高中数学第三章导数及其应用习题课导数的应用学案苏教版选修1_417

习题课导数的应用

学习目标 1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用．

知识点一函数的单调性与其导数的关系

定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)

f′(x)的正负f(x)的单调性

f′(x)>0单调递________

f′(x)<0单调递________

知识点二求函数y＝f(x)的极值的方法

解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，

(1)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值．

(2)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值．

知识点三函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的求法

1．求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．

2．将函数y＝f(x)的________与端点处的函数值________比较，其中________的一个是最大值，________的一个是最小值．

类型一数形结合思想的应用

例 1 已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是________．

反思与感悟解决函数极值与函数、导函数图象的关系时，应注意：

(1)对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，在哪个点处与x 轴相交，在交点附近导函数值是怎样变化的．

(2)对于函数的图象，函数重点考查递增区间和递减区间，进而确定极值点．

跟踪训练1 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是________．

类型二 构造函数求解

命题角度1 比较函数值的大小

例2 已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋

f x

x

<0，若a ＝12f (12)，b ＝－2f (－2)，c ＝(ln 12)f (ln 1

2)，则a ，b ，c 的大小关系是________．

反思与感悟 本例中根据条件构造函数g (x )＝xf (x )，通过g ′(x )确定g (x )的单调性，进而确定函数值的大小，此类题目的关键是构造出恰当的函数．

跟踪训练2 设a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 5

5，则a ，b ，c 的大小关系是________．

命题角度2 求解不等式

例3 定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )，满足f (x )2e x

的解集为________．

反思与感悟 根据所求结论与已知条件，构造函数g (x )＝f x

e

x

，通过导函数判断g (x )的单

调性，利用单调性得到x 的取值范围．

跟踪训练3 设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f ′(x )为其导函数．当x >0时，f (x )＋

x ·f ′(x )>0，且f (1)＝0，则不等式x ·f (x )>0的解集为________．

命题角度3 利用导数证明不等式 例4 已知x >1，证明不等式x －1>ln x .

反思与感悟利用函数的最值证明不等式的基本步骤

(1)将不等式构造成f(x)>0(或<0)的形式；

(2)利用导数将函数y＝f(x)在所给区间上的最小值(或最大值)求出；

(3)证明函数y＝f(x)的最小值(或最大值)大于零(或小于零)即可证得原不等式成立．

跟踪训练4 证明：当x>0时，2＋2x<2e x.

类型三利用导数研究函数的极值与最值

例5 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)在区间[0，t](0

(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围．

反思与感悟(1)求极值时一般需确定f′(x)＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点．(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．

跟踪训练5 已知函数f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋48(a－2)x＋b的图象关于原点成中心对称．

(1)求a，b的值；

(2)求f(x)的单调区间及极值；

(3)当x∈[1,5]时，求函数的最值．

1．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：

①函数y ＝f (x )在区间⎝

⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，3内单调递减；

③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－1

2时，函数y ＝f (x )有极大值．

则上述判断中正确的是________．(填序号)

2．已知f (x )＝2x 3

－6x 2

＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，则此函数在[－2,2]上的最小值为________． 3．已知函数f (x )＝

ax ＋1

x ＋2

在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________． 4．设f (x )、g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a f (b )g (b )；②f (x )g (a )>f (a )g (x )； ③f (x )g (b )>f (b )g (x )；④f (x )g (x )>f (a )g (a )． 5．已知x >0，求证：x >sin x .

导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法．