西北工业大学计算方法绪论

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第1章绪论西北工业大学微机原理PPT课件

17
1.2.7 基本逻辑电路
第一章绪论
逻辑函数：Y=F（A，B）
（一）基本逻辑门电路（高电平表示逻辑“1”，低电平表示逻辑“0”）
A
&
Y
B
（与门）
A
≥1
Y
B
（或门）
A
&
Y
B
（与非门）
A
≥1
Y
B
（或非门）
A
1
A
Y
－1
Y
B
（非门）
（异或门）
18
第一章绪论
提问与回答
用思想传递正能量
19
第一章绪论
对任何一个数，若阶码j总是固定不变的，则把这种表示法称为数的定点表示。
如果阶码j可以取不同的值，则把这种表示称为数的浮点表示。
14
1. 定点表示
第一章绪论
若定点计算机的阶码j＝0，则该定点数只能是小数，其表示的格式为:
数符. 数值
小数点的位置在符号位与尾数部分最高位之间。
若为8位机,其能表示的数的范围:－0.1111111B～＋0.1111111B
2
1.1 概述
1.1.1 微型计算机的发展
1.1.2 微型计算机的特点
1、体积小、重量轻、功耗低
2、价格便宜
3、可靠性高
4、功能强、使用方便
5、维护方便
1.1.3 微型计算机的字长
字节字
字长
第一章绪论
3
1.2 运算基础
第一章绪论
1.2.1 进位计数制
进位计数制基数位权
如：10011101B 1234/1234D
1．对于正数：符号位用0表示，数字位同真值。 2．对于负数：符号位用1表示，数字位为真值按位取反。

西北工业大学数值分析(附答案)

西北工业大学数值分析习题集第一章绪论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211N dx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2? 10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13.()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b cs a b c ∆∆∆∆≤++第二章插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nk k j j j x l x x k n =≡=∑ii) 0()()1,2,,).n k jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若用二次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少?9. 若2n n y =,求4n y ∆及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆.12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n jn j yy y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差. 22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差. 23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件 i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式.4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式.5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一?9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式. 13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若n f L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.1g x C a b∈(),f x、[],定义18.()()(,)()();()(,)()()()();bbaaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26.2y a bx =+.27.用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰;(4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分10xedx-⎰并计算误差.5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2ba f f x dxb a f b b a 'η=---⎰;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰. 6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1x e dx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长. 10. 证明等式3524sin3!5!n nn n ππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误()f x第五章常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。

西北工业大学计算方法试题

x ( k +1)
=
x(k)
−
ω

A(
x
(
k
+1
)
+ 2
x(k)
)
−
b
ω >0 , k = 0,1,2,⋯
对任意初始向量 x (0) ， x (k+1) 是否收敛到方程组 Ax = b 的解？为什么？
西北工业大学考试试题（卷）-计算方法二
1 填空 1）. 近似数 x* = 0.0142 关于真值 x = 0.0139 有__为有效数字。
0
试求满足插值条件的四次多项式 p(x).
6 设有如下的常微分方程初值问题

dy dx
=
x ,1 < y
x ≤ 1.4
y(1) = 1
1）写出每步用欧拉法预估，用梯形法进行一次校正的计算格式。 2）取步长 0.2 用上述格式求解。
∫ 7 设有积分 I = 0.6 e x2 dx 0
1）取 7 个等距节点（包括端点），列出被积函数在这些点出的值（保留到小数点后 4 位） 2）用复化 simpson 公式求该积分的近似值。
（4）取 3 ≈ 1.732 ，迭代过程 yn+1 = yn + 0.1 3 是否稳定？______（是或否）；
∫ （5）求积公式 3 f ( x)dx ≈ 2 f (2) 有______次代数精度。 1
2．取初值 x0 = 1.6 ，用牛顿迭代法求 3.1 的近似值 xn+1 ，要求先论证收敛性，当
xn+1 − xn ≤ 10−5 时停止迭代。
3．用最小二乘法确定 y = a 1 + bx 2 中的常数 a 和 b ，使该函数曲线拟合 x

西工大计算方法5

n
aij x j bi ( j 1,2,, N )
j 1
Ax b
当方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩不相等时，方程组无解，此时方程组称为矛盾方程组。对于
rankA＝n（A的秩为n）的矛盾方程组（N>n），
我们寻求其最小二乘意义下的解。
1.最小二乘原则
由于矛盾方程组的精确解不存在，我们转而
寻求其某种意义下，即最小二乘意义下的解。
i 1
i1 j 1
达到最小值，这一条件称为最小二乘原则。
按照最小二乘原则来选择未知数x1,x2,…,xn的一
组取值的方法称为求解矛盾方程组的最小二乘法。符合条件的一组取值称为矛盾方程组的最小二乘解。
把Q看成是n个自变量x1,x2,…,xn的二次函数，记为Q＝f(x1,x2,…,xn)，因此，求矛盾方程组的最小二乘解就是求二次函数Q＝f(x1,x2,…,xn)的最小
故矩阵ATA是对称正定矩阵。 (从2而)因线为性矩方阵程A组TAAT是A正x 定A矩有Tb阵唯，一故的r解an。k(ATA证)=毕n，
引理2说明,在条件RankA=n下,无论线性方程组
Ax=b是否有解,构造的n阶方程组ATAx=ATb一定有
定理：设矛盾方程组的唯系一数解矩。阵的秩为n，则二次
函数
2
引理2：设非齐次线性方程组 Ax
的b 系数矩阵
A=(aij)N×n，若rankA=n，则
((12))矩n阶阵线AT性A是方对程称组正AT 定Ax矩阵有AT；唯b 一的解。
证设明齐：次（线1性）方矩程阵组ATAA显x 然0是对称矩阵。
因因为此( Ar，xa)n对T k( A于Ax=任)n，意x故T的( A齐xT A次)0x方，程有0 组Ax有唯0，一从零而解。

计算方法教学大纲

《计算方法》课程教学大纲一、课程名称（中英文）中文名称：计算方法英文名称：Computational Methods二、课程代码及性质课程代码：0812561课程性质：必修三、学时与学分总学时：40（理论学时：40学时；实践学时：0学时）学分：2.5四、先修课程先修课程：高等数学，线性代数，算法语言五、授课对象本课程面向理工科本科学生相关专业学生开设六、课程教学目的（对学生知识、能力、素质培养的贡献和作用）《计算方法》课程是一门理论与实践高度结合的学科，通过本课程的学习，使学生掌握计算机上常用的计算方法和原理，能够针对实际问题要求正确选择，使用适当的数值算法，并能对数值结果作必要的分析；为提高学生的科学计算能力打下良好的基础。

七、教学重点与难点：课程重点：通过本课程学习，使学生重点掌握：1．了解科学计算方法的基础知识，包括算法设计的原则，误差来源及其控制，算法的稳定性，矩阵计算及相关理论知识。

2. 掌握用迭代法求方程近似根的基本思想，Picard迭代法的设计原理、收敛性及收敛速度的分析，包括方法的构造、全局、局部收敛性判据及收敛阶，了解Newton迭代公式的推导过程和收敛性质，以及Newton法的变型方法。

3．掌握解线性方程组的几种基础性直接解法及其性质，经典迭代法的构造方式及其算法分析工具，特别是敛散性及敏度分析，了解各种算法的适用范围和收敛条件。

4．掌握函数逼近的基本方法，包括插值和拟合的思想、构造方法、误差分析，理解Lagrange插值、Hermite插值、样条插值的区别与联系，掌握最小二乘法和正则化方法，能构造符合需求的简单近似函数，以解决实际的函数逼近问题。

5. 理解插值型求积公式及代数精度的概念；掌握各类数值求积公式的构造方法、特点及提高求积公式精确度的方法。

了解数值微分的基本构造方法，掌握常见的数值微分公式。

6．了解常微分方程初值问题数值解法的离散计算方式，能利用前几章的方法构造常微分方程的数值方法，掌握经典数值方法的公式及其精度，特别是利用局部截断误差分析构造方法，掌握算法的收敛性、稳定性分析方法；掌握算法实现的基本技巧，包括利用迭代法或预估-校正方法实现隐式方法、算法的稳定性和步长选择。

计算方法第一章讲义

L m U 。由于机器数的字长与阶码有限，因此，计算机中的数是有限的。事实上，计算
机中共有 2
t
U L 1 1 个机器数。把计算机中的全体机器数组成的集合记为 F 或
L 1
F(2,t,L,U),称为计算机机器系。显然，机器系数 F 是一个有限的、离散的、分布不均匀的集合。不难验证，F 中任意非零数 x 满足 2
计算方法讲义 .1.
谢进
数理系信息与计算科学教研室 2016 年 9 月
1
第1章
§1.1 计算方法及其相关概念
1.科学计算
绪论
随着人们的生产活动和计算需要，数学中逐渐发展了一种新的分支一一计算数学。随着计算工具的应用，特别是计算机的出现和发展，计算数学（Computational Mathematics）逐渐发展成为现代意义下的计算科学，或称科学计算(Scientific Computing)，成为了传统的理论研究和科学实验之后的第三大科学科学方法。现在，科学计算在科学研究与工程实际中作用越来越重要，甚至用科学计算来取代部分实验和理论研究。如通过科学让计算机模拟核爆炸。这种由科学实验向科学计算的转变，也促使一些边缘学科的相继出现，例如，计算物理、计算力学、计算化学、计算生物学以及计算经济学等等都应运而生。有些理论证明往往也是通过科学计算去解决，例如，四色问题，吴文俊院士开创的机器证明等。也就是说，科学计算可以全部或部分地代替理论证明。
m=-2
0.125 0.15625 0.171875 0.1875 0.203125 0.21875 0.234375
m=-1
0.25 0.3125 0.34375 0.375 0.40625 0.4375 0.46875

计算方法西北工业大学第一章答案

故arctan(x 1) arctan(x) arctan 1 1 xx1
（4）
1 cos x sin x
2sin2 x 2
2sin x cos x 22
2sin x 2
2cos x 2
（5） sin x 的 Taylor 展开为：
2sin x cos x 22
2cos x cos x 22
x3 x5 sin x x
≈
12��∗��∗ �� ∗��(��∗) 12��∗��∗ �� ∗
+
12��∗��∗ �� ∗��(��∗) 12��∗��∗ �� ∗
�� (��2∗ )
=
��(��2∗) |��2∗|
=
1 2
× 10−3 0.002
=
0.25
�� (��3∗ )
=
��(��3∗) |��3∗|
=
1 2
× 10−3 0.200
=
0.25
×
10−2
≈
|12
1 √��2∗
��2∗ ��2∗
�� (��2∗ )|
≤
1 2
�� (��2∗ )

西工大计算智能知识点整理(完整版)

第一章绪论1.图灵测试一组人类裁判以敲击键盘的形式与电脑“对话”。

如果裁判认定电脑为人的比例超过30%，则电脑通过测试。

2.人类智能活动的能力是人类在认识世界和改造世界的活动中，由脑力劳动表现出来的能力。

•认识和理解世界环境的能力•提出概念、建立方法、进行演绎和归纳推理、做出决策的能力•学习取得经验、积累知识的能力•自我适应的能力•联想、推理、判断、决策的能力3.智能的本质感知能力、记忆和思维能力、学习能力、自适应能力、行为能力4.思维种类逻辑思维、形象思维、顿悟思维5.人工智能的含义用计算机来完成能表现出人类智能的任务学科模仿人脑所从事的推理、学习、思考、规划等思维活动关于知识的科学执行拟人的任务6.没有计算机的出现，人工智能就无法得到应用7.人类智能与人工智能本质区别:物质载体、逻辑模拟、活动规律、目的性、能动性、适应性8.研究方法符号主义、联结主义、行为主义9.计算智能是人工智能的深化与发展人工智能是以知识库为基础、那么计算智能则是以模型为基础、以分步、并行、仿生计算为特征含数据、算法和实现的信息系统。

前者强调规则的形式和表示，后者强调模型的建立和构成；前者依赖专家知识，后者强调系统的自组织、自学习和自适应。

10.计算智能的主要方法有人工神经网络、遗传算法、遗传程序、演化程序、局部搜索、模拟退火等等11.计算智能的特征与应用智能性：包括算法的自适应性，自组织性，算法不依赖于问题本身的特点，具有通用性并行性：算法基本上是群体协作的方式对问题进行优化求解，非常适合大规模并行处理鲁棒性:算法具有很好的容错性，同时对初始条件不敏感，能在不同条件下寻找最优解12.计算智能发展趋势分布式人工智能、Internet及数据库的挖掘、智能系统之间的交互与通信、智能系统之间的合作等13.第二章知识表示一.知识的基本概念1. 相关概念：数据：指为描述具体事物引入的数字、符号等信息：指不同数据组成的一种结构（如“建国50岁”）数据与信息的关系：数据是信息的载体和表示，信息是数据的语义知识：对信息进行智能性加工后形成的对客观世界的规律性认识*。

计算方法第一章绪论(32学时)-2014.2

教材聂玉峰、王振海等《数值方法简明教程》，高等教育出版社，2011作业计算方法作业集（A、B）参考书¾封建湖，车刚明计算方法典型题分析解集（第三版）西北工业大学出版社，2001¾封建湖，聂玉峰，王振海数值分析导教导学导考（第二版）西北工业大学出版社，2006¾车刚明，聂玉峰，封建湖，欧阳洁数值分析典型题解析及自测试题（第二版）西北工业大学出版社，2003西北工业大学理学院欧阳洁2第一章绪论§1 引言§2 误差的度量与传播§3 选用算法时应遵循的原则西北工业大学理学院欧阳洁3§1 引言科学与工程领域中运用计算机求解问题的一般过程：1 实际问题的提出2 建立数学模型3 设计可靠、高效的数值方法4 程序设计5 上机实践计算结果6 数据处理及结果分析西北工业大学理学院欧阳洁4学习算法的意义科学计算（数值模拟）已经被公认为与理论分析、实验分析并列的科学研究三大基本手段之一。

计算方法课程的研究对象具有广泛的适用性，著名流行软件如Maple、Matlab、Mathematica 等已将其绝大多数内容设计成函数，简单调用之后便可以得到运行结果。

但由于实际问题的具体特征、复杂性, 以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌握数值方法的思想和内容至关重要。

西北工业大学理学院欧阳洁5鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体地分解为一系列子问题进行研究，本课程主要涉及如下几个方面问题的求解算法：¾非线性方程求根¾线性代数方程组求解¾函数插值¾曲线拟合¾数值积分与数值微分¾常微分方程初值问题的数值解法¾矩阵特征值与特征向量计算西北工业大学理学院欧阳洁6§2 误差的度量与传播一误差的来源与分类模型误差：数学模型与实际问题的误差观测误差：观测结果与实际问题的误差截断误差：数学模型的理论解与数值计算问题的精确解之间的误差舍入误差：对超过某有限位数的数据进行舍入所产生的误差西北工业大学理学院欧阳洁75 使用数值稳定性好的公式一个算法，如果初始数据微小的误差仅使最终结果产生微小的误差，或在运算过程中舍入误差在一定条件下能够得到控制，则称该算法（数值）稳定，否则称其为（数值）不稳定．西北工业大学理学院欧阳洁26总结1.数值运算的误差估计2.绝对误差、相对误差与有效数字3.数值运算中应遵循的若干原则西北工业大学理学院欧阳洁30。

西北工业大学_计算方法作业_答案

西工大计算方法作业答案参考答案第一章1 *1x =1.7； *2x =1.73； *3x =1.732 。

2．3．（1） ≤++)(*3*2*1x x x e r 0.00050；（注意：应该用相对误差的定义去求）（2） ≤)(*3*2*1x x x e r 0.50517；（3） ≤)/(*4*2x x e r 0.50002。

4．设6有n 位有效数字，由6≈2.4494……，知6的第一位有效数字1a =2。

令3)1()1(1*1021102211021)(-----⨯≤⨯⨯=⨯=n n r a x ε 可求得满足上述不等式的最小正整数n =4，即至少取四位有效数字，故满足精度要求可取6≈2.449。

5. 答：（1）*x (0>x )的相对误差约是*x 的相对误差的1/2倍；（2）n x )(* 的相对误差约是*x 的相对误差的n 倍。

6．根据********************sin 21)(cos 21sin 21)(sin 21sin 21)(sin 21)(c b a c e c b a c b a b e c a c b a a e c b S e r ++≤ =******)()()(tgcc e b b e a a e ++ 注意当20*π<<c 时，0**>>c tgc ，即1*1*)()(--<c tgc 。

则有)()()()(****c e b e a e S e r r r r ++<7．设20=y ，41.1*0=y ，δ=⨯≤--2*001021y y由 δ1*001*111010--≤-=-y y y y ，δ2*111*221010--≤-=-y y y yδ10*991*10101010--≤-=-y y y y即当0y 有初始误差δ时，10y 的绝对误差的绝对值将减小1010-倍。

而11010<<-δ，故计算过程稳定。

西工大有限元法研究生课程003

1.2.5 涉及多个自变函数的定积分驻值问题 i/ 泛函形式：⎰=ban n dt q q qq q q t L V ),,,,,,,,(2121 )(t q q i i = )(t q qi i = （l =1,2,…,n ） ii/ 求V 的驻值： iii/ ⎰∑∑==∂∂+∂∂=banr r r r nr rdt qqL q q L V ][11δδδ 利用分部积分法，可得：⎰∑∑==∂∂+∂∂∂∂-∂∂=babanr r r r nr r rq q Ldt q q Lt qLV }{})]([{11δδδ =0=> n 个Euler 方程(Euler 方程组)0)(=∂∂-∂∂r rqLdt d q L r =1,2,………,n (微分方程组)以及多种可能的边界条件。

* 上式在理论力学中称 Lagrange 方程，是具有 n 个参数自由度的保守系统运动方程。

* Hamilton 原理正是说明Lagrange 方程可来自于泛函驻值的求解。

* 若添加多个自变函数及他们的高阶导数，可获得与上一节类似结果。

1.2.6 重积分的驻值问题问题的提法：平面上有一区域Ω,Ω的边界为C ,要求在区域中找一个函数w (x ,y ),使下列重积分取驻值：J=⎰⎰Ωdxdy w w w y x F y x ),,,,(, yw w xw w y x ∂∂=∂∂=,)(2121φ==C C C C C在C 1 上，w w =（已知）目的：把上述泛函转化成偏微分方程的边值问题。

解：求 J 的一阶变分得：⎰⎰Ω∂∂+∂∂+∂∂=dxdy w w F w w F w wF J y yx x][δδδδ寻找 δw x , δw y 与δw 的关系，由Gauss 定理：⎰⎰⎰+=∂∂+∂∂Ωcds v u dxdy yv xu )cos cos ()(βαα,β是边界的外法线与x ,y 轴的夹角，C 是边界曲线的弧长。

第一章计算方法

* * *
例 1.2 试建立函数 y = f ( x1 , x 2 , L , x n ) = x1 + x 2 + L + x n 的绝对误差 (限)、相对误差的近似传播公式，以及 x
n
{ }
* n i i =1 同号时的相对误差限传播公式．
* * * e( y * ) ≈ ∑ f i ( x1 , x 2 , L , x n )e( xi* )＝∑ e( xi* ) i =1 i =1
则称 ε 为 x*近似 x 的一个绝对误差限绝对误差限。绝对误差限
Remark: 实际计算中所要求的误差误差，是指估计一个误差尽可能小的绝对误差限绝对误差限。绝对误差限
1 误差度量：相对误差误差度量：
定义设 x*是对பைடு நூலகம்确值 x（ ≠ 0 ）的一个近似，称
x − x e( x ) er ( x ) = = x x
经引入的误差；经引入的误差；
–
–
误差有正有负，误差积累的过程一般包含有误差增长和误
差相消的过程，并非简单的单调增长；差相消的过程，并非简单的单调增长；运算次数非常之，不可能人为地跟踪每一步运算。运算次数非常之，不可能人为地跟踪每一步运算。
初值误差传播（初值误差传播（续）
初值误差传播：假设每一步都是准确计算，初值误差传播：假设每一步都是准确计算，即不考虑截断误差和数据表示引入的舍入误差，截断误差和数据表示引入的舍入误差，仅研究初始数据的误差传播规律。据的误差传播规律。
* * * *
利用在点 ( x1 , x 2 , L , x n ) 处的 Taylor(泰勒)公式
* * * x 1 、 x 2 、…、 x n 很好地近似了相应真值）（当

西工大计算方法试题参考（完整版）

西⼯⼤计算⽅法试题参考（完整版）2002-2003第⼀学期⼀．计算及推导（5*8）1．已知* 3.141,x x π==，试确定*x 近似x 的有效数字位数。

2．有效数***1233.105,0.001,0.100x x x =-==，试确定***123x x x ++的相对误差限。

3．已知3()0.50.12f x x x =++，试计算差商[]0,1,2,3f4．给出拟合三点(0,1),(1,0)A B ==和(1,1)C =的直线⽅程。

5．推导中矩形求积公式''31()()()()()224b aa b f x dx b a f f b a η+=-+-? 6．试证明插值型求积公式()()nbi i ai f x dx A f x =≈∑?的代数精确度⾄少是n 次。

7．已知⾮线性⽅程()x f x =在区间[],a b内有⼀实根，试写出该实根的⽜顿迭代公式。

8．⽤三⾓分解法求解线性⽅程组123121022331302x x x =--??????要⽤⼆次插值多项式计算(0.63891)f 的近似值，试选择合适的插值节点进⾏计算，并说明所选⽤节点依据。

（保留5位有效数字）（12分）三．已知⽅程ln 0x x +=在(0,1)内有⼀实根α（1）给出求该实根的⼀个迭代公式，试之对任意的初始近似0(0,1)x ∈迭代法都收敛，并证明其收敛性。

（2）00.5x =试⽤构造的迭代公式计算α的近似值n x ，要求3110n n x x ---≤。

四．设有⽅程组112233131232a x b a x b a x b =-??????当参数a 满⾜什么条件时，雅可⽐⽅法对任意的初始向量都收敛。

写出与雅可⽐⽅法对应的⾼斯赛德尔迭代公式。

（12分）五．⽤欧拉预估校正法求解初值问题 '2 (00.2)(0)1x y y x y y ?=-≤≤=? 取h=0.1，⼩数点后保留5位。

（8分）六．证明求解初值问题 '00(,)()y f x y y x y ?=?=?的如下单步法12121(,)11(,)22n n n n n n y y K K hf x y K hf x h y K +??=+?=?=++?是⼆阶⽅法。

计算方法_第一章_绪论

第一章绪论1.1 "数值分析"研究对象与特点"数值分析"是计算数学的一个主要部分.而计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解数学问题的数值计算方法及其软件实现.计算数学几乎与数学科学的一切分支有联系，它利用数学领域的成果发展了新的更有效的算法及其理论，反过来很多数学分支都需要探讨和研究适用于计算机的数值方法.因此，"数值分析"内容十分广泛.但本书作为"数值分析"基础，只介绍科学与工程计算中最常用的基本数值方法，包括线性方程组与非线性方程求根、插值与最小二乘拟合、数值积分与常微分方程数值解法等.这些都是计算数学中最基础的内容.近几十年来由于计算机的发展及其在各技术科学领域的应用推广与深化，新的计算性学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算经济学等等，不论其背景与含义如何，要用计算机进行科学计算都必须建立相应的数学模型，并研究其适合于计算机编程的计算方法.因此，计算数学是各种计算性科学的联系纽带和共性基础，是一门兼有基础性、应用性和边缘性的数学学科.计算数学作为数学科学的一个分支，当然具有数学科学的抽象性与严密科学性的特点，但它又具有广泛的应用性和边缘性特点.现代科学发展依赖于理论研究、科学实验与科学计算三种主要手段，它们相辅相成，互相独立，可以互相补充又都不可缺少，作为三种科学研究手段之一的科学计算是一门工具性、方法性、边缘性的新学科，发展迅速，它的物质基础是计算机(包括其软硬件系统)，其理论基础主要是计算数学.计算数学与计算工具发展密切相关，在计算机出现以前，数值计算方法只能计算规模小的问题，并且也没形成单独的学科，只有在计算机出现以后，数值计算才得以迅速发展并成为数学科学中一个独立学科--计算数学.当代计算能力的大幅度提高既来自计算机的进步，也来自计算方法的进步，计算机与计算方法的发展是相辅相成、互相促进的.计算方法的发展启发了新的计算机体系结构，而计算机的更新换代也对计算方法提出了新的标准和要求.例如为在计算机上求解大规模的计算问题、提高计算效率，诞生并发展了并行计算机.自计算机诞生以来，经典的计算方法业已经历了一个重新评价、筛选、改造和创新的过程，与此同时，涌现了许多新概念、新课题和能充分发挥计算机潜力、有更大解题能力的新方法，这就构成了现代意义下的计算数学.这也是数值分析的研究对象与特点.概括地说，数值分析是研究适合于在计算机上使用的实际可行、理论可靠、计算复杂性好的数值计算方法.具体说就是：第一，面向计算机，要根据计算机特点提供实际可行的算法，即算法只能由计算机可执行的加减乘除四则运算和各种逻辑运算组成.第二，要有可靠的理论分析，数值分析中的算法理论主要是连续系统的离散化及离散型方程数值求解.有关基本概念包括误差、稳定性、收敛性、计算量、存储量等，这些概念是刻画计算方法的可靠性、准确性、效率以及使用的方便性.第三，要有良好的复杂性及数值试验，计算复杂性是算法好坏的标志，它包括时间复杂性(指计算时间多少)和空间复杂性(指占用存储单元多少).对很多数值问题使用不同算法，其计算复杂性将会大不一样，例如对20阶的线性方程组若用代数中的Cramer法则作为算法求解，其乘除法运算次数需要，若用每秒运算1亿次的计算机计算也要30万年，这是无法实现的，而用"数值分析"中介绍的Gauss消去法求解，其乘除法运算次数只需3 060次，这说明选择算法的重要性.当然有很多数值方法不可能事先知道其计算量，故对所有数值方法除理论分析外，还必须通过数值试验检验其计算复杂性.本课程虽然只着重介绍数值方法及其理论，一般不涉及具体的算法设计及编程技巧，但作为基本要求仍希望读者能适当做一些计算机上的数值试验，它对加深算法的理解是很有好处的.讲解：（1）计算数学是研究用计算机求解数学问题的数值计算方法及其软件实现，"数值分析"是计算数学的主要部分。

西北工业大学算法设计实验2

实验二：回溯法VS分支定界法一、问题分析回溯法可以处理货郎担问题，分支定界法也可以处理货郎担问题，回溯法和分支定界法哪个算法处理货郎担问题效率更高呢？实现回溯法、分支定界法，以及不同的界值函数（课上讲过的或者自己新设计的），通过随机产生10 个不同规模的算例（城市数量分别为10，20，40，80，100，120，160，180，200，500，或者其它规模），比较回溯法和分支定界法在相同界值函数下的执行效率。

另外，分别比较回溯法和分支定界法在不同界值函数下的执行效率。

二、算法基本思想1、回溯法从初始状态出发，搜索其所能到达的所有“状态” ，当一条路走到尽头，再后退一步或若干步，从另外一种状态出发，继续搜索，直到所有的路径都搜索过。

这种不断前进、不断回溯寻找解的方法叫回溯法。

回溯法通常将问题解空间组织成“树”结构，采用系统的方法搜索解空间树，从而得到问题解。

搜索策略：深度优先为主，也可以采用广度优先、函数优先、广度深度结合等。

避免无效搜索策略：约束函数：在扩展结点处剪去不满足约束条件的子树界限函数：在扩展结点处剪去得不到最优解的子树2、分支限界法分支界限法类似与回溯法，也是在问题解空间中搜索问题解的一种算法。

分支界限法与回溯法思想对比：求解目标：回溯法的可以用于求解目标是找出解空间树中满足约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标通常是找出满足约束条件的一个解或最优解。

搜索方式的不同：回溯法主要以深度优先的方式搜索解空间树，而分支限界法则主要以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树。

在分支限界法中，每个活结点只有一次机会成为扩展结点。

一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。

在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。

此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。

这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。

三、算法设计1、回溯法TSP问题的目的是得到一条路径，即一个解向量 ( X1,X2...Xn )，为排列树问题。

西北工业大学计算方法课件第二章方程的近似解法西工大 nwpu

定义 ( x)
算法(迭代法)
输入 x0 , m, k=0 否 k<m 是
k=k+1
x1 ( x0 )
x1 x0
否是输出 x1 , k
已到最大迭代次数
*
(k 1,2,)
三、收敛准则
1.事先误差估计：利用误差估计定理，令
ln( b a) ln 得 k 1 ln 2
1 xk 1 x k 1 (b a) 2
*
从而得到对分次数k＋1，取xk＋1作为根得近似值x*。
2.事后误差估计：给定ε，每步检查若成立，则取
Remark：可以通过不同的途径将f(x)=0化为 x=φ(x)的形式，从而构造不同的迭代公式，得到不同的迭代序列。在所有这些构造的迭代公式中形成的序列中，有的序列是收敛的，而有些是发散的。问题：如何选取合适的迭代函数φ(x) ？迭代函数φ(x)应满足什么条件，序列{xk}收敛？怎样加速序列{xk}的收敛？
x * 的某个邻域 S {x | x x* } （2）在，对于任意xS，有
' ( x) L 1
则对于任意的初值x0S，迭代公式 xk 1 ( xk ), k 0,1,2 产生的序列{xk }必收敛于方程的根 x * 。
证明：
[ x * , x * ] ，则将前述定理1中的[a,b]取为
(x) 称为迭代函数, xk 1 ( xk )称为迭代公式
或迭代过程。当 (x) 连续时，有 lim xk 1 lim ( xk ) (lim xk ) k k k 即 x* ( x* ) 或 f ( x * ) 0 。即序列{xk }的极限 x * 为 f ( x) 0的根。因此，我们可以通过求迭代数列的极限的方法来求得方程f(x)=0的根。

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但由于实际问题的具体特征、复杂性，以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌握数值方法的思想和内容是至关重要的。
科学与工程计算过程小结
• 提出实际问题 • 建立数学模型 • 提出数值问题 • 设计可靠、高效的算法 • 程序设计、上机实践计算结果 • 计算结果的可视化
本课程的学习方法
尽管我们所学算法有限，但许多仍有学多学生会觉得公式多，理论分析复杂。我们提出如下的几点学习方法，仅供初学者参考。 ✓ 1、以算法的理论分析为基础，理解记忆公式。 ✓ 2、搞清各章问题的基本提法, 算法提出的背景。 ✓ 3、理解每个算法建立的数学背景、数学原理和基本线索，熟练掌握最基本的算法。 ✓ 4、从各种算法的理论分析中学习推理证明方法，提高推理证明能力。 ✓ 5、认真进行数值计算的训练。
§1.1引言
科学与工程计算过程：
提出实际问题
辨析其中的主要矛盾和次要矛盾，并在合理假设的条件下，运用各种数学理论、工具和方法，建立起问题中不同量之间的联系，即得到数学模型。
建立数学模型
模型的适定性:数学模型解的存在性（模型内
部没有蕴含矛盾）、惟一性（模型是完备的) 以及对原始数据具有的连续依赖性统称为模型的适定性.
计算方法讲义
教材：计算方法，计算方法课程组
作业：计算方法作业集（A、B）
参考书：1、封建湖，车刚明，计算方法典
型题分析解集（第二版），西北工业大学出版社，2001. 2、封建湖，聂玉峰，王振海，数值分析导教导学导考，西北工业大学出版社，2003.
课时数：32
第一章绪论
内容提要
§1.1 引言 §1.2 误差的度量与传播 §1.3 数值试验与算法性能比较
e* e (e* en ) (en e)
二、误差的度量
1) 绝对误差 2) 相对误差 3) 有效数字 4) 各种度量之间的关系
1. 绝对误差绝对误差定义：准确值减近似值
x x* e(x* )
在不引起混淆时，简记e(x * ) 为 e * 。 • 绝对误差限：
如果存在正数 * (x * ) ，使得有绝对误差
）。这是数值分析研究的第三个任务。
➢例1
316 38 *38 34 *34 *38 32 *32 *34 *38 3*3*32 *34 *38
➢例2 秦九韶算法
a4 x4 a3x3 a2 x2 a1x a0
(((a4x a3)x a2 )x a1)x a0
算法应用状态
计算方法研究对象以及解决问题方法的广泛适用性，著名流行软件如Maple、Matlab、 Mathematica等已将其绝大多数内容设计成函数，简单调用之后便客观实际问题。
3）截断误差（方法误差）
数值方法精确解与待求解模型的理论分析解之间的差异。
这是由于我们需要将无穷过程截断为有限过程，而使得算法必须在有限步内执行结束而导致的。
例如：
11
11
1
e 1 , 1! 2!
en
1 1!
2!
, n!
e en
4）舍入误差在实现数值方法的过程中，由于计算机表示
设计高效可靠的算法
计算方法的任务之一就是提供求得数值问题近似解的方法—算法。
算法：指把对数学问题的解法归结为只有加、减、乘、除等基本运算，并确定运算次序的完整而准确的描述。
算法分类:
分类方法1：若算法包含有一个进程则称其为串行算法，否则为并行算法。
分类方法2：从算法执行所花费的时间角度来讲，若算术运算占绝大多数时间则称其为数值型算法，否则为非数值型算法。
在具体问题的求解过程中，上述步骤形成一个循环。
科学计算（数值模拟）已经被公认为与理论分析、实验分析并列的科学研究三大基本手段之一。
本课程主要内容
鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体地分解为一系列子问题进行研究，本课程主要涉及如下几个方面问题的求解算法： ➢函数的插值和曲线拟合 ➢数值积分和数值微分 ➢线性方程组求解、非线性方程（组）求解 ➢代数特征值问题 ➢常微分方程数值解法
浮点数采用的是有限字长，因而仅能够区分有限个信息，准确表示某些数，不能准确表示所有实数，这样在计算机中表示的原始输入数据、中间计算数据、以及最终输出结果必然产生误差，称此类误差为舍入误差。
如利用计算机计算e的近似值en时，实际上得不到en的精确值，只能得到en的近似e*；这样 e*作为e的近似包含有舍入误差和截断误差两部分：
§1.2 误差的度量与传播
内容提要：一、误差的来源二、误差的度量三、误差的传播
一、误差来源及其分类
1)模型误差（描述误差）反映实际问题有关量之间的计算公式（数
学模型）通常是近似的。
2）观测误差
数学模型中包含的某些参数是通过观测
得到的。
F
G
m1m2 r2
在计算方法中不研究这两类误差，总是假
本课程介绍数值型串行算法。（其它类型算法参阅数据结构、并行算法等课程。）
算法的可靠性：算法的可靠性包括算法的收敛
性、稳定性、误差估计等几个方面。这些是数值分析研究的第二个任务。
一个算法在保证可靠的大前提下再评价其优劣才是有价值的。
算法的优劣评价：可靠算法的优劣，应该考虑其时间复杂度（计算机运行时间）、空间复杂度（占据计算机存储空间的多少）以及逻辑复杂度（影响程序开发的周期以及维护
提出数值问题
数值问题是指有限个输入数据（问题的自变量、原始数据）与有限个输出数据（待求解数据）之间函数关系的一个明确无歧义的描述。这正是数值分析所研究的对象。
数值问题举例
dy x y 2 dx y(0) y0
x [0, 1]
是用一阶常微分方程初值问题表示的数学模型，要求无穷多个输出，因而它不是数值问题。但当我们要求出有限个点处函数值的近似值时，便成为一数值问题。
， e* x x* *
则称 * 为 x*近似 x 的一个绝对误差限。
x [x * * , x * * ]， x x* * 。
Remark: 通常计算中所要求的误差，是指估计一
个尽可能小的绝对误差限。
2.相对误差
• Remark: 绝对误差限虽然能够刻划对同一真值不同近似的好坏，但它不能刻划对不同真值近似程度的好坏。