正多边形与圆一对一辅导讲义
《正多边形与圆》 讲义
《正多边形与圆》讲义一、正多边形的定义在平面内，各个角都相等，各条边也都相等的多边形叫做正多边形。
例如，等边三角形、正方形都是常见的正多边形。
二、圆的基本性质圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合。
这个定点称为圆心，定长称为半径。
圆具有许多独特的性质，如圆的直径是圆中最长的弦，圆的周长等于2πr（r 为半径），面积等于πr² 等。
三、正多边形与圆的关系1、正多边形的外接圆将一个正多边形的各个顶点放在同一个圆上，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
外接圆的圆心是正多边形的中心，外接圆的半径就是正多边形的半径。
以正六边形为例，我们可以通过作正六边形的对角线，找到其外接圆的圆心。
因为正六边形的内角和为 720 度，每个内角为 120 度，所以连接相隔的两个顶点，所构成的三角形是等边三角形，从而可以确定外接圆的圆心。
2、正多边形的内切圆与正多边形各边都相切的圆叫做正多边形的内切圆。
内切圆的圆心是正多边形的内心，内切圆的半径就是正多边形的边心距。
比如正三角形，我们可以通过角平分线的交点找到内切圆的圆心。
角平分线将正三角形的内角平分，其交点到各边的距离相等，这个距离就是内切圆的半径，即边心距。
四、正多边形的相关计算1、边长计算对于正n 边形，若外接圆半径为R，则其边长a ＝2Rsin(180°／n)。
例如，对于正六边形，n ＝ 6，外接圆半径为 5，则边长 a ＝2×5×sin(180°／6) ＝5×√3。
2、面积计算正 n 边形的面积 S ＝ 1/2 × n × a × r （其中 a 为边长，r 为边心距）以正四边形（正方形）为例，若边长为 a，边心距为 r，则面积 S ＝1/2 × 4 × a × r ＝ 2ar 。
因为在正方形中，r ＝ a/2，所以面积 S ＝ a²。
五、正多边形的作图1、用圆规和直尺作正多边形以正六边形为例，首先作一个圆，然后以圆的半径为长度，在圆周上依次截取六段弧，连接这些点，就得到了正六边形。
正多边形和圆讲义教案
正多边形和圆(一）一．内容综述正多边形的有关计算方法、圆及简单组合图形的周长与面积的计算方法，是本单元的重点。
实际上，这部分计算问题的解决大都是放在直角三角形（如下图△OAD）中解决的。
掌握这些知识，一方面可以为进一步学习打好基础，另一方面这些知识在生产和生活中常常用到，所以要给予足够的重视。
在正多边形的有关计算中，如果分别以αn、a n、r n、R n、P n和S n表示正n(n≥3,n为整数)边形的中心角、边长、边心距、半径、周长和面积，则有：①αn= ；②a n=2R n·sin ；③r n=R n·cos ；④+ ；⑤P n=na n；⑥S n= P n r n；⑦S n= n sin .（因为一个三角形的面积为：h·OB）注意两点：1、构造直角三角形（弦心距、边长的一半、半径组成的）求线段之间的关系等；2、准确记忆相关公式。
在圆的有关计算中，如果用R表示圆的半径，n表示弧或弧所所对的圆心角的度数，L 表示弧长，则有：①圆周长：C=2πR。
②弧长：L=③圆面积：S=πR2④扇形面积：S扇形= = LR⑤弓形面积可利用扇形面积与三角形面积的和或差来计算需根据不同的情况作出不同的处理：（1）当弓形所含弧为劣弧时，S弓=S扇-S△（2）当弓形所含弧为优弧时，S弓=S扇+S△（3）当弓形所含弧为半圆时，S弓= S圆⑥圆柱与圆锥的侧面积可以转化为计算侧面展开图的面积二．例题分析：例1.正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（）A、B、C、D、解：如图1，BF=2，过点A作AG⊥BF于G，则FG=1，又∵∠FAG=60°，故选B。
说明：正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。
例2.如图2，两个同心圆被两条半径截得的的长为6πcm, 的长为10πcm，若AB=12cm,求图中阴影部分的面积。
解：设∠O=α，由弧长公式得6π= , 10π= ,∴OA= , OB= .又∵AB=OB-OA,∴12= - ,∴α=60°,∴OA= =18, OB= =30.∴ 阴影部分的面积为：- = =96π说明：本题主要考察弧长、扇形面积的有关计算，要熟记公式，正确运用。
正多边形和圆一对一辅导讲义
1、了解正多边形的概念，探究正多边形与圆的关系；2、经历探索正多边形与圆的关系，理解正多边形的性质；第一课时正多边形与圆知识点梳理课前检测1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比( )A.扩大了一倍B.扩大了两倍C.扩大了四倍D.没有变化2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )A.3∶2∶1B.4∶3∶2C.4∶2∶1D.6∶4∶33.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴.4.中心角是45°的正多边形的边数是__________.5.已知△ABC的周长为20,△ABC的内切圆与边AB相切于点D,AD=4,那么BC=__________.知识梳理正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形．正多边形的相关概念：⑴正多边形的中心角；⑵正多边形的中心；⑶正多边形的半径；⑷正多边形的边心距正多边形的性质：⑴正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形； ⑵正多边形都是轴对称图形，正n 边形共有n 条通过正n 边形中心的对称轴； ⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心． 正多边形的有关计算⑴正n 边形的每个内角都等于()2180n n-⋅︒；⑵正n 边形的每一个外角与中心角相等，等于360n︒； ⑶设正n 边形的边长为n a ，半径为R ，边心距为n r ，周长为n P ，面积为n S ， 则2221801801112sincos 422n n n n n n n n n n n a R r R R r a P na S n r a r P n n ︒︒===+==⋅⋅=⋅，，，， 正多边形的画法1.用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆. 2.用尺规等分圆对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.第二课时 正多边形与圆典型例题题型一、正多边形的概念例1.填写下列表中的空格正多边形边数 内角 中心角 半径边长边心距 周长面积323 4 1 62变1.（1）若正n 边形的一个外角是一个内角的32时，此时该正n 边形有_________条对称轴. 典型例题（2）同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( ) A.26 B.43 C.36 D.34 例2.已知一个正三角形与一个正六边形的周长相等，求它们的面积的比值．解：设正三角形边长为a ，则其周长为C 1＝3a ，面积S 1＝a 2， 又设正六边形边长为b ，则周长为C 2＝6b ．面积S 2=b 2，由C 1=C 2，知,a=2b,∴S 1∶S 2=a 2∶b 2=b 2∶b 2=,故它们的面积的比值为2∶3。
多边形和正多边形镶嵌一对一辅导讲义(20200919163720)
一对一个性化辅导讲义学科：数学任课教师：授课时间：20 14 年月日(星期)姓名年级七性别学习内容多边形复习上课次数2学1、理解多边形及正多边形的定义•习2、了解多边形的外角定义，并能准确找出多边形的外角.目标3、掌握多边形的内角和、外角和公式，利用内角和与外角和公式解决实际问题.难占八、、重点：多边形的内角和、外角和公式及其应用•重占八、、难点：多边形的内角和、外角和公式及其应用•一、中考知识清单(一)多边形的概念，1、如图(1)它是由不在同一直线上的4条线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形ABCD。
(按顺时针或逆时针方向书写)DCA <〉C E OA BB(1)(2)图(2)是由不在同一直线上的5条线段首尾顾次连结组成的平面图形，记为一般地，，记为n边形，又称多边形。
2、连接多边形不相邻的两个顶点的线段是它的对角线，四边形有两条对角线，五边形有五条对角线，n边形有- n(n 3)条对角线,2从同一个顶点出发的对角线有(n —3)条。
3、多边形的内角和公式。
民- 一 -—\\、、1i "儿(1) n边形的内角和等于•这是因为，从n边形的一个顶点出发,可以引条对角线，它们将此n边形分为个三角形. 而这些三角形的内角和的总和就是此n边形的内角和，所以，此n边形的内角和等于180°x(2)请按下面给出的思路，进行推理填空.如图，在n边形A1A2A3…A n-l A n内任取一点0,依次连结____________ 、_______ 、______ 、……、 ______ 、 _____ •则它们将此n边形分为_______ 三角形，而这些三角形的内角和的总和，减去以0为顶点的一个周角就是此多边形的内角和•所以，n边形的内角和=180°X ____________ -( ) = ( ) X 180°.(二)用正多边形拼地板(1 )正n边形的每一个内角等于________ ，每一个外角等于_______(2) ___________________________ .正三角形的内角度数为 _____ ,正方形的内角度数为 ___________________________ ，正五边形的内角度数为_______ ,正六边形的内角度数为_________ ,正八边形的内角度数为 ________ 正十二边形的内角度数为_________ 。
正多边形和圆复习课件
这两个正多边形非常特殊，特别 是它们的内切和外接圆，而且计 算产生周长和面积的公式都非常 有趣。
划分和等分多边形
使用对角线可以划分多边形，知 道对角线数量可以计算划分的数 量。而等分多边形可以使用对角 线和其他方法来实现。
圆
基本概念和性质
圆可以理解为一个没有边缘的，无限大的正多边形。弧、圆心角和其他特征非常有趣，有很 多定理和应用。
2
题目二
一个扇形的圆心角是150度，它的圆周长是24cm，求这个扇形的面积。
3
题目三
在一个正六边形中，一条对角线和一条边的夹角大小为30度，求这个正六边形 的对角线数量和对称轴数量。
本课程总结
重点和难点
本课程的重点是在让学生了解正 多边形和圆的基本概念、性质、 公式和用途。而本课程的难点在 于教授学生高阶数学概念时需要 进行更全面和详细的解释。
弧长和扇形面积计算
弧可以被计算为是圆周的一部分，常常使用度数或者弧度来计算面积。而扇形是圆内的一个 部分，可以使用它的圆心角大小计算面积。
相关定理
圆心角定理、弦长定理、切线定理以及弦切角定理是非常常见的圆形应用。每个定理都可以 解决不同的问题，所以需要加速掌握。
综合练习
1
题目一
正五边形中，一条对角线的长度等于边长的平方根，这个正五边形的内角和是多 少？
正多边形和圆复习ppt课 件
欢迎来到正多边形和圆的复习课程！将会在本课程中，通过多种有趣的布局 设计，深入浅出地介绍正多边形和圆的基本概念、性质、公式和用途。快来 跟我一起探索这个有趣而又美妙的数学世界吧！
正多边形
定义和性质
正三角形个 角的多边形，这些角的大小相等， 而且多边形的对角线和对称轴数 量都有公式。
《正多边形和圆》知识全解
《正多边形和圆》知识全解
课标要求
了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.
知识结构
本章主要知识是正多边形的有关概念，正多边形的有关计算，以及正多边形的有关画法等内容.由于以前学过正多边形的概念，所以我们先复习正多边形的概念，然后根据正多形的概念和圆的有关性质说明了正多边形和圆的关系.其中掌握正多边形定义是学习好正多边形问题的关键.
内容解析
正多边形的定义中，“各边相等”“各角相等”是正多边形的两个特征，由于三角形具有稳定性，所以三角形可由“各边相等”推出“各角相等”，也可以由“各角相等”推出“各边相等”，而对于大于3的正多边形，这两个条件是互相独立的.
对于正多边形和圆的关系，要结合图形，明确证明的思路：弧相等→弦相等、圆周角相等→多边形各边相等、各角相等→多边形是正多边形.
只要把圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这是画正多边形和正多边形计算的理论依据，而且它提示了正多边形与圆的内在联系，从而可用圆的知识来研究正多边形的问题，又可以利用正多边形的有关计算解决圆的计算问题.
关于正多边形的计算，如果正n边形的边数给定，已知它的边长、周长、半径、边心距、面积中的任意一项，都可以求出其他各项.
正多边形的画法关键是等分圆周，有两种等分圆的方法，即用量角器等分圆周，用尺规等分圆周.
重点难点
重点：正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系、正多边形的有关计算.
难点：正多边形与圆的关系.
教法导引
充分发挥学生的主观能动性，给学生自学的时间，结合图形理解其性质，理清学生的思路.
学法建议
要敢于探索新知，学会总结规律，运用已有知识进行大胆思考，培养良好的推理能力.。
正多边形与圆同步教学讲义
正多边形与圆____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.掌握圆内接多边形的性质；2.掌握内接圆的性质；3.掌握圆内接多边形和内接圆的应用.1.三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形__________的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．(2)三角形的外心：是三角形__________的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点．2.三角形的内切圆、外接圆三角形的内切圆：对比三角形的外接圆来学习三角形的内切圆三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆三角形外接圆的圆心叫三角形的外心三角形的外心到三角形______________相等三角形的外心是三角形三边中垂线的交点三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆三角形内切圆的圆心叫三角形的内心三角形的内心到_________的距离相等三角形的内心是三角形三角平分线的交点3.圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角________，外角等于内对角．(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形______________．4.正多边形与圆在正多边形的有关计算中，如果分别以αn、a n、r n、R n、P n和S n表示正n(n≥3,n为整数)边形的中心角、边长、边心距、半径、周长和面积，则有：①αn=；②a n=2R n·sin；③r n=R n·cos；④+；⑤P n=na n；⑥S n=P n r n；⑦S n=n sin.（因为一个三角形的面积为：h·OB）注意两点：1.构造直角三角形（弦心距、边长的一半、半径组成的）求线段之间的关系等；2.准确记忆相关公式。
《正多边形与圆》讲义
第 8 讲 正多边形与圆圆内正多边形的计算 （1）正三角形在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在Rt BOD∆中进行：::1:3:2OD BD OB =；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，::1:1:2OE AE OA =：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，::1:3:2AB OB OA =.重点:正多边形的概念与正多边形和圆的关系． 难点：对定理的理解以及定理的证明方法．1如图，AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点P 在圆O 上，∠1=∠BCD 。
（1）求证：CB//PD 。
（2）若BC=3，sin ∠BPD=53，求圆的直径。
No. 8 Date Time NameDCBAOECBA D OBAO2,如图,在平面直角坐标系xOy中,圆O交x轴于A、B两点,直线FA⊥x轴于点A,点D在FA 上,且DO平行圆O的弦MB,连DM并延长交x轴于点C.(1)判断直线DC与圆O的位置关系,并给出证明;(2)设点D的坐标为（-2,4）,试求MC的长及直线DC的解析式。
【正多边形与圆】1．若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角的度数是_______，半径是_______，边心距是_______，它的每一个内角是_______．正n边形的一个外角度数与它的_______角的度数相等．2．已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是( )A．八边形B．十二边形C．十边形D．九边形3．边长为a的正六边形的内切圆的半径为( )A．2a B．a C．32a D．12a【直线与圆的位置关系】1．如图，BD为⊙O的直径，直线ED为⊙O的切线，A，C两点在圆上，弦AC平分∠BAD 且交BD于点F．若∠ADE=19°，则∠AFB的度数为（）A．97°B．104°C．116°D．142°第1题第2题2．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB，AC于点E，D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（）A．4 B．33C．6 D．233．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，P是直线l上的一个动点，PB切⊙O 于点B，则PB的最小值是（）A．13B．5C．3 D．2第3题第4题4．如图，线段AB是⊙O的一条直径，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E= ．5．如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D，AC=2，AO=5，则OD的长度为．第5题第6题6．如图，射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以1cm/s的速度向右移动，经过t s，以点P为圆心，3cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值：．7．如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过点C作CD⊥AB于点D，CD 交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）求证：AF=CF；（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．【切线有关的计算】2017星海月考1、2、3、年月日五、圆有关的证明和计算（切线，线段相等，角相等，三角函数，相似）。
《正多边形和圆》复习讲义
《正多边形和圆》复习讲义【知识点1】正多边形及有关概念 （1） 正多边形的定义 （2） 正多边形的中心 （3） 正多边形的中心角 （4） 正多边形的半径 （5） 正多边形的边心距【例1】如图，已知⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，且⊙O 的半径为R ，求正方形ABCD 的边长、边心距、面积.【例2】一个长方体的香烟盒，装满大小均匀的20支香烟，打开香烟盒的顶盖后，20支香烟排成三行，如下图所示，经测量一支香烟的直径为0.75cm ，长约8.4cm. （1） 试计算香烟盒顶盖ABCD 的面积；（计算结果不取近似值）（2） 制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张？（不计算重叠粘合部分，计算结果精确到0.1cm 2，73.13≈）【练习1】已知：如图，△ABC 是⊙O 的内接等腰三角形，顶角∠BAC=36°，弦BD 、CF 分别平分∠ABC 、∠ACB.求证：五边形AEBCD 是正五边形.【练习2】如图，已知⊙O 的半径为R ，正六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，求正六边形ABCDEF 的周长和面积.【练习3】如图，⊙O 为正三角形ABC 的内切圆，四边形EFGH 为⊙O 的内接正方形，且 EF=2，求正三角形的边长.【知识点2】正多边形的对称性（1） 正n 边形是旋转对称图形，最小旋转角为n360︒； （2） 对于正n 边形而言：① 当n 为奇数时 ； ② 当n 为偶数时 ；【例3】一个正多边形绕它的中心旋转36°后，才与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形是 .【练习4】下列既是轴对称图形又是中心对称图形的有 （填序号）.【知识点3】正多边形的画法（1）用量角器（2）尺规作图【知识点4】正多边形的有关计算【例4】已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，图中阴影部分面积是312，求⊙O的半径.【例5】如果一个正六边形的面积与一个正三角形的面积相等，求正六边形与正三角形的内切圆的半径之比.【练习5】如图，圆内接正五边形ABCDE，对角线AC与BD相交于点P，求∠APB.【练习6】如图，已知⊙O的外切正六边形的半径为4，求该圆的内接正三角形的边心距. 【知识点5】正多边形规律性问题的综合应用【例3】如图，点M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC，内接正方形ABCD，内接正五边形ABCDE，…，内接正n边形的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON.（1）求图1中的∠MON的度数；（2）在图2中，∠MON的读数为，在图2中，∠MON的读数为，（3）试探索∠MON的度数与正n边形的边数n之间的关系.（直接写出答案）【练习7】如图，E、D分别是正三角形ABC，正方形ABCM，正五边形ABCMN中以C为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于点P.（1）求图1中∠APD的度数；（2）在图2中，∠APD的度数为，在图3中∠APD的度数为；（3）根据前面的探索，你能否将本题推广到一般正n边形情况，若能，请写出推广后的结论，若不能请说明理由.。
24.3.1正多边形和圆(第1课时)(讲课用)
A
.O
D
C
4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做 中心 正方形ABCD的____________. 5、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做 边心距 正方形ABCD的____________
A
D
.O
B
E
C
6、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的 边心距 ,它是 弦心距OF叫正五边形ABCDE的_______ 内切 圆的半径。 正五边形ABCDE的_______
中心 角 7,∠AOB叫做正五边形ABCDE的_______ 72度 它的度数是______ D
E C
.O A
F B
∠ AOB 8,图中正六边形ABCDEF的中心角是 ______ 60度 它的度数是______ 9,你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有 什么数量关系？为什么？
E
D
F
.O A B
A B B
O· C
E
D
我们以圆内接正五边形为例证明. 如图,把⊙O分成相等的5段弧,依次连接 各分点得到正五边形ABCDE. ∵AB=BC=CD=DE=EA ∴ AB=BC=CD=DE=EA, ∴BCE=CDA=3AB ∴ ∠A=∠B. 同理∠B=∠C=∠D=∠E.
B A E
O·
C
D
又∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上, ∴ 五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形,
弦CD
圆 中心O 内 半径OA（R） 接 正 中心角∠AOB 多 边心距OM(r) 边 形 边CD
C M D
1,O是正△ABC的中心，它是△ABC
内切 圆的圆心。 外接 圆与________ 的_______
半径 ，它 2,OB叫正△ABC的_______ 外接 圆的半径. 是正△ABC的 _______ 边心距 ， 3,OD叫作正△ABC的________ 内切 圆的 它是正△ABC的_______ 径. B
24.3 正多边形与圆讲义 教师版
24.3 正多边形和圆【学习目标】1.了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系。
2.知道正多边形的对称性。
了解用量角器等分圆心角来等分圆，从而做出圆内接或圆外切正多边形。
3.会用圆规作圆内接正方形和正六边形，能作圆内接正三角形、正八边形、正十二变形。
知识点一正多边形和圆的关系1.正多边形：各边相等，各角也相等的多边形2.正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．【例题】如图所示，六边形ABCDEF内接于⊙O，且AB=BC=CD=DE=EF=FA.求证：六边形ABCDEF为正六边形。
【解析】判断一个圆内接多边形是正多边形，关键是判断多边形的各顶点都是等分圆的点即可【解】∵六边形ABCDEF内接于⊙O,且AB=BC=CD=DE=EF=FA.∴弧AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EF=弧FA∴A.B.C.D.E.F六等分⊙O∴六边形ABCDEF为正六边形【变式1】正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数为（）A．10 B．8 C．6 D．5【考点】正多边形和圆．【分析】设这个正多边形的边数是n，再根据正多边形的中心角是36°求出这个正多边形的边数即可．【解答】解：设这个正多边形的边数是n，∵正多边形的中心角是36°，∴=36°，解得n=10．故选A．【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角是解答此题的关键．【变式2】正八边形的中心角是（）A．45°B．135°C．360°D．1080°【考点】正多边形和圆．【分析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；故选A．【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．知识点二正多边形的有关概念与计算正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．【例题】有一个亭子，它的地基是半径为8m的正六边形，求地基的周长和面积．（结果保留根号）【考点】正多边形和圆．【分析】连接OB、OC求出圆心角∠BOC的度数，再由等边三角形的性质即可求出正六边形的周长；过O作△OBC的高OG，利用等边三角形及特殊角的三角函数值可求出OG的长，利用三角形的面积公式即可解答．【解答】解：连接OB、OC；∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC==60°，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OB=8m，∴正六边形ABCDEF的周长=6×8=48m．过O作OG⊥BC于G，∵△OBC是等边三角形，OB=8m，∴∠OBC=60°，∴OG=OB•sin∠OBC=8×=4m，∴S△OBC=BC•OG=×8×4=16，∴S六边形ABCDEF=6S△OBC=6×16=96m2．【点评】本题考查的是正六边形及等边三角形的性质、特殊角的三角函数值，作出辅助线构造出等边三角形是解答此题的关键．【变式】已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．【分析】根据正六边形的半径等于边长即可得出正六边形的周长，再由三角函数求出边心距，即可求出正六边形的面积．【解答】解：∵正六边形的半径等于边长，∴正六边形的边长AB=OA=a；正六边形的周长=6AB=6a；∵OM=OA•sin60°=a，正六边形的面积S=6××a×a=a2．【点评】本题考查的是正六边形的性质、三角函数、三角形面积的计算，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．知识点三正多边形的画法要作半径为R的正n边形，只要把半径为R的圆n等分，然后顺次连接各等分点即可。
正多边形和圆 同步讲义 08(教师版)
正多边形和圆同步讲义08一、圆的内接四边形1．定义：四边形的各个顶点都在同一个圆上，则称该四边形是圆的内接四边形，圆是四边形的外接圆。
如图1，D图12．性质：圆的内接四边形，对角互补，一个外角等于它的内对角。
如图2，∠A+∠DCB=180°；∠B+∠ADC=180°∠DCE=∠AD图2二、圆的外切四边形1．定义：四边形的各边与圆都相切，则称四边形是圆的外切四边形，圆是四边形的内切圆。
如图3OH G FE D CB A图32．性质：圆的外切四边形，对边的和相等。
AB+CD=AD+BC三、圆的外切（或内接）正多边形1．正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2．正多边形与圆的有关定理：把圆分成n(n≥3)等份，（1）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形；（3）任何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆，这两个圆是同心圆3．正多边形的其它性质（1）正多边形都是轴对称图形，每条对称轴都通过正n边形的中心；偶数边的正多边形是中心对称图形，它的中心就是对称中心。
（2）边数相同的正多边形相似。
4．正多边形的有关概念正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心，也是内切圆的圆心，如图点O正多边形的半径：外接圆的半径，如图4，OA正多边形的边心距：内切圆的半径，如图4，OM正多边形的中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角,如图∠AOB图45．正n边形的有关计算基本思路，是化为三角形解题。
常用辅助线，是连半径，作边心距。
正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。
如图5B A O r R图5（1）每个内角=（2）每个外角=（3）中心角=（4）正n 边形的边长；（5）内切圆的半径r=（6）正n 边形的周长P=（7）中n 边形的面积S=（8）一个圆的内接正n 边形和外切正n 边形是相似形，相似比是两个正多边形的半径之比。
正多边形与圆一对一辅导讲义
课题正多边形与圆授课时间：2016-03-04 19：00——21:00 备课时间：2016-03-03 教学目标1、了解正多边形的概念，探究正多边形与圆的关系；2、经历探索正多边形与圆的关系，理解正多边形的性质；重点、难点1、正多边形及正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念与计算2、正多边形与圆的关系及正多边形的性质考点及考试要求1、正多边形的定义2、正多边形与圆的关系3、正多边形的性质教学内容第一课时正多边形与圆知识点梳理1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比( )A.扩大了一倍B.扩大了两倍C.扩大了四倍D.没有变化2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )A.3∶2∶1B.4∶3∶2C.4∶2∶1D.6∶4∶33.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴.4.中心角是45°的正多边形的边数是__________.5.已知△ABC的周长为20,△ABC的内切圆与边AB相切于点D,AD=4,那么BC=__________.课前检测正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形． 正多边形的相关概念：⑴正多边形的中心角；⑵正多边形的中心；⑶正多边形的半径；⑷正多边形的边心距 正多边形的性质：⑴正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形； ⑵正多边形都是轴对称图形，正n 边形共有n 条通过正n 边形中心的对称轴； ⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心． 正多边形的有关计算⑴正n 边形的每个内角都等于()2180n n-⋅︒；⑵正n 边形的每一个外角与中心角相等，等于360n︒； ⑶设正n 边形的边长为n a ，半径为R ，边心距为n r ，周长为n P ，面积为n S ， 则2221801801112sin cos 422n n n n n n n n n n n a R r R R r a P na S n r a r P n n ︒︒===+==⋅⋅=⋅，，，， 正多边形的画法 1.用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆. 2.用尺规等分圆知识梳理对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.第二课时 正多边形与圆典型例题题型一、正多边形的概念例1.填写下列表中的空格 正多边形边数 内角中心角 半径边长 边心距 周长面积 3 23 4 1 62变1.（1）若正n 边形的一个外角是一个内角的32时，此时该正n 边形有_________条对称轴. （2）同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )A.26 B.43 C.36 D.34 例2.已知一个正三角形与一个正六边形的周长相等，求它们的面积的比值．典型例题解：设正三角形边长为a ，则其周长为C 1＝3a ，面积S 1＝a 2， 又设正六边形边长为b ，则周长为C 2＝6b ．面积S 2=b 2，由C 1=C 2，知,a=2b,∴S 1∴S 2=a 2∴b 2=b 2∴b 2=,故它们的面积的比值为2∴3。
正多边形和圆 复习讲义 01(教师版)
正多边形和圆复习讲义01一、知识点回顾1．基本概念：只要把一个圆分成__________的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的__________．一个正多边形的外接圆的__________叫作这个正多边形的中心，外接圆的__________叫作这个正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的__________；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的__________.2．正n边形的一个内角的度数为__________，中心角的度数等于__________。
3．圆内接正三角形、正方形、正六边形边长之比：__________边心距之比：__________。
二、课上练习1．正八边形的中心角是（）A．45°B．135°C．360°D．1080°2．下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形3．如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．则正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比为（）A．∶3 B∶1 C D．14、已知正六边形的边长是2，则该正六边形的边心距是（）A．1 B C．2 D∠=（）5．如图，正五边形ABCDE内接于O，点P是劣弧BC上一点（点P不与点C重合），则CPDA ．45︒B ．36︒C ．35︒D ．306．如图，O 的外切正八边形ABCDEFGH 的边长2，则O 的半径为（ ）A ．2B ．1+C ．3D ．2+7．已知正六边形的半径为r ，则它的边长、边心距、面积分别为（ ）A ．233r ，r ，3r2B ．r ，r 2，23r2C ．33r ，r ，3r2D ．r ，3r 2，332r28．如图，AC 是⊙O 的内接正六边形的一边，点B 在弧AC 上，且BC 是⊙O 的内接正十边形的一边，若AB 是⊙O 的内接正n 边形的一边，则n=__________．9．如图，五边形ABCDE 为O 的内接正五边形，则CAD ∠=__________．三、课后作业1．以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边长作三角形，则该三角形的面积是（ ）A ．38B ．34C ．24D ．28 2．如图，O 是正六边形ABCDEF 的外接圆，P 是弧AB 上一点，则CPD ∠的度数是（ ）A ．30B ．40︒C ．45︒D ．60︒3．如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，点F 为BC 上一点，连接AF ，若∠AFC ＝126°，则∠BAF 的度数为__________．4．若正方形的外接圆的半径为2，则其内切圆的半径为（ ） A ． 2 B ．2 2 C ．22 D ．15．如图，AB ，AC 分别为⊙O 的内接正四边形与内接正三角形的一边，而BC 恰好是⊙O 内接正n 边形的一边，则n 等于__________．6．如图2，M ，N 分别是⊙O 的内接正三角形ABC ，正方形ABCD ，正五边形ABCDE ，…，正n 边形ABCDEFG…的边AB ，BC 上的点，且BM ＝CN ，连接OM ，ON.(1) 求图①中∠MON 的度数；(2) 图②中∠MON 的度数是__________，图③中∠MON 的度数是__________；(3) 试探究∠MON 的度数与正n 边形的边数n 的关系(直接写出答案)．四、中考真题：1．如图，等边三角形ABC 和正方形ADEF 都内接于O ，则AD:AB=（ ）A ．BC D2．设边长为a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h 、r 、R ，则下列结论不正确的是（）A ．h R r =+B ．2R r =C ．r =D ．R =3．在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为__________．正多边形和圆复习讲义01参考答案及解析二、课上练习1．【答案】：A2．【答案】A【解析】∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3＝120°，正方形一条边所对的圆心角是360°÷4＝90°，正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5＝72°，正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6＝60°，∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形．故选A.3．【答案】A【解析】设此圆的半径为R，R，它的内接正六边形的边长为R，内接正方形和内接正六边形的周长比为：R：6R＝3．故选：A．4．【答案】B【解析】如图，连接OA，作OM⊥AB．∵正六边形ABCDEF的边长为2，∴∠AOM=30°，AM12=AB12=⨯2=1，∴正六边形的边心距是OM tanAMAOM∠===故选B．5．【答案】B【解析】解：如图，连接OC ，OD ，ABCDE 是正五边形，∠COD=720∠CPD 为∠COD 的一半。
正多边形和圆复习课件
圆周率与圆的性质
总结词
圆周率的概念和与圆的性质的关系
详细描述
圆周率是指圆的周长与其直径的比值，常用希腊字母π表示。它是一个无理数，即无限不循环小数，其值约等于 3.14159。圆周率在圆的性质中有着重要的应用，如计算圆的面积、周长等。
03
正多边形与圆的关系
正多边形的内切圆
01
02
03
定义
正多边形的内切圆是指与 正多边形各边都相切的圆 。
总结词
圆的基本定义和特点
详细描述
圆是一个平面图形，由所有到定点距离等于定长的点组成。圆的特点包括圆上 各点到定点距离相等，以及圆内任一点到圆上任一点的距离最长。
半径与直径
总结词
圆的半径和直径的定义和性质
详细描述
圆的半径是指从圆心到圆上任一点的线段，直径则是穿过圆心且两端点在圆上的 线段。半径和直径都等于圆的任意点到圆心的距离。半径是直径的一半，直径是 半径的两倍。
性质
内切圆的圆心是正多边形 的中心，半径等于正多边 形边心距的一半。
应用
在几何作图和计算中，内 切圆是常用的工具，可以 帮助我们快速找到正多边 形的中心和计算边心距。
正多边形的外接圆
定义
正多边形的外接圆是指经过正多 边形各顶点的圆。
性质
外接圆的圆心是正多边形的中心， 半径等于正多边形边长的一半。
应用
THANKS。
04
几何证明与计算
正多边形的证明
正多边形的定义
正多边形是指各边相等，各内角相等 的多边形。
证明方法
利用等腰三角形和等边三角形的性质 ，通过作辅助线，将多边形分解为多 个等腰三角形或等边三角形，从而证 明正多边形的各边和内角相等。
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1、了解正多边形的概念，探究正多边形与圆的关系；
2、经历探索正多边形与圆的关系，理解正多边形的性质；
第一课时正多边形与圆知识点梳理
课前检测
1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比( )
A.扩大了一倍
B.扩大了两倍
C.扩大了四倍
D.没有变化
2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )
A.3∶2∶1
B.4∶3∶2
C.4∶2∶1
D.6∶4∶3
3.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴.
4.中心角是45°的正多边形的边数是__________.
5.已知△ABC的周长为20,△ABC的内切圆与边AB相切于点D,AD=4,那么BC=__________.
知识梳理
正多边形的定义：
各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形．
正多边形的相关概念：
⑴正多边形的中心角；⑵正多边形的中心；⑶正多边形的半径；⑷正多边形的边心距
正多边形的性质：
⑴正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形； ⑵正多边形都是轴对称图形，正n 边形共有n 条通过正n 边形中心的对称轴； ⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心． 正多边形的有关计算 ⑴正n 边形的每个内角都等于
()2180n n
-⋅︒；
⑵正n 边形的每一个外角与中心角相等，等于
360n
︒
； ⑶设正n 边形的边长为n a ，半径为R ，边心距为n r ，周长为n P ，面积为n S ， 则222180180111
2sin
cos 422
n n n n n n n n n n n a R r R R r a P na S n r a r P n n ︒︒===+==⋅⋅=⋅，，，， 正多边形的画法
1.用量角器等分圆
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆. 2.用尺规等分圆
对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
第二课时 正多边形与圆典型例题
题型一、正多边形的概念
例1.填写下列表中的空格 正多边形边数 内角 中心角 半径
边长 边心距 周长
面积 3
23 4 1 6
2
变1.（1）若正n 边形的一个外角是一个内角的
3
2
时，此时该正n 边形有_________条对称轴. 典型例题
（2
）同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( ) A.
26 B.43 C.3
6
D.34
例2.已知一个正三角形与一个正六边形的周长相等，求它们的面积的比值．
解：设正三角形边长为a ，则其周长为C 1＝3a ，面积S 1＝a 2， 又设正六边形边长为b ，则周长为C 2＝6b ．面积S 2=b 2，
由C 1=C 2，知,a=2b,
∴S 1∶S 2=a 2∶b 2=b 2∶b 2=,
故它们的面积的比值为2∶3。
变2.若正三角形、正方形、正六边形和圆的周长都相等，那么____________的面积最大；若它们的面积都相等，那么_____________的周长最大．
题型二、正多边形的性质
例3.下面给出六个命题：
①各角相等的圆内接多边形是正多边形；②各边相等的圆内接多边形是正多边形； ③正多边形是中心对称图形；④各角均为120 的六边形是正六边形；
⑤边数相同的正n 边形的面积之比等于它们边长的平方比；⑥各边相等的圆外切多边形是正多边形 其中，错误的命题是_____________．
变3.（1）正n 边形内接于半径为R 的圆，这个n 边形的面积为23R ，则n 等于____________． （2）正八边形每一个外角是多数等于_______．N 边形每一个内角等于________． 例4.已知：如图在△RtABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝3，BC ＝4，分别以各边为直径在AB 同侧作半圆，求阴影部分的面积．
解：在Rt△ABC 中，∵AC＝3，BC ＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝5。
43
23
343233323
332
G
F
E D
C
B
O A 则图中阴影部分的面积为S 阴=π×()2+π×()2+×3×4-π×()2=+2π+6-=6
故图中阴影部分的面积为S 阴=6个（平方单位）．
变4.如图，两相交圆的公共弦AB 为32，在⊙O 1中为内接正三角形的一边，在⊙O 2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比。
题型三、正多边形的证明
例5.如图，△AFG 中，AF = AG ，∠FAG = 108°，点C 、D 在FG 上，且CF= CA ，DG = DA ，过点A 、C 、D 的⊙O 分别交AF 、AG 于点B 、E 。
求证：五边形ABCDE 是正五边形。
变5.如图，⊙O 的内接正五边形AB CDE 的对角线AD 与BE 相交于点M ，（1）请你仔细观察图形，并直接写出图中的所有等腰三角形；（2）求证：BM 2＝BE · ME ；（3）设 BE 、 ME 的长是关于 x 的一元二次方程x 2-2x+k ＝0的两个根，试求k 的值，并求出正五边形ABCDE 的边长．
2123212421212589π825π
5
第三课时 正多边形与圆课堂检测
1.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( ) A.
63 B.43 C.332 D.3
3
2.已知正多边形的边心距与边长的比为
2
1
，则此正多边形为( ) A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形 3.已知正六边形的半径为3 cm ，则这个正六边形的周长为__________ cm.
4.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于___________度.
5.如图2.6-2，两相交圆的公共弦AB 为23，在⊙O 1中为内接正三角形的一边，在⊙O 2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.
课堂检测
图2.6-2
6.某正多边形的每个内角比其外角大100°，求这个正多边形的边数.
7.如图2.6-3，在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？
图2.6-3
8.如图2.6-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形(小组之间参与交流、评价).
图2.6-4
9.用等分圆周的方法画出下列图案：
图2.6-5
10.如图2.6-6(1)、2.6-6(2)、2.6-6(3)、…、2.6-6(n)，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON.
图2.6-6
(1)求图2.6-6(1)中∠MON的度数；
(2)图2.6-6(2)中∠MON的度数是_________，图2.6-6(3)中∠MON的度数是_________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).。