切线长定理典型练习题

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切线长定理练习题

切线长定理练习题一、填空1．已知：如图 7－ 143，直线 BC切⊙ O于 B点， AB=AC， AD=BD，那么∠ A=____．2．已知：如图 7－ 144，直线 DC与⊙ O相切于点 C， AB为⊙ O直径， AD⊥ DC于D，∠ DAC=28°侧∠ CAB=____ ．3．已知：直线 AB与圆 O切于 B点，割线 ACD与⊙ O交于 C和D4．已知：如图 7－ 145， PA切⊙ O于点 A，割线 PBC交⊙ O于 B和 C两点，∠ P=15∠ ABC=47°，则∠ C= ____．5．已知：如图7－146，三角形ABC的∠C=90°，内切圆O与△ABC的三边分别切于D，E，F三点，∠ DFE=56°，那么∠ B=____．6．已知：如图 7 －147，△ ABC内接于⊙ O，DC切⊙ O于 C点，∠1=∠ 2，则△ ABC为____ 三角形．7．已知：如图 7－148，圆 O为△ ABC外接圆， AB为直径， DC切⊙ O于C点，∠A=36°，那么∠ ACD= ．8．一个边长为4cm 的等边三角形ABC 与⊙ O 等高，如图放置，⊙O 与 BC 相切于点 C ，⊙ O 与AC 相交于点 E，则 CE 的长为_________cm．9．如图，⊙ O 的半径为 3，P 是 CB 延长线上一点， PO=5 ，PA 切⊙ O 于 A 点，则 PA= _________．10．如图， AB 是⊙ O 的直径， BD ，CD 分别是过⊙ O 上点 B，C 的切线，且∠ BDC=110 °．连接 AC 则∠ A 的度数是 _________ °．11．如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上， CD 切⊙ O 于点 D，连接 AD ．若∠ A=25 °，则∠ C= _________ 度．（9 题）（10题）（11题）12．如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB 与小圆相切， AB=8 ，则图中阴影部分的面积是_________．（结果保留π）13.如图，⊙ I △ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙ I 的切线，若△ABC 的周长为21， BC 边的长为6，则△ ADE 的周长为14 已知：PA、PB 分别切⊙ O 于点 A 和 B，C 为弧 AB 上一点，过 C 与⊙ O 相切的直线分别交 PA、 PB 点 D 和 E，若 PA=2cm，∠ APB=60 °则 (1) △ PDE 的周长 =(2) ∠DOE=．二、选择1．下列说法正确的是（）A．相切两圆的连心线经过切点B．长度相等的两条弧是等弧C．平分弦的直径垂直于弦D．相等的圆心角所对的弦相等2．如图， AB 是⊙ O 的弦， AC 是⊙ O 的切线， A 为切点， BC 经过圆心．若∠B=25 °，则∠ C 的大小等于（）A． 20° B． 25° C． 40° D． 50°3．如图， AB 是⊙ O 的直径， CD 是⊙ O 的切线，切点为D， CD 与 AB 的延长线交于点C，∠ A=30 °，给出下面 3 个结论：①AD=CD ；② BD=BC ；③ AB=2BC ，其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．04．如图， AB、AC 是⊙ O 的两条弦，∠ BAC=25 °，过点 C 的切线与OB 的延长线交于点D，则∠ D的度数为（）A． 25° B．30° C．35° D．45．如图，△ABC 的边 AC 与⊙ O 相交于 C 、D 两点，且经过圆心O ，边 AB 与⊙ O 相切，切点为 B．已知∠ A=30 °，则∠ C 的大小是（）A． 30° B． 45° C ． 60° D ． 40°6．如图， Rt△ ABC 中，∠ ACB=90 °， AC=4 ， BC=6 ，以斜边 AB 上的一点O 为圆心所作的半圆分别与 AC 、BC 相切于点D、E，则 AD 为（）A． 2.5 B．1.6 C．1.5 D．1（5 题）（6题）（7题）7．如图，∠ ACB=60 °，半径为 2 的⊙ O 切 BC 于点 C，若将⊙ O 在 CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O与 CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离为（）A． 2πB． 4π C ． 2 D ． 48．如图，⊙ O 与 Rt△ ABC 的斜边 AB 相切于点D，与直角边AC 相交于点E，且 DE ∥ BC．已知AE=2， AC=3，BC=6，则⊙ O的半径是（）A．3B．4C．4D．2A． 1 个； B． 2个； C．4个； D．5个．11．已知如图 7－ 150，四边形 ABCD为圆内接四边形， AB是直径， MN切⊙ O于C点∠BCM=38°，那么∠ ABC的度数是（）A． 38°； B． 52°； C． 68°； D．42°．12．已知如图 7－ 151，PA切⊙ O于点 A，PCB交⊙ O于 C， B两点，且 PCB过点 O，⊥BP交⊙ O于E，则图中与∠ CAP相等的角的个数是（）A． 1个； B．2个； C．3个； D．4个．三、计算1．已知：如图 7－152，PT与⊙ O切于 C，AB为直径，∠ BAC=60°， AD为⊙ O 一弦．求∠ADC与∠ PCA的度数．2．已知：如图 7－ 155，⊙ O内接四边形 ABCD，MN切⊙ O于C，∠ BCM=38°，AB为⊙ O直径∠ADC的度数．（8题）（10题）9．已知：△ ABC内接于⊙ O，∠ ABC=25°，∠ ACB= 75°，过 A点作⊙ O的切线交 BC的延长线于 P，则∠ APB等于（）A．62.5 °； B．55°； C．50°； D．40°．10．已知：如图 7 －149，PA，PB切⊙ O于A，B两点， AC为直径，则图中与∠ PAB相等的角的个数为（）3．已知：如图 7－159，PA切圆于 A，BC为圆直径，∠BAD=∠ P，PA=15cm，PB=5cm．求 BD6．已知；如图 7－ 166，PA为△ ABC外接圆的切线， A 为切点， DE∥AC， PE=PD．AB=7的长．AD=2cm．求 DE的长．4．已知：如图 7－ 160，AC是⊙ O直径，PA⊥AC于 A，PB切⊙ O于B，BE⊥ AC于E．若 AE=6cm，EC=2cm，求 BD的长．5．已知：在图 7－ 165中，PA切⊙ O于 A，AD平分∠ BAC，PE平分∠ APB，AD=4cm，PA=6cm．求EP的长．7．已知：如图 7 －172，△ ABC内接于⊙ O， EA切⊙ O于 A，过 B作BD∥ AE交AC延长线于D．若 AC=4cm，CD= 3cm，求 AB的长．8．已知：如图 7－174，PC为⊙ O直径，MN切⊙ O于A，PB⊥MN于 B．若PC=5cm，PA=2cm．求PB的长．9．已知：如图 7－177， AB，AC切⊙ O于B，C，OA交⊙ O于F，E，交 BC于 D．9．已知：如图，△ABC．求作：△ABC的内切圆⊙O．（1）求证： E为△ ABC内心；（2）若∠ BAC=60°， AB=a，求 OB与 OD的长．11．已知：如图，⊙ O 是 Rt△ABC 的内切圆，∠ C=90°．(1)若 AC=12cm，BC=9cm，求⊙ O 的半径 r；(2)若 AC=b，BC=a， AB= 10、如图，正方形ABCD的边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，再过A点作半圆的切线，与半圆相切于 F 点，与 DC相交于 E 点．求：△ADE的面积．求⊙ O 的半径 r．。

切线长定理专题训练

Ｃ．５
）．
Ｂ．７５４．Ｄ．８４．
２从圆外一点向半径为１ｎ的圆引两条切线，。ｌｃ其切线长为、＿１ｍ．则两切线所夹的锐角／ｃ
是（
Ａ．０。３
）．
Ｂ．。６Ｏ
Ｃ９。．０
Ｄ以上都不对．二
Ｐ
３如，ＡＰ＝０，Ａ，Ｂ，Ｅ都为ｏ０的．一Ｂ５。ＰＰＤ
切线，则ＤＯＥ为（
Ａ．０。５Ｂ．０。６
（４题）第
（５题１苇
５如冈，Ａ，是ｏ０的切线，是切点。．Ｐ４，／ＡＰ＝０，么弦＿Ｂ８。那数为所对的圆周角的度
）．
Ｄ．５。５ Fra bibliotek４如图，ＡＡＣ中，Ｂ１，＝，Ｃ６经．存ＢＡ＝０ＡＣ８Ｂ＝，过点Ｃ且与边８相切的动圆与ＣＣＢ，Ａ分别相交于点Ｅ，则线段Ｆ长度的最小．值是（
Ａ．／２４、
Ｃ．５。６
巩固提高（０分钟）３
（案在参考答案第３页）。答
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６５
生活的一大秘诀就是怎样把拦路石变成向上攀登的台阶．一－Ｗ恩。—－ｒ一佩
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切线长定理专题讪练
夯实基础（０分钟）１
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１．，曰是ｏＤ的切线，Ｐ切点是Ａ，则（Ｂ，ＡＰ不一定垂直ＡＢ．ＯＢＯ．Ｐ不一定平分ＣＯ．Ｐ一定垂直平分ＡＢＤ以上结论都不对．

3.7 切线长定理(练习)(解析版)

第三章圆第七节切线长定理精选练习一、单选题1．（2021·北京九年级专题练习）如图，PA ，PB 为⊙O 的两条切线，点A ，B 是切点，OP 交⊙O 于点C ，交弦AB 于点D ．下列结论中错误的是（）A ．PA ＝PBB ．AD ＝BDC ．OP ⊥ABD ．∠PAB ＝∠APB【答案】D【分析】利用切线长定理、等腰三角形的性质即可得出答案．【详解】解：由切线长定理可得：∠APO =∠BPO ，PA =PB ，从而AB ⊥OP ，AD =BD ．因此A ．B ．C 都正确．无法得出∠PAB =∠APB ，可知：D 是错误的．综上可知：只有D 是错误的．故选：D ．【点睛】本题考查了切线长定理、等腰三角形的性质，关键是利用切线长定理、等腰三角形的性质解答．2．（2021·全国九年级课时练习）如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PA ＝AO ，PD 与⊙O 相切于点D ，BC ⊥AB 交PD 的延长线于点C ，若⊙O 的半径为1，则BC的长是（）A ．1.5B ．2CD 【答案】D【分析】连接OD ，根据切线的性质求出∠ODP ＝90°，根据勾股定理求出PD ，证明BC 是⊙O 的切线，根据切线长定理得出C D ＝BC ，再根据勾股定理求出BC 即可．【详解】连接OD ，如图所示∵PC 切⊙O 于D ∴∠ODP ＝90°∵⊙O 的半径为1，PA ＝AO ，AB 是⊙O 的直径 ∴PO ＝1+1＝2，PB ＝1+1+1＝3，OD ＝1∴由勾股定理得：PD ==∵BC ⊥AB ，AB 过O ∴BC 切⊙O 于B ∵PC 切⊙O 于D ∴CD ＝BC设CD ＝CB ＝x 在Rt △PBC 中，由勾股定理得：PC 2＝PB 2+BC 2即222)3x x +=+ 解得：x 即BC故选：D【点睛】本题考查了切线的性质和判定，及切线长定理，切线的性质定理为：圆的切线垂直于过切点的半径，切线长定理为：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．同时考查了利用勾股定理解直角三角形．3．（2021·湖北武汉市·九年级一模）如图，经过A 、C 两点的⊙O 与△ABC 的边BC 相切，与边AB 交于点D ，若∠AD C ＝105°，BC ＝CD ＝3，则AD 的值为（）A ．B ．CD 【答案】A【分析】连接OC 、OD ，作OE AB ^于点E ．易求出75CBD CDB Ð=Ð=°，30BCD Ð=°．再由切线的性质，即可求出60OCD Ð=°，即三角形OCD 为等边三角形．得出结论60ODC Ð=°，3OC OD CD ===．从而即可求出45ADO Ð=°，即三角形OED 为等腰直角三角形，由此即可求出DE 的长，最后根据垂径定理即可求出AD 的长．【详解】如图，连接OC 、OD ，作OE AB ^于点E ．∵BC CD =，∴CBD CDB Ð=Ð，∵105ADC Ð=°，∴75CBD CDB Ð=Ð=°，∴18027530BCD Ð=°-´°=°．由题意可知OC BC ^，即90OCB Ð=°，∴903060OCD OCB BCD Ð=Ð-Ð=°-°=°，∵OD =OC ，∴三角形OCD 为等边三角形．∴60ODC Ð=°，3OC OD CD ===．∴1056045ADO ADC ODC Ð=Ð-Ð=°-°=°，∴三角形OED 为等腰直角三角形，∴3DE ===∴22AD DE ===故选：A ．本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形与等边三角形的判定和性质以及垂径定理，综合性强．正确的连接辅助线是解答本题的关键．4．如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB//CD，若OB=3cm，OC=4cm，则四边形EBCG的周长等于（）A．5cm B．10cm C．745cm D．625cm【答案】C【分析】连接OF，利用切线性质和切线长定理可证明BE=BF，CG=CF，∠OBE=∠OBF，∠OCG=∠OCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质证得∠BOC=90°，进而由勾股定理求得BC长，根据三角形的面积公式求得OF，进而可求得四边形的周长．【详解】解：连接OF，∵直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，∴BE=BF，CG=CF，∠OBE=∠OBF，∠OCG=∠OCF，OF⊥BC，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，∴∠OBF+∠OCF=90°，即∠BOC=90°，∴在Rt△BOC中，OB=3cm，OC=4cm，由勾股定理得：BC==，由1122OB OC BC OF××=××得：OF=341255´=cm，∴OE=OG=OF= 125cm，∴四边形EBCG的周长为BE+BC+CG+EG=2OE+2BC=2×125+2×5=745cm，【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理、平行线的性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握切线长定理的运用，证得∠BOC =90°和利用等面积法求出OF 是解答的关键．5．（2021·山西吕梁市·九年级月考）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝BC ．AT 是⊙O 的切线，∠BAT ＝55°，则∠D 等于（）A ．110°B ．115°C ．120°D ．125°【答案】A【分析】连接AC ，OA ，OB ，先结合切线的性质以及圆的性质求得ACB BAT Ð=Ð，再结合等腰三角形的性质以及圆的内接四边形的性质求得2D ACB Ð=Ð即可．【详解】如图所示，连接AC ，OA ，OB ，则()11802AOB OBA OAB =°-ÐÐÐ=，∵2AOB ACB Ð=Ð，∴90ACB OAB =°-ÐÐ，∴90ACB OAB Ð=°-Ð，∵AT 是⊙O 的切线，∴90BAT OAB Ð=°-Ð，∴55ACB BAT Ð=Ð=°，∵AB BC =，∴1802ABC ACB Ð=°-Ð，根据圆的内接四边形可得：180D ABC Ð=°-Ð，∴2110D ACB Ð=Ð=°，故选：A ．【点睛】本题考查圆的综合问题，理解圆的切线的性质以及内接四边形的性质是解题关键．6．（2021·浙江九年级专题练习）如图，⊙O 的弦AB ＝8，M 是弦AB 上的动点，若OM 的最小值是3，则⊙O 的半径是（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】过O 点作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，如图，根据垂径定理得到AH ＝BH ＝4，利用垂线段最短得到OH ＝3，然后利用勾股定理计算出OA 即可．【详解】解：过O 点作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，如图，∵OH ⊥AB ，∴AH ＝BH ＝12AB ＝12×8＝4，∵OM 的最小值是3，∴OH ＝3，在Rt △OAH 中，OA ＝5，即⊙O 的半径是5．故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．7．（2020·聊城市茌平区实验中学九年级月考）如图，P 为O 外一点，PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，CD 切O 于点E 且分别交PA 、PB 于点C ，D ，若PA =4，则△PCD 的周长为( )A ．5B ．7C ．8D ．10【答案】C【分析】根据切线长定理求解即可【详解】解：∵PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，CD 切O 于点E ，PA=4，∴PA=PB=4，AC=CE ，BD=DE ，∴△PCD 的周长为PC+CE+DE+PD=PC+AC+BD+PD=PA+PB=4+4=8，故选：C ．【点睛】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理及其应用是解答的关键．8．（2021·北京九年级专题练习）如图，ABC D 的内切圆O e 与A B ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且2AD =，ABC D 的周长为14，则BC 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【分析】根据切线长定理得到AF =AD =2，BD =BE ，CE =CF ，由△ABC 的周长为14，可求BC 的长．【详解】解：O Qe 与A B ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F2AF AD \==，BD BE =，CE CF =，ABC D Q 的周长为14，14AD AF BE BD CE CF \+++++=2()10BE CE \+=5BC \=故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．二、填空题9．如图，PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，A 、B 、E 是切点，CD 分别交PA 、PB 于C 、D 两点，若∠COD =70°，则∠AP B =_______.【答案】40°【分析】先利用切线长定理，得出∠BDO =∠CDO ，∠ACO =∠DCO ，再利用三角形内角和求出∠CDO +∠DCO 后得到∠BDC+∠A CD 的值，最后利用三角形外角的性质得到关于∠P 的方程，解方程即可得出答案．【详解】解：∵PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，∴∠BDO =∠CDO ，∠ACO =∠DCO ，∵∠COD =70°，∴∠CDO +∠DCO =180°－70°=110°，∴∠BDC +∠ACD =2（∠CDO +∠DCO ）=2 ×110°=220°，∵∠BDC =∠DCP +∠P ，∠ACD =∠CDP +∠P ，∴∠DCP +∠P +∠CDP +∠P =220°，即180°+∠P =220°，∴∠P =40°，即∠APB =40°，故答案为：40°．【点睛】本题综合考查了圆的切线长定理、三角形的内角和定理、三角形外角的性质等，解决本题的关键是要牢记各定理与性质的内容，能灵活运用它们进行不同的角之间的转化，考查了学生推理分析的能力．10．（2021·浙江九年级其他模拟）如图，已知AD 是BAC Ð的平分线，以线段AB 为直径作圆，交BAC Ð和角平分线于C ，D 两点．过D 向AC 作垂线DE 垂足为点E ．若24DE CE ==，则直径AB =_______．【答案】10【分析】连接CD 、OD 、OC 、BD ，运用勾股定理求得CD 的长,再证明DE 是圆O 的切线，运用全等三角形的判定与性质以及余角的性质得出∠CDE =∠BAD ,易得BD =CD ，然后再根据正切函数求得AD ，最后根据勾股定理解答即可．【详解】解：如图：连接CD 、OD 、OC 、BD∵AE ⊥DE , 24DE CE ==∴CD =∵OA =OD∴∠OAD =∠ODA∴∠BOD =∠OAD +∠ODA = 2∠OAD∵∠ODA =∠OAD∴∠EAD =∠ODA∴OD //AE∴OD ⊥DE ，即DE 是圆O 的切线∴∠CDE +∠ODC =90°∵AB是直径∴∠BAD+∠B=90°在△BOD和△DOC中OC=OB,DO=DO,BD=CD ∴△BOD≌△DOC∴∠ODC=∠OBD∴∠CDE=∠BAD∵∠BAD=∠DAC∴∠COD=∠BOD∴BD=CD=∵tan∠BAD=BDAD= tan∠CDE=12CEDE=,∴AD=∴AB10=．故填10．【点睛】本题主要考查了三角形的性质、圆的切线的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．11．（2020·湖北孝感市·九年级月考）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝108°，则∠B+∠D＝_____．【答案】216°【分析】连接AB，根据切线得出PA＝PB，求出∠PBA＝∠PAB＝36°，根据圆内接四边形的对角互补得出∠D+∠CBA＝180°，再求出答案即可．【详解】解：连接AB，∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵∠APB＝108°，∴∠PBA＝∠PAB＝12×（180°﹣∠APB）＝36°，∵A、D、C、B四点共圆，∴∠D+∠CBA＝180°，∴∠PBC+∠D＝∠PBA+∠CBA+∠D＝36°+180°＝216°，故答案为：216°．【点睛】本题考查了切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆内接四边形等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．12．（2021·河北石家庄市·石家庄外国语学校九年级月考）已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若B C＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于_____．-【答案】2【分析】连接IA，IA与⊙I半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出IA和⊙I半径即可得答案．【详解】解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如图：∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴BC2+AC2＝AB2∴∠C＝90°∵⊙I为△ABC的内切圆，∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID，∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x，则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x，∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x，由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x，而AH+BH＝10，∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2，∴AH＝6，IH＝2，∴IA，∴点A到圆上的最近距离为﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查勾股定理、切线长定理、三角形的内切圆等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．三、解答题13．（2021·浙江温州市·九年级一模）如图，点C ，D 在以AB 为直径的半圆O 上， AD BC=，切线DE 交AC 的延长线于点E ，连接OC ．（1）求证：∠ACO ＝∠ECD ．（2）若∠CDE ＝45°，DE ＝4，求直径AB 的长．【答案】（1）证明见详解；（2）【分析】（1）由 AD BC=，可得∠A ＝∠B ，内接四边形可得出∠ECD=∠B ，进而得出∠ACO ＝∠ECD ；（2））连接OD ，由切线的性质可得出∠ODE ＝90°，进而得出∠CDO ＝∠DCO=45°，再根据已知条件计算出∠E=∠ECD ，得到CD=DE ＝4，再利用勾股定理求出半径，进而得出答案；【详解】（1）证明：∵ AD BC=，∴∠A ＝∠B ；∵ABDC 是内接四边形∴∠ECD=∠B∴∠ECD=∠A∵AO ＝CO ；∴∠ACO ＝∠A∴∠ACO ＝∠ECD（2）连接OD∵DE 是圆的切线∴∠ODE ＝90°，∵∠CDE ＝45°，OC=OD∴∠CDO ＝∠DCO =45°，∴∠COD ＝90°，∵ AD BC=，∴ AC DC=，∴∠AOC ＝∠DOB=45°，∴AO ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A=1804567.52°-°=° ；∵∠DCO =45°，∴∠ECD =180°-45°-67.5°=67.5°，∵∠E=180°-∠CDE -∠ECD =180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠E=∠ECD∴CD=DE ＝4，∵∠COD ＝90°，∴222CD OC OD =+∴2216OC OD +=，即28OC =∴OC= 故⊙O 的半径为∴直径AB 的长，【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，内接四边形，切线性质定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．14．（2021·江苏无锡市·九年级期中）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，与BA 的延长线交于点D ，DE ⊥P O 交PO 延长线于点E ，连接PB ，∠EDB ＝∠EPB ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线．（2）若PB ＝3，tan ∠PDB ＝34，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）32【分析】（1）根据三角形的内角和定理可证E PBO Ð=Ð，然后根据垂直定义可得90E Ð=°，从而得出半径CB PB ^，根据切线的判定定理即可证出结论；（2）连接OC ，根据题意求出45BD PD ==，，再结合切线长定理得到3PC =，2CD =，从而设O e 的半径是r ，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）,EDB EPB DOE POB Ð=ÐÐ=ÐQ ，E PBO \Ð=Ð，DE PO ^Q ，90E \Ð=°，90PBO \Ð=°，\半径CB PB ^，PB \是O e 的切线．（2）如图，连接OC ，33tan 904PB PDB PBD =Ð=Ð=°Q ，，tan 45BD PB PDB PD \=Ð===g ，．PB Q 和PC 是O e 的切线，3PC PB \==，2CD PD PC \=-=，设O e 的半径是r ，则4OD DB OB r =-=-，PD Q 切O e 于点C ，OC PD \^，222CD OC OD \+=，()22224r r \+=-，32r \=．【点睛】本题考查圆的综合问题，理解切线的判定与性质定理以及正切函数的定义是解题关键．15．（2021·天津九年级学业考试）已知AB 为O e 的直径，点C ，D 为O e 上的两点，AD 的延长线于BC 的延长线交于点P ，连接CD ，30CAB Ð=°．（Ⅰ）如图①，若 2=CBCD ，4AB =，求AD 的长；（Ⅱ）如图②，过点C 作O e 的切线交AP 于点M ，若6CD AD ==，求CM 的长．【答案】（1）AD =；（2）CM = ．【分析】（1）根据弧、圆周角之间的关系可求得∠BAD =45°，连接BD ，可得△ABD 为等腰直角三角形，求解即可；（2）根据弦、圆心角之间关系、等边对等角以及三角形外角的性质可求得∠PDM =60°，OC //AP ，再根据切线的性质定理易得△CDM 为直角三角形，解直角三角形即可．【详解】解：（1）∵ 2=CBCD ，30CAB Ð=°，∴1152CAD CAB Ð=Ð=°,∴∠BAD =45°，连接BD ，∵AB 为直径，∴∠BDA =90°，∴cos45AD AB =×°=（2）连接OD 、OC ，∵30CAB Ð=°，∴∠COB =60°，∠AOC =120°，∵6CD AD ==，∴∠AOD =∠COD =60°，∴∠ACD =∠CAD =30°，∠BAP =∠CAD +∠CAB =60°=∠COB ，∴OC //AP ，∠CDP =∠ACD +∠CAD =60°，∵CM 为O e 的切线，∴∠OCM =90°，∴∠AMC =180°-∠OCM =90°，在Rt △CDM 中，sin 60CM CD =×°=．【点睛】本题考查切线的性质定理，等腰三角形等边对等角，弧、圆心角、圆周角、弦之间的关系，解直角三角形．正确作出辅助线是解题关键．。

中考数学专项练习圆的切线长定理(含解析)

中考数学专项练习圆的切线长定理（含解析）一、单选题1.如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC=5cm，⊙O 是它的内切圆，小明预备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A.12cm B.7cm C.6cm D.随直线MN的变化而变化2.下列说法正确的是()A.过任意一点总能够作圆的两条切线 B.圆的切线长确实是圆的切线的长度C.过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 D.过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径3.如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB 于C，D．若⊙O的半径为1，△PCD的周长等于2 ，则线段AB的长是（）A.B.3C. 2D. 34.如图,圆和四边形ABCD的四条边都相切,且AB=16,CD=10,则四边形ABCD的周长为()A.5B.52C.54D.565.如图，PA，PB，CD与⊙O相切于点为A，B，E，若PA=7，则△P CD的周长为（）A.7B.14C.10.5D.106.如图，PA,PB切⊙O于点A,B，PA=8，CD切⊙O于点E，交PA,PB 于C,D两点，则△PCD的周长是（）A.8B.18C.16D.147.如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，AD=2，AB= 6，以AB为直径的半⊙O 切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（）A.9B.1C. 3D. 28.圆外切等腰梯形的一腰长是8，则那个等腰梯形的上底与下底长的和为（）A.4B.8C.12D.169.如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm ，小明预备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（）A.20cmB.15cmC.10cm D.随直线MN的变化而变化二、填空题10.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB=60°，PO=2，则⊙O的半径等于________．11.PA、PB分别切⊙O于点A、B，若PA=3cm，那么PB=________cm．12.如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形A BCD的周长为________．13.如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm，则此光盘的直径是________cm．14.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，PA=10，CD 是⊙O的切线，交PA于点C，交PB于点D，则△PCD的周长是________．15.如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，假如AB=5，AC=3，则BD的长为________．16.如图，一圆外切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为________．答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】切线长定理【解析】【解答】解：设E、F分别是⊙O的切点，∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC=17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC=5cm，∴BD+CE=BC=5cm，则AD+AE=7cm，故DM=MF，FN=EN，AD=AE，∴AM+AN+MN=AD+AE=7（cm）．故选：B．【分析】利用切线长定理得出BC=BD+EC，DM=MF，FN=EN，AD=AE，进而得出答案．2.【答案】C【考点】切线长定理【解析】【解答】解：A、过圆外任意一点总能够作圆的两条切线，过圆上一点只能做圆的一条切线，过圆内一点不能做圆的切线；故A错误，不符合题意；B、圆的切线长确实是，过圆外一点引圆的一条切线，这点到切点之间的线段的长度确实是圆的切线长；故B错误，不符合题意；C、依照切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等；故C是正确的符合题意；D、过圆外一点所画的圆的切线长取决于点离圆的距离等，故不一定大于圆的半径；故D错误，不符合题意；故答案为：C。

九年级数学切线长定理专题练习(含解析)

∴梯形对边和为：8+8=16，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为 16．故选：D．分析：直接利用圆外切四边形对边和相等，进而求出即可． 6.如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，点 D、E 分别为边 AB、AC 上的点，且 DE 为⊙O 的切线，若△ABC 的周长为 25，BC 的长是 9，则△ADE 的周长是（） A．7 B．8 C．9 D．16
答案：C
解析：解答： ∵AB、AC 是⊙O 的两条切线，B、C 是切点， ∴∠B=∠C=90°，∠BOC=180°-∠A=110°．故选 C．分析：利用切线的性质可得，∠B=∠C=90°，再用四边形的内角和为 360 度可解． 10.如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，切点是 A、B．如果 OP=4，PA= 2 3 ，那么∠AOB 等于（） A．90° B．100° C．110° D．120°
答案：B 解析：解答：∵PA、PB 都是⊙O 的切线， ∴PA=PB，又∵∠P=60°， ∴△PAB 是等边三角形，即 AB=PA=8，故选 B．分析：根据切线长定理知 PA=PB，而∠P=60°，所以△PAB 是等边三角形，由此求得弦 AB 的长． 8.如图，PA、PB 分别是⊙O 的切线，A、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠BAC=35°， ∠P 的度数为（） A．35° B．45° C．60° D．70°
答案：D 解析：解答：根据切线的性质定理得∠PAC=90°， ∴∠PAB=90°-∠BAC=90°-35°=55°．根据切线长定理得 PA=PB，所以∠PBA=∠PAB=55°，所以∠P=70°．故选 D．分析：根据切线长定理得等腰△PAB，运用内角和定理求解． 9.如图， AB、 AC 是 ⊙O 的两条切线， B、 C 是切点，若 ∠A=70°，则 ∠BOC 的度数为（） A．130° B．120° C．110° D．100°

【单点训练】切线长定理

【单点训练】切线长定理【单点训练】切线长定理一、选择题（共15小题）1．（2011•台湾）如图中，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1=60°，∠2=65°，判断AB、CD、CE的长度，下列关系何者正确（）2．如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6cm，0C=8cm，则BE+CG的长等于（）3．如图，在等腰三角形△ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB，AC相切，切点分别为D，E．过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB，AC于M，N．那么的值等于（）．C D4．以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（）5．（2001•嘉兴）已知⊙O的半径是4，P是⊙O外的一点，且PO=8，从点P引⊙O的两条切线，切点分别是A，B，C D．．C．7．（2000•金华）如图，圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm，那么等腰梯形ABCD的周长等于（）8．（2007•大连）如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（）9．（2004•云南）如图，若△ABC的三边长分别为AB=9，BC=5，CA=6，△ABC的内切圆⊙O切AB、BC、AC于D、E、F，则AF的长为（）10．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，连接OP交AB于点C，连接OA、OB，则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为（）11．如图所示，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB=40°，下列说法不正确的是（）12．如图，已知PA，PB分别切⊙O于点A、B，∠P=60°，PA=8，那么弦AB的长是（）13．（2008•凉山州）如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，∠P 的度数为（）14．（2005•杭州）如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为（）15．如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（）二、填空题（共15小题）（除非特别说明，请填准确值）16．PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，∠APB=50°，过A作⊙O直径AC，连接CB，则∠PBC=_________．17．已知⊙O与△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，如果BC边的长为10cm，AD的长为4cm，那么△ABC的周长为_________cm．18．一位小朋友在不打滑的平面轨道上滚动一个半径为5cm的圆环，当滚到与坡面BC开始相切时停止．其AB=40cm，BC与水平面的夹角为60°．其圆心所经过的路线长是_________cm（结果保留根号）．19．如图，PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，若∠P=68°，则∠PAE+∠PBE的度数为_________．20．如图：PA、PB切⊙O于A、B，过点C的切线交PA、PB于D、E，PA=10cm，则△PDE的周长为_________．21．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，已知∠P=60°，OA=3，那么AB的长为_________．22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC分相切于点D、E、F，若⊙O 的半径r=2，则Rt△ABC的周长为_________．23．圆外切四边形ABCD中，AB=a，BC=b，CD=c，则AD=_________．24．（1999•辽宁）如图，PA、PB分别切⊙O于A、B．PA=5，在劣弧上取点C，过C作⊙O的切线，分别交PA，PB于D，E，则△PDE的周长等于_________．25．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点E，若AB=CD=2，则CE=_________．26．（1999•昆明）已知：如图，圆外切等腰梯形的中位线长为12cm，则梯形的周长=_________cm．27．半径分别是3cm和2cm的两圆的圆心距为13cm，则一条内公切线的长度是_________．28．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，∠APB=50°，则∠AOP=_________度．29．（2009•庆阳）如图，两个等圆⊙O与⊙O′外切，过点O作⊙O′的两条切线OA、OB，A、B是切点，则∠AOB= _________度．30．如图：PA、PB切⊙O于A、B，过点C的切线交PA、PB于D、E，PA=8cm，则△PDE的周长为_________ cm．【单点训练】切线长定理参考答案与试题解析一、选择题（共15小题）1．（2011•台湾）如图中，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1=60°，∠2=65°，判断AB、CD、CE的长度，下列关系何者正确（）2．如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6cm，0C=8cm，则BE+CG的长等于（）OBC=∠OCB==103．如图，在等腰三角形△ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB，AC相切，切点分别为D，E．过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB，AC于M，N．那么的值等于（）．C D=CN==4．以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（）5．（2001•嘉兴）已知⊙O的半径是4，P是⊙O外的一点，且PO=8，从点P引⊙O的两条切线，切点分别是A，B，C D．AP==4．C．，AD=AF+DF=2+x=，即等腰梯形的腰长为7．（2000•金华）如图，圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm，那么等腰梯形ABCD的周长等于（）8．（2007•大连）如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（）9．（2004•云南）如图，若△ABC的三边长分别为AB=9，BC=5，CA=6，△ABC的内切圆⊙O切AB、BC、AC于D、E、F，则AF的长为（）10．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，连接OP交AB于点C，连接OA、OB，则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为（）11．如图所示，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB=40°，下列说法不正确的是（）12．如图，已知PA，PB分别切⊙O于点A、B，∠P=60°，PA=8，那么弦AB的长是（）13．（2008•凉山州）如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，∠P 的度数为（）14．（2005•杭州）如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为（）15．如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（）二、填空题（共15小题）（除非特别说明，请填准确值）16．PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，∠APB=50°，过A作⊙O直径AC，连接CB，则∠PBC=155°．OBC=∠17．已知⊙O与△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，如果BC边的长为10cm，AD的长为4cm，那么△ABC的周长为28cmcm．18．一位小朋友在不打滑的平面轨道上滚动一个半径为5cm的圆环，当滚到与坡面BC开始相切时停止．其AB=40cm，BC与水平面的夹角为60°．其圆心所经过的路线长是40﹣cm（结果保留根号）．，19．如图，PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，若∠P=68°，则∠PAE+∠PBE的度数为56°．AEB=20．如图：PA、PB切⊙O于A、B，过点C的切线交PA、PB于D、E，PA=10cm，则△PDE的周长为20cm．21．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，已知∠P=60°，OA=3，那么AB的长为3．AB×，AB=2AC=322．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC分相切于点D、E、F，若⊙O 的半径r=2，则Rt△ABC的周长为30．23．圆外切四边形ABCD中，AB=a，BC=b，CD=c，则AD=a+b﹣c．24．（1999•辽宁）如图，PA、PB分别切⊙O于A、B．PA=5，在劣弧上取点C，过C作⊙O的切线，分别交PA，PB于D，E，则△PDE的周长等于10．25．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点E，若AB=CD=2，则CE=．，=，=CE=故答案为26．（1999•昆明）已知：如图，圆外切等腰梯形的中位线长为12cm，则梯形的周长=48cm．27．半径分别是3cm和2cm的两圆的圆心距为13cm，则一条内公切线的长度是12cm．==12cm28．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，∠APB=50°，则∠AOP=65度．APO=29．（2009•庆阳）如图，两个等圆⊙O与⊙O′外切，过点O作⊙O′的两条切线OA、OB，A、B是切点，则∠AOB= 60度．30．如图：PA、PB切⊙O于A、B，过点C的切线交PA、PB于D、E，PA=8cm，则△PDE的周长为16cm．。

切线长定理练习题

切线长定理练习题1. 如图，已知AO为Rt△ABC的角平分线，∠ACB＝90∘，ACBC =43，以O为圆心，OC为半径的圆分别交AO，BC于点D，E，连接ED并延长交AC于点F．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）求tan∠CAO的值．（3）若⊙O的半径为4，求CFAD的值．2. 如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB // CD，OB=6cm，OC=8cm．求：（1）∠BOC的度数；（2）BE+CG的长；（3）⊙O的半径．3. 如图，⊙O的直径AB=2，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙于E，交AM于D，交BN于C．设AD=x，BC=y．（1）求证：AM // BN．（2）探究y与x的函数关系．4. 如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=60∘．（1）求∠BAC的度数；（2）当OA=2时，求AB的长．5. 已知，如图，AB、AC是⊙O得切线，B、C是切点，过BC^上的任意一点P作⊙O的切线与AB、AC分别交于点D、E。

（1）连接OD和OE，若∠A=50∘，求∠DOE的度数．（2）若AB=7，求△ADE的周长．6. 如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．7. 如图，AC是⊙O的直径，∠ACB=60∘，连接AB，分别过A、B作圆O的切线，两切线交于点P，若已知⊙O的半径为1，求△PAB的周长．8. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，M是BC^的中点，OM交⊙O的切线BP于点P．（1）判断直线PC和⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若sin∠BAC=0.8，⊙O的半径为2，求线段PC的长．参考答案与试题解析2019年3月19日初中数学一、解答题（本题共计 8 小题，每题 10 分，共计80分）1.【答案】证明：作OH⊥AB于H．∵OA平分∠CAB，OC⊥BC，OH⊥AB，∴OH＝OC，∴AB是⊙O的切线．∵AC:BC＝4:3，∴可以假设AC＝4k，BC＝3k，则AB＝5k，∵∠ACO＝90∘，∴OC⊥AC，∴AC是⊙O的切线，∵AH是⊙O的切线，∴AH＝AC＝4k，BH＝k，设OC＝r，∴OB＝3k−r，在Rt△OBH中，(3k−r)2＝r2+k2，∴r=43k，∴tan∠CAO=OCAC =43k4k=13，连接CD，∵EC是直径，∴∠EDC＝90∘，∴∠DCF+∠DCO＝90∘，∠DCO+∠CED＝90∘，∴∠DCF＝∠CED，∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE＝∠ADF，∴∠ADF＝∠ACD，∵∠DAF＝∠CAD，∴△ADF∽△ACD，∴AD2＝AF⋅AC，∵r＝4，∴k＝3，∴AC＝9，OA＝3√10，AD＝3√10−3，∴(3√10−3)2＝9⋅AF，∴AF＝11−2√10，∴CF＝AC−AF＝9−11+2√10=2√10−2，∴CFAD=√10−23√10−3=23．【解析】（1）作OH⊥AB于H．只要证明OH＝OC即可；（2）假设AC＝4k，BC＝3k，则AB＝5k，因为AC是⊙O的切线，AH是⊙O的切线，推出AH＝AC＝4k，BH＝k，设OC＝r，推出OB＝3k−r，在Rt△OBH中，(3k−r)2＝r2+k2，求出r与k关系即可解决问题；（3）想办法求出AD、CF即可解决问题；2.【答案】解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；∵AB // CD，∴∠ABC+∠BCD=180∘，∴∠OBE+∠OCF=90∘，∴∠BOC=90∘；（2）由（1）知，∠BOC=90∘．∵OB=6cm，OC=8cm，∴由勾股定理得到：BC=√OB2+OC2=10cm，∴BE+CG=BC=10cm．（3）∵OF⊥BC，∴OF=OB⋅OCBC=4.8cm．【解析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180∘，则有∠OBC+∠OCB=90∘，即∠BOC=90∘；（2）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长；（3）最后由三角形面积公式即可求得OF的长．3.【答案】（1）证明：∵AM和BN是⊙O的两条切线，∴AB⊥AD，AB⊥BC ，∴AM // BN．（2）解：作DF⊥BN交BC于F，∵AB⊥AM，AB⊥BN．又∵DF⊥BN，∴∠BAD=∠ABC=∠BFD=90∘，∴四边形ABFD是矩形，∴BF=AD=x，DF=AB=2，∵BC=y，∴FC=BC−BF=y−x；∵AM和BN是⊙O的两条切线，DE切⊙O于E，∴DE=DA=xCE=CB=y，则DC=DE+CE=x+y，在Rt△DFC中，由勾股定理得：(x+y)2=(x−y)2+22，整理为：y=1x，∴y与x的函数关系为：y=1x．【解析】（1）由AM和BN是⊙O的两条切线，可得AB⊥AD，AB⊥BC，则可证得AM // BN．（2）首先作DF⊥BN交BC于F，可得四边形ABFD是矩形，然后根据切线长定理得到BF=AD=x，CE=CB=y，则DC=DE+CE=x+y，在直角△DFC中根据勾股定理，就可以求出y与x的关系．4.【答案】解：（1）∵PA，PB是⊙O的切线，∴AP=BP，∵∠P=60∘，∴∠PAB=60∘，∵AC是⊙O的直径，∴∠PAC=90∘，∴∠BAC=90∘−60∘=30∘．（2）连接OP，则在Rt△AOP中，OA=2，∠APO=30∘，∴OP=4，由勾股定理得：AP=2√3，∵AP=BP，∠APB=60∘，∴△APB是等边三角形，∴AB=AP=2√3．【解析】（1）根据切线长定理推出AP=BP，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠PAB=60∘，求出∠PAO=90∘即可；（2）根据直角三角形性质求出OP，根据勾股定理求出AP，根据等边三角形的判定和性质求出即可．5.【答案】解：（1）连接OB，OC，OD，OP，OE，∵AB，AC，DE分别与⊙O相切，OB，OC，OP是⊙O的半径，∴OB⊥AB，OC⊥AC，OP⊥DE，DB=DP，EP=EC，AB=AC，∴∠OBA=∠OCA=90∘，∵∠A=50∘，∴∠BOC=360∘−90∘−90∘−50∘=130∘，∵OB⊥AB，OP⊥DE，DB=DP，∴OD平分∠BOP，同理得：OE平分∠POC，∴∠DOE=∠DOP+∠EOP=12(∠BOP+∠POC)=12∠BOC=65∘，（2）∵DB=DP，EP=EC，AB=AC，∴△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DP+EP+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC=2AB=14．【解析】（1）连接OB，OC，OD，OP，OE，根据切线的性质和切线长定理得到OB⊥AB，OC⊥AC，OP⊥DE，DB=DP，EP=EC，AB=AC，于是求得∠OBA=∠OCA=90∘，由于∠A=50∘，求出∠BOC=360∘−90∘−90∘−50∘=130∘，根据OB⊥AB，OP⊥DE，DB=DP，得到OD平分∠BOP，同理得OE平分∠POC，即可得到结论；（2）根据切线长定理得到DB=DP，EP=EC，AB=AC，由等量代换即可得到结果．6.【答案】解：设AF=x，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=90∘，∴DA⊥AB，∴AD是圆的切线，∵CF是⊙O的切线，E为切点，∴EF=AF=x，∴FD=1−x，∴CF=CE+EF=CB+EF=1+x．∴在Rt△CDF中由勾股定理得到：CF2=CD2+DF2，即(1+x)2=1+(1−x)2，解得x=14，∴DF=1−x=34，∴S△CDF=12×1×34=38．【解析】设AF=x，由切线长定理可得EF=AF=x，则FD=1−x，CF=CE+EF=CB+EF=1+x，利用勾股定理建立方程求出x的值，再根据三角形的面积公式即可求出问题的答案．7.【答案】解：∵PA，PB是圆O的切线．∴PA=PB，∠PAB=60∘∴△PAB是等边三角形．在直角△ABC中，AB=AC⋅sin60∘=2×√32=√3∴△PAB的周长为PA+PB+AB=3√3．【解析】AC是直径，则△ABC是直角三角形，根据三角函数即可求得AB的长，根据切线长定理以及弦切角定理，即可证明△PAB是等边三角形，据此即可求解．8.【答案】解：（1）相切；证明：连接OC；∵点M是弧BC的中点，∴∠BOM=∠MOC；又∵OB=OC，OP=OP，∴△POC≅△POB，∴∠PBO=∠PCO；已知PB是⊙O的切线，即∠PBO=90∘；故∠PCO=∠PBO=90∘，即PC⊥OC；而OC是⊙O的半径，所以PC是⊙O的切线．（2）由圆周角定理知：∠BAC=12∠BOC=∠BOM，∴sin∠BOM=sin∠BAC=0.8；易知：tan∠BOM=43，则PB=OB⋅tan∠BOM=83；∵PC、PB都是⊙O的切线，且切点为C、B，由切线长定理知：PC=PB=83．【解析】（1）连接OC，证OC⊥PC即可，观察图形，可利用全等三角形来求解；已知的等量条件有：OB= OC，OP=OP，而M是弧BC的中点，由圆心角、弧的关系得∠COM=∠BOM，由此可利用SAS判定△POC≅△POB，即可得PC⊥OC，由此得证．（2）首先由圆周角定理可证得∠POB=∠BAC，因此可在Rt△POB中，通过解直角三角形求得PB的长，进而可由切线长定理得到PC的长．。

切线长定理练习题

切线长定理练习题切线长定理练习题切线长定理是几何学中的一个重要定理，它描述了一个圆与其切线之间的关系。

通过理解和应用这个定理，我们可以解决许多与圆相关的问题。

在本文中，我们将通过一些练习题来巩固对切线长定理的理解。

练习题1：已知一个圆的半径为5 cm，一条切线与圆的切点到圆心的距离为12 cm。

求切线的长度。

解答：根据切线长定理，切线长的平方等于切点到圆心距离的平方减去圆的半径的平方。

即：切线长的平方 = (切点到圆心距离的平方) - (圆的半径的平方)切线长的平方 = 12^2 - 5^2切线长的平方 = 144 - 25切线长的平方 = 119切线长≈ √119 ≈ 10.92 cm所以，切线的长度约为10.92 cm。

练习题2：已知一个圆的直径为10 cm，一条切线与圆的切点到圆心的距离为8 cm。

求切线的长度。

解答：由于切线长定理中给出的是切点到圆心的距离，而我们已知的是直径，所以我们需要先求得圆的半径。

圆的半径等于直径的一半，即5 cm。

接下来，我们可以使用切线长定理来求解切线的长度。

切线长的平方等于切点到圆心距离的平方减去圆的半径的平方。

即：切线长的平方 = (切点到圆心距离的平方) - (圆的半径的平方)切线长的平方 = 8^2 - 5^2切线长的平方 = 64 - 25切线长的平方 = 39切线长≈ √39 ≈ 6.24 cm所以，切线的长度约为6.24 cm。

练习题3：已知一个圆的半径为7 cm，一条切线与圆的切点到圆心的距离为10 cm。

求切线的长度。

解答：同样地，我们可以使用切线长定理来解决这个问题。

切线长的平方等于切点到圆心距离的平方减去圆的半径的平方。

即：切线长的平方 = (切点到圆心距离的平方) - (圆的半径的平方)切线长的平方 = 10^2 - 7^2切线长的平方 = 100 - 49切线长的平方 = 51切线长≈ √51 ≈ 7.14 cm所以，切线的长度约为7.14 cm。

3.7切线长定理(解析版)九年级下册

3.7切线长定理分层练习考查题型一利用切线长定理求线段长度1.（2023•怀化三模）如图，AB、AC、BD是OAC ，的切线，切点分别是P、C、D．若10AB ，6则BD的长是()A．3B．4C．5D．6【分析】由于AB、AC、BD是O，求出BP的长即可求出BD的长．的切线，则AC AP，BP BD【解答】解：AC∵、AP为O的切线，，6AC AP∵、BD为OBP的切线，BP BD，．BD PB AB AP1064故选：B．2.（2022秋•新会区校级期末）如图所示，P是O切于A，B两点，C是 AB外一点，PA，PB分别和O上任意一点，过C作O的周长为12，则PA的长为() 的切线分别交PA，PB于D，E．若PDEA ．12B ．6C ．8D ．4【分析】由PA ，PB 分别和O 切于A ，B 两点与DE 是O 的切线，根据切线长定理，即可得PA PB ，DA DC ，EB EC ，又由PDE 的周长为12，易求得12PA PB ，则可求得答案．【解答】解：PA ∵，PB 分别和O 切于A ，B 两点，PA PB ，DE ∵是O 的切线，DA DC ，EB EC ，PDE ∵的周长为12，即212PD DE PE PD DC EC PE PD AD EB PE PA PB PA ，6PA ．故选：B ．3.（2023秋•沙河口区期中）如图，AB 、AC 、BD 是O 的切线，P 、C 、D 为切点，如果8AB ，5AC ，则BD 的长为．【分析】由AB 、AC 、BD 是O 的切线，则AC AP ，BP BD ，求出BP 的长即可求出BD 的长．【解答】解：AC ∵、AP 为O 的切线，AC AP，∵、BD为OBP的切线，，BP BD．BD PB AB AP853故答案为：3．考查题型二利用切线长定理求周长4.（2022秋•潮州期末）如图，P为O于点E，于点A、B，CD切O外一点，PA、PB分别切O分别交PA、PB于点C、D，若8的周长为()PA ，则PCDA．8B．12C．16D．20【分析】由切线长定理可求得PA PB，则可求得答案．，AC CE，BD ED【解答】解：PA∵、PB分别切O于点E，于点A、B，CD切O，，BD ED8，AC ECPA PB，PC CD PD PC CE DE PD PA AC PD BD PA PB8816即PCD的周长为16．故选：C．5.（2022秋•宛城区校级期末）如图，O的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE是ABC为O的周长是()的切线，若ABC的周长为25，BC的长是9，则ADEA ．7B ．8C ．9D ．16【分析】根据切线长定理，可得BI BG ，CI CH ，DG DF ，EF EH ，则()ADE ABC C AD AE DE AD AE DF EF AD DG EH AE AG AH C BG CH BC ，据此即可求解．【解答】解：AB ∵、AC 、BC 、DE 都和O 相切，BI BG ，CI CH ，DG DF ，EF EH ．9BG CH BI CI BC ，()25297ADE ABC C AD AE DE AD AE DF EF AD DG EH AE AG AH C BG EH BC ．故选：A ．6.（2023秋•吴中区校级月考）如图，P 为O 外一点，PA 、PB 分别切O 于A 、B ，CD 切O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若5PA ，则PCD 的周长为．【分析】由于CA、CE，DE、DB都是O的周长转换为PA、PB的的切线，可由切线长定理将PCD长．【解答】解：PA∵、PB切O于A、B，；PA PB5同理，可得：EC CA；，DE DB．PC CE DE DP PC AC PD DB PA PB PA的周长210PDC即PCD的周长是10．考查题型三利用切线长定理求度数7.（2022秋•东莞市校级期末）如图：EB、EC是O上两的两条切线，B、C是切点，A、D是O 点，如果46的度数是度．，则ADCFE，32【分析】根据切线长定理得EC EBECB EBC，再根结合内接四边形的对角互补得，则67A ECB DCF．673299【解答】解：EB∵、EC是O的切线，，EB EC又46∵，E，ECB EBC67；BCD BCE DCF180()1809981∵四边形ADCB内接于O，180A BCD ，1808199A ，故答案为：99．1.（2023秋•金乡县期中）如图，直线AB 、CD 、BC 分别与O 相切于E 、F 、G ，且//AB CD ，若6OB cm ，8OC cm ，则BE CG 的长等于()A ．13B ．12C ．11D ．10【分析】根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明90BOC ，再根据勾股定理即可求得BC 的长，再结合切线长定理即可求解．【解答】解：//AB CD ∵，180ABC BCD ，CD ∵、BC ，AB 分别与O 相切于G 、F 、E ，12OBC ABC ，12OCB BCD ，BE BF ，CG CF ，90OBC OCB ，90BOC ，2210BC OB OC ，10()BE CG cm ．故选：D ．2.（2022秋•天河区校级期末）如图，PA 、PB 切O 于点A 、B ，直线FG 切O 于点E ，交PA 于F ，交PB 于点G ，若8PA cm ，则PFG 的周长是()A ．8cmB ．12cmC ．16cmD ．20cm【分析】由于PA 、FG 、PB 都是O 的切线，可根据切线长定理，将ABC 的周长转化为切线长求解．【解答】解：根据切线长定理可得：PA PB ，FA FE ，GE GB ；所以PFG 的周长PF FG PG ，PF FE EG PG ，PF FA GB PG ，PA PB16cm ，故选：C ．3.（2022秋•南开区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 经过点(6,0)A 、(0,6)B ，O 的半径为2(O 为坐标原点），点P 是直线AB 上的一动点，过点P 作O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为()A 7B ．3C ．32D 14【分析】连接OP ．根据勾股定理知222PQ OP OQ ，当OP AB 时，线段OP 最短，即线段PQ 最短．【解答】解：连接OP 、OQ ．PQ ∵是O 的切线，OQ PQ ；根据勾股定理知222PQ OP OQ ，∵当PO AB 时，线段PQ 最短；又(6,0)A ∵、(0,6)B ，6OA OB ，62AB 1322OP AB ，2OQ ∵，2214PQ OP QO ，故选：D ．。

切线长定理练习题

切线长定理练习题切线长定理，又称垂径定理，是几何学中的一条重要定理。

它描述了一个圆和一条切线之间的关系。

在本篇文章中，我们将探讨一些切线长定理的练习题，帮助读者更好地理解和应用这一定理。

练习题一：已知一个圆的半径为r，切线与半径的长度为x，求切线的长度。

解答一：根据切线长定理，切线的长度等于圆的半径和切线与半径的长度的乘积的平方根。

因此，我们可以得出以下公式：切线长= √(r * x)练习题二：一个圆的半径为5cm，切线与半径的长度为12cm，求切线的长度。

解答二：根据练习题一的公式，我们可以得出：切线长= √(5 * 12) = √60 ≈ 7.746cm练习题三：一个圆的半径为10cm，切线的长度为15cm，求切线与半径的长度。

解答三：我们可以反过来使用切线长定理的公式来求切线与半径的长度。

将已知的切线长度和圆的半径代入公式，得到以下方程：15 = √(10 * x)对方程两边进行平方，解得：225 = 10 * x因此，切线与半径的长度为22.5cm。

练习题四：一个圆的半径为8cm，切线与半径的长度为6cm，求切线的长度和切线与半径的长度的乘积。

解答四：根据切线长定理的公式，我们可以得到切线的长度：切线长= √(8 * 6) = √48 ≈ 6.93cm而切线与半径的长度的乘积可以计算得出：切线与半径的长度的乘积 = 6 * 8 = 48练习题五：一个圆的半径为r，切线与半径的长度为x，切线的长度为y，求y 与x的关系。

解答五：根据切线长定理的公式，我们可以得到：切线长= √(r * x)将切线长用y表示，则得到以下方程：y = √(r * x)对方程两边进行平方，整理得到：y² = r * x通过此方程，我们可以得出y与x的关系。

总结：通过练习题的探讨，我们进一步理解了切线长定理的应用。

切线长定理在几何学中具有重要的意义，它不仅有助于解决实际问题，也可以帮助我们更好地理解圆和切线之间的关系。

(完整版)切线长定理练习题

切线长定理练习题一、选择题1。

下列说法中，不正确的是（ )A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C．垂直于半径的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等2．给出下列说法：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形;③任意一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆;④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中正确的有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( )A．21 B．20 C．19 D．184。

如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有 ( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个4题图5题图6题图5．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的 ( ）A．三条中线的交点 B．三条高的交点C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点6.一个直角三角形的斜边长为8,内切圆半径为1,则这个三角形的周长等于（ )A．21 B．20 C．19 D．18二、填空题6．如图，⊙I是△ABC的内切圆,切点分别为点D、E、F，若∠DEF=52o，则∠A的度为________．PBAO6题图 7题图 8题图7．如图,一圆内切于四边形ABCD ，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD 的周长为________． 8．如图,已知⊙O 是△ABC 的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC 为____________度．三、解答题9。

如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长．10。

如图,PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为点A 、B ，若直径AC= 12，∠P=60o，求弦AB 的长．11。

切线长定理典型练习题

切线长定理典型练习题一、填空题1、如图AB 为⊙O 的直径，CA 切⊙O 于点A ，CD=1cm ，DB=3cm ，则AB=______cm 。

2、已知三角形的三边分别为3、4、5，则这个三角形的内切圆半径是。

3、三角形的周长是12，面积是18，那么这个三角形的内切圆半径是。

二、选择题1、△ABC 内接于圆O ，AD ⊥BC 于D 交⊙O 于E ，若BD=8cm ，CD=4cm ，DE=2cm ，则△ABC 的面积等于（）A.248cmB.296cmC.2108cmD.232cm2、正方形的外接圆与内切圆的周长比为（） A. 1:2 B. 2：1 C. 4：1 D. 3：13、在三角形内，与三角形三条边距离相等的点，是这个三角形的（）A.三条中线的交点，B.三条角平分线的交点，C.三条高的交点，D.三边的垂直平分线的交点。

4、△ABC 中，内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，则∠FDE 与∠A 的关系是（）A. ∠FDE=21∠A B . ∠FDE+21∠A=180° C . ∠FDE+21∠A=90° D . 无法确定三、解答题：1、如图，AB 、CD 分别与半圆O 切于点A 、D ，BC 切⊙O 于点E ，若AB ＝4，CD ＝9，求⊙O 的半径。

2、等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10 cm ，求它的内切圆的半径。

3、如图，在△ABC 中，∠C=90°，以BC 上一点O 为圆心，以OB 为半径的圆交AB 于点M ，交BC 于点N 。

（1）求证：B A ·BM=BC ·BN ；（2）如果CM 是⊙O 的切线，N 为OC 的中点。

当AC=3时，求AB 的值。

N MOCP C B AA 4、已知如图,过圆O 外一点B 作圆O 的切线BM, M 为切点.BO 交圆O 于点A,过点A 作BO 的垂线,交BM 于点P.BO=3,圆O 半径为1.求MP 的长.5、如图，两圆内切于点A,PA 既是大圆的切线，又是小圆的切线，PB 、PC 分别切两圆于B 、C 。

(完整版)切线长定理练习题

切线长定理练习题一、选择题1.下列说法中，不正确的是( ) A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C．垂直于半径的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等2．给出下列说法：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中正确的有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个3.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( ) A．21 B．20 C．19 D．184. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个4题图5题图6题图5．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的( )C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点6.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( )A．21 B．20 C．19 D．18二、填空题6．如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，若∠DEF=52o，则∠A的度为________．6题图7题图8题图7．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________．8．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC为____________度．三、解答题9. 如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，求△ABC的周长．10. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为点A、B，若直径AC= 12，∠P=60o，求弦AB的长．PBAO11. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°．（1）求∠APB 的度数；（2）当OA ＝3时，求AP 的长．12．已知：如图，⊙O 内切于△ABC ，∠BOC =105°，∠ACB =90°，AB =20cm ．求BC 、AC 的长．13．已知：如图，△ABC 三边BC =a ，CA =b ，AB =c ，它的内切圆O 的半径长为r ．求△ABC 的面积S ．14. 如图，在△ABC 中，已知∠ABC=90o ，在AB 上取一点E ，以BE 为直径的⊙O 恰与AC 相切于点D ，若AE=2 cm ，AD=4 cm ． (1)求⊙O 的直径BE 的长； (2)计算△ABC 的面积．15．已知：如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠C =90°．(1)若AC =12cm ，BC =9cm ，求⊙O 的半径r ； (2)若AC =b ，BC =a ，AB =c ，求⊙O 的半径r ．四、体验中考16.（2011年安徽）△ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是（）A ．120°B ．125°C ．135°D ．150°17.（2011年绵阳）一个钢管放在V 形架内，右图是其截面图，O 为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm ，∠MPN = 60︒，则OP =( ) A ．50 cm B ．253cm C ．3350cm D ．503cm 18. (2011年甘肃定西)如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．17题图 18题图 19题图19. （2011年湖南怀化）如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，点E 是⊙O 上一点，参考答案◆随堂检测1. C2. B (提示：②④错误)3. 760（提示：连接ID,IF ∵∠DEF=520∴∠DIF=1040∵D、F是切点∴DI ⊥AB,IF⊥AC∴∠ADI=∠AFI=900∴∠A=1800-1040=760）4. 52 (提示：AB+CD=AD+BC)5. 1150(提示：∵∠A=500∴∠ABC+∠ACB=1300∵OB,OC分别平分∠ABC,∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=650∴∠BOC=1800-650=1150)◆课下作业1. D （提示：AD=AF,BD=BE,CE=CF ∴周长=821218⨯+⨯=）2. C3. D4. 解：∵AD,AE 切于⊙O 于D,E ∴AD=AE=20 ∵AD,BF 切于⊙O 于D,F ∴BD=BF 同理：CF=CE∴C △ABC =AB+BC+AC=AB+BF+FC+AC=AB+BD+EC+AC=AD+AE=405. 解：连接BC ∵PA,PB 切⊙O 于A,B ∴PA=PB ∵∠P=600 ∴△ABC 是正三角形 ∵∠PAB=600∵PA 是⊙O 切线 ∴CA ⊥AP ∴∠CAP=900 ∴∠CAB=300 ∵直径AC ∴∠ABC=900∴cos300=ABAC∴AB=6. 解：（1）∵在△ABO 中，OA ＝OB ，∠OAB ＝30°∴∠AOB ＝180°－2×30°＝120°∵PA 、PB 是⊙O 的切线∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ．即∠OAP ＝∠OBP ＝90° ∴在四边形OAPB 中，∠APB ＝360°－120°－90°－90°＝60°．（2）如图①，连结OP∵PA 、PB 是⊙O 的切线∴PO 平分∠APB ，即∠APO ＝12∠APB ＝30°又∵在Rt △OAP 中，OA ＝3， ∠APO ＝30°∴AP ＝tan 30OA°＝7. 解：（1）连接OD ∴OD ⊥AC ∴△ODA 是Rt △解之得：r=3 ∴BE=6(2) ∵∠ABC=900 ∴OB ⊥BC ∴BC 是⊙O 的切线 ∵CD 切⊙O 于D ∴CB=CD 令CB=x∴AC=x+4，BC=4，AB=x ，AB=8 ∵2228(4)x x +=+ ∴6x = ∴S △ABC =186242⨯⨯= ●体验中考 1. C2. A （提示：∠MPN=600可得∠OPM=300 可得OP=2OM=50）3.3（提示：连接OB ，易得：∠ABC=∠AOB ∴cos ∠AOB=cos ∠35=OBOA AO=）4. ∠P=600。

切线长定理练习题

切线长定理—巩固练习（基础）一、选择题1. 下列说法中，不正确的是 ( )A ．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B ．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C ．垂直于半径的直线是圆的切线D ．三角形的内心到三角形的三边的距离相等2．△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆的半径为r ，则△ABC 的面积为（）A.（a ＋b ＋c ）rB.2（a ＋b ＋c ）C.（a ＋b ＋c ）rD.（a ＋b ＋c ）r 3.（2016•西城区）如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，如果∠P=60°，PA=2，那么AB 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．44. 如图所示，⊙O 的外切梯形ABCD 中，如果AD ∥BC ，那么∠DOC 的度数为( )A.70°B.90°C.60°D.45°第4题图第5题图21315．如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，∠P的度数为（）A.35°B.45°C.65°D.70°6．已知如图所示，等边△ABC的边长为2cm，下列以A为圆心的各圆中，半径是3cm 的圆是( )二、填空题7．如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，若∠DEF=52o，则∠A的度为________．第7题图第8题图第9题图8．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________．9．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC为____________度．10．如图，、分别切⊙于点、，点是⊙上一点，且，则____度．PA PB O A B E O60=∠AEB=∠P第10题图第11题图11．如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC=32°，则∠P的度数为 .12.（2016秋•淮安校级期中）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，⊙O的半径为6cm，OP的长为10cm，则△PDE的周长是．三、解答题13．已知，如图，A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，P是BC上任意一点，过点P作⊙O的切线，交AB于点M，交AC于点N，设AO=d，BO=r．求证：△AMN 的周长是一个定值，并求出这个定值．14. 已知：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点．(1)若∠P=40°，求∠COD；(2)若PA=10cm，求△PCD的周长．15.（2015•南丹县一模）如图，∠C=90°，⊙O是Rt△ABC的内切圆，分别切BC，AC，AB于点E，F，G，连接OE，OF．AO的延长线交BC于点D，AC=6，CD=2．（1）求证：四边形OECF为正方形；（2）求⊙O的半径；（3）求AB的长．【答案与解析】一、选择题1.【答案】C.【解析】经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2.【答案】A.【解析】连结内心与三个顶点，则△ABC 的面积等于三个三角形的面积之和，所以△ABC的面积为a ·r ＋b ·r ＋c ·r ＝（a ＋b ＋c ）r ． 3.【答案】B【解析】∵PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，∴PA=PB ；∵∠P=60°，∴△PAB 是等边三角形；∴AB=PA=2，故选B ．4.【答案】B ；【解析】由AD ∥BC ，得∠ADC+∠BCD=180°，又AD 、DC 、BC 与⊙O 相切，所以∠ODC=∠ADC ，∠OCD=∠BCD ，所以∠ODC+∠OCD=×180°=90°，所以∠DOC=90°.故选B.5.【答案】D ； 21212121212121【解析】根据切线的性质定理得∠PAC=90°，∴∠PAB=90°﹣∠BAC=90°﹣35°=55°．根据切线长定理得PA=PB，所以∠PBA=∠PAB=55°，所以∠P=70°．6.【答案】C；【解析】易求等边△ABC的高为3cm等于圆的半径，所以圆A与BC相切，故选C. 二、填空题7．【答案】76°；【解析】连接ID,IF ∵∠DEF=52°，∴∠DIF=104°，∵D、F是切点，∴DI⊥AB,IF⊥AC ，∴∠ADI=∠AFI=90°，∴∠A=1800-1040=76°.8.【答案】52；【解析】提示：AB+CD=AD+BC.9.【答案】115°；【解析】∵∠A=500∴∠ABC+∠ACB=130°，∵OB,OC分别平分∠ABC,∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=65°，∴∠BOC=1800-650=115°.10．【答案】60°；【解析】连结OA、OB，则∠AOB=120°，在四边形OAPB中，∠P=360°-90°-90°-120°=60°.11．【答案】26°；【解析】连结OA，则∠AOC=64°，∠P=90°-64°=26°.12.【答案】16cm【解析】连接OA．∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点，∴BD=CD，CE=AE，PA=PB，OA⊥AP．在直角三角形OAP中，根据勾股定理，得AP=8，∴△PDE的周长为2AP=16．故选答案为16cm．三、解答题13.【答案与解析】解：∵AB，AC分别与⊙O相切，∴OB⊥AB，∵AO=d，BO=r，∴AB==，∵MN切圆O于点P，∴MP=MB，NP=NC，∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+PM+PN+AN=AM+BM+AN+PN=AB+AC=2AB=2，∴△AMN的周长是一个定值，这个定值为2．14. 【答案与解析】（1）∵PA，PB,DC 分别切圆O 于A,B,E 点∴OC 与OD 就是△PCD 的两个外角的平分线∴∠COD=90°- ∠P=90°-20°=70° （2）∵PA 与PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于E ，∴PA=PA=10cm ，CA=CE ，DE=DB ，∴△PCD 的周长=PD+DE+EC+PC=PD+DB+CA+PC=PA+PB=20cm ．故答案为20 cm ．15. 【答案与解析】（1）证明：∵⊙O 是Rt△ABC 的内切圆，分别切BC ，AC ，AB 于点E ，F ，G ， ∴∠C=∠CFO=∠CEO=90°，∴四边形CFOE 是矩形，∵OF=OE，∴四边形OECF 为正方形；（2）解：由题意可得：EO∥AC，∴△DEO∽△DCA，∴=，设⊙O 的半径为x ，则=，解得：x=1.5，12故⊙O的半径为1.5；（3）解：∵⊙O的半径为1.5，AC=6，∴CF=1.5，AF=4.5∴AG=4.5，设BG=BE=y，∴在Rt△ACB中AC2+BC2=AB2，∴62+（y+1.5）2=（4.5+y）2，解得：y=3，∴AB=AG+BG=4.5+3=7.5．。

切线长定理习题

切线长定理练习题
1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在__________，半径为___________.
2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在__________，半径r=___________.
3.Rt △ABC 中,∠C=90°,a=3,b=4,则内切圆的半径是_______.
4.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,则此三角形的周长是_______.
5.如图1，一圆内切于四边形ABCD ，且AB =16，CD =10，
则四边形的周长为
6.已知：在△ABC 中，BC ＝14cm ，AC ＝9cm ，AB ＝13cm ，BC ，AC ，AB 分别与⊙O 切于点D 、E 、F ，求AF ，BD 和CE 的长。

7.已知：如图,PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别是A 、B ，Q 为⊙O 上一点，过Q 点作⊙O 的切线，交PA 、PB 于E 、F 点，已知PA=12cm ，∠P=70°,求：△PEF 的周长和∠EOF 的大小。

F B
8.已知：两个同心圆PA 、PB 是大圆的两条切线，PC 、PD 是小圆的两条切线，A 、B 、C 、D 为切点。

求证：AC=BD
9.以正方形ABCD 的一边BC 为直径的半圆上有一个动点K ，过点K 作半圆的切线EF ，EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，试问：四边形AEFD 的周长是否会因K 点的变动而变化？为什么？
10.如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ⊥BC ，以AB 为直径的⊙O 与DC 相切于E ．已知AB =8，边BC 比AD 大6，
求边AD 、BC 的长。

P
D B C。

初三下册数学切线长定理练习题

初三下册数学切线长定理练习题在初三数学的学习中，我们接触到了很多有趣的定理和概念。

其中，切线长定理是一个非常重要且实用的定理。

它告诉我们如何计算切线的长度，并在解决几何问题时起到关键作用。

本文将通过几个练习题来帮助大家巩固切线长定理的应用。

练习题一：已知圆O的半径为r，点A和B是圆上的两个不重合点，线段AB与圆的切线交于点C。

如果AB的长度为d，求线段AC的长度。

解答一：根据切线长定理，线段AC的长度等于点C到圆心O的距离。

因此，我们可以得到以下等式：AC = √(AO² - OC²)其中，AO的长度就是圆的半径r，OC的长度可以通过勾股定理计算。

由于OC垂直于AC，且OB为半径，那么三角形BOC就是一个直角三角形。

根据勾股定理得到：OC² = OB² - BC²将OB的长度代入，即OC² = r² - (d/2)²。

将OC的长度代入前面的等式，即可求得线段AC的长度。

练习题二：在一个圆内，有一条长为l的弦，且与一条半径的夹角为θ。

求切线的长。

解答二：设弦的中点为M，圆的半径为r。

根据切线长定理，我们需要求出切点A到圆心O的距离，即OA的长度。

由于AO是半径，所以OA 的长度为r。

又因为三角形OAM是一个直角三角形，我们可以利用正弦函数得到AM的长度：AM = r * sin(θ/2)由于切线的长度等于切点到圆心的距离，所以切线的长为AM的两倍，即2 * r * sin(θ/2)。

练习题三：已知直径AB的长度为6cm，圆的半径为r。

线段CD为半径AE的垂直平分线，且CD与AB相交于点F。

若CF的长度为4cm，求切线的长。

解答三：首先计算半径AE的长度。

由于CD为半径AE的垂直平分线，所以AE等于AF。

根据勾股定理得到：AE² = AF² + CF²代入已知数据，即得AE² = 3² + 4² = 25。

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