1-4复变函数及其极限与连续
复变函数的极限和连续
场在空间某方向上是均匀的，则只需要在垂直于该方
向的平面上研究它，这样的场便称为平面场。本节对
解析函数在平面场研究中的应用作一简单介绍。
解析函数，实、虚部是共轭调和函数，曲线族u=常数
与v＝常数是正交曲线族。 1. 平面静电场
在无电荷区，静电场电势满足拉普拉斯方程，电场所
在区域上的某一解析函数的实部（或虚部）就可以用
来表示该区域上的静电场的电势。这个解析函数称为
平面静电场的复势。其实部或虚部就是电势。
为叙述方便，这里说u是电势。u=常数，是等势线族。
曲线族v(x,y)=常量，垂直于等势线族，因而v=常量，
是电场线族。
数学物理方法 第一章
30
例1. 已知平面电场的电势为u=x2－y2，求电场线方程
分析：等势面与电力线相互正交，对应的函数组成一个解析函数 的实部与虚部，满足C-R条件
例22.已知解析函数的虚部 v(x,y) x x2y2，求实部
和这个解析函数
方法三d提u 示 ：u d u d
u
u
d
(
)
2 cos ( )
2
u sin ( )
22
( ) 0, ( ) C
数学物理方法 第一章
29
1.5 平面标量场
场在物理上和工程技术上得到广泛应用。当所研究的
满足C-R条件。
x y x y
证明（板书）：
数学物理方法 第一章
13
作业：试推导极坐标系中的C-R条 件
数学物理方法 第一章
14
数学物理方法 第一章
15
1.点解析
解析z 0 ；
2.区域解析 若函数在区域B内处处可导，则称f(z)在 区域B内解析；
复变函数1-4章
(三) 复变函数的积分（8学时)
内容：复变函数积分的定义、性质和计算；柯西－古萨（Cauchy－Goursat） 基本定理及其推广-复合闭路定理；Cauchy积分公式及解析函数的高阶导数； 解析函数与调和函数的关系。 1.基本要求 （1） 理解复变函数积分的概念，掌握复变函数积分的基本性质及一般计算 方法。 （2） 理解柯西－古萨基本定理及其推论。 （3） 熟练掌握用柯西积分公式及高阶导数公式计算积分的方法。 （4） 了解摩勒拉(Morera）定理。 （5） 了解调和函数与解析函数的关系，会从解析函数的实（虚）部求 其虚（实）部。； 2.重点、难点 重点：柯西－古萨基本定理及柯西积分公式。 难点：摩勒拉(Morera）定理。 3.说明：本章内容是整个复变函数理论的基础。
3
复变函数发展的三个节点：
1、Euler公式 在复数域 下把三角函数、双曲函数和指数函数统一起来； 2、Cauchy-Riemann条件 u ; u
x y y x
eix cos x i sin x
定义出最重要的解析函数，其函数与方向无关，即 f (z)dz 0 3、幂函数闭路积分
(conjugate)
( 2) z z
(4) z z 2 Re (z ) z z 2i Im (z )
1 z z | z |2
18
z1 z1 ( ) z2 z2
2 2
( 3 ) z z R e ( z ) Im ( z ) x y
2
2
例1 : 设z1 5 5i , z 2 3 4i , z1 z1 求 , ( )及 它 们 的 实 部, 虚 部 . z2 z2
Complex Analysis
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数)1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+== 反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w性质与对数函数的性质相同。
复变函数总复习资料
总结词
导数与微分在解决实际问题中具有广泛的应 用。
详细描述
导数与微分的应用包括求函数的极值、判断 函数的单调性、求函数的拐点、近似计算等 。这些应用在物理学、工程学、经济学等领 域都有广泛的应用，如波动方程、热传导方 程、弹性力学等领域的研究都需要用到复变
函数的导数与微分。
04
复变函数的积分
积分的定义与性质
解析性是实变函数的导数的定义基础，因此解析性在实变函数中有 着广泛的应用。
在复变函数中的应用
解析性是复变函数的导数的定义基础，因此解析性在复变函数中有 着广泛的应用。
在物理中的应用
解析性在物理中也有着广泛的应用，例如在电磁学、光学等领域中， 解析性可以帮助我们更好地理解物理现象。
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总结词
复数与复变函数在物理、工程等领域有广泛应用。
详细描述
复数与复变函数在物理、工程等领域有广泛的应用。例如，在电路分析中，电压和电流可以用复数表示，方便计 算；在信号处理中，复数可以用于表示和处理信号；在量子力学中，波函数通常用复数表示。此外，许多数学问 题也可以通过复数和复变函数得
总结词
复变函数是定义在复数域上的函数，具有连续性、可微性等 性质。
详细描述
复变函数是定义在复数域上的函数，其定义与实数域上的函 数类似，但具有更丰富的性质。复变函数可以具有连续性、 可微性、解析性等性质，这些性质在研究复变函数的积分、 微分、级数等数学问题中具有重要作用。
复数与复变函数的应用
幂级数的概念与性质
定义
幂级数是无穷多个形如$a_n x^n$的项按照一定的顺 序排列的数列，其中$a_n$是常数，$x$是变量。
性质
收敛半径，幂级数的展开式，幂级数的加减乘除等。
复变函数的极限与连续性
z z0
z z0
z z0
lim f (z)g(z) lim f (z) lim g(z)
z z0
z z0
z z0
lim
f (z)
lim
z z0
f (z) (lim g(z) 0)
zz0 g(z) lim g(z) zz0
z z0
以上定理用极限定义证!
3.函数的连续性
定义
若 lim z z0
故不连续。
(2)在负实轴上 P( x,0)( x 0)
y (z) z
lim arg z y0
而 lim arg z y0
P( x,0)
ox
z
arg z 在负实轴上不连续。
定理4 连续函数的和、差、积、商、(分母不为0) 仍为连续函数; 连续函数的复合函数仍为连续函数。
由以上讨论 P(z) a0 a1z anzn在整个复平面内是连续的； R(z) P(z) 在复平面内除分母为0点外处处连续.
z0
一个预先给定的
A
ε邻域中 定义中 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数.
2. 运算性质
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系： 定理1
定理2
若 lim f (z) A lim g(z) B
z z0
z z0
lim f (z) g(z) lim f (z) lim g(z)
Q(z)
有界性：
设 曲 线C为 闭 曲 线 或 端 点 包 括 在内 的 曲 线 段 若f (z)在C上连续 M 0 f (z) M(z C )
1. 函数的极限
定义 设 w f (z) z O(z0 , ),若数A，
复变函数的基本概念及运算
三 邻域、内点、外点、境界点
1 邻域：以 z 0 为中心，任意小正实数 为半径
的圆内所有点的集合，称为 z 0 点的邻域。 2 内点、外点、境界点：若 z 0 及其邻域均属于点
集 E ，则称 z 0 为 E 的内点；若 z 0 及其邻域均不属于 E ，则称 z 0 为 E 的外点；若 z 0 的每个邻域内，既有 属于 E 的点，也有不属于 E 的点，则称 z 0 为 E 的境
一 解析函数的定义
若函数 f (z) 在 z0 点及其邻域上处处可导，则称 f (z) 在 z0 解析，在区域 B 上每一点都解析，则称 f (z) 是区域
上的解析函数。
二 解析函数的性质
1 解析函数的实部与虚部通过C — R 方程互相联系，知
其中一个函数，可求另一个函数。
例：已知解析函数 f (z) 的虚部 v(x, y) x x2 y 2
2k
i( )
方根： n z n e n n ， k 0,1,, n 1， n ∈N
五 共轭复数
若 z x iy ei ， 则 z 的 共 轭 复 数 定 义 z* x iy ei 为复数 z 的共轭复数， z 2 zz * 。
欧拉公式 ei cos i sin 的证明
lim
z 0
w z
lim
0
u(
, )
iv(
,) ( )e i
u(,)
iv( , )
lim
u(
x0
,)
u(,)
复变函数及连续性
第三节复变函数的极限与连续一、复变函数的概念二、复变函数的极限三、复变函数的连续性一、复变函数的概念1. 复变函数的定义定义1.1 设E 是复平面上的点集, 若对任何z ∈E , 都存在惟一确定的复数w 和z 对应, 称在E 上确定了一个单值复变函数，用w =f (z )表示.E 称为该函数的定义域.在上述对应中, 当z ∈E 所对应的w 不止一个时, 称在E 上确定了一个多值复变函数.(){()|}() A f E f z z E w f z ==∈=称为复函的值域数.2. 复变函数与自变量之间的关系:() :w z w f z =复变函数与自变量之间的关系相当于两个实函数),,(),,(y x v v y x u u ==例3 , 2z w =函数,, iv u w iy x z +=+=令2)( iy x iv u +=+则,222xyi y x +−= : 2数对应于两个二元实变函于是函数z w =,22y x u −=.2xy v =,,z x iy w u iv =+=+因为，若记则()Re ()Im ()(,)(,).w f z f z i f z u x y iv x y ==+=+例4解,, iv u w iy x z +=+=令2)( iy x iv u +=+则,222xyi y x +−=,22y x u −=.2xy v =所以222424 4.w z z x y xy w u v =−====于是将平面上的双曲线与分别映为平面上直线和222,42w z z x y xy w =−== 设复函数试问它将平面上的双曲线 与 分别映为平面上的何种曲线？7函数w =z 2对应于两个二元实变函数: u =x 2−y 2, v =2xy 把z 平面上的两族双曲线x 2−y 2 = c 1 , 2xy = c 2 分别映射成w 平面上的两族平行直线u =c 1 , v =c 2 .101−1−1−10−8−6−4−2x 2468v =101y −10−8−6−4−2u =02468uv 1010−10−10⎯⎯→⎯=2z w θr ϕρ二、复变函数的极限1.复变函数极限的定义定义1.200000,()0,0,,0|||()|,()lim(),lim ().z z z E z z w f z E C z E C z E z z f z z z f z f z f z αεδδαεααα→∈→=⊂∈∀>∃>∈<−<−<== 设复函数在点集上有定义，为的一个聚点， 。
复变函数的极限与连续
一、 复变函数 二、 复变函数的极限 三、 复变函数的连续性
1
一、 复变函数
x 实变量, y f ( x) 为实变函数, x 的值一旦确定,
y 只有一个数和它对应. 高等数学中的实变函数,
都是单值函数. 可用平面上的一条曲线表示一个实变函数.
z 复变量, w f (z) 为复变函数, z 的值一旦确定,
x
u
9
例2(3) 函数 w 1
z
把z平面上的直线 y kx
映射成 怎样的曲线？
解
w
1
x i kx
1 ik
x (1 k 2 )
u 1 , x (1 k 2 )
v k , x (1 k 2 )
ku v 0
y
w1 z
把
y kx 映射成 ku v 0
v
把 y x 映射成 u v 0
0x
yc y 1
v2 4c2(c2 u) v2 4(1 u)
y 2 y
v2 16(4 u) v
x
u
证 zz xc iyc w (cxiiyc))22cx2 2yc2222ccyxi i
uu xc2 cy22 v 2cxy
xy v 2c
u
v2 c42c2
vc22 4c2
v22 4c22(c22 u) u c2 u c72
z z 2 t (2ti 0) w (2 2i)2 8i
2
0 arg(w)
5
例1.14续 考察 w z2 的映射性质 z x iy
w ( x iy)2 x2 y2 i2xy
3) w z2 将z平面上的
w平面上的
双曲线 xy a 映射成 v 2a 直线
复变函数的极限和连续性
如果函数$f(z)$在点$z_0$处连续，则对于任意实数$a$，有$f(z+a)=f(z)+a$，且对于 任意复数$b$，有$f(z+b)=f(z)+b$。
连续性的判定方法
要点一
极限判定法
如果对于复数域内的任意点$z_0$，都有$lim_{z to z_0} f(z)=f(z_0)$，则函数$f(z)$在点$z_0$处连续。
VS
极限法
如果函数在某点的极限存在，且极限值等 于函数值，则该函数在该点可微。
可微性的性质和定理
局部性质
如果复变函数在某点可微，则该函数在该点的导数存在。
链式法则
如果两个复变函数通过乘法或除法组合，且各自在某点可微，则组 合后的函数在该点也可微，且其导数等于各自导数的乘积或商。
参数方程表示
如果复变函数由参数方程表示，且参数方程在某点可微，则该复变函 数在该点也可微。
05
复变函数的应用
在物理中的应用
量子力学
01
复变函数在量子力学中用于描述波函数，通过复数形式表达波
函数的实部和虚部。
电磁学
02
在电磁学中，复数形式的复变函数被用于描述电场和磁场，以
及相关的波动现象。
光学
03
光学中的波动理论使用复变函数来描述光波的传播和性质，如
折射、反射和干涉等现象。
在工程中的应用
04
复变函数的可微性
可微性的定义和性质
定义
如果对于复变函数f(z)，其导数f'(z)在某点z0 存在，则称f(z)在z0可微。
性质
复变函数在某点的可微性意味着该函数在该 点有切线，且切线的斜率等于函数的导数值
。
复变函数
lim f(z) = f(z0)
在集 E 上连续.
则称 f(z) 在 点z0 连续.若 f(z) 在集 E 的每一个聚点连续, 则称f(z) 注: 设 z = x+iy, z0 = x0+i y0, f(z) = u(x,y) + i v(x,y). 则
z → z0 z∈E
lim f(z) = f(z0) = u(x0, y0) + i v(x0, y0) ⇔
这一映照可以看成由 ω = 对于复变函数 f(z), 由于 f(z) ∈ C, 故而一般地有表示:
1
f(z) = u(x,y) + i v(x,y),
2 2 2
(x,y) ∈ E.
2 2 2
例 4: w = f(z) = z = (x+iy) = x - y + 2xyi. 则 u(x,y) = x - y , v(x,y) = 2xy. 下面我们讨论复变函数的极限与连续性. 定义: 设函数 w = f(z) 在集 E 上确定, z0 为 E 之聚点, α 为一复常数. 如果 ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 z ∈ E 且 0 < |z - z0| < δ 时, 有 | f(z) - α | < ε 则称当 z 趋于 z0 时, f(z) 有极限 α. 记作
第二章
复变函数
（Complex Variable Functions）
本章介绍复变函数及其极限与连续等的概念与性质; 引入判断函数可微和解析的主要条 件---柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)条件; 把实的初等函数推广到复数域上并研究复变函数的 性质, 其中包括几类多值函数的性质；最后引入了调和函数的概念，给出调和函数和解析函 数之间的关系。
复变函数(全)
0
0
0
0
第二章
第一节 解析函数的概念
1.复变函数的导数与微分 (1) 导数的定义 设函数 w f ( z ) 定义于区域 D , z 为D 中的一点,点 z z 不超出 D 的范围,如 f ( z z ) f ( z ) 果极限 lim 存在, 那么就说 f ( z ) z z 的导数,记作 在 z 可导.这个极限值就称 f ( z ) 在 dw f ( z z ) f ( z ) f ( z ) lim . dz z
第一节 复数及其代数运算
1 复数的概念 对 任 意 二 实 数 x, y , 称 z x iy 或
z x yi 为复数 , 其中x, y 分别称为 z 的实部 和虚部,记作 x Re( z ), y Im( z ) . 当 x 0, y 0 时 , z iy 称 为 纯 虚 数 ; 当 y 0 时, x x i 0 可看作实数x .
如果存在z0 的一个邻域,该邻域内的所有点
G 的内点.如果 G 内的 z0 为 都属于G ,那么称 G 为开集. 每个点都是G 的内点,那么称
第四节 区
域
(3) 区域 D 满足下列 平面点集D 称为一个区域, 如果 两个条件: 1)D 是一个开集;
2)D 是连通的, 即D 中任意两点都可以
用完全属于D 的折线连接起来.
第一节 解析函数的概念
(3)求导法则:
f ( z) g ( z ) f ( z ) f ( z ) g ( z ) ] 5) [ g ( z) g 2 ( z)
6) { f [ g ( z )]} f ( w) g ( z ) , 其中 w g ( z ) 7)
复变函数的极限与连续性例题和知识点总结
复变函数的极限与连续性例题和知识点总结在复变函数的学习中，极限与连续性是非常重要的概念。
理解和掌握它们对于解决各种复变函数的问题至关重要。
下面我们将通过一些具体的例题来深入探讨复变函数的极限与连续性，并对相关知识点进行总结。
一、复变函数极限的定义设函数＼（w ＝ f(z)＼）定义在＼（z_0\）的某个去心邻域内，如果对于任意给定的正数＼（＼epsilon\），总存在正数＼（＼delta\），使得当＼（ 0 ＜｜z z_0| ＜＼delta\）时，都有＼（｜f(z) A| ＜＼epsilon\），则称＼（ A\）为＼（ f(z)＼）当＼（ z\）趋于＼（ z_0\）时的极限，记作＼（＼lim_{z ＼to z_0} f(z) ＝ A\）。
二、复变函数连续性的定义如果函数＼（ f(z)＼）在＼（ z_0\）处满足＼（＼lim_{z ＼toz_0} f(z) ＝ f(z_0)＼），则称＼（ f(z)＼）在＼（ z_0\）处连续。
如果＼（ f(z)＼）在区域＼（ D\）内处处连续，则称＼（ f(z)＼）在＼（ D\）内连续。
三、例题解析例 1：求＼（＼lim_{z ＼to 1 ＋ i} （z^2 2z ＋ 2)＼）解：将＼（ z ＝ 1 ＋ i\）代入＼（ z^2 2z ＋ 2\）得：＼begin{align}＆（1 ＋ i)＾2 2(1 ＋ i) ＋ 2\＼＝＆1 ＋ 2i ＋ i^2 2 2i ＋ 2\＼＝＆1 ＋ 2i 1 2 2i ＋ 2\＼＝＆0＼end{align}＼所以＼（＼lim_{z ＼to 1 ＋ i} （z^2 2z ＋ 2) ＝ 0\）例 2：判断函数＼（ f(z) ＝＼frac{z^2 1}｛z 1}＼）在＼（ z ＝1\）处的连续性。
解：先对函数进行化简：＼＼begin{align}f(z)＆＝＼frac{z^2 1}｛z 1}＼＼＆＝＼frac{（z 1)（z ＋ 1)｝｛z 1}＼＼＆＝ z ＋ 1＼end{align}当＼（ z ＼to 1\）时，＼（＼lim_{z ＼to 1} f(z) ＝ 2\），而＼（ f(1)＼）不存在，所以函数＼（ f(z)＼）在＼（ z ＝ 1\）处不连续。
复变函数课件第2章复变函数的概念、极限与连续性
u x cos y sin
v
x sin
y
sin
—旋转变换(映射)
➢见图2
y (z)
v (w)
o
x
o
u
图1-1
y、v (z)、(w)
y、v (z)、(w)
o
x、u
x、u
图1-2
o 图2
例5 研究w z2 所构成的映射 .
y (z)
v (w)
w z2
2
o
x
o
u
y (z)
v (w)
w z2
(1) 设 z0 D , 若存在 z0 的一个邻域，使得 f (z) 在此邻域内处处可导, 则称 f (z)在 z0处解析, 也称 z0是 f (z)的解析点.
(2) 若 f (z) 在区域D内每一点都解析，则称 f (z)在区域D内解析, 或者称 f (z) 是区域D内的 解析函数.
(3) 设G是一个区域，若闭区域 D G, 且 f (z)在G内解析，则称 f (z) 在闭区域 D 上 解析.
由 f (z)在D内可导, 可知 f (z)在U内可导, 即 f (z)在z处解析.
z0
z
lim (z z)2 z2
z0
z
lim(2z z). z0
所以 z2 2z.
例2 证明 f (z) x 2 yi 在复面内处处 连续，但处处不可导.
证明 对复平面内任意点z, 有 f (z z) f (z)
( x x) 2( y y)i x 2 yi x 2yi. 故 lim[ f (z z) f (z)] 0.
z z0
注意: 定义中zz0的方式是任意的.
几何意义
y
(z)
复变函数复习
不考内容《复变函数》第一章：§复球面§区域§5 第二部分：映射的概念§6 复变函数的极限与连续性第四章§1 复数项级数第五章§3 留数在定积分上的应用、《积分变换》第一章：傅立叶变换第二章：§4 卷积注意：第二章一般不算积分，除了周期函数的公式以外。
复变函数复习第一章 复数与复变函数1.复数的表示(1)复数的代数表示:复数z = x + i y ,其中x,y 为实数.(2)复数的几何表示:复数z = x + i y 可以用xy 平面上的点P(x,y)来表示,因而也能用原点指向P 点的平面向量来表示.(3)复数的三角表示:复数()θθsin cos i r z += 复数的模 22y x r z +==复数的辐角Argz=θ, ()xyArgz tg = , 复数的辐角的主值argzArgz=argz+2k π(k 为整数). 规定-π＜argz ≤π当0=z 时,|z|=0,辐角没有意义.当∞=z 时,|z|=+∞,没有实部,虚部和辐角. argz(0≠z )与反正切xy Arctg 的主值x y arctg ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-22ππx y arctg 的关系：第一、四象限 xy arctg z =arg x ﹥0第二象限 π+=xyarctg z arg x ﹤0,y ﹥0第三象限 π-=xy arctg z arg x ﹤0,y ﹤0 正虚轴 2arg π=z x=0,y ﹥0 负虚轴 2arg π-=z x=0,y ﹤0负实轴 π=z arg x ﹤0,y=0(4)复数的指数表示：θi re z z =≠,0时2.复数的运算设z 1= x 1+iy 1=()111sin cos θθi r +, z 2 = x 2+iy 2()222sin cos θθi r +=(1)相等 z 1= z 2 ⇔ x 1=x 2 y 1=y 2 (2)加(减)法 z 1±z 2=(x 1±x 2)+i(y 1±y 2) (3)乘法 z 1z 2=(x 1x 2-y 1y 2)+i(x 2y 1+x 1y 2)()()[]212121)(21sin cos 21θθθθθθ+++==+i r r e r r i(4)除法222121z z z z z z ⋅⋅==22222121y x y y x x +++i 22222112y x y x y x +-()2121θθ-=i e r r )]sin()[cos(212121θθθθ-+-=i r r (z 2≠0)(5)乘幂 )sin (cos θθθn i n r e r z n in n n +==特别 |z|=1时, (cos θ+isin θ)n =cosn θ+isinn θ (棣莫弗公式) (6)方根,2sin 2cos1⎪⎭⎫⎝⎛+++=n k i n k r z n nπθπθ ()1,,2,1,0-=n k (7)共轭 z = x-iy=re -i θ , 21z z ±=1z 2z ±, 121z z z =2z , 2121z z z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ;z z = ; 22y x z z += ; x z z 2=+, iy z z 2=- .注意:(1)在复数的运算中,除加减法用代数表示较方便外,其它运算宜采用三角表示,特别是用指数表示最方便.(2)关于复数的模与辐角有以下计算公式:2121z z z z ⋅= ,()2121Argz Argz z z Arg +=2121z z z z = , Arg ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21z z =21Argz Argz - (z 2≠0) 3.复变函数的概念复变函数的定义,极限,连续以及导数等概念在形式上几乎与实变函数完全相同.但需注意的是,复变函数的定义域是复平面上的点集,因此在讨论有关概念时,应注意复变量z 变化方式的任意性,即z →z 0可以以任意方式(直线,曲线…),而一元实变函数中实变量x →x 0只能沿x 轴.4.简单曲线是研究复变量的变化范围时经常用到的重要概念之一,特别是简单闭曲线经常作为区域的边界出现.在复变函数的积分运算中,常常需要把曲线表示为复参量的形式,通常用得最多的是一元实参量t 的复值函数 z=z(t)=x(t)+iy(t) (α≤t ≤β) 其中 x=x(t), y=y(t) (α≤t ≤β) 是该曲线在直角坐标系中的参数方程.第二章 解析函数1. 复变函数的导数(1)定义 函数w = f (z)在其定义域D 内一点z 0处(可导)的导数()()()()()000000000limlim lim z z z f z f z z f z z f z wdzdwz f z z z z z z --=∆-∆+=∆∆=='→→∆→∆= 若函数w = f (z)在区域D 内处处可导,称 f (z)在D 内可导. (2) f(z)在z 0可导连续(3)求导法则 若f(z),g(z)在点z 可导,则()1-='b bbzz(b 为复数);()()[]()()z g z f z g z f '±'='±; ()()[]()()()()z g z f z g z f z g z f '+'=';()()()()()()()[]z g z f z g z f z g z g z f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,()0≠z g .()[]{}()()z g w f zg f ''=',其中 ()z g w = . ()()w z f ϕ'='1,其中()z f w =与()w z ϕ=是两个互为反函数的单值函数,且 ()0≠'w ϕ. 2.解析函数(1)定义 如果函数f(z)在z 0及z 0的邻域内处处可导,那末称f(z)在z 0解析.如果f(z)在z 0不解析,则称z 0为f(z)的奇点. 如果f(z)在区域D 内每一点解析,那末称f(z)在D 内解析,或称f(z)是D 内的一个解析函数.(2)性质 两个解析函数的和,差,积,商(分母不为零)及复合函数仍然解析 有理分式函数)()(z Q z P 在复平面内除了使分母为零的点外处处解析 (3)柯西-黎曼方程 (C-R 方程)函数()()()y x iv y x u z f ,,+=在定义域D 内(解析)一点iy x z +=可导⇔u(x,y)与v(x,y)在(D 内)点(x,y)可微,并且满足C-R 方程 yv x u ∂∂=∂∂,x v y u ∂∂-=∂∂.推论 若f (z)在z 处可导, 则 ()yui y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=' . 3.初等函数 定义 定义区域 单值多值性 解析区域 (1) 对数函数Lnz=lnz+2 kπi 整个复平面 多值 整个复平面iArgz z Lnz +=ln (z0) (除原点和负实轴)(k=0,±1,±2,…) 主值分支z i z z arg ln ln +=(2)乘幂 a b = e bL n a =e blna+2bki多值(k=0,±1,±2,…) 主值分支e b l n ab 为正整数n 单值 整个复平面nb 1= n 个分支 (除原点和负实轴)定义 定义区域 解析区域 单值多值性 基本周期 奇偶性(3)指数函数 e z(4)双曲函数2zz e e chz -+=2i 偶2zz e e shz --=整个复平面 单值 奇(5)三角函数2cos iziz e e z -+=2偶ie e z iziz 2sin --= 奇第三章 复变函数的积分1.积分的计算 ()()[]()t d t z t z f z d z f C '=⎰⎰βα光滑曲线C 参数方程: ()()()βα≥≤+==t t iy t x t z z ,, 正向t 增加()⎰+-Cn z z dz10⎩⎨⎧≠==0002n n i πC 是包围z 0的任何一条正向简单闭曲线2.积分的性质 f(z),g(z)沿曲线Ｃ连续(1) ()()dz z f dz z f C C ⎰⎰-=- ; (2) ()()dz z f k dz z kf C C ⎰⎰=;(k 为常数) (3) ()[()]()()dz z g dz z f dz z g z f C C C ⎰⎰⎰±=±(4)设曲线C 的长度为L,函数f(z)在C 上满足()M z f ≤,那末()()ML ds z f dz z f C C ≤≤⎰⎰.3.柯西-古萨基本定理 如果函数f(z)在单连域B 内处处解析，那末函数f(z)沿B 内任何一条封闭曲线C 的积分为零: ()0=⎰dz z f C.推广:(1)闭路变形原理 在区域内的—个解析函数f(z)沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变其值,只要在变形过程中曲线不经过f(z)的奇点.(2)复合闭路定理 设C 为多连域D 内的一条简单闭曲线，C 1，C 2，…，C n 是在C 内部的简单闭曲线,它们互不包含也互不相交,并且以 C ，C 1，C 2，…，C n 为边界的区域全含于D.如果f(z)在D 内解析,那末1) ()()dz z f dz z f nk C CK∑⎰⎰==1 ,其中C 及C k 均取正向.2) 0)(=⎰Γdz z f ,这里г为由C 及C k ―（k=1，2，…，n ）所组成的复合闭路,其方向是:C 逆时针，C k ―顺时针. 推论:(1) ()()dz z f dz z f Z Z C ⎰⎰=10,Ｃ是连结z 0与z 1的任一曲线.(2)函数()()ςςd f z F ZZ ⎰=0必为B 内的—个解析函数,并且()()z f z F ='.5.原函数 如果在区域B 内φ/(z)=f(z),那末φ(z)称为f(z)在区域B 内的原函数不定积分 ()()c z dz z f +=⎰ϕ ,其中ｃ为任意复常数.()()()0110z z dz z f Z Z ϕϕ-=⎰,其中z 0 ,z 1是B 内任意两点6.柯西积分公式 如果f(z)在区域D 内处处解析,C 为D 内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,z 0为C 内的任一点,那末()()dz z z z f i z f C ⎰-=0021π 解析函数f(z)的导数仍为解析函数,上式两边形式上对z 0求n 阶导数得到高阶导数公式 ()()()()dz z z z f i n z fC n n ⎰+-=1002!π . 7.调和函数 如果二元实变函数φ(x,y)在区域D 内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程02222=∂∂+∂∂yxϕϕ,那末称φ(x,y)为区域D 内的调和函数任何在区域D 内解析的函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的实部和虚部都是D 内的调和函数,并且其虚部v(x,y)为实部u(x,y)的共轭调和函数. 8.已知实部或虚部求解析函数(1)偏积分法 如已知u(x,y),可利用柯西一黎曼方程 x u y v ∂∂=∂∂,将x 当成常数,对y 积分得 ()()x g dy xuy x v +∂∂=⎰,,再利用 x v y u ∂∂-=∂∂ 确定g(x). 也可以利用 yux v ∂∂-=∂∂ ,将y 当成常数，对x 积分得()()y h dx yu y x v +∂∂-=⎰, ,再利用 y v x u ∂∂=∂∂ 确定h(y).(2)不定积分法 由于 ()xvi x u z f ∂∂+∂∂=', 利用柯西一黎曼方程得到 ()()z U yui x u z f =∂∂-∂∂=' ,则 ()()c dz z U z f +=⎰ .或 ()()z V xv i y v z f =∂∂+∂∂=' ,则 ()()c dz z V z f +=⎰ . 第四章 级数1.幂级数 形为()()()() +-++-+-+=-∑∞=n n n n n a z c a z c a z c c a z c 22100或 +++++=∑∞=n n n n n z c z c z c c z c 22100的级数称为幂级数.(1)阿贝尔定理 如果级数∑∞=0n n n z c 在()00≠=z z 收敛,那末对满足0z z <的z,级数必绝对收敛. 如果在0z z =级数发散,那末对满足0z z >的z,级数必发散.(2)对于幂级数()nn n a z c -∑∞=0或 ∑∞=0n n n z c ,存在以a 或0为中心,R 为半径的圆周C R .在C R 的内部,级数绝对收敛;在C R 的外部，级数发散.圆周C R 称为幂级数的收敛圆,收敛圆的半径R 称为收敛半径. 特别1)R=0,级数在复平面内除原点外处处发散2)R=∞,级数在复平面内处处收敛(3)对于幂级数∑∞=0n nn z c ,如果λ=+∞→nn n c c 1lim或λ=∞→n n n c lim 那末收敛半径 λ1=R .(包括R=0或R=)(4)在收敛圆内幂级数()n n n a z c -∑∞=0的和函数f(z)是解析函数.在收敛圆R a z <-内,式()()nn n a z c z f -=∑∞=0,可进行有理(加,减.乘法)运算,代换(复合)运算和微积分运算.2.泰勒级数 函数f(z)可在以展开中心z 0为圆心,z 0到f(z)的最近的一个奇点的距离为半径R=-z 0的解析圆域z-z 0<R 内展开为泰勒级数.()()()()n n n z z n z f z f 000!-=∑∞= 泰勒展开式具有唯一性,因此可以借助于一些已知函数的展开式,利用幂级数的有理(加,减.乘法)运算,代换(复合)运算和微积分运算来得出一个函数的泰勒展开式. 常用的已知函数的展开式为+++++=-nz z z z2111 , 1<z . ++++++=!!3!2132n z z z z e n z 3.洛朗级数 函数f(z)可在以展开中心z 0为圆心的解析的圆环域 R 1<z-z 0<R 2内展开为洛朗级数 ()()n n n z z c z f 0-=∑∞-∞=,其中 ()()() ,2,1,0.2110±±=-=⎰+n d z f i c C n n ςςςπ 这里C 为在圆环域内绕z 0的任何一条正向简单闭曲线.洛朗展开式具有唯一性,因此也可以借助于已知函数的展开式,利用幂级数的有理(加,减.乘法)运算,代换(复合)运算和微积分运算来得出一个函数的洛朗展开式.第五章 留数1.孤立奇点的概念和分类(1)定义 如果函数f(z)虽在z 0不解析，但在z 0的某一个去心邻域δ<-<00z z 内处处解析，则将z 0称为f(z)的孤立奇点.(2)孤立奇点的分类和判定z 0为f(z)的 ()z f z z 0lim → f(z)在z 0的去心邻域内的洛朗级数 可去奇点 存在且有限 没有负幂项 极点 ∞有限多个负幂项本性奇点不存在且不为∞ 无穷多个负幂项z 0是f(z)的m 级极点()()()z g z z z f m01-=⇔ ,其中g(z)是在δ<-0z z 内解析的函数，且 ()00≠z g .(3)函数的零点及其与极点的关系不恒等于零的解析函数f(z)如果能表示成 ()()()z z z z f m ϕ0-= 其中()z ϕ在z 0解析并且()00≠z ϕ,m 为某一正整数,那末z 0称为f(z)的m 级零点.如果f(z)在z 0解析，那末z 0为f(z)的m 级零点 ⇔ ()()()()()0,1,,2,1,0,000≠-==z f m n z f m nz 0是f(z)的m 级极点⇔z 0是()z f 1的m 级零点.如果()()()z h z g z f =,而z 0是g(z)的m 级零点,h(z)的n 级零点,那末z 0为()z f 1的(n-m)级零点,为f(z)的(n-m)级极点.(4)函数在无穷远点的性态如果函数f(z)在无穷远点∞=z 的去心邻域+∞<<z R 内解析，那末称点∞为f(z)的孤立奇点.f(z)在+∞<<z R 内的洛朗展开式 ()n n n nn n z c c zc z f ∑∑∞=-∞=-++=101其中 ()() ,2,1,0,211±±==⎰+n d f ic C n n ςςςπ,C 为+∞<<z R 内绕原点的任一正向简单闭曲线.洛朗级数 z=∞是f(z)的 ()z f z ∞→lim没有正幂项 → 可去奇点 ← 存在且有限 有限正幂项(最高m 次) → 极点(m 级) ← ∞ 无限正幂项 → 本性奇点 ← 不存在且不为∞ 2.留数与留数的计算(1)留数定义 如果z 0为f(z)的一个孤立奇点,C 是z 0的去心邻域R z z <-<00 内包围z 0的任意一条正向简单闭曲线,函数f(z)在此邻域内展开成洛朗级数 ()()n n n z z c z f 0-=∑∞-∞=, 则f(z)在z 0处的留数 ()[]()dz z f ic z z f s C⎰==-π21,Re 10 (2)留数定理 设函数f(z)在区域D 内除有限个孤立奇点n z z z ,,,21 外处处解析.C 是D 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那末()()[]∑⎰==nk k Cz z f s i dz z f 1,Re 2π(3)留数的计算1)可用洛朗级数计算 ()[]10,Re -=c z z f s当z 0为可去奇点时, ()[]0,Re 0=z z f s ;当z 0为本性奇点时,只能用此法, 2)当z 0为一级极点时, ()[])]()[(lim ,Re 000z f z z z z f s z z -=→若()()()z Q z P z f =，P(z)及Q(z)在z 0都解析，如果()(),0,000=≠z Q z P()00≠'z Q ，那末z 0为f(z)的一级极点，而 ()[]()()000,Re z Q z P z z f s '=. 3)如果z 0为f(z)的m 级极点,那末()[]()()(){}z f z z dzd m z z f s mm m z z 01100lim !11,Re --=--→4.无穷远点处的留数函数f(z)在圆环域+∞<<z R 内解析，C 为这圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线， f(z)在∞点的留数 ()[]()dz z f i z f s C ⎰-=∞π21,Re . 如果函数f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那末f(z)在所有各奇点（包括∞点）的留数的总和必等于零.()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞0,11Re ,Re 2z z f s z f s ])。
《复变函数》教案
《复变函数》教案一、教学目标1. 了解复变函数的基本概念，理解复数在复变函数中的重要性。
2. 掌握复变函数的极限、连续性、可导性、积分性等基本性质。
3. 学习复变函数的泰勒展开和洛朗展开，理解其应用。
4. 掌握复变函数的积分变换和积分解法，了解其应用。
5. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 复变函数的基本概念复数的概念复变函数的定义复变函数的图像2. 复变函数的极限与连续性极限的概念连续性的定义连续函数的性质3. 复变函数的可导性与积分性可导性的定义积分性的定义可导函数和积分函数的关系4. 复变函数的泰勒展开和洛朗展开泰勒展开的定义洛朗展开的定义泰勒展开和洛朗展开的应用5. 复变函数的积分变换和积分解法积分变换的定义积分解法的概念积分变换和积分解法的应用三、教学方法1. 采用讲授法，系统地介绍复变函数的基本概念和性质。
2. 利用图形和实例，帮助学生直观地理解复变函数的图像和应用。
3. 通过练习题和案例分析，巩固学生对复变函数的知识和运用能力。
4. 鼓励学生提问和参与讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
四、教学准备1. 教案、教材和相关参考资料。
2. 投影仪或黑板，用于展示图形和公式。
3. 练习题和案例分析题。
五、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的提问、回答问题和参与讨论的情况。
2. 作业和练习题的完成情况：评估学生对复变函数知识的掌握程度。
3. 案例分析报告：评估学生运用复变函数解决实际问题的能力。
4. 期末考试：全面测试学生对复变函数的理解和运用能力。
六、教学内容6. 复变函数的积分柯西积分定理柯西积分公式柯西积分公式的应用7. 复变函数的级数幂级数的概念幂级数的收敛性幂级数的应用8. 复变函数的变换分数线性变换Mobius变换共形映射的概念与应用9. 复变函数在复分析中的应用解析函数的概念解析函数的性质解析函数的应用10. 复变函数与现代数学的联系复变函数与其他数学分支的联系复变函数在物理学中的应用复变函数在工程学中的应用七、教学方法1. 采用讲授法，系统地介绍复变函数的积分、级数和变换等概念。
复变函数第一章
区域:
连通的开集称为区域.
闭区域 区域D与它的边界一起构成闭区域,
记为D.
有界区域 如果一个区域可以被包含在一个以原点
为中心的圆里面,则称D为有界的. 即存在正数M, 使区域D的每个点z都满足|z|<M.
r r1 2 z0
如果在圆环域内去掉一个(或几个)点, 它仍然构成区域, 只是区域的边界由 两个圆周和一个(或几个)孤立的点所 构成
-n
r n cos(n ) i sin(n )
四 复数的方根
定义 如果 n z, 则称为z的n次根, 记作 = n z.
n 当z 0时，z有n个不同的根:
2k 2k k = z r cos i sin , n n k 0,1, 2,, n 1.
1) 集合G称为f (z)的定义集合(定义域);
2) G中所有z对应的全体值所组成的集合G , 称为函数值集合(值域).
3)
如果对z G，它仅有一个值与之
对应,则称函数f ( z )是单值函数;
如果z0 G，它有多个值与之对应, 则称函数f ( z )是多值函数.
2 复变函数与二元实函数的关系
n in
(n为整数)
1 定义 z,当 | z |n.则当n为负整数时上i式仍然成立. 特别地 r 1时,即z cos sin , 有: z 1n cos 0 i sin 0 n z (cos i sin n) (cos n i sin n ) 棣莫弗公式 z r n (cos n i sin n )
y
2z
2z相当与将z伸长2倍.
z 2 2i
x
o
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故 x l x i0u m (x ,y ) u 0 , x l x i0v m (x ,y ) v 0 .
y y 0
y y 0
(2) 充分性. 若 x l x i0u m (x ,y ) u 0 , x l x i0v m (x ,y ) v 0 ,
y y 0
y y 0
那 0 么 ( x x 0 ) 2 当 ( y y 0 ) 2 时 ,
z z 0
注意: 定义z 中z0的方式是. 任意的
19
2. 极限计算的定理
定理一
设f(z)u(x,y)iv(x,y), Au0 iv0,
z0
x0
iy0, 那
末limf zz0
(z)
A的
充
要
条
件
是
limu(x,
xx0
y)
u0,
limv(x,
xx0
y)
v0.
yy0
yy0
证 (1) 必要性. 如l果 im f(z)A , z z0
证 设 f( z ) u ( x ,y ) i( x v ,y ), 则 f(z ) u (x ,y ) i(v x ,y ), 由f(z)在 z0连,续 知 u (x ,y)和 v(x ,y)在 (x 0,y 0)处都 , 连 于 u ( x ,y 是 ) 和 v ( x ,y ) 也 ( x 0 ,y 0 在 ) 处 , 连 故f(z)在z0连.续
特殊的: (1) 有理整函数(多项式)
w P ( z ) a 0 a 1 z a 2 z 2 a n z n , 对复平面内的 z都所是有连点 ;续的
(2) 有理分式函数
w P(z), Q(z)
其中 P(z)和Q(z)都是多 , 项式
在复平面内使分母不为零的点也是连续的.
27
例2 证 :如 明 f(z ) 果 在 z 0 连 ,那 续 f(z ) 末 在 z 0 也.连续
则uivx2y22xy, i ux2y2,
x2 y2 4 u 4,
y 2 o 2
v
w z2
x
o
4u
平行v于 轴的直 . 线
17
例1 在映w射 z2下求下列平w面 平点 面集
上的: 象
(3 )扇形 0 域 π ,0r2 .
4
解 设 z rie , w e i,则 r2, 2 ,
故扇形域 0 π,
证
令 z x i,yf( z ) u i,v
则u(x,y)xx22yy22,
v(x,
y)
2xy x2 y2
,
当 z沿直 y线 kx 趋于, 零时
lx i0m v(x,y)lx i0mx22xyy2
1
2k k
2
,
ykx
ykx
38
谢谢聆听
25
定理四 (1在 )z0连续的f两 (z)和 个 g(z)的 函和 数、 积、 (分商 母 z0不 在为 )在 z零 0处仍 . 连续 (2如 ) 果 h 函 g(z)在 数 z0连,函 续w 数 f(h)在 h 0g(z0)连,那 续末复 w合 f[g(z)函 在 ] z0处 数 连. 续
26
直线 x的象的参数: 方程为
u2y2, v2 y. (y为参 ) 数 消去参y数 得: v24 2(2u ),
以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线)
同理y 直 的 线 象 : 为
v24 2(2u ),
以原点为焦点,开口相右的 抛物线.(图中蓝色曲线)
13
6. 反函数的定义: 设wf(z)的定义集 z平合 面为 上的 G, 集
1-4复变函数及其极限与连续
•
•
•
映射的定义: 如果用z 平面上的点表示自变z的量值,
而用另一个平w面平面上的点表示函w数的 值,那末函数w f (z)在几何上就可以看作 是把z 平面上的一个点G集(定义集合)变到 w 平 面 上 的 一 个 点G集* (函 数 值 集 合 )的 映 射 (或变换).
上的: 象
(1)线0段 r2,π;
4
解 设z rei ,
y
还是线段.
v
w ei ,
w z2
则 r2, 2 , o
x
o
u
故0 线 r 2 , 段 π 映 0 射 4 , 为 π ,
4
2
16
例1 在映w射 z2下求下列平w面 平点 面集
上的: 象
(2)双曲 x2线 y24;
解 令 z x i,y w u i,v
连续的充 :u(x,y 要 )和 v(条 x,y)在 件 (x0,y 是 0) 处连 . 续
例如, f(z ) ln x 2 y (2 ) i(x 2 y 2 ), u(x, y)lnx(2 y2)在复平面内除原点外 处连,续v(x,y)x2y2在复平面内处, 处连 故f(x,y)在复平面内除原 处点 连外 .续处
r
36
当 z沿不同 ar z的 g 趋 射于 线 , 零时
f (z)趋于不同的.值 例z如 沿正 ar 实 z g 0趋 轴于 , f(零 z)1,时
沿arzgπ趋于零 , f时 (z)0, 2
故lim f(z)不存. 在 z0
37
例5 证明f函 (z)z数 (z0)当 z 0时的极 z
限不. 存在
有 uu 02,
vv02,
21
f ( z ) A ( u u 0 ) i ( v v 0 )
uu 0vv0
故 0 当 z z 0时 , f(z)A,
所l以 im f(z)A . z z0
说明
[证毕]
该定理将求复 f(z)变 u(函 x,y)数 iv(x,y) 的极限,转 问化 题为求两个 函二 数 u(元 x,y)实变 和v(x,y)的极限. 问题
这个映射通常函简数 w称 f为 (z) 由 所构成的 . 映射
如G 果 中的 z被 点 映 w射 f(z)映射 G*成 中的 w,那 点 w 末 称z为 的(映 象)象 而 , z称w 为 的原 . 象
6
两个特殊的映射:
ห้องสมุดไป่ตู้
(1)函数 wz构成的 . 映射
将 z平面 z a 上 i映 b的 w 射 平 点 成 面
它把 z平面上的两族 线分 y别 x和 以坐 直 标轴为渐近线 曲的 线等轴双
x2y2c1, 2xyc2,
分别映射w成 平面上的两族平行直线
uc1, vc2.
(如下页图)
11
(2)函数 wz2构成的. 映射
将第一图中两块阴影部分映射成第二图中
同一个长方形.
y
y
o
x
o
x
12
(2)函数 wz2构成的. 映射
x2y2
x0 x2 (kx)2
35
lim x
1 ,
x0 x2(1k2)
1 k2
随k值的变化而变, 化
所以 limu(x,y)不存, 在 limv(x,y)0,
xx0 yy0
xx0 yy0
根据定理一可知, limf(z)不存. 在 z0
证 (二) 令 z r(c oiss i)n,
则f(z)rcoscos,
4 0r 2映射为
w z2
0π,04,
2
仍是扇形域.
18
二、复变函数的极限
1.函数极限的定义:
设函数 w f(z)定义在 z0的去心邻域
0zz0 内,如果有一确定A存 的在 数 , 对于任意给定 0的 ,相应地必有一(正) 数 使得当 0zz0 (0 )时,有f(z)A
那末称 A为f(z)当z趋向于 z0时的极. 限 记 lif 作 ( m z ) A .( 或 f( z ) z z 0 A )
C
o
x
z212i
C A
v
w 212i
o
u
B w 123i
z1w1, z2w2, A B A B C C .
8
(2)函数 wz2构成的. 映射
显z然 平将 面 z 1 i,上 z 2 1 2 的 i,z 3 1 点 映w 射 平成 面 w 1 上 1 ,w 2 的 3 4 i,w 3 点 1 .
y
zz3 1o z 2
x
w2
v
w
o
1
w3
u
9
(2)函数 wz2构成的. 映射
根据复数的乘法公式可知,
映射 wz2将z的辐角增. 大一倍
y
v
o
x
2
o
u
将 z平面上与实 的轴 角交 形角 域 w为 映 平面上与2实 的 轴 角 交 .形 角 域 为
10
(2)函数 wz2构成的. 映射
函数 wz2对应于两个二数 元: 实变函 ux2y2, v2x.y
三、复变函数的连续性
1. 连续的定义: 如果 lz izm 0 f(z)f(z0),那末我们 f(z就 ) 说
在z0处连.如 续果 f(z)在区D域 内处处, 连续 我们f说 (z)在D内连. 续
函数 f(z)在曲C线 上z0处连续的意义 lz izm 0 f(z)f(z0), zC.
24
定理三 函f数 (z)u(x,y)i(vx,y)在 z0x0i0 y
解 令 z x i,y w u i,v
映射w z 1 z
uivxiyxx 2 iyy 2,
于是 uxx2 xy2,
v
y
x2
y
y2
,
圆周 z2的参数方: 程为
x2cos y2sin,
02π
33
所以象的参数方程为
u
5cos
2
v
3sin
,
2
0 2π