离散数学第一节课件
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离散数学课件第一章(第1讲)
3)区分“可兼或”与“不可兼或（异或，排斥或）” 析取联结词为可兼或 例如： 灯泡有故障或开关有故障。 今天下雨或打雷。 以上例句均为可兼或。
“不可兼或”表示为：▽ (异或),当P和Q均为“T”时， 则P异或Q为“F”。
P
Q
P▽Q
F
F
F
F
T
T
T
F
T
T
T
F
例： 他通过电视看杂技或到剧场看杂技。 他乘火车去北京或乘飞机去北京。
§1 命题与命题联结词
1 命题
《定义》： 具有唯一值的陈述句叫命题。 讨论定义：
(1)命题的值： 命题值可以是真的，也可以是假的，但不能同时 既为真又为假。
(2)命题的真假值表示： 命题中所有的“真”用“Ｔ ” 或“ 1”表示 命题中所有的“假”用“Ｆ ”或 “0 ”表示。
(3)命题分类： ⅰ)原子命题：一个命题，不能分解成为更简单的命题。
(2) 合取词（“合取”、 “与”运算） 1) 符号 “Λ” 设Ｐ，Ｑ为两个命题，则ＰΛＱ称Ｐ与Ｑ的合取， 读作： “Ｐ与Ｑ” “Ｐ与Ｑ的合取” “Ｐ并且Ｑ”
2) 合取运算真值表
P Q PΛ Q
FF
F
FT
F
TF
F
TT
T
QΛP F F F T
注： ①当且仅当Ｐ和Ｑ的真值均为 Ｔ ，则ＰΛＱ 的真值 为 Ｔ 。否则，其真值为 Ｆ 。
第一篇 数理逻辑
逻辑：通常指人们思考问题，从某些已知条件出发推出合 理的结论的规律。 数理逻辑：用数学方法来研究推理的规律。包括命题逻辑 和谓词逻辑。 数理逻辑研究方法：采用一套数学的符号系统来描述和处 理思维的形式和规律。
第一章 命题逻辑
§1.命题与命题联结词 §2.命题公式与真值表 §3.命题公式的翻译 §4. 等价式与蕴含式 §5.对偶与范 式 §6.命题逻辑的推理理论 §7.其他联结词
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定义2.1设A,B是两个命题公式，若A，B构成的等价 式AB为重言式，则称A与B等值，记为AB。
20
例2.1判断下面两个公式是否等值： (pq), pq 例2.2判断下面各组公式是否等值： （1）p(qr) 与 (pq)r （2） ( pq)r与 (pq)r
21
置换规则 ： 设（A）是含公式A的命题公式， （B） 是用公式B置换了（A）中所有的A以后得到的命题公式， 若BA，则（B） （A）。
定义1.2 设p，q为两命题，复合命题“p并且q”称为p与 q的合取式，记作“pq”。 pq为真当且仅当 p， q同 时为真。
定义1.3 设p，q为两命题，复合命题“p或q”称为p与q的 析取式，记作“pq”。 p q为假当且仅当 p， q同时为 假。
7
例1.3将下列命题符号化 （1）吴影既用功又聪明。 （2）吴影不仅用功而且聪明。 （3）吴影虽然聪明，但不用功。 （4）张辉与王丽都是三好学生。 （5）张辉与王丽是同学
16
例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值。 (1) (pq)r (2) (pp)(qq) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式 （1）若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A是重 言式或永真式。 （2）若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A是矛 盾式或永假式。 （3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
离散数学
1
离散数学课件
离散数学是计算机科学的核心理论课程， 是计算机专业的专业基础课。
第一部分 数理逻辑 第二部分 集合与关系代数 第三部分 图论
2
第一部分数理逻辑
第一章 命题逻辑基本概念 第二章 命题逻辑等值演算 第三章 命题逻辑推理理论 第四章 一阶逻辑基本概念 第五章 一阶逻辑等值演算与推理
20
例2.1判断下面两个公式是否等值： (pq), pq 例2.2判断下面各组公式是否等值： （1）p(qr) 与 (pq)r （2） ( pq)r与 (pq)r
21
置换规则 ： 设（A）是含公式A的命题公式， （B） 是用公式B置换了（A）中所有的A以后得到的命题公式， 若BA，则（B） （A）。
定义1.2 设p，q为两命题，复合命题“p并且q”称为p与 q的合取式，记作“pq”。 pq为真当且仅当 p， q同 时为真。
定义1.3 设p，q为两命题，复合命题“p或q”称为p与q的 析取式，记作“pq”。 p q为假当且仅当 p， q同时为 假。
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例1.3将下列命题符号化 （1）吴影既用功又聪明。 （2）吴影不仅用功而且聪明。 （3）吴影虽然聪明，但不用功。 （4）张辉与王丽都是三好学生。 （5）张辉与王丽是同学
16
例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值。 (1) (pq)r (2) (pp)(qq) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式 （1）若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A是重 言式或永真式。 （2）若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A是矛 盾式或永假式。 （3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
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1
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离散数学是计算机科学的核心理论课程， 是计算机专业的专业基础课。
第一部分 数理逻辑 第二部分 集合与关系代数 第三部分 图论
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第一部分数理逻辑
第一章 命题逻辑基本概念 第二章 命题逻辑等值演算 第三章 命题逻辑推理理论 第四章 一阶逻辑基本概念 第五章 一阶逻辑等值演算与推理
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联结词可以嵌套使用，在嵌套使用时，规定如下优先顺序： ( )，┐，∧，∨，→， ，对于同一优先级的联结词，先出现 者先运算。
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
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R 0 1 0 1 0 1 0 1
Assignments（作业）
第30页: 4
1.3 公式分类与等价式
1.3.1 公式分类 1.3.2 等价公式（等值演算） 1.3.3 基本等价式----命题定律 1.3.4 代入规则和替换规则 1.3.5 证明命题公式等价的方法
1.3.1 公式分类
定义1.13 设A是一个命题公式，对A所有可能的解释： (1)若A都为真，称A为永真式或重言式。
(2)若A都为假，称A为永假式或矛盾式。
(3)若至少存在一个解释使得A为真，称A为可满足式。
例1 从上一节真值表可知，命题公式(PQ)(P∨Q)为 重言式，(PQ)∧Q为矛盾式，PQ)∧R为可满足式。
注： 1、 永真式必为可满足式，反之则不然；永真式的否定是永 假式，反之亦然； 2、 决定一个公式是否是一个永真式、永假式或可满足式有 三种方法：真值表法（适用于变元少而简单的公式）、求主范
1.否定词(negation connective )﹁
定义1.4 复合命题“非P”称为命题P的否定，记作
P，读作非P。 P为真当且仅当P为假。
例3 设 P：离散数学是计算机专业的核心课程， 则 P:离散数学不是计算机专业的核心课 程。
2.合取词(conjunction connective )∧
命题符号化的目的在于用五个联结词将日 常语言中的命题转化为数理逻辑中的形式命题， 其关键在于对自然语言中语句之间的逻辑关系 以及命题联结词的含义要有正确的理解，使用 适当的联结词： （1）确定语句是否是一个命题；
（2）找出句中连词，用适当的命题联结词表
示。
Assignments（作业）
第30页: 3（偶数小题）
定义1.12 设A是含有n个命题变元的命题 公式，将命题公式A在所有赋值之下取值的情 况汇列成表，称为A的真值表( truth table )。 为列出一个公式的真值表，我们约定： ①命题变元按字典序排列；②对公式的每个 解释，以二进制从小到大列出；③当公式较 复杂时，可先列出子公式的真值，最后列出 所给公式的真值。
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小张在教室上课或参加长跑比赛 去主楼需6分钟或8分钟
注：命题逻辑中的析取词∨表示的是可
兼或，即允许P∨Q中的P和Q同时为真。 例5(1)李强是100米或400米赛跑冠军。
(2)今天晚上我在家看电视或去剧场看戏。
解（1）可兼或。设P：李强是100米赛冠军，Q：李 强是400米赛冠军，则(1)表示为P∨Q。 （2）排斥或。若设P：今天晚上我在家看电视，Q： 今天晚上我去剧场看戏，则(2)可以表示为 (P∧Q)∨(P∧Q)，也可用后面介绍的异或联结词表 示为PQ。
5.双条件词(biconditional connective )
定义1.8 复合命题“P当且仅当Q”称为P和Q的双条 件复合命题，记作 PQ ，读作 P 当且仅当 Q 。 PQ 为 真当且仅当P与Q的真值相同。 例7 (1)两个三角形全等当且仅当它们的三组对应 边相等。 (2) 2＋2＝4当且仅当雪是黑的。 解(1)设P：两个三角形全等，Q：两个三角形的 三组对应边相等，则(1)可符号化为PQ。 (2)设P：2＋2＝4，Q：雪是黑的，则(2)可符号 化为PQ。
1.1 命题与联结词 1.2 命题公式、翻译、真值表 1.3 公式分类与等价式 1.4 对偶式与蕴涵式 1.5 联结词的扩充与全功能联结词组 1.6 公式标准型——范式 1.7 公式主范式 1.8 命题逻辑的推理规则
1.1 命题与联结词
1.1.1 命题的基本概念 1.1.2 命题分类与命题标识符
1.1.3 命题联结词
1.1.1 命题的基本概念
定义1.1 能判断真假的陈述句称为命题。一 个命题的真或假称为命题的真值，分别用 T(或1)与F(或0)表示。真值为真的命题称为真 命题，真值为假的命题称为假命题。
注意：判断一个句子是否为命题应分为两步：首 先判断它是否为陈述句，其次判断它能否确定真假。 注意，一个陈述句能否判断真假，和我们是否知道 它的真假是两回事。
注：命题逻辑中的析取词∨表示的是可
兼或，即允许P∨Q中的P和Q同时为真。 例5(1)李强是100米或400米赛跑冠军。
(2)今天晚上我在家看电视或去剧场看戏。
解（1）可兼或。设P：李强是100米赛冠军，Q：李 强是400米赛冠军，则(1)表示为P∨Q。 （2）排斥或。若设P：今天晚上我在家看电视，Q： 今天晚上我去剧场看戏，则(2)可以表示为 (P∧Q)∨(P∧Q)，也可用后面介绍的异或联结词表 示为PQ。
5.双条件词(biconditional connective )
定义1.8 复合命题“P当且仅当Q”称为P和Q的双条 件复合命题，记作 PQ ，读作 P 当且仅当 Q 。 PQ 为 真当且仅当P与Q的真值相同。 例7 (1)两个三角形全等当且仅当它们的三组对应 边相等。 (2) 2＋2＝4当且仅当雪是黑的。 解(1)设P：两个三角形全等，Q：两个三角形的 三组对应边相等，则(1)可符号化为PQ。 (2)设P：2＋2＝4，Q：雪是黑的，则(2)可符号 化为PQ。
1.1 命题与联结词 1.2 命题公式、翻译、真值表 1.3 公式分类与等价式 1.4 对偶式与蕴涵式 1.5 联结词的扩充与全功能联结词组 1.6 公式标准型——范式 1.7 公式主范式 1.8 命题逻辑的推理规则
1.1 命题与联结词
1.1.1 命题的基本概念 1.1.2 命题分类与命题标识符
1.1.3 命题联结词
1.1.1 命题的基本概念
定义1.1 能判断真假的陈述句称为命题。一 个命题的真或假称为命题的真值，分别用 T(或1)与F(或0)表示。真值为真的命题称为真 命题，真值为假的命题称为假命题。
注意：判断一个句子是否为命题应分为两步：首 先判断它是否为陈述句，其次判断它能否确定真假。 注意，一个陈述句能否判断真假，和我们是否知道 它的真假是两回事。
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
离散数学第一章课件
表示“或者” “或者”有二义性，看下面两个例子： 例1-2.3. 灯泡或者线路有故障。 例1-2.4. 第一节课上数学或者上英语。 例3中的或者是可兼取的或。即析取“∨” 例4中的或者是不可兼取的或，也称之为异或、 排斥或。即“ ”.
28
1. 析取“∨”
例1-2.3. 灯泡或者线路有故障。 P：灯泡有故障。 Q：线路有故障。 例中的复合命题可表示为：P∨Q P∨Q读成P析取Q，P或者Q。 P∨Q的真值为F，当且仅当P与Q均为F。
11
数理逻辑把推理符号化之二
设M(x): x是金属 . 设C(x): x能导电. 设x 表示: 所有的x . 设 a 表示铜. 例2的推理过程表示为： 前提:x(M(x)C(x)) (所有金属都导电.) 前提:M(a) (铜是金属.) 结论:C(a) (铜能导电.) (其中符号M(x)是谓词，所以这就是第二章 “谓词逻辑”中所讨论的内容.）
31
四.条件 (蕴涵)“”
表示“如果… 则 …”， 例1-2.5： P表示：缺少水分。 Q表示：植物会死亡。 PQ：如果缺少水分，植物就会死亡。 PQ：也称之为蕴涵式，读成“P蕴涵Q”， “如果P则Q”。 也说成P是PQ 的前件，Q是PQ的后件。还 可以说P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。
24
1-2 联结词
复合命题的构成：是用“联结词”将原子命题 联结起来构成的。 归纳自然语言中的联结词，定义了六个逻辑联 结词，分别是： (1) 否定“” (2) 合取“∧” (3) 析取“∨” (4) 异或“ ” (5) 蕴涵“” (6) 等价“”
25
一. 否定“” (Negation)
离散数学课件第一章
图的连通性
04
CHAPTER
逻辑基础
命题逻辑中的基本概念包括命题、真值和逻辑运算，通过这些基本概念可以表达和推理复杂的命题关系。
命题逻辑在计算机科学、人工智能、自动化等领域有广泛应用，是形式化方法的重要基础。
命题逻辑是研究命题之间关系的逻辑分支，主要涉及命题的否定、合取、析取、蕴含等基本运算。
命题逻辑
详细描述
集合的运算包括并集、交集、差集等。并集是指两个或多个集合合并为一个新的集合，包含所有元素；交集是指两个或多个集合中共有的元素组成的集合；差集是指从一个集合中去掉另一个集合中的元素后剩余的元素组成的集合。这些运算在离散数学中有着广泛的应用。
总结词
集合的运算
集合的基数是指集合中元素的个数，通常用大写字母表示。
鸽巢原理
THANKS
感谢您的观看。
集合论
图论是研究图（由节点和边构成的结构）的数学分支，它广泛应用于计算机科学和工程学科。
图论
逻辑是离散数学的另一个重要分支，它研究推理的形式和规则，是计算机科学和人工智能的基础。
逻辑
组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支，它在计算机科学和统计学中有重要的应用。
组合数学
离散数学的研究内容
02
CHAPTER
离散数学课件第一章
目录
绪论 集合论基础 图论基础 逻辑基础 组合数学基础
01
CHAPTER
绪论
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树等）的数学分支，它不涉及连续的量或函数。
离散数学的定义
离散数学的起源
离散数学的特点
离散数学的起源可以追溯到古代数学，如欧几里得几何和数论。
离散数学强调结构、关系和组合，而不是连续性和微积分。
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离散数学
Discrete Mathematics
主讲教师
❖ 谢永红 ▪ 电话：13621263104 ▪ 邮箱：xieyh@ ▪ 办公地点：信息机电楼1003室
❖ 课程公邮 ▪ ustbdm@ ▪ xinan13
课程简介
❖ 现代数学重要分支 ❖ 以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标。 ❖ 计算机科学基础理论的核心课程。 ❖ 是数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、
❖ 与计算机科学的联系 ▪ 计算机及计算机科学与数理逻辑有着十分密切的关系。人们说数字电子 计算机是数理逻辑与电子学结合的产物。
Dijkstra算法及其它
❖ Dijkstra(迪杰斯特拉)算法（最短路径算法） 有向图中任意两个顶点之间的最短路径问题。 1972图灵奖（/view/358075.htm）。
▪ 本教材以认知结构教学论（亦称KM教学论）基本内涵为贯穿，即“双图 融合”的教学机制；“教学回路”的教学模式；“立体结构”的教学内 容；“三段论式”的教学方法。
▪ 具有全新的模式与体例，其演绎铺展的路径如下： • 全书概述---篇引论（树形类化图）-----章粗概图-----章应用概图-----按 节展开（核心知识点；嵌入思维形式注记图；每节小结）-----章习题 类化（常见题典型解析）-----章知识逻辑结构图-----扩展阅读------习 题------篇知识逻辑结构图。
命题逻辑部分知识逻辑概图
1.6 命题逻辑推理理论 命题演算推证
1.5 对偶与范式 主析/合取范式 析/合取范式
1.4 命题公式间的关系
逻辑蕴涵
逻辑等价
标准型
公式间关系
1.3 命题公式
1.2 联结词
1.1命题的基本概念
命题逻辑在计算机科学技术相关领域的应用概图
程序设计 程序优化
命题逻辑
计算机 逻辑运算
❖ 指派 ▪ 当命题变元P用一个特定的简单命题取代时，P才能确定真值，这 时也称对P进行指派。
小结
❖ 只有陈述句才有可能是命题，但并不是所有的陈述句都能成为命题。 ❖ 本小节的思维形式注记图：
命题
特征 分类
陈述句 真(1)或假(0) 原子命题 复合命题(联结词，标点，简单命题)
命题标识符：大写字母，大写字母加下标，数字
参考资源
❖ 屈婉玲，耿素云．离散数学．高等教育出版社 ❖ 左孝陵，刘永才．离散数学．上海科学技术文献
出版社
❖ 中国高校计算机课程网离散数学课程讨论 /computer/html/lssx/ ds_index.html
❖ KM教学论辅助教学平台（）
❖ 命题P Q的真值与命题P和命题Q的真值之间的关系如表所示。
P
Q
成绩评定
❖ 平时成绩（20%）+考试成绩（80%） ❖ 平时成绩组成：
▪ 上课出勤 ▪ 作业 ▪ 小测验
第一篇 数理逻辑
Mathematical Logic
什么是数理逻辑
❖ 数理逻辑是用数学方法来研究推理规律的数学学科。 ▪ 主要研究内容：推理 • 着重于推理过程是否正确 • 着重于语句之间的关系 ▪ 主要研究方法：数学的方法 • 引进一套符号体系的方法。 ▪ 所以数理逻辑又称符号逻辑。
例1.6 晚上我们去教室学习或去电影院看电影。（排斥或） 例1.7 他可能数学考了100分或英语考了100分。（可兼或） 例1.8 刘静今天跑了200米或300米远。（既不表示“可兼或”也不表示
“排斥或”，它只是表示刘静所跑的大概路程，因此它不是命题联结 词，故例1.8是原子命题。）
1.2.3 析取联结词
❖ P∨Q的逻辑关系为P与Q中至少一个成立。P∨Q为真当且仅当P与Q 中至少一个为真。
❖ 命题P∨Q的真值与命题P和命题Q的真值之间的关系如表所示。
P
Q
P∨Q
0
0
0
0
1
1
1
0111 Nhomakorabea1
1.2.3 析取联结词
❖ 联结词∨是可兼或，因为当命题P和Q的真值都为真时，其值也为真。 但自然语言中的“或”既可以是“排斥或 ”也可以是“可兼或 ”。
1.1.2 命题的分类
❖ 命题可以分为两种类型： ▪ 一种命题是不能再分解为更简单命题的，称作原子命题，又可称 为简单命题； ▪ 另一种命题是通过联结词、标点符号将原子命题联结而成，称作 复合命题。例如： • 1）玫瑰是红的并且紫罗兰是蓝的。 • 2）如果明天是个好天气，我们就去野炊。
❖ 复合命题的基本性质是：其真值可以由其原子命题的真值以及它们复 合成该复合命题的联结方式确定。
数理逻辑
命题逻辑基本概念
命题公式
第1章 命题逻辑
命题公式标准型（范式） 基本逻辑等价式
命题公式间的关系 基本逻辑蕴含式
命题推理理论
第2章 谓词逻辑
谓词逻辑基本概念
谓词公式
谓词公式标准型（前束范式） 基本逻辑等价式
谓词公式间的关系 基本逻辑蕴含式
谓词推理理论
第一章命题逻辑
引言
❖ 逻辑主要研究推理过程，而推理过程必须依靠命题来表述。 ❖ 在命题逻辑中，“命题”被看作最小单位。 ❖ 命题逻辑是数理逻辑中最基本、最简单的部分。
1.1.3 命题标识符
❖ 命题标识符
▪ 为了能用数学的方法来研究命题之间的逻辑关系和推理，需要将 命题符号化。
▪ 通常使用大写字母P, Q, …或用带下标的大写字母或用数字，如Ai， [12]等表示命题。
• 例如：
P：今天下雨
• 意味着P表示“今天下雨”这个命题的名。
• 也可用数字表示此命题
• 例如：
1.2 联 结 词
联结词：确定复合命题的逻辑形式。
❖ 原子命题和联结词可以组合成复合命题。 ❖ 联结词确定复合命题的逻辑形式，它来源于自然语言中的联结词，
但与自然语言中的联结词有一定的差别； ❖ 从本质上讲，这里讨论的联结词只注重“真值”，而不顾及具体
内容，故亦称“真值联结词”。
1.2.1 否定联结词
Q：今天天气很好 则 P∨Q：今天是星期一或天气很好
1.2.4 蕴涵联结词
❖ 定义1.4 设P,Q为任意二命题，复合命题“如果P，则Q”称为P和Q的 蕴涵式，记为P Q，读作“如果P则Q”。 称为蕴涵联结词。称P 为前件，Q为后件。
❖ P Q的逻辑关系为Q是P的必要条件。P Q为假当且仅当P为真Q 为假。
[12]：今天下雨
▪ 表示命题的符号称为命题标识符，P和[12]就是命题标识符。
1.1.3 命题标识符
❖ 命题常元 ▪ 一个命题标识符如果表示确定的简单命题，就称为命题常元。
❖ 命题变元 ▪ 如果一个命题标识符只表示任意简单命题的位置标志，就称它为 命题变元。 ▪ 因为命题变元可以表示任意简单命题，所以它不能确定真值，故 命题变元不是命题。
算法设计与分析等课程必不可少的先行课程。 ❖ 培养缜密思维，提高综合素质。
主要内容
❖ 数理逻辑
▪ 命题逻辑、一阶谓词逻辑
❖ 集合论
▪ 集合及其运算、二元关系与函数
❖ 代数结构
▪ 代数系统的基本概念、群、环、域、格与布尔代数
❖ 图论
▪ 图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、平面图
代数结构
拓扑结构
序结构
例1.3 设 P：雪是白色的 ﹁P：雪不是白色的
在此例中，不能将﹁P认为是命题“雪是黑色的”。因为雪不是白色 的情况中有蓝色、红色等许多种可能。
❖ 在日常语言中，还可以用“非”、“不”、“没有”、“无”、“并 不”等多种方式表示否定。
1.2.2 合取联结词
❖ 定义1.2 设P,Q为任意二命题，复合命题“P并且Q”（或“P与Q”） 称为P和Q的合取式，记作P∧Q，读作“P与Q”，∧称为合取联结词。
❖ 判断给定的句子是否为命题的基本步骤 ▪ 首先应是陈述句； ▪ 其次要有唯一的真值。
1.1.1 命题
❖ 1）该吃早饭了！ 祈使句，不是命题。
❖ 2）多漂亮的花呀！ 感叹句，不是命题。
❖ 3）明天你有什么安排吗？ 疑问句，不是命题。
❖ 4）我正在说谎。 不是命题。因为无法判定其真假值，若假设它为假即我正在说谎， 则意味着它的反为真，即我正在说实话，二者相矛盾；若假定它为真 即我正在说实话，则意味着它的反为假，我正在说谎，二者也相矛盾。 这其实是一个语义上的悖论。悖论不是命题。
❖ 定义1.1 设P为任一命题，复合命题“非P”（或“P的否定”）称为P 的否定式，记作﹁P，读作“非P”。﹁称为否定联结词。
❖ ﹁P的逻辑关系为P不成立，﹁P为真当且仅当P为假。 ❖ 命题P的真值与其否定﹁P的真值之间的关系
P
﹁P
0
1
1
0
1.2.1 否定联结词
例1.2 设 P：这是一个三角形 ﹁P：这不是一个三角形
混合结构
数理逻辑
集合论
❖ 数理逻辑和集合论作为两块基石奠定了离散数学乃至整个数学理 论的基础，在上面生长着代数结构、序结构、拓扑结构和混合结 构，这四大结构涵盖与生长出许多数学分支，同时各分支间交叉
融合，又形成了许多新的数学分支，形成了庞大的数学体系。
教材介绍
❖ 教材名称：离散数学（北京市精品教材） ❖ 编著者：杨炳儒，谢永红，刘宏岚，洪源，罗熊. ❖ 高等教育出版社 ❖ 教材特色：
❖ 由以上例子可以看出联结词“∨”和自然语言中的“或”的意义不完 全相同。
❖ 与“∧”联结词相似，在自然语言中，通常是具有某种关系的两条语 句之间使用析取“或”，但在数理逻辑中，任何两个命题都可以通过 用析取“∨”联结起来得到一个新命题。
例1.9 设 P：今天打雷 Q：今天打闪
则 P∨Q：今天打雷或今天打闪 例1.10 设 P：今天是星期一
❖ Dijkstra的话 “我现在年纪大了，搞了这么多年软件，错误不知犯了多少，现在觉 悟了，我想，假如我早年在数理逻辑上好好下点功夫的话，我就不会 犯这么多错误，不少东西逻辑学家早就说了，可我不知道。要是我能 年轻20岁的话我要回去学逻辑。” 程序＝算法＋数据； 算法＝逻辑＋控制
Discrete Mathematics
主讲教师
❖ 谢永红 ▪ 电话：13621263104 ▪ 邮箱：xieyh@ ▪ 办公地点：信息机电楼1003室
❖ 课程公邮 ▪ ustbdm@ ▪ xinan13
课程简介
❖ 现代数学重要分支 ❖ 以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标。 ❖ 计算机科学基础理论的核心课程。 ❖ 是数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、
❖ 与计算机科学的联系 ▪ 计算机及计算机科学与数理逻辑有着十分密切的关系。人们说数字电子 计算机是数理逻辑与电子学结合的产物。
Dijkstra算法及其它
❖ Dijkstra(迪杰斯特拉)算法（最短路径算法） 有向图中任意两个顶点之间的最短路径问题。 1972图灵奖（/view/358075.htm）。
▪ 本教材以认知结构教学论（亦称KM教学论）基本内涵为贯穿，即“双图 融合”的教学机制；“教学回路”的教学模式；“立体结构”的教学内 容；“三段论式”的教学方法。
▪ 具有全新的模式与体例，其演绎铺展的路径如下： • 全书概述---篇引论（树形类化图）-----章粗概图-----章应用概图-----按 节展开（核心知识点；嵌入思维形式注记图；每节小结）-----章习题 类化（常见题典型解析）-----章知识逻辑结构图-----扩展阅读------习 题------篇知识逻辑结构图。
命题逻辑部分知识逻辑概图
1.6 命题逻辑推理理论 命题演算推证
1.5 对偶与范式 主析/合取范式 析/合取范式
1.4 命题公式间的关系
逻辑蕴涵
逻辑等价
标准型
公式间关系
1.3 命题公式
1.2 联结词
1.1命题的基本概念
命题逻辑在计算机科学技术相关领域的应用概图
程序设计 程序优化
命题逻辑
计算机 逻辑运算
❖ 指派 ▪ 当命题变元P用一个特定的简单命题取代时，P才能确定真值，这 时也称对P进行指派。
小结
❖ 只有陈述句才有可能是命题，但并不是所有的陈述句都能成为命题。 ❖ 本小节的思维形式注记图：
命题
特征 分类
陈述句 真(1)或假(0) 原子命题 复合命题(联结词，标点，简单命题)
命题标识符：大写字母，大写字母加下标，数字
参考资源
❖ 屈婉玲，耿素云．离散数学．高等教育出版社 ❖ 左孝陵，刘永才．离散数学．上海科学技术文献
出版社
❖ 中国高校计算机课程网离散数学课程讨论 /computer/html/lssx/ ds_index.html
❖ KM教学论辅助教学平台（）
❖ 命题P Q的真值与命题P和命题Q的真值之间的关系如表所示。
P
Q
成绩评定
❖ 平时成绩（20%）+考试成绩（80%） ❖ 平时成绩组成：
▪ 上课出勤 ▪ 作业 ▪ 小测验
第一篇 数理逻辑
Mathematical Logic
什么是数理逻辑
❖ 数理逻辑是用数学方法来研究推理规律的数学学科。 ▪ 主要研究内容：推理 • 着重于推理过程是否正确 • 着重于语句之间的关系 ▪ 主要研究方法：数学的方法 • 引进一套符号体系的方法。 ▪ 所以数理逻辑又称符号逻辑。
例1.6 晚上我们去教室学习或去电影院看电影。（排斥或） 例1.7 他可能数学考了100分或英语考了100分。（可兼或） 例1.8 刘静今天跑了200米或300米远。（既不表示“可兼或”也不表示
“排斥或”，它只是表示刘静所跑的大概路程，因此它不是命题联结 词，故例1.8是原子命题。）
1.2.3 析取联结词
❖ P∨Q的逻辑关系为P与Q中至少一个成立。P∨Q为真当且仅当P与Q 中至少一个为真。
❖ 命题P∨Q的真值与命题P和命题Q的真值之间的关系如表所示。
P
Q
P∨Q
0
0
0
0
1
1
1
0111 Nhomakorabea1
1.2.3 析取联结词
❖ 联结词∨是可兼或，因为当命题P和Q的真值都为真时，其值也为真。 但自然语言中的“或”既可以是“排斥或 ”也可以是“可兼或 ”。
1.1.2 命题的分类
❖ 命题可以分为两种类型： ▪ 一种命题是不能再分解为更简单命题的，称作原子命题，又可称 为简单命题； ▪ 另一种命题是通过联结词、标点符号将原子命题联结而成，称作 复合命题。例如： • 1）玫瑰是红的并且紫罗兰是蓝的。 • 2）如果明天是个好天气，我们就去野炊。
❖ 复合命题的基本性质是：其真值可以由其原子命题的真值以及它们复 合成该复合命题的联结方式确定。
数理逻辑
命题逻辑基本概念
命题公式
第1章 命题逻辑
命题公式标准型（范式） 基本逻辑等价式
命题公式间的关系 基本逻辑蕴含式
命题推理理论
第2章 谓词逻辑
谓词逻辑基本概念
谓词公式
谓词公式标准型（前束范式） 基本逻辑等价式
谓词公式间的关系 基本逻辑蕴含式
谓词推理理论
第一章命题逻辑
引言
❖ 逻辑主要研究推理过程，而推理过程必须依靠命题来表述。 ❖ 在命题逻辑中，“命题”被看作最小单位。 ❖ 命题逻辑是数理逻辑中最基本、最简单的部分。
1.1.3 命题标识符
❖ 命题标识符
▪ 为了能用数学的方法来研究命题之间的逻辑关系和推理，需要将 命题符号化。
▪ 通常使用大写字母P, Q, …或用带下标的大写字母或用数字，如Ai， [12]等表示命题。
• 例如：
P：今天下雨
• 意味着P表示“今天下雨”这个命题的名。
• 也可用数字表示此命题
• 例如：
1.2 联 结 词
联结词：确定复合命题的逻辑形式。
❖ 原子命题和联结词可以组合成复合命题。 ❖ 联结词确定复合命题的逻辑形式，它来源于自然语言中的联结词，
但与自然语言中的联结词有一定的差别； ❖ 从本质上讲，这里讨论的联结词只注重“真值”，而不顾及具体
内容，故亦称“真值联结词”。
1.2.1 否定联结词
Q：今天天气很好 则 P∨Q：今天是星期一或天气很好
1.2.4 蕴涵联结词
❖ 定义1.4 设P,Q为任意二命题，复合命题“如果P，则Q”称为P和Q的 蕴涵式，记为P Q，读作“如果P则Q”。 称为蕴涵联结词。称P 为前件，Q为后件。
❖ P Q的逻辑关系为Q是P的必要条件。P Q为假当且仅当P为真Q 为假。
[12]：今天下雨
▪ 表示命题的符号称为命题标识符，P和[12]就是命题标识符。
1.1.3 命题标识符
❖ 命题常元 ▪ 一个命题标识符如果表示确定的简单命题，就称为命题常元。
❖ 命题变元 ▪ 如果一个命题标识符只表示任意简单命题的位置标志，就称它为 命题变元。 ▪ 因为命题变元可以表示任意简单命题，所以它不能确定真值，故 命题变元不是命题。
算法设计与分析等课程必不可少的先行课程。 ❖ 培养缜密思维，提高综合素质。
主要内容
❖ 数理逻辑
▪ 命题逻辑、一阶谓词逻辑
❖ 集合论
▪ 集合及其运算、二元关系与函数
❖ 代数结构
▪ 代数系统的基本概念、群、环、域、格与布尔代数
❖ 图论
▪ 图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、平面图
代数结构
拓扑结构
序结构
例1.3 设 P：雪是白色的 ﹁P：雪不是白色的
在此例中，不能将﹁P认为是命题“雪是黑色的”。因为雪不是白色 的情况中有蓝色、红色等许多种可能。
❖ 在日常语言中，还可以用“非”、“不”、“没有”、“无”、“并 不”等多种方式表示否定。
1.2.2 合取联结词
❖ 定义1.2 设P,Q为任意二命题，复合命题“P并且Q”（或“P与Q”） 称为P和Q的合取式，记作P∧Q，读作“P与Q”，∧称为合取联结词。
❖ 判断给定的句子是否为命题的基本步骤 ▪ 首先应是陈述句； ▪ 其次要有唯一的真值。
1.1.1 命题
❖ 1）该吃早饭了！ 祈使句，不是命题。
❖ 2）多漂亮的花呀！ 感叹句，不是命题。
❖ 3）明天你有什么安排吗？ 疑问句，不是命题。
❖ 4）我正在说谎。 不是命题。因为无法判定其真假值，若假设它为假即我正在说谎， 则意味着它的反为真，即我正在说实话，二者相矛盾；若假定它为真 即我正在说实话，则意味着它的反为假，我正在说谎，二者也相矛盾。 这其实是一个语义上的悖论。悖论不是命题。
❖ 定义1.1 设P为任一命题，复合命题“非P”（或“P的否定”）称为P 的否定式，记作﹁P，读作“非P”。﹁称为否定联结词。
❖ ﹁P的逻辑关系为P不成立，﹁P为真当且仅当P为假。 ❖ 命题P的真值与其否定﹁P的真值之间的关系
P
﹁P
0
1
1
0
1.2.1 否定联结词
例1.2 设 P：这是一个三角形 ﹁P：这不是一个三角形
混合结构
数理逻辑
集合论
❖ 数理逻辑和集合论作为两块基石奠定了离散数学乃至整个数学理 论的基础，在上面生长着代数结构、序结构、拓扑结构和混合结 构，这四大结构涵盖与生长出许多数学分支，同时各分支间交叉
融合，又形成了许多新的数学分支，形成了庞大的数学体系。
教材介绍
❖ 教材名称：离散数学（北京市精品教材） ❖ 编著者：杨炳儒，谢永红，刘宏岚，洪源，罗熊. ❖ 高等教育出版社 ❖ 教材特色：
❖ 由以上例子可以看出联结词“∨”和自然语言中的“或”的意义不完 全相同。
❖ 与“∧”联结词相似，在自然语言中，通常是具有某种关系的两条语 句之间使用析取“或”，但在数理逻辑中，任何两个命题都可以通过 用析取“∨”联结起来得到一个新命题。
例1.9 设 P：今天打雷 Q：今天打闪
则 P∨Q：今天打雷或今天打闪 例1.10 设 P：今天是星期一
❖ Dijkstra的话 “我现在年纪大了，搞了这么多年软件，错误不知犯了多少，现在觉 悟了，我想，假如我早年在数理逻辑上好好下点功夫的话，我就不会 犯这么多错误，不少东西逻辑学家早就说了，可我不知道。要是我能 年轻20岁的话我要回去学逻辑。” 程序＝算法＋数据； 算法＝逻辑＋控制