1-4复变函数及其极限与连续
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复变函数-工科复变1-2
是无界的,单连通的还是多连通的.
(1)Rze2) (1; (2)arz g; (3)13;
3
z
(4) z1z14; (5) z1z11.
解 (1 )当 zxi时 y,
Rze 2) (x2y2, R z2 ) e 1 ( x 2 y 2 1 ,
无界的单连通域(如图).
13
（2） Jordan曲线
设 C:zz(t)(atb)为一条连 , 续曲 z(a)与z(b)分别C 称 的为 起点.和终点
当 t1t2而z(t有 1)z(t2)时 ,点 z(t1)称为曲 线 C 的.重点
除起点与终点外无重点的连续曲线C 称为 简单曲线.
起点与终点重合的曲线C 称为闭曲线.
简单闭曲线称为Jordan(若当)曲线.
14
Jordan曲线的性质
任意一条简单闭曲线 C 将复平面
唯一地分成三个互不相交的点集.
边界
y 内部
外部
o
x
15
课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线?
z(a)
z(b) z(a) z(b)
z(b)
z(a) z(b)
z(a)
答简
简
单
单
案
闭
不
闭
不
29
(2) argz
3
ar z g ar z g ,
复变函数1-4章
7
三、课程内容及基本要求
(一) 复数与复变函数( 4学时) • 内容：复数的表示方法及其代数运算；复平面区域，复球面与无穷远 点；复变函数的概念，复变函数的极限和连续性。 • 1.基本要求 • （1） 了解复数的概念，掌握复数的各种表示方法及其运算，理解复 数运算的几何意义。 • （2） 了解区域、单连通域、多连通域和复球面等概念。 • （3） 掌握用复变量方程表示常用曲线及用不等式表示区域。 • （4） 理解复变函数概念，了解复变函数的极限与连续的概念。 • 2.重点、难点 • 重点：复数的各种表示方法及其运算。 • 难点：复变函数极限的概念。 • 3.说明：本章是学习后面内容的基础。同时注意复变函数及其极限、 连续与高等数学中相应概念的联系与区别。
称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值； 以正实轴 为始边, 以 向 量 O P 为终边的角的 弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)
z1z2=z2z1；
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；
z1(z2z3)=(z1z2)z3；
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
17
3.共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数. •共轭复数的性质
(1) ( z1 z2 ) z1 z2
复变函数第一章(第二讲)
2. 函数的极限及其性质
极限的概念
设 w = f ( z ), z ∈ N o ( z 0 , ρ ), 若存在数 A， ∀ε > 0, ∃δ , > 0, ( 0 < δ < ρ ), 当 0 < z − z 0 < δ 时 , 有 f ( z ) − A < ε , 时的极限， 则称 A为 f ( z )当 z → z 0时的极限，记作 lim f ( z ) = A 或
连续函数的运算 定理1.3.8 设f, g在z0均连续 则 均连续, 定理 在 均连续
(1) f (z) ± g(z)在z0处连续； 处连续； (2) f (z) ⋅ g(z)在z0处连续； 处连续； (3) 当g(z0 ) ≠ 0时， (z) ÷ g(z)在z0处连续。 f 处连续。
定理1.3.9 设f在w0处连续 g在z0连续 且w0=g(z0), 处连续, 连续, 定理 在 处连续 在 连续
在平面上处处有极限。 例 证明 w = x + y + i ( x + y )在平面上处处有极限。
2 2
Q x 2 + y , x + y 2 在实平面上处处有极限
∴ w = x 2 + y + i ( x + y 2 )在复平面上处处有极限 。
例
2( x 2 − y 2 ) Q u( x , y ) = 处极限不存在。 在 ( 0 , 0 ) 处极限不存在。 2 2 x + y
第三讲 第一章 复数函数及其极限和连续性
确定了一个从 G* 到 G 的一个单值(多值)函数 z w, 它称为函数 w f z的反函数。
一一对应：如果函数 w f z与它的反函数 z w都是 单值的, 则称函数 w f z 是一一对应的。也
可称集合 G 与集合 G* 是一一对应的。
2019/12/15
z
证明：令 z x iy,则 f z x ，即u x, y x ,v x, y 0,
x2 y2
x2 y2
根据定理一，若 u x, y 与 v x, y 中有一个极限不存在，
则 f z就不存在。
当 z 沿直线 y kx 趋于0时,
G
G*
f
z
w
定义域
值域
单（多） 若 z 的一个值对应着一个 w 的值, 称 f 是单值的。
值函数 的定义：
若
z 的一个值对应着两个或两个以上
w 的值,
称 f 是多值的。
2019/12/15
2
一、复变函数（续）（复变函数与实变函数的关系）
给定复数 z=x iy, 有 f z f x iy u x, y iv x, y
4
二、函数的极限
定义：设函数 w f z 定义在 z0的去心邻域 0 z z0 内,
一一对应：如果函数 w f z与它的反函数 z w都是 单值的, 则称函数 w f z 是一一对应的。也
可称集合 G 与集合 G* 是一一对应的。
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z
证明：令 z x iy,则 f z x ，即u x, y x ,v x, y 0,
x2 y2
x2 y2
根据定理一，若 u x, y 与 v x, y 中有一个极限不存在，
则 f z就不存在。
当 z 沿直线 y kx 趋于0时,
G
G*
f
z
w
定义域
值域
单（多） 若 z 的一个值对应着一个 w 的值, 称 f 是单值的。
值函数 的定义：
若
z 的一个值对应着两个或两个以上
w 的值,
称 f 是多值的。
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2
一、复变函数（续）（复变函数与实变函数的关系）
给定复数 z=x iy, 有 f z f x iy u x, y iv x, y
4
二、函数的极限
定义：设函数 w f z 定义在 z0的去心邻域 0 z z0 内,
复变函数的极限和连续性
(见教材P16 定理1.4.1 ) 设 f (z) u(x, y) iv(x, y),
A u0 iv0 , z0 x0 iy0 , 则
lim
z z0
f
(z)
A
lim
x x0
u(x,
y)
u0
,
lim
x x0
v( x,
y)
v0
y y0
y y0
3、四则运算法则 类似一元实函数的极限
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
§ 1.4 复变函数的极限和连续性
一、 复变函数的极限
1、 定义
形式 与一元实函数的极限一致,记 lim f (z) A
z z0
理解 与二元(多元)实函数的极限一致(几何描述),
三、举例
例１（见教材P20T16）试证 arg(z)在原点和负实轴上不连续。
证明 arg(0)无意义 ,w arg(z)在z 0点不连续 ；
对负实轴上任一点z0
当z沿平行于y轴正向趋于z0时,zlimz0 arg(z)
而当z沿平行于y轴负向趋于z0时,
lim
z z0
arg(
张 长 华
复变函数与积分变换
复变函数(1.2.1)--复变函数及其极限与连续性
映射
邻复
域变
极限
区函
域数
连续
第一章 复变函数与解析函数
第二节 复数函数及其极限与连续
2.1 复平面上的区域 2.2 复变函数的概念 2.3 复变函数的极限与连续性
2.1 复平面上的区域 { } { } o
邻 域 U ( z0 ,d ) = z �C z - z0 < d U ( z0 ,d ) = z �C 0 < z - z0 < d
U ( �, M ) = { z �C , z > M}
内点 z0 �G �C $U ( z0 ,d ) ￍ G 开集全体内点构成的集合
连通集
区域 连通的开集 D
边界点 z0 ￏ D, "U ( z0 ,d ) I D ﾹ j 边界 ﾶD
闭区域 D = D + ﾶD
oQ 边 界 点
G
dz0
C1 边界
有界区域和无界区域
z1
邻域
$M > 0, "z0 Σ D, z0 M
z2
C2
ﾷP
边界
边界点
例 1 判断下列区域是否有界 ?
r2
r1z0
( 1) 圆 环域 :r1 < z - z0 < r2;
(2) 上半平面 :Im z > 0;
(3) 角形域 :j1 < arg z < j2;
复变函数及连续性
第三节复变函数的极限与连续
一、复变函数的概念
二、复变函数的极限
三、复变函数的连续性
一、复变函数的概念
1. 复变函数的定义
定义1.1 设E 是复平面上的点集, 若对任何z ∈E , 都存在惟一确定的复数w 和z 对应, 称在E 上确定了一个单值复变函数，用w =f (z )表示.
E 称为该函数的定义域.
在上述对应中, 当z ∈E 所对应的w 不止一个时, 称在E 上确定了一个多值复变函数.
(){()|}() A f E f z z E w f z ==∈=称为复函的值域数.
2. 复变函数与自变量之间的关系:
() :w z w f z =复变函数与自变量之间的关系相当于两个实函数),,(),,(y x v v y x u u ==例3 , 2z w =函数,
, iv u w iy x z +=+=令2)( iy x iv u +=+则,
222xyi y x +−= : 2数对应于两个二元实变函于是函数z w =,22y x u −=.
2xy v =,,z x iy w u iv =+=+因为，若记则
()Re ()Im ()(,)(,).w f z f z i f z u x y iv x y ==+=+
例4解,
, iv u w iy x z +=+=令2)( iy x iv u +=+则,222xyi y x +−=,2
2y x u −=.
2xy v =所以
222424 4.w z z x y xy w u v =−====于是将平面上的双曲线与分别映为平面上直线和2
22,42w z z x y xy w =−== 设复函数试问它将平面上的双曲线 与 分别映为平面上的何种曲线
复变函数1-3
对应于E 中所有z 的一切w 值所成的集合( E ), f 称为函数值集合 (值域） .
f ( E ) {w | z E , f ( z ) w }
3
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结束
铃
4. 复变函数与自变量之间的关系: 例如, 函数 w z 2 , 令 z x iy, w u iv , 则 u iv ( x iy )2 x 2 y 2 2 xyi, 于是函数 w z 2 对应于两个二元实变函 : 数 u x 2 y 2 , v 2 xy .
当反函数为单值函数时,
z [ f ( z )], z E .
如 果 函 数(映 射) w f ( z ) 与 它 的 反 函 数 (逆 映 射 z ( w )都 是 单 值 的那 末 称 函 数映 ) , ( 射) w f ( z ) 是 一 一 对 应 的 可 称 集 合E 与 集 .也 合 F 是一一对应的 .
ABC ABC .
z w21
o
如果把 z 平面和 w 平面 重叠在一起, 不难看出w z 是关于实轴的一个对称映射.
且是全同图形.
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z2 w1
8
结束
铃
2) 函数 w z 2 构成的映射 .
显然将 z 平面上的点z1 i , z2 1 2i , z3 1 映射成 w平面上的点w1 1, w2 3 4i , w3 1.
f ( E ) {w | z E , f ( z ) w }
3
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铃
4. 复变函数与自变量之间的关系: 例如, 函数 w z 2 , 令 z x iy, w u iv , 则 u iv ( x iy )2 x 2 y 2 2 xyi, 于是函数 w z 2 对应于两个二元实变函 : 数 u x 2 y 2 , v 2 xy .
当反函数为单值函数时,
z [ f ( z )], z E .
如 果 函 数(映 射) w f ( z ) 与 它 的 反 函 数 (逆 映 射 z ( w )都 是 单 值 的那 末 称 函 数映 ) , ( 射) w f ( z ) 是 一 一 对 应 的 可 称 集 合E 与 集 .也 合 F 是一一对应的 .
ABC ABC .
z w21
o
如果把 z 平面和 w 平面 重叠在一起, 不难看出w z 是关于实轴的一个对称映射.
且是全同图形.
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z2 w1
8
结束
铃
2) 函数 w z 2 构成的映射 .
显然将 z 平面上的点z1 i , z2 1 2i , z3 1 映射成 w平面上的点w1 1, w2 3 4i , w3 1.
复变函数的极限与连续
例2 (1)映射 w 1 把z平面上的曲线 x2 y2 a2 z
映射成w平面上怎样的曲线？
解： | z |a
| w | 1 1 |z| a
中心在原点、半径为 1 的圆
a
v
y
| z | 1 | w | 1
| z | 2 x| z | 1
|
w | |w
1
2 |
2
u
2 8
例2(2) 函数 w 1 把z平面上的直线 x a映射成什么曲线
§1.3 复变函数的极限与连续
一、 复变函数 二、 复变函数的极限 三、 复变函数的连续性
1
一、 复变函数
x 实变量, y f ( x) 为实变函数, x 的值一旦确定,
y 只有一个数和它对应. 高等数学中的实变函数,
都是单值函数. 可用平面上的一条曲线表示一个实变函数.
z 复变量, w f (z) 为复变函数, z 的值一旦确定,
x2 y2 1
u1
x2 y2 2
u2
y
xy 1
v4 v
v2
xy 1
x
u
xy 2
v 2 6
例1.14续 考察 w z2 的映射性质 4) w z2 将z平面上的
w平面上的 抛物线
直线 x c 映射成 v2 4c2 (c2 u)
x 1
v2 4(1 u)
复变函数的极限和连续性
金融
复变函数在金融领域中用于描述 复利、期权定价和风险管理等金 融模型。
生物学
在生物学研究中，复变函数被用 于描述某些生物过程和现象，如 神经信号传递和生物电等。
化学
在化学反应动力学中，复变函数 用于描述化学反应速率和反应机 理等过程。
THANKS
感谢观看
1 2
电路分析
在电路分析中，复变函数被用于描述交流电路中 的电压和电流，以及相关的频率响应和稳定性分 析。
控制系统
在控制系统理论中，复变函数用于描述系统的传 递函数和稳定性，以及控制系统的分析和设计。
3
信号处理
在信号处理中，复变函数用于频域分析和滤波器 设计，以及信号的调制和解调等处理过程。
在其他领域的应用
复变函数极限和连续性的重要性
极限理论
极限是研究函数行为的重要工具，通 过极限可以研究函数的值域、奇偶性、 单调性等性质。
连续性
连续性是函数的一种基本性质，它决 定了函数值的变化趋势和拐点。在复 变函数中，连续性对于研究函数的可 微性和积分等性质至关重要。
02
复变函数的极限
极限的定义和性质
极限的定义
连续性的性质
如果函数$f(z)$在点$z_0$处连续，则对于任意实数$a$，有$f(z+a)=f(z)+a$，且对于 任意复数$b$，有$f(z+b)=f(z)+b$。
复变函数1.4
27
(2)定理
设函数 f ( z ) u( x , y ) iv( x , y )，z E , z0 E , 则 f ( z )沿E在z0 x0 iy0 连续 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 沿E在 ( x0 , y0 )处连续.
例如,
f ( z ) ln( x 2 y 2 ) i ( x 2 y 2 ), v( x, y ) x 2 y 2 在复平面内处处连续 ,
13
三、反函数
反函数的定义:
设 w f ( z ) 的定义域为 E , 值域为 f (E) F , 则 F， 有一个 (或几个 ) z E与之相对应，于是 在 F 上就确定了一个单值 (或多值 )函数z f 1 ( w), 它称为函数 w f ( z ) 的反函数 , 也称为映射 w f ( z ) 的逆映射.
注:多值函数 不一定对应 一对二元实 复变函数 f ( z ) 一对二元实函数 函数.
则：
u iv f (rei ) P (r , ) iQ(r , )
u ( x, y ), v ( x, y ).
4
例如, 函数 w z , 令 z x iy, w u iv ,
z z0
例 lim f ( z ) A; z 0, M 0,当 | z | M时，有 | f ( z ) A | .
(2)定理
设函数 f ( z ) u( x , y ) iv( x , y )，z E , z0 E , 则 f ( z )沿E在z0 x0 iy0 连续 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 沿E在 ( x0 , y0 )处连续.
例如,
f ( z ) ln( x 2 y 2 ) i ( x 2 y 2 ), v( x, y ) x 2 y 2 在复平面内处处连续 ,
13
三、反函数
反函数的定义:
设 w f ( z ) 的定义域为 E , 值域为 f (E) F , 则 F， 有一个 (或几个 ) z E与之相对应，于是 在 F 上就确定了一个单值 (或多值 )函数z f 1 ( w), 它称为函数 w f ( z ) 的反函数 , 也称为映射 w f ( z ) 的逆映射.
注:多值函数 不一定对应 一对二元实 复变函数 f ( z ) 一对二元实函数 函数.
则：
u iv f (rei ) P (r , ) iQ(r , )
u ( x, y ), v ( x, y ).
4
例如, 函数 w z , 令 z x iy, w u iv ,
z z0
例 lim f ( z ) A; z 0, M 0,当 | z | M时，有 | f ( z ) A | .
复变函数的极限和连续
或者u(x, y) C1, v(x, y) C2是区域B上的两组正交曲线
证明： u梯度
u u i u j,v v i v j
x y
x y
则u • v＝( u i u j）•（v i v j）＝u v ＋u v
x y x y
x x y y
由C-R条件 u v , v v ,则 u v ＋ u v ＝0 x y x y x x y y
所以 u •v＝0
数学物理方法 第一章
21
B
说明： 1. 由解析函数的定义可见解析函数是从普遍的复变函
数中加上很强的条件后选z 出来的一类特殊的复变函 数(这一类函数在物理学中有广泛的应用) 2. 解析函数的实部和虚部通过C-R条件互相联系，并 不独立
数学物理方法 第一章
20
三、解析函数的性质
1.正交性( u •v＝0 )
若函数f (x) u iv在区域B上解析，则其实部和虚部梯度正交
lim w lim f (z z) f (z)
z z 0
z0
z
存在，且有相同的极限值，即 f (z)与 z 0 的方式无关， 使我们可讨论沿x轴和y轴趋于零的情形
设 z x yi
w f (z z) f (z)
u(x x, y y) v(x x, y y)i u(x, y) v(x, y)i
2.微分的定义
证明： u梯度
u u i u j,v v i v j
x y
x y
则u • v＝( u i u j）•（v i v j）＝u v ＋u v
x y x y
x x y y
由C-R条件 u v , v v ,则 u v ＋ u v ＝0 x y x y x x y y
所以 u •v＝0
数学物理方法 第一章
21
B
说明： 1. 由解析函数的定义可见解析函数是从普遍的复变函
数中加上很强的条件后选z 出来的一类特殊的复变函 数(这一类函数在物理学中有广泛的应用) 2. 解析函数的实部和虚部通过C-R条件互相联系，并 不独立
数学物理方法 第一章
20
三、解析函数的性质
1.正交性( u •v＝0 )
若函数f (x) u iv在区域B上解析，则其实部和虚部梯度正交
lim w lim f (z z) f (z)
z z 0
z0
z
存在，且有相同的极限值，即 f (z)与 z 0 的方式无关， 使我们可讨论沿x轴和y轴趋于零的情形
设 z x yi
w f (z z) f (z)
u(x x, y y) v(x x, y y)i u(x, y) v(x, y)i
2.微分的定义
1-4复变函数的极限和连续
故 f ( z ) 在 z0 连续.
10
例 3 证明 : 如果 f ( z ) 在 z0 连续, 且 f ( z0 ) 0 , 则必存在 z0 的某个邻域，使得 f ( z ) 0 . 证
由 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )在 z0 点连续，
知 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 在 ( x0 , y0 )处都连续, 因此
§1-4 复变函数的极限和连续
一、复变函数的极限
二、复变函数的连续性
1
一、 复变函数的极限
定义 1 设复变函数 w f ( z ) 在 z0 的某个去心邻 域 0 z z0 内定义, A是一个复常数. 若对 任意给定的 0, 总存在 ( ) 0 (0 ), 使得当 0 z z0 时, 有 f ( z ) A , 那末 则称 当 z 趋向于 z0 时，f ( z ) 以A为极限.
9
例 2 证明 : 如果 f ( z ) 在 z0 连续, 那末 f ( z ) 在
点 z0 处也连续.
证
设 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ),
则 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ),
由 f ( z ) 在 z0 连续, 知 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 在 ( x0 , y0 )处都连续, 于是 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 也在 ( x0 , y0 )处连续,
10
例 3 证明 : 如果 f ( z ) 在 z0 连续, 且 f ( z0 ) 0 , 则必存在 z0 的某个邻域，使得 f ( z ) 0 . 证
由 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )在 z0 点连续，
知 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 在 ( x0 , y0 )处都连续, 因此
§1-4 复变函数的极限和连续
一、复变函数的极限
二、复变函数的连续性
1
一、 复变函数的极限
定义 1 设复变函数 w f ( z ) 在 z0 的某个去心邻 域 0 z z0 内定义, A是一个复常数. 若对 任意给定的 0, 总存在 ( ) 0 (0 ), 使得当 0 z z0 时, 有 f ( z ) A , 那末 则称 当 z 趋向于 z0 时，f ( z ) 以A为极限.
9
例 2 证明 : 如果 f ( z ) 在 z0 连续, 那末 f ( z ) 在
点 z0 处也连续.
证
设 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ),
则 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ),
由 f ( z ) 在 z0 连续, 知 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 在 ( x0 , y0 )处都连续, 于是 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 也在 ( x0 , y0 )处连续,
复变函数课件第2章复变函数的概念、极限与连续性
则
lim
zz0
f (z)
A
u0
iv0
lim u(
( x, y)( x0 , y0 )
lim v(
( x, y)( x0 , y0 )
x, x,
y) y)
u0 v0
定理2.2
若 lim f (z) A lim g(z) B,则
z z0
z z0
lim f (z) g(z) lim f (z) lim g(z) A B
z z0
注意: 定义中zz0的方式是任意的.
几何意义
y
(z)
v
w f (z)
z0 d
o
xo
(w)
e
A
u
几何意义: 当变点z一旦进
入z0 的充分小去 心邻域时,它的象
点f(z)就落入A的
一个预先给定的
ε邻域中
相关定理
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：
定理2.1
设f (z) u( x, y) iv( x, y) z x iy z0 x0 iy0
z0
z
lim (z z)2 z2
z0
z
lim(2z z). z0
所以 z2 2z.
例2 证明 f (z) x 2 yi 在复面内处处 连续，但处处不可导.
证明 对复平面内任意点z, 有 f (z z) f (z)
复变函数第一章第一节复数
（一） 复变函数第一章１－４节）（１０学时）
１、 复数（第一章 第一节） 学习内容：
复数定义及运算复数的定义、相等即运算，复数的代数式，复数的模与幅度角、共轭复数。
复数及其基本运算：幅角的概念与计算；正确理解幅角的多值性；
复数的三角表示与指数表示； 复数的城访与开方
复数的表示及其运算： ｚ＝ｘ＋ｉｙ ｘ，ｙ∈R
z 1
=y x
1
1
i +
y x
z 22
2
i +=
)(i )(y y x x z
z 2
1
212
1
±+±=± )()(1
2
2
1
2
1
212
1
y x y x y y x x z
z i ++-
=∙
)0(
)()(2
22
22
2
1
1
2
22
22
2
1
2
1
2
1≠+-+++=
z
y
x y x y x y x y y x x
z
z i
iy x z -= |z |=y
x 2
2
+
复数的三角表示与指数表示 Z =r (c o s θ+s i n θ) Z =r θ
i r =|z |
Argz =θ
θθθ2i
11111r r z )isin cos (=+=
θθθ2i
22222r r z )isin cos (=+=
)
(i 21212
1212121r r r r z z )](isin )(cos [θθθθθθ+=+++= [r
r z z 2
1
2
1
=)0()](isin )(cos z r
r 2
)(i 2
1
212
1
2
1
≠=-+-
-
θθ
θθθ
θ
θ
θθin n
n
n
r
r z
)]n (isin )]n (cos [=+=
)1-0,1,2,k (r )n
2k isin
n
2k cos
(r z n
2k n
n
n
1n
z ｎ⋯⋯==+++==+
1-4复变函数及其极限与连续
28
argz 在z＝－2处连续否？
2
结论：不连续
四、小结与思考
复变函数以及映射的概念是本章的一个重点.
注意：复变函数与一元实变函数的定义完全一样, 只要将后者定义中的“实数”换为“复数”就行 了. 通过本课的学习, 熟悉复变函数的极限、连 续性的运算法则与性质.
注意:复变函数极限的定义与一元实变函数 极限的定义虽然在形式上相同, 但在实质上有很 大的差异, 它较之后者的要求苛刻得多.
那末称 A为f(z)当z趋向于 z0时的极. 限 记 lif 作 ( m z ) A .( 或 f( z ) z z 0 A )
z z 0
注意: 定义z 中z0的方式是. 任意的
19
2. 极限计算的定理
定理一
设f(z)u(x,y)iv(x,y), Au0 iv0,
同一个长方形.
y
y
o
x
o
x
12
(2)函数 wz2构成的. 映射
直线 x的象的参数: 方程为
u2y2, v2 y. (y为参 ) 数 消去参y数 得: v24 2(2u ),
以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线)
同理y 源自文库 的 线 象 : 为
v24 2(2u ),
y y 0
y y 0
(2) 充分性. 若 x l x i0u m (x ,y ) u 0 , x l x i0v m (x ,y ) v 0 ,
argz 在z＝－2处连续否？
2
结论：不连续
四、小结与思考
复变函数以及映射的概念是本章的一个重点.
注意：复变函数与一元实变函数的定义完全一样, 只要将后者定义中的“实数”换为“复数”就行 了. 通过本课的学习, 熟悉复变函数的极限、连 续性的运算法则与性质.
注意:复变函数极限的定义与一元实变函数 极限的定义虽然在形式上相同, 但在实质上有很 大的差异, 它较之后者的要求苛刻得多.
那末称 A为f(z)当z趋向于 z0时的极. 限 记 lif 作 ( m z ) A .( 或 f( z ) z z 0 A )
z z 0
注意: 定义z 中z0的方式是. 任意的
19
2. 极限计算的定理
定理一
设f(z)u(x,y)iv(x,y), Au0 iv0,
同一个长方形.
y
y
o
x
o
x
12
(2)函数 wz2构成的. 映射
直线 x的象的参数: 方程为
u2y2, v2 y. (y为参 ) 数 消去参y数 得: v24 2(2u ),
以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线)
同理y 源自文库 的 线 象 : 为
v24 2(2u ),
y y 0
y y 0
(2) 充分性. 若 x l x i0u m (x ,y ) u 0 , x l x i0v m (x ,y ) v 0 ,
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30
思考题
1. “函数”、“映射”、“变换”等名词有 无区别？
31
思考题答案
在复变函数中, 对“函数”、“映射”、 “变换”等名词的使用, 没有本质上的区别. 只 是函数一般是就数的对应而言, 而映射与变换 一般是就点的对应而言的.
放映结束，按Esc退出.
32
例2 对于 w z映 1,求 射 圆 z2的 周 . 象 z
y
zz3 1o z 2
x
w2
v
w
o
1
w3
u
9
(2)函数 wz2构成的. 映射
根据复数的乘法公式可知,
映射 wz2将z的辐角增. 大一倍
y
v
o
x
2
o
u
将 z平面上与实 的轴 角交 形角 域 w为 映 平面上与2实 的 轴 角 交 .形 角 域 为
10
(2)函数 wz2构成的. 映射
函数 wz2对应于两个二数 元: 实变函 ux2y2, v2x.y
函数值集 w平合 面为 上的 G*,那 集末 G 合 *中的 每一个 w必 点将对G中 应的 着(一 或个 几)点 个 . 于是G在 *上就确定了一 (或个 多)单 函 值值 数
z(w),它称为w函 f数 (z)的反函 ,也数 称
为映w射 f(z)的逆映 . 射
14
根据反函数的定义,
wG*,wf[(w)],
直线 x的象的参数: 方程为
u2y2, v2 y. (y为参 ) 数 消去参y数 得: v24 2(2u ),
以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线)
同理y 直 的 线 象 : 为
v24 2(2u ),
以原点为焦点,开口相右的 抛物线.(图中蓝色曲线)
13
6. 反函数的定义: 设wf(z)的定义集 z平合 面为 上的 G, 集
28
argz 在z＝－2处连续否？
•
2
结论：不连续
四、小结与思考
复变函数以及映射的概念是本章的一个重点.
注意：复变函数与一元实变函数的定义完全一样, 只要将后者定义中的“实数”换为“复数”就行 了. 通过本课的学习, 熟悉复变函数的极限、连 续性的运算法则与性质.
注意:复变函数极限的定义与一元实变函数 极限的定义虽然在形式上相同, 但在实质上有很 大的差异, 它较之后者的要求苛刻得多.
根据极限的定义 当 0 ( x i) y ( x 0 i0 ) y 时 ,
(u i) v (u 0 i0 v ),
20
或 0 当 ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 时 ,
(u u 0 ) i(v v 0 ), u u 0 ,v v 0 ,
4 0r 2映射为
w z2
0π,04,
2
仍是扇形域.
18
二、复变函数的极限
1.函数极限的定义:
设函数 w f(z)定义在 z0的去心邻域
0zz0 内,如果有一确定A存 的在 数 , 对于任意给定 0的 ,相应地必有一(正) 数 使得当 0zz0 (0 )时,有f(z)A
那末称 A为f(z)当z趋向于 z0时的极. 限 记 lif 作 ( m z ) A .( 或 f( z ) z z 0 A )
故 x l x i0u m (x ,y ) u 0 , x l x i0v m (x ,y ) v 0 .
y y 0
y y 0
(2) 充分性. 若 x l x i0u m (x ,y ) u 0 , x l x i0v m (x ,y ) v 0 ,
y y 0
y y 0
那 0 么 ( x x 0 ) 2 当 ( y y 0 ) 2 时 ,
的 w 点 a i.b
y
A
B z123i
C
o
x源自文库
z212i
C A
v
w 212i
o
u
B w 123i
z1w1, z2w2, A B A B C C .
7
如果把z平面和w平面 重叠在一,不 起难看w出z 是关于实轴的一个 映对 射. 称
且是全同图形.
w z21
o
z 2w1
y
A
B z123i
22
定理二
设 lim f (z) A, limg(z) B, 那末
zz0
zz0
(1) lim[ f (z) g(z)] A B; zz0
(2) lim[ f (z)g(z)] AB; zz0
(3) lim f (z) A (B 0). zz0 g(z) B
与实变函数的极限运算法则类似.
23
v 3 2
2
2
1.
34
例4 证明函 f(z) 数 Rez)当 ( z0时的极限 z
不存 . 在
证 (一) 令zxiy, 则f(z) x , x2y2
u(x,y) x , v(x,y)0, x2y2
当 z沿直 y线 kx 趋于, 零时
lim u(x,y)lim x lim x
x0 ykx
x0 ykx
C
o
x
z212i
C A
v
w 212i
o
u
B w 123i
z1w1, z2w2, A B A B C C .
8
(2)函数 wz2构成的. 映射
显z然 平将 面 z 1 i,上 z 2 1 2 的 i,z 3 1 点 映w 射 平成 面 w 1 上 1 ,w 2 的 3 4 i,w 3 点 1 .
解 令 z x i,y w u i,v
映射w z 1 z
uivxiyxx 2 iyy 2,
于是 uxx2 xy2,
v
y
x2
y
y2
,
圆周 z2的参数方: 程为
x2cos y2sin,
02π
33
所以象的参数方程为
u
5cos
2
v
3sin
,
2
0 2π
表
示 w平面上的:椭 u522圆 2
证 设 f( z ) u ( x ,y ) i( x v ,y ), 则 f(z ) u (x ,y ) i(v x ,y ), 由f(z)在 z0连,续 知 u (x ,y)和 v(x ,y)在 (x 0,y 0)处都 , 连 于 u ( x ,y 是 ) 和 v ( x ,y ) 也 ( x 0 ,y 0 在 ) 处 , 连 故f(z)在z0连.续
1-4复变函数及其极限与连续
•
•
•
映射的定义: 如果用z 平面上的点表示自变z的量值,
而用另一个平w面平面上的点表示函w数的 值,那末函数w f (z)在几何上就可以看作 是把z 平面上的一个点G集(定义集合)变到 w 平 面 上 的 一 个 点G集* (函 数 值 集 合 )的 映 射 (或变换).
则uivx2y22xy, i ux2y2,
x2 y2 4 u 4,
y 2 o 2
v
w z2
x
o
4u
平行v于 轴的直 . 线
17
例1 在映w射 z2下求下列平w面 平点 面集
上的: 象
(3 )扇形 0 域 π ,0r2 .
4
解 设 z rie , w e i,则 r2, 2 ,
故扇形域 0 π,
r
36
当 z沿不同 ar z的 g 趋 射于 线 , 零时
f (z)趋于不同的.值 例z如 沿正 ar 实 z g 0趋 轴于 , f(零 z)1,时
沿arzgπ趋于零 , f时 (z)0, 2
故lim f(z)不存. 在 z0
37
例5 证明f函 (z)z数 (z0)当 z 0时的极 z
限不. 存在
特殊的: (1) 有理整函数(多项式)
w P ( z ) a 0 a 1 z a 2 z 2 a n z n , 对复平面内的 z都所是有连点 ;续的
(2) 有理分式函数
w P(z), Q(z)
其中 P(z)和Q(z)都是多 , 项式
在复平面内使分母不为零的点也是连续的.
27
例2 证 :如 明 f(z ) 果 在 z 0 连 ,那 续 f(z ) 末 在 z 0 也.连续
有 uu 02,
vv02,
21
f ( z ) A ( u u 0 ) i ( v v 0 )
uu 0vv0
故 0 当 z z 0时 , f(z)A,
所l以 im f(z)A . z z0
说明
[证毕]
该定理将求复 f(z)变 u(函 x,y)数 iv(x,y) 的极限,转 问化 题为求两个 函二 数 u(元 x,y)实变 和v(x,y)的极限. 问题
x2y2
x0 x2 (kx)2
35
lim x
1 ,
x0 x2(1k2)
1 k2
随k值的变化而变, 化
所以 limu(x,y)不存, 在 limv(x,y)0,
xx0 yy0
xx0 yy0
根据定理一可知, limf(z)不存. 在 z0
证 (二) 令 z r(c oiss i)n,
则f(z)rcoscos,
当反函数为单值函数时, z[f(z)]z ,G .
如果函 (映数射 )wf(z)与它的反函数
(逆映)射 z(w)都是单,值 那的 末称(函 映数
射)wf(z)是一一对 .也 应可 的称G 集与合集 合G*是一一对 . 应的
今后不再区别函数与映射.
15
例1 在映w射 z2下求下列平w面 平点 面集
z z 0
注意: 定义z 中z0的方式是. 任意的
19
2. 极限计算的定理
定理一
设f(z)u(x,y)iv(x,y), Au0 iv0,
z0
x0
iy0, 那
末limf zz0
(z)
A的
充
要
条
件
是
limu(x,
xx0
y)
u0,
limv(x,
xx0
y)
v0.
yy0
yy0
证 (1) 必要性. 如l果 im f(z)A , z z0
三、复变函数的连续性
1. 连续的定义: 如果 lz izm 0 f(z)f(z0),那末我们 f(z就 ) 说
在z0处连.如 续果 f(z)在区D域 内处处, 连续 我们f说 (z)在D内连. 续
函数 f(z)在曲C线 上z0处连续的意义 lz izm 0 f(z)f(z0), zC.
24
定理三 函f数 (z)u(x,y)i(vx,y)在 z0x0i0 y
这个映射通常函简数 w称 f为 (z) 由 所构成的 . 映射
如G 果 中的 z被 点 映 w射 f(z)映射 G*成 中的 w,那 点 w 末 称z为 的(映 象)象 而 , z称w 为 的原 . 象
6
两个特殊的映射:
(1)函数 wz构成的 . 映射
将 z平面 z a 上 i映 b的 w 射 平 点 成 面
连续的充 :u(x,y 要 )和 v(条 x,y)在 件 (x0,y 是 0) 处连 . 续
例如, f(z ) ln x 2 y (2 ) i(x 2 y 2 ), u(x, y)lnx(2 y2)在复平面内除原点外 处连,续v(x,y)x2y2在复平面内处, 处连 故f(x,y)在复平面内除原 处点 连外 .续处
证
令 z x i,yf( z ) u i,v
则u(x,y)xx22yy22,
v(x,
y)
2xy x2 y2
,
当 z沿直 y线 kx 趋于, 零时
lx i0m v(x,y)lx i0mx22xyy2
1
2k k
2
,
ykx
ykx
38
谢谢聆听
25
定理四 (1在 )z0连续的f两 (z)和 个 g(z)的 函和 数、 积、 (分商 母 z0不 在为 )在 z零 0处仍 . 连续 (2如 ) 果 h 函 g(z)在 数 z0连,函 续w 数 f(h)在 h 0g(z0)连,那 续末复 w合 f[g(z)函 在 ] z0处 数 连. 续
26
它把 z平面上的两族 线分 y别 x和 以坐 直 标轴为渐近线 曲的 线等轴双
x2y2c1, 2xyc2,
分别映射w成 平面上的两族平行直线
uc1, vc2.
(如下页图)
11
(2)函数 wz2构成的. 映射
将第一图中两块阴影部分映射成第二图中
同一个长方形.
y
y
o
x
o
x
12
(2)函数 wz2构成的. 映射
上的: 象
(1)线0段 r2,π;
4
解 设z rei ,
y
还是线段.
v
w ei ,
w z2
则 r2, 2 , o
x
o
u
故0 线 r 2 , 段 π 映 0 射 4 , 为 π ,
4
2
16
例1 在映w射 z2下求下列平w面 平点 面集
上的: 象
(2)双曲 x2线 y24;
解 令 z x i,y w u i,v
思考题
1. “函数”、“映射”、“变换”等名词有 无区别？
31
思考题答案
在复变函数中, 对“函数”、“映射”、 “变换”等名词的使用, 没有本质上的区别. 只 是函数一般是就数的对应而言, 而映射与变换 一般是就点的对应而言的.
放映结束，按Esc退出.
32
例2 对于 w z映 1,求 射 圆 z2的 周 . 象 z
y
zz3 1o z 2
x
w2
v
w
o
1
w3
u
9
(2)函数 wz2构成的. 映射
根据复数的乘法公式可知,
映射 wz2将z的辐角增. 大一倍
y
v
o
x
2
o
u
将 z平面上与实 的轴 角交 形角 域 w为 映 平面上与2实 的 轴 角 交 .形 角 域 为
10
(2)函数 wz2构成的. 映射
函数 wz2对应于两个二数 元: 实变函 ux2y2, v2x.y
函数值集 w平合 面为 上的 G*,那 集末 G 合 *中的 每一个 w必 点将对G中 应的 着(一 或个 几)点 个 . 于是G在 *上就确定了一 (或个 多)单 函 值值 数
z(w),它称为w函 f数 (z)的反函 ,也数 称
为映w射 f(z)的逆映 . 射
14
根据反函数的定义,
wG*,wf[(w)],
直线 x的象的参数: 方程为
u2y2, v2 y. (y为参 ) 数 消去参y数 得: v24 2(2u ),
以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线)
同理y 直 的 线 象 : 为
v24 2(2u ),
以原点为焦点,开口相右的 抛物线.(图中蓝色曲线)
13
6. 反函数的定义: 设wf(z)的定义集 z平合 面为 上的 G, 集
28
argz 在z＝－2处连续否？
•
2
结论：不连续
四、小结与思考
复变函数以及映射的概念是本章的一个重点.
注意：复变函数与一元实变函数的定义完全一样, 只要将后者定义中的“实数”换为“复数”就行 了. 通过本课的学习, 熟悉复变函数的极限、连 续性的运算法则与性质.
注意:复变函数极限的定义与一元实变函数 极限的定义虽然在形式上相同, 但在实质上有很 大的差异, 它较之后者的要求苛刻得多.
根据极限的定义 当 0 ( x i) y ( x 0 i0 ) y 时 ,
(u i) v (u 0 i0 v ),
20
或 0 当 ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 时 ,
(u u 0 ) i(v v 0 ), u u 0 ,v v 0 ,
4 0r 2映射为
w z2
0π,04,
2
仍是扇形域.
18
二、复变函数的极限
1.函数极限的定义:
设函数 w f(z)定义在 z0的去心邻域
0zz0 内,如果有一确定A存 的在 数 , 对于任意给定 0的 ,相应地必有一(正) 数 使得当 0zz0 (0 )时,有f(z)A
那末称 A为f(z)当z趋向于 z0时的极. 限 记 lif 作 ( m z ) A .( 或 f( z ) z z 0 A )
故 x l x i0u m (x ,y ) u 0 , x l x i0v m (x ,y ) v 0 .
y y 0
y y 0
(2) 充分性. 若 x l x i0u m (x ,y ) u 0 , x l x i0v m (x ,y ) v 0 ,
y y 0
y y 0
那 0 么 ( x x 0 ) 2 当 ( y y 0 ) 2 时 ,
的 w 点 a i.b
y
A
B z123i
C
o
x源自文库
z212i
C A
v
w 212i
o
u
B w 123i
z1w1, z2w2, A B A B C C .
7
如果把z平面和w平面 重叠在一,不 起难看w出z 是关于实轴的一个 映对 射. 称
且是全同图形.
w z21
o
z 2w1
y
A
B z123i
22
定理二
设 lim f (z) A, limg(z) B, 那末
zz0
zz0
(1) lim[ f (z) g(z)] A B; zz0
(2) lim[ f (z)g(z)] AB; zz0
(3) lim f (z) A (B 0). zz0 g(z) B
与实变函数的极限运算法则类似.
23
v 3 2
2
2
1.
34
例4 证明函 f(z) 数 Rez)当 ( z0时的极限 z
不存 . 在
证 (一) 令zxiy, 则f(z) x , x2y2
u(x,y) x , v(x,y)0, x2y2
当 z沿直 y线 kx 趋于, 零时
lim u(x,y)lim x lim x
x0 ykx
x0 ykx
C
o
x
z212i
C A
v
w 212i
o
u
B w 123i
z1w1, z2w2, A B A B C C .
8
(2)函数 wz2构成的. 映射
显z然 平将 面 z 1 i,上 z 2 1 2 的 i,z 3 1 点 映w 射 平成 面 w 1 上 1 ,w 2 的 3 4 i,w 3 点 1 .
解 令 z x i,y w u i,v
映射w z 1 z
uivxiyxx 2 iyy 2,
于是 uxx2 xy2,
v
y
x2
y
y2
,
圆周 z2的参数方: 程为
x2cos y2sin,
02π
33
所以象的参数方程为
u
5cos
2
v
3sin
,
2
0 2π
表
示 w平面上的:椭 u522圆 2
证 设 f( z ) u ( x ,y ) i( x v ,y ), 则 f(z ) u (x ,y ) i(v x ,y ), 由f(z)在 z0连,续 知 u (x ,y)和 v(x ,y)在 (x 0,y 0)处都 , 连 于 u ( x ,y 是 ) 和 v ( x ,y ) 也 ( x 0 ,y 0 在 ) 处 , 连 故f(z)在z0连.续
1-4复变函数及其极限与连续
•
•
•
映射的定义: 如果用z 平面上的点表示自变z的量值,
而用另一个平w面平面上的点表示函w数的 值,那末函数w f (z)在几何上就可以看作 是把z 平面上的一个点G集(定义集合)变到 w 平 面 上 的 一 个 点G集* (函 数 值 集 合 )的 映 射 (或变换).
则uivx2y22xy, i ux2y2,
x2 y2 4 u 4,
y 2 o 2
v
w z2
x
o
4u
平行v于 轴的直 . 线
17
例1 在映w射 z2下求下列平w面 平点 面集
上的: 象
(3 )扇形 0 域 π ,0r2 .
4
解 设 z rie , w e i,则 r2, 2 ,
故扇形域 0 π,
r
36
当 z沿不同 ar z的 g 趋 射于 线 , 零时
f (z)趋于不同的.值 例z如 沿正 ar 实 z g 0趋 轴于 , f(零 z)1,时
沿arzgπ趋于零 , f时 (z)0, 2
故lim f(z)不存. 在 z0
37
例5 证明f函 (z)z数 (z0)当 z 0时的极 z
限不. 存在
特殊的: (1) 有理整函数(多项式)
w P ( z ) a 0 a 1 z a 2 z 2 a n z n , 对复平面内的 z都所是有连点 ;续的
(2) 有理分式函数
w P(z), Q(z)
其中 P(z)和Q(z)都是多 , 项式
在复平面内使分母不为零的点也是连续的.
27
例2 证 :如 明 f(z ) 果 在 z 0 连 ,那 续 f(z ) 末 在 z 0 也.连续
有 uu 02,
vv02,
21
f ( z ) A ( u u 0 ) i ( v v 0 )
uu 0vv0
故 0 当 z z 0时 , f(z)A,
所l以 im f(z)A . z z0
说明
[证毕]
该定理将求复 f(z)变 u(函 x,y)数 iv(x,y) 的极限,转 问化 题为求两个 函二 数 u(元 x,y)实变 和v(x,y)的极限. 问题
x2y2
x0 x2 (kx)2
35
lim x
1 ,
x0 x2(1k2)
1 k2
随k值的变化而变, 化
所以 limu(x,y)不存, 在 limv(x,y)0,
xx0 yy0
xx0 yy0
根据定理一可知, limf(z)不存. 在 z0
证 (二) 令 z r(c oiss i)n,
则f(z)rcoscos,
当反函数为单值函数时, z[f(z)]z ,G .
如果函 (映数射 )wf(z)与它的反函数
(逆映)射 z(w)都是单,值 那的 末称(函 映数
射)wf(z)是一一对 .也 应可 的称G 集与合集 合G*是一一对 . 应的
今后不再区别函数与映射.
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例1 在映w射 z2下求下列平w面 平点 面集
z z 0
注意: 定义z 中z0的方式是. 任意的
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2. 极限计算的定理
定理一
设f(z)u(x,y)iv(x,y), Au0 iv0,
z0
x0
iy0, 那
末limf zz0
(z)
A的
充
要
条
件
是
limu(x,
xx0
y)
u0,
limv(x,
xx0
y)
v0.
yy0
yy0
证 (1) 必要性. 如l果 im f(z)A , z z0
三、复变函数的连续性
1. 连续的定义: 如果 lz izm 0 f(z)f(z0),那末我们 f(z就 ) 说
在z0处连.如 续果 f(z)在区D域 内处处, 连续 我们f说 (z)在D内连. 续
函数 f(z)在曲C线 上z0处连续的意义 lz izm 0 f(z)f(z0), zC.
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定理三 函f数 (z)u(x,y)i(vx,y)在 z0x0i0 y
这个映射通常函简数 w称 f为 (z) 由 所构成的 . 映射
如G 果 中的 z被 点 映 w射 f(z)映射 G*成 中的 w,那 点 w 末 称z为 的(映 象)象 而 , z称w 为 的原 . 象
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两个特殊的映射:
(1)函数 wz构成的 . 映射
将 z平面 z a 上 i映 b的 w 射 平 点 成 面
连续的充 :u(x,y 要 )和 v(条 x,y)在 件 (x0,y 是 0) 处连 . 续
例如, f(z ) ln x 2 y (2 ) i(x 2 y 2 ), u(x, y)lnx(2 y2)在复平面内除原点外 处连,续v(x,y)x2y2在复平面内处, 处连 故f(x,y)在复平面内除原 处点 连外 .续处
证
令 z x i,yf( z ) u i,v
则u(x,y)xx22yy22,
v(x,
y)
2xy x2 y2
,
当 z沿直 y线 kx 趋于, 零时
lx i0m v(x,y)lx i0mx22xyy2
1
2k k
2
,
ykx
ykx
38
谢谢聆听
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定理四 (1在 )z0连续的f两 (z)和 个 g(z)的 函和 数、 积、 (分商 母 z0不 在为 )在 z零 0处仍 . 连续 (2如 ) 果 h 函 g(z)在 数 z0连,函 续w 数 f(h)在 h 0g(z0)连,那 续末复 w合 f[g(z)函 在 ] z0处 数 连. 续
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它把 z平面上的两族 线分 y别 x和 以坐 直 标轴为渐近线 曲的 线等轴双
x2y2c1, 2xyc2,
分别映射w成 平面上的两族平行直线
uc1, vc2.
(如下页图)
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(2)函数 wz2构成的. 映射
将第一图中两块阴影部分映射成第二图中
同一个长方形.
y
y
o
x
o
x
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(2)函数 wz2构成的. 映射
上的: 象
(1)线0段 r2,π;
4
解 设z rei ,
y
还是线段.
v
w ei ,
w z2
则 r2, 2 , o
x
o
u
故0 线 r 2 , 段 π 映 0 射 4 , 为 π ,
4
2
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例1 在映w射 z2下求下列平w面 平点 面集
上的: 象
(2)双曲 x2线 y24;
解 令 z x i,y w u i,v