代数式用作差法比较大小ppt课件
作差法比较大小
热身训练
a +b ≥ 0
h4
50<10a+b<60
a+2=b
三、不等式基本原理
a - b > 0 <=> a > b
a - b = 0 <=> a = b
a - b < 0 <=> a < b
比较两实数大小的方法 —作差比较法：
比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a-b 的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们 的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号．
一、不等关系是普遍存在的
想一想, 举出几个现实生活中与不等关系有关的例子?
Hale Waihona Puke Baidu
表示不等关系的文字与符号：
1、三角形的三边关系： 2、不超过、不少于、最大值、最小值等：
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号 > ≤ 大于 至多 < ≥ 小于 至少 ≥ ≥ 大于等于 不少于 ≤ ≤ 小于等于 不多于
二、用不等式（组）来表示不等关系 不等式
c c 例１:已知a>b>0,c<0,求证 a b
证明：
c c bc ac c(b a ) a b ab ab 又 a b 0, c 0 b a 0, ab 0
小学数学《代数式》PPT课件(第1课时)
知识讲解
例：用代数式表示 (1)a与b的差与c的平方的和．
a b c2
(2)百位数字是a，十位数字是b，个位数字是 c的三位数．
100a+10b+c (其中，a，b，c是0到9之间的整数，且a 不为零 )
知识讲解
(3)三个连续的整数(用同一个字母表示)，以 及它们的和．
设m是整数，三个连续整数可表示为m-1，m， m+1．它们的和为(m-1)+m+(m+1)
_（1－20％）a 元.
（4）甲每天做a个玩具，乙每天做b个玩具，甲做了5天，乙做了3天，一
共可以做 5a＋3b 个玩具.
a
（5）小华用a元买了b本练习本，每本练习本 b 元．
知识讲解
一、代数式的意义
a－10，4a，a2，（1－20％）a，5a＋3b ， a 这些
式子有哪些共同特点？
b
都含有数字或字母
强调：在代数式中，字母与数或字母与字母相 乘时，通常把乘号写作“·”或省略不写
知识讲解
代数式的书写规则：
1.字母与字母，数或字母与括号相乘时，“×” 号通 常省略不写或写成“·”;
100×t
100t或100·t
2.数与字母相乘时，数字通常写在字母的左边，数字与数
字相乘时，仍用“×” 号，也可用“·”号，但要注意与小
作差法比较大小
例2 国庆期间，我准备带一家三口去美丽的狮子峰旅行，咨询 时了解到东方旅行社规定：若父母各买一张全票则孩子可以按 全票的七折购票；而光明旅行社则规定：三人均可按团体票计 价，即按全票的80％收费.若两家旅行社的票价a元／人，请帮 老师比较一下，实际哪家收费较低呢？ 【思考与分析】要比较哪家旅行社的收费低，我们可以先用含 有a的式子表示出两家旅行社需要的费用，然后求出两个式子的 差，再根据已知条件判断这个差的符号即可比较出哪个旅行社 的费用低.
7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，
每张B5纸的面积为y，且x ＞y，请你分析谁用的纸面积最大． 2.制作甲食品需要A、B两种原料且有种配料方式，方式1需要A原 料600g,B原料500g；方式2需要A原料400g,B原料300g，每克A原料 费用比B原料高，从商家的角度考虑，应选那种方式？
A型钢板
B型钢板
方案一
方案二
问题1：制作某产品有两种用料方案, 方案一：用4张A型钢板,8张B型钢板； 方案二：用3张A型钢板,9张B型钢板. A型钢板的面积比B型钢板大.从省料角度考虑,应选哪种方 案? 设 A 型钢板和 B 型钢板的面积分别为 x 和 y . 于是，两种 方案用料面积分别为 4x+8y 和 3x+9y 现在需要比较上面两个数量的大小，怎么比较 呢？
小. 2 、已知a为实数，请判断下列式子的大小关系
七年级下册第九章 不等式与不等式组 9.1 不等式 阅读与思考 用求差法比较大小教学课件共18张PPT
勇于表达 自己的观 点，虚心 倾听同伴 的意见。 探求真理， 共同进步！
解：由两式作差得 －（8－10x）－［－（8－10y）］ ＝－8＋10x＋8－10y＝10x－10y. 因为x＞y，所以10x＞10y， 即10x-10y＞0. 所以－（8－10x）＞－（8－10y）. 又由题意得－（8－10x）＞0， 4 即 x＞ 5 ，所以x最小的正整数值为1.
问题2 如果设A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y,你 能分别表示出两种方案用料面积吗? 方案1用料面积为4x+8y 方案2用料面积为3x+9y 问题3 你能比较出哪种方案用料面积较省料?
例2. 制作某产品有两种用料方案，方案1用4张A型钢板，8 张B型钢板；方案2用3张A型钢板，9张B型钢板。A型钢板 的面积比B型钢板的大。从省料角度考虑，应选哪种方案？ 解：设A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y,依题意得 方案1用料面积为4x+8y， 方案2用料面积为3x+9y . 作差 (4x+8y)－(3x+9y ) 变形 =4x+8y-3x-9y=x-y ∵x＞y, ∴x-y＞0 判断符号 ∴ 4x+8y＞3x+9y . 确定结论 答：从省料角度考虑，应选方案2.
实数大小比较的法则
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
a ＜b a b
正数大于零，零大于负数. 对于两个正数，绝对值较大的数较大. 对于两个负数，绝对值较大的数反而小.
作差比较法
解：6 x 2 3 x 5 5 x 2 3 x 2
作差
6 x 2 3 x 5 5 x 2 3 x 2
整理变形
x2 3
x20
x2330
6 x 2 3 x 5 5 x 2 3 x 2 0
判断符号
6 x 2 3 x 5 5 x 2 3 x 2
得出结论
例3.设x>y，试比较代数式-（8-10x）与－ （8-10y）的大小，如果较大的代数式为正数， 则其中最小的正整数x或y的值是多少？
【思考与分析】根据求差法的步骤我们先求 出两个式子的差，然后再根据已知条件x>y， 来判断这个差的符号，从而比较两个代数式 的大小.
解：由两式作差得
-（8-10x）－［－（8-10y）］ ＝-8+10x+8-10y ＝10x-10y. 因为x>y， 所以10x>10y，即10x-10y>0. 所以-（8-10x）> -（8-10y）. 又由题意得-（8-10x）>0，即x>4/5，
所以x最小的正整数值为1.
例4.有一个三口之家准备在假期出 外旅行，咨询时了解到东方旅行社 规定：若父母各买一张全票则孩子 可以按全票的七折购票；而光明旅 行社则规定：三人均可按团体票计 价，即按全票的80％收费.若两家 旅行社的票价相同，则实际哪家收 费较低呢？
人教版七年级下册数学阅读与思考 用求差法比较大小》
=x2+3
x2≥0
x2+3≥3＞0
∴2x2 +3x+5 –( 5x2+3x+2)>0 ∴2x2 +3x+5 > 5x2+3x+2
作差 整理变形 （合并同类项）
定号 下结论
阅读与思考（P121）
学习目标
1、掌握作差比较法 2、能用作差法比较代数式的 大小
比较a和b的大小有几种结果？
a>b
a-b>0
a<b
a-b<0
a=b
a-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=0
试运用作差法比较下列代数式的大小 把整体看成
比较
作差 整理变形 （合并同类项）
定号
与 的大小
-（ ）
=2x²-2x-x²+2x =x²
∵x²≥0 ∴2x²-2x-（x²-2x）≥0
下结论
∴2x²-2x≥x²-2x
思考：
①结合上述例题概括下解题的一般步骤？
作差
变形(合并同类项）
定号
下结论
②上述例题的解法名称是什么？
作差法
③作差法的理论依据是什么？
不等式的性质
试比较6x2 +3x+5与5x2+3x+2的大小
•解： 6x2 +3x+5 –( 5x2+3x+2)
1_作差法
A a
Fra Baidu bibliotekB b
a＜b
由此我们可以得出比较两个实数大小的方法，即是作差法.
作差法的步骤： (1)作差(2)化简（变形）(3)定号(与0比较大小) (4) 结论.
(2)因为
6 5 7 6
36 35 42 42 1 ＞0， 42
所以 3 ＞ 4 ；
所以
6 5 . 7 6
例2 对任意实数 x，比较（x+1)(x+2) 与 (x3)(x+6) 的大小 ． 解 因为 (x+1)(x+2) (x3)(x+6) ＝ (x2+3x+2) (x2+3x18) ＝ 20 ＞0． 所以 (x+1)(x+2) ＞ (x3)(x+6)．
a＞b
a＝b a＜b
a － b＞ 0
a－ b＝ 0 a－ b＜ 0
a －b＞0 例1 比较下列各组中两个实数的大小： a ＝ b a－ b＝ 0 6 5 a ＜ b a－b＜0 (1) 3 和 4； (2) 和 ； 7 6
a＞b
(
解
(1) 因为 (3) (4) ＝－3+4 ＝1 ＞0，
比较两个代数式的大 小，就是比较两个代 数式的值的大小．
1. 比较 (a+3)(a 5) 与 (a+2)(a 4) 的大小．
高中数学(人教版选修4-5)配套课件第二讲 2.1 比较法
解析：当x＝1时，x2＝x2－x＋1；当x＞1时，x2
＞x2－x＋1；当x＜1时，x2＜x2－x＋1.
思考2
比较两个代数式值的大小： x2＋x＋1与(x＋1)2.
解析：当x＝0时，x2＋x＋1＝(x＋1)2； 当x＞0时，x2＋x＋1＜(x＋1)2； 当x＜0时，x2＋x＋1＞(x＋1)2.
变 式 训 练
2． 已知 a≥1， 利用作商比较法求证： a＋1－ a＜ a－ a－1.
左边 a＋1－ a a＋ a－1 证明： ＝ ＝ ＜1， 右边 a－ a－1 a＋1＋ a 又 a＋1－ a＞0， a－ a－1＞0. ∴原不等式成立． 点评：根据左、右两边都含无理号的特点，也可以采取两边平方的方 法来比较，但是应先判断两边的符号，都大于 0 时，两边平方是等价 变形，否则要改变不等号．
栏 目 链 接
栏 目 链 接
题型一 例1
作差比较法证明不等式
已知a＜b＜c，求证：a2b＋b2c＋c2a＜ab2＋bc2＋ca2.
栏 目 链 接
证明：因为a＜b＜c， 所以a－b＜0，b－c＜0，a－c＜0，
所以(a2b＋b2c＋c2a)－(ab2＋bc2＋ca2)
＝(a2b－ca2)＋(b2c－bc2)＋(ac2－ab2) ＝(b－c)[a2－a(b＋c)＋bc] ＝(b－c)(a－b)(a－c)＜0， 所以a2b＋b2c＋c2a＜ab2＋bc2＋ca2.
用求差法比较大小
制作某产品有两种用料方案，方案1用4A型钢板，8B型钢板；
方案2用3A型钢板，9B型钢板。A型钢板的面积比B型钢板的大。从省料角度考虑，应选哪
种方案？
用求差法比较大小
比较两个数或两个代数式的大小，可以运用求差法：如果a－b>0，则a>b；如果a－b<0，
则a<b.
运用求差法比较大小的一般步骤是：（1）作差；（2）判断差的符号；（3）确定大小.
【例1】设x>y，试比较代数式-（8-10x）与－（8-10y）的大小，如果较大的代数式为
正数，则其中最小的正整数x或y的值是多少？
【思考与分析】根据求差法的步骤我们先求出两个式子的差，然后再根据已知条件x>y，
来判断这个差的符号，从而比较两个代数式的大小.
解：由两式作差得-（8-10x）－［－（8-10y）］＝-8+10x+8-10y＝10x-10y.
因为x>y，所以10x>10y，即10x-10y>0.
所以-（8-10x）>－（8-10y）.
又由题意得-（8-10x）>0，即x>4/5，所以x最小的正整数值为1.
【例2】有一个三口之家准备在假期出外旅行，咨询时了解到旅行社规定：若父母各买
一全票则孩子可以按全票的七折购票；而光明旅行社则规定：三人均可按团体票计价，即按
全票的80％收费.若两家旅行社的票价相同，则实际哪家收费较低呢？
【思考与分析】要比较哪家旅行社的收费低，我们可以先用含有未知数的式子表示出两
家旅行社需要的费用，然后根据求差法的步骤，求出两个式子的差，再根据已知条件判断这
代数式用作差法比较大小 ppt课件
代数式用作差法比较大小
李连杰身高 姚明身高
2.29-1.69=0.60>0 归纳： a-b>0 a-b=0 a-b<0
0
1.69 2.29
2.29>1.69 提示：运用了实数 减法运算符号法则
a>b wk.baidu.com=b a<b
作差法与作商法比较大小
[小问题· 大思维]
1．作差比较法的主要适用类型是什么？实质是什么？
提示：作差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等
式的证明．实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为 一个数(或式子)与0的大小关系. 2．作商比较法主要适用类型是什么？实质是什么？ 提示：作商比较法主要适用于积、商、幂、对数、根式形 式的不等式证明． 实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式
a－1a＋1 1 ∴当a>1时， >0 ，有 a > a a； a－1a＋1 1 当a＝1时， ＝0，有a＝a； a
a－1a＋1 1 当0<a<1时， <0，有a<a. a 1 综上可知，当a>1时，a>a； 1 当a＝1时，a＝ ； a 1 当0<a<1时，a<a.
x 1．已知 x>－1，求证： 1＋x≤1＋ . 2
即(a b ) (a b ab ) 0 3 3 2 2 a b a b ab .
3 3 2 2
法，因式分解法，有时把差变 2 (a b)(a b) (a b )(a b) 形为常数或变形为常数与几个 数的平方和的形式或变形为几 a, b是正数, 且a b , 2 个因式积的形式.变形到可判断 a b 0, (a b) 符号为止 0, .
数学人教版七年级下册9.1阅读与思考 用作差法比较大小
课题：阅读与思考用作差法比较大小
安徽省芜湖市繁昌县田家炳中学
执教：李名菊
教学目标：
1．理解，掌握用作差法比较代数式大小．
2．提高分析、解决问题能力．
3．锻炼学生的思维品质（思维的严谨性、灵活性、深刻性）．
教学重点与难点:
求差比较法是本节课的教学重点；求差后，如何对“差式”进行适当变形，并判断符号是本节课教学难点．
教学方法：情景引入法，有特殊到一般，再有一般到特殊归纳法
教学准备：多媒体
教材分析：本节课是阅读与思考内容，为了加深同学们对不等式性质的巩固和提高应用，特补充的知识。
教学过程：
一、情景引入：
1.多媒体播放图片：两位球星的身高。
2.要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：
>b
a
b
a
⇔
-
>
a
a
=b
b
⇔
=
-
a
b
a
<b
-
<
⇔
那么如何比较下面两个式子的大小呢？
直接比较这两个式子的大小有困难，但是将两式作差所得到的结果与0比大小比较容易证明．这种方法我们叫做作差法。
二、新课讲授
作差法证明不等式：用不等式的一边减去另一边，比较作差所得到的结果与0的大小。
b
a b a b
a b a b a b a b
a b a ≤⇔≤-<⇔<-≥⇔≥->⇔>-0000 所以证明不等式的关键就是判定作差得到的结果与0的大小，下面我们将通过例题来归纳、总结作差法证明不等式时，如何对差式变形并判断差式符号．
三、例题讲解
播放旅游景点狮子峰图片引入例题。
例1 五一期间，我准备带一家三口去美丽的狮子峰旅行，咨询时了解到东方旅行社规定：若父母各买一张全票则孩子可以按全票的七折购票；而光明旅行社则规定：三人均可按团体票计价，即按全票的80％收费.若两家旅行社的票价a 元／人，请帮老师比较一下，实际哪家收费较低呢？
作差法与作商法比较大小ppt(共26张PPT)
∵a＞2，∴a－1>1. ∴loga(a－1)>0，log(a＋1)a＞0， 由于lologgaaa＋－1a1＝loga(a－1)·loga(a＋1)
<[logaa－1＋2 logaa＋1]2 ＝[logaa22－1]2. ∵a＞2，∴0<loga(a2－1)＜logaa2＝2. ∴[logaa22－1]2<(log2aa2)2＝1， 即lologgaaa＋－1a1＜1. ∵log(a＋1)a＞0，∴loga(a－1)＜log(a＋1)a.
当0<a<1时，a－1aa＋1<0，有a<1a. 综上可知，当a>1时，a>1a； 当a＝1时，a＝1a； 当0<a<1时，a<1a.
[通一类] 1．已知 x>－1，求证： 1＋x≤1＋x2.
证明：∵ห้องสมุดไป่ตู้＞－1，
∴1＋x>0， 1＋x>0， ∵ 1＋x－(1＋x2)＝ 1＋x－x＋21＋1 ＝ x＋1－x＋2 1－12 ＝－12[(x＋1)－2 x＋1＋1] ＝－12( x＋1－1)2≤0， ∴ 1＋x≤1＋x2.
∴(ab) >1.即a b >a b . ＝(bc2－c2a)＋(ca2－b2c)＋(ab2－a2b)
用作差法比较大小
用作差法比较大小
1、教学目标
知识与技能：经历类比推理的探索过程，掌握用作差法比较大小的方法。
过程与方法：掌握用作差法比较两个数或两个代数式的大小。
数学思考：本节课内容是学习不等式性质的基础上，掌握用作差法比较大小，对培养学生的逻辑思维能力有重要作用。
情感态度：通过创设问题情境，引导学生参与数学活动，增强学生学习数学的兴趣，体会在解决问题的过程中与其他人交流合作的重要性。
2、学情分析
学生从目前情况来看，优等生少、中等生较多、差生较多，学生的学习习惯不好、学习态度不积极，计算能力、分析问题、解决问题能力一般，要提高学生的成绩需带领学生强化训练，培养学生良好的学习习惯，提升学生的数学素养。
3、重点难点
重点：理解并掌握作差法比较大小。
难点：准确作差变形、准确判断差的符号，理论联系实际。
4、教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学目标
知识与技能：经历类比发现的探索过程，掌握用作差法比较
大小的方法。
过程与方法：掌握用作差法比较两个数或两个代数式的大小。
数学思考：本节课内容是学习不等式性质的基础上，掌握用作差法比较大小，对培养学生的逻辑思维能力有重要作用。
情感态度：通过创设问题情境，引导学生参与数学活动，增强学生学习数学的兴趣，体会在解决问题的过程中与其他人交流合作的重要性。
4.1.2学时重点
理解并掌握作差法比较大小。
4.1.3学时难点
准确作差变形、准确判断差的符号，理论联系实际。
4.1.4教学活动
活动1
【导入】小明一家三口准备在端午节假期外出旅行，咨询时了解到东方旅行社规定：若父母各买一张全票则孩子可以按全票的七折购票；而光明旅行社规定：三人均可按团体票计价，即按全票的80%收费。若两家旅行社的全票票价为100元，则实际哪家收费较低？
数学·选修4-5(人教A版)课件：第二讲2.1比较法
2．作商比较法 依据：当 b＞0 时， ab＞1⇔a＞b； ab＝1⇔a＝b； ab＜1⇔a＜b．
温馨提示 使用作商法证明不等式 a＞b 时，一定要 注意 b＞0 这个前提条件．
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)当 b＞0 时，a＞b⇔ab＞1.( ) (2)当 b＞0 时，a＜b⇔ab＜1.( ) (3)当 a＞0，b＞0 时，ab＞1⇔a＞b.( ) (4)当 ab＞0 时，ab＞1⇔a＞b.( )
TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者 复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆规 律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的记忆 广度为7±2项内容。
目 录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问题 了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一做 就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力-含 义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
＋
b a
－
作差法比较大小
答：都是整式
作差
整理变形
定号
下结论
以上例题的解法我们叫作差 合并同类
法比较大小
项等
作差法的理论依据是什么？
❖ 若a>b，则a-b>0； ❖ 若a=b，则a-b=0； ❖ 若a<b，则a-b<0。 同样的，反过来也是成立的，即： ❖ 若a-b>0，则a>b； ❖ 若a-b=0，则a=b； ❖ 若a-b<0，则a<b。
例2 国庆期间，我准备带一家三口去美丽的狮子峰旅行，咨询 时了解到东方旅行社规定：若父母各买一张全票则孩子可以按 全票的七折购票；而光明旅行社则规定：三人均可按团体票计 价，即按全票的80％收费.若两家旅行社的票价a元／人，请帮 老师比较一下，实际哪家收费较低呢？
【思考与分析】要比较哪家旅行社的收费低，我们可以先用含 有a的式子表示出两家旅行社需要的费用，然后求出两个式子的 差，再根据已知条件判断这个差的符号即可比较出哪个旅行社 的费用低.
用求差法比较大小
教学目标
❖ 知识与技能
❖ 1、当a-b>0时，一定有a>b 。当a-b=0时，一定有a=b。当a-b<0时，一定有a<b。 ❖ 2、把要比较的对象数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小
❖ 过程与方法
❖ 1、 通过创设情景，让学生在寻找问题解决的过程中认知用求差法比较大小。 ❖ 2、通过观察 猜想 类比 归纳让学生感受到用求差法比较大小的实用性与通法性。
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2、比较代数式的大小
把整体看着实 数轴上的一个
a
把整体看着实数轴上 的一个 b
• 例：试比较6x2 +3x+5与5x2+3x+2的大小 •解： 6x2 +3x+5 –( 5x2+3x+2)
= 6x2 +3x+5 –5x2-3x-2
作差 整理变形
=x2+3
2 x 0
2 x 330
∴2x2 +3x+5 –( 5x2+3x+2)>0 ∴2x2 +3x+5 > 5x2+3x+2
作差法比较大小专项训练
1、将姚明和李连杰的身高标示在数轴上观察他们的大小关系
李连杰身高
姚明身高
2.29-1.69=0.60>0 归纳： a-b>0 a-b=0 a-b<0
0
1.69 2.29
2.源自文库9>1.69 提示：运用了实数减 法运算符号法则
a>b a=b a<b
ab0 a b ab0 ab ab0 ab ab0 ab
定号 下结论
3、思考： ①上述例题代数式有一个怎么样的特点？ 答：都是整式 ②结合上述例题概括下解题的一般步骤？
答：作差
变形
定号
下结论
③上述例题的解法名称是什么？ 答：作差法
合并同类项，因式 分解，配方等等