(1)数的整除 (5)
五年级数学讲义数的整除
数的整除月日姓名【知识要点】1．整除概念：一个整数除以另一个整数，得到的商也是一个整数，叫做整除。
2．较常见数的整除特征：（一）能被2、5、4、25、8、125整除的数的特征：①末一位能被2或5整除；②末两位能被4或25整除；③末三位能被8或125整除。
（二）能被3、9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除。
（三）能被6整除数的特征：既能被2整除又能被3整除。
3．能同时被2、5、3、9整除的数满足。
①末尾是0。
②各个数位上的数字之和能被9整除。
【典型例题】例1 谁能又快又好的写出下面的答案.（千万不要落下一个噢）26□4能被2整除. 259□能被5整除2□93能被3整除 6□93能被9整除51□4能被4整除 63□□能被25整除61□6能被8整除 98□□□能被125整除例2 5□4□（1）能同时被5和9整除（2）能被45整除呢？例3ab25这个四位数，能同时被2，3，5，9整除，则此四位数是_________.例 4 一位马虎的采购员买了72只桶,洗衣服时将购货票,洗坏了,只能看到:72只桶.共□67.9□元,请你帮他算一下这次采购一共用了多少钱?随堂小测月日姓名 1.下列数中12、25、100、36、18、99、111、250能被2整除的有（）.能被3整除的有（）.能被6整除的有（）.能被9整除的有（）.能被25整除的有（）.2．四位数BA18能同时被5、6整除，这个四位数是_________.3．7□11□能被12整除，则此5位数是__________.4 AB45这个四位数，同时能被2，3，4，5，9整除，求此四位数。
课后作业月日姓名1．填出所有的情况下的数。
762□能被2整除870□能被5整除93□76能被2整除9□391能被9整除87□4能被4整除81□5能被25整除7312□能被8整除73□25能被地125整除2．四位数392□能被6整除的所有符合条件的数。
3．五位数7□36□同时能被2.5和9整除，则此五位数是_________.。
数的整除(5)
数的整除练习（五）1、一个四位数，四个数字各不相同，且是17的倍数，符合条件的最小四位数是多少？2、55个苹果分给甲乙丙三人，甲的苹果个数是乙的2倍，丙最少但也多于10个。
问：三人各得多少苹果？3、有一水果店进了六筐水果，分别装着香蕉和橘子，重量分别为8、9、16、20、22和27千克。
当天只买出一筐橘子，在剩下的五筐中香蕉的重量是橘子的重量的2倍。
问：这天水果店进了多少千克香蕉？4、有一个两位数，它的最小的两个约数之和是4，最大的两个约数之和是100，求这个自然数。
5、有一个自然数，，它的最大的两个约数之和是123，求这个自然数。
6、两个数的和是836，其中一个数的末尾是0，当把这个0抹去时就与另一个数相等。
这两个数各是多少？7、三个连续自然数的最小公倍数是168，求这三个数。
8、甲、乙、丙、丁四人绕城墙长跑，他们跑一圈分别需要1分钟、1分10秒、1分20秒和1分30秒。
问：三人同时从起点出发，多少分钟后他们又在起点相会？9、甲、乙两人同时从A点背相出发，沿400米环形跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，两人至少经过多少分钟才能在A点相遇？10、学校开运动会，在400米环形操场边上每隔16米插一杆彩旗，共插了25杆。
后来又增加了一些彩旗，就把彩旗的间隔缩短了，起点的彩旗不动，重新插完后发现，一共有5杆彩旗没动。
问：现在彩旗的间隔是多少米？11、大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一地点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长，亮亮每步长50厘米，爸爸每步长75厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。
问：这个花圃的周长是多少米？12、78个小朋友围成一圈，从某个小朋友开始进行1—18报数，如果报数一圈一圈地循环进行下去，问：至少有多少个小朋友报过数字1，有没有同时报过5和10？13、有一篮子鸡蛋，按每四个一堆分多一个，按每五个一堆分也多一个，按每六个一堆分还是多一个，这篮鸡蛋至少有多少个？14、一个圆的周长共60厘米，从圆周的某一点开始，沿着圆周每隔16厘米取一点，直到与原点重合为止。
五年级数的整除
数的整除一、整除的概念：a÷b=c，整数a除以整数b(b≠0),除得的商正好是整数而没有余数（或者余数为零）就叫做a能被b整除，或者说b能整除a，a是b的倍数，b是a的因数二、整除的性质（1）如果数a是b的倍数，c是整数，那么积ac也是b的倍数例：24是8的倍数，5是整数，5×24的积也是8的倍数（2）如果数a和b都是c的倍数，那么（a+b）与（a-b）也是c的倍数例：24和30都是6的倍数，那么（24+30）与（30—24）也是6的倍数（3）如果a是b的倍数，b又是c的倍数，那么a也是c的倍数例：24是12的倍数，12又是6的倍数，那么24也是6的倍数（4）如果a同时是b、c的倍数，而且b和c是互质数，那么a一定是bc的倍数例：24是2、3的倍数，2、3互质，24也是2×3的倍数（5）如果数b是a的因数，或者a含有因数b,那么a就是b的倍数例：60含有因数15，那么60就是15的倍数三、整除的特征（1）4或25的倍数的特征：如果一个自然数的末两位的数字所组成的数能被4、25整除，那么这个数就是4或25的倍数例：58372的末两位是72, 72是4的倍数，那么58372就是4的倍数57325的末两位是25,25是25的倍数，那么58325就是25的倍数（2）8或125的倍数特征：如果一个自然数的末三位的数字所组成的数能被8、125整除，那么这个数就是8或125的倍数例：58272的末三位是272, 272是8的倍数，那么58272就是8的倍数57375的末三位是375,375是125的倍数，那么58375就是125的倍数（3）7,11,13的倍数的特征：如果一个自然数的末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差（大减小）能被7,11,13整除，那么这个数就是7,11,13的倍数例：1059282是否是7的倍数：把1059282分成1059和282两个数，因为1059-282=777，又777能整除7，所以1059282是7的倍数若一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（大减小）能被11整除，那么这个数就是11,的倍数例：123456789的奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25，偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20，因为25—20=5，因为5不能被11整除，所以123456789不能被11整除1.判断3546725能否被13整除？2.一个四位数9（）2（）既有因数2，又是3的倍数，同时又能被5整除，这四个数最大是多少？3.378287、ABCABC这两个数能否被7，11,13整除？4.一个六位数（）6879（）首尾不祥，只知道这个六位数能被72整除，这个六位数是多少？5.一个整数能被13整除，这个数的最后三位数是339，那么这样的整数中最小的是多少？6.同时被3、4、5整除的最大四位数是多少？7.从1到9这九个数字中任选六个数字组成36的倍数，这样的六位数中最大的数是多少？最小的数是多少？8.已知A是一个自然数，并且它的各数位上的数字只有0和8两数，已知这个数是6 的倍数，A最小是多少？9.在257后面补上三个数字组成一个各数位上的数字都不相同的六位数，使它能被60整除，这样的六位数中最小的是多少？10.3（）6（）5是一个五位数，且是75的倍数，若想使3（）6（）5无重复数字，这个五位数是多少？答案：1.能 2.9720 3. 78287不能能 4.468729 5.1339 6.9960 7.987652 123768 8.8088 9.257160 10.30625 38675 39675。
2021年上海市六年级数学期末复习-第1章《数的整除》易错题型解析(学生版)
沪教版六年级上册第1章《数的整除》易错题型解析模块一：整数和整除的意义例题1.下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是________．○13和0.3；○212和4；○35和15；○40.2和0.4；○51.4和14；○65和0.1．【变式1】能整除18的数有________________．【变式2】下列说法不正确的个数有（）个（1）两个正整数的和或差的奇偶性相同；（2）甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能整除丙数；（3）任何正整数都能被0整除；（4）3÷=，则n一定能整除m；m n（5）三个连续自然数的乘积能被2整除．A．1 B．2 C．3 D．4【变式3】关于1836÷=，下列说法正确的是（）A．18能整除3 B．3能被整除18C．18能被3整除D．3不能整除18例题2.下列说法中，正确个数是（）○1整数包括负数、整数；○21是最小的自然数；○3a除以b，商为整数，且余数为0，则a能被b整除；○4有最大的自然数，而没有最小的自然数；○5最大的正整数和最大的负整数都不存在．A．0个B．1个C．2个D．3个【变式1】在12、5.352、0、0.2、30、12.4、9.5、1这些数中，整数是_________，自然数是__________．例题3.下面的几对数中，第一个数能除尽第二个数的是____________．○17和11；○29和2538；○32和5；○415和5；○513和91；○62和0.4；○70.3和6；○81.5和2.5．【变式1】下列各算式中，满足整除的有______个，满足除尽的有______个．（1）135÷；÷；（4）02÷；（3）20163÷；（2）127（5）246÷；（8）8.82÷．÷；（7）2.8 1.4÷；（6）2.53模块二：素数、合数与分解素因数例题4.将84分解素因数：_______________________，84的素因数为______________．【变式1】下列选项中分解素因数正确的是（）A．17117=⨯⨯⨯=⨯B．1802259C．336=22347=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯D．362233例题5.下列说法中正确的个数有（）个（1）两个连续素数的乘积一定是奇数；（2）两个素数的和一定是偶数；（3）相邻的两个正整数的乘积一定是合数；（4）一个合数至少有三个因数；（5）任何一个正整数都可以写成几个素数的积的形式．A．0 B．1 C．2 D．3【变式1】在1~100这100个整数中，有25个素数，则合数有______个．例题6.面积是72平方厘米的长方形，它的长和宽的厘米数都是合数，这个长方形的周长可能是多少厘米？模块三：公因数和最大公因数例题7.下列说法正确的是（）A．如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数B．两个不同的素数一定互素C．如果1是两个整数的公因数，则这两个数一定互素D．若5能被a整除，又是b的最小倍数，则a和b的最大公因数是5【变式1】把一块长7.2cm，宽6cm，厚0.36dm的木料锯成尽可能大，且大小、性质完全相同的正方体木块，锯后不能有剩余，至少能锯成多少块？模块四：公倍数与最小公倍数例题8.某校外出活动，如果9人一组，则多5人；如果15人一组，则少4人，已知学生人数在130至140人，则该年级的学生有______人．【变式1】一个正整数被4除余1，被6除余1，被9除余1，则这个数最小是多少？【变式2】三种饮料，餐后统计，三种饮料共用78瓶，平均每2人饮用1瓶A饮料，每3人饮用1瓶B饮料，每4人饮用1瓶C饮料，问参加会餐的人数是多少人？例题9.甲每隔3天去少年宫一次，乙每隔5天去一次，丙每隔7天去一次，如果6月1号，甲乙丙同时去了少年宫，则下次同时去少年宫的日期是哪一天？【变式1】共青森林公园有一条小路，在小路两旁每隔3米种一棵树（路的两端都有树），一共种了66棵，现在要改成每隔4米一棵，问几棵小树不要移动？新挖树坑多少个？。
六年下册奥数试题：数的整除特征（一）全国通用（含答案）
第1讲数的整除特征（一）知识网络数的整除性质主要有：（1）若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2）若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
（3）几个数相乘，若其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
（4）若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。
（5）若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。
（6）若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
（7）个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。
（8）个位上是0或者5的数都能被5整除。
（9）若一个整数各位数字之和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（10）若一个整数末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（11）若一个整数末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（12）若一个整数各位数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除。
重点·难点数的整除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便，在实际问题中应用广泛。
要学好数的整除问题，就必须找到规律，牢记上面的整除性质，不可似是而非。
学法指导能被2和5，4和25，8和125整除的数的特征是分别看这个数的末一位、末两位、末三位。
三位。
我们可以综合推广成一条：我们可以综合推广成一条：我们可以综合推广成一条：末末n 位数能被（或）整除的数，整除的数，本身必能被本身必能被（或）整除；反过来，末n 位数不能被（或）整除的数，本身必不能被（或）整除。
例如，判断253200、371601能否被16整除，因为，所以只要看各数的末四位数能否被16整除。
学习这一讲知识要学会举一反三。
经典例题[例1]在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数尽可能小。
思路剖析这个六位数分别被3、4、5整除，故它应满足如下三个条件：（1）各位数字和是3的奇数；（2）末两位数组成的两位数是4的倍数；的倍数；（3）末位数为0或5。
四年级奥数第一讲 数的整除问题
第一讲数的整除问题一、基本概念和知识：1、整除：定义：一般地，如果a，b，c为整数，且a÷b=c，我们就说，a能被b整除（或者说b 能整除a）。
用符号“b| a”表示。
2、因数和倍数：如果a能被b整除，即a÷b=c由a÷b=c得：a=b×c，我们就说b（c）是a的因数（或约数），a是b（c）的倍数.提醒：一个数的因数个数是有限的，最小因数是１，最大因数是它本身。
练习：写出下面每个数的所有的因数：1的因数：__________________； 7的因数：__________________；2的因数：__________________； 8的因数：__________________；3的因数：__________________； 9的因数：__________________；4的因数：__________________； 10的因数：__________________；5的因数：__________________； 11的因数：__________________；6的因数：__________________； 12的因数：__________________；公因数（公约数）：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数（公约数）。
如：3和4的公因数是：___________，6和8的公因数是：___________，3、质数与合数：在上面的题目中，我们发现，1只有1个因数，有些数只有2个因数，还有些数有很多因数。
根据因数的多少，我们可以把大于1的自然数分为两类：质数与合数。
（１）质数：一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。
（２）合数：一个数，除了１和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
（３）0和１既不是质数，也不是合数。
、请写出20以内的所有质数：_____________________________________________________注意：最小的质数是____，质数里面除了______是偶数外，其它都是______数。
数的整除(一)——4、8、9整除的数课后作业含解析
数的整除（一）4、8、9整除的数的特征习题解析数的整除（一）课后作业：1．判断下面这些数的整除性。
51330 7864 62615 3675 8180 1685 5732 9804 12875 8307(1)能被2整除的数有______________________________(2)能被3整除的数有______________________________(3)能被4整除的数有______________________________(4)能被5整除的数有______________________________(5)能被8整除的数有______________________________(6)能被9整除的数有______________________________2．6395736能被2、3、4、6、8、9中的那些整除？能否被2整除：____________________________________能否被3整除：____________________________________能否被4整除：____________________________________能否被6整除：____________________________________能否被8整除：____________________________________能否被9整除：____________________________________3．个位数是4，且能被9整除的三位数共有几个？4．由2、3、4、5这四个数字写成没有重复数字的三位数中，有几个能被3整除？5．五位数54a7b是2、3、5的倍数，那这个五位数的百位上a和个位上的b各是多少？6．在1——200这些数中，既不是3的倍数，又不是5的倍数的数有（）个。
沪教版(上海)六年级第一学期数的整除(整除、因数与倍数、质数与合数) 同步练习
模块一：整数与整除1.自然数：零和正整数统称为自然数2.整数：正整数，零，负整数，统称为整数3•整除：如果整数a除以整数b,商是整数且余数为0,则称a能被b整除，或b能整除a,记作b|a,其中a叫做b的倍数，b叫做a的约数。
如果a被b除所得的余数不为0,则I」称a不能被b整除，或b不整除a。
4.数的整除特征（1）一个整数的个位上是0、2、4、6、8中的某个数，这个整数能被2整除；（2）一个整数的十位和个位数组成的数，能被4整除，那么这个数能被4整除（3）一个整数的个位上是0、5中的某个数，这个整数能被5整除；（4）一个整数各数位上数字的和能被3或9整除，那么这个整数也能被3或9整除；【真题训练】31、在数0、3.4、29、-12、5中，整数有（）•A、1个；B、2个；C、3个；D、4个.2、如果三个连续偶数之和是36，那么它们中最小的数是.3、若a是最小的自然数，b为最小的正整数，c是没有倒数的有理数，则a+b+c二4、下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（）A、25和50；B、42和3；C、10和4；D、9和1.5.5、在21和3中，能整除.6、下列算式中表示整除的算式是（）A、2.8一0.4二7；B、24-7=3……3；C、8-16=0.5；D、2-2=1.7、身边的数学：110是报警电话，120是急救电话，114是查询电话，96315是投诉电话，119是火警电话，在这些电话号码中，能同时被2和5整除的是（填电话号码）.8、一个两位数既是奇数又是合数，它能同时被3和5整除，这个数最大的是．9、用2、8、5、0四个数字中任选不同的数字，能被5整除的最大四位数是.10、30以内的正整数中，有一些数是3的倍数，但既不是2的倍数也不是5的倍数（如9）这些数的和是.11、阅读理解题：（1）1=（）21+3=（）21+3+5=（）21+3+5+7=（）21+3+5+7+9=（）21+3+5+7+9+11=（）2⑵由此你能推断出n个从1开始的连续奇数之和等于多少吗？1+3+5+7++（2n-1）2=（）2n个连续奇数⑶任意选n个连续奇数，例如27，29，31，-，185共80个奇数，求它们的和.模块二：质数、合数与分解质因数1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）.一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.（要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.）2.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.【真题训练】1、最小的素数是．2、最小的合数和最小的自然数组成的两位数是.3、在数23、32、47、65、71、78、51、91中，素数有个．4、下列各组数中，互素的一组是（）A、12和9；B、13和26；C、58和87；D、8和15.5、分解素因数：102二•6、写出15的所有因数：．7、一个数既是9的因数又是9的倍数，这个数是.8、下列说法中正确的是（）.A、素数一定是奇数；B、互素的两个数一定是素数；C、素数的因数一定有2个；D、两个合数一定不互素.9、下列说法正确的是（）.A、偶数都是合数，奇数都是素数B、自然数都可以写出几个素数的积的形式C、两个数的最小公倍数一定能被这两个数的最大公因数整除D、M能整除19，那么M是19的倍数模块三：因数和倍数1.整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）2.求最大公约数的方法：①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来.例如：231二3x7x11,252=2x32x7,所以（231,252）=3x7=21;②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘.21812例如：3|96，所以（12,18）=2x3=6;323.求最小公倍数的方法：①分解质因数法②短除法△补充：两个自然数的积=两数的最大公约数x两数的最小公倍数【真题训练】1、已知A=6x8，那么6和8是A的（）A、素因数；B、合数；C、倍数；D、因数.2、甲数二2x2x3x5，乙数二2x3x3，他们的最大公因数是•3、已知M二2x3x5,N=2x2x3，则M和N的最小公倍数是.4、下列六个说法中，正确有（）①1是所有正整数的因数；②最小的素数是1；③两个素数的积是合数；1两个奇数之和是偶数；⑤一个数a的倒数是一；a⑥如果整数m能整除n，那么它们的最小公倍数是n.A、2个；B、3个；C、4个；D、5个.5、用短除法求30和42的最大公因数和最小公倍数.6、有一块长48厘米，宽28厘米的长方形地砖，若把它截成边长是整数且面积都相等的正方形，恰无剩余，至少能截块.7、某学校同学参加“中国梦.我的梦”体操表演，要求除了领操的2人外，其余同学既能平均分成6组，又能平均分成8组，进行队伍变换，这个学校至少有多少人参加“中国梦.我的梦”体操表演？8、在创建全国文明城区的活动中，老师带领学生去参加志愿者服务，男生和女生分别有24人和36人.老师将同学们进行分组，要求每组的人数相同且每组中的男生人数也相同，问最多能分成几组？此时每组多少学生？9、我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数a,我们把小于a的正的因数叫做a的真因数。
五年级奥数讲义第5讲数的整除性(一)
第5讲数的整除性（一）三、四年级已经学习了能被2，3，5和4，8，9，6以及11整除的数的特征，也学习了一些整除的性质。
这两讲我们系统地复习一下数的整除性质，并利用这些性质解答一些问题。
数的整除性质主要有：（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。
（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。
灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。
例1 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。
分析与解：分别由能被9，25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数。
因为9，25，8两两互质，由整除的性质（3）知，七位数能被 9×25×8=1800整除，所以七位数的个位，十位都是0；再由能被9整除的数的特征，推知首位数应填4。
这个七位数是4735800。
例2由2000个1组成的数111…11能否被41和271这两个质数整除？分析与解：因为41×271=11111，所以由每5个1组成的数11111能被41和271整除。
按“11111”把2000个1每五位分成一节， 2000÷5=400，就有400节，因为2000个1组成的数11…11能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根据整除的性质（1）可知，由2000个1组成的数111…11能被41和271整除。
例3 现有四个数：76550，76551，76552，76554。
能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12整除？分析与解：根据有关整除的性质，先把12分成两数之积：12=12×1=6×2=3×4。
数的整除教案(优秀8篇)
数的整除教案(优秀8篇)数的整除教案篇一教学要求：使学生初步掌握能被3整除的数的特征，能正确判断一个数能被3整除的数的特征，培养学生抽象、概括的能力。
教学重点：能被3整除的数的特征。
教学难点：会判断一个数能否被3整除。
教学过程：一、创设情境1、能被2、5整除的数有什么特征？2、能同时被2和5整除的数有什么特征？二、揭示课题我们已经知道了能被2、5整除的数的特征，那么能被3整除的数有什么特征呢？现在我们就来学习和研究能被3整除的`数的特征（板书课题）三、探索研究1．小组合作学习---能被3整除的数的特征。
（1）思考并回答：①什么样的数能被3整除？②要想研究能被3整除的数的特征，应该怎样做？（2）做法是：（根据学生说的逐一板书）①②观察：③特征×3（分组讨论，说发现的规律）一个数的各位上的数一三把各位上的数加起来看和有什么特征。
的和能被3整除，这26个数就能被3整除。
394125壹五618721824（3）检验：由学生和老师任意报一个较大的数让学生检验观察它的特征。
如：8057921。
因为：8+0+5+7+9+2+1=323+2=55为能被3整除，所以8057921不能被3整除，8057921÷3=2685940......1。
四、课堂实践1、做教材第55页下面的“做一做”。
2、做练习十二的第5题。
3、做练习十二的第6题。
4、做练习十二的第8题。
①让学生明确这个图所表示的就是判断一个数能否被3整除的顺序和方法。
②让学生按这个顺序和方法判断上面的3个数。
五、课堂小结学生小结今天学习的内容。
六、思考练习做练习十二的第7题。
苏教版数学六年级上册教案能被3整除的数的特征数的整除教案篇二教学目标：1、经历整十数除以一位数的口算和非整十的两位数除以一位数的口算、笔算的探索过程，能口算整十数除以一位数（商为整十数），会笔算两位数除以一位数（首位能整除）。
2、培养学生初步的观察力、动手操作能力和积极参与学习活动的情趣。
第1章数的整除全章复习与测试(原卷版)
第1章 数的整除全章复习与测试【知识梳理】1.⎧⎫⎪⎬⎨⎭⎪⎩正整数自然数整数零负整数； 2.整除：整数a 除以整数b ，若除得的商是整数且余数为零. 即称：a 能被b 整除；或b 能整除a.整除的条件：..⎫⎧⎪⎨⎬⎪⎩⎭除数、被除数都是整数；三整一零商是整数且余数为零 整除与除尽的关系.⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩整除：被除数、除数、商整数，且余数为零；区别除尽：被除数、除数、商是整数，没有余数.联系：整除是除尽都是不一定的特殊形式3.因数与倍数：整数a 能被整数b 整除，a 就叫b 的倍数，b 就叫a 的因数（约数）.因数与倍数的特征：⎧⎪⎨⎪⎩因数与倍数互相依存；一个整数的因数中最小因数为1，最大因数为它本身一个整数的倍数中最小的倍数是它本身，无最大倍数.4.能被2整除的数2468.⎧⎨⎩偶数(2n)；(否则是奇数(2n-1))特征：个位上是0，，，，， 能5整除的数的特征：个位上数字是0，5；能同时被2、5整除的数：个位上数字是0.*能被3整除的数：一个整数的各个数位上数字之和能被3整除，这个整数就能被3整除.*能同时被2、3和5整除的数：个位数是0，且各个数位上数字之和能被3整除5.111.⎧⎪⎨⎪⎩：只有因数；正整数素数：只有和两个因数；合数：除了和以外还有别的因一个它本身它数本身6. ⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎩素因数：每个合数都可写成的形式，其中每个素数 都是这个合数的，叫这个合数合几个素数积因数式的素因数；数分解素因数分解素因数：把一个合数用表示.方法：短除法；树枝分解法；口算法素因数相乘的；机算法.形7. ⎧⎪→→⎨⎪⎩公有的因数最大的 定义:几个数，叫这几个数的公因数；其中公因数最大公因数叫这几个数的最大公因数；求法：枚举法；分解素因数法；短除. 一个法8. 1⎧⎨⎩公因数1不一互素：指两个整数只有.这两个整数是素数.区别素数：只有和它本身因数；定两个9. 1.⎧⎪⎪⎪⎪⎪→→→→⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩定义：几个整数的，叫它们的公倍数；其中叫它们的最小公倍数；公倍数最小公倍数一般方法：倍数公倍数最小公倍数；2.分解素因数法；最小公倍数的求法 3.短除法.4.特殊情况：两个数互素；两个连续的公有的倍数最小的 个正整数. 一 10.重要结论：1 .a b ab a b a b ⎧⎨⎩若是的因数，则它们的最大公因数为，最小公倍数为；若与互素，则它们的最大公因数为，最小公倍数为 【考点剖析】一．数的整除（共7小题）1．（2022秋•闵行区校级期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ ）A ．25和50B ．42和3C ．10和4D ．9和1.52．（2022秋•徐汇区校级期中）下列说法中，正确的个数有（ ）①32能被4整除；②1.5能被0.5整除；③13能整除13；④0能整除5；⑤25不能被5整除；⑥0.3不能整除24．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．（2022秋•徐汇区期末）既能被2整除，又能被5整除的最小正整数是 ．4．（2022秋•宝山区期中）在能够同时被2和5整除的所有两位数中，最大的是 ．5．（2022秋•奉贤区校级期中）能同时被2、5整除的最大两位数是 ．6．（2022秋•宝山区校级月考）能整除16的数有 ．7．（2022秋•徐汇区校级期中）“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这是驰名中外的中国古代问题之一，它是我国古代的一本著名的数学名书《孙子算经》中的一道题目，人们把它称为“韩信点兵”．这道题目可以译为：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合条件的最小的数？这就是外国人所称的“中国剩余定理”，是数学史上极有名的问题．表示的具体解法是：先分别求出能被5和7整除而被3除余1的数（70），能被3和7整除而被5除余1的数（21），能被3和5整除而被7除余1的数（15），然后用被3、5、7除所得的余数（即2、3、2）分别去乘这三个数，再相加，也就是70×2+21×3+15×2＝233．最后从233中减去3、5、7的最小公倍数105，如果得出的差还是比105大，就再减去105，一直到得数比105小为止．233﹣105×2＝23．这就是适合条件的最小的数．同学们，你能不能用这样的方法来解答下面的题目呢？或许你有更好的办法！一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小自然数．二．因数（共7小题）8．（2022秋•闵行区校级期中）16的所有因数的和是．9．（2022秋•青浦区期中）24的因数有．10．（2022秋•徐汇区校级期中）规定一种新运算：对于不小于3的正整数n，（n）表示不是n的因数的最小正整数，如5的因数是1和5，所以（5）＝2；再如（8）的因数是1、2、4和8，所以（8）＝3等等，请你在理解这种新运算的基础上，求（9）+（12）＝．11．（2022秋•嘉定区期中）18的因数有．12．（2022秋•青浦区期中）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数a，我们把小于a的正的因数叫做a的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个自然数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”．所以，16的“完美指标”是．13．（2022秋•杨浦区期中）8的因数有．14．（2021秋•长宁区校级期中）规定用[A]表示数A的因数的个数，例如[4]＝3，计算（[84]﹣[51]）÷[91]＝．三．最大公因数（共4小题）15．（2022秋•徐汇区期末）如果A＝2×3×5，B＝2×2×3，则A和B的最大公因数是．16．（2022秋•松江区期末）18和42的最大公因数是．17．（2022秋•杨浦区期末）求18与30的最大公因数为：．18．（2022秋•浦东新区校级期中）已知A＝2×3×5，B＝2×3×3×7，那么A和B的最大公因数是．四．最大公因数的应用（共3小题）19．（2022秋•嘉定区期中）有三根绳子，分别长36米，54米，63米，现在要将它们裁成长度相等的短绳且没有剩余，每根短绳最长可以是几米？这样的短绳有几根？20．（2022秋•松江区期中）一张长36厘米，宽20厘米的长方形纸片，把它裁成大小相等的正方形小纸片而没有剩余，裁出的正方形纸片最少有多少张？21．（2022秋•松江区校级月考）小明把一张长为72厘米，宽为42厘米的长方形纸片裁成大小相等的正方形纸片，而且没有剩余，请你帮助小明算一下，裁出的正方形纸片最少有多少张？五．倍数（共2小题）22．（2022秋•青浦区期中）下列数中，既是3的倍数，又是60的因数的数是（）A．9B．15C．20D．4523．（2022秋•宝山区期中）在正整数18、4、3中，是的倍数．六．最小公倍数（共3小题）24．（2022秋•徐汇区校级期中）若A＝2×3×5，B＝2×3×7，则A与B的最大公因数是，最小公倍数是．25．（2022秋•青浦区期中）A＝2×3×3，B＝2×3×5，则A和B的最小公倍数是．26．（2022秋•闵行区校级期中）已知A＝2×3×a×7，B＝3×5×7．如果A和B的最小公倍数是630，那么a＝．七．最小公倍数的应用（共4小题）27．（2022秋•松江区期中）一包糖果，不论平均分给6个人还是8个人，都能正好分完，这包糖果至少块．28．（2022秋•闵行区校级期中）从运动场的一端到另一端全长100米，从一端起到另一端止每隔4米插一面小红旗．现在要改成每隔5米插一面小红旗，有多少面小红旗不用移动？29．（2022秋•青浦区校级期中）一块草坪长50cm，宽40cm，要用这样相同大小的草坪铺成一个正方形花园，铺成的正方形花园的边长至少为多少厘米？至少要多少块这样的草坪？30．（2022秋•徐汇区校级月考）有一种长6厘米，宽4厘米的长方形塑料片，如果将这种塑料片拼成一个正方形，最少需要多少块？这个正方形的面积是多少？八．质数（素数）（共6小题）31．（2022秋•宝山区期中）由式子6＝2×3，我们说2和3都是6的（）A．素数B．素因数C．互素D．公因数32．（2022秋•普陀区期中）在等式15＝3×5中，3和5都是15（）A．素数B．互素数C．素因数D．公因数33．（2022秋•宝山区期中）如果两个素数的和是奇数，那么其中较小的素数是．34．（2022秋•浦东新区校级期中）两个素数的差是15，则这两个素数的积是．35．（2022秋•徐汇区校级期中）21的所有因数中，互素的有对．36．（2022秋•宝山区期中）如果两个相邻的奇数都是素数，就说它们是一组孪生素数．如11和13就是一组孪生素数，（1）请你举出除此之外的两组孪生素数；（2）如果三个相邻的奇数都是素数，就说它们是“三胞胎素数”，请写出一组“三胞胎素数”．（本题只需直接写出答案）九．合数（共5小题）37．（2022秋•宝山区期中）最小的合数是（）A．2B．4C．6D．15 38．（2022秋•奉贤区校级期中）一个正方形的边长是素数，则它的面积一定是（）A．素数B．合数C．奇数D．偶数39．（2022秋•浦东新区校级期中）在下列说法中，正确的是（）A．l是素数B．1是合数C．1既是素数又是合数D．1既不是素数也不是合数40．（2022秋•奉贤区校级期中）4和7是28的（）A．因数B．素因数C．合数D．素数41．（2022秋•青浦区期中）下列说法正确的是（）A．两个素数没有公因数B．两个合数一定不互素C．一个素数和一个合数一定互素D．两个不相等的素数一定互素一十．分解质因数（分解素因数）（共4小题）42．（2022秋•杨浦区期末）分解素因数：24＝．43．（2022秋•徐汇区期末）分解素因数：18＝．44．（2022秋•松江区期末）分解素因数：21＝．45．（2022秋•徐汇区校级期中）把120分解成因数：120＝．【过关检测】一、选择题（本大题共6小题，每题3分，满分18分）1．48全部因数共有（）A．9个B．8个C．10个D．12个2．在14=2×7中，2和7都是14的（）3．对18、4和6这三个数，下列说法中正确的是（）A．18能被4整除B．6能整除18 C．4是18的因数D．6是4的倍数4．在下列数中，表示数7和8的最大公约数和最小公倍数的积是（ ）A ．7B ．8C ．1D ．565．在下列说法中，正确的是（ ）A ．1是素数B ．1是合数C ．1既是素数又是合数D ．1既不是素数也不是合数6．235A =⨯⨯，A 的因数有（ ）A ．2、3、5B ．2、3、5、6、10C ．1、2、3、5、6、10、15D ．1、2、3、5、6、10、15、30二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）7．在能够被5整除的两位数中，最小的是________．8．分解素因数：15=________9．已知235A =⨯⨯，237B =⨯⨯，则A 、B 的最小公倍数是________，最大公因数是________．10．一堆苹果，2个2个数3个3个数和5个5个数都剩下一个，这堆苹果最少有________个．11．2.82 1.4÷=，___________ （填“能”或“不能”）说2整除2.8．12．写出20以内的所有素数____________，写出20以内的所有合数_______．13．两个数的最小公倍数是72，最大公因数是12，则这两个数分别是_______．14．54的素因数有_____________．15．a 是一个正整数，它的最小的因数是______，最大的因数是______，最小的倍数是______．16．两个连续偶数的和是38，那么这两个数的最小公倍数是______．17．在两个数12和3中，________是________的因数，是________的倍数．18．a 是一个大于2的偶数，那么与a 相邻的两个奇数分别是________和________．三、解答题（满分58分）19．写出下列各数所有的因数．（1）11（2）10220．用短除法分解素因数．（1）12（2）10521．已知甲数225A =⨯⨯⨯，乙数237A =⨯⨯⨯，甲、乙两数的最大公因数是6．（1）求甲、乙两数和A ；（2）求甲、乙两数的最小公倍数．22．用短除法求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数．（1）42和63．（2）8和20．23．用0、2、5这三个数按要求组成没有重复数字的三位数．（1）使它既能被2整除又能被5整除；（2）使它能被2整除，但不能被5整除；（3）使它能被5整除，但不能被2整除．24．中秋节班里买来了64个月饼和160个苹果，平均分给班里的全体同学，刚好全部分完，问这个班最多有多少人？25．某学校学生做操，把学生分成10人1组，14人一组，18人一组，正好分完．并且知道这个学校学生的人数超过1000人，这个学校至少有多少个学生？26．一间客厅长8米，宽4.5米，现要铺正方形的地砖，市场上地砖有23030cm ⨯，24040cm ⨯，25050cm ⨯，26060cm ⨯四种规格．请问选择哪种规格的地砖能整块铺满，并计算出需要这样的地砖多少块？。
数的整除性讲解(一)
第4讲数的整除性（一）我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。
数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。
例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。
性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。
例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。
性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。
例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。
利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。
为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。
（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。
（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。
（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。
（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。
（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。
其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。
因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。
因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。
这就证明了（4）。
类似地可以证明（5）。
（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。
数的整除特征(一)
数的整除特征（一）（一）阅读思考1. 整除的意义：整数除以整数商是整数而没有余数，那么a就能被b整除。
记作b|a。
如果数a不能被数b整除，记作。
2. 数的整除特征：有时候，我们判断一个整数能不能被另一个整数整除，不需要通过除法演算来验证，而可以通过某些规律来判断，这些规律叫做“数的整除特征”。
下面就给同学们介绍一下：（1）个位是0，2，4，6，8的整数能被2整除。
例如：102，584，316976（2）个位是0或5的整数能被5整除。
例如：15，31560（3）各个数位上数字的和能被3或9整除的整数能被3或9整除。
例如：21能被3整除；36能被9整除。
能被9整除的数一定能被3整除。
（4）末尾两位数是4或25的倍数的整数，能被4或25整除。
例如：912能被4整除。
3175能被25整除；500既能被4整除又能被25整除。
（5）末尾三位数是8或125的倍数的整数，能被8或125整除。
例如：1008能被8整除。
1125能被125整除。
41000既能被8整除，又能被125整除。
（如果一个数既能被8整除，又能被125整除，这个数一定是整千数。
）（6）如果一个数奇数位上数字的和与偶数位上数字的和之差是11的倍数，那么这个数一定能被11整除。
例如：189354，奇数位上数字的和是,偶数位上数字的和是,它们的差是,因为0能被11整除，所以189354能被11整除。
（7）把一个数的末尾数字割去，从留下的数中减去所割去数字的2倍，这样继续下去，如果最后的结果是7的倍数，那么这个数就能被7整除。
例如：判断4158能不能被7整除。
4158割去末尾数字8399割去末尾数字921是7的倍数，所以4158能被7整除。
（8）把一个数的末尾数字割去，在留下的数上加上末尾数字的4倍，照这样做下去，如果最后的结果是13的倍数，这个数就能被13整除。
例如：判断10686能不能被13整除。
10686割去末尾数字61092割去末尾数字2117割去末尾数字739是13的倍数，所以10686能被13整除。
五年级奥数专题-数的整除
五年级奥数专题-数的整除如果整除a 除以不为零数b,所得的商为整数而余数为0,我们就说a 能被b 整除,或叫b 能整除a.如果a 能被b 整除,那么,b 叫做a 的约数,a 叫做b 的倍数.数的整除的特征：（1） 能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0,那么这个整数一定能被2整除.（2） 能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除,那么这个整数一定能被3（或9）整除.（3） 能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除,那么这个数就一定能被4（或25）整除.（4） 能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5,那么这个整数一定能被5整除.（5） 能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除,又能被3整除,那么这个数就一定能被6整除.（6） 能被7（或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数,末三位为一个数,其余各位为另一个数,如果这两个数之差是0或是7（或11或13）的倍数,这个数就能被7（或11或13）整除.（7） 能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除,那么这个数就一定能被8（或125）整除.（8） 能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除,那么它必能被11整除.一、例题与方法指导例1. 一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.思路导航：一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能或又 23056088=2620238568÷88=2711所以,本题的答案是2620或2711.例2. 123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____.思路导航：因为36=9⨯4,所以这个十一位数既能被9整除,又能被4整除.因为1+2+…+9=45,由能被9整除的数的特征,（可知□+□之和是0（0+0）、9（1+8,8+1,2+7,7+2,3+6,6+3,4+5,5+4）和18（9+9）.再由能被4整除的数的特征:这个数的末尾两位数是4的倍数,可知□□是00,04,…,36,…,72,…96.这样,这个十一位数个位上有0,2,6三种可能性.所以,这个数的个位上的数最小是0.例3. 下面一个1983位数33…3□…4中间漏写了一个数字(方框),已 991个 991个知这个多位数被7整除,那么中间方框内的数字是_____.思路导航：33...3□44 (4)991个个=33...3⨯10993+3□4⨯10990+44 (4)990个 990个因为111111能被7整除,所以33…3和44…4都能被7整除,所以只要990个 990个3□4能被7整除,原数即可被7整除.故得中间方框内的数字是6.例4. 有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_____.思路导航：三个连续的两位数其和必是3的倍数,已知其和是11的倍数,而3与11互质,所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,它们是33、66、99.所以有当和为33时,三个数是10,11,12；当和为66时,三个数是21,22,23；当和为99时,三个数是32,33,34.所以,答案为 10,11,12或21,22,23或32,33,34.[注]“三个连续自然数的和必能被3整除”可证明如下：设三个连续自然数为n,n+1,n+2,则n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)所以,)2+nn+n能被3整除.(+)1(+二、巩固训练1.有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是____.2.一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是_____.3.任取一个四位数乘3456,用A表示其积的各位数字之和,用B表示A的各位数字之和,C表示B的各位数字之和,那么C是_____.4.有0、1、4、7、9五个数字,从中选出四个数字组成不同的四位数,如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来,第五个数的末位数字是_____.1. 118符合条件的两位数的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,如果十位数不变,则个位增加1,其和便不能整除4,因此个位数一定是9,这种两位数有:39、79.所以,所求的和是39+79=118.2． 195因为这个数可以分解为两个两位数的积,而且15⨯15=225>200,所以其中至少有1个因数小于15,而且这些因数均需是奇数,但11不可能符合条件,因为对于小于200的自然数凡11的倍数,具有隔位数字之和相等的特点,个位百位若是奇数,十位必是偶数.所以只需检查13的倍数中小于200的三位数13⨯13=169不合要求,13⨯15=195适合要求.所以,答案应是195.3. 9根据题意,两个四位数相乘其积的位数是七位数或八位数两种可能.因为3456=384⨯9,所以任何一个四位数乘3456,其积一定能被9整除,根据能被9整除的数的特征,可知其积的各位数字之和A也能被9整除,所以A有以下八种可能取值:9,18,27,36,45,54,63,72.从而A的各位数字之和B总是9,B的各位数字之和C也总是9.4. 9∵0+1+4+7+9=21能被3整除,∴从中去掉0或9选出的两组四个数字组成的四位数能被3整除.即有0,1,4,7或1,4,7,9两种选择组成四位数,由小到大排列为:1047,1074,1407,1470,1479,1497….所以第五个数的末位数字是9.三、拓展提升1. 找出四个互不相同的自然数,使得对于其中任何两个数,它们的和总可以被它们的差整除,如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那么这四个数里中间两个数的和是多少？2．只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎样修改？3． 500名士兵排成一列横队.第一次从左到右1、2、3、4、5（1至5）名报数；第二次反过来从右到左1、2、3、4、5、6（1至6）报数,既报1又报6的士兵有多少名？4. 试问,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上,使得在任何5个相连的数中,都至少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”,则只要举出一种排法；如果回答：“不能”,则需给出说明.答案1. 如果最小的数是1,则和1一起能符合“和被差整除”这一要求的数只有2和3两数,因此最小的数必须大于或等于2.我们先考察2、3、4、5这四个数,仍不符合要求,因为5+2=7,不能被5-2=3整除.再往下就是2、3、4、6,经试算,这四个数符合要求.所以,本题的答案是(3+4)=7.2. 因为225=25 9,要使修改后的数能被25整除,就要既能被25整除,又能被9整除,被25整除不成问题,末两位数75不必修改,只要看前三个数字即可,根据某数的各位数字之和是9的倍数,则这个数能被9整除的特征,因为2+1+4+7+5=19,19=18+1,19=27-8,所以不难排出以下四种改法:把1改为0；把4改为3；把1改为9；把2改为1.3. 若将这500名士兵从右到左依次编号,则第一次报数时,编号能被5整除的士兵报1；第二次报数时,编号能被6整除的士兵报6,所以既报1又报6的士兵的编号既能被5整除又能被6整除,即能被30整除,在1至500这500个自然数中能被30整除的数共有16个,所以既报1又报6的士兵共有16名.4. 不能.假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100个数,我们来按所排列顺序将它们每5个分为一组,可得20组,其中每两组都没有共同的数,于是,在每一组的5个数中都至少有两个数是3 的倍数.从而一共有不少于40个数是3 的倍数.但事实上,在1至100的自然数中有33个数是3的倍数,导致矛盾.。
小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析
小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析.DOC数的整除问题,内容丰富,思维技巧性强。
它是小学数学中的重要课题,也是小学数学竞赛命题的内容之一。
一、基本概念和知识1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5,63÷7=9一般地,如a、b、c为整数,b≠0,且a÷b=c,即整数a除以整除b（b不等于0）,除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0）,我们就说,a能被b整除（或者说b 能整除a）。
记作b｜a.否则,称为a不能被b整除,（或b不能整除a）,记作ba。
如果整数a能被整数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数。
例如：在上面算式中,15是3的倍数,3是15的约数;63是7的倍数,7是63的约数。
2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除,那么它们的和与差也能被c整除。
即：如果c｜a,c｜b,那么c｜（a±b）。
例如：如果2｜10,2｜6,那么2｜（10＋6）,并且2｜（10—6）。
性质2：如果b与c的积能整除a,那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a,那么b｜a,c｜a。
性质3：如果b、c都能整除a,且b和c互质,那么b与c的积能整除a。
即：如果b｜a,c｜a,且（b,c）=1,那么bc｜a。
例如：如果2｜28,7｜28,且（2,7）=1,那么（2×7）｜28。
性质4：如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。
即：如果c｜b,b｜a,那么c｜a。
例如：如果3｜9,9｜27,那么3｜27。
3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面,个位数字是偶数（包括0）的整数,必能被2整除;另一方面,能被2整除的数,其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
复习系列之一：数的整除复习策略
（小学毕业复习系列之一）数的整除复习策略数的整除是小学阶段概念比较多的一部分内容。
搞好这部分内容的复习，对小学生理清概念，掌握数与数之间的关系有着重要的作用，这一部分的复习，可从以下几个方面进行梳理：一、数的整除概念网络图：二、基本概念【要素分析】1.除尽与整除：一个数除以另一个不为0的数，只要没有余数，都是除尽。
整数a除以整数b,(b不能为0)，商是整数而没有余数，我们就说数a能被数b整除（也可以说数b能整除数a）。
除尽包含整除。
〖典型例题〗下面哪些是整除算式，哪些是除尽算式？27÷3＝9；2÷5＝0.4；29÷9＝3……2； 3.2÷0.8＝4；2．约数与倍数：如果数a能被数b整除，那么数a就是数b的倍数，数b就是数a的约数。
约数与倍数是相互依存的一对概念，说约数时，一定要指出是哪个数的约数。
说倍数时，一定要指出是哪个数的倍数。
如：8是24的约数，24是8的倍数。
〖典型例题〗判断下面说法是否正确。
7是约数，21是倍数………………（）如果a÷b＝6,那么a一定能被b整除………………（）3．质数与合数：一个数，如果只有1和它本身两个约数，叫做质数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，叫做合数。
〖典型例题〗判断下面说法是否正确。
质数的约数只有两个………………（）合数和约数至少有3个………………（）4．因数、质因数、分解质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
〖典型例题〗将12分解成几个数乘积的形式，并用因数、质因数、分解质因数说说各数间的关系：12=3×2×2；2、3是12的质因数。
12=3×2×2是把12分解质因数5．公约数、最大公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
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数的整除（一）
【知识精读】
如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.
能被7整除的数的特征：
①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除）
又如7007 700－14＝686, 68－12＝56（能被7整除）
能被11整除的数的特征：
①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除
如 1001 100－1＝99（能11整除）
又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）
【分类解析】
例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x,y
解：x,y 都是0到9的整数, ∵75y 能被9整除, ∴y=6.
∵328＋92x ＝567, ∴x=3
例2己知五位数x 1234能被12整除, 求X
解：∵五位数能被12整除, 必然同时能被3和4整除,
当1＋2＋3＋4＋X 能被3整除时, x=2, 5, 8
当末两位X 4能被4整除时, X ＝0, 4, 8
∴X ＝8
例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数
解：五位数字都不相同的最小五位数是10234,
但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4, 不能被11整除, 只调整末位数仍不行
调整末两位数为30, 41, 52, 63, 均可,
∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
【实战模拟】
1分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）
①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296
987能被3整除, 那么a=_______________
2若四位数a
12X能被11整除, 那么X＝__________-
3若五位数34
35m能被25整除
4当m=_________时, 5
9610能被7整除
5当n=__________时, n
6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________
7能被4整除的最大四位数是____________, 能被8整除的最小四位数是_________ 88个数：①125, ②756, ③1011, ④2457, ⑤7855, ⑥8104, ⑦9152, ⑧70972中, 能被下列各数整除的有（填上编号）：
6________,8__________,9_________,11__________
9从1到100这100个自然数中, 能同时被2和3整除的共_____个,
能被3整除但不是5的倍数的共______个。
10由1, 2, 3, 4, 5这五个自然数, 任意调换位置而组成的五位数中, 不能被3整除的数共有几个？为什么？
1234能被15整除, 试求A的值。
11己知五位数A
12求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。
13在十进制中, 各位数码是0或1, 并能被225整除的最小正整数是＿＿＿＿参考答案
1.④22×32×7×3 ⑤3×7×13×37 ⑥23×32×11×13
2. 0, 3, 6, 9
3. 0
4. 2, 7
5. 3
6. 10010, 9990
7. 9996, 9992
8. 6：B 8：F, G 9：B, D 11：G, H
9. 16；27
10.没有一个, ∵1＋2＋3＋4＋5＝15是3的倍数, 与数字的位置无关
11.仿例2, a＝5
12.10269（由最小五位数10234调换末两位数）
13.11111111100。