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第4章单纯形法

第四章单纯形法
• §1 单纯形法的基本思路和原理 • §2 单纯形法的表格形式 • §3 求目标函数值最小的线性规划的问题的
单纯形表解法 • §4 几种特殊情况
§1 单纯形法的基本思路和原理
单纯形法的基本思路：从可行域中某一个顶点开始，判断此顶点是否是最优解，如不是,则再找另一个使得其目标函数值更优的顶点，称之为迭代，再判断此点是否是最优解。直到找到一个顶点为其最优解，就是使得其目标函数值最优的解，或者能判断出线性规划问题无最优解为止。
• Ｚ＝3x1+5x2 • 非基变量的检验数都大于0，说明增加x1或x2都可以使目标
函数值变大。故非最优解。 • 3、基变换。通过检验，我们知道这个初始基本可行解不是最优解。下面
介绍如何进行基变换找到一个新的可行基，具体的做法是从
可行基中换一个列向量，得到一个新的可行基，使得求解得
到的新的基本可行解，其目标函数值更优。为了换基就要确
不一定都能找到，当找不到时，可以人工构造。
0 0 1 1 0 0 0 1 0
那么显然所求得的基本解一定是基本可行解，这个单位矩阵或由单位矩阵各列向
量组成的基一定是可行基。实际上这个基本可行解中的各个变量或等于某个bj或等于零。
§1 单纯形法的基本思路和原理
在本例题中我们就找到了一个基是单位矩阵。
界线移动。（2）沿着2x2=12移动，在3x1+2x2=18处停止。（3）解出新的一组约束边界线的交点（2，6）。 • 最优性检验发现，（2，6）是最优解，结束（没有相邻的 CPF解优于它）

02-2单纯形法

解得 X=( 0,0,3,4 )T （2）是否为最优解的判定:-----将目标函数用非基变量线性表示 Z=2x1+3x2
第2节单纯形法
（3）迭代：直观看，x2↑1, 则 z ↑ 3，∴ 应找A点，即增加x2。 x2 可增加多少？需要保证 x3=3 -(x1+x2)0 x4=4 -(x1+2x2)0 ，
B(8,3) x1
O(0,0) ( 0, 0, 8, 12, 36 )T
13
A(8,0)
z=0
单纯形法
第2 章
z = 3x1+5x2 2.2 max 单纯形法的计算过程 x1
2.2.1 单纯形表
范例: 基于典式标准形
+x3 = 8 2x2 +x4 = 12 s.t.检验行 z = C Tb 3x1 + 4x2 0 +x5 = 36 B T x1 ， x2 σ xB 计算公式 =3， C ajx5 -≥ cj0, ， 4， jx
主元
以主列中正值元素为分母，同行右端常数为分子，求比值；
10
第2 章
单纯形法
2.1 单纯形法的基本思想
(Ⅰ )
用换基运算将X0 转化为另一个基本可行解 X1。
z- 3x1 -5x2 = 0 0 换基运算—— x1 +x3 = 8 ① 方程组的初等变换目的是把主列变为 22x2 +x4 = 12 ② 单位向量：主元变 3x1 + 4x2 +x5 = 36 ③ 为1，其余变为0。 X0 = ( 0, 0, 8, 12, 36 )T z0 = 0

单纯形法的矩阵描述

1
1
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典则形式（典式）。
7
单纯形表
对偶问题
-Z x1 基变量 x2 ... x X Bm 0 1 1B 0 基矩阵 ....... 1 0 1 c c ... c 1 C 2B m 0
xm 非基变量 X 1 .... x nN a1m 1 ...a1n a2 m 1 ...a2 n N
非基变量
2
基变量
单纯形表
对偶问题
-Z x1 基变量 x2 ...X xBm 0 1 1B 0 基矩阵 ....... 1 0 1 c c ... c 1 C 2B m
xm 非基变量 XN 1 .... x n a1m 1 ...a1n a2 m 1 ... a 2n N
1
B N B
z0检验数 CB B b
当前基可行解
CN CB B1N CB B1
当前检验数
对偶问题
下一节对偶问题的提出
——掌握如何写出对偶问题
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16
XB B b 1 N B N 1 N CN CB B N z C B 1b B 0
1
9
单纯形法计算的矩阵描述
对偶问题
线性规划问题
max z CX AX b s.t. X 0

3.1单纯形法的矩阵描述

0
0 15 σj 0 7 15
x3
x4 x2 x3 x1 x2
1
1 0 7 0 1 0 0
0
0 1 0 0 0 1 0
1
0 0 0 1
0 1 0
0 -1
2 3 1
2 3 59
例1 max z = 7x1 + 15x2 x1 + x2 ≤6 x1 +2x2 ≤8 b x2 ≤3 x1, x2 ≥ 0 单位矩阵
0 0 σj
7 x1
15 x2
ห้องสมุดไป่ตู้
0 x3
0 x4
0 x5 0 0 1
二、单纯形法矩阵描述 Page 9 bi 6 θi 6/1 8/2 3/1 0 3 3/1 2/1 — 45 的应用
1 检查计算是否正确
x3
x4 x5
1
1 0 7
1
2 1 15
1
0 0 0
0
1 0 0
8 3
0
-1 -2 1 -15 1 -2 1
2 由最终表反推出初始表例2：设用单纯形法求解某个线性规划问题的最终表如下（目标max，约束 Page 11 为≤形式，x3,x4,x5为松弛变量），试写出原始线性规划模型。
x3 x1 x2 σj 解：
0
0
1 0 0 0
1

线性规划单纯形法的矩阵表示

y1 y1 y2 y2 y 3
min cT x s.t. Ax b, Bx a, x 0.
max bT y1 aT y2 s.t. AT y1 BT y2 c 对偶 y1无限制, y2 0.
用对偶单纯形法求下列线性规划问题
min s.t.
最优解为(0,5/2,15/8) 最优值为-45/2.
x6 10, 最大目标函数值为45/2.
max 5 x1 6 x2 4 x3
min 3 x1 2 x2 x3 s.t. 2 x1 2 x2 x3 2, 3 x1 x2 2 x3 2, x1 0, x2 0, x3 0.
T
T
max b y s.t. A yc y0
s.t.
T
T
A b A , b b A B a
max bT y1 bT y2 aT y3 AT y1 AT y2 BT y3 c y1 0, y2 0, y3 0.
（2）
min 3 x1 2 x2 x3 s.t. 2 x1 2 x2 x3 x4 2, 3 x1 x2 2 x3 x5 2, xi 0, i 1, ,5.
min 3 x1 2 x2 x3 s.t. 2 x1 2 x2 x3 x4 2, 3 x1 x2 2 x3 x5 a 2, xi 0, i 1, ,5, a 0.

单纯形法的矩阵描述

考虑将单纯形法的求解过程⽤矩阵进⾏描述，对于已经引⼊松弛变量的 LP 问题，其约束条件

BX B+NX N=b

⽬标函数

C B X B+C N X N=z

联⽴消去X B得

z=C B B−1b+(C N−C B B−1N)X N

其中C N−C B B−1N就是所谓的检验数σ。

因此，单纯形表可以描述为

基变量X B⾮基变量X N右侧 RHS

系数矩阵I B−1N B−1b

检验数0C N−C B B−1N−C B B−1b

任意时刻各个部分的核⼼是某个已知矩阵的部分左乘⼀个B−1，因此求解的核⼼在于快速地维护B−1。

以下我们设P k是x k对应的原始系数矩阵的那⼀列。

我们有递推式

B−1i=E i B−1i−1

其中E i是把⼀个单位矩阵中，第j列替换为ξi后的结果，其中j表⽰本次新换⼊的基在B i中对应第j列，ξi由本次换⼊变量在换⼊前B−1i−1N i−1中对应的列 (a1,a2,...,a m) 变换得到，设l是换出变量对应的⾏，则

ξi=(−a1

a l

,...,

a l

,...,−

a m

a l

)

于是，

B−1i=(e1,...,e j−1,ξi,e j+1,...,e m)B−1i−1换⼊变量求解根据检验数

σi=C N

i −C B

B−1i N i

中找最⼩值下标即可得到，换出变量根据θ法则求θ=min

即可得到。

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第一节单纯形法的矩阵描述及改进单纯形法介绍-精品文档

第一节单纯形法的矩阵描述及改进单纯形法介绍
单纯形法的矩阵描述
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改进单纯形法介绍
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单大纯规形对模法偶线矩问性题阵规描划述
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单纯形法的矩阵描述
设线性规划问题
不妨设基为
max z CX s.t AX b X 0
则
B P P 1P 2 m A ( P P ) ( B N ) 1 P 2 n X ( X ) C ( C ) B X N BC N
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矩阵单纯形法计算的描述
初始单纯形表
非基变量基变量
0
Xs cj z j
XB b B CB
XN N CN
Xs I 0
初始基变量
单大纯规形对模法偶线矩问性题阵规描划述
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单大纯规形对模法偶线矩问性题阵规描划述
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1、基本可行解概念的推广
考虑线性规划问题：
min s .t
z CX AX b l X u
A为m*n,秩为m
基本解X(0) ：X(0)为AX=b的一个解，其中m个分量对应A 的列线性无关，其余n-m个分量取上界或下界值。基本可行解X(0) ：基本解X(0) 中m个基变量的值介于上下界之间。

单纯形法的矩阵描述及应用举例课案课件

在某些情况下，单纯形法需要进行多次迭代才能找到最优解，这会增加计算的复杂度和时间成本。
对约束条件的处理可能较为复杂
对于具有非线性或非凸约束的问题，单纯形法可能无法找到全局最优解，或者需要采用其他方法进行优化。
05
单纯形法的改进与扩展
对偶问题与对偶单纯形法
对偶问题
在优化问题中，原问题与对偶问题是等价的，即它们的解是相同的。对偶问题通常更容易求解，特别是在处理约束条件较多或目标函数较复杂的问题时。
表决策变量和约束条件。
02
单纯形法的矩阵描述
线性规划问题
线性规划问题是在一组线性不等式约束下，最大化或最小化一个线性目标函数的问题。
线性规划问题在资源分配、生产计划、运输问题等领域有广泛应用。
线性规划问题可以用标准形式表示为：Maximize c^T x subject to A x <= b and x >= 0，其中c、A和b是给定的常数矩阵，x是决策变量。
约束条件与目标函数
约束条件可以是不等式或等式，表示资源限制、物理定律等。
约束条件和目标函数共同确定了问题的解空间。
目标函数是要求最大或最小的线性函数，表示成本、收益等。
单纯形表格
单纯形表格是用于描述线性规划问题的一种表格形式。
它包含了决策变量、约束条件和目标函数的系数，以及对应的变量和约束的界。

运筹学单纯形法ppt课件

新加变量系数
xs
xa
0
-M
18
第5节单纯形法的进一步讨论
人工变量法（大M法）和两阶段法
约束条件：
“≤” →加一个松弛变量 “≥” →减一个剩余变量后，再加一个人工变
量
“＝” →加一个人工变量
若线性规划问题有最优解则人工变量必为0。 19
三、单纯形法计算中的几个问题
• 目标函数极小化时解的最当所有非基变量的σj≥0时为最优解；
• ⑵.存在着多种方案； • ⑶.要求达到的目标是在一定条件下实
现的，这些约束可用线性等式或不等式描述。
25
建模步骤：
第一步：设置要求解的决策变量。决策变量选取得当，不仅能顺利地建立模型而且能方便地求解，否则很可能事倍功半。
第二步：找出所有的限制，即约束条件，并用决策变量的线性方程或线性不等式来表示。
σj 0 x4 0 x2 -1 x7
σj
0 x4 0 x2 0 x1
σj
0 0 0 0 0 -1 -1
bi x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 θ
4
1
1
1
1
0 0 04
1
-2 [ 1 ] -1 0 -1
1
01
9
0
3
1
0
0
0
13
-2 [ 4 ] 0 0 -1

单纯形法的矩阵描述课件PPT

动态调整策略
根据问题规模和复杂度，动态调整算法参数和策略，以适应不同情况。
05 单纯形法的应用
在生产计划中的应用
生产计划
单纯形法可用于解决生产计划问题，通过优化资源配置和生产流程，降低生产成本，提高生产效
率。
资源分配
在生产计划中，单纯形法可以帮助企业合理分配资源，确保资源得到充分利用，避免资源浪费。
06 总结与展望
单纯形法的优缺点
高效
单纯形法是一种线性规划的经典算法，具有较高的计算效率，尤其在处理大规模问题时表现出色。
稳定性
该方法具有较好的数值稳定性，能够避免因计算误差导致的不准确结果。
单纯形法的优缺点
• 适用性强：单纯形法适用于各种线性规划问题，包括标准型和非标准型，具有广泛的适用范围。
初始解选择
选择合适的初始解，避免陷入循环的可能性。
算法终止条件
设置合适的终止条件，在循环发生之前提前结束算法。
启发式搜索策略
引入启发式搜索策略，指导算法跳过可能导致循环的解。
处理特殊情况的方法
异常处理
针对特殊情况，如输入数据错误、矩阵奇异等情况，设计异常处理机制。
边界情况处理
对算法边界情况进行特殊处理，确保算法的正确性和稳定性。
单纯形法的基本概念
单纯形法是一种求解线性规划问题的算法。

运筹学(第四版)清华大学出版社《运筹学》教材编写组-第3章PPT课件

5
.
第1节单纯形法的矩阵描述
若经过迭代运算后，可表示为：
基变量
X
B
X X
B1 S1
可包含原基变量和松弛
变量
相应有
非基变量：
XN
X X
N1 S2
;
系数矩阵 ABN;其中N SN21;
松弛变量X：S
XS1 XS2
基变量非基变量
6
.
第1节单纯形法的矩阵描述
线性规划问题可表示为：
目标函数 maxzCBXB CNXN
a1m a2m
am1
am2
amm
16
.
第2节改进单纯形法
以a11为主元素, 进行变换
主元素
a11 P1 a12
1/ a11
1
a21/
a11
(1)
a1m
am1 / a11
17
.
第2节改进单纯形法
然后构造含有（1）列，而其他列都是单位列的矩阵
1/ a11 0 0
E1
a21 /
22
.
第2节改进单纯形法
以例1为例进行计算。
maxz 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
x1 2x2 x3
8
4x1
x4 16
4x2
x5 12
23

第3章线性规划的单纯形法《管理运筹学》PPT课件

3.1 线性规划的基本理论
3.1 线性规划的基本理论
【定义3.1】设C是n维空间中的一个点集。若对任意n维向量X1C，X2C，且X1X2，以及任意实数（0 1），有：X= X1+(1- )X2C，则称S为n维空间中的一个凸集。点X称为点X1和X2的凸组合。
从线性规划问题的图解法可以看出，线性规划如果有最优解，其最优解必定位于可行域边界的某些点上。在平面多边形中，这些点就是多边形的顶点。在n维空间中，称这样的点为极点。
3.2 单纯形法原理
第三步（确定离基变量）：检查进基变量xk在约束条件中的列向量Yk，如果Yk 0，则目标函数无界，算法终止。否则根据右边常数b与Yk中正分量的最小比值
min
1im
bi yik
yik
0
br yrk
，确定离基变量。
第四步（进行行变换）：以yrk为主元进行行变换（称为以yrk为主元的旋转运算），使得单纯形表中：
通过消去基变量XB在目标函数中的系数CBT，并且将基变量在约束条件中的系数矩阵变为单位矩阵，单纯形表可以由系数矩阵经过一系列行变换得到，这些行变换使得系数矩阵中的基矩阵变为单位矩阵I，而将基变量在目标函数中的系数全消为零。
在上面的单纯形表中，非基变量在目标函数的系数：
CTBB1N CTN CTBB1
3.2 单纯形法原理

大学运筹学经典课件第五章——单纯形法

行基变换找到一个新的可行基，具体的做法是从可行基中换一个列向量，得
到一个新的可行基，使得求解得到的新的基本可行解，其目标函数值更优。为了换基就要确定换入变量与换出变量。
百度文库
1. 入基变量的确定
从最优解判别定理知道，当某个σ j＞0时，非基变量xj变为基变量不取零值可以使目标函数值增大，故我们要选基检验数大于0的非基变量换到基
如果把s3作为出基变量，则新的基变量为x2，s1，s2，因为非基变量x1=s3=0，我们也可以从下式： x2 +s1=300， x2+s2=400， x2=250，求出基本解：x1=0，x2=250，s1=50，s2=150，s3=0。因为此解满足非负条件，是基本可行解，故s3可以确定为出基变量。能否在求出基本解以前来确定出基变量呢？以下就来看在找出了初始基本可行解和确定了入基变量之后，怎么样的基变量可以确定为出基变量呢？或者说出基变量要具有什么条件呢？
7
管
理
运
筹
学
§1 单纯形法的基本思路和原理
二、最优性检验
所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。
1. 最优性检验的依据——检验数σ
j
一般来说目标函数中既包括基变量，又包括非基变量。现在我们要求只用非基变量来表示目标函数，这只要在约束等式中通过移项等处理就可以用非基变量来表示基变量，然后用非基变量的表示式代替目标函数中基变量，这样目标函数中只含有非基变量了，或者说目标函数中基变量的系数都为零了。此时目标函数中所有变量的系数即为各变量的检验数，把变量xi的检验数记为σ i。显然所有基变量的检验数必为零。在本例题中目标函数为50x1+100x2。由于初始可行解中x1，x2为非基变量，所以此目标函数已经用非基变量表示了，不需要再代换出基变量了。这样我们可知 σ 1=50，σ 2=100，σ 3=0，σ 4=0，σ 5=0。

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第4章 单纯形法

02-2单纯形法

单纯形法的矩阵描述

3.1单纯形法的矩阵描述

线性规划单纯形法的矩阵表示

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第4章单纯形法

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