解得134k =或3k <，故有k 的取值范围为13{|4k k =或3}k <【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及参数的取值范围，关键是换元，属于中档题．20.设关于x 的二次方程2(1)10px p x p +-++=有两个不相等的正根，且一根大于另一根的两倍，求p 的取值范围；【答案】107p <<【分析】根据根与系数的关系和判别式即可求出p 的范围．【详解】解：关于x 的二次方程2(1)10px p x p +-++=有两个不相等的正根，则22(1)4(1)3610p p p p p ∆=--+=--+>，解得23231133p --<<-+，当1210p x x p -+=>，及1210p x x p +=>时，方程的两根为正，解得01p <<．故013p <<-．记1x =2x =，由212x x >，并注意0p >，得10p >->，2285280p p ∴+-<，即271320p p +-<．127p ∴-<<．综上得p 的取值范围为1|07p p ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于中档题．21.已知二次函数2()f x ax bx c =++(0)a ≠，记[2]()(())f x f f x =，例：2()1f x x =+，则[2]222()(())1(1)1f x f x x =+=++；（1）2()f x x x =-，解关于x 的方程[2]()f x x =；（2）记2(1)4b ac ∆=--，若[2]()f x x =有四个不相等的实数根，求∆的取值范围；【答案】（1）0x =或2x =；（2）4∆>【分析】（1）根据新类型的定义，求解[2]()f x ，再解方程即可．（2）换元思想，根据新类型的定义：(())f f x x =，令()f x x t -=，则()f x t x -=，()f x t x =+，则有：()()f t x f x t +=-．带入二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，求出t ，t 又是二次函数的值，即2ax bx c t ++=函数必有两个根，0∆>．化简可得2(1)4b ac --的取值范围．【详解】解：（1）由题意：当2()f x x x =-时，则：[2]22243()()()2f x x x x x x x x =---=-+；那么：[2]()f x x =；即：432x x x x -+=；解得：0x =或2x =．（2）根据新类型的定义：(())f f x x =，令()f x x t -=，则()f x t x -=，()f x t x =+，则有：()()f t x f x t +=-．即22()()a t x b t x c ax bx c t ++++=++-，化简可得：2(21)0at ax b t +++=，解得：0t =或21ax b t a++=-．当0t =时，即2ax bx c x ++=，有两个不相同的实数根，可得2(1)40b ac -->．当21ax b t a ++=-时，221ax b ax bx c x a ++++=+，整理可得：21(1)0b ax b x c a+++++=，∴2221(1)4()(1)44(1)(1)44b b a c b ac b b ac a +∆=+-+=+-++=--- 有两个不相同的实数根0∆>．2(1)440b ac ∴--->，即2(1)44b ac -->．综上所得2(1)4b ac ∆=--的取值范围是(4,)+∞．【点睛】本题考查了新定义的应用和理解，反函数的利用和构造思想．换元的代换是解决此题的关键．属于难题．。

2016-2017学年上海市闵行区七宝中学高一上学期期中数学试卷和解析

2016-2017学年上海市闵行区七宝中学高一（上）期中数学试卷一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，请在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）如图，I是全集，A，B是I的子集，则阴影部分表示的集合是．2．（4分）已知集合A={9，2﹣x，x2+1}，集合B={1，2x2}，若A∩B={2}，则x 的值为．3．（4分）函数f（x）=的定义域是M，则∁R M．4．（4分）已知A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|x+y=1}，则A∩B的元素个数是．5．（4分）已知x，y＞0且x+y=1，则xy的最大值是．6．（4分）已知x，y∈R，命题“若x+y≥5，则x≥3或y≥2”是命题（填“真”或“假”）．7．（4分）已知函数f（x）的定义域是[1，5]，则f（2x﹣1）的定义域是．8．（4分）若关于x的不等式＜2的解集是（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞），则实数a的值是．9．（4分）若关于m的不等式x+3m+5＞0在m∈[1，3]上有解，则实数x的取值范围是．10．（4分）设α：x2﹣8x+12＞0，β：|x﹣m|≤m2，若β是α的充分非必要条件，则实数m的取值范围是．11．（4分）若b＜a＜0，则下列结果①a+b＜ab；②|a|＞|b|；③＞0；④表达式最小值为2中，正确的结果的序号有．12．（4分）定义实数运算x*y=，则|m﹣1|*m=|m﹣1|，则实数m的取值范围是．13．（4分）设非空集合s={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有y=x2∈S．给出如下四个命题：①若m=1，则S={1}；②若m=﹣，则≤l≤1；③若l=，则﹣≤m≤0．④若l=1，则﹣1≤m≤0或m=1．其中正确命题的是．14．（4分）对于任意两个正实数a，b，定义a*b=λ×．其中常数λ∈（，1），“×”是通常的实数乘法运算，若a≥b＞0，a*b与b*a都是集合{x|x=，n∈Z}中的元素，则a*b=．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.请在答题纸的相应位置上填写正确答案的编号，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）已知x，y∈R，则命题“若x2+y2=0，则x=0且y=0”的否命题是（）A．若x2+y2≠0，则x，y都不为0． B．若x2+y2≠0，则x，y不都为0．C．若x2+y2≠0，则x≠0且y≠0 D．若x2+y2≠0，则x=0且y=016．（5分）已知x，y＞0，那么的最大值为（）A．2 B．C．3 D．17．（5分）已知a，b，c∈R，则“b2﹣4ac＜0”是“关于x的不等式ax2+bx+c＜0在R上恒成立”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件18．（5分）已知f（n）=2n+1（n∈N*），集合A={1，2，3，4，5}，B={3，4，5，6，7}，记f（A）={n|f（n）∈A}，f（B）={m|f（m）∈B}，f（A）∩f（B）=（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．{3，5}D．{3，5，7}三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）设集合A={x|x2+3x+2=0}，B={x|x2+（m+1）x+m=0}（1）用列举法表示集合A（2）若B⊆A，求实数m的值．20．（14分）某地区上年度电价为0.8元/kW•h，年用电量为akW•h，本年度计划将电价降到0.55 元/kW•h至0.75元/kW•h之间，而用户期待电价为0.4元/kW•h，下调电价后新增加的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K），该地区的电力成本为0.3元/kW•h．（注：收益=实际用电量×（实际电价﹣成本价）），示例：若实际电价为0.6元/kW•h，则下调电价后新增加的用电量为元/kW•h）（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系；（2）设K=0.2a，当电价最低为多少仍可保证电力部门的收益比上一年至少增长20%？21．（14分）已知a，b，c都是正数，（1）若a+c=1，试比较a3+a2c+ab2+b2c与a2b+abc的大小；（2）若a2+b2+c2=1，求证：﹣≥3．22．（16分）已知函数f（x）=3x2﹣2ax﹣b，其中a，b是实数．（1）若不等式f（x）≤0的解集是[0，6]，求a b的值；（2）若b=3a，对任意x∈R，都有f（x）≥0，且存在实数x，使得f（x）≤2﹣a，求实数a的取值范围；（3）若方程有一个根是1，且a，b＞0，求的最小值，及此时a，b 的值．23．（18分）已知数集A={a1，a2…a n}（0≤a1＜a2…＜a n，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i+a j与a j﹣a i两数中至少有一个属于A．（1）分别判断数集{0，1，3，4}与{0，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a1=0，且na n=2（a1+a2+a+..+a n）（3）当n=5时若a2=2，求集合A．2016-2017学年上海市闵行区七宝中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，请在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）如图，I是全集，A，B是I的子集，则阴影部分表示的集合是A∩（∁B）．I【解答】解：阴影部分所表示的为在集合A中但不在集合B中的元素构成的部分，即在A中且在B的补集中，故阴影部分所表示的集合可表示为A∩（∁I B），故答案为：A∩（∁I B）2．（4分）已知集合A={9，2﹣x，x2+1}，集合B={1，2x2}，若A∩B={2}，则x 的值为﹣1．【解答】解：集合A={9，2﹣x，x2+1}，集合B={1，2x2}，A∩B={2}，∴2∈A，且2∈B，∴2x2=2，解得x=±1，当x=1时，A={9，1，2}，B={1，2}，不满足A∩B={2}，∴x=﹣1，故答案为：﹣13．（4分）函数f（x）=的定义域是M，则∁R M=（0，）．【解答】解：∵函数f（x）=的定义域是M，∴M={x|x（2x﹣1）≥0，x∈R}；∴∁R M={x|x（2x﹣1）＜0，x∈R}={x|0＜x＜，x∈R}=（0，）．故答案为：（0，）．4．（4分）已知A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|x+y=1}，则A∩B的元素个数是2．【解答】解：由，解得或，∴A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|x+y=1}，则A∩B的元素个数是2个，故答案为：25．（4分）已知x，y＞0且x+y=1，则xy的最大值是．【解答】解：x，y＞0且x+y=1，则xy≤（）2=，当且仅当x=y=时取等号，故答案为：．6．（4分）已知x，y∈R，命题“若x+y≥5，则x≥3或y≥2”是真命题（填“真”或“假”）．【解答】解：∵命题“若x+y≥5，则x≥3或y≥2”的逆否命题是：“若x＜2且y ＜3，x+y＜5”，且为真命题‘又因为原命题与其逆否命题同真假，所以原命题为真命题．故答案为：真．7．（4分）已知函数f（x）的定义域是[1，5]，则f（2x﹣1）的定义域是[1，3] ．【解答】解：∵函数f（x）的定义域是[1，5]，∴由1≤2x﹣1≤5，得1≤x≤3．∴f（2x﹣1）的定义域是[1，3]．故答案为：[1，3]．8．（4分）若关于x的不等式＜2的解集是（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞），则实数a的值是．【解答】解：不等式＜2，整理得：，即：由不等式的解集判断a≠2，可化为[（a﹣2）x﹣（2a+6）]（x+3）＜0，关于x的不等式＜2的解集是（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞），由解集特点可知：a﹣2＜0，且，解得：a=．故答案为：．9．（4分）若关于m的不等式x+3m+5＞0在m∈[1，3]上有解，则实数x的取值范围是x＞﹣14．【解答】解：关于m的不等式x+3m+5＞0在m∈[1，3]上有解，可得x＞﹣5﹣3m，m∈[1，3]，﹣5﹣3m的最小值为：﹣14．可得x＞﹣14．故答案为：x＞﹣14．10．（4分）设α：x2﹣8x+12＞0，β：|x﹣m|≤m2，若β是α的充分非必要条件，则实数m的取值范围是﹣2＜m＜1．【解答】记A={x|x2﹣8x+12＞0}={x|x＜2或x＞6}．记B={x||x﹣m|≤m2}={x|m﹣m2≤x≤m2+m}．∵β是α的充分非必要条件．∴B⊊A∴m2+m＜2或m﹣m2＞6解不等式，得﹣2＜m＜1．∴实数m的取值范围为﹣2＜m＜1．故填﹣2＜m＜1．11．（4分）若b＜a＜0，则下列结果①a+b＜ab；②|a|＞|b|；③＞0；④表达式最小值为2中，正确的结果的序号有①．【解答】解：对于①a+b＜ab，正确，对于②∵b＜a＜0，∴|b|＞|a|，故②错误，对于③∵b＜a＜0，∴＜＜0，故③错误，对于④∵b＜a＜0，∴＞2，故④错误，故答案为：①12．（4分）定义实数运算x*y=，则|m﹣1|*m=|m﹣1|，则实数m 的取值范围是（﹣∞，] ．【解答】解：定义实数运算x*y=，则|m﹣1|*m=|m﹣1|，即2|m﹣1|﹣1≥3m，解得m≤故答案为：（﹣∞，]，13．（4分）设非空集合s={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有y=x2∈S．给出如下四个命题：①若m=1，则S={1}；②若m=﹣，则≤l≤1；③若l=，则﹣≤m≤0．④若l=1，则﹣1≤m≤0或m=1．其中正确命题的是①②③④．【解答】解：由定义设非空集合S={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有y=x2∈S可知：符合定义的参数m的值一定大于等于﹣1，符合条件的l的值一定大于等于0，小于等于1，如此才能保证l∈S时，有l2∈S即l2≤l，再对各个命题进行判断：对于①m=1，m2=1∈S故必有，可得l=1，S={1}，故正确；②m=﹣，则，解得≤l≤1，故正确；③若l=，则，可解得﹣≤m≤0，故正确；④若l=1，则可解得﹣1≤m≤0或m=1，故正确．故答案为：①②③④14．（4分）对于任意两个正实数a，b，定义a*b=λ×．其中常数λ∈（，1），“×”是通常的实数乘法运算，若a≥b＞0，a*b与b*a都是集合{x|x=，n∈Z}中的元素，则a*b=．【解答】解：；∵a≥b＞0，；∴；∴；又a*b，b*a都是集合的元素；∴；∴；∴a*b=2λ2，且1＜2λ2＜2；∴．故答案为：．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.请在答题纸的相应位置上填写正确答案的编号，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）已知x，y∈R，则命题“若x2+y2=0，则x=0且y=0”的否命题是（）A．若x2+y2≠0，则x，y都不为0． B．若x2+y2≠0，则x，y不都为0．C．若x2+y2≠0，则x≠0且y≠0 D．若x2+y2≠0，则x=0且y=0【解答】解：x，y∈R，则命题“若x2+y2=0，则x=0且y=0”的否命题是：x2+y2≠0，则x，y不都为0．故选：B．16．（5分）已知x，y＞0，那么的最大值为（）A．2 B．C．3 D．【解答】解：x，y＞0，（）2==1+≤1+1=2，当且仅当x=y 时取等号，∴的最大值为故选：B．17．（5分）已知a，b，c∈R，则“b2﹣4ac＜0”是“关于x的不等式ax2+bx+c＜0在R上恒成立”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：由b2﹣4ac＜0不一定能推出ax2+bx+c＜0恒成立，比如a＞0的时候，ax2+bx+c＞0恒成立，不是充分条件，若关于x的不等式ax2+bx+c＜0在R上恒成立，则a＜0且b2﹣4ac＜0，不是必要条件，故选：D．18．（5分）已知f（n）=2n+1（n∈N*），集合A={1，2，3，4，5}，B={3，4，5，6，7}，记f（A）={n|f（n）∈A}，f（B）={m|f（m）∈B}，f（A）∩f（B）=（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．{3，5}D．{3，5，7}【解答】解：∵f（n）=2n+1（n∈N*），集合A={1，2，3，4，5}，B={3，4，5，6，7}，记f（A）={n|f（n）∈A}，f（B）={m|f（m）∈B}，∴f（A）∩f（B）={1，2}∩{1，2，3}={1，2}．故选：A．三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）设集合A={x|x2+3x+2=0}，B={x|x2+（m+1）x+m=0}（1）用列举法表示集合A（2）若B⊆A，求实数m的值．【解答】解：（1）集合A={x|x2+3x+2=0}，∵x2+3x+2=0，解得：x1=﹣1，x2=﹣2，∴集合A={x|x2+3x+2=0}={﹣1，﹣2}．（2）B={x|x2+（m+1）x+m=0}∵B⊆A，方程x2+（m+1）x+m=0，此时判别式△=（m+1）2﹣4m＜0，解得：m无解，∴B≠∅．当方程只有一个解：x1=﹣1，此时判别式△=（m+1）2﹣4m=0且1﹣（m+1）+m=0，解得：m=1；当方程只有一个解：x2=﹣2，此时判别式△=（m+1）2﹣4m=0且4﹣2（m+1）+m=0，解得：m无解；当方程有两个解：x1=﹣1，x2=﹣2，解得：m=2；经检验，m=1或m=2符合条件．故得实数m的值为m=1或m=2．20．（14分）某地区上年度电价为0.8元/kW•h，年用电量为akW•h，本年度计划将电价降到0.55 元/kW•h至0.75元/kW•h之间，而用户期待电价为0.4元/kW•h，下调电价后新增加的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K），该地区的电力成本为0.3元/kW•h．（注：收益=实际用电量×（实际电价﹣成本价）），示例：若实际电价为0.6元/kW•h，则下调电价后新增加的用电量为元/kW•h）（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系；（2）设K=0.2a，当电价最低为多少仍可保证电力部门的收益比上一年至少增长20%？【解答】解：（1）设下调后的电价为x元/kW•h，依题意知用电量增至，电力部门的收益为y=（）（x﹣0.3），x∈[0.55，0.75]．…6分（2）依题意有整理得，解此不等式得0.60≤x≤0.75答：当电价最低为0.60时仍可保证电力部门的收益比上一年至少增长20% (14)分．21．（14分）已知a，b，c都是正数，（1）若a+c=1，试比较a3+a2c+ab2+b2c与a2b+abc的大小；（2）若a2+b2+c2=1，求证：﹣≥3．【解答】解：（1）∵a，b，c都是正数，且a+c=1，∴a3+a2c+ab2+b2c﹣a2b﹣abc=（a2+b2﹣ab）（a+c）=＞0，所以a3+a2c+ab2+b2c＞a2b+abc；…6分证明：（2）∵a，b，c都是正数，且a2+b2+c2=1，∴﹣=3+≥3当且仅当a=b=c=取得等号，即﹣≥3…14分．22．（16分）已知函数f（x）=3x2﹣2ax﹣b，其中a，b是实数．（1）若不等式f（x）≤0的解集是[0，6]，求a b的值；（2）若b=3a，对任意x∈R，都有f（x）≥0，且存在实数x，使得f（x）≤2﹣a，求实数a的取值范围；（3）若方程有一个根是1，且a，b＞0，求的最小值，及此时a，b 的值．【解答】解：（1）依题意，0+6=，0×6=，解得a=9，b=0，∴a b=1…4分（2）若b=3a，则f（x）=3x2﹣2ax﹣3a．依题意，，由①得，﹣9≤a≤0，由②得，a≥﹣1或a≤﹣6，所以，﹣9≤a≤﹣6或﹣1≤a≤0为所求．…10分（3）∵方程有一个根是1，且a、b＞0，∴3﹣2a﹣b=0，即2a+b=3，∵2a+b=3可得（2a+1）（b+2）=6，设u=2a+1，v=b+2，可得u，v＞0，u+v=6，==≥，当且仅当u=v=3，即a=b=1时取等号．…16分．23．（18分）已知数集A={a1，a2…a n}（0≤a1＜a2…＜a n，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i+a j与a j﹣a i两数中至少有一个属于A．（1）分别判断数集{0，1，3，4}与{0，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a1=0，且na n=2（a1+a2+a+..+a n）（3）当n=5时若a2=2，求集合A．【解答】解：（1）由于0+1，0+2，0+3，0+4，1+3，4﹣1，4﹣3，都属于数集{0，1，3，4}，∴该数集具有性质P．由于2+3与3﹣2均不属于数集{0，2，3，6}，∴该数集不具有性质P．（2）证明：令j=n，i＞1，则∵“a i+a j与a j﹣a i两数中至少有一个属于A”，∴a i+a j不属于A，∴a n﹣a i属于A．令i=n﹣1，那么a n﹣a n是集合A中某项，a1不行，是0，a2可以．﹣1如果是a3或者a4，那么可知a n﹣a3=a n ﹣1，那么a n﹣a2＞a n﹣a3=a n﹣1，只能是等于a n了，矛盾．所以令i=n﹣1可以得到a n=a2+a n﹣1，同理，令i=n﹣2、n﹣3，…，2，可以得到a n=a i+a n+1﹣i，∴倒序相加即可得到a1+a2+a3+…+a n=a n．即na n=2（a1+a2+a+..+a n）．（3）当n=5时，取j=5，当i≥2时，a i+a5＞a5，由A具有性质P，a5﹣a i∈A，又i=1时，a5﹣a1∈A，∴a5﹣a i∈A，i=1，2，3，4，5∵0=a1＜a2＜a3＜a4＜a5，∴a5﹣a1＞a5﹣a2＞a5﹣a3＞a5﹣a4＞a5﹣a5=0，则a5﹣a1=a5，a5﹣a2=a4，a5﹣a3=a3，从而可得a2+a4=a5，a5=2a3，故a2+a4=2a3，即0＜a4﹣a3=a3﹣a2＜a3，又∵a3+a4＞a2+a4=a5，∴a3+a4∉A，则a4﹣a3∈A，则有a4﹣a3=a2=a2﹣a1．又∵a5﹣a4=a2=a2﹣a1，∴a5﹣a4=a4﹣a3=a3﹣a2=a2﹣a1=a2，即a1，a2，a3，a4，a5是首项为0，公差为a2=2等差数列，∴A={0，2，4，6，8}．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

上海市复旦大学附中2016年10月2016～2017学年度高一第一学期期中考试数学试卷及参考答案教师专用

2016年10月2016～2017学年度上海市复旦大学附中高一上学期期中数学试卷一.填空题1.集合{1,2,3,…,2015,2016}的子集个数为.2.已知全集U＝R,集合A＝{x|x≤1},集合B＝{x|x≥2},则∁U(A∪B)＝.3.已知集合A＝{x|1≤x≤2},集合B＝{x|x≤a},若A∩B≠∅,则实数a的取值范围是.4.己知集合U＝{a,b,c,d,e,f},集合A＝{a,b,c,d},A∩B＝{b},∁U(A∪B)＝{f},求集合B.5.已知a2＞a1＞0,b2＞b1＞0,且a1＋a2＝b1＋b2＝1,记A＝a1b1＋a2b2,B＝a1b2＋a2b1,C＝,则按A、B、C从小到大的顺序排列是.6.已知Rt△ABC的周长为定值2,则它的面积最大值为.7.我们将b﹣a称为集合M＝{x|a≤x≤b}的“长度”,若集合M＝{x|m≤x≤m＋},N＝{x|n﹣0.5≤x≤n},且集合M和集合N都是集合{x|0≤x≤1}的子集,则集合M∩N的“长度”的最小值是.8.已知A＝{x|＞x},B＝{x|x(x﹣3)(x＋3)＞0},则A∩B＝.9.对于任意集合X与Y,定义:①X﹣Y＝{x|x∈X且x∉Y},②X△Y＝(X﹣Y)∪(Y﹣X),已知A ＝{y|y＝x2,x∈R},B＝{y|﹣2≤y≤2},则A△B＝.10.已知常数a是正整数,集合A＝{x||x﹣a|＜a＋,x∈Z},B＝{x||x|＜2a,x∈Z},则集合A∪B中所有元素之和为.11.非空集合G关于运算⊕满足:(1)对任意a,b∈G,都有a＋b∈G;(2)存在e∈G使得对于一切a∈G都有a⊕e＝e⊕a＝a,则称G是关于运算⊕的融洽集,现有下列集合与运算:①G是非负整数集,⊕:实数的加法;②G是偶数集,⊕:实数的乘法;③G是所有二次三项式构成的集合,⊕:多项式的乘法;④G＝{x|x＝a＋b,a,b∈Q},⊕:实数的乘法;其中属于融洽集的是(请填写编号)12.集合A＝{(x,y)|y＝a|x|,x∈R},B＝{(x,y)|y＝x＋a,x∈R},已知集合A∩B中有且仅有一个元素,则常数a的取值范围是.二.选择题13.已知集合A＝{1,2,3,…,2105,2016},集合B＝{x|x＝3k＋1,k∈Z},则A∩B中的最大元素是()A.2014B.2015C.2016D.以上答案都不对14.已知全集U＝A∪B中有m个元素,(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素.若A∩B非空,则A∩B的元素个数为()A.mnB.m＋nC.n﹣mD.m﹣n15.命题“已知x,y∈R,如果x2＋y2＝0,那么x＝0且y＝0”的逆否命题是()A.已知x,y∈R,如果x2＋y2≠0,那么x≠0且y≠0B.已知x,y∈R,如果x2＋y2≠0,那么x≠0或y≠0C.已知x,y∈R,如果x≠0或y≠0,那么x2＋y2≠0D.已知x,y∈R,如果x≠0且y≠0,那么x2＋y2≠016.对任意实数a,b,c,给出下列命题:①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件;②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件;④“a＜4”是“a＜3”的必要条件;其中真命题的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个三.解答题17.已知集合A＝{1,2,3},B＝{x|x2﹣(a＋1)x＋a＝0,x∈R},若A∪B＝A,求实数a.18.已知a,b,c∈R＋,求证:2(a3＋b3＋c3)≥ab2＋a2b＋bc2＋b2c＋ac2＋a2c.19.设正有理数a1是的一个近似值,令a2＝1＋,求证:(1)介于a1与a2之间;(2)a2比a1更接近于.20.已知对任意实数x,不等式mx2﹣(3﹣m)x＋1＞0成立或不等式mx＞0成立,求实数m的取值范围.21.已知关于x的不等式(4kx﹣k2﹣12k﹣9)(2x﹣11)＞0,其中k∈R;(1)试求不等式的解集A;(2)对于不等式的解集A,记B＝A∩Z(其中Z为整数集),若集合B为有限集,求实数k的取值范围,使得集合B中元素个数最少,并用列举法表示集合B.2016年10月2016～2017学年度上海市复旦大学附中高一(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1.(2016秋•杨浦区校级期中)集合{1,2,3,…,2015,2016}的子集个数为22016.【知识考查点】子集与真子集.【专题】集合思想;集合.【试题分析】对于有限集合,我们有以下结论:若一个集合中有n个元素,则它有2n个子集. 【试题解答】解:∵集合{1,2,3,…,2015,2016}中有2016个元素,∴集合M{1,2,3,…,2015,2016}的子集的个数为22016;故答案为:22016.【点评】本题考查了集合的子集个数,若一个集合中有n个元素,则它有2n个子集,有(2n﹣1)个真子集,属于基础题.2.(2016秋•杨浦区校级期中)已知全集U＝R,集合A＝{x|x≤1},集合B＝{x|x≥2},则∁U(A∪B)＝{x|1＜x＜2} .【知识考查点】交、并、补集的混合运算.【专题】集合思想;定义法;集合.【试题分析】根据并集与补集的定义,进行计算即可.【试题解答】解:全集U＝R,集合A＝{x|x≤1},集合B＝{x|x≥2},所以A∪B＝{x|x≤1或x≥2},所以∁U(A∪B)＝{x|1＜x＜2}.故答案为:{x|1＜x＜2}.【点评】本题考查了并集与补集的定义与应用问题,是基础题目.3.(2016秋•杨浦区校级期中)已知集合A＝{x|1≤x≤2},集合B＝{x|x≤a},若A∩B≠∅,则实数a的取值范围是[1,＋∞).【知识考查点】交集及其运算.【专题】计算题;集合思想;定义法;集合.【试题分析】题中条件:“A∩B≠∅,”表示两个集合的交集的结果不是空集,即可求解实数a的取值范围.【试题解答】解:集合A＝{x|1≤x≤2},集合B＝{x|x≤a},因为A∩B≠∅,所以a≥1故答案为:[1,＋∞)【点评】本题考查集合的关系、一元二次不等式的解法,考查运算能力,是基础题.4.(2016秋•杨浦区校级期中)己知集合U＝{a,b,c,d,e,f},集合A＝{a,b,c,d},A∩B＝{b},∁U(A∪B)＝{f},求集合B.【知识考查点】交、并、补集的混合运算.【专题】集合思想;综合法;集合.【试题分析】根据全集U,以及A与B并集的补集确定出A与B的并集,再根据A与B的交集及A,确定出B即可.【试题解答】解:∵U＝{a,b,c,d,e,f},∁U(A∪B)＝{f},∴A∪B＝{a,b,c,d,e},∵A∩B＝{b};A＝{a,b,c,d},∴b∈B,e∈B,b∉B,c∉B,d∉B,∴B＝{b,e}.【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.5.(2016秋•杨浦区校级期中)已知a2＞a1＞0,b2＞b1＞0,且a1＋a2＝b1＋b2＝1,记A＝a1b1＋a2b2,B＝a1b2＋a2b1,C＝,则按A、B、C从小到大的顺序排列是B＜C＜A.【知识考查点】不等式比较大小.【专题】计算题;转化思想;转化法;不等式.【试题分析】不妨令a1＝,a2＝,b1＝,b2＝,分别求出A,B,比较即可【试题解答】解:∵a2＞a1＞0,b2＞b1＞0,且a1＋a2＝b1＋b2＝1,不妨令a1＝,a2＝,b1＝,b2＝,A＝a1b1＋a2b2＝＋＝,B＝a1b2＋a2b1＝＋＝,∵C＝＝∴B＜C＜A故答案为:B＜C＜A.【点评】本题主要考查不等式与不等关系,利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系,是一种简单有效的方法,属于基础题.6.(2016秋•杨浦区校级期中)已知Rt△ABC的周长为定值2,则它的面积最大值为3﹣2.【知识考查点】正弦定理.【专题】计算题;转化思想;综合法;解三角形;不等式的解法及应用.【试题分析】设直角边长为a,b,则斜边长为,利用直角三角形ABC的三边之和为2,可得a＋b＋＝2,利用基本不等式,即可求△ABC的面积的最大值.【试题解答】解:设直角边长为a,b,则斜边长为,∵直角三角形ABC的三边之和为2,∴a＋b＋＝2,∴2≥2＋,∴≤＝2﹣,∴ab≤6﹣4,∴S＝ba≤3﹣2,∴△ABC的面积的最大值为3﹣2.故答案为:3﹣2.【点评】本题考查基本不等式的运用,考查学生的计算能力,正确运用基本不等式是关键,属于中档题.7.(2016秋•杨浦区校级期中)我们将b﹣a称为集合M＝{x|a≤x≤b}的“长度”,若集合M＝{x|m≤x≤m＋},N＝{x|n﹣0.5≤x≤n},且集合M和集合N都是集合{x|0≤x≤1}的子集,则集合M∩N的“长度”的最小值是.【知识考查点】交集及其运算.【专题】计算题;新定义;转化思想;转化法;集合.【试题分析】当集合M∩N的长度的最小值时,M与N应分别在区间[0,1]的左右两端,由此能求出M∩N的长度的最小值.【试题解答】解:根据题意,M的长度为,N的长度为,当集合M∩N的长度的最小值时,M与N应分别在区间[0,1]的左右两端,故M∩N的长度的最小值是＝.故答案为:.【点评】本题考查交集的“长度”的最小值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意新定义的合理运用.8.(2016秋•杨浦区校级期中)已知A＝{x|＞x},B＝{x|x(x﹣3)(x＋3)＞0},则A∩B＝{x|﹣3＜x＜0} .【知识考查点】交集及其运算.【专题】计算题;方程思想;定义法;集合.【试题分析】先利用不等式的性质分别求出集合A和B,由此利用交集的性质能求出A∩B. 【试题解答】解:∵A＝{x|＞x}＝{x|﹣2≤x≤1,或x＜0},B＝{x|x(x﹣3)(x＋3)＞0}＝{x|﹣3＜x＜0或x＞3},∴A∩B＝{x|﹣3＜x＜0}.故答案为:{x|﹣3＜x＜0}.【点评】本题考查交集的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意无理不等式和高次不等式性质的合理运用.9.(2016秋•杨浦区校级期中)对于任意集合X与Y,定义:①X﹣Y＝{x|x∈X且x∉Y},②X△Y ＝(X﹣Y)∪(Y﹣X),已知A＝{y|y＝x2,x∈R},B＝{y|﹣2≤y≤2},则A△B＝[﹣3,0)∪(3,＋∞).【知识考查点】子集与交集、并集运算的转换.【专题】综合题;方程思想;演绎法;集合.【试题分析】由A＝{y|y＝x2,x∈R}＝{y|y≥0},B＝{y|﹣2≤y≤2},先求出A﹣B＝{y|y＞2},B﹣A＝{y|﹣2≤y＜0},再求A△B的值.【试题解答】解:∵A＝{y|y＝x2,x∈R}＝{y|y≥0},B＝{y|﹣2≤y≤2},∴A﹣B＝{y|y＞2},B﹣A＝{y|﹣2≤y＜0},∴A△B＝{y|y＞2}∪{y|﹣2≤y＜0},故答案为:[﹣3,0)∪(3,＋∞).【点评】本题考查集合的交、并、补集的运算,解题时要认真审题,仔细解答,注意正确理解X ﹣Y＝{x|x∈X且x∉Y}、X△Y＝(X﹣Y)∪(Y﹣X).10.(2016秋•杨浦区校级期中)已知常数a是正整数,集合A＝{x||x﹣a|＜a＋,x∈Z},B＝{x||x|＜2a,x∈Z},则集合A∪B中所有元素之和为2a.【知识考查点】并集及其运算.【专题】集合思想;转化法;集合.【试题分析】分别求出集合A、B中的元素,从而求出A、B的并集,求和即可.【试题解答】解:A＝{x||x﹣a|＜a＋,x∈Z}＝{0,a,2a},B＝{x||x|＜2a,x∈Z}＝{﹣a,0,a},则集合A∪B＝{﹣a,0,a,2a},故集合A∪B中所有元素之和是2a,故答案为:2a.【点评】本题考查了集合的运算,考查解绝对值不等式问题,是一道基础题.11.(2016秋•杨浦区校级期中)非空集合G关于运算⊕满足:(1)对任意a,b∈G,都有a＋b∈G;(2)存在e∈G使得对于一切a∈G都有a⊕e＝e⊕a＝a,则称G是关于运算⊕的融洽集,现有下列集合与运算:①G是非负整数集,⊕:实数的加法;②G是偶数集,⊕:实数的乘法;③G是所有二次三项式构成的集合,⊕:多项式的乘法;④G＝{x|x＝a＋b,a,b∈Q},⊕:实数的乘法;其中属于融洽集的是①④(请填写编号)【知识考查点】元素与集合关系的判断.【专题】新定义;集合思想;集合.【试题分析】逐一验证几个选项是否分别满足“融洽集”的两个条件,若两个条件都满足,是“融洽集”,有一个不满足,则不是“融洽集”.【试题解答】解:①对于任意非负整数a,b知道:a＋b仍为非负整数,所以a⊕b∈G;取e＝0,及任意非负整数a,则a＋0＝0＋a＝a,因此G对于⊕为整数的加法运算来说是“融洽集”;②对于任意偶数a,b知道:a＋b仍为偶数,故有a＋b∈G;但是不存在e∈G,使对一切a∈G都有a⊕e＝e⊕a＝a,故②的G不是“融洽集”.③对于G＝{二次三项式},若a、b∈G时,a,b的两个同类项系数,则其积不再为二次三项式,故G不是和谐集,故③不正确;④G＝{x|x＝a＋b,a,b∈Q},设x1＝a＋b,x2＝c＋d,则设x1＋x2＝(a＋c)＋(b＋d),属于集合G,取e＝1,a×1＝1×a＝a,因此G对于⊕实数的乘法运算来说是“融洽集”,故④中的G是“融洽集”.故答案为①④.【点评】本题考查了对新定义“融洽集”理解能力,及对有关知识的掌握情况.关键是看所给的数集是否满足“融洽集”的两个条件.12.(2016秋•杨浦区校级期中)集合A＝{(x,y)|y＝a|x|,x∈R},B＝{(x,y)|y＝x＋a,x∈R},已知集合A∩B中有且仅有一个元素,则常数a的取值范围是[﹣1,1] .【知识考查点】交集及其运算.【专题】计算题;转化思想;转化法;集合.【试题分析】由已知得a|x|＝x＋a有1个解,由此能求出常数a的取值范围.【试题解答】解:∵集合A＝{(x,y)|y＝a|x|,x∈R},B＝{(x,y)|y＝x＋a,x∈R},集合A∩B中有且仅有一个元素,∴a|x|＝x＋a有1个解,若x≥0,ax＝x＋a,x＝,若x＜0,﹣ax＝x＋a,x＝﹣,由已知得或或或,解得﹣1≤a≤1.∴常数a的取值范围是[﹣1,1].故答案为:[﹣1,1].【点评】本题考查常数的取值范围的求法,是基础题,解题时要认真审题,是基础题,解题时要认真审题,注意交集性质的合理运用.二.选择题13.(2016秋•杨浦区校级期中)已知集合A＝{1,2,3,…,2105,2016},集合B＝{x|x＝3k＋1,k∈Z},则A∩B中的最大元素是()A.2014B.2015C.2016D.以上答案都不对【知识考查点】交集及其运算.【专题】计算题;集合思想;定义法;集合.【试题分析】由题意求出A与B的交集,即可作出判断.【试题解答】解:∵A＝{1,2,3,…,2105,2016},集合B＝{x|x＝3k＋1,k∈Z}∴则A∩B中的最大元素是2014.故选:A.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.14.(2009•江西)已知全集U＝A∪B中有m个元素,(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素.若A∩B非空,则A∩B的元素个数为()A.mnB.m＋nC.n﹣mD.m﹣n【知识考查点】Venn图表达集合的关系及运算.【专题】数形结合.【试题分析】要求A∩B的元素个数,可以根据已知绘制出满足条件的韦恩图,根据图来分析(如解法一),也可以利用德摩根定理解决(如解法二).【试题解答】解法一:∵(C U A)∪(C U B)中有n个元素,如图所示阴影部分,又∵U＝A∪B中有m个元素,故A∩B中有m﹣n个元素.解法二:∵(C U A)∪(C U B)＝C U(A∩B)有n个元素,又∵全集U＝A∪B中有m个元素,由card(A)＋card(C U A)＝card(U)得,card(A∩B)＋card(C U(A∩B))＝card(U)得,card(A∩B)＝m﹣n,故选D.【点评】解答此类型题目时,要求对集合的性质及运算非常熟悉,除教材上的定义,性质,运算律外,还应熟练掌握:①(C U A)∪(C U B)＝C U(A∩B)②(C U A)∩(C U B)＝C U(A∪B)③card(A∪B)＝card(A)＋card(B)﹣card(A∩B)等.15.(2016秋•杨浦区校级期中)命题“已知x,y∈R,如果x2＋y2＝0,那么x＝0且y＝0”的逆否命题是()A.已知x,y∈R,如果x2＋y2≠0,那么x≠0且y≠0B.已知x,y∈R,如果x2＋y2≠0,那么x≠0或y≠0C.已知x,y∈R,如果x≠0或y≠0,那么x2＋y2≠0D.已知x,y∈R,如果x≠0且y≠0,那么x2＋y2≠0【知识考查点】四种命题间的逆否关系.【专题】定义法;简易逻辑.【试题分析】根据已知中原命题,写出逆否命题,可得答案.【试题解答】解:命题“已知x,y∈R,如果x2＋y2＝0,那么x＝0且y＝0”的逆否命题是“已知x,y∈R,如果x≠0或y≠0,那么x2＋y2≠0”故选:C【点评】本题考查的知识点是四种命题,难度不大,属于基础题.16.(2016秋•杨浦区校级期中)对任意实数a,b,c,给出下列命题:①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件;②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件;④“a＜4”是“a＜3”的必要条件;其中真命题的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【知识考查点】命题的真假判断与应用;必要条件、充分条件与充要条件的判断.【专题】综合法;简易逻辑.【试题分析】逐项判断即可.①由ac＝bc不能推出a＝b;②由5是有理数易判断;③根据不等式的性质可得;④根据充分必要条件的定义易得.【试题解答】解:①由“a＝b“可得ac＝bc,但当ac＝bc时,不能得到a＝b,故“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件,故①错误;②因为5是有理数,所以当a＋5是无理数时,a必为无理数,反之也成立,故②正确;③取a＝1,b＝﹣2,此时a2＜b2,故③错误;④当a＜4时,不能推出a＜3;当a＜3时,有a＜4成立,故“a＜4”是“a＜3”的必要不充分条件,故④正确.综上可得正确的命题有2个.故选:B.【点评】本题考查充分必要条件的判断,掌握充分必要条件的定义是关键.属于基础题.三.解答题17.(2016秋•杨浦区校级期中)已知集合A＝{1,2,3},B＝{x|x2﹣(a＋1)x＋a＝0,x∈R},若A∪B ＝A,求实数a.【知识考查点】并集及其运算.【专题】计算题;分类讨论;集合.【试题分析】根据A∪B＝A,得到B⊆A,然后分B为空集和不是空集讨论,A为空集时,只要二次方程的判别式小于0即可,不是空集时,分别把1和2代入二次方程求解a的范围,注意求出a后需要验证.【试题解答】解:由A∪B＝A,得B⊆A.①若B＝∅,则△＝(a＋1)2﹣4a＜0,解得:a∈∅;②若1∈B,△＝(a＋1)2﹣4a＝0,此时a＝1,满足12﹣a﹣1＋a＝0,此时B＝{1},符合题意;③若2∈B,则22﹣2a﹣2＋a＝0,解得:a＝2,此时A＝{2,1},满足题意.④若3∈B,则32﹣3a﹣3＋a＝0,解得:a＝3,此时A＝{3,1},满足题意.综上所述,实数a的值为:1,2,3.【点评】本题考查了并集及其运算,考查了分类讨论的数学思想,求出a值后的验证是解答此题的关键,是基础题.18.(2016秋•杨浦区校级期中)已知a,b,c∈R＋,求证:2(a3＋b3＋c3)≥ab2＋a2b＋bc2＋b2c＋ac2＋a2c.【知识考查点】不等式的证明.【专题】证明题;转化思想;演绎法;不等式的解法及应用.【试题分析】作差,因式分解,即可得到结论.【试题解答】证明:(a3＋b3)﹣(a2b＋ab2)＝a2(a﹣b)＋b2(b﹣a)＝(a﹣b)(a2﹣b2)＝(a﹣b)2(a＋b)∵a＞0,b＞0,∴(a3＋b3)﹣(a2b＋ab2)≥0∴a3＋b3≥a2b＋ab2.同理b3＋c3≥bc2＋b2c,a3＋c3≥ac2＋a2c,三式相加,可得2(a3＋b3＋c3)≥ab2＋a2b＋bc2＋b2c＋ac2＋a2c.【点评】本题考查不等式的证明,考查作差法的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.19.(2016秋•杨浦区校级期中)设正有理数a1是的一个近似值,令a2＝1＋,求证:(1)介于a1与a2之间;(2)a2比a1更接近于.【知识考查点】二分法求方程的近似解.【专题】证明题;转化思想;作差法;不等式.【试题分析】(1)利用作差法,再因式分解,确定其符号,即可得到结论;(2)利用作差法,判断|a2﹣|﹣|a1﹣|＜0,即可得到结论【试题解答】证明:(1)a2﹣＝1＋﹣＝,∵若a1＞,∴a1﹣＞0,而1﹣＜0,∴a2＜∵若a1＜,∴a1﹣＜0,而1﹣＜0,∴a2＞,故介于a1与a2之间;(2)|a2﹣|﹣|a1﹣|＝﹣|a1﹣|＝|a1﹣|×,∵a1＞0,﹣2＜0,|a1﹣|＞0,∴|a2﹣|﹣|a1﹣|＜0∴|a2﹣|＜|a1﹣|∴a2比a1更接近于.【点评】本题考查不等式的证明,考查作差法的运用,确定差的符号是关键.20.(2016秋•杨浦区校级期中)已知对任意实数x,不等式mx2﹣(3﹣m)x＋1＞0成立或不等式mx＞0成立,求实数m的取值范围.【知识考查点】一元二次不等式的解法.【专题】分类讨论;转化思想;不等式的解法及应用.【试题分析】①对任意实数x,不等式mx2﹣(3﹣m)x＋1＞0成立,对m分类讨论,m＝0时,易判断出.m≠0时,,解出即可得出.②对任意实数x,不等式mx＞0成立,m∈∅.【试题解答】解:①对任意实数x,不等式mx2﹣(3﹣m)x＋1＞0成立,m＝0时化为:﹣3x＋1＞0,不成立,舍去.m≠0时,,解得.②对任意实数x,不等式mx＞0成立,m∈∅.综上可得:.∴实数m的取值范围是.【点评】本题考查了一元二次不等式的解法,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于中档题.21.(2016秋•杨浦区校级期中)已知关于x的不等式(4kx﹣k2﹣12k﹣9)(2x﹣11)＞0,其中k∈R;(1)试求不等式的解集A;(2)对于不等式的解集A,记B＝A∩Z(其中Z为整数集),若集合B为有限集,求实数k的取值范围,使得集合B中元素个数最少,并用列举法表示集合B.【知识考查点】一元二次不等式的解法.【专题】分类讨论;不等式的解法及应用;不等式.【试题分析】(1)对k分类讨论,利用一元二次不等式的解法即可得出.(2)根据B＝A∩Z(其中Z为整数集),集合B为有限集,即可得出.【试题解答】解:(1)①当k＜0,A＝{x|};②当k＝0,A＝{x|x};③当0＜k＜1或k＞9,A＝{x|x,或x＞};④当1≤k≤9,A＝{x|x＜,或x＞};(2)B＝A∩Z(其中Z为整数集),集合B为有限集,只有k＜0,B＝{2,3,4,5}.【点评】本题考查了一元二次不等式的解法,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于中档题.11。

[精品]2016-2017年上海市浦东新区建平中学高一(上)数学期中试卷与答案

2016-2017学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）设集合P={1，2，3，4}，Q={x|x≤2}，则P∩Q=．2．（3分）集合{1，2，3}的真子集的个数为．3．（3分）不等式≥0的解集．4．（3分）设α：x＞m，β：1≤x＜3，若α是β的必要条件，则实数m的取值范围是．5．（3分）已知a，b，c是实数，写出命题“若a+b+c=0，则a，b，c中至少有两个负数”的等价命题：．6．（3分）若a＞0，b＞0，3a+2b=1，则ab的最大值是．7．（3分）设全集U=R，A=，则A∩（∁U B）=．8．（3分）已知正数x，y满足，则4x+9y的最小值为．9．（3分）若不等式的解集为（1，2），则实数a的值是．10．（3分）关于x的不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围为．11．（3分）若A={x|mx2+x+m=0，m∈R}，且A∩R=∅，则实数m的取值范围为．12．（3分）用M[A]表示非空集合A中的元素个数，记|A﹣B|=，若A={1，2，3}，B={x||x2﹣2x﹣3|=a}，且|A﹣B|=1，则实数a的取值范围为．二、选择题：（每小题4分，共16分）13．（4分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D．14．（4分）已知a，b∈R+，那么“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．（4分）不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥a2﹣4a的解集为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]∪[3，+∞）B．（﹣∞，1）∪（3，+∞）C．[1，3]D．（1，3）16．（4分）在下列条件中：①b2﹣4ac≥0；②ac＞0；③ab＜0且ac＞0；④b2﹣4ac≥0，＞0中能成为“使二次方程ax2+bx+c=0的两根为正数”的必要非充分条件是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④三、解答题：本大题共5小题，共48分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（8分）解不等式组：．18．（8分）设全集U=R，集合A=．（1）求集合B；（2）若A⊆（∁U B），求实数a的取值范围．19．（10分）某化工厂生产某种产品，当年产量在150吨至250吨时，每年的生产成本y万元与年产量x吨之间的关系可可近似地表示为y=﹣30x+4000．（1）若每年的生产总成本不超过2000万元，求年产量x的取值范围；（2）求年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低，并求每吨的最低成本．20．（10分）已知M={x|1＜x＜3}，N={x|x2﹣6x+8≤0}．（1）设全集U=R，定义集合运算△，使M△N=M∩（∁U N），求M△N和N△M；（2）若H={x||x﹣a|≤2}，按（1）的运算定义求：（N△M）△H．21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣2x+c，且f（x）＞0的解集是．（1）求f（2）的最小值及f（2）取最小值时f（x）的解析式；（2）在f（2）取得最小值时，若对于任意的x＞2，f（x）+4≥m（x﹣2）恒成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）设集合P={1，2，3，4}，Q={x|x≤2}，则P∩Q={1，2} ．【解答】解：∵P={1，2，3，4}，Q={x|x≤2}，∴P∩Q={1，2}，故答案为：{1，2}2．（3分）集合{1，2，3}的真子集的个数为7．【解答】解：集合的真子集为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，∅．共有7个．故答案为7．3．（3分）不等式≥0的解集（，1] ．【解答】解：∵≥0，∴①或②解①得：x∈∅；解②得：＜x≤1，∴不等式≥0的解集为（，1]．故答案为：（，1]．4．（3分）设α：x＞m，β：1≤x＜3，若α是β的必要条件，则实数m的取值范围是（﹣∞，1）．【解答】解：α：x＞m，β：1≤x＜3，若α是β的必要条件，则m＜1，故答案为：（﹣∞，1）．5．（3分）已知a，b，c是实数，写出命题“若a+b+c=0，则a，b，c中至少有两个负数”的等价命题：若a，b，c中至多有1个非负数，则a+b+c≠0．【解答】解：命题的逆否命题为若a，b，c中至多有1个非负数，则a+b+c≠0，故答案为若a，b，c中至多有1个非负数，则a+b+c≠0．6．（3分）若a＞0，b＞0，3a+2b=1，则ab的最大值是．【解答】解：a＞0，b＞0，3a+2b=1，∴1=3a+2b≥2，当且仅当a=，b=时取等号，∴ab≤，∴ab的最大值是，故答案为：7．（3分）设全集U=R，A=，则A∩（∁U B）={x|2＜x≤4} ．【解答】解：全集U=R，A={x|＜1}={x||x﹣1|＞1}={x|x＜0或x＞2}；B={x|x2﹣5x+4＞0}={x|x＜1或x＞4}，∴∁U B={x|1≤x≤4}，∴A∩（∁U B）={x|2＜x≤4}．故答案为：{x|2＜x≤4}．8．（3分）已知正数x，y满足，则4x+9y的最小值为25．【解答】解：（4x+9y）（+）=4+9++≥13+2=25，当且仅当x=，y=时取等号，故4x+9y的最小值为25故答案为：259．（3分）若不等式的解集为（1，2），则实数a的值是．【解答】解：等价于﹣1＞0，等价于＞0，等价于（x﹣1）[（a﹣1）x+1]＞0，∵不等式的解集为（1，2），∴原不等式为（x﹣1）（x﹣）＜0，∴=2，解得a=，故答案为：10．（3分）关于x的不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围为[﹣1，+∞）．【解答】解：根据题意，x﹣a＜0的解为x＜a，当a＞0时，ax＜1的解为x＜，此时解集显然不为空集，当a=0时，ax＜1的解为R，此时解集显然不为空集，当a＜0时，ax＜1的解为x＞，∵关于x的不等式组的解集不是空集，∴≤a，即a2≤1，解得﹣1≤a＜0，综上所述a的取值范围为[﹣1，+∞）故答案为：[﹣1，+∞）．11．（3分）若A={x|mx2+x+m=0，m∈R}，且A∩R=∅，则实数m的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．【解答】解：∵A={x|mx2+x+m=0，m∈R}，且A∩R=∅，∴mx2+x+m=0无解，∴，解得m＜﹣或m＞．∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．12．（3分）用M[A]表示非空集合A中的元素个数，记|A﹣B|=，若A={1，2，3}，B={x||x2﹣2x﹣3|=a}，且|A﹣B|=1，则实数a的取值范围为0≤a＜4或a＞4．【解答】解：（1）若a=0，得到x2﹣2x﹣3=0，∴集合B有2个元素，则|A﹣B|=1，符合条件|A﹣B|=1；（2）a＞0时，得到x2﹣2x﹣3=±a，即x2﹣2x﹣3﹣a=0或x2﹣2x﹣3+a=0；对于方程x2﹣2x﹣3﹣a=0，△=4+4（3+a）＞0，即该方程有两个不同实数根；又|A﹣B|=1，B有2个或4个元素；∴△=4﹣4（a﹣3）＜0或△=4﹣4（a﹣3）＞0；∴a＜4或a＞4．综上所述0≤a＜4或a＞4．故答案为：0≤a＜4或a＞4．二、选择题：（每小题4分，共16分）13．（4分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D．【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得=﹣1，∴，故A不正确．可得ab=2，b2=1，∴ab＞b2，故B不正确．可得﹣ab=﹣2，﹣a2=﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确．故选：D．14．（4分）已知a，b∈R+，那么“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由题意可知：a，b∈R+，若“a2+b2＜1”则a2+2ab+b2＜1+2ab+a2•b2，∴（a+b）2＜（1+ab）2∴ab+1＞a+b．若ab+1＞a+b，当a=b=2时，ab+1＞a+b成立，但a2+b2＜1不成立．综上可知：“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的充分不必要条件．故选：A．15．（4分）不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥a2﹣4a的解集为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]∪[3，+∞）B．（﹣∞，1）∪（3，+∞）C．[1，3]D．（1，3）【解答】解：令f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|，当x＜﹣1时，f（x）=﹣1﹣x﹣（﹣x+2）=﹣3；当﹣1≤x≤2时，f（x）=1+x﹣（﹣x+2）=2x﹣1∈[﹣3，3]；当x＞2时，f（x）=x+1﹣（x﹣2）=3；∴f（x）min=﹣3．∵不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥a2﹣4a的解集为R，∴a2﹣4a≤f（x）min=﹣3，即实数a的取值范围是[1，3]．故选：C．16．（4分）在下列条件中：①b2﹣4ac≥0；②ac＞0；③ab＜0且ac＞0；④b2﹣4ac≥0，＞0中能成为“使二次方程ax2+bx+c=0的两根为正数”的必要非充分条件是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【解答】解：∵二次方程ax2+bx+c=0的两根为正数，∴b2﹣4ac≥0，ab＜0，ac＞0，故由使二次方程ax2+bx+c=0的两根为正数，一定能推出b2﹣4ac≥0，ab＜0，ac ＞0，但是满足其中一个或2个不能推出使二次方程ax2+bx+c=0的两根为正数，故①②③能成为使二次方程ax2+bx+c=0的两根为正数”的必要非充分条件，故选：A．三、解答题：本大题共5小题，共48分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（8分）解不等式组：．【解答】解：不等式组：，即，即，求得﹣3＜x≤﹣2，或1≤x≤2，故原不等式组的解集为{x|﹣3＜x≤﹣2，或1≤x≤2}．18．（8分）设全集U=R，集合A=．（1）求集合B；（2）若A⊆（∁U B），求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵全集U=R，集合A=．∴集合B={x|}={x|x＜2或x≥5}．（2）∵A={x|a﹣1＜x＜a+1}，C U B={x|2≤x＜5}，A⊆（∁U B），∴，解得3≤a≤4．∴实数a的取值范围是[3，4]．19．（10分）某化工厂生产某种产品，当年产量在150吨至250吨时，每年的生产成本y万元与年产量x吨之间的关系可可近似地表示为y=﹣30x+4000．（1）若每年的生产总成本不超过2000万元，求年产量x的取值范围；（2）求年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低，并求每吨的最低成本．【解答】解：（2）由题意可得﹣30x+4000≤2000，解得100≤x≤200，∵当年产量在150吨至250吨时，每年的生产成本y万元与年产量x吨之间的关系可近似地表示为y=﹣30x+4000，∴150≤x≤200，故每年的生产总成本不超过2000万元，年产量x的取值范围为[150，200]；（2）依题意，每吨平均成本为（万元），则=+﹣30≥2﹣30=10当且仅当x=200时取等号，又150＜200＜250，所以年产量为200吨时，每吨平均成本最低，每吨的最低成本10万元．20．（10分）已知M={x|1＜x＜3}，N={x|x2﹣6x+8≤0}．（1）设全集U=R，定义集合运算△，使M△N=M∩（∁U N），求M△N和N△M；（2）若H={x||x﹣a|≤2}，按（1）的运算定义求：（N△M）△H．【解答】解：（1）M={x|1＜x＜3}，N={x|x2﹣6x+8≤0}={x|2≤x≤4}；根据题意，U=R，∁U N={x|x＜2或x＞4}，∴M△N=M∩（∁U N）={x|1＜x＜2}，又∁U M={x|x≤1或x≥3}，∴N△M=N∩（∁U M）={x|3≤x≤4}；（2）∵H={x||x﹣a|≤2}=[a﹣2，a+2]，∴（N△M）△H=（N△M）∩（C U H）=[3，4]∩[（﹣∞，a﹣2）∪（a+2，+∞）]，当a﹣2＞4，或a+2＜3，即a＞6，或a＜1时，（N△M）△H=[3，4]；当3≤a﹣2≤4，即5≤a≤6时，（N△M）△H=[3，a﹣2）；当3≤a+2≤4，即1≤a≤0时，（N△M）△H=（a+2，4]；当a﹣2＜3，且a+2＞4，即2＜a＜5时，（N△M）△H=∅．21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣2x+c，且f（x）＞0的解集是．（1）求f（2）的最小值及f（2）取最小值时f（x）的解析式；（2）在f（2）取得最小值时，若对于任意的x＞2，f（x）+4≥m（x﹣2）恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得⇒ac=1⇒c＞0所以f（2）=4a﹣4+c≥2﹣4=0，当且仅当4a=c即时“=”成立，由a=，c=2得：f（x）=x2﹣2x+2；（2）由（1）可得f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣2）2，因为对于任意的x∈（2，+∞），f（x）+4≥m（x﹣2）恒成立，∴m≤（x﹣2）+在x∈（2，+∞），恒成立，故[（x﹣2）+]min≥m即可，又函数y=（x﹣2）+在x∈（2，+∞）上递增，所以[（x﹣2）+]min=2，当且仅当x=2+2时“=”成立，∴m≤2；。

上海市浦东新区杨思高中2016-2017学年高一(上)期中数学试卷(解析版)

2016-2017学年上海市浦东新区杨思高中高一（上）期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．集合A={a，b，c，d，e}，B={d，f，g}，则A∩B=．2．已知全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜2}，则集合∁U A=．3．命题“若x＞1且y＜﹣3，则x﹣y＞4”的等价命题是．4．已知x＜0，﹣1＜y＜0，用不等号将x，xy，xy2从大到小排列得．5．设集合A={x|﹣＜x＜2}，B={x|x2≤1}，则A∪B=．6．设全集U={2，4，3﹣a2}，P={2，a2﹣a+2}，∁U P={﹣1}，则a=．7．若a＞0，b＞0，2a+b=1，则ab的最大值为．8．已知x＞﹣1，当x=时，x+的值最小．9．x，y为实数，使x＞y且＞同时成立的一个充要条件是．10．若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是．11．若关于x的不等式＞0的解集为R，则k的范围为．12．已知集合P={x|1≤x≤6，x∈N}，对它的非空子集A，将A中每个元素k，都乘以（﹣1）k再求和（如A={1，3，6}，可求得和为（﹣1）•1+（﹣1）3•3+（﹣1）6•6=2，则对M 的所有非空子集，这些和的总和是．二、选择题（本大题4小题，每题3分，共12分）13．已知集合A、B，若A不是B的子集，则下列命题中正确的是（）A．对任意的a∈A，都有a∉B B．对任意的b∈B，都有b∈AC．存在a0，满足a0∈A，a0∉B D．存在a0，满足a0∈A，a0∈B14．若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A．B．a2＞b2C．D．a|c|＞b|c|15．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．a2+b2＞2ab C． D．16．设全集为U，定义集合M与N的运算：M*N={x|x∈M∪N且x∉M∩N}，则N*（N*M）=（）A．M B．N C．M∩∁U N D．N∩∁U M三、解答题（本大题5小题，共52分）17．比较与（）2的大小．18．已知集合A={x|12﹣5x﹣2x2＞0}，B={x|x2﹣ax+b≤0}满足A∩B=∅，A∪B=（﹣4，8]，求实数a，b的值．19．已知集合A={x||2x﹣1|≤3}，集合B={x|x2+（4﹣a）x﹣4a＞0}，若A∩B=A，求实数a的取值范围．20．某商场一年购进某种货物900吨，每次都购进x吨，运费为每次9万元，一年的总存储费用为9x万元．（1）要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买多少吨？（2）要使一年的总运费与总存储费用之和不超过585万元，则每次购买量在什么范围？21．设全集U=R．（1）解关于x的不等式|x﹣1|+a﹣1＞0（a∈R）；（2）记A为（1）中不等式的解集，B为不等式组的整数解集，若（∁U A）∩B恰有三个元素，求a的取值范围．2016-2017学年上海市浦东新区杨思高中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题12小题，每题3分，共36分）1．集合A={a，b，c，d，e}，B={d，f，g}，则A∩B={d} ．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集的定义直接求解．解：∵集合A={a，b，c，d，e}，B={d，f，g}，∴A∩B={d}．故答案为：{d}．2．已知全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜2}，则集合∁U A={x|x＜﹣1或x≥2} ．【考点】补集及其运算．【分析】根据补集的定义求得∁U A．解：全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜2}，则集合∁U A={x|x＜﹣1或x≥2}，故答案为：{x|x＜﹣1或x≥2}．3．命题“若x＞1且y＜﹣3，则x﹣y＞4”的等价命题是“若x﹣y≤4，则x≤1或y≥﹣3”．【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】根据原命题与它的逆否命题是互为等价的命题，写出它的逆否命题即可．解：根据原命题与它的逆否命题是互为等价的命题，所以命题“若x＞1且y＜﹣3，则x﹣y＞4”的等价命题是：“若x﹣y≤4，则x≤1或y≥﹣3”．故答案为：“若x﹣y≤4，则x≤1或y≥﹣3”．4．已知x＜0，﹣1＜y＜0，用不等号将x，xy，xy2从大到小排列得xy＞xy2＞x．【考点】不等式的基本性质．【分析】根据不等式的基本性质，分析三个式子的大小，可得答案．解：∵x＜0，﹣1＜y＜0，∴0＜y2＜1，xy＞0，x＜xy2＜0，即xy＞xy2＞x，故答案为：xy＞xy2＞x5．设集合A={x|﹣＜x＜2}，B={x|x2≤1}，则A∪B={x|﹣1≤x＜2} ．【考点】并集及其运算．【分析】集合B为简单的二次不等式的解集，解出后，利用数轴与A求并集即可．解：B=x|x2≤1=x|﹣1≤x≤1，A∪B={x|﹣1≤x＜2}，故答案为：{x|﹣1≤x＜2}．6．设全集U={2，4，3﹣a2}，P={2，a2﹣a+2}，∁U P={﹣1}，则a=2．【考点】补集及其运算．【分析】由全集U，P，以及P的补集，利用补集的定义列出关于a的方程解：根据补集的定义和性质U=P∪（C U P），由于全集U={2，4，3﹣a2}，P={2，a2﹣a+2}，∁U P={﹣1}，所以{2，4，3﹣a2}={2，a2﹣a+2，﹣1}，根据集合相等的定义，得出a2﹣a+2=4，且3﹣a2=﹣1，解得a=2故答案为：27．若a＞0，b＞0，2a+b=1，则ab的最大值为．【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．解：∵a＞0，b＞0，∴2a+b=1，化为ab≤，当且仅当b=2a=时取等号．则ab的最大值为．故答案为：．8．已知x＞﹣1，当x=1时，x+的值最小．【考点】基本不等式．【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．解：∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴x+=x+1+﹣1≥﹣1=3，当且仅当x=1时取等号．故答案为：1．9．x，y为实数，使x＞y且＞同时成立的一个充要条件是xy＜0．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．解：由＞得﹣=＞0，∵x＞y，∴x﹣y＞0，y﹣x＜0，则xy＜0，即x＞y且＞同时成立的一个充要条件是xy＜0，故答案为：xy＜010．若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是[3，+∞）．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】先求出不等式|x﹣1|＜a的解集为集合B，再根据条件可知{x|0＜x＜4}⊂B，建立关于a的不等式组，解之从而确定a的取值范围．解：|x﹣1|＜a⇒1﹣a＜x＜a+1由题意可知﹣≤x＜0 0＜x＜4是1﹣a＜x＜a+1成立的充分不必要条件∴解得a≥3∴实数a的取值范围是[3，+∞）故答案为：[3，+∞）11．若关于x的不等式＞0的解集为R，则k的范围为[1，9）．【考点】函数恒成立问题．【分析】关于x的不等式＞0的解集为R，x2+x+1=+＞0，转化为（k﹣1）x2+（k﹣1）x+2＞0的解集为R．对k分类讨论，利用一元二次不等式的解集与判别式的关系即可得出．解：∵关于x的不等式＞0的解集为R，x2+x+1=+＞0，∴（k﹣1）x2+（k﹣1）x+2＞0的解集为R．当k=1时，2＞0恒成立，因此k=1满足条件．当k≠0时，可得，解得1＜k＜9，综上可得：k的范围为[1，9）．故答案为：[1，9）．12．已知集合P={x|1≤x≤6，x∈N}，对它的非空子集A，将A中每个元素k，都乘以（﹣1）k再求和（如A={1，3，6}，可求得和为（﹣1）•1+（﹣1）3•3+（﹣1）6•6=2，则对M 的所有非空子集，这些和的总和是96．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据题意，将M中所有非空子集分类考虑完备，将所有非空子集中的含有1的总个数确定好，从而可求其和，同理求得含有2、3…，6的部分的和，问题即可解决．解：∵M={x|1≤x≤6，x∈N}={1，2，…，6}，∴M中所有非空子集中含有1的有6类：①单元素集合只有{1}含有1，即1出现了C50次；②双元素集合有1的有{1，2}，{1，3}，…{1，6}，即1出现了C51次；③三元素集合中含有1的有{1，2，3}，{1，2，4}，…{1，5，16}即1出现了C52次；…⑩含有6个元素{1，2，…}1出现了C55次；∴1共出现C50+C51+…+C55=25；同理2，3，4，…6各出现25次，∴M的所有非空子集中，这些和的总和是25•[（﹣1）1+2×（﹣1）2+…+6×（﹣1）6]=25×3=96．故答案为：96．二、选择题（本大题4小题，每题3分，共12分）13．已知集合A、B，若A不是B的子集，则下列命题中正确的是（）A．对任意的a∈A，都有a∉B B．对任意的b∈B，都有b∈AC．存在a0，满足a0∈A，a0∉B D．存在a0，满足a0∈A，a0∈B【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据子集的定义进行判断．解：根据子集的定义，若∀x∈A，都有x∈B，则A是B的子集，∴A不是B的子集，有存在a0，满足a0∈A，a0∉B，故选C．14．若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A．B．a2＞b2C．D．a|c|＞b|c|【考点】不等关系与不等式．【分析】本选择题利用取特殊值法解决，即取符合条件的特殊的a，b的值，可一一验证A，B，D不成立，而由不等式的基本性质知C成立，从而解决问题．解：对于A，取a=1，b=﹣1，即知不成立，故错；对于B，取a=1，b=﹣1，即知不成立，故错；对于D，取c=0，即知不成立，故错；对于C，由于c2+1＞0，由不等式基本性质即知成立，故对；故选C．15．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．a2+b2＞2ab C． D．【考点】基本不等式．【分析】利用反例：a=﹣2，b=﹣1时，可判断选项A，C，反例：a=b=2时，a2+b2=2ab，可判断B，由ab＞0可知，，由基本不等式可判断D解：例如a=﹣2，b=﹣1时，选项A，C不成立例如a=b=2时，a2+b2=2ab，选项B不成立由ab＞0可知，，由基本不等式可得，=2故选D16．设全集为U，定义集合M与N的运算：M*N={x|x∈M∪N且x∉M∩N}，则N*（N*M）=（）A．M B．N C．M∩∁U N D．N∩∁U M【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据题意画出文氏图表示M*N为图中的阴影区域，从而得出N*（N*M）所表示的区域为M．解：如图所示，由定义可知N*M为图中的阴影区域，∴N*（N*M）为图中阴影Ⅰ和空白的区域，∴N*（N*M）=M．故选：A．三、解答题（本大题5小题，共52分）17．比较与（）2的大小．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法判断两个多项式的大小即可．解：﹣（）2=﹣（a2+b2+2ab）=（a2+b2﹣2ab）=（a﹣b）2≥0，∴≥（）2．18．已知集合A={x|12﹣5x﹣2x2＞0}，B={x|x2﹣ax+b≤0}满足A∩B=∅，A∪B=（﹣4，8]，求实数a，b的值．【考点】并集及其运算．【分析】求出集合A={x|﹣4＜x＜}，由A∩B=∅，A∪B=（﹣4，8]，得到B={x|x2﹣ax+b ≤0}={x|}，由此能求出a，b的值．解：∵集合A={x|12﹣5x﹣2x2＞0}={x|﹣4＜x＜}，B={x|x2﹣ax+b≤0}，满足A∩B=∅，A∪B=（﹣4，8]，∴B={x|x2﹣ax+b≤0}={x|}，∴，8是方程|x2﹣ax+b=0的两个根，∴，解得a=，b=12．19．已知集合A={x||2x﹣1|≤3}，集合B={x|x2+（4﹣a）x﹣4a＞0}，若A∩B=A，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】确定集合A的元素范围，根据A∩B=A，建立条件关系即可求实数a的取值范围．解：由题意：集合A={x||2x﹣1|≤3}={x|﹣1≤x≤2}集合B={x|x2+（4﹣a）x﹣4a＞0}={x|（x+4）（x﹣a）＞0}，∵A∩B=A∴A⊆B．解法一：令f（x）=x2+（4﹣a）x﹣4a＞0，∵﹣1≤x≤2，根据一元二次方程的根的分布：可得：或解：a≤﹣1故得实数a的取值范围是：（﹣∞，﹣1]．解法二，讨论思想：当a=﹣4时，B={x∈R|x≠﹣4}，满足A⊆B．当a＞﹣4时，B={x|x＞a或x＜﹣4}，要使A⊆B成立，则：a≤﹣1．当a＜﹣4时，B={x|x＜a或x＞﹣4}，满足A⊆B．故得实数a的取值范围是：（﹣∞，﹣1]．20．某商场一年购进某种货物900吨，每次都购进x吨，运费为每次9万元，一年的总存储费用为9x万元．（1）要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买多少吨？（2）要使一年的总运费与总存储费用之和不超过585万元，则每次购买量在什么范围？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）先设某公司每次都购买x吨，由于一年购买某种货物900吨，得出需要购买的次数，从而求得一年的总运费与总存储费用之和，最后利用基本不等式求得一年的总运费与总存储费用之和最小即可．（2）根据一年的总运费与总存储费用之和不超过585万元，可建立不等式，从而可求次购买量的范围解：（1）设每次都购买x吨，则需要购买次，∵运费为9万/次，一年的总存储费用为9x万元，∴一年的总运费与总存储费用之和为9×+9x万元∵9×+9x≥540，当且仅当9×=9x时取等号∴x=30吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小；（2）由题意，9×+9x≤585，得20≤x≤45．∴每次购买量在大于或等于20吨且小于或等于45吨的范围内．21．设全集U=R．（1）解关于x的不等式|x﹣1|+a﹣1＞0（a∈R）；（2）记A为（1）中不等式的解集，B为不等式组的整数解集，若（∁U A）∩B恰有三个元素，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论a的范围，求出不等式的解集即可；（2）解不等式组，求出集合B，通过讨论a的范围，求出∁∪A，结合题意得到关于a的不等式，解出即可．解：（1）由|x﹣1|+a﹣1＞0 得|x﹣1|＞1﹣a，当a＞1时，解集是R；当a≤1时，解集是{x|x＜a，或x＞2﹣a}．（2）解不等式组，得：﹣4＜x≤，故B={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，当a＞1时，C U A=∅，不满足条件．当a≤1时，C U A={x|a≤x≤2﹣a}，∴2﹣a≥1，若（∁U A）∩B恰有三个元素，则，解得：﹣1＜a≤0．。

上海市黄浦区格致中学2016-2017学年高一(上)期中数学试卷(解析版)

2016-2017学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：（每小题3分，满分36分）1．若集合{1，2，3}={a，b，c}，则a+b+c=．2．若原命题的否命题是“若x∉N，则x∉Z”，则原命题的逆否命题是．3．已知函数f（x）=，g（x）=，则f（x）•g（x）=．4．不等式≤0的解集是．5．若a2≤1，则关于x的不等式ax+4＞1﹣2x的解集是．6．已知集合A，B满足，集合A={x|x＜a}，B={x||x﹣2|≤2，x∈R}，若已知“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则a的取值范围是．7．已知函数f（x）满足：f（x﹣1）=2x2﹣x，则函数f（x）=．8．已知集合A，B满足，集合A={x|x=7k+3，k∈N}，B={x|x=7k﹣4，k∈Z}，则A，B两个集合的关系：A B（横线上填入⊆，⊇或=）9．已知集合A，B满足，集合A={x|x+y2=1，y∈R}，B={y|y=x2﹣1，x∈R}，则A∩B=．10．若函数y=f（x）的定义域是[﹣2，2]，则函数y=f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为．11．已知直角三角形两条直角边长分别为a、b，且=1，则三角形面积的最小值为．12．定义集合运算“*”：A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}，称为A，B两个集合的“卡氏积”．若A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}，b={1，2，3}，则（a×b）∩（b×a）=．二、选择题：（每小题4分，满分16分）13．下列写法正确的是（）A．∅∈{0}B．∅⊆{0}C．0⊊∅D．∅∉∁R∅14．已知函数y=f（x），则集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}的子集可能有（）A．0个B．1个C．1个或2个D．0个或1个15．以下结论正确的是（）A．若a＜b且c＜d，则ac＜bdB．若ac2＞bc2，则a＞bC．若a＞b，c＜d，则a﹣c＜b﹣dD．若0＜a＜b，集合A={x|x=}，B={x|x=}，则A⊇B16．有限集合S中元素的个数记做card（S），设A，B都为有限集合，给出下列命题：①A∩B=∅的充要条件是card（A∪B）=card（A）+card（B）②A⊆B的必要不充分条件是card（A）≤card（B）+1③A⊈B的充分不必要条件是card（A）≤card（B）﹣1④A=B的充要条件是card（A）=card（B）其中，真命题有（）A．①②③ B．①②C．②③D．①④三、解答题（本大题共4小题，满分48分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并在规定处答题，否则不得分．17．已知集合A={x|a+1≤x≤2a+3}，B={x|﹣x2+7x﹣10≥0}（1）已知a=3，求集合（∁R A）∩B；（2）若A⊈B，求实数a的范围．18．对于函数f（x）=ax2+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2（1）若a＞0，且x1＜1＜x2，求a的取值范围；（2）若x1﹣1，x2﹣1同号，求a的取值范围．19．某地区山体大面积滑坡，政府准备调运一批赈灾物资共装26辆车，从某市出发以v（km/h）的速度匀速直达灾区，如果两地公路长400km，且为了防止山体再次坍塌，每两辆车的间距保持在（）2km．（车长忽略不计）设物资全部运抵灾区的时间为y小时，请建立y关于每车平均时速v（km/h）的函数关系式，并求出车辆速度为多少千米/小时，物资能最快送到灾区？20．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求x3﹣3x，x∈[0，+∞）的最小值．解：利用基本不等式a+b+c≥3，得到x3+1+1≥3x，于是x3﹣3x=x3+1+1﹣3x﹣2≥3x﹣3x﹣2=﹣2，当且仅当x=1时，取到最小值﹣2（1）老师请你模仿例题，研究x4﹣4x，x∈[0，+∞）上的最小值；（提示：a+b+c+d≥4）（2）研究x3﹣3x，x∈[0，+∞）上的最小值；（3）求出当a＞0时，x3﹣ax，x∈[0，+∞）的最小值．2016-2017学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每小题3分，满分36分）1．若集合{1，2，3}={a，b，c}，则a+b+c=6．【考点】集合的相等．【分析】利用集合相等的定义求解．【解答】解：∵{1，2，3}={a，b，c}，∴a+b+c=1+2+3=6．故答案为：6．2．若原命题的否命题是“若x∉N，则x∉Z”，则原命题的逆否命题是真命题．【考点】命题的真假判断与应用；四种命题．【分析】原命题的逆否命题和原命题的否命题互为逆命题，进而得到答案．【解答】解：若原命题的否命题是“若x∉N，则x∉Z”，则原命题的逆否命题是“若x∉Z，则x∉N”，是真命题故答案为：真命题3．已知函数f（x）=，g（x）=，则f（x）•g（x）=﹣，x∈（﹣3，﹣2]∪[2，3）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据f（x），g（x）的解析式求出f（x）•g（x）的解析式即可．【解答】解：∵f（x）=，g（x）=，∴f（x）•g（x）=•=﹣，x∈（﹣3，﹣2]∪[2，3），故答案为：﹣，x∈（﹣3，﹣2]∪[2，3）．4．不等式≤0的解集是{x|x≤或x＞4} ．【考点】其他不等式的解法．【分析】原不等式等价于，解不等式组可得．【解答】解：不等式≤0等价于，解得x≤或x＞4，∴不等式≤0的解集为：{x|x≤或x＞4}故答案为：{x|x≤或x＞4}．5．若a2≤1，则关于x的不等式ax+4＞1﹣2x的解集是{x|x＞﹣} ．【考点】其他不等式的解法．【分析】确定1≤a+2≤3，即可解关于x的不等式ax+4＞1﹣2x．【解答】解：∵a2≤1，∴﹣1≤a≤1，∴1≤a+2≤3，∴不等式ax+4＞1﹣2x化为（a+2）x＞﹣3，∴x＞﹣，∴关于x的不等式ax+4＞1﹣2x的解集是{x|x＞﹣}．故答案为{x|x＞﹣}．6．已知集合A，B满足，集合A={x|x＜a}，B={x||x﹣2|≤2，x∈R}，若已知“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则a的取值范围是（4，+∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解出关于B的不等式，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：A={x|x＜a}，B={x||x﹣2|≤2，x∈R}={x|0≤x≤4}，若已知“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，即[0，4]⊆（﹣∞，a），故a＞4，故答案为：（4，+∞）．7．已知函数f（x）满足：f（x﹣1）=2x2﹣x，则函数f（x）=2x2+3x+1．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】令x﹣1=t，则x=t+1，将x=t+1代入f（x﹣1），整理替换即可．【解答】解：令x﹣1=t，则x=t+1，故f（x﹣1）=f（t）=2（t+1）2﹣（t+1）=2t2+3t+1，故f（x）=2x2+3x+1，故答案为：2x2+3x+1．8．已知集合A，B满足，集合A={x|x=7k+3，k∈N}，B={x|x=7k﹣4，k∈Z}，则A，B两个集合的关系：A⊆B（横线上填入⊆，⊇或=）【考点】集合的表示法；集合的包含关系判断及应用．【分析】根据题意，已知分析两个集合中元素的性质，可得结论．【解答】解：根据题意，集合A={x|x=7k+3，k∈N}，表示所有比7的整数倍大3的整数，其最小值为3，B={x|x=7k﹣4，k∈Z}，表示所有比7的整数倍小4的整数，也表示所有比7的整数倍大3的整数，故A⊆B；故答案为：⊆．9．已知集合A，B满足，集合A={x|x+y2=1，y∈R}，B={y|y=x2﹣1，x∈R}，则A∩B=[﹣1，1] ．【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A，B中函数的值域确定出集合A，B，求出两集合的交集即可．【解答】解：由集合A中的函数x+y2=1，得到集合A=（﹣∞，1]，由集合B中的函数y=x2﹣1≥﹣1，集合A=[﹣1，+∞），则A∩B=[﹣1，1]故答案为：[﹣1，1]10．若函数y=f（x）的定义域是[﹣2，2]，则函数y=f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为[﹣1，1] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】利用函数的定义域的求法，使函数有意义的x的值求得函数的定义域，再求它们的交集即可．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，∴解得﹣1≤x≤1；函数y=f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为：[﹣1，1]；故答案为：[﹣1，1]11．已知直角三角形两条直角边长分别为a、b，且=1，则三角形面积的最小值为4．【考点】基本不等式．【分析】根据=1，求出ab的最小值，从而求出三角形面积的最小值即可．【解答】解：∵a＞0，b＞0，=1，∴1≥2，∴≤，ab≥8，当且仅当b=2a时“=”成立，=ab≥4，故S△故答案为：4．12．定义集合运算“*”：A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}，称为A，B两个集合的“卡氏积”．若A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}，b={1，2，3}，则（a×b）∩（b×a）={（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据新概念的定义，写出a×b与b×a，再根据交集的定义进行计算即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}={x|0≤|x|≤2x∈N}={0，1，2}，b={1，2，3}，所以a×b={（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）}，b×a={（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）}；所以（a×b）∩（b×a）={（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}．故答案为：{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}．二、选择题：（每小题4分，满分16分）13．下列写法正确的是（）A．∅∈{0}B．∅⊆{0}C．0⊊∅D．∅∉∁R∅【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据空集的定义，空集是指不含有任何元素的集合，结合元素和集合关系、集合和集合关系的判断；由∅是任何集合的子集，知∅⊆{0}．【解答】解：元素与集合间的关系是用“∈”，“∉”表示，故选项A、D不正确；∵∅是不含任何元素的∴选项C不正确∵∅是任何集合的子集故选：B．14．已知函数y=f（x），则集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}的子集可能有（）A．0个B．1个C．1个或2个D．0个或1个【考点】子集与真子集．【分析】当2∈[a，b]时，由函数的定义可知，x=2与函数y=f（x）只有一个交点；当2∉[a，b]时，x=2与函数y=f（x）没有交点，即可求．【解答】解：当2∈[a，b]时，由函数的定义可知，对于任意的x=2都有唯一的y与之对应，故x=2与函数y=f（x）只有一个交点，即集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}中含有元素只有一个，当2∉[a，b]时，x=2与函数y=f（x）没有交点，综上可得，集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}中含有元素的个数为0个或1个故选：D．15．以下结论正确的是（）A．若a＜b且c＜d，则ac＜bdB．若ac2＞bc2，则a＞bC．若a＞b，c＜d，则a﹣c＜b﹣dD．若0＜a＜b，集合A={x|x=}，B={x|x=}，则A⊇B【考点】命题的真假判断与应用；不等式的基本性质．【分析】根据不等式的基本性质，及集合包含有关系的定义，逐一分析给定四个答案的真假，可得结论．【解答】解：若a=﹣1，b=0，c=﹣1，d=0，则a＜b且c＜d，但ac＞bd，故A错误；若ac2＞bc2，则c2＞0，则a＞b，故B正确；若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d，故C错误；若0＜a＜b，集合A={x|x=}，B={x|x=}，则A与B不存在包含关系，故D错误；故选：B．16．有限集合S中元素的个数记做card（S），设A，B都为有限集合，给出下列命题：①A∩B=∅的充要条件是card（A∪B）=card（A）+card（B）②A⊆B的必要不充分条件是card（A）≤card（B）+1③A⊈B的充分不必要条件是card（A）≤card（B）﹣1④A=B的充要条件是card（A）=card（B）其中，真命题有（）A．①②③ B．①②C．②③D．①④【考点】集合中元素个数的最值．【分析】分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，比如第四个句子元素个数相等，元素不一定相同．【解答】解：①A∩B=∅Û集合A与集合B没有公共元素，正确；②A⊆B集合A中的元素都是集合B中的元素，正确；③A⊈B集合A中至少有一个元素不是集合B中的元素，因此A中元素的个数有可能多于B中元素的个数，错误；④A=B集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，错误．故选B．三、解答题（本大题共4小题，满分48分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并在规定处答题，否则不得分．17．已知集合A={x|a+1≤x≤2a+3}，B={x|﹣x2+7x﹣10≥0}（1）已知a=3，求集合（∁R A）∩B；（2）若A⊈B，求实数a的范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合B，（1）计算a=3时集合A，根据补集与交集的定义；（2）A⊈B时，得出关于a的不等式，求出实数a的取值范围．【解答】解：集合A={x|a+1≤x≤2a+3}，B={x|﹣x2+7x﹣10≥0}={x|x2﹣7x+10≤0}={x|2≤x≤5}；（1）当a=3时，A={x|4≤x≤9}，∴∁R A={x|x＜4或x＞9}，集合（∁R A）∩B={x|2≤x＜4}；（2）当A⊈B时，a+1＜2或2a+3＞5，解得a＜1或a＞1，所以实数a的取值范围是a≠1．18．对于函数f（x）=ax2+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2（1）若a＞0，且x1＜1＜x2，求a的取值范围；（2）若x1﹣1，x2﹣1同号，求a的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（1）a＞0时，根据二次函数f（x）的图象与性质，得出f（1）＜0，求出a的取值范围即可；（2）根据x1﹣1，x2﹣1同号得出（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，利用根与系数的关系列出不等式，从而求出a 的取值范围．【解答】解：函数f（x）=ax2+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2；（1）当a＞0时，二次函数f（x）的图象开口向上，且x1＜1＜x2，∴f（1）=a+2﹣2a＜0，解得a＞2，∴a的取值范围是a＞2；（2）若x1﹣1，x2﹣1同号，则（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＞0；又x1x2=﹣2，x1+x2=﹣，∴﹣2﹣（）+1＞0，解得0＜a＜2；又△=4﹣4a×（﹣2a）＞0，解得a∈R；综上，实数a的取值范围是0＜a＜2．19．某地区山体大面积滑坡，政府准备调运一批赈灾物资共装26辆车，从某市出发以v（km/h）的速度匀速直达灾区，如果两地公路长400km，且为了防止山体再次坍塌，每两辆车的间距保持在（）2km．（车长忽略不计）设物资全部运抵灾区的时间为y小时，请建立y关于每车平均时速v（km/h）的函数关系式，并求出车辆速度为多少千米/小时，物资能最快送到灾区？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】由题意可知，y相当于：最后一辆车行驶了25个（）2km+400km所用的时间，即可得到函数的解析式，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：设全部物资到达灾区所需时间为t小时，由题意可知，y相当于：最后一辆车行驶了25个（）2km+400km所用的时间，因此y==+，因为y=+≥2=10，当且仅当，即v=80时取“=”．故这些汽车以80km/h的速度匀速行驶时，物资能最快送到灾区．20．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求x3﹣3x，x∈[0，+∞）的最小值．解：利用基本不等式a+b+c≥3，得到x3+1+1≥3x，于是x3﹣3x=x3+1+1﹣3x﹣2≥3x﹣3x﹣2=﹣2，当且仅当x=1时，取到最小值﹣2（1）老师请你模仿例题，研究x4﹣4x，x∈[0，+∞）上的最小值；（提示：a+b+c+d≥4）（2）研究x3﹣3x，x∈[0，+∞）上的最小值；（3）求出当a＞0时，x3﹣ax，x∈[0，+∞）的最小值．【考点】基本不等式．【分析】（1）根据新定义可得x4﹣4x=x4+1+1+1﹣4x﹣3，解得即可，（2）根据新定义可得x3﹣3x=x3+3+3﹣3x﹣6，解得即可，（3）根据新定义可得x3﹣ax=x3++﹣ax﹣，解得即可．【解答】解：（1）x4﹣4x=x4+1+1+1﹣4x﹣3≥4x﹣4x﹣3=﹣3，当且仅当x=1时，取到最小值﹣3，（2）x3﹣3x=x3+3+3﹣3x﹣6≥3x﹣3x﹣6=﹣6，当且仅当x=3时，取到最小值﹣6，（3）x3﹣ax=x3++﹣ax﹣≥ax﹣ax﹣=﹣，当且仅当x=时，取到最小值﹣2016年12月29日。

2016-2017学年上海市建平中学高一上学期期中考试数学试卷含详解

2016-2017学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1.设集合{}1,2,3,4P =，{}|2Q x x =≤，则P Q = ______.2.集合{}1,2,3的真子集的个数为______.3.不等式1012x x-≥-的解集______.4.设α：x m >，β：13x ≤<，若α是β的必要条件，则实数m 的取值范围是______.5.已知a ，b ，c 是实数，写出命题“若0a b c ++=，则a ，b ，c 中至少有两个负数”的等价命题：______.6.若0a >，0b >，321a b +=，则ab 的最大值是______.7.设全集U =R ，1|11A x x ⎧⎫⎪⎪=<⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，{}2|540B x x x =-+>，则()U A C B = ______.8.已知正数x ，y 满足111x y+=，则49x y +的最小值为______.9.若不等式11axx >-的解集为()1,2，则实数a 的值是______.10.关于x 的不等式组1ax x a <⎧⎨-<⎩的解集不是空集，则实数a 的取值范围是_____.11.若{}2|0,A x mx x m m R =++=∈，且A R =∅ ，则实数m 的取值范围为______.12.用[]M A 表示非空集合A 中的元素个数，记[][][][][][][][],,M A M B M A M B A B M B M A M A M B ⎧-≥⎪-=⎨-<⎪⎩，若{}1,2,3A =，{}2|23B x x x a =--=，且1A B -=，则实数a 的取值范围为______.二、选择题：（每小题4分，共16分）13.如果0a b <<,那么下列不等式成立的是（）A.11a b< B.2ab b <C.2ab a -<- D.11a b-<-14.“若a，b∈R ＋，a 2＋b 2<1”是“ab＋1>a＋b”的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件15.不等式2124x x a a +--≥-的解集为R ，则实数a 的取值范围是（）A.(][),13,-∞+∞ B.()(),13,-∞⋃+∞ C.[]1,3 D.()1,316.在下列条件中：①240b ac -≥；②0ac >；③0ab <且0ac >；④240b ac -≥，0b a<，0ca >中能成为“使二次方程20ax bx c ++=的两根为正数”的必要非充分条件是（）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④三、解答题：本大题共5小题，共48分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.解不等式组：251320x x x ⎧≥⎪+⎨⎪+-≥⎩.18.设全集U =R ，集合{}1A x x a =-<，122x B xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭.（1）求出集合B ；（2）若u A C B ⊆，求出实数a 的取值范围.19.某化工厂生产某种产品，当年产量在150吨至250吨时，每年的生产成本y 万元与年产量x 吨之间的关系可可近似地表示为2130400010y x x =-+.（1）若每年的生产总成本不超过2000万元，求年产量x 的取值范围；（2）求年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低，并求每吨的最低成本.20.已知{}|13M x x =<<，{}2|680N x x x =-+≤.（1）设全集U =R ，定义集合运算∆，使()U M N M C N ∆= ，求M N ∆和N M ∆；（2）若{}|2H x x a =-≤，按（1）的运算定义求：()N M H ∆∆.21.已知函数()22f x ax x c =-+，且()0f x >的解集是1|x x a ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭.（1）求()2f 的最小值及()2f 取最小值时()f x 的解析式；（2）在()2f 取得最小值时，若对于任意的2x >，()()42f x m x +≥-恒成立，求实数m 的取值范围.2016-2017学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1.设集合{}1,2,3,4P =，{}|2Q x x =≤，则P Q = ______.【答案】{}1,2由P 与Q ，求出两集合的交集即可.【详解】∵{}1,2,3,4P =，{}|2Q x x =≤，∴{}1,2P Q = .故答案为：{}1,2.【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集的定义是解题关键．2.集合{}1,2,3的真子集的个数为______.【答案】7集合{}1,2,3的真子集是指属于集合的部分组成的集合，包括空集.【详解】集合的真子集为{}1，{}2，{}3，{}1,2，{}1,3，{}2,3，∅.共有7个.故答案为：7.【点睛】本题考查集合的子集的概念，属于基础题．3.不等式1012x x -≥-的解集______.【答案】1,12⎛⎤⎥⎝⎦依题意可得10120x x -≥⎧⎨->⎩①或10120x x -≤⎧⎨-<⎩②，分别解之，取并即可.【详解】∵1012x x-≥-，∴10120x x -≥⎧⎨->⎩①或10120x x -≤⎧⎨-<⎩②，解①得：x ∈∅；解②得：112x <≤，∴不等式1012x x -≥-的解集为1,12⎛⎤⎥⎝⎦.故答案为：1,12⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题考查解分式不等式，解分式不等式0AB≥可分类讨论，按分子分母的符号，注意分母不为0．4.设α：x m >，β：13x ≤<，若α是β的必要条件，则实数m 的取值范围是______.【答案】(),1-∞根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出m 的范围即可.【详解】α：x m >，β：13x ≤<，若α是β的必要条件，则1m <，故答案为：(),1-∞.【点睛】本题考查必要条件的判断，由必要条件求参数范围，解题关键是掌握充分条、必要条件、充要条件与集合的包含关系之间的联系．5.已知a ，b ，c 是实数，写出命题“若0a b c ++=，则a ，b ，c 中至少有两个负数”的等价命题：______.【答案】若a ，b ，c 中至多有1个非负数，则0a b c ++≠命题的逆否命题为若a ，b ，c 中至多有1个非负数，则0a b c ++≠，即可得出结论.【详解】命题的逆否命题为若a ，b ，c 中至多有1个非负数，则0a b c ++≠，故答案为：若a ，b ，c 中至多有1个非负数，则0a b c ++≠.【点睛】本题考查四种命题，解题关键是掌握四种命题之间的关系．6.若0a >，0b >，321a b +=，则ab 的最大值是______.【答案】124利用基本不等式的性质即可得出.【详解】0a >，0b >，321a b +=，∴132a b =+≥，当且仅当16a =，14b =时取等号，∴124ab ≤，∴ab 的最大值是124，故答案为：124.【点睛】本题考查基本不等式求最值，解题时要注意基本不等式求最值的条件：一正二定三相等．7.设全集U =R ，1|11A x x ⎧⎫⎪⎪=<⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，{}2|540B x x x =-+>，则()U A C B = ______.【答案】{}|24x x <≤解不等式求出集合A 、B ，根据补集与交集的定义写出()U A C B ⋂.【详解】全集U =R ，{}1|1|111A x x x x ⎧⎫⎪⎪=<=->⎨⎬-⎪⎪⎩⎭{}|02x x x =<>或；{}{}2|540|14B x x x x x x =-+>=<>或，∴{}|14U C B x x =≤≤，∴(){}|24U A C B x x =<≤ .故答案为：{}|24x x <≤.【点睛】本题考查集合的运算，解题是先解不等式确定集合,A B ，然后再根据集合运算的定义计算．8.已知正数x ，y 满足111x y+=，则49x y +的最小值为______.【答案】25将111x y+=代入所求关系式，利用基本不等式即可求得答案.【详解】()11944949y x x y x y x y ⎛⎫++=+++⎪⎝⎭1325≥+=，当且仅当52x =，53y =时取等号，故49x y +的最小值为25.故答案为：25.【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题关键是凑配出基本不等式的条件：定值．这里用到“1”的代换．9.若不等式11axx >-的解集为()1,2，则实数a 的值是______.【答案】12【分析】由题意可得原不等式为()1101x x a ⎛⎫--< ⎪-⎝⎭，即可求出a 的值.【详解】11ax x >-等价于101ax x ->-，等价于()1101a x x -+>-，等价于()()1110x a x --+>⎡⎤⎣⎦，∵不等式11axx >-的解集为()1,2，∴原不等式为()1101x x a ⎛⎫--< ⎪-⎝⎭，∴121a=-，解得12a =.故答案为：12.【点睛】本题考查解分式不等式．解分式不等式一般把不等式化为0AB>，然后转化为整式不等式0AB >。

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上海中学高一期中数学卷
2016.11
一. 填空题
1. 设集合{0,2,4,6,8,10}A =，{4,8}B =，则A C B =
2. 已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =I
3. “若1x =且1y =，则2x y +=”的逆否命题是
4. 若2211()f x x x x +=+
，则(3)f = 5. 不等式9x x
>的解是 6. 若不等式2(1)0ax a x a +++<对一切x R ∈恒成立，则a 的取值范围是
7. 不等式2(3)30x --<的解是
8. 已知集合{|68}A x x =-≤≤，{|}B x x m =≤，若A B B ≠U 且A B ≠∅I ，则m 的取值范围是
9. 不等式1()()25a x y x y
++
≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为 10. 设0a >，0b >，且45ab a b =++，则ab 的最小值为 11. 已知二次函数22
()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数c ，使()0f c >，则实数p 的取值范围是 12. 已知0a >，0b >，2a b +=，则22
21
a b a b +++的最小值为
二. 选择题
1. 不等式||x x x <的解集是（）
A. {|01}x x <<
B. {|11}x x -<<
C. {|01x x <<或1}x <-
D. {|10x x -<<或1}x >
2. 若A B ⊆，A C ⊆，{0,1,2,3,4,5,6}B =，{0,2,4,6,8,10}C =，则这样的A 的个数为（）
A. 4
B. 15
C. 16
D. 32
3. 不等式210ax bx ++>的解集是11
(,)23
-，则a b -=（） A. 7- B. 7 C. 5- D. 5
4. 已知函数2
()f x x bx =+，则“0b <”是“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等” 的（）条件
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要
三. 解答题
1. 解不等式：（1）|2||23|4x x -+-<；（2）2232
x x x x x -≤--；
2. 已知,,,a b c d R ∈，证明下列不等式：
（1）22222()()()a b c d ac bd ++≥+；（2）222a b c ab bc ca ++≥++；
3. 已知二次函数2()1f x ax bx =++，,a b R ∈，当1x =-时，函数()f x 取到最小值，且最小值为0；
（1）求()f x 解析式；
（2）关于x 的方程()|1|3f x x k =+-+恰有两个不相等的实数解，求实数k 的取值范围；
4. 设关于x 的二次方程2(1)10px p x p +-++=有两个不相等的正根，且一根大于另一根的两倍，求p 的取值范围；
5. 已知二次函数2()f x ax bx c =++(0)a ≠，记[2]()(())f
x f f x =，例：2()1f x x =+，则[2]222()(())1(1)1f x f x x =+=++；
（1）2()f x x x =-，解关于x 的方程[2]()f
x x =；（2）记2(1)4b ac ∆=--，若[2]()f
x x =有四个不相等的实数根，求∆的取值范围；
参考答案
一. 填空题
1. {0,2,6,10}
2. {1,0,1}-
3. 若2x y +≠，则1x ≠或1y ≠；
4. 7
5. (3,0)(3,)-+∞U
6. 1(,)3-∞-
7. (0,6)
8. [6,8)- 9. 16 10. 25 11. 3(3,)2- 12. 2+
二. 选择题
1. C
2. C
3. C
4. A
三. 解答题
1.（1）1(,3)3；（2）(1,0]{1}(2,)-+∞U U ；
2. 略；
3.（1）2()21f x x x =++；（2）3k <或134k =
； 4. 107
p <<； 5.（1）0x =或2x =；（2）4∆>；。