初中数学竞赛——勾股定理及其应用(最新整理)

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初中数学《勾股定理及其应用》课件

A
c= a2 b2
股 c弦
b
a= c2 b2 b= c2 a2
C a勾B
拼图
运用勾股定理可解决直角三角形中边的计算
例1 在 Rt△ABC中，∠C=90° ⑴已知a=6，b=8，则c1=0 __ ⑵已知a=9，c=41，则b4=0 __ ⑶已知c=25，b=15，则2a0=__ ⑷已知a=n2-1，b=2n，则nc2=+1____
2PBCD2＝*P(DDC＋PD)2＝CD2＋PD2＋
∴ PB2＋P2CC2D＝*P2DBD2＋2PD2＝2(AD2＋PD2)＝
练一练 2PA2
练一练
M N
B 如图，已知：在Rt△ABC中， ∠ACB=90º，AC=12，BC=5，
AM=AC，BN=BC
则MN的长是__4__
A
C
练一练
折叠矩形ABCD的一边AD，点D
例3 已知：在△ABC中，AB＝AC，
AB＝17，BC＝16，求△ABC的面积A 。解：作△ABC边BC上的高AD
∵ AB＝AC ∴BD＝DC＝8
在Rt△ABD中，
AD2＝AB2－BD2＝BC＝22＝125 1B5C*AD＝
120
运用勾股定理
可解决直角三角形中边的计算
例3 已知：在△ABC中，AB＝AC，
AB＝17，BC＝16，求△ABC的面
积。
A
思考：若过C点作AB边
D
上的高CD，则如何求解？
B
C
运用勾股定理可解决直角三角形中边的计算
例 4
B
A 如图，已知：△ABC中， AD是中线，AE⊥BC于E
⑴若AB=12，BC=10， AC=8 求：DE的长度

勾股定理及其应用

勾股定理及其应用勾股定理是数学中的一条基础定理，也是几何中一个重要的概念。

它被广泛应用于各个领域，比如物理学、工程学和计算机科学等。

本文将对勾股定理的原理进行介绍，并探讨其在实际应用中的具体运用。

一、勾股定理的原理勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边平方的和。

即若在一个直角三角形中，设直角边分别为a、b，斜边为c，则有a² + b² = c²。

这一定理最早出现在古代中国的数学著作《周髀算经》中，被称为“六百年前的勾股定理”。

而在西方，古希腊数学家毕达哥拉斯被广泛认为是勾股定理的发现者。

二、勾股定理的应用1. 几何推理勾股定理在几何中有着广泛的应用。

通过勾股定理，我们可以判断一个三角形是否为直角三角形，以及计算出未知边长的长度。

此外，勾股定理也为我们解决各类直角三角形的问题提供了一种常用的方法。

2. 物理学领域勾股定理在物理学中有着重要的应用。

例如，在力学中，我们可以利用勾股定理来计算物体的位移和速度。

在光学中，勾股定理可用于计算光线的传播距离和角度。

在力学和光学等自然科学中，勾股定理是解决问题的基础。

3. 工程学领域在工程学领域，勾股定理也被广泛应用于测量和设计中。

例如，在建筑工程中，我们利用勾股定理来进行斜边的测量，从而确保建筑物结构的稳定性。

在工程设计中，我们可以利用勾股定理来确定设计方案的可行性。

4. 计算机科学领域在计算机科学中，勾股定理被广泛应用于图像处理和计算机图形学中。

通过勾股定理，我们可以计算图像中的像素距离，从而实现图像的缩放、旋转和变换等操作。

此外，勾股定理还在算法设计和数据结构中扮演着重要的角色，为计算机科学领域提供了一种简便而高效的方法。

结语勾股定理是数学中的一条重要定理，它不仅具有理论意义，还被广泛应用于各个领域。

几何推理、物理学、工程学和计算机科学等领域都离不开勾股定理的运用。

通过深入了解勾股定理的原理，我们可以更好地理解其应用，并在实际问题中灵活运用，从而取得更好的效果。

初中数学竞赛精品标准教程及练习31勾股定理

初中数学竞赛精品标准教程及练习31勾股定理勾股定理是初中数学中非常重要的一条定理，也是数学竞赛中经常涉及到的知识点。

下面我将为你介绍一份精品标准教程及练习，帮助你更好地理解和应用勾股定理。

一、勾股定理的定义在直角三角形中，对于斜边长为c，直角边长分别为a和b的三角形，满足a²+b²=c²的关系。

二、勾股定理的证明1.利用几何法证明2.代数法证明a²+b²=c²可以转化为a²=c²-b²，进一步化简为a²=(c+b)(c-b)。

我们知道，直角三角形的两条直角边的平方分别等于斜边两侧线段的乘积。

由此，可以推出a²=(c+b)(c-b)，进一步得到a²+b²=c²。

三、勾股定理的应用在数学竞赛中，勾股定理常常涉及以下几个方面的应用：1.求三角形的边长已知两条边的长度，通过勾股定理可以求解第三条边的长度。

例如，已知直角三角形一条直角边长为3，斜边长为5，可以通过勾股定理计算另一条直角边的长度。

2.判断三角形的形状通过勾股定理可以判断一个三角形是否为直角三角形。

如果满足a²+b²=c²，则三角形为直角三角形；如果不满足，则三角形不是直角三角形。

3.解决几何问题在解决一些几何问题的过程中，可以利用勾股定理来推导、证明或求解问题。

例如，可以通过勾股定理计算两点之间的距离，判断矩形的对角线是否相等等等。

四、练习题以下是一些关于勾股定理的练习题，供你巩固和运用知识：1.已知直角三角形斜边长为5，一条直角边长为3，求另一条直角边的长度。

2.若直角三角形两直角边长分别为x和2x，斜边长为√13，求x的值。

3.ABC是等腰直角三角形，点D在AB边上，若BD=3，BC=4，求AC的长度。

4.直角三角形ABC中，a>b>c，a²=9b²，且a²+b²=c²，求直角三角形的三边长。

勾股定理在数学竞赛中的常见题型

勾股定理在数学竞赛中的常见题型勾股定理作为数学中的一条重要定理，经常在数学竞赛中出现。

它被广泛应用于解决各种与直角三角形相关的问题。

在这篇文章中，我们将介绍勾股定理在数学竞赛中的常见题型，并给出一些解题思路。

一、勾股定理的基本定义勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是描述直角三角形三边关系的定理。

它的基本定义如下：在一个直角三角形中，直角的边称为斜边，另外两条边称为直角边。

若直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，那么勾股定理可以表示为：a² + b² = c²。

二、题型一：已知两边求第三边这是勾股定理中最基本的应用题型之一。

题目给出两条边的长度，要求求解第三条边的长度。

解题思路如下：1. 首先，根据勾股定理可以列出方程：a² + b² = c²。

2. 然后，将已知的两条边的长度代入方程，解出未知的边的长度。

3. 最后，根据题目要求确定解的范围并进行答案验证。

例如，题目给出一个直角三角形的直角边长度分别为3和4，要求求解斜边的长度。

根据勾股定理，可得方程3² + 4² = c²，解得c = 5。

所以答案是5。

三、题型二：已知斜边和一直角边，求另一直角边这个题型要求根据给定的斜边和一直角边的长度，求解另一直角边的长度。

解题思路如下：1. 首先，根据勾股定理可以列出方程：a² + b² = c²。

2. 其次，将已知的直角边和斜边的长度代入方程，并整理得到关于未知边的方程。

3. 最后，解方程得到未知边的长度。

例如，题目给出一个直角三角形的斜边长度为5，一直角边长度为3，要求求解另一直角边的长度。

根据勾股定理，可以得到方程3² + b²= 5²，整理得b² = 25 - 9，解得b = √16 = 4。

所以答案是4。

四、题型三：求直角三角形的面积这个题型要求根据给定的直角三角形两个直角边的长度，求解其面积。

专题01 勾股定理的基本应用(解析版)

专题01 勾股定理的基本应用题型一求面积1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设“赵爽弦图”中直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若2()24a b +=，大正方形的面积为14，则小正方形的面积为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：设大正方形的边长为c ，则22214c a b ==+，2()24a b +=Q ，22224a ab b \++=，解得5ab =，\小正方形的面积是：1441425141042ab -´=-´=-=，故选：C ．2．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、D 的面积依次为6、10、24，则正方形C 的面积为( )A ．4B ．6C ．8D ．12【解答】解：由题意：A B E S S S +=正方形正方形正方形，D C E S S S -=正方形正方形正方形，A B D CS S S S \+=-正方形正方形正方形正方形Q 正方形A 、B 、D 的面积依次为6、10、24，24610C S \-=+正方形，8C S \=正方形．故选：C ．3．如图，点C 是线段AB 上的一点，分别以AC 、BC 为边向两侧作正方形．设6AB =，两个正方形的面积和1220S S +=，则图中BCD D 的面积为( )A ．4B ．6C ．8D ．10【解答】解：设AC a =，BC b =，由题意得：6a b +=，2220a b +=，222()2a b a b ab +=+-Q ，22062ab \=-，8ab \=，BCD \D 的面积118422ab ==´=．图中BCD D 的面积为4．故选：A ．4．正方形ABCD 的边长为1，其面积记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为2S ，L 按此规律继续下去，则2022S 的值为( )A ．20221()2B ．20211()2C ．2022D ．2021【解答】解：在图中标上字母E ，如图所示．Q 正方形ABCD 的边长为1，CDE D 为等腰直角三角形，222DE CE CD \+=，DE CE =，221S S S \+=．观察，发现规律：2111S ==，211122S S ==，321124S S ==，431128S S ==，¼，11()2n n S -\=．当2022n =时，202212021202211()()22S -==，故选：B ．5．如图，以正方形ABCD 的边AD 为直径作一个半圆，点M 是半圆上一个动点，分别以线段AM 、DM 为边各自向外作一个正方形，其面积分别为1S 和2S ，若正方形的面积为10，随点M 的运动12S S +的值为( )A ．大于10B ．小于10C ．等于10D ．不确定【解答】解：AB Q 为半圆的直径，90AMD \Ð=°，22210AM DM AD \+==，21S AM =Q ，22S DM =，1210S S \+=．故选：C ．6．如图，在四边形ABDE 中，//AB DE ，AB BD ^，点C 是边BD 上一点，BC DE a ==，CD AB b ==，AC CE c ==．下列结论：①ABC CDE D @D ；②90ACE Ð=°；③四边形ABDE 的面积是21()2a b +；④22111()2222a b c ab +-=´；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．2【解答】解：//AB DE Q ，AB BD ^，DE BD \^，90B D \Ð=Ð=°．在ABC D 和CDE D 中，90AB CD B D BC DE =ìïÐ=Ð=°íï=î，()ABC CDE SAS \D @D，A DCE \Ð=Ð，ACB E Ð=Ð．90A ACB Ð+Ð=°Q ，90DCE ACB \Ð+Ð=°．180DCE ACB ACE Ð+Ð+Ð=°Q ，90ACE \Ð=°，故①②正确；//AB DE Q ，AB BD ^，\四边形ABDE 的面积是21()2a b +；故③正确；Q 梯形ABDE 的面积-直角三角形ACE 的面积=两个直角三角形的面积，\22111()2222a b c ab +-=´，222a b c \+=．故③④⑤都正确．故选：A ．7．如图，Rt ABC D 中，90C Ð=°，AD 平分BAC Ð，交BC 于点D ，6CD =，12AB =，则ABD D 的面积是( )A ．18B ．24C ．36D ．72【解答】解：作DH AB ^于D ，如图，AD Q 平分BAC Ð，DH AB ^，DC AC ^，6DH DC \==，1126362ABD S D \=´´=．故选：C ．8．如图，Rt ABC D 中，90C Ð=°，5AC =，12BC =，分别以AB 、AC 、BC 为边在AB 的同侧作正方形ABEF 、ACPQ 、BCMN ，四块阴影部分的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，则1234S S S S +++等于( )A ．60B ．80C ．90D ．120【解答】解：连接PF ，过点F 作FD AK ^于点D ，AB EB =Q ，90ACB ENB Ð=Ð=°，而90CBA CBE EBN CBE Ð+Ð=Ð+Ð=°，CBA EBN \Ð=Ð，()CBA NBE AAS \D @D ，故4ABC S S D =；同理ADF ABC D @D ，AC DF AQ CP \===，90QAC KDF PCD Ð=Ð=Ð=°Q ，//AQ DF \，\四边形CDFP 是矩形，90CPF \Ð=°，180QPC CPF \Ð+Ð=°，Q \，P ，F 三点共线，又FA AB =Q ，90FDA ACB Ð=Ð=°，而90FAD CAB CAB ABC Ð+Ð=Ð+Ð=°，FAD ABC \Ð=Ð，()FAD ABC AAS \D @D ，同理可证ACT FDK D @D ，2FDA ABC S S S D D \==，同理可证TPF KME D @D ，AQF ABC D @D ，13ADF ABC S S S S D D \+==，综上所证：1234133125902ABC S S S S S D +++==´´´=．故选：C ．9．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为4和10，则b 的面积为　14　．【解答】解：如图，a Q 、b 、c 都为正方形，BC BF \=，90CBF Ð=°，24AC =，210DF =，1290Ð+Ð=°Q ，2390Ð+Ð=°，13\Ð=Ð，在ABC D 和DFB D 中，13BAC FDB BC FB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，ABC DFB \D @D ，AB DF \=，在ABC D 中，2222241014BC AC AB AC DF =+=+=+=，b \的面积为14．故答案为14．10．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，90BAC Ð=°，3AB =，4AC =，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则空白部分的面积为 60　．【解答】解：如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，所以，四边形AOLP 是正方形，90BAC Ð=°Q ，3AB =，4AC =，347AO AB AC \=+=+=，3710KL \=+=，4711LM =+=，因此，矩形KLMJ 的面积为1011110´=，\空白部分的面积为22211034560---=，故答案为：60．11．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾6AE =，弦10AD =，则小正方形EFGH 的面积是　4　．【解答】解：如图，Q 勾6AE =，弦AD =弦10AB =，\股8BE ==，\小正方形的边长862=-=，\小正方形的面积224==．故答案是：4．12．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A 、C 、D 的面积依次为4、6、18，则正方形B 的面积为　8　．【解答】解：由题意：A B E S S S +=正方形正方形正方形，D C E S S S -=正方形正方形正方形，A B D CS S S S \+=-正方形正方形正方形正方形Q 正方形A 、C 、D 的面积依次为4、6、18，4186B S \+=-正方形，8B S \=正方形．故答案为：8．13．如图，在同一平面内，直线l 同侧有三个正方形A ，B ，C ，若A ，C 的面积分别为9和4，则阴影部分的总面积为 6　．【解答】解：如图，作LM FE ^交FE 的延长线于点M ，交JI 的延长线于点N ，Q 四边形A 、B 、C 都是正方形，且正方形A 、C 的面积分别为9、4，90EKI EDR IHG \Ð=Ð=Ð=°，29DE =，24HI =，3DE \=，2HI =，1809090EDK KHI Ð=Ð=°-°=°Q ，90DKE KHI HIK \Ð=°-Ð=Ð，在EDK D 和KHI D 中，EDK KHI DKE HIK EK KI Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()EDK KHI AAS \D @D ，2DK HI \==，3DE HK ==，13232EDK KHI S S D D \==´´=；90DEF HIJ Ð=Ð=°Q ，18090DEM DEF \Ð=°-Ð=°，18090HIN HIJ Ð=°-Ð=°，90KEL KIL Ð=Ð=°Q，90MEL DEK KEM \Ð=Ð=°-Ð，90NIL HIK KIN Ð=Ð=°-Ð，//EF l Q ，//IJ l ，//EF IJ \，90EML EMN N \Ð=Ð=Ð=°，在EML D 和EDK D 中，MIL DEK EML EDK EL EK Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()EML EDK AAS \D @D ，EM ED EF \==，3EFL EML EDK S S S D D D \===；在LNI D 和KHI D 中，NIL HIK N KHI IL IK Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()LNI KHI AAS \D @D ，IN IE IJ ==Q ，3LJI LNI KHI S S S D D D \===，336EFL LJI S S D D \+=+=，\阴影部分的总面积为6．14．如图，正方形ABDE 、CDFI 、EFGH 的面积分别为25、9、16，AEH D 、BDC D 、GFI D 的面积分别为1S 、2S 、3S ，则123S S S ++=　18　．【解答】解：DF DC =Q ，DE DB =，且180EDF BDC Ð+Ð=°，过点A 作AJ EH ^，交HE 的延长线于点J ，90J DFE \Ð=Ð=°，90AEJ DEJ DEJ DEF Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，AEJ DEF \Ð=Ð，AE DE =Q ，()AEJ DEF AAS \D @D ，AJ DF \=，EH EF =Q ，AHE DEF S S D D \=，同理：BDC GFI DEF S S S D D D ==，1233AHE BDC GFI DEF S S S S S S S D D D D ++=++=´，13462DEF S D =´´=，12318S S S \++=．故答案为：18．题型二求线段长15．一个大正方形，被两条线段分割成两个小正方形和两个小长方形，若两个小正方形的面积分别为10和6，则小长方形的对角线AB 的长为( )A ．4B ．6C ．10D ．16【解答】解：如图，Q 两个小正方形的面积分别为10和6，26AC \=，210BC =，由勾股定理得，4AB ===．故选：A ．16．如图，在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，以AB 为边在ABC D 外作正方形，其面积为9，以BC 为斜边在ABC D 外作等腰直角三角形，其面积为4，过点B 作BD AC ^交AC 于点D ，则(AD = )A ．85B ．94C ．95D ．2【解答】解：Q 以AB 为边的正方形的面积为9，29AB \=，Q 以BC 为斜边的等腰直角三角形的面积为4，\等腰直角三角形的腰长为216BC \=，在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，则5AC ===，1122ABC S AB AC AC BD D =´´=´´Q ，\1134522BD ´´=´´，解得：125BD =，由勾股定理得：95AD ===，故选：C ．17．如图，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，CD AB ^于D ．已知15AB =，Rt ABC D 的周长为15+，则CD 的长为( )A ．5BC ．D ．6【解答】解：如图所示：Rt ABC D Q 的周长为15+，90ACB Ð=°，15AB =，AC BC \+=，222215225AC BC AB +===，22()AC BC \+=，即222405AC AC BC BC +´+=，2405225180AC BC \´=-=，90AC BC \´=，Q 1122AB CD AC BC ´=´，90615AC BC CD AB ´\===；故选：D ．18．若ABC=，高24=，则BC的长为( )cm．AD cmAC cmD中，30AB cm=，26A．28或8B．8C．28D．以上都不对Q为边BC上的高，【解答】解：AD\Ð=Ð=°．90ADB ADCBD===，在Rt ABDD中，18CD===．在Rt ACDD中，10当点D在线段BC上时，如图1，181028=+=+=；BC BD CD当点D在线段CB的延长线上时，如图2，18108=-=-=．BC BD CD\的长为28或8．BC故选：A．19．如图，在ABCBC=，6AB=，4AC=，则DE的^于D，且5D中，CE是AB边上的中线，CD AB长　2　．【解答】解：设BD x=-，=，则5AD x在Rt ACD D 中，222CD AC AD =-，在Rt BCD D 中，222CD BC BD =-，2222AC AD BC BD \-=-，即22226(5)4x x --=-，解得，12x =，则12BD =，2DE BE BD \=-=，贵答案为：2．20．如图，锐角三角形ABC 中，2C B Ð=Ð，AB =，8BC CA +=，则ABC D 的面积为　【解答】解：过A 作AE BC ^于E ，延长BC 到D 使CD AC =，则CAD D Ð=Ð，ACB D CAD Ð=Ð+ÐQ ，2ACB D \Ð=Ð，2C B Ð=ÐQ ，B D \Ð=Ð，AB AD \=，BE DE \=，8BC CA +=Q ，8BD BC CD BC AC \=+=+=，4BE \=，AE \==，222AE CE AC \+=，即228(4)(8)BC BC +-=-，解得：5BC =，ABC \D 的面积11522BC AE ==´´=g故答案为：．21．如图所示，ABC D 的顶点A 、B 、C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD AC ^于点D ，则BD 的长为　3　．【解答】解：由图形可知，5BC =，BC 边上的高为3，ABC \D 的面积1155322=´´=，由勾股定理得，5AC ==，则115522BD ´´=，解得，3BD =，故答案为：3．22．如图，在Rt ABC D 中，90B Ð=°，3AB =，6BC =，AC 的中垂线DE 交AC 于点D ，交BC 于点E ．延长DE 交AB 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求出CD 的长；（2）求出CF 的长．【解答】解：（1）在Rt ABC D 中，90B Ð=°，3AB =，6BC =，则AC ===，DE Q 是AC 的中垂线，12CD AC \==（2）DF Q 是AC 的中垂线，FA FC \=，3AB =Q ，33FB FA CF \=-=-，在Rt FBC D 中，222CF BC FB =+，即2226(3)CF CF =+-，解得：152CF =．23．如图，在ABC D 中，AB AC =，AD BC ^于点D ，45CBE Ð=°，BE 分别交AC ，AD 于点E 、F ．（1）如图1，若13AB =，10BC =，求AF 的长度；（2）如图2，若AF BC =，求证：222BF EF AE +=．【解答】（1）解：如图1，AB AC =Q ，AD BC ^，BD CD \=，10BC =Q ，5BD \=，Rt ABD D 中，13AB =Q ，12AD \==，Rt BDF D 中，45CBE Ð=°Q ，BDF \D 是等腰直角三角形，5DF BD \==，1257AF AD DF \=-=-=；（2）证明：如图2，在BF 上取一点H ，使BH EF =，连接CF 、CH 在CHB D 和AEF D 中，Q 45BH EFCBH AFE BC AF=ìïÐ=Ð=°íï=î，()CHB AEF SAS \D @D ，AE CH \=，AEF BHC Ð=Ð，CEF CHE \Ð=Ð，CE CH \=，BD CD =Q ，FD BC ^，CF BF \=，45CFD BFD \Ð=Ð=°，90CFB \Ð=°，EF FH \=，Rt CFH D 中，由勾股定理得：222CF FH CH +=，222BF EF AE \+=．24．如图，在ABC D 中，AD BC ^，垂足为点D ，13AB =，5BD =，15AC =．（1）求AD 的长；（2）求BC的长．【解答】解：（1）AD BC ^Q ，90ADB CDA \Ð=Ð=°．在Rt ADB D 中，90ADB Ð=°Q ，222AD BD AB \+=，222144AD AB BD \=-=．0AD >Q ，12AD \=．（2）在Rt ADC D 中，90CDA Ð=°Q ，222AD CD AC \+=，22281CD AC AD \=-=．0CD >Q ，9CD \=．5914BC BD CD \=+=+=．题型三通过勾股定理设方程25．如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD 和正方形EFGH ，即赵爽弦图．连接AC ，分别交EF 、GH 于点M ，N ，连接FN ．已知3AH DH =，且21ABCD S =正方形，则图中阴影部分的面积之和为( )A ．214B ．215C ．225D ．223【解答】解：21ABCD S =Q 正方形，221AB \=，设DH x =，则33AH DH x ==，22921x x \+=，22110x \=，根据题意可知：AE CG DH x ===，3CF AH x ==，32FE FG CF CG x x x \==-=-=，2FGN CGNS S D D \=AEM CGN S S D D =Q ，FGN AEM CGN S S S D D D \=+，\阴影部分的面积之和为：()12NGFM S NG FM FG =+×梯形1()2EM MF FG =+×12FE FG =×21(2)2x =´22x =215=．故选：B ．26．如图，在ABC D 中，90C Ð=°，点M 是AB 的中点，点N 在AC 上，MN AB ^．若8AC =，4BC =，则NC 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．【解答】解：如图，连接BN ，AB Q 的垂直平分线交AB 、AC 于点M 、N ，AN BN \=，设NC x =，则8AN BN x ==-，在Rt BCN D 中，由勾股定理得：222BN BC CN =+，即222(8)4x x -=+，解得：3x =，即3NC =，故选：A ．27．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE a =，HG b =，则斜边BD 的长是()A B C ．a b +D ．a b-【解答】解：设CD x =，则DE a x =-，HG b =Q ，AH CD AG HG DE HG a x b x \==-=-=--=，2a bx -\=，22a b a bBC DE a -+\==-=，2222222()()222a b a b a b BD BC CD +-+\=+=+=，BD \=，故选：B ．28．在长方形ABCD 中，52AB =，4BC =，CE CF =，延长AB 至点E ，连接CE ，CF 平分ECD Ð，则BE =　76　．【解答】解：如图，延长CF ，BA 交于点G ，连接EF ，过点F 作FH CE ^于H ，过点E 作EM CF ^于M ，Q 四边形ABCD 是矩形，且52AB =，4BC =，//AB CD \，52AB CD ==，90D ABC CBE Ð=Ð=Ð=°，DCF G \Ð=Ð，CF Q 平分ECD Ð，DCF FCE \Ð=Ð，FH DF =，G ECF \Ð=Ð，EC EG \=，ECG \D 是等腰三角形，CM MG \=，CE CF =Q ，ECF \D 是等腰三角形，EM CF ^Q ，FH CE ^，EM \和FH 是等腰三角形腰上的高，EM FH DF \==，Rt CDF Rt CME(HL)\D @D ，52CM CD \==，5CG \=，Rt CBG D 中，3BG ===，设BE x =，则3EC EG x ==+，Rt CBE D 中，222(3)4x x +=+，解得：76x =，76BE \=．故答案为：76．29．如图是“赵爽弦图”， ABH D ，BCG D ，CDF D 和DAE D 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，如果10AB =，且:3:4AH AE =．那么AH 等于　6　．【解答】解：10AB =Q ，:3:4AH AE =，设AH 为3x ，AE 为4x ，由勾股定理得：222222(3)(4)(5)AB AH AE x x x =+=+=，510x \=，2x \=，6AH \=，故答案为：6．30．[阅读理解]如图，在ABC D 中，4AB =，6AC =，7BC =，过点A 作直线BC 的垂线，垂足为D ，求线段AD 的长．解：设BD x =，则7CD x =-．AD BC ^Q ，90ADB ADC \Ð=Ð=°．在Rt ABD D 中，222AD AB BD =-，在Rt ACD D 中，222AD AC CD =-，2222AB BD AC CD \-=-．又4AB =Q ，6AC =，222246(7)x x \-=--．解得2914x =，2914BD \=．AD \==．[知识迁移]（1）在ABC D 中，13AB =，15AC =，过点A 作直线BC 的垂线，垂足为D ．)i 如图1，若14BC =，求线段AD 的长；)ii 若12AD =，求线段BC 的长．（2）如图2，在ABC D 中，AB =，AC =，过点A 作直线BC 的垂线，交线段BC 于点D ，将ABD D 沿直线AB 翻折后得到对应的ABD D ¢，连接CD ¢，若252AD =，求线段CD ¢的长．【解答】解：（1）)i 设BD x =，则14CD x =-，AD BC ^Q ，90ADB ADC \Ð=Ð=°，在Rt ABD D 中，222AD AB BD =-，在Rt ACD D 中，222AD AC CD =-，2222AB BD AC CD \-=-，13AB =Q ，15AC =，22221315(14)x x \-=--，5x \=，5BD \=，12AD \===；)ii 在Rt ABD D 中，5BD ===，在Rt ACD D 中，9CD ===，当ABC Ð为锐角时，如图11-，5914BC BD CD =+=+=，当ABC Ð为钝角时，如图12-，954BC BD CD =-=-=；（2）如图2，连接DD ¢交AB 于点N ，则DD AB ¢^，过点D ¢作D H BD ¢^于H ，在Rt ABD D 中，254BD ==；在Rt ACD D 中，5CD ==，AB Q 垂直平分DD ¢，254D B DB ¢\==，2D D DN ¢=，1122ABD S AD BD AB DN D =×=×Q ，\252524DN ´=，DN \=2D D DN ¢\==，设HB m =，则254HD HB BD m =+=+，22222D H D D HD D B HB ¢¢¢=-=-Q ，22222525(()44m m \-+=-，154m \=，154HB \=，152541544HC HB BD CD \=++=++=，5D H ¢===，D C ¢\===．。

专题1.3 勾股定理的应用

专题1.3 勾股定理的应用1、利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题（梯子滑动、风吹莲动、折竹抵地、台风和爆破、航行和信号塔、速度等问题）。

2、解决实际问题时，要善于构造直角三角形，把实际问题抽象成几何问题.知识点01 勾股定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．　【知识拓展1】梯子滑动问题【微点拨】梯子滑动问题解题步骤：1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离；2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离；3）两者相减即可求出梯子在墙上或者地面上滑动的距离。

注意：梯子长度为不变量。

主要题型：常见题型有梯子滑动、绳子移动等题型。

例1．（2021·江苏）如图，一架25米长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，梯子底端B 离墙AO 有7米．（1）求梯子靠墙的顶端A 距地面有多少米？（2）小燕说“如果梯子的顶端A 沿墙下滑了4米，那么梯子的底端B 在水平方向就滑动了4米．”她的说法正确吗？若不正确，请说明理由．【答案】（1）24米；（2）不正确，理由见解析．【分析】（1）利用勾股定理，即可求出答案；（2）由题意，先求出1125A B =，14AA =，120A O =，然后利用勾股定理求出115B O =，即可得到答案．【详解】解：（1）如图，由题意得25AB =，7OB =，∴222576AO AB OB -==∴24AO =即顶端A 距地面有24米（2）她的说法不正确；由题意得1125A B =，14AA =，120A O =，∴2221111225B O A B A O -==，∴115B O =，∴11578B B =-=，∴梯子水平滑动了8米，∴她的说法不正确．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合思想的应用．【即学即练1】1．（2022·江苏八年级期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，求小巷的宽度．【答案】2.2米【分析】先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论．【详解】解：在中，，米，米，．在△中，，米，，，，，米，米，AB BD Rt ACB D 90ACB Ð=°Q 0.7BC = 2.4AC =2220.7 2.4 6.25AB \=+=Rt A BD ¢90A DB Ð¢=°Q 2A D ¢=222BD A D A B +¢=¢222 6.25BD \+=2 2.25BD \=0BD >Q 1.5BD \=0.7 1.5 2.2CD BC BD \=+=+=答：小巷的宽度为2.2米．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．2．（2021·吉林九台·八年级期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，同时小船从移动到，且绳长始终保持不变．、、三点在一条直线上，．回答下列问题：（1）根据题意可知：（填“＞”、“＜”、“＝”）．（2）若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离（结果保留根号）．【答案】（1）=；（2）小男孩需向右移动的距离为米．【分析】（1）根据男孩拽绳子前后始终保持不变即可得；（2）由勾股定理分别求出AC ，BC 的长，然后根据（1）中结论求解即可．【详解】解：（1）∵AC 的长度是男孩拽之前的绳长，是男孩拽之后的绳长，绳长始终未变，∴，故答案为：=；（2）∵A 、B 、F 三点共线， ∴在中，，∵，∴在中，由（1）可得：，∴，∴小男孩需移动的距离为米．【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键．【知识拓展2】风吹草动和折竹抵地C E A B A BF CF AF ^AC BC CE +6CF =8AF =3AB =(10()BC CE +AC BC CE =+10AC ==835BF AF AB =-=-=BC ==AC BC CE =+10CE AC BC =-=(10【微点拨】风吹莲动问题解题步骤：1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度；2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；3）根据勾股定理列方程求解。

勾股定理实例及应用

勾股定理实例及应用勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪提出的数学定理，是初中数学必学的重要内容之一。

它指出：直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的表达形式为：在一个直角三角形中，设直角边的长度分别为a、b，斜边的长度为c，则有a^2 + b^2 = c^2。

勾股定理的实例：一个常见的勾股定理实例是3、4、5的三角形。

它是一个直角三角形，其中直角边的长度分别为3和4，斜边的长度为5。

根据勾股定理，3^2 + 4^2 = 5^2，即9 + 16 = 25，成立。

因此，3、4、5三边构成了一个满足勾股定理的直角三角形。

另一个实例是5、12、13的三角形。

同样地，根据勾股定理，5^2 + 12^2 = 13^2，即25 + 144 = 169，也成立。

因此，5、12、13三边构成了另一个满足勾股定理的直角三角形。

以上两个实例展示了勾股定理在直角三角形中的应用，它可以帮助我们判断一个三角形是否为直角三角形，或者求解直角三角形的边长关系。

勾股定理的应用：勾股定理是一个非常实用的数学定理，它在日常生活中有着广泛的应用。

下面我们将介绍一些常见的应用场景。

1. 土地测量在土地测量中，勾股定理可以帮助测量直角三角形的边长。

例如，在农业生产中，农民需要测量田地的面积，可以利用勾股定理来测算田地的对角线长度，从而确定田地的面积。

2. 建筑工程在建筑工程中，勾股定理也有着重要的应用。

建筑师在规划建筑布局时，经常需要考虑到建筑物之间的距离和角度关系。

利用勾股定理，可以准确计算建筑物之间的距离和角度，确保建筑布局的合理性和美观度。

3. 导弹制导在军事领域，导弹制导是一个重要的应用领域。

通过勾股定理，可以精确计算导弹的飞行路径和目标距离，从而实现导弹制导和精确打击目标。

4. 航海导航在航海领域，勾股定理也有着重要的应用。

船舶在航海过程中，需要计算船舶的航行方向和航程，以及测算船舶与陆地或其他船舶的距离。

(完整版)初中数学竞赛——勾股定理及其应用

(完整版)初中数学竞赛——勾股定理及其应用初中数学竞赛勾股定理与应用勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2．勾股定理逆定理如果三角形三边长a，b，c有下面关系:a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形．早在3000年前,我国已有“勾广三,股修四,径阳五”的说法．关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的．下面的证法1是欧几里得证法．证法1 如图2—16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK,ACFG，它们的面积分别是c2,a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和．过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG,所以△ACE≌△AGB（SAS）．而所以 S AEML=b2．①同理可证 S BLMD=a2．②①+②得S ABDE=S AEML+S BLMD=b2+a2，即 c2=a2+b2．证法2 如图2—17所示．将Rt△ABC的两条直角边CA,CB 分别延长到D，F,使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF（它的边长为a+b），又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH，HB．由作图易知△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，所以AG=GH=HB=AB=c,∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°,因此,AGHB为边长是c的正方形．显然，正方形CDEF 的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB）的面积和，即化简得 a2+b2=c2．证法3 如图2—18．在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE,延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D 作DK⊥CB延长线于K，又作AF， DH分别垂直EG于F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等：△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．设五边形ACKDE的面积为S,一方面S=S ABDE+2S△ABC，①另一方面S=S ACGF+S HGKD+2S△ABC．②由①，②所以 c2=a2+b2．关于勾股定理，在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法，我们将在习题中展示其中一小部分，它们都以中国古代数学家的名字命名．利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一个更一般的结论．定理在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边（或其延长线）上的射影的乘积的2倍．(完整版)初中数学竞赛——勾股定理及其应用因此，我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广）．由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC中，（1）若c2=a2+b2,则∠C=90°；（2)若c2＜a2+b2,则∠C＜90°；(3)若c2＞a2+b2，则∠C＞90°．勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形（及多边形）的问题中有着广泛的应用．例1 如图2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC 的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB2=2FG2．分析注意到正方形的特性∠CAB=45°,所以△AGF是等腰直角三角形，从而有AF2=2FG2，因而应有AF=AB,这启发我们去证明△ABE≌△AFE．说明事实上，在审题中，条件“AE平分∠BAC”及“EF ⊥AC于F”应使我们意识到两个直角三角形△AFE与△ABE全等，从而将AB“过渡"到AF,使AF(即AB）与FG处于同一个直角三角形中，可以利用勾股定理进行证明了．例2 如图2-22所示．AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB2+AC2=2(AM2+BM2）．推论△ABC的中线长公式：说明三角形的中线将三角形分为两个三角形,其中一个是锐角三角形,另一个是钝角三角形(除等腰三角形外)．利用广勾股定理恰好消去相反项,获得中线公式．①′，②′，③′中的m a，m b，m c分别表示a，b，c边上的中线长．例3 如图2-23所示．求证:任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍．分析如图2-23所示．对角线中点连线PQ，可看作△BDQ 的中线，利用例2的结论，不难证明本题．说明本题是例2的应用．善于将要解决的问题转化为已解决的问题，是人们解决问题的一种基本方法，即化未知为已知的方法．下面，我们再看两个例题，说明这种转化方法的应用．例4 如图2-24所示．已知△ABC中,∠C=90°，D，E分别是BC，AC上的任意一点．求证：AD2+BE2=AB2+DE2．分析求证中所述的4条线段分别是4个直角三角形的斜边，因此考虑从勾股定理入手．(完整版)初中数学竞赛——勾股定理及其应用例5 如图2-25所示．设直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分别是BC，AC边上的中线．求证:4(AM2+BN2）=5AB2．分析由于AM，BN,AB均可看作某个直角三角形的斜边，因此，仿例4的方法可从勾股定理入手，但如果我们能将本题看成例4的特殊情况——即M，N分别是所在边的中点,那么可直接利用例4的结论，使证明过程十分简洁．练习十一1．用下面各图验证勾股定理（虚线代表辅助线)：(1）赵君卿图(图2-27);（2)项名达图（2—28）；（3）杨作枚图(图2-29)．2．已知矩形ABCD，P为矩形所在平面内的任意一点,求证:PA2+PC2=PB2+PD2．（提示：应分三种情形加以讨论，P在矩形内、P在矩形上、P在矩形外,均有这个结论．）3．由△ABC内任意一点O向三边BC,CA，AB分别作垂线,垂足分别是D,E，F．求证:AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2．4．如图2-30所示．在四边形ADBC中，对角线AB⊥CD．求证：AC2+BD2=AD2+BC2．它的逆定理是否成立？证明你的结论．5．如图2—31所示．从锐角三角形ABC的顶点B,C分别向对边作垂线BE,CF．求证：BC2=AB·BF+AC·CE．。

三角形的勾股定理及其应用

三角形的勾股定理及其应用在几何学中，勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边平方的和。

这一定理被广泛应用于解决与三角形有关的数学问题和实际应用中。

本文将介绍勾股定理的背景、推导过程及其应用。

1. 勾股定理的背景勾股定理最早出现在古代中国和古希腊的数学文献中。

据史载，中国的《周髀算经》是最早提出并应用勾股定理的文献之一。

希腊数学家毕达哥拉斯也被后世誉为勾股定理的创立者。

这些数学家通过实际测量和几何推理，发现了直角三角形中一条直角边的平方等于其他两条边平方的和的关系。

2. 勾股定理的推导勾股定理的推导可以分为几种不同的方法，下面我们将介绍其中一种常见的方法。

假设在直角三角形ABC中，角C为直角，边AB为直角边，边AC和BC分别为直角边的另外两条边。

根据三角形的性质，我们可以得到以下等式：（1）△ABC的面积为：S₁ = 1/2 * AB * AC（2）△ABC由AB和AC为两条边所构成，故S₁可由AB和AC的长度表示。

（3）同理，由△ABC的直角边AB和BC，可以得到△ABC的面积表示为：S₂ = 1/2 * AB * BC。

根据（2）和（3），我们可以得到以下等式：S₁ = S₂1/2 * AB * AC = 1/2 * AB * BCAC = BC根据等式AC = BC，我们可以推导出：AC² = BC²由于三角形中两条直角边的关系，我们也可以得到：AB² = AC² + BC²因此，勾股定理得到表达：AB² = AC² + BC²3. 勾股定理的应用勾股定理的应用非常广泛。

下面介绍几个常见的应用场景。

（1）求解直角三角形的边长勾股定理可以帮助我们求解直角三角形的边长。

通过已知的两条边，我们可以利用勾股定理求解第三条边的长度。

例如，已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，我们可以使用勾股定理计算出斜边的长度为5。

认识勾股定理及其应用

认识勾股定理及其应用勾股定理是数学中的一条重要定理，它在几何学和实际应用中具有广泛的应用。

本文将介绍勾股定理的概念、证明以及实际应用，并探讨其在各个领域的重要性。

1. 勾股定理的概念与证明勾股定理是指在直角三角形中，直角边的两条边的平方和等于斜边的平方。

具体表达式为：c² = a² + b²，其中a、b为直角边的长度，c为斜边的长度。

为了证明这一定理，我们可以利用平面几何的知识进行推导。

首先，我们将直角三角形的直角边沿着斜边的延长线平移，形成一个边长相等的正方形。

然后，利用几何定理和面积的计算公式，我们可以推导出正方形的面积。

再根据直角三角形与正方形的关系，得到勾股定理的证明过程。

2. 勾股定理的应用勾股定理在实际生活中有着广泛的应用，下面将介绍其中的几个重要领域。

2.1 建筑工程在建筑工程中，勾股定理被广泛应用于测量和规划。

例如，在房屋建设中，我们可以利用勾股定理计算房屋的斜边长度，从而确定合适的位置和尺寸。

此外，勾股定理还可以用于测量建筑物之间的距离、角度等，为建筑工程提供基础数据支持。

2.2 地理测量勾股定理在地理测量中也扮演着重要的角色。

通过使用勾股定理，地理学家可以测量山脉、河流、湖泊等地理要素之间的距离和角度，进而揭示地球表面的地理特征。

同时，勾股定理还能够帮助测算地球的周长和半径等重要参数。

2.3 物理学在物理学中，勾股定理被广泛应用于描述力、速度和加速度之间的关系。

例如，在运动学中，我们可以利用勾股定理计算物体在斜面上滑动时的加速度和速度。

此外，勾股定理还可以用于解决力学、光学等领域中的复杂问题。

2.4 金融学在金融学中，勾股定理可以应用于计算利息、资产回报率等关键指标。

通过利用勾股定理，金融分析师可以准确计算投资回报的预期收益率，并作出相应的决策。

综上所述，勾股定理是一条重要的数学定理，它在各个领域都有着广泛的应用。

无论是建筑工程、地理测量、物理学还是金融学，勾股定理都以其简洁而强大的原理为人们提供了极大的便利。

勾股定理的推广与应用

勾股定理的推广与应用勾股定理是几何中的一条基本定理，它描述了直角三角形中三边之间的关系。

在数学中，勾股定理不仅仅是一条简单的理论，它还具有广泛的推广和应用。

本文将探讨勾股定理的推广及其在实际生活中的应用。

一、勾股定理的推广1. 三维空间中的勾股定理勾股定理最初是在二维平面直角三角形中提出的，但在现实生活和工程学中，我们常常会遇到三维直角三角形的情况。

因此，将勾股定理推广到三维空间中是十分必要的。

三维空间中的勾股定理可以表示为：对于直角三角形ABC，满足a²+ b² = c²。

其中，a、b、c分别为直角三角形的三个边长。

2. 勾股定理的拓展除了三维空间中的推广，勾股定理还可以进一步拓展到其他数学领域。

例如，复数领域中也存在勾股定理的推广形式。

在复数领域中，可以将勾股定理表示为：对于复数z₁和z₂，如果它们的模的平方之和等于另一个复数z的模的平方，即|z₁|² + |z₂|² =|z|²，那么z₁和z₂所对应的两条向量构成直角。

勾股定理在拓展到其他数学领域时，更多的是通过数学符号的表示和推导，以进一步揭示其几何和数学内涵。

二、勾股定理的应用1. 三角函数的定义和计算勾股定理的应用之一是三角函数的定义和计算。

根据勾股定理，我们可以得到正弦函数、余弦函数以及其他三角函数的证明和定义。

举例来说，对于直角三角形ABC，假设∠C为直角，a、b、c分别为边AC、BC、AB的长度。

根据勾股定理可得：sin(∠B) = a / c；cos(∠B) = b / c；tan(∠B) = a / b。

通过勾股定理，我们可以进行三角函数的计算，进而应用于解决实际问题。

2. 测量和导航勾股定理在测量和导航领域具有重要的应用。

例如，在测量一个无法直接测量的长度时，勾股定理可以帮助我们通过测量其他长度来计算所需长度。

另外，在导航中，勾股定理被广泛用于计算两个地点之间的距离。

勾股定理及应用(含解答)

勾股定理点击一：勾股定理勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2 = c 2．即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方．因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注意如下三点：（1）注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形；（2）注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错；（3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长．即c 2= a 2＋b 2，a 2= c 2－b 2，b 2= c 2－a 2．点击二：学会用拼图法验证勾股定理拼图法验证勾股定理的基本思想是：借助于图形的面积来验证，依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理．如，利用四个如图1所示的直角三角形三角形，拼出如图2所示的三个图形．请读者证明．如上图示，在图（1）中，利用图1边长为a ，b ，c 的四个直角三角形拼成的一个以c 为边长的正方形，则图2（1）中的小正方形的边长为（b －a ），面积为（b －a ）2，四个直角三角形的面积为4×21ab = 2ab ．由图（1）可知，大正方形的面积 =四个直角三角形的面积＋小正方形的的面积，即c 2 =（b －a ）2＋2ab ，则a 2＋b 2 = c 2问题得证．请同学们自己证明图（2）、（3）．点击三：在数轴上表示无理数将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题．第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点．点击四：直角三角形边与面积的关系及应用ABC直角三角形有许多属性，除边与边、边与角、角与角的关系外，边与面积也有内的联系.设a 、b 为直角三角形的两条直角边，c 为斜边，S ∆为面积，于是有：222()2a b a ab b +=++，222a b c +=，12442ab ab S ∆=⨯=，所以22()4a b c S ∆+=+.即221[()]4S a b c ∆=+-.也就是说，直角三角形的面积等于两直角边和的平方与斜边平方差的四分之一.利用该公式来计算直角三角形的有关面积、周长、斜边上的高等问题，显得十分简便. 点击五：熟练掌握勾股定理的各种表达形式．如图2，在Rt ABC ∆中,90=∠C 0,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c,则c 2=a 2+b 2, a 2=c 2-b 2 , b 2=c 2-a 2, 点击六：勾股定理的应用（1）已知直角三角形的两条边，求第三边；（2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系；（3）用于推导线段平方关系的问题等．（4）用勾股定理，在数轴上作出表示2、3、5的点，即作出长为n 的线段．针对练习:1．下列说法正确的是（）A ．若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2B ．若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2C ．若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2D ．若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 22．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A ．斜边长为25B ．三角形周长为25C ．斜边长为5D ．三角形面积为203．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（）A ． 0B ． 1C ． 2 D． 34．如图，数轴上的点A 所表示的数为x ，则x 2—10的立方根为（）A．．．2 D．-25．把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）A． 2倍B． 4倍C． 6倍D． 8倍6．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当它把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm7．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（）A．42 B．32 C．42 或32D．37 或 338．如图，直线l上有三个正方形a b c，，，若a c，的面积分别为5和11，则b的面积为（）（Ａ）4 （Ｂ）6 （Ｃ）16（Ｄ）559.已知直角三角形的周长为21，求它的面积.10.直角三角形的面积为120，斜边长为26，求它的周长.11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AB=13cm，AC于BC之和等于17cm，求CD的长.类型之一：勾股定理例1：如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是 cm2．解析：欲求直角三角形的面积，已知一直角三角形的斜边与一条直角边的长，则求得另一直角边的长即可．根据勾股定理公式的变形，可求得．解：由勾股定理，得132－52=144，所以另一条直角边的长为12．所以这个直角三角形的面积是21×12×5 = 30（cm2）．类型之二：在数轴上表示无理数例3：在数轴上作出表示l出两直角边的长度后即可在数轴上作出．解：3和1，所以需在数轴上找出两段分别长为3和1的线段，如图所示，然后即可确定斜边长，线段即可．下面的问题是关于数学大会会标设计与勾股定理知识的综合运用例5：阅读材料，第七届国际数学教育大会的会徽．它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA 1A 2是等腰三角形，且OA1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=……=A 8A 9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积．解：2；3；2；5；6；7；22；3；这8条线段的长的乘积是7072例6：2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么()2b a +的值为（）（A ）13 （B ）19 （C ）25 （D ）169解析：由勾股定理，结合题意得a 2+b 2=13 ①. 由题意，得 (b-a)2=1 ②. 由②，得 a 2+b 2-2ab =1 ③. 把①代入③，得 13-2ab=1 ∴ 2ab=12.∴ (a+b)2 = a 2+b 2+2ab =13+12=25. 因此，选C.类型之四：勾股定理的应用（一）求边长例1：已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.（二）求面积（三）作线段例3 作长为、、的线段．解析：作法：1．作直角边长为1（单位长）的等腰直角三角形ACB（如图）；2．以斜边AB为一直角边，作另一直角边长为1的直角三角形ABB1；3．顺次这样作下去，最后作到直角三角形AB2B3，这时斜边AB、AB1、AB2、AB3的长度就是、、、．证明：根据勾股定理，在Rt△ACB中，∵AB>0，∴AB=．其他同理可证．点评由勾股定理，直角边长为1，1的直角三角形的斜边长就是去就可得到“勾股树”，请你试试看．（四）证明平方关系例4：已知：如图，在ABC∆中，∠E，求证：222BEAEAC-=.解析：根据勾股定理，在ACDRt∆中，在ADERt∆中，222DEAEAD+=，在Rt∆222BEBDDE-=，∴222222BDAECDDEAEAC-+=-+=又∵CDBD=，∴222BEAEAC-=.点评证明线段的平方差或和，常常要考虑到运用勾股定理；若无直角三角形，则可通过作垂线的方法，构成直角三角形，以便为运用勾股定理创造必要的条件.（五）实际应用一、选择题1、有六根细木棒，它们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：cm），从中取出三根首尾顺次连结搭成一个直角三角形，则这三根细木棒的长度分别为（）（A）2、4、8 （B）4、8、10 （C）6、8、10 （D）8、10、122、木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具，那么他要选择的三根木条的长度应符合下列哪一组数据？（）A.25，48，80 B．15，17，62 C．25，59，74 D．32，60，683、如果直角三角形的三条边2，4，a，那么a的取值可以有（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个4、已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2厘米，则斜边的长是（）（A）2厘米（B）4厘米（C）6厘米（D）8厘米5、如图，直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（）（A）S1+S2>S3（B）S1+S2<S3（C）S1+S2=S3（D）S12+S22=S32二、填空题1、若直角三角形斜边长为6，则这个三角形斜边上的中线长为______.2、如果直角三角形的两条直角边的长分别是5cm和12cm，那么这个直角三角形斜边上的中线长等于 cm．3、如图，CD是Rt⊿ABC斜边AB上的中线，若CD=4，则AB= ．4、在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3．已知BC＝3cm，则AB＝ cm．5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为 .6、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米．三、解答题一、选择题1、如图，字母A 所代表的的正方形的面积为（数字表示该正方形的面积）（） A 、13B 、85C 、8D 、都不对2、在Rt△ABC 中，有两边的长分别为3和4，则第三边的长（） A 、5B 、7C 、5或7D 、5或113、等腰三角形底边上的高是8，周长是32，则三角形的面积是（） A 、56B 、48C 、40D 、324、若线段a 、b 、c 能构成直角三角形，则它们的比为（） A 、2:3:4B 、3:4:6C 、5:12:13D 、4:6:75、一个长方形的长是宽的2倍，其对角线的长是5cm ，则长方形的面积（） A 、25cmB 、225cmC 、210cmD 、275cm6、一个三角形三个内角之比为1：2：1，其相对应三边之比为（） A 、1:2:1B 、1:2:1C 、1:4:1D 、12:1:27、斜边长25，一条直角边长为7的直角三角形面积为（） A 、81B 、82C 、83D 、848、若直角三角形中，有一个锐角为 30，且斜边与较短直角边之和为18，则斜边长为（） A 、4cmB 、6cmC 、8cmD 、12cm9、如图△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，下面等式错误的是（）第6题图第5题图A 、AC 2+DC 2=AD 2B 、AD 2－DE 2＝AE 2C 、AD 2=DE 2+AC 2D 、BD 2－BE 2＝41BC 210.图是2002年8 月北京第24届国际数学家大会会标，由4 个全等的直角三角形拼合而成.若图中大小正方形面积分别是6221和4，则直角三角形的两条直角边长分别为（） A 、6，4B 、6221，4 C 、6221，421 D 、6， 421二、填空：1、在△ABC 中， ∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ∠B ∠C 的对边（1）若a=6，c=10则b= （2）若a=12，b=5 则c= （3）若c=25，b=15则a= （4）若a ＝16，b=34则b=2、三边长分别为1，1，1的三角形是角三角形.3、在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，则△ABC 的面积是4、如图点C 是以为AB 直径的半圆上的一点，4,3,90==︒=∠BC AC ACB 则图中阴影部分的面积是6、在Rt△ABC 中，3:5:,90=︒=∠AC AB C 且BC=136则AC=7、直角三角形的一直角边为8cm ，斜边为10cm ，则这个直角三角形的面积是斜边上的高为8、△ABC 中， ︒=∠︒=∠30,90a C 则a:b:c=9、三角形三个内角之比为1：2：3，它的最长边为a ，那么以其余两边为边所作的正方形面积分别为10、有两根木条，长分别为60cm 和80cm ，现再截一根木条做一个钝角三角形，则第三根木条x 长度的取值范围三解答题1、如如图要建一个苗圃，它的宽是a=4.8厘米，高b=3.6米.苗圃总长是10米（1）求苗圃的占地面积（2）覆盖在顶上的塑料薄膜需要多少平方米?2、如图在四边形ABCD中，12=︒∠∠BCADBAD求正方形DCEFCBD=AB︒=,4,390,,=90=的面积3、如图在锐角△ABC中，高AD=12，AC=13，BC=14求AB的长4、八年级学生准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿插到离湖边1米的水底，只见竹竿高出水面1尺，把竹竿的顶端拉向湖边（底端不变）竿顶和湖沿的水面刚好平齐，求湖水的深度和竹竿的长．5、如图己知在△ABC中，DE∠︒==∠垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，BC,15,90︒求AC长．6、某校要把一块形状是直角三角形的废地开发为生物园，如图80∠AC=ACB米，BC=60,90=︒米，若线段CD为一条水渠，且D在边AB上，己知水渠的造价是10元/米，则点D在距A点多远，水渠的造价最低，最低价是多少？勾股定理及应用勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠，在西方数学史上称之为“毕达哥拉斯定理”．例1 已知一直角三角形的斜边长是2，周长是，求这个三角形的面积．分析由斜边长是2，周长是角边的平方和为4，列关于两直角边的方程，只需求出两直角边长的积，即可求得三角形的面积．本题中用到数学解题中常用的“设而不求”的技巧，要熟练掌握．解：设直角三角形的两直角边为a 、b ，根据题意列方程得：2222,22a b a b ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩即224,a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ②式两边同时平方再减去①式得： 2ab=2，∴12ab=12．∴S=12．因此，这个三角形的面积为12．练习11．已知：如图2-1，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，∠ACB=90°，•求图形中阴影部分的面积．2-12．已知：长方形ABCD ，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=2，AD ≠DC ，长方形ABCD 的面积为S ，沿长方形的对称轴折叠一次得到一个新长方形，求这个新长方形的对角线的长． 3．若线段a 、b 、c 能组成直角三角形，则它们的比值可以是（） A ．1：2：4 B ．1：3：5 C ．3：4：7 D ．5：12：13例2 如图2-2，把一张长方形纸片ABCD 折叠起来，使其对角顶点A 、C 重合，•若其长BC 为a ，宽AB 为b ，则折叠后不重合部分的面积是多少？分析图形沿EF 折叠后A 、C 重合，可知四边形AFED ′与四边形CFED 全等，则对应边、角相等，∴AF=FC ，且FC=AE ，则△ABF ≌△AD ′E ，•由三角形面积公式不难求出不重合部分的面积．解：∵图形沿EF 折叠后A 、C 重合， ∴四边形AFED ′与CFED 关于EF 对称，则四边形AFED ′≌四边形CFED ． ∴∠AFE=∠CFE ．∴AF=FC ，∠D ′=∠D=∠B=90° AB=CD=AD ′． ∵AD ∥BC ， ∴∠AEF=∠EFC ． ∴∠AEF=∠AFE ．则AE=AF ．∴Rt △ABF ≌Rt △AD ′E ．在Rt △ABF 中，∵∠B=90°， ∴AB 2+BF 2=AF 2．设BF=x ，b 2+x 2=（a-x ）2，∴x=222a b a-．∴S=2S △ABF =2×12bx=2×12·b ·222a b a -=22()2b a b a-．练习21．如图2-3，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C ′的位置上，已知AB=•3，BC=7，重合部分△EBD 的面积为________．2．如图2-4，一架长2.5m 的梯子，斜放在墙上，梯子的底部B•离墙脚O•的距离是0.7m ，当梯子的顶部A 向下滑0.4m 到A ′时，梯子的底部向外移动多少米？2-22-32-43．如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，•则折叠后痕迹EF的长为（）A．3.74 B．3.75 C．3.76 D．3.77例3 试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n为正整数）•的三角形是否是直角三角形？分析先确定最大边，•再利用勾股定理的判定定理判断是否为直角三角形．解：∵n为正整数，∴（2n2+2n+1）-（2n2+2n）=2n2+2n+1-2n2-2n=1>0，（2n2+2n+1）-（2n+1）=2n2+2n+1-2n-1=2n2>0．∴2n2+2n+1为三角形中的最大边．又（2n2+2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1，（2n2+2n）2+（2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1．∴（2n2+2n+1）2=（2n2+2n）2+（2n+1）2．∴这个三角形是直角三角形．练习31．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形2．如图2-6，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=14BC，猜想AF•与EF的位置关系，并说明理由．2-63．△ABC中的三边分别是m2-1，2m，m2+1（m>1），那么（）A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1．B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2m．C．△ABC是直角三角形，但斜边长由m的大小而定．D．△ABC不是直角三角形．例4 已知：如图2-7所示，△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6．5．求证：△ABC是直角三角形．分析欲证△ABC是直角三角形，在已知两边AC、BC的情况下求边AB的长，比较困难；但注意到CD是边AB的中线，我们延长CD到E，使DE=CD，•从而有△BDE•≌△ADC，这样AC、BC、2CD就作为△BCE的三边，再用勾股定理的逆定理去判定．证明：延长CD到E，使DE=CD，连结BE．∵AD=BD，CD=ED，∠ADC=∠BDE．∴△ADC≌△BDE（SAS）．∴BE=AC=12．∴∠A=∠DBE．2-7∴AC∥BE．在△BCE中，∵BC2+BE2=52+122=169．CE2=（2CD）2=（2×6.5）2=169．∴BC2+BE2=CE2．∴∠EBC=90°．又∵AC∥BE，∴∠ACB=180°-∠EBC=90°．∴△ABC是直角三角形．练习41．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2-b 2c 2=a 2-b 2，试判断△ABC 的形状．先阅读下列解题过程：解：∵a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4， ① ∴c 2（a 2-b 2）=（a 2+b 2）（a 2-b 2）． ② ∴c 2=a 2+b 2． ③ ∴△ABC 为直角三角形． ④问：（1）上述推理过程，出现错误的一步是________；（2）本题的正确结论是________．2．如图2-8，△ABC 的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将△ABC 沿AD 折叠，使AC 落在AB 上，求折痕AD 的长．3．如图2-9，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内一点，满足PA=3，PB=1，•PC=2，求∠BPC 的度数．例5 如图2-10，△ABC 中，AB=AC=20，BC=32，D 是BC 上一点，且AD ⊥AC ，求BD 的长．分析若作AE ⊥BC 于E ，如图2-11，利用勾股定理可求出AE=12，AD 是Rt•△ADC 的直角边．∴AD=CD-AC ，若设DE=x ，借助于AD 这个“桥”可以列出方程．解：作AE ⊥BC 于E ． ∵AB=AC ，AE ⊥BC ，∴BE=EC=12BC=12×32=16．在Rt △AEC 中，AE 2=AC 2-CE 2=202-162=144， ∴AE=12．设DE=x ，则在Rt △ADE 中，AD 2=AE 2+DE 2=144+x 2，在Rt △ACD 中，AD 2=CD 2-AC 2=（16+x ）2-202． ∴144+x 2=（16+x ）2-202 解得x=9．∴BD=BE-DE=16-9=7．2-102-11练习51．如图2-12，△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D．求证：AD2=AC2+BD2．2-12 2．如图2-13，AB⊥AD，AB=3，BC=12，CD=13，AD=4，求四边形ABCD的面积．2-133．如图2-14．长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现有绳子从A出发，沿长方形表面到达C处，问绳子最短是多少厘米？2-14。

初中数学复习勾股定理的应用问题

初中数学复习勾股定理的应用问题一、勾股定理的基本概念勾股定理是数学中的重要定理之一，描述了直角三角形中的边长关系。

其基本公式为：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方，即a² + b² = c²。

在初中数学中，我们通常会遇到一些涉及勾股定理的应用问题。

二、船、桥问题船、桥问题是勾股定理应用的典型问题之一。

假设有一座桥的两侧是垂直的，桥下有一艘船，需要计算桥和船之间的距离。

这个问题可以通过勾股定理解决。

设桥的两侧分别为a、b，桥下的距离为c，则根据勾股定理可以得出a² + b² = c²。

三、影子问题影子问题也是勾股定理的常见应用之一。

例如，一个3米高的树在太阳照射下，它的影子与树的高度形成了一条直角三角形。

假设树与其影子之间的距离为x，根据勾股定理可以得出x² + 3² = c²，其中c表示树的高度与影子之间的距离。

四、建筑物高度问题在实际生活中，我们可以利用勾股定理来计算建筑物的高度。

例如，站在建筑物正对面的地面上，测量自己与建筑物底部的距离为a，仰望建筑物的顶部，测量自己与顶部的直线距离为c，通过勾股定理可以得出a² + b² = c²，其中c就是建筑物的高度。

五、跳台阶问题勾股定理还可以应用于跳台阶问题。

例如，一个人站在台阶底部，向上跳n阶台阶，问他离地面的高度是多少米？可以假设每一阶台阶的高度为a，根据勾股定理可以得出a² + a² + ... + a² = c²，其中c就是该人跳上的台阶高度。

六、总结勾股定理的应用非常广泛，可以用于解决一些实际生活中的问题。

通过合理运用勾股定理，我们可以更好地理解和应用数学知识。

在复习勾股定理的过程中，我们应该学会将其应用于实际问题的解决中，提高自己的数学运算能力和解决问题的思维能力。

希望以上内容可以满足您对于初中数学复习勾股定理的应用问题的需求。

勾股定理在数学竞赛中的应用与解题技巧探究

勾股定理在数学竞赛中的应用与解题技巧探究勾股定理是数学中的重要理论，被广泛应用于各个领域。

在数学竞赛中，勾股定理也是常见的解题方法之一。

本文将探究勾股定理在数学竞赛中的应用情况以及解题技巧。

一、勾股定理的基本概念勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边平方的和。

即，已知一个直角三角形，若两条直角边分别为a和b，斜边为c，则有a^2 + b^2 = c^2。

二、勾股定理在数学竞赛中的常见应用1. 直角三角形的边长关系推导在数学竞赛中，常常会给出一个直角三角形的边长关系式，并要求计算其中一条边的长度。

此时，我们可以利用勾股定理将已知的边长代入，从而求解未知边长。

2. 面积计算勾股定理还可以用于计算直角三角形的面积。

根据勾股定理，直角三角形的面积可以通过两条直角边的乘积再除以2来计算，即S = (a *b)/2。

3. 判断直角三角形、等腰三角形和等边三角形勾股定理也可以用来判断一个三角形是否为直角三角形。

若给定的三角形的三条边满足勾股定理，即a^2 + b^2 = c^2（或a^2 + c^2 = b^2，或b^2 + c^2 = a^2），那么该三角形为直角三角形。

另外，若一个三角形的两条边相等，且第三条边满足勾股定理，即a^2 + b^2 = c^2，那么该三角形为等腰直角三角形。

还有一种特殊情况是等边三角形，若一个三角形的三条边均相等且满足勾股定理，即a^2 + b^2 = c^2，那么该三角形为等边直角三角形。

三、勾股定理的解题技巧1. 边长选择在解题时，通常需要选择适当的直角边来代入勾股定理。

我们可以根据题目给出的条件和所求的未知量来选择合适的直角边。

2. 引用勾股定理的变形勾股定理有许多变形形式，可以根据题目给出的条件灵活应用。

例如，a^2 = c^2 - b^2、b^2 = c^2 - a^2等。

3. 结合其他几何知识解题时可以结合其他几何知识，如面积公式、三角形内角和等，进一步推导和计算。

勾股定理的应用利用勾股定理解决算式题目

勾股定理的应用利用勾股定理解决算式题目勾股定理是数学中的一条重要定理，被广泛应用于解决各种算式题目。

下面将通过实例展示勾股定理的应用，并解决相关的算式题目。

1. 直角三角形的求解问题勾股定理适用于解决直角三角形的求解问题。

当我们已知一个直角三角形的两条直角边长时，可以通过勾股定理求解第三条边的长度。

例如，已知一个直角三角形的直角边分别为3和4，求斜边的长度。

根据勾股定理，斜边的平方等于直角边的平方和。

解：斜边的长度可以表示为c，根据勾股定理可得：c² = 3² + 4²= 9 + 16= 25因此，斜边的长度c等于5。

2. 测量三角形边长问题除了求解直角三角形的问题外，勾股定理还可以应用于测量非直角三角形的边长问题。

当我们已知一个三角形的两条边长以及它们之间的夹角时，可以通过勾股定理求解第三条边的长度。

例如，已知一个三角形的两个边长分别为5和6，夹角为60度，求第三边的长度。

根据勾股定理，第三边的平方等于两边的平方和减去两倍边长的乘积与夹角的余弦的乘积。

解：设第三边的长度为c，根据勾股定理可得：c² = 5² + 6² - 2×5×6×cos(60°)= 25 + 36 - 60= 61因此，第三边的长度c约等于7.81。

3. 间接求解问题有时候，我们可以通过勾股定理间接求解一些问题。

例如，已知一个三角形的两个边长分别为3和5，而且这两条边与第三条边的长度之和相等于10，求第三边的长度。

解：设第三边的长度为c，根据题目可得：3 + 5 + c = 10c = 10 - 3 - 5c = 2因此，第三边的长度c等于2。

4. 勾股定理的拓展勾股定理还有一些拓展应用，例如可以用来判断一个三角形是否为直角三角形。

如果一个三角形的三条边满足勾股定理的条件，即a² + b² = c²，那么这个三角形就是直角三角形。

勾股定理中的应用问题(分类整理版)

勾股定理中的应用问题(分类整理版)一、勾股定理的基本概念勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯提出的一条基本定理，也被称为毕达哥拉斯定理。

它表明，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的数学表示如下：$a^2 + b^2 = c^2$其中，a、b表示直角边的长度，c表示斜边的长度。

二、勾股定理的应用问题分类勾股定理在数学和实际问题中有广泛的应用。

我们可以将勾股定理的应用问题分为以下几类：1. 直角三角形的边长问题在已知一个直角三角形中的两条边长，可以利用勾股定理求解第三条边长。

例如，已知直角三角形的一条直角边长为3，另一条直角边长为4，求斜边的长度。

解答：根据勾股定理，斜边的长度c可以通过$a^2 + b^2 = c^2$计算，代入已知数据得到：$3^2 + 4^2 = c^2$$9 + 16 = c^2$$25 = c^2$$c = \sqrt{25}$$c = 5$所以，斜边的长度为5。

2. 直角三角形的角度问题在已知直角三角形中的两条边长，可以利用勾股定理求解角度。

例如，已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求斜边与其中一直角边的夹角。

解答：通过勾股定理求解斜边的长度，得到斜边的长度为5。

然后，利用三角函数计算角度。

$\sin(x) = \frac{a}{c} = \frac{3}{5}$$x = \arcsin(\frac{3}{5})$所以，斜边与其中一直角边的夹角为$\arcsin(\frac{3}{5})$。

3. 实际问题中的勾股定理应用勾股定理在实际问题中也有许多应用，例如建筑、测绘、航海等。

例如，在测量直角墙角时，可以利用勾股定理计算墙角的大小。

假设墙角两边的长度分别为3和4，求墙角的大小。

解答：利用勾股定理计算斜边的长度，得到斜边的长度为5。

然后，利用三角函数计算墙角的大小。

$\cos(x) = \frac{3}{5}$$x = \arccos(\frac{3}{5})$所以，墙角的大小为$\arccos(\frac{3}{5})$。

初中数学：勾股定理的妙用

初中数学：勾股定理的妙用勾股定理是几何学中的一个基本定理，也被称为毕达哥拉斯定理。

它是平面直角三角形中最为重要的关系之一，揭示了直角三角形的三条边之间的关系。

在初中阶段，学生们通常会接触这一概念。

在这篇文章中，我们将深入探讨勾股定理的定义、公式、简单推导方法以及实际应用。

让我们一起揭开勾股定理的神秘面纱，发现其在生活和学习中的多种妙用。

勾股定理的定义与公式勾股定理具体可以表述为：在一个直角三角形中，直角所对的边（即斜边）的平方等于另外两条边（即直角边）的平方和。

用数学公式表示为：[ c^2 = a^2 + b^2 ]其中，( c ) 是斜边的长度，( a ) 和 ( b ) 是直角边的长度。

勾股定理的推导虽然在初中阶段通常不要求学生进行深刻的数学推导，但理解其推导过程有助于加深对定理本质的理解。

以下为一种简单的推导方式：构造一个正方形设直角三角形的两条直角边为 ( a ) 和 ( b )，斜边为 ( c )。

考虑一个以 ( c ) 为边长的大正方形，其面积为 ( c^2 )。

填充小正方形在大正方形内，可以构造出四个与原三角形相同的直角三角形，构成一个小正方形。

小正方形每条边的长度均为 ( a ) 和 ( b )，其面积为 ( (a+b)^2 )。

面积关系大正方形的面积等于四个小三角形面积之和加上小正方形的面积，因此有： [ c^2 = 4(ab) + (a-b)^2 ] 简化后可得 ( c^2 = a^2 +b^2 )，从而完成对勾股定理的推导。

勾股定理在日常生活中的应用勾股定理不仅理论上有重要意义，在现实生活中也有广泛应用。

以下是一些实例：建筑与施工在建筑施工过程中，为确保墙体、门窗、楼梯等设施的垂直或水平方向，工人常使用勾股定理来测量。

例如，要确保一堵墙是直角，可以测量基座的一边和另一边，并应用勾股定理来判断。

地理测量在地图测绘时，如果我们知道两个地点之间的直线距离和其中一个地点到水平方向（东或西或南或北）的远近，可以利用勾股定理计算出另一个地点的位置。

勾股定理竞赛试卷(含解答)

勾股定理竞赛试卷(含解答)八年级数学《勾股定理》竞赛试卷时间：120分钟，总分：120分一、选择题（每小题5分，共25分）1、△ABC周长是24，M是AB的中点MC=MA=5，则△ABC的面积是（）A．12.B．16.C．24.D．302、如图，在正方形ABCD中，N是CD的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠XXX，则AM：AB=（）A．第（1）题图3、如图，已知O是矩形ABCD内一点，且OA=1，OB=3，OC=4，那么OD的长为（）A.2.B.22.C.23.D.34、如图，P为正方形ABCD内一点，PA=PB=10，并且P 点到CD边的距离也等于10，那么，正方形ABCD的面积是（）A．200.B．225.C．256.D．150+1025、如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AB、AC上各取一点N、M，使得BM+MN的值最小，这个最小值为（）A．12.B．102.C．16.D．20二、填空题（每小题5分，共25分）6、如图，△ABC中，AB=AC=2，BC边上有10个不同的点P1,P2,P10，记Mi=API2+PiB PiC（i=1，2，……，10），那么。

M1+M2++M10=_________。

第（5）题图7、如图，设∠MPN=20°，A为OM上一点，OA=43，D 为ON上一点，OD=83，C为AM上任一点，B是OD上任意一点，那么折线ABCD的长最小为__________。

第（6）题图8、如图，四边形ABCD是直角梯形，且AB=BC=2AB，PA=1，PB=2，PC=3，那么梯形ABCD的面积=__________。

第（7）题图第（8）题图9、若x + y = 12，那么x2+4+y2+9的最小值=___________。

10、已知一个直角三角形的边长都是整数，且周长的数值等于面积的数值，那么这个三角形的三边长分别为____________。

三、解答题（共70分）11、求解BD+BF长度问题已知三角形ABC的边长分别为BC=17，CA=18，AB=19，且点P向三边分别作垂线PD，PE，PF，使得BD+CE+AF=27.要求求出BD+BF的长度。