5平面平行力系的平衡条件
平面任意力系的平衡条件和平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图 3-8 b
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（2）按图示坐标列平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（3）解方程 解方程，求得
负号说明图中所设方向与实际情况相反，即 MA 为顺时针转向。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
二、关于平面任意力系 的例题
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
例3-2 起重机 P1 = 10 kN，可绕铅直轴AB转动；
起重机的挂钩上挂一重为 P2 = 40 kN 的重物， 如图 3-6 所示。
起重机的重心C到转动轴的距离为1.5 m， 其他尺寸如图所示。
求在止推轴承 A 和轴承 B 处的约束力。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
b．如果力系对另一点 B的主矩也同时为 零，则这个力系或一合力沿 A，B 两点的连 线，或者平衡（图3-9）。
c．如果再加上
，那么力系如
有合力，则此合力必与 x 轴垂直。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图 3-9
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
解： （1）选梁AB为研究对象 梁 AB 所受的主动力有： 均布载荷 q，
重力 P 和矩为 M 的力偶。 梁AB所受的约束力有： 铰链 A 的两个分力 Fax 和 FAy ，滚动支
座 B 处铅直向上的约束力FB。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（2）列平衡方程 取坐标系如图3-7所示，列出平衡方程：
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
理论力学第3章 力系的平衡条件与平衡方程
10
例题二的解答
解：选取研究对象：杆CE（带有销 钉D）以及滑轮、绳索、重物组成 的系统（小系统）受力分析如图， 列平衡方程:
M D (F ) 0 M C (F ) 0 M B (F ) 0
( F C cos ) CD F ( DE R ) PR 0 F Dx DC F ( CE R ) PR 0 F BD F ( DE R ) P ( DB R ) 0 Dy
2012年11月3日星期六
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29
滚动摩擦力偶的性质
滚动摩擦力偶Ｍ 具有如下性质（与滑动摩擦力性质类似）： ◆ 其大小由平衡条件确定； ◆ 转向与滚动趋势相反； ◆ 当滚子处于将滚未滚的平衡临界状态时， Ｍ = Ｍ max =δFN
式中：δ —滚动摩擦系数，它的量纲为长度； FN —法向反力（一般由平衡条件确定）。
q (2a b) 2a
2
YA q (2a b)
16
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课堂练习3
多跨静定梁由AB梁和BC梁用中间铰B连接而成，支撑和荷 载情况如图所示，已知P = 20kN，q=5kN⋅m，α = 45°。求 支座A、C的反力和中间铰B处的反力。
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x
xC
x
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5
平行分布线载荷的简化
Q
q
1、均布荷载 Q=ql
l 2
l 2
Q
q
2、三角形荷载 Q=ql /2
2l 3
l 3
Q
3、梯形荷载 Q=(q1+q2)l /2 (自己求合力的位置)
第四章：力系的平衡条件与平衡方程
未知量个数 <= 独立平衡方程数 静定
（全部未知量可以由平衡方程完全求解）
未知量个数 > 独立平衡方程数 静不定或超静定
（未知量不能全部由平衡方程求解）
物体系的平衡·静定和超静定问题
未知量个数 <= 独立平衡方程数 静定
（全部未知量可以由平衡方程完全求解）
未知量个数 > 独立平衡方程数 静不定或超静定
∑ M B = 0 −8FAy + 5*8 +10*6 +10* 4 +10* 2 = 0
得 FAy = 20kN ∑ Fiy = 0 FAy + FBy − 40 = 0
得 FBy = 20kN
求各杆内力
取节点A
⎧⎪∑ ⎨⎪⎩∑
Fiy Fix
= =
0 0
→ →
FAD FAC
取节点C
⎧⎪∑ ⎨⎪⎩∑
解得 P3max=350kN
22mm 22mm
所以，平衡载重P3取值范围为：
75kN ≤ P3 ≤ 350kN
（2）P3=180kN时：
∑ M A = 0 4P3 − 2P2 −14P1 + 4FB = 0
解得 FB=870kN
∑ Fy = 0 FA + FB − P1 − P2 − P3 = 0
∑M =0
FA'
⋅r
sinθ
− M2
=
0
解得 M 2 = 8kN ⋅m
FB = FA = 8kN
例
已知：OA=R，AB=
l,
r F
,
不计物体自重与摩擦,系统在图示位置平衡；
求: 力偶矩M 的大小，轴承O处的约 束力，连杆AB受力，滑块给导 轨的侧压力.
平面力系的平衡
Fx F cosa
Fy F cos b F sina
即力在某个轴上的投影等于力的模乘以力与该轴的 正向间夹角的余弦。投影的符号规定为：由起点a 到终点b连线（或a/由b/到）的指向与坐标轴正向相 同时为正，反之为负。 故力在坐标轴上的投影是个代数量。
投影练习
【例1】 试分别求出图2-2中各力在x轴和y轴上投影。已知
二、力的平移定理
作用在物体上的力F可以平行移动到物体内任一点O，但 必须同时附加一个力偶，才能与原来的作用等效。其附加力 偶的力偶矩等于原力F对平移点O的力矩。这就是力的平移定 理。
F′ B F A
a)
F′ F A
b)
F′
M
B
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
c)
图1-15
F
F
F’ = F’’=F
F’ F”
F
F’ M=Fh
F2 x F2 cos30 150N 0.866 = 129.9N
F3x F3 cos90 0
F3 y F3 sin90 200N 1.0 = 200N F4 x F4 cos60 200N 0.5 =100N
F4 y F4 sin 60 200N 0.866 = 173.2N
四、平面力系平衡的条件
平面 汇交力系 平面 平行力系 平面 力偶系 平面 任意力系
F F
F M M
x
y
0
0
0
两个独立方程，只能求两个独立未知数。
两个独立方程，只能求两个独立未知数。
y A
(F ) 0
i
0 一个独立方程，只能求一个独立未知数。
0
0
工程力学3-力系的平衡条件和平衡方程
例1 例1 求图示刚架的约束反力。
解：以刚架为研究对象，受力如图。
F x0:F A xq b0
P a A
q
b
F y0:F A yP0
P
MA(F)0:
MA
MAPa12q b2 0
FAx
A
FAy
q
解之得：
FAx qb
FAy P
MAPa 1 2qb 2
例2 例2 求图示梁的支座反力。
解：以梁为研究对象，受力如图。
坐标，则∑Fx＝0自然满足。于是平面 平行力系的平衡方程为：
O
F2
x
F y 0 ; M O ( F ) 0
平面平行力系的平衡方程也可表示为二矩式：
M A ( F ) 0 ; M B ( F ) 0
其中AB连线不能与各力的作用线平行。
[例5] 已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重量)， 尺寸如图。求：①保证满载和空载时不致翻倒，平衡块
解： 1．分析受力
建立Oxy坐标系。 A处约束力分量为FAx和FAy ；钢 索的拉力为FTB。
解： 2．建立平衡方程
Fx＝0
MAF＝ 0
－ F Q 2 l－ F W xF T Blsi＝ n0
FTB＝ FPlxs＋ iF nQ2 l＝ 2FlWxFQ
FAx F TBco ＝ s0
Fy＝0
F A ＝ x 2 F W x l F Q l co＝ s3 3 F lW 0xF 2 Q
[例1] 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍物。 求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。
解： ①选碾子为研究对象 ②取分离体画受力图
理论力学平面力系的简化和平衡
原力偶系的合力偶矩
n
M Mi i 1
只受平面力偶系作用的刚体平衡充要条件：
n
M Mi 0 i 1
对BC物块对B点取矩，以逆时针为正列方程应为：
M 2 M B (FC ) M FCY a FCx b M FC (b a) cos45 0
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m1m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
两轴不平行即 条件：x 轴不 AB
可，矩心任意
连线
mA (Fi ) 0 mB (Fi ) 0 mC (Fi ) 0
③三矩式 条件：A,B,C不在
同一直线上
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
4. 平面一般力系的简化结果分析
简化结果： 主矢R ，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② R =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
解除约束，可把支反
力直接画在整体结构
的原图上）
解除约束
由
mA (Fi
)
0
P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0 XA 0
Y 0 YB NB P0,
YA
P 3
2.5物体系统的平衡、静定与超静定问题
1、物体系统的平衡问题 物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫∼。 [例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
N2个物体受平面汇交力系（或平面平行力系）
X 0 Y 0
2*n2个独立平衡方程
N3个物体受平 X 0 面任意力系 Y 0
第3章力系的平衡条件与平衡方程
第3章 力系的平衡条件与平衡方程3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程3.1.1 平面一般力系的平衡条件与平衡方程如果一个平面一般力系的主矢和力系对任一点的主矩同时都等于零，物体将不会移动也不会转动，则该物体处于平衡状态。
力系平衡的充分必要条件：力系的主矢和力系对任一点的主矩都分别等于零，即 110()0i n R i n O O ii F F M M F ==⎫==⎪⎪⎬⎪==⎪⎭∑∑平衡条件的解析式：11100()0nix i niy i n O i i F F M F ===⎫=⎪⎪⎪=⎬⎪⎪=⎪⎭∑∑∑ 或 00()0x y O F F M F ⎫=⎪⎪=⎬⎪=⎪⎭∑∑∑ 平面一般力系的平衡方程该式表明，平面一般力系的平衡条件也可叙述为：力系中各力在任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对任一点的矩的代数和也等于零。
平面汇交力系：平面汇交力系对平面内任意一点的主矩都等于零，即恒满足()0O M F ≡∑物体在平面汇交力系作用下平衡方程：00x yF F ⎫=⎪⎬=⎪⎭∑∑例题3-1 图所示为悬臂式吊车结构图。
其中AB 为吊车大梁，BC为钢索，A 处为固定铰支座，B 处为铰链约束。
已知起重电动机E 与重物的总重量为PF （因为两滑轮之间的距离很小，PF 可视为集中力作用在大梁上）梁的重力为QF 已知角度30θ=。
求：1、电动机处于任意位置时，钢索BC所受的力和支座A处的约束力；2、分析电动机处于什么位置时。
钢索受力最大，并确定其数值。
解：1、选择研究对象以大梁为研究对象，对其作受力分析，并建立图示坐标系。
建立平衡方程 取A 为矩心。
根据()0A M F =∑sin 02Q P TB lF F x F l θ-⨯-⨯+⨯=222sin 2sin30P Q P Q P TB QlF x F F x F l F x F F l l l θ⨯+⨯+===+由xF =∑cos 0Ax TB F F θ-=2()cos303()2Q P P Ax Q F F x F x F F l l =+=+由yF =∑sin 0Ay Q P TB F F F F θ---+=122[()]2Q P Ay Q P TB Q P Q P F F x F F F F F F l F l xF l =--+=--++-=-+由 2P TB QF x F F l =+ 可知当x l =时钢索受力最大， 其最大值为 22P TB Q P QF lF F F F l =+=+在平面力系的情形下，力矩中心应尽量选在两个或多个未知力的交点上，这样建立的力矩平衡方程中将不包含这些未知力；坐标系中坐标轴取向应尽量与多数未知力相垂直，从而这些未知力在这一坐标轴上的投影等于零，这样可减少力的平衡方程中未知力的数目。
平面力系的平衡条件与平衡方程式
从而所研究的力系必为平衡力系，如图2-16所示。
三矩式平衡方程为
M A 0 M B 0 M C 0
其中，A，B，C三点不得共线。
图 2-16
由 M A 0 ， M B 0 知，该力系只可能为作用线过A，B
两点的合力或是平衡力系；
Fy 0
M O 0 （2-22）
图 2-19
对于平面力偶系，由于它简化后为一个合力偶，而力偶在任何 轴上的投影都是零，因此，式（2-18）中的前两式自然满足。 所以，平面力偶系的平衡方程为
MO 0
理论力学
的平衡，也就不会产生附加的平面力偶系，从而只要主矢为零，该力 系就平衡。其平衡方程为
Fx 0
Fy
0
（2-21）
图 2-18
例
对于平面平行力系（各力作用线共面且平行的力系），该力系简化 后其主矢必与各力平行从而方向已知，这时可取两个投影轴分别与 该力系平行和垂直，则与该力系垂直的轴上的投影方程总是自然满 足的，故其平衡方程式为
M A 0
M B 0
Fx 0
（2-19）
式中，AB连线不得与x轴相垂直。
方程式（2-19）也完全表达了力系的平衡条件：由 M A 0 知，
该力系不能与力偶等效，只能简化为一个作用线过矩心A的合力，
或者为平衡力系；
由 M B 0 知，若该力系有合力，则合力必通过A，B连线
最后，由 Fx 0 知，若有合力，则它必垂直于x轴；而据限制条件，
理论力学
平面力系的平衡条件与平衡方程式
平面力系平衡的充分和必要条件是 力系的主矢及作用面内任意一点的主矩同时为零。
证
由主矢为零，即
工程力学复习题及答案
1.力是物体间相互的机械作用，这种作用使物体的机械运动状态发生改变。
2.物体受力发生变形的过程，属于机械运动状态改变的过程。
3.受力物体和施力物体间的相互作用力的性质相同。
4.刚体是受力作用而不变形的物体。
5.在所研究的机械运动问题中，物体的变形可以不考虑，那么此物体可视为刚体。
1.力系中各力的作用线汇交于一点的力系，称为汇交力系；力系中各力的作用线在同一个平面内且汇交于一点，这样的力系称为平面汇交力系。
2.平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。
3.平面汇交力系平衡的几何条件是：该力系的力多边形是自行封闭的。
4.刚体在三力作用下平衡，其中两力的作用线汇交于一点，则该三力组成的平衡力系一定是平面汇交力系。
5.在正交的力系中，力沿某轴的分力的大小于同一力在该轴上的投影的绝对值相等。
1.力偶是大小相等、方向相反且不共线的两个平行力。
2.力偶在任何坐标轴上的投影的代数和恒等于零。
3.力偶矩相等是作用在刚体上的两个力偶等效的充分必要条件。
4.力偶使刚体转动的效果与矩心位置无关，完全由力偶矩决定。
5.力偶于力都是物体间相互的机械作用，力偶的作用效果是改变物体转动的状态。
1.平面任意力系向一点的简化，需要将力系中各力都等效的平移到作用面内任意选定的一点上，该点称为简化中心。
2.对于给定的任意力系，其主矢与简化中心的位置无关。
但在一般情况下，简化中心的位置不同时，对应的力系的主矩则不相同。
3.平面任意力系平衡的必要和充分条件是平面任意力系的主矢和主矩同时为零。
4.平面任意力系的平衡方程可写成三种形式，一矩式、二矩式和三矩式，其中二矩式和三矩式对矩心位置必须附加条件。
5.平面平行力系平衡时，只有两个独立的平衡方程。
1.两个物体间具有不光滑接触面时，接触面处会产生阻碍两物体间的相对滑动或相对滑动趋势的机械作用，这种作用称为滑动摩擦力。
其方向沿接触面公切线，与物体相对滑动相反。
2.临界平衡状态下，静滑动摩擦力的值称为最大静摩擦力，以Fmax表示。
平面一般力系—平面平行力系的平衡方程(建筑力学)
平面一般力系
(1) 要使起重机不翻到，应使作用在起重机上的所有力满
足平衡条件。
当满载时，为使起重机不绕B点翻倒，这些力必须满足平
衡方程∑MB (F ) = 0 。在临界情况下，FAy= 0 。此时求出的
W3值是所允许的最小值。
由∑MB (F ) = 0得
W3min×（6+2）+ W1×2- W2×（12-2）=0
平面一般力系
平面平行力系平衡方程的应用
例4-5 某房屋的外伸梁构造及尺寸如图所示，该梁的力
学简图如图所示，已知q1= 20kN/m，q2=15kN/m。试求A、B支
座的反力。
解 取外伸梁AC为研究对象。
梁的受力图如图示。
平面一般力系
∑MA (F ) = 0
FBy
∑MB (F ) = 0
FBy×5–q1×5×2.5–q2×2×6=0
例4-6 塔式起重机如图所示。
机架重W1=400kN，作用线通过塔
架的中心。最大起重量W2=100kN
，最大悬臂长为12m，轨道AB的
间距为4m。平衡锤重W3，到机身
中心线距离为6m。试问：（1）
保证起重机在满载和空载时做到
不翻倒，平衡锤重W3的范围；（
2）当平衡锤重W3=80kN时，求满
载时轨道A、B对起重机轮子的反
20 5 2.5 15 2 6
kN 86kN ()
5
–FAy×5+q1×5×2.5–q2×2×1 =0
20 5 2.5 15 2 1
FAy
kN 44kN ()
5
校核： ∑F = 86 + 44 - 15 ×2 - 20 ×5 = 0
工程力学3-力系的平衡条件和平衡方程
根据力的平衡条件，可以列出平衡方程。对于一个物体，在X轴和Y轴上的力可以表示为F1、F2、F3、F4等，根 据平衡条件，可以列出两个平衡方程：F1X+F2X+F3X+F4X=0和F1Y+F2Y+F3Y+F4Y=0。
平衡方程的分类
平面力系的平衡方程
对于平面力系，可以列出三个平衡方程，分别表示X轴、Y轴 和Z轴上的力的平衡。
• 总结词：平面力系的平衡方程是用来求解未知力的数学工具，一般形式为 ∑X=0和∑Y=0。
• 详细描述：平面力系的平衡方程是根据平衡条件建立的数学方程，一般形式为 ∑X=0和∑Y=0，其中X和Y表示力在两个相互垂直的方向上的投影。通过解平衡 方程，可以求出未知力的值。
空间力系的平衡条件和平衡方程
• 总结词：空间力系中，力的合成与分解遵循平行六面体法则，平衡条件是力系 中所有力在三个相互垂直的方向上的投影之和为零。
• 详细描述：在空间力系中，力的合成与分解遵循平行六面体法则，即一个力可 以分解为三个相互垂直的分力。平衡条件是指力系中所有力在三个相互垂直的 方向上的投影之和为零，即合力矩为零。满足平衡条件的力系不会产生相对运 动或相对运动趋势。
• 总结词：空间力系的平衡方程是用来求解未知力的数学工具，一般形式为 ∑X=0、∑Y=0和∑Z=0。
跨学科融合
力系的平衡条件和平衡方程将与其它学科进行更紧密的融合，如计算机科学、人工智能 等，为解决复杂问题提供更高效的方法。
实际应用
力系的平衡条件和平衡方程在实际应用中将更加注重与工程实践的结合，提高解决实际 问题的效率。
力系平衡条件和平衡方程的实际应用
工程设计
在工程设计中，力系的平衡条件和平衡方程被广泛应用于结构分析 和优化设计，以确保结构的稳定性和安全性。
建筑力学大纲 知识点第三章 平面力系得平衡条件
第3章 平面力系的平衡条件3.1平面汇交力系的合成与平衡条件力系中各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点，这样的力系称为平面汇交力系。
3.1.1 平面汇交力系合成的解析法设作用于O 点的平面汇交力系（F 1，F 2，…，F n ），其合力矢量为R F （图3-2）。
按合力投影定理求合力R F 在x , y 轴上的投影∑∑====ni yiRy ni xiRx F F F F 11y图3-2R F = cos RxRF F α=(3-1) cos Ry RF F β=式中α，β------合力矢量F R 与x 和y 轴的正向夹角。
3.1.2 平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系平衡的必要与充分条件是力系的合力F R 等于零。
10nRx xi i F F ===∑10nRy yii F F===∑ (3-2)于是，平面汇交力系平衡的必要与充分条件可解析地表达为：力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别为零。
式(3-2)称为平面汇交力系的平衡方程。
3.2平面力偶系的合成与平衡条件3.2.1 平面力偶系的合成应用力偶的等效条件，可将n 个力偶合成为一合力偶，合力偶矩记为M 。
∑==ni i M M 1(3-3)3.2.2 平面力偶系的平衡条件平面力偶系平衡的必要与充分条件：力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零,即 10nii M M===∑ (3-4)3.3平面任意力系的合成与平衡条件3.3.1工程中的平面任意力系问题力系中各力的作用线在同一平面内，且任意地分布，这样的力系称为平面任意力系。
3.3.2 平面任意力系向一点的简化 主矢和主矩如图3-7（a ）所示。
在力系作用面内任选一点O ，将力系向O 点简化，并称O 点为简化中心。
i ′图3-7由力12,,,n F F F '''L 所组成的平面汇交力系，可简化为作用于简化中心O 的一个力RF '，该力矢量∑==ni i RF F 1'(3-5)R F '称作平面任意力系的主矢。
平面一般力系的平衡条件与平衡方程
解得：
y MA
q
P
a
FAx A
l
Bx
FAy
(b)
6
三、平面平行力系的平衡方程
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系
平面平行力系的平衡方程为： 一矩式
y
O
F2
F1
F3
Fn x
二矩式
（由平面一般力系的平衡方程，
其中投影方程
为恒等
式而自然满足，亦可得到平面平行 条件：AB 连线不能平行
力系平衡方程。）
工程力学
平面一般力系的平衡条件与平衡方程
一、平衡的必要与充分条件
由于 F'R=0 作用于简化中心的合力FRO=0，则汇交力系平衡； 由MO=0 则力偶矩MO=0 ，因此附加力偶系也平衡。 所以平面一般力系和主矩 MO 都等于零，即： （1） （2）
平面一般 必要
G
P
12m
A
B
NA
NB
2m 2m
[例] 已知：P=20kN, M=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m。求：
A、B的支反力。
解 ① 研究AB梁；② 受力如图b；③ 取Axy直角坐标；④ 列平衡方
程求解：
q
M
A
B
C
P
2a
2a
(a)
q
M
B
A
C
FAy
P
2a
FB 2a
(b)
工程力学
以上每式中只有三个独立的平衡方程，只能解出三个 未知量。
3
[例] 已知：P=20kN, M=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m。求：
A、B的支反力。
平面平行力系
平面平行力系平面平行力系是物理学中的一个重要概念，它描述了在平面上作用的一组平行力所产生的效果。
平面平行力系的研究对于力学的理解和应用具有重要意义。
本文将从平行力系的定义、性质和应用等方面进行阐述。
一、平面平行力系的定义平面平行力系是指在同一平面内作用的一组力，这些力的方向相互平行。
在平面平行力系中，每个力都有自己的大小、方向和作用点。
平面平行力系可以由多个力的矢量叠加而成。
1. 平行力系的合力：平面平行力系的合力是指将该力系中所有力的矢量相加得到的力。
合力的大小等于平面平行力系中各个力的矢量的代数和，方向与这些力的方向相同。
2. 平衡条件：当平面平行力系中的合力为零时，该力系处于平衡状态。
平面平行力系平衡的条件是力的矢量的代数和等于零。
3. 平行力系的效果：平面平行力系对物体产生的效果主要有两个方面，即平行力系的平移效果和转动效果。
当平面平行力系的合力不为零时，物体将产生平移运动；当平面平行力系的合力为零时，物体将处于静止状态，但可能产生转动。
三、平面平行力系的应用1. 平行力系的分解：平面平行力系可以通过力的分解原理分解为两个分力，一个是平行于其他力的分力，另一个是垂直于其他力的分力。
这种分解方法在实际问题的求解中具有重要的应用价值。
2. 平面平行力系的合成：平面平行力系可以通过力的合成原理合成为一个合力，这个合力的大小和方向可以通过矢量相加的方法求得。
平面平行力系的合成在力学的计算中经常使用。
3. 平面平行力系的平衡条件：平面平行力系平衡的条件是力的矢量的代数和等于零。
这个条件在求解力学平衡问题时非常重要，可以用来判断物体是否处于平衡状态。
4. 平面平行力系的力矩：平面平行力系对物体的转动效果可以用力矩来描述。
力矩是指力对物体产生转动效果的量度，它等于力的大小乘以力臂的长度。
平面平行力系的力矩可以通过力的乘积和力臂的叉乘来计算。
总结：平面平行力系是物理学中研究的一个重要内容，它描述了在平面上作用的一组平行力所产生的效果。
平面力系的平衡条件
例4－5 如图4－8所示简支梁结构，跨中 承受均布荷载q ，悬臂端承受集中力F = 2ql,试求各支座的支座反力。
解 画简支梁受力图4-8b.
x
例 4－ 5
F 0
M A (F ) 0
FAx 0
FBy 3.5ql
1 FBy l ql 2 F 1.5l 0 2
A
（4－13）
例4－7 如图4－10所示简单塔吊结构，悬 臂端承受重量为W。试计算支座A及钢索 BC的受力。 解：画塔吊结构受力图为(4－10b)
例 4－ 7
M
A
0
FBC sin 30 4 W 6 0
M
FBC 3W
C
0
FAy 4 W 2 0
M
FAy W 2
例 4－ 3
F
y
0 FAC sin60 FW 0
FW 2FW sin60 3
FAC
F
x
0 - FAC cos60 FBC 0
2FW 1 FW -FAC cos60 3 2 3
FBC
FAC为正，表明AC杆受力与原来假设方向相同是拉力。 而FBC为负，表明BC杆受力与原来假设方向相反是压力。
F 0
x
y
F
0
o
（4－11）
M
(F) 0
式（4－11）是平面任意力系平衡方程的基本形式，也称为一矩式方程。 这是一组三个独立的方程，只能求解出三个未知量。
二、 平衡方程的应用 用平面任意力系平衡方程求解工程实际问题，一般 有以下步骤： 1、为工程真实空间结构选择合适的简化平面，画出 其平面简图； 2、确定研究对象，取分离体，画受力图，标示未知 力； 3、列平衡方程求解未知力。列平衡方程时要注意坐 标轴和矩心的选择方法： a. 坐标轴一般选在与未知力垂直的方向上； b. 矩心可选在尽量多的未知力共同作用点（或汇 交点）上或不需求解的未知力作用线上。
07任意力系平行力系平衡条件
FX 0
mA(Fi ) 0 mB (Fi ) 0
①一矩式
②二矩式
条件：x 轴不 AB 连线
mA(Fi ) 0 mB (Fi ) 0 mC (Fi ) 0
③三矩式 条件：A,B,C不在
同一直线上
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
mA(F )0
Fi 0,
Q(62) P2W (12 2) N B 40 QPW N A NB 0
解得：
N A 210 kN, NB 870 kN
A
B
27
[例2] 已知：P=20kN, m=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。
Fx 0,
FAx F2 cos 60 0
Fy 0, FAy FB F1 F2 sin 60 0
M A(F) 0, FB l2 M F1l1 F2 (l1 l2 )sin 60 0
解方程。 FAx 0.75 kN,FAy 0.261 kN FB 3.56 kN,（）
Ax
Ay
则铰链A的反力及与x轴正向的夹角为：
FA FA2x FA2y 17.1kN
arctan FAy 15.30，斜向上
FAx
16
例3 支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C连接， 并各以铰链A，D连接于铅直墙上。如图所示。已 知杆AC=CB；杆DC与水平线成45o角；载荷F=10 kN，作用于B处。设梁和杆的重量忽略不计，求 铰链A的约束力和杆DC所受的力。
解：研究AB梁
由 X 0, X A 0
mA(F )0 ;
RB
a
平面汇交力系的平衡条件
平面汇交力系的平衡条件平面汇交力系的平衡条件是力矩平衡和力平衡。
在物理学中，力矩可以简单地理解为力对物体产生转动的能力，而力平衡则是指在平面中所有合力的合力矢量为零。
要了解平面汇交力系的平衡条件，我们首先需要了解力矩的概念。
力矩是指力在物体上产生转动效果的物理量。
当一个物体受到多个力的作用时，每个力的力矩将相互叠加，力矩的大小就相当于力的大小乘以力臂（力臂是力矢量所产生的垂直于力的作用线的距离）。
在平面中，力矩的算法通常是力矢量的模乘以力臂的长度，这个结果也被称为力矩的大小。
平面汇交力系的力矩平衡条件可以表示为：物体对于所有力矩的合力矢量为零。
换句话说，就是所有力对物体所产生的转动效果平衡，物体将保持静止或者以匀速直线运动。
为了实现力矩平衡，物体上的力矩必须相互抵消。
这意味着如果一个力的力矩是顺时针的，那么其对立的力必须具有逆时针的力矩。
只有当所有力的力矩均为零时，物体才能保持平衡。
这种抵消力矩的方式，有时需要我们做些简单的几何分析或者代数计算。
另外一个平面汇交力系的平衡条件是力平衡。
力平衡要求物体的所有合力矢量为零。
这意味着物体上所有力的合力要完全抵消掉没有净力作用于物体，物体将保持静止或者以匀速直线运动。
为了实现力平衡，物体上的所有力必须平衡。
这意味着所有力的合力必须为零。
如果合力不为零，那么物体将加速度运动。
所以，所有力的合力为零是保持平衡的前提。
要分析平面汇交力系的力矩平衡和力平衡，我们需要考虑力的大小、方向和位置。
首先，我们需要将物体上的所有力绘制成力矢量，并确定它们的大小和方向。
然后，我们可以计算每个力矢量的力矩，并对所有力矩进行求和。
如果力矩合为零，那么我们就满足了力矩平衡条件。
同时，我们还需要计算所有力的合力矢量，并判断是否为零。
如果合力为零，那么我们就满足了力平衡条件。
通过对平面汇交力系的平衡条件的分析，我们可以更好地理解物体在平面上的稳定性和静止与运动之间的关系。
同时，了解这些平衡条件也可以帮助我们解决一些实际问题，比如平衡天平、桥梁和建筑结构等的设计与分析。
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