第二版 工程数学-概率统计简明教程-第二章-事件的概率
概率论与数理统计第二版课后答案
概率论与数理统计第二版课后答案第一章：概率论的基本概念与性质1.1 概率的定义及其性质1.概率的定义：概率是对随机事件发生的可能性大小的度量。
在概率论中，我们将事件A的概率记为P(A)，其中P(A)的值介于0和1之间。
2.概率的基本性质：–非负性：对于任何事件A，其概率满足P(A) ≥ 0。
–规范性：对于样本空间Ω中的全部事件，其概率之和为1，即P(Ω) = 1。
–可列可加性：对于互不相容的事件序列{Ai}（即Ai∩Aj = ∅，i ≠ j），有P(A1∪A2∪…) = P(A1) + P(A2) + …。
1.2 随机事件与随机变量1.随机事件：随机事件是指在一次试验中所发生的某种结果。
–基本事件：对于只包含一个样本点的事件，称为基本事件。
–复合事件：由一个或多个基本事件组成的事件称为复合事件。
2.随机变量：随机变量是将样本空间Ω上的每个样本点赋予一个实数的函数。
随机变量可以分为两种类型：–离散型随机变量：其取值只可能是有限个或可列无穷个实数。
–连续型随机变量：其取值在某个区间内的任意一个值。
1.3 事件的关系与运算1.事件的关系：事件A包含于事件B（记作A ⊆ B）指的是事件B发生时，事件A一定发生。
如果A ⊆ B且B ⊆ A，则A与B相等（记作A = B）。
–互不相容事件：指的是两个事件不能同时发生，即A∩B = ∅。
2.事件的运算：对于两个事件A和B，有以下几种运算：–并：事件A和事件B至少有一个发生，记作A∪B。
–交：事件A和事件B同时发生，记作A∩B。
–差：事件A发生而事件B不发生，记作A-B。
第二章：条件概率与独立性2.1 条件概率与乘法定理1.条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为事件A在事件B发生的条件下的条件概率，记作P(A|B)。
–条件概率的计算公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
2.乘法定理：对于任意两个事件A和B，有P(A∩B) = P(A|B) * P(B) =P(B|A) * P(A)。
《概率论与数理统计(第二版)》第二章随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
解 当x<-1时,因为事件{X≤x}=⌀,所以 F(x)=0 当-1≤x<0时,有 F(x)=P(X≤x)=P(X=-1)=0.3 当0≤x<1时,有 F(x)=P(X≤x)=P(X=-1)+P(X=0) =0.3+0.6=0.9
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
74
随机变量与数字特征
第二章 随机变量与数字特征 2.1两类随机变量 例1 在10件同类型产品中,有3件次品,现任取2件,用一个变量X表示“2件中的次品数”,X的取值是随机的,可能的取值有0,1,2.显然“X=0”表示次品数为0,它与事件“取出的2件中没有次品”是等价的.可以看出,“X=1”等价于“恰好有1件次品”,“X=2”等价于“恰好有2件次品”.于是由古典概率可以求出:
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
2.3分布函数与函数的分布 2.3.1 随机变量的分布函数 定义2.3 设X是一个随机变量,称函数 F(x)=P(X≤x) 为随机变量X的分布函数.分布函数也记作FX(x).
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
例3 在“测试电子管寿命”这一试验中,用Z表示它的寿命(单位为小时),则Z的取值随着试验结果的不同而在连续区间(0,+∞)上取不同的值,当试验结果确定后,Z的取值也就确定了. 上面三个例子中的变量X,Y,Z具有下列特征: (1)取值是随机的,事前并不知道取到哪一个值; (2) 所取的每一个值,都相应于某一随机现象; (3) 所取的每个值的概率大小是确定的.
(完整版)工程数学概率统计简明教程第二版同济大学数学系编课后习题答案(全)
习题一1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。
解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则},2,1,0|{ ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .3. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1)B A ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件；(3) =AC {取得球的号码是2，4}；(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}4. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .解 (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B A ;(2) =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤≤=B x x x B A 21210或⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2312141x x x x ; (3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ；(4)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤=223410x x x A B A 或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 4. 用事件CB A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。
工程数学-概率统计简明教程答案
习题一解答 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件� A (1) 抛一枚硬币两次�观察出现的面�事件}{两次出现的面相同�A � (2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数�事件{�A 一分钟内呼叫次数不超过次}� 3(3) 从一批灯泡中随机抽取一只�测试其寿命�事件{�A 寿命在到小时之间}。
20002500解(1) )},(),,(),,(),,{(����������� )},(),,{(�����A .(2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数�则 },2,1,0|{������k k X � }3,2,1,0|{���k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命�单位�小时��则 )},0({�����X � )}2500,2000({��X A . 2. 袋中有10个球�分别编有号码1至10�从中任取1球�设�A {取得球的号码是偶数}��B {取得球的号码是奇数}�{取得球的号码小于5}�问下列运算表示什么事件� �C (1)�(2)B A �A B �(3)�(4)A C A C �(5)C A �(6)C B ��(7)C A �. 解(1) 是必然事件� ��B A � (2) ��A B 是不可能事件� (3) {取得球的号码是2�4}� �A C (4) �A C {取得球的号码是1�3�5�6�7�8�9�10}� (5) �C A {取得球的号码为奇数�且不小于5}�{取得球的号码为5�7�9}� (6) ��C B C B ��{取得球的号码是不小于5的偶数}�{取得球的号码为6�8�10}�(7) ���C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6�8�10} 3. 在区间上任取一数�记]2,0[���������121x x A ����������2341x x B �求下列事件的表达式�(1)�(2)B A �B A �(3)B A �(4)B A �. 解(1) ���������2341x x B A �;(2) ������������B x x x B A �21210或����������������2312141x x x x �;(3) 因为B A ��所以��B A � (4)������������223410x x x A B A 或��������������223121410x x x x 或或 4. 用事件的运算关系式表示下列事件� C B A ,,(1) 出现�都不出现�记为�� A C B ,1E (2) 都出现�不出现�记为�� B A ,C 2E (3) 所有三个事件都出现�记为�� 3E(4) 三个事件中至少有一个出现�记为�� 4E(5) 三个事件都不出现�记为�� 5E (6) 不多于一个事件出现�记为�� 6E (7) 不多于两个事件出现�记为�� 7E (8) 三个事件中至少有两个出现�记为�。
(完整版)工程数学概率统计简明教程第二版同济大学数学系编课后习题答案(全)
习题一1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。
解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则},2,1,0|{ ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .3. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1)B A ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件；(3) =AC {取得球的号码是2，4}；(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}4. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .解 (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B A ;(2) =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤≤=B x x x B A 21210或⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2312141x x x x ; (3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ；(4)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤=223410x x x A B A 或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 4. 用事件CB A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。
概率论与数理统计第二版课后答案
概率论与数理统计第二版课后答案本文为《概率论与数理统计第二版》课后答案的整理。
课后答案旨在帮助读者加深对概率论与数理统计的理解，并通过解答问题来巩固所学知识。
以下是第二版课后答案的部分内容。
第一章概率论导引1.1 随机现象与概率习题1.11.在一个班级中，男生和女生比例大致相等，如何用随机试验来模拟随机选择一个学生？解：将每个学生用同样大小的纸片标记，然后将这些纸片放入一个个相同的盒子中，对这些纸片进行充分搅拌，最后随机选择一个盒子并从中抽取一个纸片，即可模拟随机选择一个学生。
2.如果一个正六面体骰子抛掷一次，出现偶数的概率是多少？解：正六面体骰子一共有6个可能的结果，其中有3个是偶数（2、4、6）。
所以出现偶数的概率为3/6，即1/2。
习题1.21.在计算机制造厂中，产生的某种计算机上装有一个铁丝网，现检查x台计算机，如果有1台计算机中的铁丝网损坏则停工维修。
如随机抽查检查到有1台计算机中的铁丝网损坏，求实际损坏率是多少？解：设实际损坏率为p，由于是随机抽查检查，所以随机抽查检查到有1台计算机中的铁丝网损坏的概率为${x \\choose 1} \\cdot p \\cdot (1-p)^{x-1}$。
根据题意可知该概率等于1，即${x \\choose 1} \\cdot p \\cdot (1-p)^{x-1} = 1$。
解得p=1−(1−p)x−1，实际损坏率等于1−(1−p)x−1。
2.一枚硬币连续抛掷三次，记事件A为第一次出现正面朝上，事件B为第二次出现正面朝上，事件C为至少有一次出现正面朝上。
求事件A、B、C的概率。
解：根据硬币抛掷的性质可知，每个事件的概率都是1/2。
所以P(A)=P(B)=P(C)=1/2。
第二章随机变量及其分布2.1 一维随机变量与分布函数习题2.11.一枚骰子抛掷一次，将点数相乘，求该随机变量的分布函数。
解：一枚骰子共有6个可能的点数，将点数相乘的结果为1、2、3、4、5、6。
工程数学概率 第二章(二)-精品PPT
0
1
x
例4 设二维随机变量(X ,Y) 的概率密度为
f(x,y) x21 3xy,
0x1， 0y2, y
2
0,
others.
试求概率 PXY1．
1
解 积分区域如右图所示
PXY1 f(x,y)dxdy 0 xy1
1
x
x y 1
(x2
1xy)dxdy
1
dx
2
(x2xy)dy
65
G1
3
0 1x
Y的边缘分布函数。 { X x } { X x } { Y } { X x , Y }
则 FX(x) P{Xx} P {Xx,Y }F(x,) 同理可得 FY(y)F(,y)
研究问题：已知联合分布，怎样求 X,Y 的边缘分布。
例1: 已知 (X ,Y)的分布函数为
F(x,y) (1e2x)(1e3y),
第一讲 二维随机变量
定义1 设随机试验 E 的样本空间是{e},设XX(e) 和Y Y(e)是定义在上的随机变量，则由它们构成的一
个向量( X ,Y ) 称为二维随机变量或二维随机向量。 定义2 设 ( X ,Y )是二维随机变量，对于任意实数 x , y ,
二元函数 F ( x ,y ) P { X ( x ) ( Y y )} P { X x ,Yy }
F ( x 2 , y 2 ) F ( x 1 , y 2 ) F ( x 2 , y 1 ) F ( x 1 , y 1 )
y
y 2 ( x1, y2 )
(x2, y2)
y 1 ( x1, y1 ) 0 x1
( x2 , y1) x
x2
联合分布函数的性质： ① F (x, y)是变量 x 和 y 的不减函数，即
工程数学教学大纲总纲工程数学包括两部分内容
工程数学教学大纲一、总纲《工程数学》包括两部分内容：第一部分“积分变换”，提供一点复变函数的基本知识，并为信号的处理和分析提供必备的数学工具，第二部分“概率统计”，提供概率论的一些基本知识，并为数据的处理和分析提供必备的数学工具。
本课程是广播电视大学工科各专业的必修基础课之一（机械、土建只修概率统计）。
二、内容第一部分复变函数与积分变换第一章复变函数1、复数与复变函数2、可导与解析3、积分概念与积分公式4、极点和留数第二章积分变换1、付氏级数的复数形式2、付氏积分与付氏变换3、付氏变换的性质4、拉氏变换及其性质5、常用拉氏变换公式6、拉氏反变换的求法第二部分概率与数理统计第三章概率基础1、事件与概率随机现象，随机事件，事件的概率，加法公式。
2、条件概率与独立性条件概率，乘法公式，独立性。
3、随机变量概念，概率分布与分布密度。
4、几种常见的分布二项分布与泊松分布，均匀分布与指数分布，正态分布（正态分布密度，正态分布函数，查表方法）。
5、联合分布与独立性联合分布，边缘分布，随机变量的独立性。
6、期望与方差期望值，方差，期望、方差的性质。
7、大数定律与中心极限定理切比雪夫不等式，大数定律，中心极限定理。
第四章统计推断1、基本概念总体、样本，直方图，统计量。
2、参数估计最大似然估计，无偏估计，区间估计（正态总体已知方差的均值估计）。
3、假设检验（正态总体）已知方差的均值检验，未知方差的均值检验（t检验），方差的检验（x2检验），两个下态总体的比较。
4、1→1回归概念，最小二乘估计。
5、检验与预测平方和分解，F检验，预测。
大纲说明一、课程的目的和任务《工程数学》是电大工科各专业（机械和土建只修概率统计）的必修基础课，是为培养适应四个现代化需要的大专层次的应用型工程技术和工程管理人才而设置的目的定为学习电工原理、电路分析、自动控制原理、系统管理工程、工程规划与设计等专业基础课提供必备的基础数学知识和分析方法。
新修改 工程数学-概率统计简明教程-第二章-事件的概率
P ( A)
P3 6 5 365
30
30
0 .2 9
当人数为 10 时， {生日“无重复”} 的概率为：0.88 当人数为 20 时， {生日“无重复”} 的概率为：0.59
当人数为 40 时， {生日“无重复”} 的概率为：0.11
当人数为 50 时， {生日“无重复”} 的概率为：0.03
频率和概率
频率的稳定性
随机事件A在相同条件下重复多次时，事件A 发生的频率
在一个固定的数值p附近摆动，随试验次数的增加更加明显
事件的概率
事件A的频率稳定在数值 p，说明了数值 p可以用来刻划
事件Ａ发生可能性大小，可以规定为事件A的概率，记为 P( A)
概率的统计定义
对任意事件Ａ，在相同的条件下重复进行n次试验，
12
解容易验证满足古典概型的要求 记A={两件都是次品}， B ={第1件次品，第2件正品}. 只讨论有放回情况（不放回情况是类似的） ,计算样本点总数，注意随机抽取2件产品的 试验可以看成有放回地二次抽取，每次取 一件.而每次抽取均有100种可能结果，依原 理，一共有n＝100 × 100＝10,000种可能结 果，此即样本点总数.
B
A
B A U (B A)
A I (B A)
( B ) P ( A U ( B A )) P ( A ) P ( B A )
P (B － A) = P(B) － P(A)
推广 对任意两个事件A, B, 有
P( B A) P( B) P( AB)
2
1
P (C )
C 96 C 4 C 100
3
古典概率的计算： 有放回抽样和无放回抽样
概率论与数理统计第二版课后习题答案
概率论与数理统计第二版课后习题答案概率论与数理统计是一门重要的数学学科，广泛应用于各个领域。
而课后习题是学习这门学科的重要环节，通过解答习题可以巩固所学知识，提高问题解决能力。
本文将为大家提供《概率论与数理统计第二版》课后习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
第一章：概率论的基本概念1. 事件A、B相互独立，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，求P(A∪B)。
解答：由于A、B相互独立，所以P(A∩B)=P(A)×P(B)=0.3×0.4=0.12。
根据概率的加法公式，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.3+0.4-0.12=0.58。
2. 设A、B为两个事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.7，若P(A∩B)=0.3，求事件“既不发生A也不发生B”的概率。
解答：事件“既不发生A也不发生B”可以表示为A和B的补集的交集，即A'∩B'。
根据概率的补集公式，P(A')=1-P(A)=0.4，P(B')=1-P(B)=0.3。
由于A、B相互独立，所以P(A'∩B')=P(A')×P(B')=0.4×0.3=0.12。
第二章：离散型随机变量及其分布律1. 设随机变量X的分布律为：P(X=k)=C(10,k)×(0.3)^k×(0.7)^(10-k)，其中C(10,k)表示10中取k的组合数。
求P(X≥6)。
解答：P(X≥6)=1-P(X<6)=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)]=1-[C(10,0)×(0.3)^0×(0.7)^10+C(10,1)×(0.3)^1×(0.7)^9+C(10,2)×(0.3)^2×(0.7)^8+ C(10,3)×(0.3)^3×(0.7)^7+C(10,4)×(0.3)^4×(0.7)^6+C(10,5)×(0.3)^5×(0.7)^5]=1 -[1×1×(0.7)^10+10×0.3×(0.7)^9+45×0.09×(0.7)^8+120×0.027×(0.7)^7+210×0. 0081×(0.7)^6+252×0.00243×(0.7)^5]=1-0.0282≈0.9718。
工程数学概率统计简明教程第二版教学设计
工程数学概率统计简明教程第二版教学设计一、简介《工程数学概率统计简明教程第二版》是一本介绍工程中常用数学概率统计知识的教材。
适用于多个工程领域，如土木工程、机械工程、化学工程等。
本文档将针对《工程数学概率统计简明教程第二版》的教学设计进行详细介绍，包括教学目标、教学内容、教学方法、考核方式等方面的内容。
二、教学目标通过本次教学，学生应该能够：1.理解和掌握工程中常用的数学概率统计知识，包括概率分布、随机变量、期望、方差、协方差等。
2.能够采用数学概率统计方法解决工程实际问题，并理解其应用背景和意义。
3.培养学生的分析问题和解决问题的能力。
三、教学内容1. 数学概率统计基础1.1 概率基本概念1.2 概率分布1.3 随机变量及其分布1.4 期望、方差、协方差2. 常用概率分布2.1 离散型概率分布2.2 连续型概率分布3. 统计推断3.1 抽样分布与中心极限定理3.2 置信区间与假设检验3.3 方差分析及回归分析4. 应用案例分析4.1 工程实践案例分析4.2 实例模拟及计算四、教学方法本教材注重使用案例、运用实践和巩固概念等方式进行教学，尤其是在应用案例分析环节，通过将学生带入实际工程场景进行分析，让学生更好地理解理论知识并运用到实践中。
五、考核方式本次教学采用闭卷考试、实验报告和课堂讨论等方式进行考核。
具体安排如下：1.闭卷考试：考核学生对于概率统计的基本理论知识的掌握情况。
2.实验报告：考核学生运用概率统计方法解决实际问题的能力。
3.课堂讨论：考核学生对于理论知识的理解和掌握情况，以及对于解决问题的思路和方法是否合理的能力。
六、总结本文档针对《工程数学概率统计简明教程第二版》的教学设计进行了详细介绍，包括教学目标、教学内容、教学方法、考核方式等方面的内容，希望能够对于教学工作有所帮助。
教师需要根据本教材的特点和学生的学习情况灵活运用本文档的教学设计。
《概率统计2章》课件
非线性回归在许多领域都有应用，例如化学、物理学和生物学等，用于探索非线性关系和预测。
详细描述
非线性回归分析通过建立非线性方程来描述因变量与自变量之间的关系。这种关系不是线性的，而是以其他形式存在，例如二次方、指数、对数等。
贝叶斯统计
贝叶斯定理
贝叶斯定理是概率论中的一个基本定理，它提供了在给定一些新的信息下，更新我们对某个事件发生的概率的估计的方法。
单侧检验与双侧检验
假设检验的步骤
根据假设方向的不同，分为单侧检验和双侧检验。
显著性水平是判断假设是否成立的依据，临界值是判断数据是否显著的依据。
通过提出假设并检验假设是否成立来判断总体参数是否显著。
提出假设、构造检验统计量、确定临界值、做出决策。
回归分析
总结词
详细描述
公式解释
应用场景
一元线性回归是回归分析中最基础的形式，它探Leabharlann 一个因变量与一个自变量之间的关系。
总结词
条件概率是指在某个已知条件下，随机事件发生的概率。独立性是指两个随机事件的发生互不影响。
详细描述
条件概率表示为P(A|B)，即在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。独立性则是指两个随机事件A和B，如果P(A|B) = P(A)，则称A与B独立。条件概率与独立性是概率论中的重要概念，它们在概率模型建立和推断中有着广泛的应用。
在统计学中的应用
在金融领域的应用
在社会学中的应用
THANK YOU
感谢聆听
随机变量是用来描述随机实验结果的变量，其取值具有随机性。随机变量的分布描述了随机变量取值的概率规律。
总结词
随机变量是定义在样本空间上的函数，其取值具有随机性。常见的随机变量有离散型和连续型两种类型。离散型随机变量可以取有限或可数无穷多个值，而连续型随机变量则可以取实数域上的任意值。随机变量的分布描述了随机变量取值的概率规律，常见的分布有二项分布、泊松分布、正态分布等。理解随机变量的分布对于进行统计推断和决策具有重要的意义。
概率论与数理统计教程第二版
概率论与数理统计教程第二版《概率论与数理统计教程（第二版）》是一本经典的教材，适用于数理统计和概率论等专业的大学生和研究生。
本书全面介绍了概率论和数理统计的基本概念、原理和应用方法。
下面将从内容、特点和优势这三个方面对本书进行评述。
首先，本书内容系统全面。
《概率论与数理统计教程（第二版）》主要分为三个部分：概率论基础、数理统计基础和应用统计学基础。
其中，概率论基础部分介绍了概率论的基本概念、概率分布、随机变量和随机过程等内容；数理统计基础部分重点介绍了参数估计、假设检验和方差分析等重要内容；应用统计学基础部分深入探讨了统计模型、回归分析和时间序列等实际应用。
这些内容的有机组合使本书成为一本理论与实践相结合的教材。
其次，本书具有深入浅出的特点。
作者在编写本书时，不仅注重概念的严谨性和准确性，还注重表达的简明易懂。
无论是对于概率论还是数理统计的概念和原理，作者都以清晰、简单的语言进行解释，并结合典型的例题进行阐述。
例如，在讲解概率分布时，作者通过举例讲解了均匀分布、正态分布和泊松分布等，使读者更容易理解和掌握相关知识。
最后，本书的优势在于实用性强。
《概率论与数理统计教程（第二版）》不仅介绍了概率论和数理统计的基本理论，还将其应用于实际问题中。
在应用统计学基础部分，作者通过介绍统计模型、回归分析和时间序列等方法，让读者了解如何将概率论和数理统计的知识应用于科学研究和实际工作中。
这对于培养学生的实际分析和解决问题的能力非常有帮助。
综上所述，《概率论与数理统计教程（第二版）》是一本内容全面、深入浅出且具有实用性的教材。
它不仅适用于数理统计和概率论等专业的学生学习，也适用于从事相关研究和实践的专业人士。
本书的出版对于概率论和数理统计的教学和研究具有重要的推动作用。
概率论与数理统计-第二章 事件的概率
例 一口袋装有4只白球和2只红球，从袋中取两次， 每次随机地取一只，考虑两种取球方式：(a)第一次 取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一 球，这种取球方式叫做放回抽样。(b)第一次取一球 不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球，这种 取球方式叫做不放回抽样。试分别就上面两种情况 求： (1)取到的两只球都是白球的概率； (2)取到的两只球第一个为红第二个为白的概率； 解：设以A、B分别表示事件取到的两只球“都 是白球”、“第一个为红第二个为白”。
n
P( A1 ) P( A2 ) P( An ) P( ) P( )
P ( Ai )
i 1 n
性质3：如果事件AB，则P(B)P(A)，且有概 率的减法公式：P(B–A)=P(B)–P(A) 证：因为AB, 则B=A(B–A), A(B–A)=, 故由性质2得：P(B)=P(A)+P(B–A), 即 P(B–A)=P(B)–P(A)
第一节 第二节 第三节 第四节 概率的概念 古典概型 几何概型 概率的公理化定义
第一节
概率的概念
事件A的概率：在随机试验中，事件A 出现的可能性大小。记为P(A)。
历史上若干科学家做过将一枚硬币接连掷 n次，并观察正面（事件A）出现的次数的试 验。下表是其试验结果的记录。 其中，频率=A出现的次数÷试验总次数。
定义 设E为随机试验，Ω为其样本空间，若对 于每一事件A，有且只有一个实数P(A)与之 对应，若满足下列条件，则称P(A)为事件A 的概率： 1 非负性：P(A)0 2 规范性：P(Ω)=1 3 可列可加性：若A1,A2,为两两互不相容事 件列，即 ij，AiAj=，则有 P ( i Ai ) P ( Ai ) 1
事件A＝{针与平行线相交}，等价于xl/2cos， 故SA即为下右图中的阴影部分
《工程数学》(概率统计)期末复习提要
《工程数学》（概率统计）期末复习提要工科普专的《工程数学》（概率统计）课程的内容包括《概率论与数理统计》（王明慈、沈恒范主编，高等教育出版社）教材的全部内容 . 在这里介绍一下教学要求，供同学们复习时参考 .第一部分：随机事件与概率⒈了解随机事件的概念学习随机事件的概念时，要注意它的两个特点：⑴在一次试验中可能发生，也可能不发生，即随机事件的发生具有偶然性；⑵在大量重复试验中，随机事件的发生具有统计规律性 .⒉掌握随机事件的关系和运算，掌握概率的基本性质要了解必然事件、不可能事件的概念，事件间的关系是指事件之间的包含、相等、和、积、互斥（互不相容）、对立、差等关系和运算 .在事件的运算中，要特别注意下述性质：，.概率的主要性质是指：①对任一事件，有；② ；③对于任意有限个或可数个事件，若它们两两互不相容，则.⒊了解古典概型的条件，会求解简单的古典概型问题在古典概型中，任一事件的概率为，其中是所包含的基本事件个数，是基本事件的总数 .⒋熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，理解条件概率，掌握全概公式⑴加法公式：对于任意事件，有，特别地，当时有；⑵条件概率：对于任意事件，若，有，称为发生的条件下发生条件概率 .⑶乘法公式：对于任意事件，有（此时），或（此时） .⑷全概公式：事件两两互不相容，且，则.⒌理解事件独立性概念，会进行有关计算若事件满足（当时），或（当时），则称事件与相互独立 . 与相互独立的充分必要条件是.第二部分：随机变量极其数字特征⒈理解随机变量的概率分布、概率密度的概念，了解分布函数的概念，掌握有关随机变量的概率计算常见的随机变量有离散型和连续型两种类型 . 离散型随机变量用概率分布来刻画，满足：① ，② ；连续型随机变量用概率密度函数来刻画，满足：① ，② .随机变量的分布函数定义为，对于离散型随机变量有，对于连续型随机变量有.⒉了解期望、方差与标准差的概念，掌握求随机变量期望、方差的方法⑴期望：随机变量的期望记为，定义为（离散型随机变量，是的概率分布），（连续型随机变量，是的概率密度） .⑵方差：随机变量的方差记为，定义为（离散型随机变量），（连续型随机变量） .⑶随机变量函数的期望：随机变量是随机变量的函数，即，若存在，则在两种形式下分别表示为（离散型随机变量，是的概率分布），（连续型随机变量，是的概率密度），由此可得方差的简单计算公式.⑷期望与方差的性质①若为常数，则；②若为常数，则；③若为常数，则.⒊掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差，熟练掌握正态分布的概率计算，会查正态分布表（见附表）常用分布：⑴二项分布的概率分布为，特别地，当时，，叫做两点分布；⑵均匀分布的密度函数为；⑶正态分布的密度函数为.其图形曲线有以下特点：① ，即曲线在x 轴上方；② ，即曲线以直线为对称轴，并在处达到极大值；③在处，曲线有两个拐点；④当时，，即以轴为水平渐近线；特别地，当时，，表示是服从标准正态分布的随机变量 .将一般正态分布转化为标准正态分布的线性变换：若，令，则，且Y 的密度函数为；服从标准正态分布的随机变量的概率为；那么一般正态分布的随机变量的概率可以通过下列公式再查表求出.常见分布的期望与方差：二项分布：；均匀分布：；正态分布：；⒋了解随机变量独立性的概念，了解两个随机变量的期望与方差及其性质对于随机变量，若对任意有，则称与相互独立 .对随机变量，有；若相互独立，则有.第三部分：统计推断⒈理解总体、样本，统计量等概念，知道分布，分布，会查表所研究对象的一个或多个指标的全体称为总体，组成整体的基本单位称为个体，从总体中抽取出来的个体称为样品，若干个样品组成的集合称为样本 . 样本中所含的样品个数称为样本容量 .统计量就是不含未知参数的样本函数 .⒉掌握参数的最大似然估计法最大似然估计法：设是来自总体（其中未知）的样本，而为样本值，使似然函数达到最大值的称为参数的最大似然估计值 . 一般地，的最大似然估计值满足以下方程.⒊了解估计量的无偏性，有效性概念参数的估计量若满足则称为参数的无偏估计量 .若都是的无偏估计，而且，则称比更有效 .⒋了解区间估计的概念，熟练掌握方差已知条件下单正态总体期望的置信区间的求法，掌握方差未知条件下单正态总体期望的置信区间的求法当置信度确定后，方差已知条件下单正态总体期望的置信区间是，其中是总体标准差，是样本均值，是样本容量，由确定 .方差未知条件下单正态总体期望的置信区间是，其中称为样本标准差，满足.⒌知道假设检验的基本思想，掌握单正态总体均值的检验方法，会作单正态总体方差的检验方法单正态总体均值的检验方法包括检验法和检验法：⑴ 检验法：设是正态总体的一个样本，其中未知，已知 . 用检验假设（是已知数），。
概率论第二版习题答案
概率论第二版习题答案概率论是一门研究随机现象的数学分支，它在统计学、金融学、工程学等多个领域都有广泛的应用。
第二版的概率论教材通常会在第一版的基础上进行修订和补充，以反映最新的研究成果和教学方法。
以下是一些概率论习题的答案示例，这些答案仅供参考，具体习题的答案可能会根据教材的不同而有所变化。
第一章：概率空间1. 习题1：描述一个概率空间的基本元素。
- 答案：一个概率空间由三个基本元素组成：样本空间(Ω)，事件集合(F)，以及概率测度(P)。
样本空间包含了所有可能的结果，事件集合是样本空间的子集，概率测度为每个事件分配一个介于0和1之间的实数，表示事件发生的可能性。
2. 习题2：证明如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B) = P(A) +P(B)。
- 答案：由于A和B互斥，即A∩B = ∅，根据概率测度的性质，P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
由于A和B互斥，P(A∩B) = 0，因此P(A∪B) = P(A) + P(B)。
第二章：随机变量及其分布1. 习题1：定义离散型随机变量和连续型随机变量。
- 答案：离散型随机变量是其取值可以列举的随机变量，其概率分布可以用概率质量函数来描述。
连续型随机变量是其取值无法一一列举的随机变量，其概率分布可以用概率密度函数来描述。
2. 习题2：如果X是一个随机变量，求E(X)和Var(X)。
- 答案：期望E(X)是随机变量X的平均值，定义为E(X) = ∑x *P(X = x)（对于离散型随机变量）或E(X) = ∫x * f(x) d x（对于连续型随机变量）。
方差Var(X)是随机变量X的离散程度的度量，定义为Var(X) = E[(X - E(X))^2]。
第三章：多维随机变量及其分布1. 习题1：描述联合分布函数和边缘分布函数的关系。
- 答案：联合分布函数给出了两个或多个随机变量同时取特定值的概率，而边缘分布函数是通过对联合分布函数进行积分或求和得到的，它给出了单个随机变量的分布。
概率论与数理统计简明教程
概率论与数理统计简明教程概率论与数理统计是数学的两个重要分支，它们在许多领域中都有着广泛的应用。
概率论研究的是随机现象的规律性，而数理统计则是通过对数据进行分析和推断来得出结论。
在概率论中，我们研究的是随机事件发生的可能性。
概率可以用来描述一个事件发生的可能性大小，常用的表示方式是一个介于0到1之间的数。
例如，掷一枚硬币，正面向上的概率为0.5，反面向上的概率也为0.5。
在计算概率时，我们可以利用概率公式来计算事件发生的可能性。
例如，对于两个独立的事件A和B，它们同时发生的概率可以通过将它们各自的概率相乘来计算。
概率论不仅可以用于描述简单的随机事件，还可以用于分析复杂的随机现象。
例如，在赌博游戏中，我们可以利用概率论来计算赌博的胜率。
通过计算各种可能的结果出现的概率，我们可以评估赌博游戏的公平性，并且可以根据概率来制定合理的投注策略。
数理统计则是通过对数据进行分析和推断来得出结论。
在统计学中，我们通常使用样本来代表总体，并通过对样本数据的分析来推断总体的特征。
在进行统计推断时，我们可以利用概率论中的一些方法，例如假设检验和置信区间。
假设检验可以用来判断样本数据是否支持某个假设，而置信区间可以用来估计总体参数的范围。
数理统计在许多领域中都有着广泛的应用。
例如，在医学研究中，我们可以利用数理统计来分析临床试验数据，评估某种新药物的疗效。
在经济学中，我们可以利用数理统计来分析市场数据，预测股票价格的变动趋势。
在社会科学中，我们可以利用数理统计来分析民意调查数据，了解人们对某个问题的态度。
概率论与数理统计的研究方法和技巧也在不断发展和完善。
随着计算机技术的不断进步，我们可以利用计算机来进行大规模的数据分析，从而得出更准确的结论。
此外，现代统计学还涌现出许多新的统计方法，例如回归分析、时间序列分析和贝叶斯统计等，这些方法为我们分析复杂的数据提供了更多的工具和思路。
概率论与数理统计是数学中非常重要的两个分支，它们在许多领域中都有着广泛的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
加法定理的推广
P(AU BU C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC)
A
B
C
加法定理的推广
对任意 n 个事件 A1, A2 ,L , An ，有
n
n
U P( Ak ) P(Ak )
P( Ai Aj ) L
盒子中，其球在盒子的分布总数为 (r 1)n j ，因而有利于 B 的样
本点数为
n j
(r
1)n
j
.最后得到
PB
n j
(r
1)n
j
rn
.
古典概率的计算：生日问题
某班有30 个同学，求他们生日“无重复”的概率。 （一年按365天计算，并设人在一年内任一天出生是等可能的）
例3 女士品茶问题. 一味常饮牛奶加茶的女士称：她能从一 杯冲好的饮料中分辨出先放茶还是先放牛奶。并且她在10次 实验中都能正确的辨别出来，问该女士的说法是否可信？ 解 假定该女士的说法不可信，她是蒙对的，
则每次蒙对的概率是0.5，于是10次都能蒙对的概率
这是小概率事件,一般在一次试验中不会发生. 现居然发生了, 故可认为假定不成立, 从而推断接待时间是有规定的.
第二步 计算事件包含的样本数
第一次取次品有30种可能，第二次次品29种，A有m＝30 ×29
第一次取次品有30种可能，第二次正品70种，B有m＝30 ×70
P( A)
m n
30 29 100 100
0.088.
P(B) 1300017000＝0.21.
小概率事件 ——
若P(A) ≤ 0.01 , 则称A为小概率事件.
古典概率的计算：抽签
10个学生抽签的方式分配3张音乐会入场券，抽取10张外观 相同的纸签，其中3张代表入场券.求 A={第五个学生抽到入场 券}的概率。
基本事件总数 n 10!
第五个学生抽 到入场券
有利于A的基本事件数 mA C31 9!
另外9个学生抽 取剩下9张
P( A) mA C31 9! 3 n 10! 10
例4 某班有20 个同学，采取抽签的方式分配三张音乐会门票, 求同学甲抽到门票的概率.
解：制作 20 张外观无差异的纸签， 其中三张代表门票。 20 个同学抽签共有 20！种方式，
同学甲抽到门票有 C31 种抽法，
其它同学抽取余下的签有 19！种方式。
原来不必 争先恐后！
故所求的概率是：PA
319! 20!
当人数为 50 时， {生日“无重复”} 的概率为：0.03
第三节 几何概型
第三节 几何概型
几何概型 保留等可能性，允许试验的结果有无限多个
设样本空间为有限区域 , 若样本点落入 内任何区
域 G 中的概率与区域G 的测度成正比, 则样本点落入G内
的概率为
P(
A)
G的测度 的测度
如样本空间为数轴上的区间，则 表示区间长度； 如样本空间为平面上的区域，则 表示区域面积；
10分钟
7:25 7:30 10分钟
7:00
7:15
7:30
P(等待超10分) 10 1 30 3
第四节 概率的公理化定义
第四节 概率的公理化定义
.
给定一个随机试验，Ω是它的样本空间，对于 任意一个 事件Ａ，赋予一个实数 P( A) ，如果 P() 满足下列三条公理， 那么，称 P( A) 为事件Ａ的概率．
k 1
k 1
1i jn
(1)k1
P( Ai1 L Aik ) L (1)n1 P( A1...An )
1i1 i2 ...ik n
例8 已知P(A)＝0.9，P(B)=0.8，试证：P(AB) 0.7
解：由性质5得： P(AU B) P(A) P(B) P(AB) 且 P(AU B) 1 即 0.7 0.8 P(AB) 1
m n
古典概型的计算步骤
1、确定试验的基本事件总数
2、确定事件A包含的基本事件数
3、代入公式求概率
P(
A)
有利于A的样本点数 样本点总数
m n
难点：确定事件的个数需要理顺事件，还需要排列组合的知识。 不是重点，只要求会常见的几类问题
排列组合有关知识复习
可重复排列 从 n 个不同的元素中可重复地(有放回地） 取
i 1
i 1
i 1
i n 1
n
P( Ai ) i 1
性质3 逆事件的概率
P( A) 1 P( A)
A
A
性质4 差事件的概率
若 A B，则 P (B － A) = P(B) － P(A)且P(A) ≤P(B)
BA
B AU (B A)
AI (B A)
P(B A) P(B) 0.6
(2) 由已知条件和性质3,推得必定有A B P(A B) P() 0
P(B A) P(B) P(A) 0.3
例 10 据资料获悉某市居民私房拥有率为 63% ，私车拥有率为 27%，而既无房也
无车的占 30%，求任意抽查一户，恰为既有房又有车的概率. 解 分别记事件
fn
(
A)
事件A出现次数m 试验总次数n
频率=概率 吗？频率有什么规律？
抛掷硬币的试验
历史纪录
抛 掷 次 数 出现正面的次数 试验者
n
m
德.摩 根
2048
1061
蒲丰
4040
2048
皮尔逊
12000
6019
皮尔逊
24000
12012
维 尼 30000
14994
出现正面的频率 m/n 0.518
(B) P(AU (B A)) P(A) P(B A)
P (B － A) = P(B) － P(A)
推广 对任意两个事件A, B, 有
P(B A) P(B) P( AB)
A
AB
B=AB+(B – A)
B – AB=B-A B
P(B)=P(AB)+ P(B – AB)
P An P( An ) n1 n1
第二节 古典概型
第二节 古典概型
定义 如果试验具有下面两个特征： 有限性 试验的所有可能发生的结果只有有限个 等可能性 每一种可能结果发生的可能性相同
则称次试验为古典概型
P(
A)
有利于A的样本点数 样本点总数
所以，由以上可证命题成立。
例9 已知P(A)=0.3， P(B)=0.6,试在下列两
种情形下分别求出P(A-B)与P(B-A) (1) 事件A,B互不相容
(2) 事件A,B有包含关系
解 (1) 由于AB ,因此 A B A, B A B
P(A B) P(A) 0.3
例 某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是 整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率
分析 打开收音机时，位于一天中任意两个整点之间的概率 是相等的，不妨设打开时位于9点到10点之间。
在9点到10点之间任意时刻都是等可能的，所以样本空 间是60分钟。而只有在9:50-10:00之间，他等待报时的时间 短于十分钟，即时间对应的区间长度是10分钟。
3 20
例5 (占位问题) n个球随机落入r 个不同的盒子中(n≤r)，
假设每个盒子足够大，容纳的球数是不限的，于是n个球
在r 个盒子中的分布(一共有rn种)是等可能的，求：
(1) 没有一盒有超过1个球的概率；
.
(2) 每一盒恰好有j个球的概率(1≤j≤n) ；
解 记问题（1）、（2）涉及的随机事件分别为 A , B .
第二章 事件的概率
第一节、 概率的概念 第二节、古典概率 第三节、几何概型 第四节、概率的公理化定义结
第一节 概率的概念
随机试验的结果虽然不确定，但其某一种结果的可 能性是有规律的，可研究。称事件A发生的可能性的大小 为事件A的概率
做一个随机试验：抛掷一枚均匀的硬币 设将硬币抛掷n次，出现正面m次。
性质5 加法定理
对任意两个随机事件Ａ、Ｂ ，有 P(AU B) P(A) P(B) P(AB)
A
B
AU B AU (B A)
B ABU (B A) AI (B A) ABI (B A)
P(AU B) P(A) P(B A)
P(B) P(AB) P(B A)
解: 容易验证满足古典概型的要求 记A={两件都是次品}， B ={第1件次品，第2件正品}.
有放回情况：
第一步 计算样本点总数
每次抽取均有100种可能结果， 依原理，一共有n＝100 × 100＝10,000种可能结果 第二步 计算事件包含的样本数
因为有30件次品，每次抽取到次品均有30种可能结果， 依原理，A一共有m＝30 × 30＝900种可能结果
1 A 发生当且仅当不同的球落入不同的盒子，因此有利于 A 的样
本点数为不可重复排列数 r r 1 r n 1。所以
P A
r r 1
r n 1 ；
rn
2
第一盒的
j
个球来自
n
个球的总体，一共有
n j
种不同选择；
当第一盒的 j 个球选定后，剩下的 n j 个球落入剩下的 r 1个
P(
A)