线性变换习题课

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高等代数课件(北大版)第七章-线性变换§7.3

i 1
i 1
i 1
n
n
k (kbi )i k bii k
i 1
i 1
为V的线性变换.
又 i 01 0 i1 i 0 i1 ( i ) i , i 1, 2, , n
§7.3 线性变换的矩阵
0 n
由2与3即得
定理1 设1, 2 , , n为线性空间V的一组基，
定义 :V V , ＝x11 x22
xn
，
n
易知为V的一个变换，下证它是线性的.
n
n
任取， V , 设 = bii , cii
i 1
i 1
§7.3 线性变换的矩阵
n
n
则＋＝（bi＋c） i i , k (kbi )i
i 1
i 1
n
n
n
于是＋（bi＋c） i i bii cii
,
(3 ) (5,1,9)
其中,
12(
1, 0, 2) (0,1,1)
3 (3,1,0)
（1）求在标准基 1, 2 , 3 下的矩阵. （2）求在 1,2 ,3 下的矩阵.
§7.3 线性变换的矩阵
解：（1）由已知，有
1
(1,2 ,3 )
(1, 2 , 3 )
0 2
0 1 1
3 1 0
( 2

第8章线性变换的可对角化问题习题课(09-10第二学期)

i i
(iii) V 是σ 的特征子空间的直和.
高等代数与解析几何
定义 8.3.2
设V 是数域 K 上的一个 n 维线性空间
σ 是V 的一个线性变换, σ 关于 V 的任意基的矩阵 A 的特征多项式 f A (λ ) , 称为 σ 的特征多项式, 记作 fσ (λ ) .
定理8.3.5（哈密尔顿‐凯莱(Hamilton-Caylay)定理）设 A 是数域 K 上一个 n 阶矩阵, f A ( λ ) =| λ I − A | 是 A 的特征多项式,则矩阵
f A ( A) = An − ( a11 + a22 +
+ ann ) An −1 +
+ ( −1)n | A | I = 0
推论8.3.6 设 σ 是有限维空间 V 的线性变换，
fσ ( λ ) 是 σ 的特征多项式，那么 fσ ( σ ) =θ.
高等代数与解析几何
定义 8.4.1 设 σ 是数域 K 上线性空间 V 的一个线性变换, W 是 V 的子空间,如果对 W 中的任意向量 α , 都有 σ (α ) 属于 W ,就称 W 是线性变换 σ 的不变子空间,简称 σ -子空间. 定理 8.4.1 若 W 是 σ -子空间 ,在 W 中规定 ϕ : ξ σ ( ξ ) , ∀ξ ∈ W .则 ϕ 是 W 的线性变换. 这时 ϕ 称为 σ 在W 上的限制,记为 σ |W .

七、线性变换习题课

1．复习线性变换的概念

例1 将C看成R上的线性空间，变换是线性的，看成C上的线性空间则不是。

证明：R上：有==

⼜

故A是R上线性空间C的线性变换。

C上：取及，有，⽽，故A不是C上线性空间C的线性变换。

由上例，变换A是否为线性变换与所讨论的数域有关。

2．利⽤运算的意义，运算律推证线性变换的等式，利⽤线性变换与n阶⽅阵代数同构解决有关问题。例2设A,B是线性变换，如果证明：

，（k>0）

证明: 由已知,对k=1结论成⽴,故考虑⽤数学归纳法.

对k⽤归纳法.当k=1时结论成⽴. K=2时,由已知

=AB=(BA+E)A+A-BA2

=BA2+A+A-BA2=2A 结论成⽴.

设当k时结论成⽴,即,也即.

当k+1时,

=ABA k+AkA k-1-BA k+1=(BA+E)A k+kA k-BA k+1

=BA k+1+A k+kA k-BA k+1=(k+1)A k

所以结论对k+1也成⽴,从⽽对⼀切k1成⽴.

例3设V是数域P上n维线性空间,证明:V的与全体线性变换交换的线性变换是数乘变换.

证明: 需要表达出线性变换,联系到某基下的矩阵.

设令A,B在某基下的矩阵分别为A,B.

因为,所以由得AB=BA.由的任意

性,也是任意的,从⽽存在某个k使得A=kE为数量阵(P.204,,于是为数量变换.

有了变换乘积,进⼀步可考虑可逆变换.

3. 系统⼩结可逆线性变换的的等价条件,并举例说明⼀些基本论证⽅法.

A可逆10存在使=E.

A是双射.

A在基下的矩阵A可逆—有限维

例4 设是线性空间V的⼀组基,A是V上的线性变换,证明:可逆当且仅当线性⽆关.

七、线性变换习题课

1．复习线性变换的概念

例1 将C看成R上的线性空间，变换是线性的，看成C上的线性空间则不是。

证明：R上：有==

又

故A是R上线性空间C的线性变换。

C上：取及，有，而，故A不是C上线性空间C的线性变换。

由上例，变换A是否为线性变换与所讨论的数域有关。

2．利用运算的意义，运算律推证线性变换的等式，利用线性变换与n阶方阵代数同构解决有关问题。

例2设A,B是线性变换，如果证明：

，（k>0）

证明: 由已知,对k=1结论成立,故考虑用数学归纳法.

对k用归纳法.当k=1时结论成立. K=2时,由已知

=AB=(BA+E)A+A-BA2

=BA2+A+A-BA2=2A 结论成立.

设当k时结论成立,即,也即.

当k+1时,

=ABA k+AkA k-1-BA k+1=(BA+E)A k+kA k-BA k+1

=BA k+1+A k+kA k-BA k+1=(k+1)A k

所以结论对k+1也成立,从而对一切k1成立.

例3设V是数域P上n维线性空间,证明:V的与全体线性变换交换的线性变换是数乘变换.

证明: 需要表达出线性变换,联系到某基下的矩阵.

设令A,B在某基下的矩阵分别为A,B.

因为,所以由得AB=BA.由的任意性,也是任意的,从而存在某个k使得A=kE为数量阵(P.204,ch.4.ex.7.3),于是为数量变换.

有了变换乘积,进一步可考虑可逆变换.

3. 系统小结可逆线性变换的的等价条件,并举例说明一些基本论证方法.

A可逆10存在使=E.

A是双射.

A在基下的矩阵A可逆—有限维

例4 设是线性空间V的一组基,A是V上的线性变换,证明:可逆当且仅当线性无关.

东北大学线性代数_第七章课后习题详解线性空间与线性变换

教学基本要求：

1.了解线性空间、线性子空间、基、维数、坐标等概念.

2.了解基变换和坐标变换，会求过渡矩阵.

3.了解线性变换的概念，了解线性变换的矩阵.

4.了解内积、欧几里得空间的概念.

5.了解规范正交基，会用施密特(Schmidt)正交化法把欧几里得空间中的线性无关向量组规范正交化.

第七章线性空间与线性变换(P151)

线性空间的理论具有高度的概括性和广泛的应用性，是线性代数的中心内容之一.

本章将把在第四章中介绍的R n中的有关概念推广，给出更具一般性的线性空间定义，并讨论线性空间中的“极大线性无关组”与“秩”，介绍线性变换的概念和线性变换的矩阵.

一、线性空间的概念及其性质

空间是集合，线性空间则是存在“封闭的”线性运算、符合“八条”的集合.

线性空间的线性运算与数域密切相关.

1. 数域

数域K K是一个数集，且

(1)0,1∈K；

(2) K关于“+,-,×,÷运算”封闭.

大家熟知的数域：有理数域Q，实数域R，复数域C.

不熟悉的数域：Q(√2)={a+b√2|a,b∈Q}是数域.

任意数域都包含有理数域.数域无穷多.

2. 线性空间的定义和例子(P152)

数域K上的线性空间V K若在非空集合V和数域K上定义了加法“⊕”和数乘法“⊗”两种线性运算：对∀α,β,γ∈V,∀k,l∈K，有唯一的α⊕β∈V和唯一的k⊗α∈V(即运算封闭)，且满足以下八条规律：“⊕”满足交换律α⊕β=β⊕α,∀α,β∈V；

“⊕”满足结合律(α⊕β)⊕γ=α⊕(β⊕γ),∀α,β,γ∈V；

“⊗”满足分配律k⊗(α⊕β)=(k⊗α)⊕(k⊗β),(k+l)⊗α=(k⊗α)⊕(l⊗α), (kl)⊗α=k⊗(l⊗α),∀α,β∈V,∀k,l∈K；

1-3 线性映射与线性变换

a1 a T ( x ) [ 1 , 2 , , m ] 2 am
称为线性映射在基
1 , 2 , , n 与基 1 , 2 , , m
下的坐标变换公式
V 设 T : V1n V2 m是线性映射， 1 , 2 , , n 是 1n 的基, 1 , 2 , , m 是V2m 的基，则线性映射T 在基 1 , 2 , , n与基 1 , 2 , , m 下的矩阵A是唯一的。
由于: x W1 , x W2 ,所以 T ( x ) T (W1 ), T ( x ) T (W2 )
即: T ( x ) T (W1 ) T (W2 )
T (W1 W2 ) T (W1 ) T (W2 )
1 0 2 2 2 例2. 设 A R ，对 x R 有： 0 0
R(T ) T (V1n ) L(T ( x1 ), T ( x2 ), , T ( xn )) ,
1.3.3 线性映射的核与值域
定义8 设Vn ,Vm 分别是实数域上的 n 维和 m 维线
性空间, T 是一个从Vn到Vm的线性映射, 则称 :
R(T ) T (V1n ) { y y T ( x ); x V1n } V2 m为 T 的值域. N (T ) { x T ( x ) ; x V1n } V1n 为 T 的核子空间.

第七章-线性变换练习题参考答案

第七章线性变换练习题参考答案

一、填空题

1．设123,,εεε是线性空间V 的一组基，V 的一个线性变换σ在这组基下的矩阵是33112233(),,ij A a x x x V αεεε⨯==++∈则σ在基321,,εεε下的矩阵B ＝

1,T AT -而可逆矩阵T ＝001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

满足1,B T AT -=σα在基123,,εεε下的坐标为

123x A x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ .

2．设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换:(),n A P σσξξξ=∈,则1(0)σ-＝{}|0,n A P ξξξ=∈，()1dim (0)σ-＝n r -，()dim ()n P σ＝r .

3．复矩阵()ij n n A a ⨯=的全体特征值的和等于1n

ii i a =∑ ，而全体特征值的积等于

||A .

4．设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ在任一基下的矩阵都相同，则σ为__数乘__变换 .

5．数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为2n 维线性空间，它与n n P ⨯同构.

6．设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,

,n λλλ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为12(),(),

,()n f f f λλλ . 7．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2231A ，则向量⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛11是A 的属于特征值 4 的特征向量． 8．若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛--=100001011A 与1010101k B k ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭相似，则k = -1/2 ． 9．设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A 3 ．

[高等代数(下)课外习题--第七章-线性变换]

第七章线性变换

一、判断题

1、在向量空间3R 中, 1231223(,,)(2,,)x x x x x x x σ=-, 则σ是3R 的一个线性变换. ( ).

2、σ是向量空间V 的线性变换, 向量组12,,

,m ααα线性相关, 那么

12(),(),

,()

m σασασα也线性相

关

( ).

3 在向量空间[]n R x 中, 则微商'

(())()f x f x σ=是一个线性变换. ( ). 4、线性变换在不同基下对应的矩阵是相似的. ( ). 5、相似矩阵不一定是同一线性变换在不同基下的矩阵. ( ). 6、向量空间V 的线性变换σ的象与核都是σ的不变子空间. ( ). 7、属于线性变换σ同一特征根0λ的特征向量的线性组合仍是σ的特征向量. ( ). 8、 σ在一个基下可以对角化, 则σ在任何基下可以对角化. ( ). 9、设σ为n 维线性空间V 的一个线性变换，则由σ的秩＋σ的零度＝n ，有

1()(0).V V σσ-=⊕ （）

10、n 阶方阵A 至少有一特征值为零的充分必要条件是0||=A ．( ) 11、.最小多项式是特征多项式的因式. （） 12、相似的矩阵有相同的特征多项式（） 13、设n

n P A ⨯∈，A 的特征多项式有n 个单根，则存在可逆矩阵n

n P T ⨯∈，使AT T

-具

有对角形。（）

14、若A 是数域P 上n 维线性空间的线性变换，A 的特征值为r λλλ,,,21 ，则A 可对角化⇔特征子空间的维数之和等于n 。（） 15、 A 是n 维线性空间V 的一个线性变换，则V V =A +A -)0(1

0230第七章线性变换(习题二)解读

第七章习题课（一）

一、复习内容

1、线性空间的值域、核的概念及表示法；

2、线性变换A 的秩(A)r 、A 的零度(A)nul 的概念；

3、线性变换A 的秩、零度与线性空间的维数之间的关系；

4、等式 1

A A (0)V V -=⊕ 是否成立？

5、若A 是线性空间V 的一个线性变换，12,,,n εεε是V 的一组

基，则 A ?V =。若A 在基12,,

,n εεε的矩阵是A ，则A 的秩为？

6、不变子空间（ A -子空间）的概念；

7、线性变换A 的值域与核的概念。二、新课讲解

1、设A 是n 维线性空间V 的线性变换，α是V 中一个非零向量。证明：如果

21,A ,A ,

,A (1)k k αααα-≥

线性无关，而

21,A ,A ,

,A ,A k k ααααα-

线性相关，那么

1）211(,A ,A ,,A )k V L αααα-=是A -子空间；

2）2

11(,A ,A ,

,A )k V L αααα-=是包含α的最小A -子空间。

证明：1）因为

21,A ,A ,

,A (1)k k αααα-≥

线性无关，而

21,A ,A ,,A ,A k k ααααα-

线性相关，所以A k

α可以由21,A ,A ,

,A k αααα-线性表示。因此

21,A ,A ,

,A k αααα-在A 下的象都在1V 中，故1V 是A -子空间。

2）如果A -子空间W 包含α，则W 包含α的象A α，A α的象

2A α，…，2A k α-的象1A k α-，所以

211(,A ,A ,

,A )k W V L αααα-⊇=，

第7章线性变换（第1讲）

目标与要求

理解线性变换的概念，了解几个特殊线性变换；

掌握线性变换的加法、数量乘法、乘法、逆变换、多项式的定义及其运算性质，并会计算具体问题．

重点难点

重点：理解线性变换的概念，掌握线性变换的运算及其运算性质，并会计算具体问题．难点：理解线性变换的概念，掌握线性变换的运算．

设计安排

循序渐进逐一给出线性变换的定义、线性变换的线性运算、线性变换的乘法、逆变换及线性变换的多项式的概念与运算性质，以示例的讲解加深对概念的理解．

教学进程见幻灯片部分．（3学时）

黑板与多媒体讲授相结合．

教学内容

§1 线性变换的定义

一、线性变换的定义

线性空间V到自身的映射称为V的一个变换.

α,和数定义1 线性空间V的一个变换A称为线性变换，如果对于V中任意的元素β

域P中任意数k，都有

α+)=A (α)+A (β);

A (β

k)=A k(α). （1）

A(α

一般用花体拉丁字母A，B，…表示V的线性变换，A(α)或Aα代表元素α在变换A下的像.

定义中等式(1)所表示的性质，有时也说成线性变换保持向量的加法与数量乘法（或保持线性运算）.

例 1.平面上的向量构成实数域上的二维线性空间.把平面围绕坐标原点按反时钟方向

旋转θ角，就是一个线性变换，用ℐθ表示.如果平面上一个向量α在直角坐标系下的坐标是),(y x ，那么像ℐθ(α)的坐标，即α旋转θ角之后的坐标),(y x ''是按照公式

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''y x y x θθθθcos sin sin cos . 来计算的.同样空间中绕轴的旋转也是一个线性变换.

线性变换习题课PPT课件

的特征向量.
(2) 可对角化 (i) 的特征多项式的根都在 P内. (ii) 对的每个特征值,维(V ) 的重数.
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10
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(3) A可对角化 (i) A的特征多项式的根都在
P内. (ii) 对A的每个特征值, 秩( E A) n s, s为的重数.
核 : 1(0) { | ( ) 0, V }
主要结论：
(1) 是满射 (V ) V
(2) 是单射 1(0) {0}
如果在V的基1 ,2 , ,n下的矩阵是A. 则有
(3) (V ) L( (1 ), (2 ), , (n ))
(4) 维( (V )) 秩( A)
适用于有
T 1 AT
是对角矩阵,且主对角线上元素是A的全部特征值. (注: 特征值有几重,则在主对角线上就出现几次)
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20
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三、例题选讲
例1
设A
2 1
1 0
,
对任意B
P
22
,令
(B) AB,
求在基E11 , E12 , E21 , E22下的矩阵.
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例3 设是数域P上n维线性空间V的一个线
性变换.证明 : 是数乘变换的充要条件是在V
的任何基下的矩阵都相同.(P323 13)

高等代数.第七章.线性变换.课堂笔记

第七章线性变换

§7.1 线性变换的定义与判别

一、线性变换的定义：

定义1 设V 为数域P 上线性空间，A 为V 的一个变换(即V ⟶V 的映射)，若A 保持加法和数乘运算，

即A (α+β)=A (α)+ A (β),∀α,β∈V ，A (kα)=k A (α),∀k ∈P ，则称A 为V 的一个线性变换.

注记：以后我们用花体拉丁字母A,B,C,...表示V 的线性变换，除了特别说明外，本章节中V 均指

数域P 上有限维线性空间.

例1.说明下列变换均为线性变换： (1)把V 中任一向量都映射为0（称为零变换，记作0）； (2)把V 中任一向量α映射为本身（恒等变换，记作E ）； (3)取定k ∈P ，把V 中的每一个向量α映射为kα（数乘变换，记作k ）.

例2.判定下列规则σ是否为指定线性空间的线性变换： (1)ℝ,x -:σ(f (x ))=f′(x );

(2)C ,a,b -: σ(f (x ))=∫f (t )dt x

(3)P n×n : σ(A )=A +A ′,σ2(A )=SAT ，S,T 为固定二个n ×n 矩阵. (4)ℝ,x -n : σ1(f (x ))=xf (x ),σ2(f (x ))=f (x )+1. 解：可验证(1)-(3)均为线性变换，

下面证明(1)： ∀ f (x )∈ℝ,x -，其导函数唯一确定，且f (x )∈ℝ,x -，

因而σ为V ⟶V 的变换，即V 的一个变换，

σ(f (x )+g (x ))=(f (x )+g (x ))′

=f ′(x )+g ′(x )= σ(f (x ))+ σ(g (x )), ∀k ∈ℝ,σ(kf (x ))=(kf (x ))′

线性空间与线性变换习题解析(课堂PPT)

定义: 设有两个非空集合A, B, 如果对于A中任一
元素, 按照一定规则, 总有B中一个确定的元素和它
对应, 那么, 这个对应规则称为从集合A到集合B的变
换(或称映射), 记作 =T() 或记作 =T (A). 设A, T()= , 就说变换T把元素变为, 称为
在变换T下的象, 称为在变换T下的源(或象源), 称
在给定一个基的条件下, 线性变换与矩阵是一一对应的.
十二、线性变换在不同基下的矩阵
定理1: 设线性空间Vn中取定两个基:
1, 2, ···, n;, 由基1, 2, ···, n到基1, 2, ···, n的过渡矩阵为P, Vn
中的线性变换T在这两个基下的矩阵依次为A和B, 那末B=P-1AP.
两个基, 且有
1 = p111 + p21 2 + + pn1 n
2 = p121
n = p1n1
+
+
p22 2 + + pn2 n
p2n 2 + + pnn n
称以上公式为基变换公式. 将上式用矩阵形式表示为:
(1, 2, ···, n)=(1, 2, ···, n)P
在基变换公式中, 矩阵P称为由基1, 2, ···, n到基1, 2, ···, n的过渡矩阵, 过渡矩阵P是可逆的.

矩阵变换习题课

二阶矩阵与变换

自主梳理

1．线性变换与二阶矩阵

在平面直角坐标系xOy 中，由⎩

⎪⎨⎪⎧

x ′＝ax ＋by ，

y ′＝cx ＋dy ，(其中a ，b ，c ，d 是常数)构成的变换称

为线性变换．由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤

a b c

d 称为________，其中a ，b ，c ，

d 称为矩阵的________，矩阵通常用大写字母A ，B ，C ，…或(a ij )表示(其中i ，j 分别为元素a ij 所在的行和列)．

2．矩阵的乘法

行矩阵[a 11a 12]与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21的乘法规则为[a 11a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝____________，二阶矩阵⎣⎢⎡⎦

⎥⎤a b c d 与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 的乘法规则为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤x y ＝____________.矩阵乘法满足____________律，不满足____________．

3．几种常见的线性变换

(1)恒等变换矩阵M ＝____________；

(2)旋转变换R θ对应的矩阵是M ＝_____________________________________________； (3)反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x 轴对称，则变换对应矩阵为M 1＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1 00 －1；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M 2＝__________；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M 3＝____________；

(4)伸压变换对应的二阶矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦

高教线性代数第七章线性变换课后习题答案

第七章线性变换

1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：

1）在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；

3）在P 3

中，A

),,(),,(2

33221321x x x x x x x +=； 4）在P 3

中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；

5）在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；

6）在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8）在P n

n ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P n

n ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++

=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx

线性变换习题课

高等代数课件(北大版)第七章-线性变换§7.3

第8章线性变换的可对角化问题习题课(09-10第二学期)

七、线性变换习题课

最新同济大学线性代数教案第五章线性空间与线性变换

七、线性变换习题课

东北大学线性代数_第七章课后习题详解线性空间与线性变换

1-3 线性映射与线性变换

第七章-线性变换练习题参考答案

[高等代数(下)课外习题--第七章-线性变换]

0230第七章线性变换(习题二)解读

第7章线性变换（第1讲）

线性变换习题课PPT课件

高等代数.第七章.线性变换.课堂笔记

线性空间与线性变换习题解析(课堂PPT)

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高教线性代数第七章 线性变换课后习题答案

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