微积分模型ppt

数值积分相关知识回顾
关于积分，有Newton-Leibniz公式

b
a
f ( x)dx F (b) F (a)
但是，在很多情况下，还是要数值积分： 1、函数有离散数据组成
2、F(x)求不出
3、F(x)非常复杂
定义数值积分如下：是离散点上的函数值的线性组合
In ( f )
a
i 0
有了任何时刻的流量，就不难计算一天的总用水 量。其实，水泵不工作时段的用水量可以由测量记录 直接得到，由表6-1中下降水位乘以水搭的截面积就是 这一时段的用水量。这个数值可以用来检验数据插值 或拟合的结果。 在具体给出本问题的解答之前，先介绍一个简单 的数据插值方法。
2.3 拉格朗日插值 1、线性插值 假设已知 f ( x) 在区间 [ a, b] 上的两个结点 x0 , x1 和它们的函数值
f1 ( x) c1B(t2 ), f 2 ( x) c2 x(t2 t1 ) c3 x
C( x) f1 ( x) f 2 ( x)
目标函数——总费用
模型建立
2 1
目标函数——总费用
2 2 1
c1 t c1 t c2 t1 x C ( x) c3 x 2 2(x ) x
其中 c1,c2,c3, t1, ,为已知参数
模型求解
dC 0 dx
求 x使 C(x)最小
c1t12 2c2t1 x 2c32
b
dB dt

x
0
t1
t2 t
结果解释
• / 是火势不继续蔓延的最少队员数
结果 解释
c1t1 2c2t1 x 2c32
分析B(t)比较困难, 转而讨论森林烧毁 速度dB/dt.
B B(t2)
（其中dB/dt表示 单位时间烧毁的面 积）
0
t1
t2
t
模型假设
1）0tt1, dB/dt 与 t成正比，系数 (火势蔓延速度）
2）t1tt2, 降为-x (为队员的平均灭火速度） 3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费） 4）每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3 (运 送消防队员和器材等一次性支出) 火势以失火点为中心， r 均匀向四周呈圆形蔓延， 假设1） B 的解释 半径 r与 t 成正比 面积 B与 t2成正比， dB/dt与 t成正比.

0
计算
结果 R1=1.999314849324062
R2=1.999993496534964
程序实现
模型实例讲解
• 森林救火问题
• 水箱的水流问题
森林救火问题
问题
森林失火后，要确定派出消防队员的数量。 队员多，森林损失小，救援费用大；
队员少，森林损失大，救援费用小。
所以需要综合考虑森林损失费和救援费与消防队员 之间的关系，以总费用最小来决定派出队员的数量。
问题 分析
记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t).
• 损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定.
• 救援费f2(x)是x的增函数, 由队员人数和救火时间决定.
找到恰当的x，使f1(x), f2(x)之和最小
问题 分析
• 关键是对B(t)作出合理的简化假设. 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 画出时刻 t 森林烧毁面积B(t)的大致图形

模型建立
b b t1 , t 2 t1 x
b
假设1）
dB dt
假设2）
t 2 t1
B(t2 )
假设3）4）
t2
x
t1

0
x
t1
t2 t
0
2 2 2 bt t t1 2 1 B(t )dt 2 2 2(x )
自然，而又简单的方法就是，取极限的近似值，即差商
2 ( x , f ( x )) 给定点列 i i i 0
且
x2 x1 x1 x0 h,
求
f ' ( x2 ), f ' ( x1 ), f ' ( x0 )
两点差商公式：
• 向前差商公式
f '( xi ) f ( xi h) f ( xi ) , i 0,1 h
n
i
f ( xi )
称为求积系数，与f(x)无关，与积分区间和积分点有关
矩形公式
左矩形公式

右矩形公式
b
aFra Baidu bibliotek
f ( x)dx (b a) f (a)

中矩形公式
b
a
f ( x)dx (b a) f (b)

b
a
f ( x)dx (b a ) f (
ba ) 2
梯形公式

b
x x0 x x1 P f ( x0 ) f ( x1 ) 1 ( x) x0 x1 x1 x0
2、抛物插值 已知 f ( x) 在区间[ a, b] 上的三个结点 x , x , x 0 1 2 和它们的函数值
x
f ( x)
• 向后差商公式
f '( xi ) f ( xi ) f ( xi h) , i 1, 2 h
• 中心差商公式
f ( x1 h) f ( x1 h) f '( x1 ) 2h
三点差商公式
1 f '( x0 ) 3 f ( x0 ) 4 f ( x0 h) f ( x0 2h) 2h 1 3 f ( x0 ) 4 f ( x1 ) f ( x2 ) x2 x0
模型分析和建立
先看如下三个例子
1. 卫星轨道的长度 2. 射击命中概率 3. 人口增长模型
1、卫星轨道的长度
人造地球卫星的轨道可以视为平面上的椭 圆，中国第一颗人造卫星近地点距离地球表 面439km，远地点距离地球表面2384km，地 球半径为 6371m，试求该卫星的轨道长度？
分析：
2、射击命中概率
3445
93270
3340
2.2 问题分析 模型中所指流量可视为单位时间内流出水的体积。 由于水塔是正圆柱形，横截面积是常数，所以在水泵 不工作时段，流量很容易根据水位相对时间的变化算 出。问题的难点在于如何估计水泵供水时段的流量。
水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量经 插值或拟合得到。作为用于插值或拟合的原始数据，我 们希望水泵不工作时段的流量越准确越好。这此流量大 体上可由两种方法计算，一是直接对表6-1中的水量用 数值微分算出各时段的流量，用它们拟合其它时刻或连 续时间的流量；二是先用表中数据拟合水位一时间函数， 求导数即可得到连续时间的流量。
数值微分相关知识回顾
1. 函数f(x)以离散点列给出时，而要求我们给出导数值， 2. 函数f(x)过于复杂
这两种情况都要求我们用数值的方法求函数的导数值
微积分中，关于导数的定义如下：
f ' ( x) lim
h 0
f ( x h) f ( x ) f ( x ) f ( x h) f ( x h) f ( x h) lim lim h 0 h 0 h h 2h
a
f ( x)dx
ba [ f (a ) f (b)] 2
辛普森(Simpson)公式

b
a
f ( x)dx
ba ab [ f (a) 4 f ( ) f (b)] 6 2
将 a, b 分为
n 等份，步长
h
b a，分点 x a kh, k 0,1, k n
1 f '( x1 ) f ( x0 ) f ( x 2h) 2h 1 f ( x0 ) f ( x2 ) x2 x0
1 f '( x2 ) f ( x0 ) 4 f ( x0 h) 3 f ( x0 2h) 2h 1 = f ( x0 ) 4 f ( x1 ) 3 f ( x2 ) x2 x0
试估计任何时刻（包括水泵正在输水时间）从水塔 流出的水流量f(t)，并估计一天的总用水量。已知该水塔 是一个高为40ft（英尺），直径为57ft（英尺）的正圆 柱，表6-1给出了某个小镇一天水塔水位的真实数据， 水位降至约27.00ft水泵开始工作，水位升到35.50ft停止 工作。（注：1ft（英尺）=0.3024m（米））
,n
复合梯形公式

b
a
f ( x)dx
k 0
n 1
xk 1
xk
f ( x)dx
n 1 h n 1 h f x f x f ( a ) 2 f ( x ) f ( b ) k k 1 k 2 k 0 2 k 1
炮弹射击的目标为一正椭圆形区域，当瞄 准目标的中心发射时，在纵多因素的影响下， 弹着点与目标中心有随机偏差。可以合理地 假设弹着点围绕中心呈二维正态分布，且偏 差在x方向和y方向相互独立。若椭圆区域在x 方向半轴长120m,y方向半轴80m，设弹着点 偏差的均方差在 x 方向和 y 方向均为 100m, 试 求炮弹落在椭圆形区域内的概率？
x
x0
x1
f ( x) f ( x0 ) f ( x1 ) P ( x ) 求一个一次多项式 P ，使得多项式 ( x ) a a x 1 1 0 1 在结点上满足条件 P i 0, 1 1 ( xi ) f ( xi ), 这种插值方法称为线性插值方法（也称两点插值）。 可以求出：
分析：
3、人口增长率
20世纪美国人口统计数据如表6.5所示，计算 表中这些年份的人口增长率。
又已知某地区20世纪70年代的人口增长率如 表6.6所示，且1970年人口为210万，试估 计该地区1980年的人口？
分析:
小 结
模型求解
数值微分相关知识回顾 数值积分相关知识 Matlab 相关命令 程序实现
复合辛普森(Simpson)公式

b
a
n 1 n 1 ba f ( x)dx [ f (a) 4 f ( x 1 ) 2 f ( xk ) f (b)] k 6 k 0 k 1 2
xk xk 1 其中x 1 = k 2 2
Matlab相关命令
x=linspace(0,pi,50); y=sin(x); R1=trapz(x,y)；% 梯形公式计算 sin( x)dx R2=quad(‘sin’,0,pi,1.0e06)；% 辛普森公式
2
c1~烧毁单位面积损失费, c2~每个队员单位时间灭火费, c3~每个队员一次性费用, t1~开始救火时刻, ~火势蔓延速度, ~每个队员平均灭火速度.
c1, t1, x c2 x 为什么? c3 , x
模型 应用
c1,c2,c3已知, t1可估计, ,可设置一系列数值
由模型决定队员数量x
练习题
• 在森林救火模型中，如果考虑消防队员的 灭火速度与开始救火时的火势b有关，试 假设一个合理的函数关系，重新求解模型。
程序实现
水箱的水流问题
美国某州的用水管理机构要求各社区提供以每小时多少加 仑计的用水量以及每天所用的总水量。许多社区没有测量流入 或流出水塔水量的装置，只能代之以每小时测量水塔中的水位， 其误差不超过5%。需要注意的是，当水塔中的水位下降到最低 水位L时，水泵就自动向水塔输水直到最高水位H，此期间不能 测量水泵的供水量，因此，当水泵正在输水时不容易建立水塔 中水位和用水量之间的关系。水泵每天输水一次或两次，每次 约2小时。
表6.1 某小镇某天水塔水位
时间/s 0 水位/0.01ft 3175 时间/s 46636 水位/0.01ft 3350
3316
6635 10619
3110
3054 2994
49953
53936 57254
3260
3167 3087
13937
17921 21240
2947
2892 2850
60574
64554 68535
3012
2927 2842
25223
28543 32284 35932 39332 39435
2795
2752 2697 水泵开动 水泵开动 3550
71854
75021 79254 82649 85968 89953
2767
2697 水泵开动 水泵开动 3475 3397
43318