直线与圆综合

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直线与圆的综合运用练习题

直线与圆的综合运用练习题直线与圆的关系是数学中的基础知识点，不仅在几何学中有广泛应用，而且在实际问题中也能发挥重要作用。

本文将给出一些直线与圆综合运用的练习题，帮助读者巩固和应用所学知识。

问题一：已知直线与圆的交点坐标，求直线方程和圆的方程。

解析：设已知直线方程为y = kx + b，圆的方程为(x - m)² + (y - n)² = r²。

设交点坐标为(x₁, y₁)，代入直线方程得y₁ = kx₁ + b，代入圆的方程得(x₁ - m)² + (kx₁ + b - n)² = r²。

化简后即可得到直线方程和圆的方程。

问题二：已知直线与圆的交点坐标，求该直线过圆心的垂线方程。

解析：设已知直线方程为y = kx + b，圆心坐标为(m, n)。

由于直线过圆心的垂线与直线的斜率为k的负倒数，故直线过圆心的垂线的斜率为-1/k。

设垂线方程为y = mkx + c，代入圆心坐标(m, n)得c = n -k*m。

因此，该直线过圆心的垂线方程为y = -x/k + (n - k*m)。

问题三：已知直线与圆的交点坐标，求直线与圆的切线方程。

解析：设已知直线方程为y = kx + b，圆的方程为(x - m)² + (y - n)² = r²。

通过求导可得直线的斜率为k。

根据切线的性质，直线与圆的切线垂直于通过切点与圆心的半径。

设直线与圆的切点坐标为(x₁, y₁)，圆心坐标为(m, n)，切线方程为y = mx + c。

由于切线垂直于半径，故直线与切线的斜率乘积为-1，即k * m = -1。

代入切点坐标(x₁, y₁)和圆心坐标(m, n)可得c = y₁ - m*x₁。

因此，直线与圆的切线方程为y = -1/k * x + (y₁ - m*x₁)。

问题四：已知圆的半径和切点坐标，求切线方程。

解析：设圆的方程为(x - m)² + (y - n)² = r²，切点坐标为(x₁, y₁)。

完整版)直线与圆综合练习题含答案

完整版)直线与圆综合练习题含答案直线与圆的方程训练题1.选择题:1.直线x=1的倾斜角和斜率分别是（）A。

45,1B。

不存在C。

不存在D。

-12.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=√2/2，则a,b满足（）A。

a+b=1B。

a-b=1C。

a+b=√2D。

a-b=√23.过点P(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为（）A。

2x+y-1=0B。

2x+y-5=0C。

x+2y-5=0D。

x-2y+7=04.已知点A(1,2),B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A。

4x+2y=5B。

4x-2y=5C。

x+2y=5D。

x-2y=55.直线xcosθ+ysinθ+a=0与xsinθ-ycosθ+b=0的位置关系是（）θ的值有关A。

平行B。

垂直C。

斜交D。

与a,b,θ的值有关6.两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A。

4B。

13√10C。

26√5D。

207.如果直线l沿x轴负方向平移3个单位再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是（）A。

-1/3B。

-3C。

1D。

38.直线l与两直线y=1和x-y-7=0分别交于A,B两点，若线段AB的中点为M(1,-1)，则直线l的斜率为（）A。

2/3B。

-3/2C。

-2D。

-39.若动点P到点F(1,1)和直线3x+y-4=0的距离相等，则点P的轨迹方程为（）A。

3x+y-6=0B。

x-3y+2=0C。

x+3y-2=0D。

3x-y+2=010.若P(2,-1)为(x-1)+y^2=25圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A。

x-y-3=0B。

2x+y-3=0C。

x+y-1=0D。

2x-y-5=011.圆x^2+y^2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离最大值是（）A。

2B。

1+√2C。

1+2√2D。

1+2√512.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有（）A。

直线与圆的综合运用

直线与圆的综合运用(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d<r相交；d＝r相切；d>r相离.(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0相交；Δ＝0相切；Δ<0相离.考向一直线与圆的位置关系【例】（1）4．圆(x−1)2+(y+2)2=6与直线2x+y−5=0的位置关系是（）A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．相交过圆心 D．相离（2）若直线3x＋4y－m＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0始终有公共点，则实数m的取值范围是________．【举一反三】1．若直线2x+y−2=0与圆(x-1)2+(y−a)2=1相切，则a=______．2．若曲线y=√1−x2与直线y=x+b始终有公共点，则实数b的取值范围是（）A．[−1,√2]B．[−1,√2)C．[−√2,√2]D．[1,√2]3．已知圆C过点P(2,1)，圆心为C(5,−3)．（1）求圆C的标准方程；（2）如果过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C没有公共点，求实数k的取值范围．考向二直线与圆的弦长【例】（1）直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长为________．（2）已知直线mx+y−3=0与圆O:x2+y2=3交于A,B两点（O为坐标原点），且|AB|=√3，则m=。

【举一反三】1．圆C：x2+y2−2x=0被直线y=√3x截得的线段长为（）A．2 B．√3C．1 D．√22.圆C：x2+y2−2x=0被直线y=x截得的线段长为（）A．2 B．√3C．1 D．√23．直线(m+1)x−my+3m+2=0被圆C:x2+y2=16所截的弦长的最小值为（）A．2√5B．6 C．2√11D．8考向三切线问题【例】已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．(1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行；(2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直；(3)过切点A (4，－1)．【举一反三】1. 已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________．2．已知圆的方程为x 2+y 2=1，则在y 轴上截距为√2的圆的切线方程为（）A ．y =x +√2B ．y =−x +√2C ．y =x +√2或y =−x +√2D ．x =1或y =x +√23．已知圆：x 2+(y −1)2=2，则过点（1，2）作该圆的切线方程为（）A ．x+4y-4=0B ．2x+y-5=0C ．x=2D ．x+y-3=0考向四圆上的点到直线距离最值【例】圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －8＝0的最大距离与最小距离的差是________．【举一反三】1．设A 为圆x 2+y 2−4x −4y −10=0上一动点，则A 到直线x +y −14=0的最大距离为________________．1．“k =”是“直线)2(:+=x k y l 与圆221x y +=相切”的（）． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．直线xcosθ+ysinθ=1与圆(x −1)2+(y −1)2=9的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不能确定 3．若直线y =√33x +2与圆C:x 2+y 2=4相交于A,B 两点，则线段AB 中点的坐标为 A ．(−√32,32) B ．(−√32,−32) C ．(√32,32) D ．(√32,−32)5．已知直线l:x−√3y=0与圆C:x2+(y−1)2=1相交于O,A两点，O为坐标原点，则ΔCOA的面积为（）A．√34B．√32C．√3D．2√36．已知圆C:(x−3)2+(y−1)2=3及直线l:ax+y−2a−2=0，当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为________.7．已知直线l:ax+by−3＝0与圆M：x2+y2+4x−1＝0相切于点P（−1，2），则直线l的方程为_____．8．圆x2+y2=4与直线x+y−2=0相交于A，B两点，则弦|AB|=_______．9．已知直线l与圆x2+y2−4y=0相交于A，B两点，且线段AB的中点P坐标为(−1,1)，则直线l的方程为________.10. 若圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心C到直线l的距离为2，且l与直线3x＋4y－1＝0平行，则直线l 的方程为________________．12．过原点作圆x2+(y−6)2=9的两条切线，则两条切线所成的锐角_________.。

直线与圆的综合问题(附答案)

例1直线y x m =-+与圆221x y +=在第一象限内有两个不同交点，则m 的取值范围是（ B ）()A 0m << ()B 1m <<()C 1m ≤≤ ()D m <<例2 设圆上的点(2,3)A 关于直线20x y +=的对称点仍在圆上，且与直线0x y y -+=相交的弦长为，求圆的方程。

（注意：试卷直线方程有误，应为x+y+1=0）解：已知圆上的点A （2,3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,即圆心在直线x+2y=0上所以，设圆心为（2a ，-a ），代入A 点有（2-2a ）²+（3+a ）²=R ²----（1）又知道与直线x-y+1=0相交的弦长为22所以，圆心到直线l 得距离 22132-=+=R a d -----（2）由方程（1），（2）经转化，得（a-7）（a-3）=0所以，a=3或7经检验成立故，圆方程为（x-6）²+（y+3）²=52或（x-14）²+（y+7）²=244例3 若过点()10，A 和B ()m B ，4并且与x 轴相切的圆有且只有一个，求实数m 的值和这个圆的方程。

解：分两种情况一种是这个圆与x 轴的切点与B 重合，即B 在x 轴上，此时过B 作X 轴的垂线，这条垂线与AB 的中垂线的相交，交点为圆心，两线确定一点，所以圆心是唯一的，又半径等于圆心到x 轴的距离，此时圆有且只有一个此时m=0，设圆心（x ，y ）则B 作X 轴的垂线:x=4 (1)AB 的中垂线:y=4(x-2)+1/2 (2)联立(1)(2)得x=4,y=17/2 r=y=17/2所以圆的方程（x-4）²+(y-17/2）²=(17/2）²化简得：x ²-8x+16+y ²-17y=0还有一种情况是AB 平行于X 轴，此时AB 的中垂线垂直与x 轴，又圆与x 轴相切，所以AB 的中垂线过切点，此时这条线上到三点距离相等的点只有一个，所以圆心是唯一的，又半径等于圆心到x 轴的距离，此时圆有且只有一个此时m=1设圆心（x,y ）这AB 中垂线:x=2半径等于圆心到x 轴的距离等于圆心到A 的距离所以：y ²=2²+(y-1)²得y=5/2所以圆的方程：（x-2)²+(y-5/2)²=(5/2)²化简得：x ²-4x+4+y ²-5y=0例4 已知直线为 ax-by+2=0( a>0 ,b>0 )，圆的方程为x+y+2x-4y+1=0 ，直线与圆截得到弦长为4 ，求a 1 +b1 的最小值。

直线和圆的综合

直线的性质
直线在平面内无限延伸，没有端点；两点确定一条直线；两条直线相交于一点或平行。
圆的方程与性质
圆的方程
标准方程(x - a)² + (y - b)² = r²，一般方程x² + y² + Dx + Ey +F=0
圆的性质
圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点的集合；圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
直线和圆的综合
目录
• 直线与圆的基本性质 • 直线与圆的交点问题 • 直线与圆的切线问题 • 直线与圆的综合应用 • 典型例题解析
01
直线与圆的基本性质
直线的方程与性质
直线的方程
一般式Ax + By + C = 0，斜截式y = kx + b，点斜式y - y1 = k(x - x1)，两点式(y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1)
已知圆外一点求切线方程
若已知圆外一点$Q(x_1, y_1)$，则过点$Q$的两条切线方程分别为$(x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2$和$(y_1 - b)(x - a) - (x_1 - a)(y - b) = 0$。
切线长与半径的关系
切线长公式
若直线$l$与圆$C$相切于点$P$，且直线$l$上一点$A$到圆心$O$的距离为$d$，则切线长$AP = sqrt{d^2 - r^2}$。
直线与圆的位置关系
相离
直线与圆没有公共点，即圆心到直线的距离大
于半径。
相切
直线与圆有且仅有一个公共点，即圆心到直线

直线与圆的方程综合题、典型题

直线与圆的方程综合题、典型题1、已知m ∈R ，直线l ：2(1)4mx m y m -+=和圆C ：2284160x y x y +-++=．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？解析：（1）直线l 的方程可化为22411m m y x m m =-++，直线l 的斜率21mk m =+，因为21(1)2m m +≤，所以2112m k m =+≤，当且仅当1m =时等号成立．所以，斜率k 的取值范围是1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．（2）不能．由（1）知l 的方程为(4)y k x =-，其中12k ≤．圆C 的圆心为(42)C -，，半径2r =．圆心C 到直线l的距离d =．由12k ≤，得1d >，即2rd >．从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于23π．所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧．总结备忘：2、已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由。

解析：圆C 化成标准方程为2223)2()1(=++-y x 假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M由于CM ⊥l ，∴k CM ×k l = －1∴k CM =112-=-+a b ，即a +b +1=0，得b = －a －1 ① 直线l 的方程为y －b =x －a ，即x －y +b －a =0 CM=23+-a b∵以AB 为直径的圆M 过原点，∴OM MB MA == 2)3(92222+--=-=a b CMCB MB，222b a OM += ∴2222)3(9b a a b +=+-- ②把①代入②得 0322=--a a ，∴123-==a a 或当25,23-==b a 时此时直线l 的方程为x －y －4=0；当0,1=-=b a 时此时直线l 的方程为x －y +1=0故这样的直线l 是存在的，方程为x －y －4=0 或x －y +1=0评析：此题用0OA OB =,联立方程组，根与系数关系代入得到关于b 的方程比较简单总结备忘：3、已知点A(－2，－1)和B(2，3)，圆C ：x 2＋y 2 = m 2，当圆C 与线段．．AB 没有公共点时，求m 的取值范围.解：∵过点A 、B 的直线方程为在l ：x －y ＋1 = 0, 作OP 垂直AB 于点P ，连结OB.由图象得：|m|＜OP 或|m|＞OB 时，线段AB 与圆x 2＋y 2 = m 2无交点.（I ）当|m|＜OP 时，由点到直线的距离公式得：22|m |2|1||m |<⇒<，即22m 22<<-.（II ）当m ＞OB 时,||||m m >⇒>即 13m 13m >-<或.∴当22m 22<<-和0m 13m 13m ≠>-<且与时，圆x 2＋y 2 = m 2与线段AB 无交点.总结备忘：4、．已知动圆Q 与x 轴相切，且过点()0,2A .⑴求动圆圆心Q 的轨迹M 方程；⑵设B 、C 为曲线M 上两点，()2,2P ，PB BC ⊥，求点C 横坐标的取值范围. 解： ⑴设(),P x y 为轨迹上任一点，则0y =≠ （4分）化简得：2114y x =+ 为求。

直线与圆的综合(学生版)

直线与圆的综合一、直线与圆的位置关系应用1. 求圆的切线的方法（1）自一点引圆的切线的条数①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；③若此点在圆内，则过此点不能作圆的切线．（2）圆的切线方程的求法①求过圆上一点的圆的切线方程：先求切点与圆心的连线的斜率，则由垂直关系知切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程．若，则切线方程为；若不存在，则切线方程为．②求过圆外一点的圆的切线方程几何法：设切线方程，即．由圆心到直线的距离等于半径，可得，切线方程即可求出．代数法：设切线方程，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由求得，切线方程即可求出．注意：过圆外一点的切线必有两条，无论用几何法还是代数法，当求得值是一个时，另一条切线的斜率一定不存在，可用数形结合法求出．经典例题1.过点与圆所引的切线方程为．2.过点的直线与圆相切，则直线在轴上的截距为（）．A. B. C. D.3.若过点总可以作两条直线与圆相切，则实数的取值范围是．巩固练习1.过点且与圆相切的直线方程为．A. B.C.D.2.已知圆的半径为，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为（）．2.求圆的切线长求切线长过圆外一点作圆：的切线，其切线长的求法为：先利用两点间距离公式求点到圆心的距离为，再利用勾股定理求出切线长．经典例题A.B.C.D.1.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（）．（1）（2） 2.已知圆的圆心在第一象限内，圆关于直线对称，与轴相切，被直线截得的弦长为．求圆的方程．若点在直线上运动，过点作圆的两条切线、，切点分别为、点，求四边形面积的最小值．巩固练习A. B.C.D.1.点是直线上的动点，由点向圆作切线，则切线长可能为（）．A.B. C.D.2.由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（）．（1）（2）3.已知圆经过点，且圆心为．求圆的标准方程．过点作圆的切线，求该切线的方程及切线长．3. 直线与圆相交的弦长问题设直线的方程，圆的方程为，求弦长有以下几种方法：（1）几何法如图，结合弦心距、弦长的一半及半径构成的直角三角形利用勾股定理来计算．注意：计算圆的弦长时通常情况下采用几何法．（2）代数法①将方程组消元后，由一元二次方程中根与系数的关系可得关于或的关系式，则通常把叫做弦长公式．②直线的方程与圆的方程联立求出交点坐标，由两点间的距离公式求得．经典例题A. B.C.D.1.已知圆的方程为，过该圆内一点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积是（）．2.若直线将圆的圆周分成长度之比为的两段弧，则实数的所有可能取值是．A.B. C.D.3.圆：被直线：截得的弦长的最小值为（）．4.直线经过点被圆截得的弦长为，求此弦所在直线方程．A. B.C.D.5.若圆与轴、轴均有公共点，则实数的取值范围是（）．A. B. C. D.6.若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的斜率的取值范围是（）．A. B.C.D.7.已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）．巩固练习A. B.C.D.1.已知圆关于轴对称，经过点且被轴分成两段弧长之比为.则圆的方程为（）．A.或B.或C.或D.2.直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为( )3.若过点的直线被圆截得的弦长最短，则直线的方程是，此时的弦长为．A.B.或C.或D.或4.过点的直线与圆相交于，两点，且，则直线的方程为（）．A.B.C.D.5.若圆上至少有三个不同点的直线的距离为，则的取值范围是（）．A.B.或 C.或D.6.已知直线的方程为，若直线与曲线相交，则直线斜率的取值范围为（）．4.知识总结（一）圆的切线方程的求法①求过圆上一点的圆的切线方程：先求切点与圆心的连线的斜率，则由垂直关系知切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程．若，则切线方程为；若不存在，则切线方程为．②求过圆外一点的圆的切线方程几何法：设切线方程，即．由圆心到直线的距离等于半径，可得，切线方程即可求出．代数法：设切线方程，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由求得，切线方程即可求出．（二）求圆的切线长过圆外一点作圆：的切线，其切线长的求法为：先利用两点间距离公式求点到圆心的距离为，再利用勾股定理求出切线长．（三）直线与圆相交的弦长问题设直线的方程，圆的方程为，求弦长有以下几种方法：几何法如图，结合弦心距、弦长的一半及半径构成的直角三角形利用勾股定理来计算．二、圆与圆的位置关系问题1. 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有三种：（1）两圆相交，有两个公共点；（2）两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；（3）两圆相离，包括外离与内含，没有公共点．圆与圆位置关系的判断方法一般采用几何法来判断，利用两圆的圆心距进行判断设，则有：圆心距与半径的关系圆与圆的位置关系公切线条数与外离与外切与相交与内切与内含经典例题1.若圆：与圆：相交，则的取值范围为．A.条B.条C.条D.条2.两圆与的公切线有（）．巩固练习A.外离 B.外切 C.内含D.内切1.已知圆的方程为，圆的方程为，那么这两个圆的位置关系不可能是（）．A.B. C. D.2.圆与圆的公切线的条数是（）.2. 两圆的公共弦（1）两圆相交时，公共弦所在的直线方程设圆①圆②①-②得：③方程③表示过两圆交点的直线，即两圆公共弦所在的直线．（2）两圆公共弦长的求法①代数法：将两圆方程联立，求出公共弦所在直线的方程，将所得直线方程与任一圆的方程再联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长．②几何法：将两圆的方程联立，求出公共弦所在的直线的方程，由点到直线的距离公式求出弦心距，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．经典例题1.已知圆与圆相交于两点．（1）（2）求两圆的公共弦所在直线的方程．求两圆的公共弦长．A. B.C.D.2.两圆和相交于两点，，则线段的长为（）．巩固练习（1）（2）1.已知圆，圆．分别写出这两个圆的圆心坐标和半径的长，并求两个圆心的距离．求这两个圆的公共弦的长．A.B.C.D.2.两圆相交于两点和，且两圆圆心都在直线上，则的值是（）．3. 知识总结（一）两圆的位置关系设，则有：圆心距与半径的关系圆与圆的位置关系公切线条数与外离与外切与相交与内切与内含（二）两个圆的公共弦（1）公共弦所在直线设圆①圆②①-②得：③方程③表示过两圆交点的直线，即两圆公共弦所在的直线．（2）公共弦长代数法、几何法三、与圆有关的应用1. 求圆的轨迹方程的方法（1）直接法：直接由题目给出的条件列出方程；（2）定义法：根据圆的定义列方程；（3）几何法：利用圆的几何性质列方程；（4）代入法（即相关点法）：找到所求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.经典例题1.在直角坐标系中，点在圆上移动，动点和定点连线的中点为，求中点的轨迹方程．A. B.C.D.2.已知点和圆：，过点的动直线与圆交于，，则弦的中点的轨迹方程（）． 3.已知定点，是圆上一动点，的平分线交于点，求的轨迹方程．巩固练习1.已知直角坐标系中，，动点满足，则点的轨迹方程是；轨迹为．2.已知为圆上一动点，定点，求线段中点的轨迹方程．2. 与圆有关的最值问题（1）距离型最值问题：形如形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题；（2）过圆内一点的最长弦为过此点的直径，最短弦为垂直于此点的圆心连线的弦；（3）直线与圆不相交，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的最小距离为，最大距离为.经典例题（1）（2）1.已知，，动点满足，设动点的轨迹为．求动点的轨迹方程．点在轨迹上，求最小值．2.已知直线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为．（1）（2）3.在平面直角坐标系中，，动点满足．求点的轨迹方程．设为圆：上的动点，求的最小值．A.B.C.D.4.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足．当，，三点不共线时，面积的最大值为（）．A.最大值是，最小值是 B.最大值是，最小值是C.最大值是，最小值是D.最大值是，最小值是5.如图所示，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴非负半轴上，点在第一象限，且，，那么，两点间距离的（）．巩固练习A.B. C.D.1.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）．2.已知实数，满足，则的取值范围是．3.已知半径为的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为．A.B.C.D.4.若点在圆上运动，，则的最小值为（）．3. 与圆有关的对称问题（1）圆的轴对称性圆关于直径所在的直线对称．（2）圆关于点对称①求已知圆关于某点的对称的圆的方程，只需要确定所求圆的圆心，即可写出标准方程；②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．（3）圆关于直线对称①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程；②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．经典例题A. B.C. D.1.圆关于直线对称的圆的方程为（）．A. B.C.D.2.已知圆上两点，关于直线对称，则圆的半径为（）．A. B.C.D.3.已知圆：关于直线对称的圆为圆：，则直线的方程为（）．A.B. C. D.4.若圆：关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是（）．5.在平面直角坐标系中，若圆：（）上存在点，且点关于直线的对称点在圆：上，则的取值范围是．6.点，分别为圆与圆上的动点，点在直线上运动，则的最小值为．巩固练习A. B.C.D.1.已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则直线的方程为（）．A. B. C.D.不存在2.圆：上有两个点和关于直线对称，则（）．3.圆关于直线对称，则的值是（）．A. B. C. D.4.已知圆：关于直线：对称，则原点到直线的距离为（）．A. B. C. D.4. 知识总结（1）求圆的轨迹方程的方法直接法、定义法、几何法、代入法（2）与圆有关的最值问题①斜率型最值问题②截距型最值问题③距离型最值问题④过圆内一点的最长弦为过此点的直径，最短弦为垂直于此点的圆心连线的弦、⑤直线与圆不相交，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的最小距离为，最大距离为.（3）与圆有关的对称问题圆的轴对称性、圆关于点对称、圆关于直线对称思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！出门测1.从直线上的点向定圆作切线，则切线长的最小值为（）．A. B. C. D.2.从圆外一点向圆引两条切线，切点分别为，，则（）．A. B. C. D.3.若圆与圆相交于，两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长度是（）．A. B. C. D.。

高二数学直线和圆的方程综合测试题

高二数学直线和圆的方程综合测试题一、选择题1. 直线的斜率为-2，过点（3，4），则直线的方程为（）。

A. y = -2x + 10B. y = -2x - 2C. y = 2x + 10D. y = 2x - 2答案：B2. 已知直线的斜率为1/3，过点（-1，2），则直线的方程为（）。

A. y = 1/3x + 5/3B. y = -1/3x + 5/3C. y = 1/3x - 5/3D. y = -1/3x - 5/3答案：C3. 已知点（2，3）和（-1，4）在直线上，则直线的方程为（）。

A. y = -x + 5B. y = -x + 1C. y = x + 5D. y = x + 1答案：A4. 直线y = 2x - 1与直线y = kx + 4平行，则k的值为（）。

A. 2B. -2C. 1D. -1答案：A5. 直线y = -3x + 2与直线y = kx + 1垂直，则k的值为（）。

A. 1/3B. -1/3C. 3D. -3答案：B二、填空题1. 过点（1，2）且与直线y = 3x + 1垂直的直线方程为__________。

答案：y = -1/3x + 7/32. 过点（2，-1）且与直线y = -2x + 5平行的直线方程为__________。

答案：y = -2x + 33. 过点（4，3）和（-2，1）的中点坐标为__________。

答案：(1, 2)4. 过点（-1，2）且与直线y = -3x + 4垂直的直线方程为__________。

答案：y = 1/3x + 7/35. 过点（3，-2）且与直线y = 2x - 1平行的直线方程为__________。

答案：y = 2x - 8三、解答题1. 已知直线L1过点（1，2）且与直线y = 2x + 3垂直，直线L2过点（-1，4）且与直线L1平行，求直线L2的方程。

解析：首先求出直线L1的斜率，由于直线L1与y = 2x + 3垂直，所以斜率为-1/2。

直线及圆的综合应用

11．5直线与圆的综合应用【知识网络】综合复习和应用直线和圆的基础知识，解决对称问题、轨迹问题、最值问题，以及直线与圆和其他数学知识的综合问题，提高分析问题和解决问题能力．【典型例题】[例1]（1）直线x＋y=1与圆x2＋y2－2ay=0(a＞0)没有公共点，则a的取值范围是（）A．（0， 2 －1）B．（ 2 －1， 2 ＋1）C．（－ 2 －1， 2 －1）D．（0， 2 ＋1（2）圆（x－1)2＋(y＋ 3 )2=1的切线方程中有一个是（）A．x－y=0 B．x＋y=0 C．x=0 D．y=0（3）“a=b”是“直线22与圆相切”的（）=+-++=2()()2y x x a y bA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件（4）已知直线5x＋12y＋a=0与圆x2＋y2－2x=0相切，则a的值为．（5）过点（1， 2 ）的直线l将圆（x－2)2＋y2=4分成两段弧，当弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k= ．[例2]设圆上点A（2，3）关于直线x＋2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1=0相交的弦长为2 2 ，求圆的方程．[例3] 已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2＋y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于λ（λ＞0）．求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．[例4] 已知与曲线C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1=0相切的直线l 叫x 轴，y 轴于A ，B 两点，|OA|=a,|OB|=b(a ＞2,b ＞2)．(1)求证：（a －2)(b －2)=2； (2)求线段AB 中点的轨迹方程；（3）求△AOB 面积的最小值．【课内练习】1．过坐标原点且与圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋52=0相切的直线的方程为（）A ．y=－3x 或y=13 xB ．y=3x 或y=－13 xC ．y=－3x 或y=－13 xD ．y=3x 或y=13 x2．圆(x －2)2＋y 2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( ) A ．(x ＋2)2＋y 2=5B ．x 2 ＋(y －2)2=5C ． (x －2)2＋(y －2)2=5D ．x 2 ＋(y ＋2)2=53．对曲线|x|－|y|=1围成的图形，下列叙述不正确的是（）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点轴对称D ．关于y=x 轴对称4．直线l1：y=kx＋1与圆x2＋y2＋kx－y－4=0的两个交点关于直线l2：y＋x=0对称，那么这两个交点中有一个是（）A．（1，2）B．（－1，2）C．（－3，2）D．（2，－3）5．若直线y=kx＋2与圆（x－2)2＋(y－3)2=1有两个不同的交点，则k的取值范围是．OA6．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝3，则OB ＝ .7．直线l1：y=－2x＋4关于点M（2，3）的对称直线方程是．8．求直线l1：x＋y－4=0关于直线l：4y＋3x－1=0对称的直线l2的方程．9．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3=0（1）若C的切线在x轴，y轴上的截距的绝对值相等，求此切线方程；（2）从圆C外一点P（x1,y1)向圆引一条切线，切点为M，O为原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P点的坐标．10．由动点P引圆x2＋y2=10的两条切线PA，PB，直线PA，PB的斜率分别为k1,k2．(1)若k1＋k2＋k1k2=－1,求动点P的轨迹方程；（2）若点P在直线x＋y=m上，且PA⊥PB，求实数m的取值范围．11．5直线与圆的综合应用A 组1．设直线过点（0，a ），其斜率为1，且与圆x 2＋y 2=2相切，则a 的值为（） A ．± 2 B ．±2 C ．±2 2 D ．±42．将直线2x －y ＋λ＝0，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2+y 2+2x －4y=0相切，则实数λ的值为A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或113．从原点向圆 x 2＋y 2－12y ＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( ) A ．π B ． 2π C ． 4π D ． 6π4．若三点A （2，2），B （a,0)，C （0，b)（a ，b 均不为0）共线，则11a b+的值等于． 5．设直线ax －y ＋3=0与圆（x －1)2＋(y －2)2=4有两个不同的交点A ，B ，且弦AB 的长为2 3 ，则a 等于．6．光线经过点A （1，74 ），经直线l ：x ＋y ＋1=0反射，反射线经过点B （1，1）．（1）求入射线所在的方程；（2）求反射点的坐标．7．在△ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为x －2y ＋1=0,∠A 的平分线所在直线方程为y=0,若B点的坐标为（1，2），求点A 和点C 的坐标．8．过圆O ：x 2＋y 2=4与y 轴正半轴的交点A 作这个圆的切线l ，M 为l 上任意一点，过M 作圆O 的另一条切线，切点为Q ，当点M 在直线l 上移动时，求△MAQ 垂心H 的轨迹方程．B 组1．已知两定点A （－2，0），B （1，0），如果动点P 满足|PA|=2|PB|，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（）A ．πB ．4πC ．8πD ．9π2．和x 轴相切，且与圆x 2＋y 2=1外切的圆的圆心的轨迹方程是（） A ．x 2=2y ＋1 B ．x 2=－2y ＋1 C ．x 2=2y －1 D ．x 2=2|y|＋13．设直线的方程是0=+By Ax ，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A 、 B 的值，则所得不同直线的条数是（）A ．20B ．19C ．18D ．164．设直线0132=++y x 和圆03222=--+x y x 相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是 .5．已知圆M ：（x ＋cosθ)2＋(y －sinθ)2=1，直线l ：y=kx ，下面四个命题 A ．对任意实数k 和θ，直线l 和圆M 都相切；B．对任意实数k和θ，直线l和圆M有公共点；C．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切；D．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切．其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．6．已知点A，B的坐标为（－3，0），（3，0），C为线段AB上的任意一点，P，Q是分别以AC，BC为直径的两圆O1，O2的外公切线的切点，求PQ中点的轨迹方程．7．已知△ABC的顶点A（－1，－4），且∠B和∠C的平分线分别为l BT：y＋1=0,l CK:x＋y＋1=0,求BC边所在直线的方程．8．设a,b,c,都是整数，过圆x2＋y2=（3a＋1)2外一点P（b3－b,c3－c)向圆引两条切线，试证明：过这两切点的直线上的任意一点都不是格点（纵横坐标均为整数的点）．11．5直线与圆的综合应用【典型例题】例1（1）A．提示：用点到直线的距离公式．（2）C．提示：依据圆心和半径判断．（3）A．提示：将直线与圆相切转化成关于ab的等量关系．（4）－18或8．提示：用点到直线的距离公式，注意去绝对值符号时的两种可能情况．（5） 2 2．提示：过圆心（2，0）与点（1， 2 ）的直线m的斜率是－ 2 ，要使劣弧所对圆心角最小，只需直线l与直线m垂直．例2、设圆的方程为（x－a)2＋(y－b)2=r2, 点A（2，3）关于直线x＋2y=0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x＋2y=0上，a＋2b=0，又（2－a)2＋(3－b)2=r2,而圆与直线x－y＋1=0相交的弦长为2 2 ，，故r2－2=2,依据上述方程解得：｛b1=－3a1=6r12=52或｛b2=－7a2=14r22=244∴所求圆的方程为（x－6)2＋(y＋3)2=52，或（x－14)2＋(y＋7)2=224．例3、设切点为N，则|MN|2=|MO|2－|ON|2=|MO|2－1，设M（x,y),整理得（λ2－1）（x2＋y2)－4λx＋(1＋4λ2）=0当λ=1时，表示直线x=54；当λ≠1时，方程化为2222222213()1(1)x y λλλλ+-+=--，它表示圆心在222(,0)1λλ-圆．例4、（1）设出直线方程的截距式，用点到直线的距离等于1，化减即得；（2）设AB 中点M(x,y),则a=2x,b=2y,代入（a －2)(b －2)=2，得（x －1)(y －1)=12 (x ＞1,y ＞1)；(3)由（a －2)(b －2)=2得ab ＋2=2(a ＋b)≥4ab ,解得ab ≥2＋ 2 （ab ≤2－ 2 不合，舍去），当且仅当a=b 时，ab 取最小值6＋4 2 ，△AOB 面积的最小值是3＋2 2 ．【课内练习】1．A ．提示：依据圆心到直线的距离求直线的斜率． 2．D ．提示：求圆心关于原点的对称点．3．C.提示：画张图看，或考虑有关字母替代规律． 4．A ．提示：圆心在直线l 2上．5．0＜k ＜43 ．提示：直接用点到直线的距离公式或用△法．6．21-．提示：求弦所对圆心角． 7．2x ＋y －10=0．提示：所求直线上任意一点（x,y)关于（2，3）的对称点（4－x,6－y)在已知直线上．8．2x ＋11y ＋16=0．提示：求出两直线的交点，再求一个特殊点关于l 的对称点，用两点式写l 2的方程；或直接设l 2上的任意一点，求其关于l 的对称点，对称点在直线l 1上．求对称点时注意，一是垂直，二是平分．9．（1）提示：∵切线在x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等，∴切线的斜率是±1．分别依据斜率设出切线的斜率，用点到直线的距离公式，或△法，解得切线的方程为：x ＋y －3=0, x ＋y ＋1=0, x －y ＋5=0, x －y ＋1=0．(2)将圆的方程化成标准式（x ＋1)2＋(y －2)2=2，圆心C （－1，2），半径r= 2 ， ∵切线PM 与CM 垂直，∴|PM|2=|PC|2－|CM|2，又∵|PM|=|PO|，坐标代入化简得2x 1－4y 1＋3=0．|PM|最小时即|PO|最小，而|PO|最小即P 点到直线2x 1－4y 1＋3=0．从而解方程组2211119202430x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，得满足条件的点P 坐标为（－310 ，35 ）．10．（1）由题意设P （x 0,y 0)在圆外,切线l ：y －y 0=k(x －x 0)=∴（x 02－10)k 2－2x 0·y 0k ＋y 02－10=0由k 1＋k 2＋k 1k 2=－1得点P 的轨迹方程是x ＋y±2 5 =0．（2）∵P （x 0,y 0)在直线x ＋y=m 上，∴y 0=m －x 0,又PA ⊥PB ，∴k 1k 2=－1,202010110y x -=--,即：x 02＋y 02=20,将y 0=m －x 0代入化简得,2x 02－2mx 0＋m 2－20=0∵△≥0,∴－210 ≤m≤210 ,又∵x 02＋y 02＞10恒成立，∴m ＞2,或m ＜－2 5 ∴m 的取值范围是[－210 ，－2 5 ]∪（2 5 ，210 ]11．5直线与圆的综合应用A 组1．B ．提示：用点到直线的距离公式或用△法．2．A ．提示：先求出向左平移后直线的方程，再用点到直线的距离公式． 3．B ．提示：考虑切线的斜率及劣弧所对圆心角．4．12 ．提示：由三点共线得两两连线斜率相等，2a ＋2b=ab ，两边同除以ab 即可．5．0．提示：依据半径、弦长、弦心距的关系求解．6．（1）入射线所在直线的方程是：5x －4y ＋2=0；（2）反射点（－23 ，－13 ）．提示：用入射角等于反射角原理．7．点A 既在BC 边上的高所在的直线上，又在∠A 的平分线所在直线上，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1=0y=0 得A （－1，0）∴k AB =1又∠A 的平分线所在直线方程为y=0 ∴k AC =－1∴AC 边所在的直线方程为 y=－（x ＋1） ① 又k BC =－2,∴BC 边所在的直线方程为 y －2=－2（x －1） ② ①②联列得C 的坐标为（5，－6）8．设所求轨迹上的任意一点H （x,y)，圆上的切点Q （x 0,y 0)∵QH ⊥l,AH ⊥MQ,∴AH ∥OQ,AQ ∥QH ．又|OA|=|OQ|，∴四边形AOQH 为菱形． ∴x 0=x,y 0=y －2．∵点Q （x 0,y 0)在圆上，x 02＋y 02=4∴H 点的轨迹方程是：x 2＋（y －2）2=4（x≠0)．B 组1．B ．提示：直接将动点坐标代如等式，求得点的轨迹是一个以（2，0）为圆心，2为半径的圆．2．D ．提示：设圆心（x,y)||1y =+ 3．C ．提示：考虑斜率不相等的情况．4．0323=--y x ．提示：弦的垂直平分线过圆心．5． B ，D ．提示：圆心到直线的距离d ===|sin(θ＋ϕ）|≤1．6．作MC ⊥AB 交PQ 于M ，则MC 是两圆的公切线．|MC|=|MQ|=|MP|，M 为PQ 的中点．设M （x,y),则点C ，O 1，O 2的坐标分别为（x,0),(－3＋x 2 ,0),( 3＋x 2 ,0)连O 1M ，O 2M ，由平面几何知识知∠O 1MO 2=90°．∴|O 1M|2＋|O 2M|2=|O 1O 2|2，代入坐标化简得：x 2＋4y 2=9(－3＜x ＜3)7．∵BT,CK 分别是∠B 和∠C 的平分线，∴点A 关于BT,CK 的对称点A′，A″必在BC 所在直线上，所以BC 的方程是x ＋2y －3=0．8．线段OP 的中点坐标为（12 （b 3－b),12 (c 3－c)),以OP 为直径的圆的方程是[x －12（b 3－b)]2＋[y－12 (c 3－c)]2=[ 12 （b 3－b)]2＋[12 (c 3－c)]2……① 将x 2＋y 2=（3a ＋1)2代入①得：（b 3－b)x ＋(c 3－c)y=（3a ＋1)2 这就是过两切点的切线方程．因b 3－b=b(b ＋1)(b －1)，它为三个连续整数的乘积，显然能被整除．同理，c 3－c 也能被3整除．于是（3a ＋1)2要能被3整除，3a ＋1要能被3整除，因a 是整数，故这是不可能的．从而原命题得证．。

高考数学复习：直线与圆综合应用与答案

D．[ 3，2 2)
6．已知点 A(－5，0)，B(－1，－3)，若圆 C：x2＋y2＝r2(r>0)上恰有两点 M，N，使得△MAB
和△NAB 的面积均为 5，则 r 的取值范围是( )
A．(1， 5)
B．(1，5)
C．(2，5)
D．(2， 5)
二、多项选择题
7．已知直线 ax＋y－2＝0 与圆心为 C 的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4 相交于 A，B 两点，且△ABC
A．9 5
B．18 5
C．29 10
D．29 5
3．圆 x2＋y2＋4x－12y＋1＝0 关于直线 ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，则2＋6的最小值是 ab
()
A．2 3
B．20 3
C．32 3
D．16 3
4．若直线 y＝x＋b 与曲线 y＝3－ 4x－x2有公共点，则 b 的取值范围是( )
例 2-7.已知 t∈R，圆 C：x2＋y2－2tx－2t2y＋4t－4＝0． (1) 若圆 C 的圆心在直线 x－y＋2＝0 上，求圆 C 的方程； (2) 圆 C 是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，说明理由．
3
考点三、与实际结合考察例 3-1．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦 AB 1尺，弓形高 CD 1寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14 ， sin 22.5 5 ，1 尺=10 寸）

高观点下盘点直线与圆综合问题7大题型

解决鸟类眼界的线条和圈子的多汁问题时，经常出现7种令人兴奋的问题。

想象一下，找到那些神奇的交叉点，在那里，一个令人兴奋的线与一个酷酷的圈子相遇，或者想出一个调情的切线与一个圈子的等式——这就像解谜一样！接下来是分析一个大胆的线条相对于一个神秘的圆圈的位置的刺激，以及揭开多个圆圈和线条的交叉点的谜题。

等等，还有更多！准备好探究一个圆圈和一条线之间的最大和最小距离——这就像一个高招的捉迷藏游戏。

谁能抗拒探索被一圈一线包围的区域和周边的冒险？这就像揭开埋藏的宝藏！如果这还不够的话，使用坐标几何来导航令人惊奇的线条和圆圈世界，将是一个令人发指的挑战。

谁知道数学会这么有趣？
第一种问题在于找出一条线和一圈交汇的地方。

你基本上必须解决几个方程，才能找到它们相互交叉的点。

第二类问题是试图找到一个线的方程式，这个线只在某一点上触碰一个圆。

这就像找到线的坡度并利用它来构建方程式第三类问题在于如何看一行与一圈的关系。

你基本上正在想，如果线条穿过圆圈，只是触摸它，或者在它之外停留。

展望未来，第四种问题涉及审查多个圈和线的交叉点。

这会造成复杂配置，特别是在处理两个以上的圆圈和线条时。

第5类问题侧重于调查给定圆与给定线之间的最大和最小距离。

这往往需要利用几何和微积分的概念来优化距离。

第六类问题探索特定圆圈和特定线所包围的区域和周边。

这需要几何公式和方程解析的二元化。

第7类问题涉及
理解协调几何的应用，以解决涉及线和圈的问题。

这可能需要使用距离公式和一个圆的方程来导航问题的复杂性。

直线和圆的综合应用

PA
PA2
(x t)2 ( y t 3)2 (x 3)2 y2
x2 y2 4
(2t 6)x 2(t 3) y 4 2t 2 6t 9 13 0
2t 6 0
因为(t 3)2 13 0
所以B(-3,0)与A重合，舍去。所以不存在这样的B.
4t
r(t
1)
0
t
或
(a
r)
1
(4
a
t
r)t
0
t
因为t有无数解，
a 4
r a
0 r
0
或
t
a r 0 4 a r 0
a 2 r 2
或
a 2 r 2 （舍去）
所以圆M的方程为： (x 2)2 y 2 4
回顾引入：
1. m R, 直线 m 1 x 2m 1 y m 5 恒过定
t
个圆心在 X 轴上的定圆 M 相切，并求圆 M 的方程。
2t 3t 1
解：设M（a,0)，半径为r，直线PQ方程为：y 2t
t x,
1
2
( t)x 2y 4t 0 t
(1 t)a 4t
因为圆M与PQ相切，所以：
t
r(r 0)
4 (1 t)2
(1 t
t)2a2
8t(1 t
0
0
t 3
0 1
或
t9434
因为A与B不重合，所以存在 B( 4 ,0) 满足题意。
3
设 B(t,0),
取 P(2,0), PB
a2 ,
取 P(2,0), PB
a2
PB
PA
为一常数，
5
PA 1
PA

直线与圆的综合问题

大值和最小值分别是
()
A．25,9
B．16,9
C．5,3
D．4,3
2．已知点P(t，t)，t∈R
，点M是圆x2＋(y－1)2＝
1 4
上的动点，
பைடு நூலகம்
点N是圆(x－2)2＋y2＝
1 4
上的动点，则|PN|－|PM|的最大值
是
()
A. 5－1
B．2
C．3
D. 5
3．设点 P(x，y)是圆：(x－3)2＋y2＝4 上的动点，定点 A(0,2)， B(0，－2)，则―PA→＋―P→B 的最大值为________．
直线与圆的综合问题
[例3] 已知直线l：4x＋ay－5＝0与直线l′：x－2y＝ 0相互垂直，圆C的圆心与点(2,1)关于直线l对称，且圆C过点M(－1，－1)．
(1)求直线l与圆C的方程； (2)过点M作两条直线分别与圆C交于P，Q两点，若直线MP，MQ的斜率满足kMP＋kMQ＝0，求证：直线PQ的斜率为1.
第五节直线与圆的综合问题
与圆有关的最值问题
考向1 借助几何性质求最值 [例1] 已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上
任意一点，且点Q(－2,3)． (1)求|MQ|的最大值和最小值； (2)求xy－＋32的最大值和最小值； (3)求y－x的最大值和最小值．
[解题技法]
与圆有关的最值问题的常见类型及求解策略
化为动点与定点的距离的平方的最值问题．
考向2 建立函数关系求最值 [例2] 设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点
A(2,0)，B(－2,0)，则―PA→·―P→B 的最大值为________．
[跟踪训练]

直线与圆综合问题

四直线与圆综合问题【学习目标】1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两圆的方程，判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单问题3.初步了解用代数方法解决几何问题的思想。

要求：平面解析几何初步（1）直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。

②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。

③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。

④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。

⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。

⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。

（2）圆与方程①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。

②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。

③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。

【典型例析】例1直线y x m =-+与圆221x y +=在第一象限内有两个不同交点，则m 的取值范围是（）()A 0m <<()B 1m <<()C 1m ≤≤()D m <<例2 设圆上的点(2,3)A 关于直线20x y +=的对称点仍在圆上，且与直线0x y y -+=相交的弦长为，求圆的方程。

例3 若过点()10，A 和B ()m B ，4并且与x 轴相切的圆有且只有一个，求实数m 的值和这个圆的方程。

例4 已知直线为 ax-by+2=0( a>0 ,b>0 )，圆的方程为x+y+2x-4y+1=0 ，直线与圆截得到弦长为4 ，求a1 +b1 的最小值。

例5．已知直线:2830L mx y m ---=和圆22:612200C x y x y +-++=；（1）m R ∈时，证明L 与C 总相交。

直线与圆的综合问题

直线与圆的综合问题考点一与圆有关的最值问题考法(一) 斜率型最值问题[典例] 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求yx 的最大值和最小值．[解] 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取得最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.[解题技法]形如μ＝y －bx －a 型的最值问题，可转化过定点(a ，b )的动直线斜率的最值问题求解．如本题y x ＝y －0x －0表示过坐标原点的直线的斜率．考法(二) 截距型最值问题[典例] 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求y －x 的最大值和最小值． [解] y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.[解题技法]形如μ＝ax ＋by 型的最值问题，常转化为动直线截距的最值问题求解．如本题可令b ＝y －x ，即y ＝x ＋b ，从而将y －x 的最值转化为求直线y ＝x ＋b 的截距的最值问题．另外，此类问题也常用三角代换求解．由于圆的方程可整理为(x －2)2＋y 2＝3，故可令⎩⎨⎧ x －2＝3cos θ，y ＝3sin θ，即⎩⎨⎧x ＝3cos θ＋2，y ＝3sin θ，从而y －x ＝3sin θ－3cos θ－2＝6sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4－2，进而求出y －x 的最大值和最小值．考法(三) 距离型最值问题[典例] 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求x 2＋y 2的最大值和最小值． [解] 如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为 (2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43， x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. [解题技法]形如μ＝(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点(x ，y )与定点(a ，b )的距离的平方求最值．如本题中x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，从而转化为动点(x ，y )与坐标原点的距离的平方．[题组训练]1．已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P (x ，y )为圆上任意一点，则y －2x －1的最大值为________．解析：设y －2x －1＝k ，即kx －y －k ＋2＝0，圆心C (－2,0)，r ＝1.当直线与圆相切时，k 有最值， ∴|－2k －0－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝3±34.∴y －2x －1的最大值为3＋34.答案：3＋342．设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2,0)，B (－2,0)，则P A ―→·PB ―→的最大值为________．解析：由题意，知P A ―→＝(2－x ，－y )，PB ―→＝(－2－x ，－y )，所以P A ―→·PB ―→＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以P A ―→·PB ―→＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.易知2≤y ≤4，所以，当y ＝4时，P A ―→·PB ―→的值最大，最大值为6×4－12＝12.答案：12考点二直线与圆的综合问题[典例] 已知直线l ：4x ＋ay －5＝0与直线l ′：x －2y ＝0相互垂直，圆C 的圆心与点(2,1)关于直线l 对称，且圆C 过点M (－1，－1)．(1)求直线l 与圆C 的方程．(2)过点M 作两条直线分别与圆C 交于P ，Q 两点，若直线MP ，M Q 的斜率满足k MP＋k M Q ＝0，求证：直线P Q 的斜率为1.[解] (1)∵直线l ：4x ＋ay －5＝0与直线l ′：x －2y ＝0相互垂直， ∴4×1－2a ＝0，解得a ＝2. ∴直线l 的方程为4x ＋2y －5＝0. 设圆C 的圆心C 的坐标为(m ，n )． ∵圆心C (m ，n )与点(2,1)关于直线l 对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧n －1m －2·(－2)＝－1，4×m ＋22＋2×n ＋12－5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝0，∴C (0,0)．∴圆C 的半径r ＝|CM |＝ 2. ∴圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明：设过点M 的直线MP 的斜率为k ，则过点M 的直线M Q 的斜率为－k ，直线MP 的方程为y ＋1＝k (x ＋1)．∵直线MP 与圆C 相交，∴联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k (x ＋1)，x 2＋y 2＝2，消去y 并整理，得(1＋k 2)x 2＋2k (k －1)x ＋k 2－2k －1＝0. ∵圆C 过点M (－1，－1)，∴x P ·(－1)＝k 2－2k －11＋k 2，∴x P ＝2k ＋1－k 21＋k 2.同理，将k 替换成－k ，可得x Q ＝－k 2－2k ＋11＋k 2.∴k P Q ＝y Q －y P x Q －x P ＝－k (x Q ＋1)－1－k (x P ＋1)＋1x Q －x P ＝－k (x Q ＋x P )－2kx Q －x P ＝1.[解题技法] 直线与圆的综合问题的求解策略(1)利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决．(2)直线与圆和平面几何联系十分紧密，可充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放到一起综合考虑．[题组训练]1．(2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]解析：选A 设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ，则圆心C (2,0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|2＋2|2＝22，可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2. 由已知条件可得|AB |＝22，所以△ABP 面积的最大值为12|AB |·d max ＝6，△ABP 面积的最小值为12|AB |·d min ＝2.综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]．2. (2019·湖北八校联考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A (－1,0)，B (1,2)．(1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，|MN |＝|AB |，求直线l 的方程；(2)在圆C 上是否存在点P ，使得|P A 2|＋|PB 2|＝12？若存在，求出点P 的个数；若不存在，说明理由．解：(1)因为圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4，所以圆心C (2,0)，半径为2. 因为l ∥AB ，A (－1,0)，B (1,2)，所以直线l 的斜率为2－01－(－1)＝1，设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－0＋m |2＝|2＋m |2. 因为|MN |＝|AB |＝22＋22＝22， |CM 2|＝d 2＋⎝⎛⎭⎫|MN |22，所以4＝(2＋m )22＋2，解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0.(2)假设圆C 上存在点P ，设P (x ，y )，则(x －2)2＋y 2＝4，|P A |2＋|PB |2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12，即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4，因为|2－2|＜(2－0)2＋(0－1)2＜2＋2，所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交，所以存在点P ，使得|P A |2＋|PB |2＝12，点P 的个数为2.[课时跟踪检测]A 级1．已知圆C ：x 2＋y 2－2x －2my ＋m 2－3＝0关于直线l ：x －y ＋1＝0对称，则直线x ＝－1与圆C 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不能确定解析：选A 由已知得C ：(x －1)2＋(y －m )2＝4，即圆心C (1，m )，半径r ＝2，因为圆C 关于直线l ：x －y ＋1＝0对称，所以圆心(1，m )在直线l ：x －y ＋1＝0上，所以m ＝2.由圆心C (1,2)到直线x ＝－1的距离d ＝1＋1＝2＝r 知，直线x ＝－1与圆C 相切．故选A.2．直线ax ＋1a y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝r 2相切，则圆的半径最大时，a 的值是( )A ．1B ．－1C ．±1D ．a 可为任意非零实数解析：选C 由题意得，圆心(0,0)到直线ax ＋1a y ＋2＝0的距离等于半径r ，即|0＋0＋2|a 2＋1a 2＝r .由基本不等式，得r ≤22＝2，当且仅当a 4＝1，即a ＝±1时取等号．故选C. 3．与圆x 2＋y 2＋22y ＋1＝0相切，且在两坐标轴上截距相等的直线的条数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6解析：选B 圆的标准方程为x 2＋(y ＋2)2＝1，设切线方程为y ＝kx ＋m ，则|2＋m |k 2＋1＝1，整理得(2＋m )2＝k 2＋1，又因为切线在两坐标轴上的截距相等，所以m ＝－mk，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧(2＋m )2＝k 2＋1，m ＝－mk ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0，k ＝±1或⎩⎨⎧k ＝－1，m ＝－22，所以切线方程为y ＝±x 或y ＝－x －22，切线共有3条．4．已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A ．3 B.212C ．2 2D ．2解析：选D 圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的圆心为(0,1)，半径r ＝1.由圆的性质，知S 四边形P ACB＝2S △PBC .∵四边形P ACB 的最小面积是2，∴S △PBC 的最小值为1，则12rd min ＝1(d 是切线长)，∴d min ＝2.∵圆心到直线kx ＋y ＋4＝0的距离就是PC 的最小值，∴|PC |min ＝51＋k2＝d 2＋1＝ 5.∵k >0，∴k ＝2.故选D.5．(2019·赣州七校联考)已知圆C ：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－1＝0(a ＜0)的圆心在直线3x －y ＋3＝0上，且圆C 上的点到直线 3x ＋y ＝0的距离的最大值为1＋3，则a 2＋b 2的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 易知圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝1，所以圆心为(a ，b )，由圆心在直线3x －y ＋3＝0上，可得3a －b ＋3＝0，即b ＝3(a ＋1) ①.圆C 上的点到直线 3x ＋y ＝0的距离的最大值d max ＝1＋|3a ＋b |2＝3＋1，得|3a ＋b |＝23 ②.由①②得 |2a＋1|＝2，又a ＜0，所以a ＝－32，a 2＋b 2＝a 2＋3(a ＋1)2＝3.6．已知实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝25，那么x 2＋y 2的最小值为________．解析：由题意得x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2表示点P (x ，y )到原点的距离，所以x 2＋y 2的最小值表示圆(x ＋5)2＋(y －12)2＝25上一点到原点距离的最小值．又圆心(－5,12)到原点的距离为(－5)2＋122＝13，所以x 2＋y 2的最小值为13－5＝8.答案：87．已知P (x ，y )为圆(x －2)2＋y 2＝1上的动点，则|3x ＋4y －3|的最大值为________．解析：设t ＝3x ＋4y －3，即3x ＋4y －3－t ＝0.由圆心(2,0)到直线3x ＋4y －3－t ＝0的距离d ＝|6－3－t |32＋42≤1，解得－2≤t ≤8.所以|3x ＋4y －3|max ＝8. 答案：88．(2018·贵阳适应性考试)已知直线l ：ax －3y ＋12＝0与圆M ：x 2＋y 2－4y ＝0相交于A ，B 两点，且∠AMB ＝π3，则实数a ＝________.解析：直线l 的方程可变形为y ＝13ax ＋4，所以直线l 过定点(0,4)，且该点在圆M 上．圆的方程可变形为x 2＋(y －2)2＝4，所以圆心为M (0,2)，半径为2.如图，因为∠AMB ＝π3，所以△AMB 是等边三角形，且边长为2，高为3，即圆心M 到直线l 的距离为3，所以|－6＋12|a 2＋9＝3，解得a ＝± 3.答案：±39．已知曲线C 上任一点M (x ，y )到点E ⎝⎛⎭⎫－1，14和直线a ：y ＝－14的距离相等，圆D ：(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝r 2(r ＞0)． (1)求曲线C 的方程；(2)过点A (－2,1)作曲线C 的切线b ，并与圆D 相切，求半径r . 解：(1)由题意得(x ＋1)2＋⎝⎛⎭⎫y －142＝⎪⎪⎪⎪y ＋14. 两边平方并整理，得y ＝(x ＋1)2. ∴曲线C 的方程为y ＝(x ＋1)2. (2)由y ＝(x ＋1)2，得y ′＝2(x ＋1)． ∵点A (－2,1)在抛物线C 上，∴切线b 的斜率为y ′|x =－2＝－2.∴切线b 的方程为y －1＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋3＝0. 又直线b 与圆D 相切，∴圆心D ⎝⎛⎭⎫1，12到直线b 的距离等于半径，即r ＝⎪⎪⎪⎪2×1＋12＋35＝11510.10．已知过点A (1,0)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)OM ―→·ON ―→＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.解：(1)设过点A (1,0)的直线与圆C 相切，显然当直线的斜率不存在时，直线x ＝1与圆C 相切．当直线的斜率存在时，设切线方程为y ＝k 0(x －1)，即k 0x －y －k 0＝0. ∵圆C 的半径r ＝1， ∴圆心C (2,3)到切线的距离为|k 0－3|k 20＋1＝1，解得k 0＝43. ∵过点A 且斜率为k 的直线l 与圆C 有两个交点， ∴k ＞43，即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫43，＋∞. (2)将直线l 的方程y ＝k (x －1)代入圆C 的方程，得(1＋k 2)x 2－(2k 2＋6k ＋4)x ＋k 2＋6k ＋12＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋6k ＋41＋k 2，x 1x 2＝k 2＋6k ＋121＋k 2.∴y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2(x 1x 2－x 1－x 2＋1)＝9k 21＋k 2. ∴OM ―→·ON ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝10k 2＋6k ＋121＋k 2＝12，解得k ＝3或k ＝0(舍去)．∴直线l 的方程为3x －y －3＝0. 故圆心(2,3)在直线l 上，∴|MN |＝2r ＝2.B 级1．已知圆M ：(x －2)2＋(y －2)2＝2，圆N ：x 2＋(y －8)2＝40，经过原点的两直线l 1，l 2满足l 1⊥l 2，且l 1交圆M 于不同两点A ，B ，l 2交圆N 于不同两点C ，D ，记l 1的斜率为k .(1)求k 的取值范围；(2)若四边形ABCD 为梯形，求k 的值．解：(1)显然k ≠0，所以可设l 1的方程为y ＝kx ，则l 2的方程为y ＝－1k x .依题意得点M 到直线l 1的距离d 1＝|2k －2|1＋k 2＜ 2.整理，得k 2－4k ＋1＜0，解得2－3＜k ＜2＋ 3.① 同理，点N 到直线l 2的距离d 2＝|8k |1＋k 2＜210，解得－153＜k ＜153.② 由①②可得2－3＜k ＜153，所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫2－3，153. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，将直线l 1的方程代入圆M 的方程，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋6＝0，所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝61＋k 2. 将直线l 2的方程代入圆N 的方程，得(1＋k 2)x 2＋16kx ＋24k 2＝0，所以x 3＋x 4＝－16k 1＋k 2，x 3x 4＝24k 21＋k 2.由四边形ABCD 为梯形可得x 1x 2＝x 4x 3，所以x 1x 2＋x 2x 1＋2＝x 4x 3＋x 3x 4＋2，所以(x 1＋x 2)2x 1x 2＝(x 3＋x 4)2x 3x 4，所以(1＋k )2＝4，解得k ＝1或k ＝－3(舍去)．故k 的值为1.2．(2019·成都双流中学模拟)已知曲线C 上任意一点到点A (1，－2)的距离与到点B (2，－4)的距离之比均为22. (1)求曲线C 的方程；(2)设点P (1，－3)，过点P 作两条相异的直线分别与曲线C 相交于E ，F 两点，且直线PE 和直线PF 的倾斜角互补，求线段EF 的最大值．解：(1)设曲线C 上的任意一点为Q (x ，y )，由题意得(x －1)2＋(y ＋2)2(x －2)2＋(y ＋4)2＝22，整理得x 2＋y 2＝10，故曲线C 的方程为x 2＋y 2＝10.(2)由题意知，直线PE 和直线PF 的斜率存在，且互为相反数，因为P (1，－3)，故可设直线PE 的方程为y ＋3＝k (x －1)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋3＝k (x －1)，x 2＋y 2＝10，消去y 得(1＋k 2)x 2－2k (k＋3)x ＋k 2＋6k －1＝0，因为P (1，－3)在圆上，所以x ＝1一定是该方程的解，故可得x E ＝k 2＋6k －11＋k 2，同理可得x F ＝k 2－6k －11＋k 2，所以k EF ＝y E －y F x E －x F ＝k (x E －1)－3＋k (x F －1)＋3x E －x F ＝－2k ＋k (x E ＋x F )x E －x F ＝－13，故直线EF 的斜率为定值－13，设直线EF 的方程为y ＝－13x ＋b ，则圆C 的圆心(0,0)到直线EF 的距离d ＝|－3b |1＋9，所以|EF |＝210－d 2＝210－9b 210⎝⎛⎭⎫－103＜b ＜103，所以当b ＝0时，线段EF 取得最大值，最大值为210.第六节椭圆一、基础知识1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.2．椭圆的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．3．椭圆的几何性质❶长轴与短轴的交点叫做椭圆的中心．❷离心率表示椭圆的扁平程度．当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝a2－c2越小，因此椭圆越扁．二、常用结论(1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为2b 2a ，过焦点最长弦为长轴．(2)过原点最长弦为长轴长2a ，最短弦为短轴长2b .(3)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)有共焦点的椭圆方程为x 2a 2＋λ＋y 2b 2＋λ＝1(λ＞－b 2)．(4)焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．若r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中：①当r 1＝r 2，即点P 为短轴端点时，θ最大；②S ＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；③△PF 1F 2的周长为2(a ＋c )．第一课时椭圆及其性质考点一椭圆的标准方程[典例] (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的标准方程为( )A.x 26＋y 24＝1 B.x 216＋y 236＝1 C.x 236＋y 216＝1 D.x 249＋y 29＝1 (2)已知中心在坐标原点的椭圆过点A (－3,0)，且离心率e ＝53，则椭圆的标准方程为________．[解析] (1)由长、短半轴长之和为10，焦距为45，可得a ＋b ＝10,2c ＝45，∴c ＝2 5.又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝36，b 2＝16.∵焦点在x 轴上，∴所求椭圆方程为x 236＋y 216＝1.故选C.(2)若焦点在x 轴上，由题知a ＝3，因为椭圆的离心率e ＝53，所以c ＝5，b ＝2，所以椭圆方程是x 29＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，则b ＝3，a 2－c 2＝9，又离心率e ＝c a ＝53，解得a 2＝814，所以椭圆方程是y 2814＋x 29＝1.[答案] (1)C (2)x 29＋y 24＝1或y 2814＋x 29＝1[题组训练]1．(2018·济南一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )A.x 236＋y 232＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 29＋y 25＝1 D.x 216＋y 212＝1 解析：选B 椭圆长轴长为6，即2a ＝6，得a ＝3， ∵两焦点恰好将长轴三等分， ∴2c ＝13·2a ＝2，得c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8，∴此椭圆的标准方程为x 29＋y 28＝1.故选B.2．椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆C 的离心率等于12，且它的一个顶点恰好是抛物线x 2＝83y 的焦点，则椭圆C 的标准方程为______________．解析：由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题设知抛物线的焦点为(0,23)，所以椭圆中b ＝2 3. 因为e ＝c a ＝12，所以a ＝2c ，又a 2－b 2＝c 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ，b ＝23，a 2－b 2＝c 2，解得c ＝2，a ＝4，所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.答案：x 216＋y 212＝13．已知椭圆中心在原点，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点，则椭圆的标准方程为________．解析：设所求椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝115，n ＝15.∴所求椭圆的方程为x 215＋y 25＝1.答案：x 215＋y 25＝1考点二椭圆的定义及其应用[典例] (1)(2019·郑州第二次质量预测)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 29＋y 25＝1(2)已知点P (x ，y )在椭圆x 236＋y 2100＝1上，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若△PF 1F 2的面积为18，则∠F 1PF 2的余弦值为________．[解析] (1)由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝12，所以a ＝3.因为椭圆的离心率e ＝c a ＝23，所以c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1，故选D.(2)椭圆x 236＋y 2100＝1的两个焦点为F 1(0，－8)，F 2(0,8)，由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝20，两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝202，由余弦定理得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos ∠F 1PF 2＝162，两式相减得2|PF 1||PF 2|(1＋cos ∠F 1PF 2)＝144. 又S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝18，所以1＋cos ∠F 1PF 2＝2sin ∠F 1PF 2，解得cos ∠F 1PF 2＝35.[答案] (1)D (2)35[变透练清]1．已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到椭圆一个焦点F 1的距离为3，则P 到另一个焦点F 2的距离为( )A ．2B ．3C ．5D ．7解析：选D 因为a 2＝25，所以2a ＝10，由定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝10，所以|PF 2|＝10－|PF 1|＝7.2.(变结论)若本例(2)条件不变，则△PF 1F 2的内切圆的面积为________．解析：由椭圆的定义可知△PF 1F 2的周长的一半为a ＋c ＝18，所以由三角形的面积公式S ＝pr (其中p ，r 分别为三角形的周长一半，内切圆的半径)，得r ＝1，所以△PF 1F 2的内切圆的面积为π.答案：π考点三椭圆的几何性质考法(一) 求椭圆离心率的值(或范围)[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32B ．2－3 C.3－12D.3－1(2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x－4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，32 B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1D.⎣⎡⎭⎫34，1[解析] (1)在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°，不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2，则|PF 2|＝1，|PF 1|＝3，由椭圆的定义可知，在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，2a ＝1＋3，2c ＝2，得a ＝1＋32，c ＝1，所以离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.(2)根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A ，B 两点到椭圆的左、右焦点的距离和为4a ＝2(|AF |＋|BF |)＝8，所以a ＝2.又d ＝|3×0－4×b |32＋(－4)2≥45，所以1≤b ＜2，所以e ＝ca ＝1－b 2a2＝1－b 24.因为1≤b ＜2，所以0＜e ≤32.[答案] (1)D (2)A[解题技法] 求椭圆离心率的方法(1)定义法：根据条件求出a ，c ，直接利用公式e ＝ca求解．(2)方程法：根据条件得到关于a ，b ，c 的齐次等式(不等式)，结合b 2＝a 2－c 2转化为关于a ，c 的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a 或a 2转化为关于e 或e 2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．考法(二) 与椭圆性质有关的最值问题[典例] 已知点F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，点M 是该椭圆上的一个动点，那么|MF 1―→＋MF 2―→|的最小值是( )A ．4B ．6C ．8D ．10 [解析] 设M (x 0，y 0)，F 1(－3,0)，F 2(3,0)．则MF 1―→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2―→＝(3－x 0，－y 0)，所以MF 1―→＋MF 2―→＝(－2x 0，－2y 0)， |MF 1―→＋MF 2―→|＝4x 20＋4y 20＝4×25⎝⎛⎭⎫1－y 216＋4y 20＝ 100－94y 20，因为点M 在椭圆上，所以0≤y 20≤16，所以当y 20＝16时，|MF 1―→＋MF 2―→|取最小值为8. [答案] C[解题技法] 椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．(2)椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0＜e ＜1，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系．[题组训练]1．(2018·贵阳摸底)P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，A 为左顶点，F 为右焦点，PF ⊥x 轴，若tan ∠P AF ＝12，则椭圆的离心率e 为( )A.23B.22C.33D.12解析：选D 不妨设点P 在第一象限，因为PF ⊥x 轴，所以x P ＝c ，将x P ＝c 代入椭圆方程得y P ＝b 2a ，即|PF |＝b 2a ，则tan ∠P AF ＝|PF ||AF |＝b 2a a ＋c ＝12，结合b 2＝a 2－c 2，整理得2c 2＋ac－a 2＝0，两边同时除以a 2得2e 2＋e －1＝0，解得e ＝12或e ＝－1(舍去)．故选D.2．已知P 在椭圆x 24＋y 2＝1上，A (0,4)，则|P A |的最大值为( )A.2183B.763 C ．5D ．25解析：选C 设P (x 0，y 0)，则由题意得x 204＋y 20＝1，故x 20＝4(1－y 20)，所以|P A |2＝x 20＋(y 0－4)2 ＝4(1－y 20)＋y 20－8y 0＋16 ＝－3y 20－8y 0＋20 ＝－3⎝⎛⎭⎫y 0＋432＋763，又－1≤y 0≤1，所以当y 0＝－1时，|P A |2取得最大值25，即|P A |最大值为5.故选C.3．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫23，1B.⎣⎡⎦⎤13，22 C.⎣⎡⎭⎫13，1 D.⎝⎛⎦⎤0，13解析：选C 如图所示， ∵线段PF 1的中垂线经过F 2， ∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得|PF 2|＝2c . ∴a －c ≤2c ＜a ＋c . ∴e ＝c a ∈⎣⎡⎭⎫13，1.[课时跟踪检测]A 级1．椭圆以x 轴和y 轴为对称轴，经过点(2,0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为( )A.x 24＋y 2＝1 B.y 216＋x 24＝1 C.x 24＋y 2＝1或y 216＋x 24＝1 D.x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝1 解析：选C 由题意知，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即a ＝2b .因为椭圆经过点(2,0)，所以若焦点在x 轴上，则a ＝2，b ＝1，椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1；若焦点在y 轴上，则a＝4，b ＝2，椭圆的标准方程为y 216＋x 24＝1，故选C.2．已知方程x 2|m |－1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，32 B ．(1,2)C ．(－∞，0)∪(1,2)D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫1，32 解析：选D 依题意得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|m |－1＞0，2－m ＞0，2－m ＞|m |－1，解得m ＜－1或1＜m ＜32，故选D.3．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m ＞0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.33C.22D.12解析：选B 由题意得椭圆的标准方程为x 2m 2＋y 2m 3＝1，所以a 2＝m 2，b 2＝m3，所以c 2＝a 2－b 2＝m 6，e 2＝c 2a 2＝13，e ＝33. 4．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥F 1F 2，若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P ―→·F 2A ―→的最大值为( )A.32B.332C.94D.154解析：选B 由椭圆方程知c ＝1，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)．因为椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥F 1F 2，则可设A (1，y 0)，代入椭圆方程可得y 20＝94，所以y 0＝±32. 设P (x 1，y 1)，则F 1P ―→＝(x 1＋1，y 1)，F 2A ―→＝(0，y 0)，所以F 1P ―→·F 2A ―→＝y 1y 0.因为点P 是椭圆C 上的动点，所以－3≤y 1≤3，故F 1P ―→·F 2A ―→的最大值为332.5．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B.2 C ．2D ．22解析：选D 设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大，所以12×2cb ＝1，bc ＝1，而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)，故选D.6．(2019·惠州调研)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.59C.49D.513解析：选D 如图，设线段PF 1的中点为M ，因为O 是F 1F 2的中点，所以OM ∥PF 2，可得PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝b 2a ＝53，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，故|PF 2||PF 1|＝513，故选D. 7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________．解析：∵圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1，∴圆心坐标为(3,0)，∴c ＝3.又b ＝4，∴a ＝b 2＋c 2＝5. ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．答案：(－5,0)8．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆方程为________．解析：法一：设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则a 2－b 2＝c 2＝5，且9a 2＋4b 2＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝5，9a 2＋4b 2＝1，得a 2＝15，b 2＝10，故所求椭圆方程为x 215＋y 210＝1.法二：椭圆x 29＋y 24＝1的焦点坐标为(±5，0)，设所求椭圆方程为x 2λ＋5＋y 2λ＝1(λ＞0)，代入点A (3，－2)得9λ＋5＋4λ＝1(λ＞0)，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，故所求椭圆方程为x 215＋y 210＝1.答案：x 215＋y 210＝1 9．已知△ABC 的顶点A (－3,0)和顶点B (3,0)，顶点C 在椭圆x 225＋y 216＝1上，则5sin C sin A ＋sin B＝________.解析：由椭圆x 225＋y 216＝1知长轴长为10，短轴长为8，焦距为6，则顶点A ，B 为椭圆的两个焦点．在△ABC 中，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则c ＝|AB |＝6，a ＋b ＝|BC |＋|AC |＝10，由正弦定理可得5sin C sin A ＋sin B ＝5c a ＋b ＝5×610＝3. 答案：310．点P 是椭圆上任意一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，∠F 1PF 2的最大值是60°，则椭圆的离心率e ＝________.解析：如图所示，当点P 与点B 重合时，∠F 1PF 2取得最大值60°，此时|OF 1|＝c ，|PF 1|＝|PF 2|＝2c .由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4c ＝2a ，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝12. 答案：1211．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积．解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝10，c ＝3，因此a ＝5，b ＝4，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1. (2)易知|y P |＝4，又c ＝3，所以S △F 1PF 2＝12|y P |×2c ＝12×4×6＝12. 12．已知焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的左焦点和右顶点，P 是椭圆上任意一点，求PF ―→·P A ―→的最大值和最小值．解：设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2，∵e ＝c a ＝12，∴c ＝1， ∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1. ∴－2≤x 0≤2.又F (－1,0)，A (2,0)，PF ―→＝(－1－x 0，－y 0)，P A ―→＝(2－x 0，－y 0)，∴PF ―→·P A ―→＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2. 当x 0＝2时，PF ―→·P A ―→取得最小值0，当x 0＝－2时，PF ―→·P A ―→取得最大值4.B 级1．若椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫b 2＋c 2有四个交点，其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫55，35 B.⎝⎛⎭⎫0，25 C.⎝⎛⎭⎫25，35 D.⎝⎛⎭⎫35，55 解析：选A 由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则⎩⎨⎧ a ＞b 2＋c ，b ＜b 2＋c ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧(a －c )2＞14(a 2－c 2)，a 2－c 2＜2c ，解得55＜e ＜35. 2．(2018·南昌摸底考试)P 为椭圆x 225＋y 29＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，过P 点作PH ⊥F 1F 2于点H ，若PF 1⊥PF 2，则|PH |＝( )A.254B.83 C ．8 D.94解析：选D 由椭圆x 225＋y 29＝1得a 2＝25，b 2＝9，则c ＝a 2－b 2＝25－9＝4，∴|F 1F 2|＝2c ＝8.由椭圆的定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝64.∴2|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|2＋|PF 2|2)＝100－64＝36，∴|PF 1|·|PF 2|＝18.又S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12|F 1F 2|·|PH |， ∴|PH |＝|PF 1|·|PF 2||F 1F 2|＝94.故选D. 3．已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝ 3.所以b 2＝a 2－c 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明：设M (m ，n )，则D (m,0)，N (m ，－n )．由题设知m ≠±2，且n ≠0.直线AM 的斜率k AM ＝n m ＋2，故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n. 所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n(x －m )．直线BN 的方程为y ＝n 2－m(x －2)．联立⎩⎨⎧y ＝－m ＋2n (x －m )，y ＝n 2－m (x －2)，解得点E 的纵坐标y E ＝－n (4－m 2)4－m 2＋n 2. 由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2，所以y E ＝－45n .又S△BDE＝12|BD|·|y E|＝25|BD|·|n|，S△BDN＝12|BD|·|n|.所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.。

直线与圆的综合运用2

第12课
直线与圆的综合应用2
知识梳理
圆和圆的位置关系判断方法：两圆的圆心距为两圆半径分别为、，（r ） d Rr R 则两圆外离 d R r ；
，
两圆外切 d R r
；
两圆相交 R r d R r ；
两圆内切 d R r ；
两圆内含 0 d R r
；
(d 0 时为同心圆)．
诊断练习
1、已知圆O： y 4，则过点P(2,4) x
2 2
与圆O相切的切线方程为 3x 4 y 10 0或x 2 。【分析与点评】
因为点P在圆外，所以所求切线必有两条，预先作出判断可减少解题失误。
x 2、圆O： y 4 x 0 在点P(1,
l
ＯＰ
Ｃ
·
ｘ
·
4、若圆 x y 4与圆
2 2
x y
2
2
2ay 6 0(a 0) 的公共弦的长为 2 3
1 则a＝_____ 【分析与点评】：
当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．
(3)假设存在这样的点 R(a，b)，点 P 的坐标为(x，y)，相应的定值为 λ，根据题意可得 PQ＝ x ＋y －1， 2 2 x ＋y －1 ∴ ＝λ， 2 2 x－a ＋y－b 2 2 2 2 2 2 2 即 x ＋y －1＝λ (x ＋y －2ax－2by＋a ＋b )，(*) 又点 P 在圆上，∴(x－4)2＋(y－2)2＝9，即 x2＋y2＝8x＋4y－11，代入(*)式得： 2 2 2 8x＋4y－12＝λ [(8－2a)x＋(4－2b)y＋(a ＋b －11)]．