2013年中国科技大学数学夏令营试题赏析

ｓｉｎｎπ
·ｓｉｎ２ｎπ· …
·ｓｉｎ
（ｎ－１）π ｎ
＝
（ω２ －１）（ω４ －１）… （ω２（ｎ－１）－１） ｉ ω （２ ）ｎ－１ １＋２＋ … ＋（ｎ－１）
＝
（ω２ －１）（ω４ －１）… （ω２（ｎ－１）－１） （２ｉ）ｎ－１（ωｎ２ ）ｎ－１
＝
（ω２ －１）（ω４ －１）… （ω２（ｎ－１）－１） ２ｎ－１（－１）ｎ－１
４．已知ｎ∈Ｎ＋ 且ｎ≥２，求证：（１＋ｎ１）ｎ＜３．
ｎ
∑ 证明
（１ ＋
１ ）ｎ ｎ
＝
ｋ＝０Ｃｋｎ （ｎ１ ）ｋ
＝ ２＋
∑ ∑ ｎ
ｋ＝２
ｎ（ｎ－１）ｋ…！ｎ（ｎｋ －ｋ＋１）＜２＋
ｎ
ｒ＝２ｋ１！＜２＋
∑ ∑ ｎ
ｎ
ｒ＝２ ｋ（ｋ１－１）＝２＋ ｒ＝２
（ｋ１－１－ｋ１）＝３－ｎ１＜３．
注
：ｌｉｍ ｎ→ ＋ ∞
中 学 生 数 学 ·２０１４ 年 ５ 月 上 · 第 ４８９ 期 （高 中 ）
数 学 竞 赛 之 窗
（上 接 第 ３５ 页 ）
所以当且仅当 ２θ＝π２ 或 －３２π，即ｔａｎθ２ ＝
±槡２－１，ｆ（ｘ）ｍａｘ
＝
１ ４
，当
且
仅
当
２θ＝３２π或
－π２
，即
ｔａｎ
θ ２
＝
±槡２＋１，ｆ（ｘ）ｍｉｎ
＝
－
１ ４
中 学 生 数 学 ·２０１４ 年 ５ 月 上 · 第 ４８９ 期 （高 中 ）
数 学 竞 赛 之 窗
确定该平 面 了．因 为 涉 及 到 平 面 的 方 向，我 们
考虑它的法线，并 且 假 设ａ，ｂ 为 相 交 直 线 也 没
关系（平移异面直线ａ，ｂ至均过定点 Ｍ 即可）．
于是 原 题 简 化 为：已 知 两 条 相 交 直 线 ａ，ｂ
ＯＢ ·ｓｉｎ∠ＡＯＢ＝２４ｓｉｎ∠ＡＯＢ≤２４，
当 且 仅 当 ∠ＡＯＢ＝９０°，即 ｘ＝２５４时 取 等 ， 此 时 ｆ（ｘ）ｍａｘ＝２４． 解 ２ （均 值 不 等 式 ）
ｆ（ｘ）＝
１２ｘ（槡３６－ｘ２
＋
槡６４－ｘ２
）＝
２ ３
·
３ｘ· ４
槡３６－ｘ２
＋
３ ８
·４ｘ· ３
槡６４－ｘ２
≤
１ ３
（１＋ｎ１
）ｎ＝ｅ．
５．求ｆ（ｘ）＝ｘ２（槡３６－ｘ２ ＋ 槡６４－ｘ２），（０
＜ｘ＜６）的 最 大 值 ．
解 １ （几 何 法 ）
构 造 图 形 （如 图 １）．
则
函
数
ｆ（ｘ）＝
ｘ ２
（槡３６－ｘ２ ＋ 槡６４－ｘ２ ）
的 几 何 意 义 是 △ＯＡＢ 的 面 积 ，而
Ｓ△ＯＡＢ
＝
１ ２
ＯＡ
·
图１
证明 设１ 的 ２ｎ 次 单 位 根 为：ω＝ｃｏｓ２２πｎ
＋ｉｓｉｎ２２πｎ，则１，ω２ ，ω４ ，… ，ω２（ｎ－１），ω２ｎ 都 是ｘ２ｎ ＝
１的根． 由 ｘ２ｎ －１＝ （ｘ２ －１）（ｘ２（ｎ－１）＋ｘ２（ｎ－２）＋
… ＋ｘ２ ＋１）＝ （ｘ２ －１）（ｘ２ －ω２）（ｘ２ －ω４ ）… （ｘ２ －ω２（ｎ－１）），
＋ｙ２－６ｙ＋８）＝０，即 ４ｘ＋８ｙ－１１＝０ 上．解 这
两条直线方程构成的方程组可得点 Ｐ 的坐标
是 （１ ４
，５ ４ ）．
（责 审 周 春 荔 ）
数 学 竞 赛 之 窗
· ３５ · 网址：ｚｘｓｓ．ｃｂｐｔ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ 电子邮箱：ｚｘｓｓ＠ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ
则 ｘ２（ｎ－１）＋ｘ２（ｎ－２）＋ … ＋ｘ２ ＋１＝ （ｘ２ － ω２）（ｘ２ －ω４）… （ｘ２ －ω２（ｎ－１）），
取 ｘ＝１，上 式 得 ： （１－ω２）（１－ω４）… （１－ω２（ｎ－１））＝ｎ．
由 ω＝ｃｏｓ２２πｎ＋ｉｓｉｎ２２πｎ，
得 ｓｉｎｋｎπ＝ωｋ －２ｉω－ｋ ＝ω２２ｉｋω－ｋ１，
当
且仅
当
ｓｉｎＡ
＝ｓｉｎＢ＝
１ ２
，即
∠Ａ
＝
∠Ｂ
＝ ∠Ｃ＝π３ 时 取 等 ．
当
且仅
当 α＋β＝
π ２
，即
６ｓｉｎα＝８ｃｏｓα
时
，
此 时 ｘ＝２５４，ｆ（ｘ）ｍａｘ＝２４． ６．数列 ｛ａｎ ｝定 义 是：ａ１＝１，ａ２ ＝２，ａ３ ＝３，
ａｎ＋３＝ａｎ＋１ａａｎｎ＋２＋７，ｎ∈Ｎ＊ ．证 明：该 数 列 中 的 项都是正整数．
解 由题可 知ａｎ 是 正 数．由ａｎ＋３ａｎ ＝ａｎ＋１ ａｎ＋２＋７ 及ａ ａ ｎ＋４ ｎ＋１＝ａｎ＋２ａｎ＋３＋７，两式相减 ，
成６０°角，求空间中过交点 Ｍ 与ａ，ｂ都成４５°角
的直线有几条？ 因 为 这 样 的 直 线 有 两 条，所 以
所求平面有两个．
１０．三 角 形 ＡＢＣ 中，求 证：ｃｏｓ Ａ＋ｃｏｓＢ＋
ｃｏｓＣ≤ ３２ ．
解 １ （配 方 法 ）
ｃｏｓ Ａ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ≤ ３２ （１－ｃｏｓ Ａ－ｃｏｓＢ）２ ＋ （ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢ）２ ≥０．
解 １ （不 等 式 法 ）
ｆ（ｘ） ＝
ｘ－ｘ３ １＋２ｘ２＋ｘ４
＝
１ ２
２ｘ １＋ｘ２
·
１－ｘ２ １＋ｘ２
［ ］ ≤
１ ４
２ｘ １＋ｘ２
２
＋
１－ｘ２ １＋ｘ２
２
＝ １４ ．
当且仅当
２ｘ １＋ｘ２
＝
１－ｘ２ １＋ｘ２
，即 ｘ＝±槡２
－１ 或 ｘ＝ ±槡２＋１ 时 取 等 号 ．
所
以
ｆ（ｘ）ｍａｘ＝
中 学 生 数 学 ·２０１４ 年 ５ 月 上 · 第 ４８９ 期 （高 中 ）
解 ４ （换 元 法 ）
令 ｘ＝６ｓｉｎα＝８ｓｉｎβ，α，β∈ （０，π２ ），则
ｆ（ｘ）＝ｘ２（槡３６－ｘ２＋ 槡６４－ｘ２）
＝３ｘｃｏｓα＋４ｘｃｏｓβ
＝２４ｓｉｎβｃｏｓα＋２４ｓｉｎαｃｏｓβ ＝２４ｓｉｎ（α＋β）≤２４，
，最
大 值 与 最 小 值 的 乘 积 为 －１１６．
解 ３ （配 方 法 ）
－
１ ４
≤
（１＋２ｘ－ｘ２ ２＋２ｘ２
）２
－
１ ４
＝１＋ｘ２ｘ－２ｘ＋３ｘ４
＝
１ ４
－
（１－２２＋ｘ２ｘ－２ｘ２
）≤
１ ４
，
当
ｘ＝
±
槡２－１
时
，ｆ（ｘ）ｍａｘ
＝
１ ４
，当
ｘ＝
±槡２＋１，ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝
－
１ ４
，所
以
最
大
檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪
（上 接 第 ３４ 页 ）
下面将 通 过 两 道 例 题 谈 谈 以 上 定 理 的 应
用．
例１ 过动点 Ｐ 分 别 作 圆Ｃ１：ｘ２ ＋ｙ２ ＋２ｘ ＋２ｙ＋１＝０ 和 圆 Ｃ２：ｘ２ ＋ｙ２ －４ｘ－６ｙ＋９＝０ 的 切 线 ＰＡ、ＰＢ，Ａ、Ｂ 为 切 点，若 ＰＡ ＝
解 圆 Ａ：ｘ２ ＋ｙ２ －６ｙ＋８＝０、圆 Ｂ：ｘ２ ＋ｙ２＋２ｘ＝０ 和 圆 Ｃ： ｘ２ ＋ｙ２ ＋４ｘ＋２ｙ－３
＝０ 的 位 置 关 系 如 图 ６
所示．由 本 定 理 得，点
Ｐ 既在直线 （ｘ２ ＋ｙ２ ＋
２ｘ）－ （ｘ２ ＋ｙ２ －６ｙ＋
８）＝０，即 ２ｘ＋６ｙ－８
图６
＝０上；又在直线 （ｘ２ ＋ｙ２ ＋４ｘ＋２ｙ－３）－ （ｘ２
得 ａｎ＋３ａｎ－ａｎ＋４ａｎ＋１＝ａｎ＋１ａｎ＋２－ａｎ＋２ａｎ＋３， 所 以 ａｎａ＋ｎａ＋１ｎ＋２ ＝ａｎ＋ａ２ｎ＋＋ａ３ｎ＋４ ． 令 ｂｎ ＝ａｎａ＋ｎａ＋１ｎ＋２ ，则 ｂｎ＋２ ＝ｂｎ ． 由 于 ａ４ ＝１３，易 知 ｂ１ ＝３，ｂ２ ＝５，即 ｂ２ｋ－１＝ａ２ｋ－１ａ＋２ｋａ２ｋ＋１＝３，ｂ２ｋ＝ａ２ｋａ＋２ｋａ＋２１ｋ＋２＝５， 于是ａ２ｋ＋１＝３ａ２ｋ－ａ２ｋ－１，ａ２ｋ＋２＝５ａ２ｋ＋１－ａ２ｋ． 又 ａ１ ，ａ２ ，ａ３ ∈Ｚ，故 ａｎ ∈Ｚ． 又 ａｎ＞０，所以ａｎ 均是正整数． ７．设 正 数 数 列 ｛ａｎ ｝满 足：ａ０ ＝ａ１ ＝１，
动 ，其 间 进 行 了 一 次 测 试 ，做１１ 道 题 ．试 题 内 容
都属 于 高 考 的 范 围，难 度 略 高 于 高 考，注 重 考
查基础知识的同 时 更 注 重 能 力 的 考 查，本 文 对
这套测试题加以赏析．
１．求ｆ（ｘ）＝１＋ｘ２ｘ－２ｘ＋３ｘ４ 的 最 大 值 与 最 小
值的乘积．
当 且 仅 当 ｘ＝１ 时 等 号 成 立 ．
因 此 原 方 程 仅 有 一 个 实 数 根 ｘ＝１．
３．若α，β，γ∈ （０，π２ ），且 ｃｏｓ２α＋ｃｏｓ２β＋
ｃｏｓ２γ＝１，求 证 ：ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ≥２槡２．
解 由 ｃｏｓ２α＋ｃｏｓ２β＋ｃｏｓ２γ＝１，得 ｓｉｎ２α ＝ １ － ｃｏｓ２α ＝ ｃｏｓ２β ＋ ｃｏｓ２γ ≥ ２ｃｏｓβｃｏｓγ， 即 ｓｉｎ２α≥２ｃｏｓβｃｏｓγ，同 理 得 ｓｉｎ２β≥２ｃｏｓγｃｏｓα，ｓｉｎ２γ≥２ｃｏｓαｃｏｓβ． 三式相乘即得证．
１ ４
，ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝
－
１ ４
，
最 大 值 与 最 小 值 的 乘 积 为 －１１６． 解 ２ （换 元 法 ）
令 ｘ＝ｔａｎθ２ （θ∈ （－π，π）），则
ｆ（ｘ）＝
１ ２
·１２＋ｘｘ２
·１１－＋ｘｘ２２
＝
１ ２